高中数学-两点间的距离
高一数学空间两点间的距离公式
理论迁移
例1 在空间中，已知点A(1, 0, -1)，B (4, 3, -1)，求A、B两点之 间的距离. 例2 已知两点 A(-4, 1, 7)和 B(3, 5, -2)，点P在z轴上，若 |PA|=|PB|，求点P的坐标.
例3 如图，点P、Q分别在棱长 为1的正方体的对角线AB和棱CD上运 动，求P、Q两点间的距离的最小值， 并指出此时P、Q两点的位置.
z B
| OA |=
x + y
2
2
2
C
O
y
x
A
| OB |=
y + z ,
2
| OC |=
x + z
2
2
思考3:在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在xOy平面上的射影为 M，则点M的坐标是什么？|PM|,|OM| 的值分别是什么？
M(x,y,0)
z O P y x M
|PM|=|z|
| OM |=
z A P O M N B D Q C y
x
作业: P138练习：1，2，3，4.
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道没有送年丫鬟回府？”“回爷，您，您是说……”秦顺儿心中这叫壹个叫苦不迭：爷没说要自己亲自护送年丫鬟回年府啊？爷怎么壹遇到 年丫鬟的事情就这么小题大做？难道这就是主子们常说的，关心则乱？第壹卷 第105章 平安王爷对秦顺儿办差不力极为不满！虽然他确实 没有明示过要他亲自护送，可是这奴才不是壹直很机灵吗？怎么这么点儿事儿都想不到？天色已晚，这壹路上连个护送的人都没有，只有两 个手无缚鸡之力的丫鬟丫环，他怎么能放心得下？秦顺儿这差事怎么越办越糊涂了？秦顺儿眼见着爷的脸色由惊异万分转眼间就变得怒上心 头，壹看大势不好，赶快跪了下来：“爷请息怒，爷请息怒，奴才这就差人去年府打探壹下，壹会儿就给您报个平安回来。”“你还差什么 人，你还不亲自去办？还杵在这里干什么？还不赶快滚！”秦顺儿赶快退了下去，思前想后，他还是叫来了壹个小太监，两人片刻未停，急 奔年府。按照秦顺儿的安排，由小太监壹个人先出面，扣响了年府的大门。而秦顺儿自己则躲在远远的地方，静观情形变化。年府的看门家 仆听到扣门声，忙不迭打开门，抬眼壹看，居然是个太监，诧异不已：“请问，这位公公是？”“本公公是雍亲王府的，奉侧福晋的吩咐， 前来寻问壹声，贵府丫鬟是否已经回来，侧福晋放心不下，特差本公公前来询问。”“噢，公公是侧福晋派来的啊。麻烦您给侧福晋回个话 儿，我家丫鬟已经回府了，壹切都好，让侧福晋不要挂念。”“好，知道了，告辞。”“公公请留步，待小的回去禀报壹下，请公公上座， 歇口气，喝口茶。”“不用，不用，知道平安就好，侧福晋还急着等本公公的回信呢。”“公公来府，也不小坐壹番，连口茶也不喝，府里 实在是惭愧。”“不必客气，本公公确实有急事在身，告辞了。”得到年丫鬟平安回了年府的消息，秦顺儿这颗心总算是踏实了下来，不过 吃壹堑长壹智，经此壹事，秦顺儿充分认清了这个年丫鬟在爷心目中的地位，并暗下决心，以后只要是年丫鬟的事情，壹定要精着十二万分 的心，切不可再有闪失。壹听到屋外的脚步声，王爷立即从书上抬起了眼睛，果然是秦顺儿，他想也没想，呼地壹下子站起了身：“怎么样？ 平安回去了？”“回爷，年丫鬟妥妥当当地回府了。”“你怎么打探的？”“奴才问了年府看门的家仆，就说侧福晋放心不下年丫鬟，差奴 才去问壹声。”听着秦顺儿的回复，王爷的这颗心总算是踏实下来，继而对秦顺儿这么机灵地办差很是赏识，总算是将功补过。于是心情大 好的他又顺口问了壹句：“刚才年丫鬟在怡然居的时候，侧福晋都说了些什么？”“回爷，侧福晋说的，奴才都听不懂。”“噢？侧福晋说 的难道不是人话吗？怎么你这奴才连人话都
高中数学人教A版 选择性必修第一册 两点间的距离公式 课件
勾股定理推导两点间距离公式吗？与向量法比较，你有什么体会？
y
P2
x
O
∟
P1
A
探究新知
追问4 ：如何求 1 2 ？
y
P2
x
O
∟
P1
A
探究新知
追问5：如果直线 与坐标轴平行，或在坐标轴上，两点间距离是否满足
经典例题
题型一
两条直线的交点问题
跟踪训练1
(1)若两直线 2x＋3y－k＝0 和 x－ky＋12＝0 的交点在 y 轴上，则 k＝________；
(2)求经过点 P(1,0)和两直线 l1：x＋2y－2＝0，l2：3x－2y＋2＝0 交点的直线方程.
k
k
(1)在 2x＋3y－k＝0 中，令 x＝0，得 y＝3，将(0，3)代入 x－ky＋12＝0，解得 k＝±6.
