§5.2 角动量的时间变化率 力矩(续)
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力矩的时间累积效应
又 L mR2
dt 1 d
故 LdL m2 gR3 cos θdθ
由题设条件积分上式
L LdL m2 gR3
cosd
0
0
L mR 3 2 (2g sin )1 2
L mR2 ( 2g sin )1 2
R
法二 现需求 L L( )
L mRv mR2
故需求 ( )
由质点定轴转动的转动定理
N
C
B
l
M
h A
l/2
设跷板是匀质的，长度为l，质量为m'，
跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动， 演员的质量均为m．假定演员M落在跷板上， 与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞．
解 碰撞前M落在 A点的速度
vM (2gh)1 2
碰撞后的瞬间，M、N具有相同的线速度
u l
2
M、N和跷板组成的系统，角动量守恒
Mdt dL
t2 Mdt t1
L2 L1
dL
L2
L1
冲量矩
角动量定理的微分形式
1.质点 由：dL
r
F
M
dt
得：dL M dt
2.质点系
由：dL
dt
＝M外
得：dL M外dt
3.定轴刚体
由：M 轴
J
J
d
dt
得：Jd M轴d t
(二)、角动量定理的积分形式
瞬时
微分
效应
形式
Lz Liz ri2 mi
i
i
ri2 mi i
刚体对 z 轴的总角动量为：
Lz J
z
or
v
dm
2. 角动量定理
由刚体定轴转动定律
§2-5角动量定理 角动量守恒定律
太原理工大学物理系
L r P
在直角坐标系中
L ( xi yj zk ) ( Px i Py j Pz k )
L x y z
i j k p x p y p z
太原理工大学物理系
L
v
方向：垂直 r ，P 组成的平面
太原理工大学物理系
r
讨论: 1) 同一质点相对于不同的点，角动量不同。 2) 在说明质点的角动量时，必须指明是对哪个 点而言的。
3）质点以角速度作半径为r的圆运动，相对 圆心的角动量
L = mvr
L
p
mr J
2
o r
2）在具体的坐标系中，角动量在各坐标轴的分 量称作对轴的角动量。力矩在各坐标轴的分量， 称作对轴的力矩。
L Lx i Ly j Lz k L 是质点对o点的角动量
Lx Ly Lz
分别是质点对x、y、z轴的角动量.
M M x i M y j M z k M 是力对o点的力矩
三、质点的角动量定理 dP 由牛顿第二定律 F dt
dP 两边用位矢叉乘 r F r dt dp d dr r (r p) p dt dt dt
dr 由速度定义 v dt
v p 0 dL dp d r (r p) dt dt dt
i
ri fi 质点系受到的内力矩的矢量和
i
矩
太原理工大学物理系
可以证明：内力对定点的力矩之和为零，即
ri fi 0
i
质点系内的重要结论之三
角动量变化定理
理学院物理系陈强第5章角动量变化定理与角动量守恒§5-1. 角动量与力矩§5-2. 质点的角动量变化定理角动量守恒§5-3.质点组的角动量变化定理角动量守恒§5-4.有心运动12理学院物理系陈强第5章角动量变化定理与角动量守恒一.质点的角动量(动量矩)v m r p r L r r r r r ×≡×≡又称动量矩Oαdpr L1.定义：在惯性参考系中选一固定的参考点O ，运动质点对O 点的位矢r ,动量为p ,则质点对O 点的角动量为:mvdsin rmv sin rp L ===ααα为r 和p 两矢量间的夹角角动量L 的大小：§5-1. 角动量与力矩垂直于矢径r 和动量p 所组成的平面，角动量L 的方向：指向由右手螺旋法则确定.3理学院物理系陈强第5章角动量变化定理与角动量守恒mαO L = rmvL r v例：•角动量的大小和方向不仅决定于质点的运动也依赖于所选定的参考点，参考点不同，质点的动量矩不同。
注意:•角动量的单位千克·米2/秒（kg ·m 2/s)水平面上质点做匀速圆周运动4理学院物理系陈强第5章角动量变化定理与角动量守恒例如：vr r r m r L om O ×=vlm L O =方向变化v r r r m r L m o O ×=′′αsin v lm L O =′方向竖直向上不变O l αv r O ′锥摆m5理学院物理系陈强第5章角动量变化定理与角动量守恒2.角动量的分量表示v m r p r L rr r r r ×≡×≡在直角坐标系中：yz y z x m z ym zp yp L v v −=−=zx x y m zm zp L v v x xp z −=−=xy x y z m y xm yp xp L v v −=−=()z y x z y x p p p zy x k j i L ,L ,L r rr =kL j L i L L z y x rrrr ++==L r6理学院物理系陈强第5章角动量变化定理与角动量守恒二.力矩即F r M r r r ×=力矩的大小：Fr sin rF M 0==ααsin r r 0=——称力臂。
角动量 角动量守恒定律
r为力的作用点到 参考点的位置矢量
20
2) 力对定轴的力矩
z
Mz
o
d
F F //
r
F
M r F r ( F// F ) r F// r F
第一项
力F对O点的力矩 （F不在转动平面内）：
M1 r F//
dL 可得 M r F dt
对 N 个质点 m1, m2 ,, mN 组成的质点系，由
dL1 r1 F1外 F1内 M 1外 M 1内 dt 两边求和得 dL2 r2 F2外 F2内 M 2外 M 2内 dL总 d dt Li dt i dt M i 外 M i内 dLN i i 24 rN FN外 FN内 M N外 M N内 dt
