§5.2 角动量的时间变化率 力矩(续)

求摩擦力矩
简化模型：
长 R ，线密度 kr
总质量 m 的细杆
四. 刚体定轴转动定律
dL
M外 dt
Mz
dLz dt
由 Lz J
得
Mz
=
dLz dt
=
d dt
(Jω) =
J
dω dt
=
Jβ
Mz J 刚体定轴转动定律
力矩的瞬时效应是产生角加速度
比较
F ma －矢量式
Mz
J
－标量式
F 改变物体平动状态的原因
m2
ro m
m1
解：在地面参考系中，选取m1、m和2 滑轮为研究对
象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得：
T1
m1
a
m1 g
Na
m2 g m2
T2
m2 g
T2
Ny
o
Nx
向里+
T1
列方程如下： 可求解
m1 g T1 m1a
T2 m2 g m2a
( T1
T2
)r
1 2
m r2
a r
例2. 质量为 M 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定 光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为 m、长为 l 的匀质柔软绳 索（如图）。设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长差 为 s 时，绳的加速度的大小。
t1
Mdt
效果：改变角动量
时间变化率与 F 对应
p
t2
一定时间过程的变化量与 Fdt 对应
t1
时间变化率与 M 对应
L
t 2
一定时间过程的变化量与 Mdt 对应
t1
3. 同一式中，M , L, J , 等角量
要对同一参考点或同一轴计算。
三、角动量定理的应用举例——旋进(进动)
录象 角动量定理 ７分钟
dL Mdt
dt
质点系
M外
dL dt
dL M外dt
积分形式 （有限时间过程）
t2
M
dt
L2dL
L
t1
L1
t2
t1
M外dt
L2dL
L
L1
定轴 刚体
M轴 J
Jd M轴d t
t2 M轴dt t1
2 Jd
1
J
注意
1. 力矩对时间的积累：角冲量（冲量矩）
t 2
定义： 2.比较：
0
2
得
2m k L2 ,
2m rdr dm L2
dm
2m rdr L2
df dm g 2m g
L2 rdr
dM rdf
z
r
df
o
dm
M
dM
L 0
2m g
L2
r 2dr
2 3
m gL
实际意义
f
f
r
oR
等效
z
df o
dm
r
半径 R ，质量 m 的匀质圆盘，与桌
面间摩擦系数 µ，
i
i
?
由图可知
Mi内 0
i
o r2 r1 d
f12
1
m1
f 21
2
m2
于是
dL
dt M 外 i ri Fi外
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受 外力矩的矢量和 (合外力矩 )
注意1： 合外力矩 M外 是质点系所受各外力矩的
矢量和，而非合力的力矩。
注意2：质点系内力矩的作用
三个方程 ？
绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：
a r
(4)
解得 m1 m2 g
m1
m2
1 2
m
r
0
t
m1 m2 gt
m1
m2
1 2
m
r
练习1.
半径如m为图示。，已两知物体r 与质桌量面分间别m的为2滑m和动1摩擦，m系滑2 数轮为质量，为求 ，
下落的加速度m和1两段绳中的张力。
m 是物体平动惯性的量度。
M z 改变物体绕轴转动状态的原因
J 是物体转动惯性的量度。
F ma
Mz J
平动问题 刚体定轴转动问题
地位相同
例1: 一定滑轮的质量为 m，半径为 ，r一轻绳两边
分别系 和 m两1 物m体2挂于滑轮上，绳不伸长，绳与
滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零， 求滑轮转动角速度随时间变化的规律。
解得：
a
(
m
mgs
1 2
M
)l
§5.3 角动量定理
一、角动量定理的微分形式
1.质点 由 ：dL
r
F
M
dt
得：dL M dt
2.质点由系：dL＝M dt
外
得：dL M外dt
3.定轴刚体
由 ：M 轴
J
J
d
dt
得：Jd M轴d t
二、角动量定理的积分形式
瞬时
微分
效应
形式
质点
M
dL
F21
m
2
r2
F23 F32
F31 m3
r3 F3外
dL dt
d dt
wk.baidu.com
(L1
L2
LN )
质点角动量的时间 变化率
dLi dt
ri Fi
Mi
dL1 dt dL2 dt
M1外 M1内
M 2外 M 2内
dLN dt
M N外 M N内
两边求和得
d
dL
dt
i
Li
dt
M i外 M i内
同 学 们 好
上讲 §5.1 角动量 转动惯量
1.角动量
质点
L r p r mv
质点系 L rc Mv c ri mivi L轨道 L自旋
i
定轴刚体 Lz ri2mi J
i
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。
2. 转动惯量
J ri2mi
i
J r 2dm
m
r
已知：
m , m1 , m2 , r , 0 0
求： t ?