课堂小结
已知平面内两点 , ， , ，能否说出两点间的距离
公式？
y
P2
能否描述这句话对应的几何图形？
2 −1
证明两点间距离公式的基本方法
x
O
P1
2 − 1
A
课堂小结
回归两道例题的求解过程，总结它们的共同点，谈一谈你的感受？
几何
代数
坐标
几何
随堂检测
1.求下列两点间的距离:
跟踪训练2
(1)已知点 A(－1,2)，B(2， 7)，在 x 轴上求一点 P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值.
(2)已知在等腰梯形 ABCD 中，AB∥DC，对角线为 AC 和 BD.求证：|AC|＝|BD|.
解：
2.3.2两点间的距离公式(教学课件)-高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册
两条小路AC与DM相互垂直?若存在，求出小路DM的长.
解：以B 为坐标原点，BC,BA 所在直线分别为 x 轴 、y 轴建立如图所示的 平面直角坐标系.
因为 |AD|=5 m,|AB|=3 m,所 以C(5,0),D(5,3),A(0,3). 设点M 的坐标为(x,0),
解得
5.光线从点A(-3,4)射到x轴上，经反射后经过点B(4,10),则反 射光线所在直线的方程为 2x-y+2=0 ,光线从A到B的路线长 度为7√5 解析：由题意知，反射光线过(-3,-4)和(4,10)两点，故斜率为
所以反射光线为 y+4=2(x+3),整理得2x-y+2=0,
光线从A到 B 的路线长度，即为(-3,-4)与(4,10)间的距离，所
[例2] 已知点A(3,6), 在x轴上的点P与点A的距离等于 10,则点P的坐标为(-5,0)或(11,0) 解析：设点P 的坐标为(x,0),
由 |PA|=10得
解得x=11 或x=-5. 所以点P 的坐标为(-5,0)或(11,0).
解 ：法一 因 为
所以|AB|=|AC|,且 |AB|²+|AC|²=|BC|²,所以△ABC是等腰直角三角形.
法二 因 为 所以kAc ·kAB=-1.所以AC⊥AB.
所以|AC|=|AB|.所以△ABC是等腰直角三角形.
方法 总 结
利用两点间距离公式判断三角形形状的方法 已知三个顶点的坐标判断三角形的形状时，利用两点间的距离公式 求三边长，从边长间的关系入手，如果边长相等，则可能是等腰或等 边三角形；如果满足勾股定理，则是直角三角形.
C.直角三角形 D.以上都不是
高一数学两点间的距离
例题分析
例3 已知点A(1,2), B(2, 7),在x轴上求一点P,使 得 | PA|| PB |,并求| PA|的值.
解：设所求点为P(x,0)，于是有
|PA| (x1)2 (0 2)2 x2 2x 5 |PB| (x 2)2 (0 7)2 x2 4x11
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修2
3.3.2《两点间的距离》
教学目标
• 使学生掌握两点间距离公式的推导，能 记住公式，会熟练应用公式解决问题， 会建立直角坐标系来解决几何问题，学 会用代数方法证明几何题。
• 教学重点：两点间距离公式及其应用。 • 教学难点：例4的教学是难点。
两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y22
o
x
y
P2
P1
o
x
| P1P2 || x2 x1 |
| P1P2 || y2 y1 |
练习
1、求下列两点间的距离：
(1)、A(6，0),B(-2，0) (2)、C(0，-4),D(0，-1) (3)、P(6，0),Q(0，-2) (4)、M(2，1),N(5，-1) (5)、A(2, 4),B(2, -7) (6)、C(-2, -8),D(-2, 7) (7)、O(0, 0),P(3, 4) 2.已知点A(a, -5)与B(0, 10)间的距离是17,求a的值.
由|P A||P B|得 x2 2x 5 x2 4x11
解得x=1，所以所求点P(1,0)
|PA| (11)2 (0 2)2 2 2
练习
2、求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的坐标； 3、已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5)间的 距离等于10，求点P的纵坐标。
高中数学两点间的距离公式两条平行直线间的距离课件新人教A版选择性必修第一册
证:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.