z
vi
转轴与其转动平面交点
o
转动 平面
mi 对 o 的角动量： Lio ri mi vi
大小：Lio ri mi vi mi ri 2 Lio 方向：沿 2 即 Lio mi ri
o圆周运动半径为 ri
o ri
mi
6
定义：质点 mi 对其转动平面上圆心 o 点的角动 量的大小，称为质点对转轴的角动量。
11
m 1 L3 L3 1 2 m L 12 L 3 8 8
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
J r dm x dm
2 2 L
L
x
2
若使用平行轴定理：
0
角动量.pdf
r rc′ =
i
r ∑ mi ri′
i
与 i 无关
M
r × vC
由
r ∑ mi ri M
r ∑ mi ri′ M
∑
i
r r r r ri ′ × m i v c = M rc′ × v c = 0
质心对自己的位矢
r r r r r r r L = rc × ∑ mi vi + ∑ ri′× mi vc + ∑ ri′× mi vi′
r p1
i i i
r r r ri = rc + ri′ Q r r r v i = v c + v i′
有'：对质心 无'：对参考点
rr r r1rc r 2
r cp2
r ri′ θ θ
rr p pii
∴
与i无关
r r r r L = ∑ (rc + ri′) × m i v i
i i i
*质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋 转运动的强弱。 转运动的强弱。 *必须指明参考点， 必须指明参考点，角动量才有实际意义。 角动量才有实际意义。
2. 质点系角动量
r r r r r r L = ∑ Li = ∑ ri × pi = ∑ ri × mi vi
系统内所有质点对同一参考点 系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和 同一参考点角动量的矢量和
J = ∫ r 2dm 积分元选取： 积分元选取：
λdl
J = ∫ r dm
2
线密度： 线密度： λ , 线元： 线元： d l
面密度： 面密度： σ , 面元： 面元： dS
体密度： 体密度： ρ , 体元： 体元： dV
i
r ∑ mi ri′
i
与 i 无关
M
r × vC
由
r ∑ mi ri M
r ∑ mi ri′ M
∑
i
r r r r ri ′ × m i v c = M rc′ × v c = 0
质心对自己的位矢
r r r r r r r L = rc × ∑ mi vi + ∑ ri′× mi vc + ∑ ri′× mi vi′
r p1
i i i
r r r ri = rc + ri′ Q r r r v i = v c + v i′
有'：对质心 无'：对参考点
rr r r1rc r 2
r cp2
r ri′ θ θ
rr p pii
∴
与i无关
r r r r L = ∑ (rc + ri′) × m i v i
i i i
*质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋 转运动的强弱。 转运动的强弱。 *必须指明参考点， 必须指明参考点，角动量才有实际意义。 角动量才有实际意义。
2. 质点系角动量
r r r r r r L = ∑ Li = ∑ ri × pi = ∑ ri × mi vi
系统内所有质点对同一参考点 系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和 同一参考点角动量的矢量和
J = ∫ r 2dm 积分元选取： 积分元选取：
λdl
J = ∫ r dm
2
线密度： 线密度： λ , 线元： 线元： d l
面密度： 面密度： σ , 面元： 面元： dS
体密度： 体密度： ρ , 体元： 体元： dV
5.2 质点的角动量定理与角动量定理定律
21
5.2 质点的角动量定理与角动量守恒定律 第5章 刚体的定轴转动
例：质量为Ｍ的圆锥摆摆球，以速率 v 运动时， 判断：1）对Ｏ参考点的角动量是否守恒？
2）对Ｃ参考点的角动量是否守恒？
2）以C为参考点。
重力矩：
r M
=
r l
×
mgr
M = lmg sin θ
张力矩：
r M
=
r l
×
r T
=
0
lθ c
16世纪末至17世纪初，开普勒仔细地分析整理了 前人记录下的大量精确的有关行星运动的资料，总 结出行星运动的规律、即开普勒三定律。
rrr
r M
=
rr ×
r F
=
i x
j y
k
r
r
r
z = Mxi + My j + Mzk
Fx Fy Fz
8
5.2 质点的角动量定理与角动量守恒定律 第5章 刚体的定轴转动
rrr
r M
=
rr
×
r F
=
i x
j y
k z
Fx Fy Fz
其中：
⎧ ⎪
M
x
=
yFz
−
zFy
⎨M y = zFx − xFz
r
注意：定理中的力矩和角动量都必须是相对于同 一参考点而言的。
说明: 1）冲量矩是质点角动量变化的原因。
2）质点角动量的变化是力矩对时间的积累结果。 17
5.2 质点的角动量定理与角动量守恒定律 第5章 刚体的定轴转动
四、质点的角动量守恒定律
当
v M
=
0
,
时，
5-2 质点系的角动量定理及角动量守恒定律
若质点系的所有质点均分别在与 z 轴垂直的平 面内运动，且一共同的角速度绕 z 轴作圆周运动， 则质点系对 z 轴的角动量为
Lz ri mi vi mi ri
i i
2
当质点系对轴的角动量守恒时：
ri 变小，则
M z 0 ，Lz 常量
增大；
ri 变大，则
减小.