m2
思路：
m1 质点平动与刚体定轴转动关联问题
十六字诀
先求角加速度
解：在地面参考系中，分别以 m1 , m2 , m
为研究对象，用隔离法，分别以牛顿第二定律 和刚体定轴转动定律建立方程。
m
r
m2
m1
T1 a1
m1 g
T2
a2
积分元的选取 积分限的确定
§5.2 角动量的时间变化率 力矩(续)
一、由质点：角L动=量r的×时p 间变化率dL
r
F
dt
二、力矩
1. 对参考点的力矩： M r F
质点角动量的时间变化率等于质点所受的合力矩
2. 对z轴的力矩:对参考点的力矩在z轴上的投影。
M z xFy yFx Mz r F
不能改变质点系总角动量，但是影响总角动量 在系内各质点间的分配。
[例] 质量为 ，m长为 的L细杆在水平粗糙桌面上绕过
其一端的竖直轴旋转，杆的密度与离轴距离成正比，
杆与桌面间的摩擦系数为 ，求摩擦力矩。
解： 设杆的线密度 kr
dm dr krdr
由 m dm
z
r
df
o
dm
L
krdr 1 kL2
1.回转仪实验： 如图所示的杠杆陀螺
仪。当陀螺仪高速旋转
时，移动平衡物B，杆
不会倾斜，而是在水平
面内绕O旋转。这种运
动称为旋进运动，它是 在外力矩作用下产生的 回转效应。
2.陀螺 o
(1) 若L 0 在重力矩
时： rc
m
g
作用下，
陀螺将绕垂直于黑板的轴转动，
即倒地。
（2）当 L 0 时：
重将力不矩改变rcL
m
A
M
r o
B
CB
CA x2 B
s
A x1
x
T1
. CA
＋
mAg
T2 ＋
CB .
mBg
＋
A
J
o
r
B
T2 T1
mA g T1 mAa
T2 mB g mBa
T1r T2r Jβ
J
JM
J AB
1 2
Mr 2
m AB r 2
m
A
M
r o
B
CB
CA x2 B
s
A x1
x
又： a r
s x1 x2
用电子在外磁场中的旋进解释物质 f
的磁化的本质；
…...
v
rc
mg
录像片：1－2－9 角动量守恒定律 10分钟
m2 g
m1 : 向下为正 m1g T1 m1a1 ( 1 ) m2 : 向上为正 T2 m2 g m2a2 ( 2 )
思考：
a1 a2 ? T1 ×T2 ?
N
+
r
滑轮 m：以顺时针方向为正方向
T1r
T2r
J
1 mr2
2
(3)
T2 m g
T1
四个未知数：a1 a2 a, T1 , T2 ,
mg L ， 的大小，
只改变 L 的方向。
使陀螺绕竖直轴旋转——旋进
L
rc
o
mg
M rc mg L
d
dL
L L
o
M
dL
dt
dL L
d
L
o
Ω d
dt dL L
重力矩始终不改变角动量的大小，只改变角动量的方 向。形成角速度矢量不断向外力矩方向靠拢的趋势。
最终效果：陀螺绕竖直轴旋转——旋进
旋进角速度： Ω d dL M
dt Lsin dt Lsin
( )
3.车轮的旋进
o
Ω
o
L
L
dL
M
讨论：•改变 的方向，旋进方向是否改变？
•改变配重 G ，对旋进有什么影响？ •用外力矩加速（或阻碍）旋进，会发生 什么现象？
1. 2. 3
4、炮弹的旋进
5、旋进现象在自然界广泛存在：
地球的旋进；
注意：力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行；
合力与合力矩的区别。
三、质点系角动量的时间变化率
由Ｎ个质点 m1 ,m2 ,组,成m的N 质点系，
各质点对参考点o点的角动
量分别为 L1, L2, , LN
各质点受力情况如图
质点系角动量 的时间变化率
dL ? dt
F1外
F12
m1
F13
r1 o
F2外
m
A
M
r o
B
x2 B
A x1 s
x
解：在地面参考系中，建立如图 x 坐标，设绳两端坐标分别为x1，x2， 滑轮半径为 r 有：
l AA AB BB x1 x2 r
m mAA l x1 ,
m mBB l x2 ,
mAB
m l
r
s x1 x2
用隔离法列方程：（以逆时针方向为正）