证明 如图,以BC的中点为原点O,BC所在的直线为x轴,建立直角坐标系.设
A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b).
则|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,
|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,
或 c=-9(舍),
-3
则
=
-3-3
=-2.故选
3
A.
|3+|
32 +32
= √2,解得 c=3
规律方法 两条平行线间的距离的求法
(1)化为一般式,且两条平行线方程中x,y的系数化为相同的,代入两条平行
线的距离公式.
(2)一条直线上任取一点,求该点到另一条直线的距离.
变式训练3
已知直线l1与l2:x+y-1=0平行,且l1与l2的距离是 √2 ,求l1的方程.
第二章
2.3.2 两点间的距离公式
2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行直线间的距离
课标要求
1.掌握平面上两点间的距离公式.
2.掌握点到直线的距离公式.
3.会求两条平行直线间的距离.
4.会运用坐标法证明简单的平面几何问题.
内
容
索
引
01
基础落实•必备知识全过关
02
重难探究•能力素养全提升
规律方法 两点间距离公式的应用
两点间的距离公式是解析几何的重要公式之一,它主要解决线段的长度问
题,体现了数形结合思想的应用.
变式训练1
已知点A(-3,4),B(2, √3 ),在x轴上找一点P,使|PA|=|PB|,并求|PA|的值.
高中数学空间两点间的距离公式
4.3.2空间两点间的距离公式【知识提炼】空间中两点间的距离公式(1)一般情况:已知点P1(x1,y1,z1)与点P2(x2,y2,z2),则|P1P2|=__________________________.(2)特殊情况:点P(x,y,z)到原点的距离公式是:|OP|=____________.【即时小测】1.思考下列问题:(1)平面上两点间的距离公式是空间两点间距离公式的特例吗? 提示:是.当z1=z2=0时,点P1(x1,y1,z1),点P2(x2,y2,z2)都在坐标平面xOy上,空间两点间的距离成为平面上两点间的距离.(2)将距离公式中的两点的坐标互换,结果怎样?提示:不变.互为相反数的平方相等,故结果不变.2.在空间直角坐标系中,点A(1,0,1)与点B(2,1,-1)间的距离为()A. B. C.2 D.6【解析】选B.3.点M(1,2,3)到原点的距离为()A.6B.C.14D. 【解析】选D.4.点A(2,1,-4)到y轴的距离为. 【解析】点A(2,1,-4)到y轴的距离为答案:5.点P(1,2,3)与Q(1,-1,m)两点间的距离为,则m= .【解析】由于解得m=1或m=5. 答案:1或5【知识探究】知识点空间两点间的距离观察图形,回答下列问题:问题1:空间两点间的距离公式与平面内两点间的距离公式有何联系? 问题2:求空间两点间的距离问题的关键是什么?【总结提升】1.对空间两点间距离公式的两点说明(1)空间两点间的距离公式是平面上两点间距离公式的推广,它可以求空间直角坐标系下任意两点间的距离,其推导过程体现了化空间为平面的转化思想.(2)若已知两点坐标求距离,则直接代入公式即可;若已知两点间距离求参数或点的坐标时,应利用公式建立相应方程求解.2.空间两点间距离的求解(1)求空间两点间的距离问题就是把点的坐标代入距离公式进行计算, 其中确定点的坐标或合理设出点的坐标是关键.(2)若所给题目中未建立坐标系,需结合已知条件建立适当的坐标系, 再利用空间两点间的距离公式计算.【拓展延伸】两点间的距离公式的推导与证明(1)推导思路:求线段长度常常放在三角形中,根据各坐标分量的几何意义构造三角形来求解,即通过构造辅助平面,将空间问题转化到平面中处理.(2)证明方法:运用了由特殊到一般的方法,过程中运用到线面垂直、线线垂直的相互转化.【题型探究】类型一求空间两点间的距离【典例】1.(2015·长春高一检测)已知点A(x,1,2)和点B(2,3,4),且|AB|=2,则实数x的值是 ()A.-3或4B.6或2C.3或-4D.6或-22.(2015·兰州高一检测)点A(1,2,-1),点C与点A关于面xOy对称,点B与点A关于x轴对称,则|BC|的值为.3.如图所示,直三棱柱ABC-A1B1C1中,|C1C|=|CB|=|CA|=2,AC⊥CB,D,E分别是棱AB,B1C1的中点,F是AC的中点,求DE,EF的长度.【解题探究】1.典例1中可以应用哪个公式建立等式求解x的值?提示:利用空间两点间的距离公式建立等式求解即可.2.典例2中点C与点A关于平面xOy对称,则点的坐标有何关系?提示:横坐标和纵坐标分别对应相同,竖坐标互为相反数.3.