质点系对轴的角动量定理
质点系对轴的角动量定理
dLz Mz dt
如果在一个过程中，质点系所受的外力 对 z 轴的力矩始终保持为零，则质点系对该 轴的角动量守恒.
M z 0 ，Lz 常量
质点系对轴的角动量守恒定律
当内力矩远大于外力矩时，质点系对轴的角动量 也是守恒的. （例：P170例1）
在直角坐标系中，上式沿三个坐标轴的投影式为
dLy dLx dLz M x M ix , My , Mz . dt dt dt
• 如果只考虑上式中某一个分量，例如 z 分量，则 表现为对轴的特征：即质点系对于 z 轴的角动量对时 间的变化率等于质点系所受一切外力对 z 轴力矩的代 数和，叫做质点系对 z 轴的角动量定理。
ri fij rj f ji (ri rj ) fij 0
ri fij 0
i i j
成对出现的内力对参考点的力矩矢量和为零. 由于系统内力总是成对出现，则系统内力矩的矢量和为零. • 可见，系统的内力矩只能使系统内各质点的角动量改变， 但不能改变质点系总的角动量。
如果在一个过程中，始终无外力矩作用或所受 的外力矩为零，则质点系的总角动量守恒 .
M外 0 ，L 常矢量
质点系对某一固定点的角动量守恒定律
大学物理角动量 角动量守恒定律
解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞 前后系统角动量守恒
1 mv0 ml 12 4 l
2
m( ) 4 l
2
12 v 0 7 l
5 – 3 角动量 角动量守恒定律
12 v 0 7 l
第五章 刚体的转动
由角动量定理
M dL dt d ( J ) dt dJ dt
第五章 刚体的转动
v A (v0 v ) 1 v B 1709 m s
mM m R h
2
2
1 2
飞船在 A点喷出气体后, 在到 达月球的过程中, 机械能守恒
1 2 m v A G 1 2
2
vB
B
vA
v0
R
O h
v
u
2
A
m v B G
2
2
mM m
质点的角动量定理和角动量守恒定律
pi
pj
5 – 3 角动量 角动量守恒定律
第五章 刚体的转动
1 质点的角动量 质量为 m 的质点以速度 v 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 r ，质点相对于原 点的角动量
L
z
v
r
o
L r p r mv 大小 L rm v sin
第五章 刚体的转动
二
刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动的角动量
L
i
m i ri v i ( m i ri )
2 i
z
O ri
mi
L J
2 刚体定轴转动的角动量定理
大学物理角动量转动惯量及角动量的守恒定律
直
r于 和p组
成
的
平
L
面o，
服从右手定则。
x
r r m
p
p
y
物理意义：
设m作直线运动
以o为 参 考 点 ：L 0
o
r
mp
p
or
以 o为 参 考L 点 0 ：
若 r、 p大 小 相 同 p， ， L 则 ：
*质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋 转运动的强弱。
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。
02
3
4. 求质量 m ,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量
解：以距中心 r，厚 dr 的球壳
dr
R
r
o
为积分元
dV4r2dr
m
m
4 R3
3
dJ3 2dmr22m R3 4rdr
dm dV
J
R
dJ
0
2m R34rdr5 2m2R
教材P.93 一些均匀刚体的转动惯量表
注意：对同轴的转动惯量具有可加减性。
质点角动量的时间变化率等于
质点所受合力的力矩
rm
o
d
二、力矩
1. 对参考点的力矩： M rF
大 小 F d ： Fsrin
方向 垂： 直 r 和 F 组 于成,服 的从 平右 面手
2. 对轴的力矩
z
F
Mz
oFd
r
F//
m
MorFr(F//F)
rF// rF 第一项 M1rF//
角动量定理的微分形式和积分形式， 角动量守恒定律， 难点：角动量概念， 角动量定理及角动量守恒定律的应用
学时： 6
§5.1 角动量 转动惯量 一、角动量
力矩与角动量的关系
力矩与角动量的关系
力矩与角动量的关系
力矩是量度力对物体产生转动效应的物理量，可分为力对点的矩和力对轴的矩。
下面是小编为大家整理的力矩与角动量的关系，仅供参考，欢迎阅读。
力矩与角动量的关系
某质点对参考系的角动量M对时间的变化率等于作用于该质点的合力对这个质点的力矩L，就是角动量定理，M=dL/dt。
就是L对时间t的微分就是M，M和L都是有方向的。
力矩
力矩表示力对物体作用时所产生的转动效应的物理量。
力和力臂的乘积为力矩。
力矩是矢量。
力对某一点的力矩的'大小为该点到力的作用线所引垂线的长度（即力臂）乘以力的大小，其方向则垂直于垂线和力所构成的平面用力矩的右手螺旋法则来确定。
力对某一轴线力矩的大小，等于力对轴上任一点的力矩在轴线上的投影。
国际单位制中，力矩的单位是牛顿·米。
常用的单位还有千克力·米等。
力矩能使物体获得角加速度，并可使物体的动量矩发生改变，对同一物体来说力矩愈大，转动状态就愈容易改变。
L定义为r与p的矢积，并不是非常直观的物理量这就是为了研究转动而人为定义的力学量。
所以我觉得这是为了理论研究而人为定义的物理量，α是角加速度，形式上和牛顿第二定律完全一致，M定义为r与F的矢积;dt。
再定义转动惯量以后，转动方程就能写成M=Jα=dL
某质点对参考系的角动量M对时间的变化率等于作用于该质点的合力对这个质点的力矩L,就是角动量定理,M=dL/dt（就是L对时间t 的微分就是M,M和L都是有方向的,算式上标不出来）。
第五章角动量
1.质点系对参考点的角动量 对参考点
L Li ri pi ri mi vi
i i i
对质点系中的第 i 个质点,有 dL Mi i dt 其中
M i M i外 M i内
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M i内 M i外
Lz ri mi vi sin i
2.质点系对轴的角动量定理
质点在垂直于z 轴的平面内运动，第i个 质点
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第五章 角动量 关于对称性
dLi d M iz ( ri m i v i sin i ) dt dt
对质点系
Miz Mi外z Mi内z d M i内z M i外z ( ri m i v i sin i ) dt
d ( ri m i v i sin i ) dt
M i内 z M i 外 z 而 M i内 0 M i外z
Mi内z 0
d d ( ri mi v i sin i ) Lz dt dt
——称质点系对z 轴的角动量定理.
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对质点系，有
dLi dt
第五章 角动量 关于对称性
M i内 M i外
dLi dt
2.内力的力矩
因质点i与质点 j 间的相互
作用力关系为
Fij F ji
O
rj
d
ri
j
j
i
i
Fij
且二力到参考点O的垂直距离相等，
F ji
故成对出现的内力对O点的力矩矢量和为零.即
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第五章 角动量 关于对称性
L Li ri pi ri mi vi
i i i
对质点系中的第 i 个质点,有 dL Mi i dt 其中
M i M i外 M i内
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M i内 M i外
Lz ri mi vi sin i
2.质点系对轴的角动量定理
质点在垂直于z 轴的平面内运动，第i个 质点
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第五章 角动量 关于对称性
dLi d M iz ( ri m i v i sin i ) dt dt
对质点系
Miz Mi外z Mi内z d M i内z M i外z ( ri m i v i sin i ) dt
d ( ri m i v i sin i ) dt
M i内 z M i 外 z 而 M i内 0 M i外z
Mi内z 0
d d ( ri mi v i sin i ) Lz dt dt
——称质点系对z 轴的角动量定理.
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对质点系，有
dLi dt
第五章 角动量 关于对称性
M i内 M i外
dLi dt
2.内力的力矩
因质点i与质点 j 间的相互
作用力关系为
Fij F ji
O
rj
d
ri
j
j
i
i
Fij
且二力到参考点O的垂直距离相等，
F ji
故成对出现的内力对O点的力矩矢量和为零.即
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结束
第五章 角动量 关于对称性
角动量守恒定律
v M = 0,
v L=
恒矢量
6
第四章
刚体的转动
物理学
第五版
4-3 角动量 -
角动量守恒定律
例1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平 面内. 面内 一质量为 m 的小 球穿在圆环上, 球穿在圆环上 并可在 圆环上滑动. 圆环上滑动 小球开始 时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的 该点在通过环心 水平面上)， 水平面上 ，然后从 A 点开始下滑． 点开始下滑．设小球与圆环间的摩擦力略 去不计． 去不计．求小球滑到点 B 时对环心 O 的角 动量和角速度． 动量和角速度．
第四章 刚体的转动
5
质点角动量定理的推导
v v dL M= dt
物理学
第五版
4-3 角动量 -
角动量守恒定律
v v dL M= dt
v v v ∫t1 M d t = L 2 L 1 t2 v 冲量矩 ∫ M dt
t2
t1
质点的角动量定理：对同一参考点O， 质点的角动量定理：对同一参考点 ， 质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量. 质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量 3 质点的角动量守恒定律
刚体的转动
9
物理学
第五版
4-3 角动量 -
角动量守恒定律
的登月飞船， 例2 一质量为 m 的登月飞船，在离月 处绕月球作圆周运动． 球表面高度 h 处绕月球作圆周运动．飞船采 用如下登月方式： 用如下登月方式：当飞船位于点 A 时，它向 外侧短时间喷射出粒子流， 外侧短时间喷射出粒子流，使飞船与月球相 垂直． 切地到达点 B , 且OA 与 OB 垂直．飞船所 喷气体相对飞船的速度为 u = 1.00 × 10 4 m s 1 试问： 试问：登月飞船在登月过程中所需消耗燃料 是多少? 的质量 m是多少?