典例3中如何建立空间直角坐标系?提示:以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.【解析】1.选D.因为解得x=6或x=-2.2.点A关于面xOy对称的点C的坐标是(1,2,1),点A关于x轴对称的点B的坐标是(1,-2,1),故答案:43.以点C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.因为|CC1|=|CB|=|CA|=2,所以C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0), C1(0,0,2),B1(0,2,2),由中点坐标公式可得,D(1,1,0),E(0,1,2),F(1,0,0),所以【方法技巧】求空间两点间距离的关键及方法(1)关键:求空间两点间的距离时,一般使用空间两点间的距离公式,应用公式的关键在于建立适当的坐标系,确定两点的坐标.(2)方法:确定点的坐标的方法视具体题目而定,一般说来,要转化到平面中求解,有时也利用几何图形的特征,结合平面直角坐标系的知识确定.【补偿训练】(2015·安康高一检测)在空间直角坐标系中,正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A的坐标为(3,-1,2),其中心M的坐标为(0,1,2),则该正方体的棱长为.【解题指南】利用对称性求出点C1的坐标是解答本题的关键.【解析】由A(3,-1,2),中心M(0,1,2),所以C1(-3,3,2).正方体体对角线长为|AC1|=所以正方体的棱长为答案:类型二求空间点的坐标【典例】1.(2015·大理高一检测)已知点A(4,5,6),B(-5,0,10),在z轴上有一点P,使|PA|=|PB|,则点P的坐标是.2.已知点A(1,1,0),对于Oz轴正半轴上任意一点P,在Oy轴上是否存在一点B,使得PA⊥AB成立?若存在,求出B点的坐标;若不存在,说明理由.【解题探究】1.典例1中在z轴上点P的坐标应如何设出?提示:由于点P在z轴上,可设点P(0,0,z).2.典例2中若PA⊥AB,则会得到AB与平面POA有怎样的位置关系?又会得出AB与OA有怎样的关系?提示:若PA⊥AB,又OP⊥AB,故AB⊥平面POA,由此可得AB⊥OA.【解析】1.设点P(0,0,z),则由|PA|=|PB|,得解得z=6,即点P的坐标是(0,0,6).答案:(0,0,6)2.如图,若PA⊥AB成立,则AB⊥平面POA,所以AB⊥OA,设B(0,y,0),则有OA=,|OB|=y,|AB|=由OB2=OA2+AB2,得y2=2+1+(y-1)2,解得y=2,所以存在这样的点B,当点B为(0,2,0)时,PA⊥AB成立.【延伸探究】1.(改变问法)典例1中已知条件不变,问能否在z轴上存在一点P,使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形?【解析】假设存在一点P(0,0,z),使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形,即|PA|=|PB|,得解得z=6,即点P的坐标是(0,0,6).故能存在一点P(0,0,6),使得△ABP是以AB为底边的等腰三角形.2.(变换条件)典例1中“在z轴上”改为“在y轴上”,其他条件不变,又如何求解?【解析】设点P(0,y,0),则由|PA|=|PB|,得解得即点P的坐标是答案:【方法技巧】由空间两点间距离求点的坐标的方法(1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置,则可直接设出该点坐标,利用待定系数法求解点的坐标.(2)若已知一点到两个定点的距离之间的关系,以及其他的一些条件, 则可以列出关于点的坐标的方程进行求解.【补偿训练】(2015·泸州高一检测)给定的空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点Q(1,2,3)的距离为则P点的坐标为 . 【解析】设点P的坐标是(x,0,0),由题意得,即解得x=3或x=-1.答案:(3,0,0)或(-1,0,0)【延伸探究】1.(改变条件)给定的空间直角坐标系,在x轴上找一点P,使它与点Q(1,2,3)的距离和点M(-1,0,-1)的距离相等,则P点的坐标又如何求解?【解析】设点P的坐标是(x,0,0),由题意得,解得x=3.所以点P的坐标为(3,0,0)2.(变换条件)本题中“在x轴上”改为“在y轴上”,其他条件不变,又如何求解?【解析】设点P的坐标是(0,y,0),由题意得,解得或所以点P的坐标为(0,2+,0)或(0,2-,0)类型三空间两点间距离公式的应用【典例】1.(2015·贵阳高一检测)已知A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3),则△ABC的形状是().A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形2.(2015·柳州高一检测)在正四棱锥S-ABCD中,底面边长为a,侧棱长也为a,以底面中心O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,P 点在侧棱SC上,Q点在底面ABCD的对角线BD上,试求P,Q两点间的最小距离.【解题探究】1.典例1中由三点的坐标,怎样判断三边的关系?提示:可利用两点间的距离公式,分别求出三边的长度,通过三边的关系来进一步判断其形状.2.典例2中怎样表示出PQ的长度?提示:求出P,Q的坐标,利用两点间的距离公式表示PQ的长度.【解析】1.选A.因为A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3),所以所以|AC|=|BC|,所以△ABC是等腰三角形.2.由于S-ABCD是正四棱锥,所以P点在底面上的射影R在OC上,又因为底面边长为a,所以|OC|=而侧棱长也为a,所以SO=OC,于是PR=RC,故可设P点的坐标为(-x,x,)(x>0),又因为Q点在底面ABCD的对角线BD 上,所以可设Q点的坐标为(y,y,0),因此P,Q两点间的距离为显然当x= y=0时|PQ|取得最小值,|PQ|的最小值等于这时,点P恰好为SC 的中点,点Q恰好为底面的中心.【延伸探究】若将题1三点改为A(2,1,1),B(1,1,2),C(2,0,1),则△ABC的形状是什么?【解析】所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,所以△ABC是直角三角形.【方法技巧】空间两点间的距离公式在几何中的应用利用空间两点间的距离公式,将空间距离问题转化为二次函数的最值问题,体现了数学上的转化思想和函数思想,此类题目的解题方法是直接设出点的坐标,利用距离公式就可以将几何问题代数化,分析函数即可.【补偿训练】1.已知A(2,m,m),B(1-m,1-m,m),则|AB|的最小值为,此时A点与B点的坐标为.【解题指南】将|AB|利用距离公式,转化为二次函数,求二次函数的最小值.【解析】所以当时,|AB|取得最小值此时A,B坐标为答案:2.如图所示,正方体棱长为1,以正方体的同一顶点上的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系Oxyz,点P在正方体的对角线AB上,点Q在正方体的棱CD上.当点P为对角线AB的中点,点Q在棱CD上运动时,求|PQ|的最小值.【解题指南】求出P,Q的坐标,利用两点间的距离公式表示PQ的长度.【解析】依题意设点Q(0,1,z),则所以当时,|PQ|min=此时Q恰为CD的中点.易错案例利用两点间的距离公式求点的坐标【典例】(2015·惠州高一检测)在空间中,已知点A(-1,-1,2),点B 是平面xOy内的直线x+y=1上的动点,则当A,B两点的距离最短时,此时点B的坐标是______________.【失误案例】【错解分析】分析解题过程,你知道错在哪里吗?提示:错误的根本原因在于未能正确地利用直线方程设出点B的坐标.【自我矫正】因为点B在平面xOy内的直线x+y=1上,故可设点B(x,-x+1,0),所以所以当时,|AB|取得最小值此时点答案:【防范措施】1.借助点的特征巧设点的坐标如果点位于坐标轴、坐标平面、某条直线上等特殊位置,依据特征设点,可方便运算.如本例中点在平面xOy内的直线x+y=1上,故设点时借助这一性质将距离表示为关于一个变量x的函数,易于求出最小值.。
新教材2023版高中数学第一章 第1课时两点间的距离公式课件北师大版选择性必修第一册
要点二 坐标的方法 坐标的方法又称解析法，根据图形特点，建立适当的直角坐标系， 利用坐标解决有关问题，即用坐标代替点，用方程代替曲线，用代数 的方法研究平面图形的几何性质．
[基础自测] 1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)原点O到点P(x，y)的距离为|OP|＝ x2 + y2.( √ ) (2)平面内两点间的距离公式与坐标顺序有关．( × ) (3)平面内任意两点间的距离均可使用两点间的距离公式．( √ )
则|AB|＝ 4 − 2 2 + −5 + 3 2＝2 2.故选C.
2．以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的三角形是( ) A.直角三角形 B．等腰三角形 C.等边三角形 D．等腰直角三角形
答案：B 解析：|AB|＝ 17，|AC|＝ 17，|BC|＝3 2，|AB|＝|AC|，故选B.
7 5
，
−
18 5
.