角动量与力矩
碰撞就是两个或两个以上的物体在相遇的极短促时间内产生非常之大的相互作用力，而其他的相互作用力相对来说显得微不足道的过程。
关于碰撞的实例和特征请看一段录相。
从录相中我们可知：碰撞的最主要特点是：碰撞时间极短，作用力变化快和作用力峰值大等，因而其他外力可以忽略不计。
如碰撞是对心碰撞，则系统满足动量守恒，即(1)当两球相碰时相互作用的内力仅是弹性力，且在碰撞过程中，两球之间弹性势能与动能在相互转换着。
碰撞除满足动量守恒定律外，碰撞开始和末了动能之和相等，这种碰撞称为弹性碰撞。
弹性碰撞过程一般可分为两个阶段，即压缩阶段和恢复阶段。
弹性碰撞两物体的动能之和完全没有损失可表示为(2)由(1)和(2)得请看一个弹性碰撞示例的动画。
1．恢复系数e牛顿总结实验结果，提出碰撞定律：碰撞后两球的分离速率与碰撞前两球的接近速率成正比，比值e由两球的材料决定，即(3)e称为恢复系数。
利用恢复系数e可以对碰撞进行分类。
２. 非弹性碰撞这种碰撞被压缩的物体不能恢复原状而有一部分残留的形变，碰撞前后的系统的动能不相等，则称为非弹性碰撞。
非弹性碰撞中0<e<1，分离速率小于接近速率，弹性碰撞中e＝1，分离速率等于接近速率。
如e＝0，,则属于完全非弹性碰撞。
由（1）和（3）式可解出完全非弹性碰撞中(4) 完全非弹性碰撞中的机械能损失为而对于一般的非弹性碰撞这样的表示也可用于力对点的力矩定义上。
如图所示，力F 对O 点的力矩M 为方向也用右手螺旋法则判定。
由图示，因F ，对O 点的力矩分别为则力偶的合力矩（力偶矩）为力矩是描述外力改变刚体转动状态物理量。
注意：质点的角动量L 不仅取决于它的运动状态，还与它相对于参考点的位矢r 有关．对不同的参考点而言，同一质点的位矢r 不同，其角动量亦不同．因此，在说到角动量时，必须指明是对哪个参考点而言的．注意：,与m v 共线， 所以，1． 力对轴的力矩图1是刚体的一个横截平面，z 轴为刚体的转轴，它与横截面的交点为O 。
大学物理第5章角动量守恒定律
1 ml2 3
l
m
m 1.73
z2
o
l 2
G
JZ2
1 ml2 3
RGC G 不是质心
转动惯量的计算
例: 求半径为 R,总质量为 m的均匀圆盘绕垂直于盘面
通过中心轴的转动惯量 如下图:
解:
质量面密度
m R 2
J z r 2dm R r 2ds 0
Z ds
R r 2 2rdr 0
R r 2 m 2rdr
a 法向分量
an
v2 r
r 2
O
匀变速直线运动
匀变速定轴转动
v dS dt
a dv dt
v v0 at
S
v0t
1 2
at 2
v2 v02 2aS
d
dt
d
dt
0 t
0t
1t2
2
2 02 2
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.刚体对转轴的力矩和角动量
z
角动量守恒
质点系的角动量定理
M J
4g
t
3 4
R
1 2
gt
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
orRA r源自（2） 对 O 点的角动量m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
p)
dr
p
r
dp
r 表示从O到速度矢量 v 的垂直距离, 则有
r sin s rs 2
第5章角动量
Lo r mv sin r mv
O
r
r A
p mv
9
说明： 若
M外 0
则
L 常矢量
质点角动量守恒定律
1. 关于总外力矩 M = 0 的三种不同情况： ⑴ 对孤立体，质点不受外力作用Fi = 0，当然有总外力矩 M = 0。 ⑵ 所有的外力通过定点，对该点每个外力的力矩皆为零，因而总 外力矩 M = 0，但体系所受外力的矢量和未必为零。 ⑶每个外力的力矩不为零，但总外力矩M = 0。 2. 角动量守恒定律是一个独立的规律，并不包含在动量守恒定 律或能量守恒定律中。 3. 角动量守恒定律是矢量式，它有三个分量，各分量可以分别 守恒。 例： 当 Mx = 0，则 Lx = 常量
Fi
1.质点系的角动量定理 mi ri rj L Li ri p f ij i i f ji mj d Li ri ri ( Fi f ij ) rj dt i j Fj O dL ri ( Fi f ij ) M 外 M 内 dt i i j M M i内 = (ri f ij ) M 外 M i外 ri Fi 内
匀变速定轴转动
1 2 x x0 v0t at 2 2 v 2 v0 2a( x x0 )