题型三 运用坐标法解决平面几何问题 例3 在△ABC中，AD是BC边上的中线，求证： AB 2 + AC 2 ＝ 2(|AD|2＋|DC|2)．
证明：设BC所在边为x轴，以D为原点，建立坐标系，如图所 示，设A(b，c)，C(a，0)，则B(－a，0)．
∵|AB|2＝(a＋b)2＋c2， |AC|2＝(a－b)2＋c2，|AD|2＝b2＋c2， |DC|2＝a2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2(a2＋b2＋c2)， |AD|2＋|DC|2＝a2＋b2＋c2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AD|2＋|DC|2)．
(2) 直 线 2x ＋ my ＋ 2 ＝ 0(m≠0) 与 两 坐 标 轴 的 交 点 之 间 的 距 离 为 ________．
答案：(2) 1 + m42(m≠0)
2025版新教材高中数学第2章两点间的距离公式pptx课件新人教A版选择性必修第一册
必备知识•探新知
知识点 1 两条直线的交点
1．两直线的交点 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0.点A(a，b)． (1)若点A在直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，则有_A__1a_＋__B_1_b_＋__C_1_＝__0____.
对点训练❷ (1)若不论m取何实数，直线l：mx＋y－1＋2m＝ 0恒过一定点，则该定点的坐标是_____(－__2_,_1_)_____.
(2)直线l过直线x＋y－2＝0和直线x－y＋4＝0的交点，且与直线3x－ 2y＋4＝0平行，求直线l的方程．
[解析] (1)直线 l：mx＋y－1＋2m＝0 可化为 m(x＋2)＋(y－1)＝0，
一组
无数组
直线 l1 与 l2 的公共点的个数 直线 l1 与 l2 的位置关系
一个 __相__交___
__无__数__个___ 重合
__无__解___
零个 __平__行___
做一做：直线x＋y＝5与直线x－y＝3交点坐标是( B )
A．(1,2)
B．(4,1)
C．(3,2)
D．(2,1)
[解析] 解方程组xx－＋yy＝＝35，， 得xy＝ ＝41， ， 因此交点坐标为(4,1)，故
两点间距离公式的应用
3．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3,1)，B(3，－3)， C(1,7)，试判断△ABC的形状．
[分析] 可求出三条边的长，根据所求长度判断三角形的形状．
[解析] 方法一：∵|AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， |AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |BC|＝ 1－32＋7＋32＝ 104， ∴|AB|＝|AC|，且|AB|2＋|AC|2＝|BC|2. ∴△ABC 是等腰直角三角形． 方法二：∵kAC＝1－7－－13＝32，kAB＝3－－3－ －13＝－23，∴kAC·kAB＝－1. ∴AC⊥AB. 又|AC|＝ 1＋32＋7－12＝ 52， |AB|＝ 3＋32＋－3－12＝ 52， ∴|AC|＝|AB|.∴△ABC 是等腰直角三角形．
高一数学空间两点间的距离公式
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z B
| OA |=
x +y
2
2
2
C
O
y
x
A
| OB |=
y + z ,
2
| OC |=
x +z
2
2
思考3:在空间直角坐标系中，设点 P（x，y，z）在xOy平面上的射影为 M，则点M的坐标是什么？|PM|,|OM| 的值分别是什么？
M(x,y,0)
z O P y x M
|PM|=|z|
| OM |=
z A P O M N B D Q C y
x
作业: P138练习：1，2，3，4.
; / 设计圈
vzf73wcu
了，一心想着要去码头上做事。乔氏拗不过，只好随他。于是，白百大把菜地全部转卖出去之后，就高高兴兴地去码头上做货船押运的活计去 了。这不，到现在已经做了三年多了，而且越做越喜欢。乔氏呢，也不愿意闲着，就重新拾起了姆妈当年亲手教给她的刺绣手艺。小青日渐长 大了，也很喜欢这个技艺，而且比姆妈还心灵手巧。于是，母女俩就不断地做一些精美的绣品，积攒多了就请一家熟悉的绣品专卖店铺帮助推 销出去。然而事实上，这幸福善良的白家也有不遂心如愿的事情，那就是乔氏和丈夫白百大夫妇俩只有小青这么一个独生女儿。不过啊，这话 说回来了，没有生下儿子固然是有遗憾的，但这对恩爱夫妻对于宝贝女儿的那份钟爱，却因此也就更多了几分。说起来，白家夫妻俩的这个宝 贝独生女儿小青虽然出生于贫寒人家，但她从小就非常聪明伶俐，不但人生得相当标志，而且人品极好。就像她的爹娘一样，心灵手巧又特别 勤快的小青姑娘也有一副乐于助人的好心肠。在街坊邻里的眼里，小青实在是一个百里挑一的好丫头了。而小青自己虽说是爹娘的心肝宝贝， 但她却一点儿也不娇气。这丫头吃着粗茶淡饭快快乐乐地长大，成日里小嘴儿劈里啪啦的乐和话不断，总能给白家夫妻二人带来无尽的乐趣； 而且，她从小就非常懂事手脚不闲，特别喜欢主动分担力所能及的家务活儿，更让做爹娘的疼爱不迭。可这俗话不是说了嘛：女儿再好也是别 人家的人！但问题是白家没有儿子啊！因此，小青的爹娘就不想让心爱的女儿成为别人家的人。这不，夫妻俩早在几年前就已经商量好了，要 给小青寻找一个诚心如意的上门女婿。这样一来，不但夫妻俩老来有了依靠，而且也好给白家延续香火。在爹娘想为她寻找一个上门女婿的问 题上，小青倒也乐意，只是这丫头的眼光忒挑剔，如果不是十二分喜欢，绝对不会轻易点头。如今，小青已经年满十八岁了，上门来求亲的不 在少数，但她居然没有一个能够看得上眼的。乔氏和丈夫在为女儿寻找上门女婿的问题上也很慎重，并且很尊重女儿自己的意见；如果女儿不 点头，他们绝对不擅自作主。就这样拖来拖去的，到如今眼见着这宝贝疙瘩一天天长大都快要成老姑娘了，可寻找上门女婿的事情还一直搁着 呢。然而就在昨儿傍晚，当耿老爹第一次进了白家的院子里时，乔氏母女就有一种异常亲切的感觉。当乔氏随同耿老爹出门，一眼看到耿正兄 妹三人，尤其是仪表堂堂的耿正时，油然而生出一种老天爷送上个好女婿的欣喜。看上去，耿正兄妹三人虽然面带倦容，但形体气质却是非同 寻常，这让本来就乐善好施的乔氏真是打心眼儿里喜欢。而且当时的那个情景，还让她不由地回想起了当年姆妈带她逃难时来到白家门口的一 幕，忍不住地心里边阵阵发
两点间的距离公式是什么高中
两点间的距离公式是什么在高中数学中，我们常常遇到需要计算两点之间的距离的问题。
无论是在平面上还是在三维空间中，计算两点间的距离都是十分常见的数学问题。
而这个问题的解决方法就是通过使用距离公式来求解。
平面上的两点间距离我们先来看两点在平面上的情况。
设平面上有两个点A(x₁，y₁）和B(x₂，y₂）。
根据勾股定理，我们知道两点间的距离可以通过勾股定理来计算。
在平面上，勾股定理可以表达为：$d = \\sqrt{(x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2}$其中d表示两点间的距离。
三维空间中的两点间距离在三维空间中，我们需要求解的问题稍微复杂一些。
设空间中有两个点A(x₁，y₁，z₁）和B(x₂，y₂，z₂）。
同样地，我们可以利用勾股定理来求解这个问题。
在三维空间中，勾股定理可以表达为：$d = \\sqrt{(x₂ - x₁)^2 + (y₂ - y₁)^2 + (z₂ - z₁)^2}$同样，d表示两点间的距离。
应用举例现在我们来看一些具体的应用例子，以帮助理解两点间距离公式的实际运用。
例子1：两点之间的距离假设我们有一个平面上的坐标系，点A的坐标为(2, 3)，点B的坐标为(5, 7)。
我们可以利用平面上的两点间距离公式来计算AB两点之间的距离。
根据公式：$d = \\sqrt{(5-2)^2 + (7-3)^2}$$d = \\sqrt{3^2 + 4^2}$$d = \\sqrt{9 + 16}$$d = \\sqrt{25}$d=5所以点A和点B之间的距离为5个单位。
例子2：空间中两点之间的距离假设我们有一个三维坐标系，点A的坐标为(1, 2, 3)，点B的坐标为(4, 5, 6)。
同样地，我们可以利用三维空间中的两点间距离公式来计算AB两点之间的距离。
根据公式：$d = \\sqrt{(4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2}$$d = \\sqrt{3^2 + 3^2 + 3^2}$$d = \\sqrt{9 + 9 + 9}$$d = \\sqrt{27}$所以点A和点B之间的距离为$\\sqrt{27}$个单位。
高中数学课件 空间两点间的距离公式
类型 一
空间两点间的距离公式
尝试解答下列题目，归纳利用空间两点间的距离公式求空间
距离的步骤.