v v0 at
1 2 0 0t t 2 2 2 0 2 ( 0 )
0 t
24
5.4 定轴转动刚体的角动量定理
1.用角量描述 角坐标 (t ) 角位移
转动平面
B
vA
5.2质点系的角动量定理Angularmomentumtheoremofa
外力对于O 点的角冲量
角冲量-角动量定理：
作用在质点系上的外力在一段时间间 隔内的角冲量等于质点系角动量在这 段时间间隔内的改变量
2008年12月2日 8:00-9:50
5.2 质点系的角动量定理
21
力学(Mechanics) 第五章 角动量
Angular momentum
5.3 质点系的角动量定理
v1
m1 m r1 r 2
O
2
质点相对于惯性参考系的速度: vi 合外力: Fi
mn rn
v2
vn
合内力:
fi fi1 fi 2
fi (i 1) fi (i 1)
f in f ij
j 1 j i
n
2008年12月2日 8:00-9:50
2008年12月2日 8:00-9:50 5.2 质点系的角动量定理 15
5.2.3 角动量定理 导出作用在质点系上的力矩与质点系的角动量间的关系：
•对于质点系中的第i个质点
M O i ( M O i )ext ( M O i )int dLO i dt
O:固定参考点
•对n个质点求和:
• 如果作用在质点系上的所有外力满足以下条件：
具有相同的方向；
Fi mi
例: 惯性力: -mi a ˆ 重力 : m gk i
则外力的合力矩等于作用在质点系的质心上的合外力的 力矩.
( M O i )ext ri Fi rC Fi
2008年12月2日 8:00-9:50 5.2 质点系的角动量定理 12
由于F 与 r1 r2 平行，因此
M OF 0
F
m1 r1 r2 m2
角动量的时间变化率力矩续
使用转动惯量推导
通过分析转动惯量与角速度的关系，我们可以使用 转动惯量推导出角动量定理。
使用微积分基本定理推导
通过微积分基本定理，我们可以将力在时间 上的累积效果表示为积分形式，从而推导出 角动量定理。
04
力矩与角动量的关系
力矩与角动量的联系
力矩是改变物体角动量的原因，是角 动量变化的量度。
力矩等于转动惯量与角加速度的乘积， 即M=Iα。
详细描述
在物理学中，角动量的时间变化率力矩是理解物体转动运动规律的重要工具，如陀螺仪、 行星运动等。在工程学中，它被用于设计旋转机械、分析旋转结构的动力学特性等。在 天文学中，角动量的时间变化率力矩对于理解天体的运动规律和演化过程也具有重要意
义。
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表示旋转物体惯性力矩的量
角动量的大小表示物体转动惯性的大小，即物体抵抗自身转 动的能力。
与力矩的关系
力矩是改变物体角动量的原因，力矩的方向垂直于力和转动 轴的平面。
角动量的守恒定律
角动量守恒定律
在没有外力矩作用的情况下，一个封 闭系统的总角动量保持不变。
应用场景
在航天、航空、航海等领域，角动量 守恒定律对于理解飞行器姿态变化、 卫星轨道稳定性和船舶航行稳定性等 方面具有重要意义。
总结词
角动量的时间变化率力矩是指物体转动 时，由于外力矩作用而产生的角动量时间变化率力矩描述了物体转动 过程中，由于受到外力矩作用而产生的角 速度变化量。它是一个矢量，其大小等于 外力矩与转动惯量的乘积，方向与外力矩 方向相同。
角动量的时间变化率力矩的公式
总结词
角动量的时间变化率力矩的公式为 dL/dt = M，其中dL/dt表示角动量的时间变化率， M表示外力矩。
05角动量及其规律
ˆ 方向相同， ˆ 方向相反， 方向： 方向：若与 k 方向相同，则 Lz > 0 ；若与 k 方向相反，则 Lz < 0
5
练习：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为 ， 练习：在图示情况下，已知圆锥摆的质量为m， 速率为v，求圆锥摆对 点 点 速率为 ，求圆锥摆对o点,o'点,oo'轴的角动量 轴的角动量 • 在讨论质点的角动量时，必须指明是对那点或 在讨论质点的角动量时， 那个轴的角动量
12
例2：应用角动量守恒解释花样滑冰、芭蕾舞演 ：应用角动量守恒解释花样滑冰、 员的旋转现象。 员的旋转现象。
可用茹可夫斯基凳的实验现象说明: 可用茹可夫斯基凳的实验现象说明 重力对转轴的力矩为零， 重力对转轴的力矩为零，人两臂从 伸开到收回的过程中， 伸开到收回的过程中，人对转轴的 2 角动量守恒： 角动量守恒： mi vi ri = ω ∑ mi ri = C ∑ ri变小，ω增大；ri增大，ω变小 变小， 增大 增大； 增大， 变小
= ( ri − r j ) × f ij = rij × f ij = 0 ∴ ∑ τ 内 = 0
ri
o
rj
10
㈡ 结论
⒈质点系对点的角动量定理
作用于质点系的外力对某点的力矩之和， 作用于质点系的外力对某点的力矩之和，等于质点系对 d 该点的角动量对时间的变化率， 该点的角动量对时间的变化率，即 ∑ τ 外 = dt ( ∑ L)
解：把盘、重物、胶泥视为质点系，在胶泥与 把盘、重物、胶泥视为质点系， 盘的碰撞过程中，绳的拉力， 盘的碰撞过程中，绳的拉力，盘与重物所受的重力 对o轴的力矩之和始终为零，忽略胶泥所受重力，所以 轴的力矩之和始终为零，忽略胶泥所受重力， 轴的力矩之和始终为零 质点系在碰撞过程中对o轴的角动量守恒 质点系在碰撞过程中对 轴的角动量守恒 胶泥碰前速度 v0 = 2 gh ，设碰撞后质点系获得的共 同速度为v 同速度为 ，据角动量守恒 m' 2 gh R = (m'+ m)vR + mvR m' 2 gh 即 m' 2 gh = ( m'+2m )v* ∴ v = m'+2m 讨论：质点系动量是否守恒？ 讨论：质点系动量是否守恒？ 方程*并不表示动量守恒 若动量守恒，应写成： 并不表示动量守恒， 方程 并不表示动量守恒，若动量守恒，应写成： m' 2 gh = ( m + m' )v − mv = m' v , v = 2 gh = v 0
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解得：
a
(
m
mgs
1 2
M
)l
§5.3 角动量定理
一、角动量定理的微分形式
1.质点 由 ：dL
r
F
M
dt
得：dL M dt
2.质点由系：dL＝M dt
外
得：dL M外dt
3.定轴刚体
由 ：M 轴
J
J
d
dt
得：Jd M轴d t
二、角动量定理的积分形式
瞬时
微分
效应
形式
质点
M
dL
dL Mdt
dt
质点系
M外
dL dt
dL M外dt
积分形式 （有限时间过程）
t2
M
dt
L2dL
L
t1
L1
t2
t1
M外dt
L2dL
L
L1
定轴 刚体
M轴 J
Jd M轴d t
t2 M轴dt t1
2 Jd
1
J
注意
1. 力矩对时间的积累：角冲量（冲量矩）
t 2
定义： 2.比较：
用电子在外磁场中的旋进解释物质 f
的磁化的本质；
…...
Байду номын сангаас
v
rc
mg
录像片：1－2－9 角动量守恒定律 10分钟
m2 g
m1 : 向下为正 m1g T1 m1a1 ( 1 ) m2 : 向上为正 T2 m2 g m2a2 ( 2 )
思考：
a1 a2 ? T1 ×T2 ?
N
+
r
滑轮 m：以顺时针方向为正方向
T1r
T2r
J
1 mr2
2
(3)
T2 m g
T1
四个未知数：a1 a2 a, T1 , T2 ,
同 学 们 好
上讲 §5.1 角动量 转动惯量
1.角动量
质点
L r p r mv
质点系 L rc Mv c ri mivi L轨道 L自旋
i
定轴刚体 Lz ri2mi J
i
*必须指明参考点，角动量才有实际意义。
2. 转动惯量
J ri2mi
i
J r 2dm
m
A
M
r o
B
CB
CA x2 B
s
A x1
x
T1
. CA
＋
mAg
T2 ＋
CB .
mBg
＋
A
J
o
r
B
T2 T1
mA g T1 mAa
T2 mB g mBa
T1r T2r Jβ
J
JM
J AB
1 2
Mr 2
m AB r 2
m
A
M
r o
B
CB
CA x2 B
s
A x1
x
又： a r
s x1 x2
旋进角速度： Ω d dL M
dt Lsin dt Lsin
( )
3.车轮的旋进
o
Ω
o
L
L
dL
M
讨论：•改变 的方向，旋进方向是否改变？
•改变配重 G ，对旋进有什么影响？ •用外力矩加速（或阻碍）旋进，会发生 什么现象？
1. 2. 3
4、炮弹的旋进
5、旋进现象在自然界广泛存在：
地球的旋进；
F21
m
2
r2
F23 F32
F31 m3
r3 F3外
dL dt
d dt
(L1
L2
LN )
质点角动量的时间 变化率
dLi dt
ri Fi
Mi
dL1 dt dL2 dt
M1外 M1内
M 2外 M 2内
dLN dt
M N外 M N内
两边求和得
d
dL
dt
i
Li
dt
M i外 M i内
i
i
?
由图可知
Mi内 0
i
o r2 r1 d
f12
1
m1
f 21
2
m2
于是
dL
dt M 外 i ri Fi外
质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受 外力矩的矢量和 (合外力矩 )
注意1： 合外力矩 M外 是质点系所受各外力矩的
矢量和，而非合力的力矩。
注意2：质点系内力矩的作用
0
2
得
2m k L2 ,
2m rdr dm L2
dm
2m rdr L2
df dm g 2m g
L2 rdr
dM rdf
z
r
df
o
dm
M
dM
L 0
2m g
L2
r 2dr
2 3
m gL
实际意义
f
f
r
oR
等效
z
df o
dm
r
半径 R ，质量 m 的匀质圆盘，与桌
面间摩擦系数 µ，
积分元的选取 积分限的确定
§5.2 角动量的时间变化率 力矩(续)
一、由质点：角L动=量r的×时p 间变化率dL
r
F
dt
二、力矩
1. 对参考点的力矩： M r F
质点角动量的时间变化率等于质点所受的合力矩
2. 对z轴的力矩:对参考点的力矩在z轴上的投影。
M z xFy yFx Mz r F
求摩擦力矩
简化模型：
长 R ，线密度 kr
总质量 m 的细杆
四. 刚体定轴转动定律
dL
M外 dt
Mz
dLz dt
由 Lz J
得
Mz
=
dLz dt
=
d dt
(Jω) =
J
dω dt
=
Jβ
Mz J 刚体定轴转动定律
力矩的瞬时效应是产生角加速度
比较
F ma －矢量式
Mz
J
－标量式
F 改变物体平动状态的原因
三个方程 ？
绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：
a r
(4)
解得 m1 m2 g
m1
m2
1 2
m
r
0
t
m1 m2 gt
m1
m2
1 2
m
r
练习1.
半径如m为图示。，已两知物体r 与质桌量面分间别m的为2滑m和动1摩擦，m系滑2 数轮为质量，为求 ，
下落的加速度m和1两段绳中的张力。
m2
ro m
m1
解：在地面参考系中，选取m1、m和2 滑轮为研究对
象，分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得：
T1
m1
a
m1 g
Na
m2 g m2
T2
m2 g
T2
Ny
o
Nx
向里+
T1
列方程如下： 可求解
m1 g T1 m1a
T2 m2 g m2a
( T1
T2
)r
1 2
m r2
a r
例2. 质量为 M 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定 光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为 m、长为 l 的匀质柔软绳 索（如图）。设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧绳长差 为 s 时，绳的加速度的大小。
mg L ， 的大小，
只改变 L 的方向。
使陀螺绕竖直轴旋转——旋进
L
rc
o
mg
M rc mg L
d
dL
L L
o
M
dL
dt
dL L
d
L
o
Ω d
dt dL L
重力矩始终不改变角动量的大小，只改变角动量的方 向。形成角速度矢量不断向外力矩方向靠拢的趋势。
最终效果：陀螺绕竖直轴旋转——旋进
1.回转仪实验： 如图所示的杠杆陀螺
仪。当陀螺仪高速旋转
时，移动平衡物B，杆
不会倾斜，而是在水平
面内绕O旋转。这种运
动称为旋进运动，它是 在外力矩作用下产生的 回转效应。
2.陀螺 o
(1) 若L 0 在重力矩
时： rc
m
g
作用下，
陀螺将绕垂直于黑板的轴转动，
即倒地。
（2）当 L 0 时：
重将力不矩改变rcL
m 是物体平动惯性的量度。
M z 改变物体绕轴转动状态的原因
J 是物体转动惯性的量度。
F ma
Mz J
平动问题 刚体定轴转动问题
地位相同
例1: 一定滑轮的质量为 m，半径为 ，r一轻绳两边
分别系 和 m两1 物m体2挂于滑轮上，绳不伸长，绳与
滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度为零， 求滑轮转动角速度随时间变化的规律。
m
A
M
r o
B
x2 B
A x1 s
x
解：在地面参考系中，建立如图 x 坐标，设绳两端坐标分别为x1，x2， 滑轮半径为 r 有：
l AA AB BB x1 x2 r
m mAA l x1 ,
m mBB l x2 ,
mAB
m l
r
s x1 x2
用隔离法列方程：（以逆时针方向为正）
m
r
已知：
m , m1 , m2 , r , 0 0
求： t ?
m2
思路：
m1 质点平动与刚体定轴转动关联问题
十六字诀
先求角加速度
解：在地面参考系中，分别以 m1 , m2 , m