1.点B是点A(1，2，3)在坐标平面yOz内的射影，则|OB|等于
(
A. 14 B. 13 C.2 3 D. 11
)
2.设点P在x轴上，它到点P1(0， 2 ，3)的距离为到点 P2(0,1,-1)的距离的两倍，求点P的坐标.
于 .
【解析】 AM | (3 0)2 (1 1) 2 (2 2) 2 13, |
所以对角线|AC1| 2 13， 设棱长为x,则3x2= (2 13)2 , 所以 x 2 39 .
3
答案：2 39
3
6.如图,在宽、长、高分别为2,4,3的长方体ABCD-A1B1C1D1中, 利用空间两点间距离公式,求对角线AD1,AB1和AC1的长.
答案： 29
2 (2)因为| AB | ［ 2 (2)］ (2 1) 2 (0 m) 2 1.
所以1+m2=1,所以m=0.
答案：0
(3)过点M作x轴的垂线，垂足的坐标是(2，0，0)，
所以 d (2 2)2 (3 0) 2 (5 0) 2 34.
【拓展延伸】建立空间直角坐标系遵循的两个原则
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内.
(2)充分利用几何图形的对称性.
【变式训练】四棱锥S-ABCD的底面是矩形,AB=1,AD=2,SA=1, 且SA⊥底面ABCD,问边BC上是否存在异于B,C的点P,使得∠SPD 是直角?
【解析】以A为原点,射线AB,AD,AS分别为x,y,z轴的正半轴, 建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),S(0,0,1),D(0,2,0). 设P(1,x,0)(0<x<2), 所以SP2=(1-0)2+(x-0)2+(0-1)2 =x2+2, PD2=(1-0)2+(x-2)2+(0-0)2 =(x-2)2+1, SD2=(0-0)2+(0-2)2+(1-0)2=5.
高中数学第三章直线与方程3.3.1两条直线的交点坐标3.3.2两点间的距离课件新人教A版必修
2
3
C. + =1
答案:C
1
3
1
D.y=- x+4
3
B.y=- x-12
)
S 随堂练习
UITANG LIANXI
首 页
1
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
2
2.两点间的距离公式
已知平面上两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)间的距离为|P1P2|,则
-1
2-1
=
-(-3)
,
2-(-3)
首 页
探究一
探究二
探究三
探究四
J 基础知识 Z 重点难点
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习
UITANG LIANXI
探究五
探究四坐标法的应用
将几何问题代数化,即用代数的语言描述几何要素及其关系,并最终解决几
何问题,这种处理问题的方法叫作坐标法(或解析法),通过这种方法,把点与
坐标、曲线与方程联系起来,实现空间形式与数量关系的结合.
坐标法解决几何问题时,关键要结合图形的特征,建立平面直角坐标系.
坐标系建立的是否合适,会直接影响问题能否方便解决.建系的原则主要有
两点:
①让尽可能多的点落在坐标轴上,这样便于运算;②如果条件中有互相
垂直的两条线,要考虑将它们作为坐标轴;如果图形为中心对称图形,可考虑
ICHU ZHISHI
HONGDIAN NANDIAN
探究五
解:(1)设所求直线方程为 x+2y-2+λ(3x-2y+2)=0.
人教课标版高中数学必修2《两点间的距离》名师课件2
|P1P2|=|y1-y2|
实质上，以上两种可归结为下列两类情形：
y
P1 P2
o x1
x x2
y
y2
y1
o
P2
P1
x
x1 x2 y1 y2
|P1P2|=|x1-x2|
x1 x2 y1 y2
解题策略
用解析法(坐标法)解决几何问题的基本步骤 第一步：建立适当的直角坐标系，用坐标表示有关的量； 第二步：进行有关的代数计算； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何关系．
巩固练习
3.已知△ABC 是直角三角形，斜边 BC 的中点为 M，建立适当的 平面直角坐标系，证明：|AM|＝12|BC|. 证明：以 Rt△ABC 的直角边 AB，AC 所在直线为坐标轴，建立 如图所示的平面直角坐标系．设 B，C 两点的坐标分别为(b，0)， (0，c)，斜边 BC 的中点为 M，
|AC|＝
3＋322＋0－322＝3 210.
由于∠BAC＝90°，
所以 S△ABC＝12|AB|·|AC|＝12× 210×3 210＝145. 综上可知，当 A 点的坐标为(1，－1)时，△ABC 的面积为 5，当
A 点的坐标为－23，32时，△ABC 的面积为145.
例题讲解
例3、已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，试建立适当 的直角坐标系，证明：|AC|＝|BD|.
探究新知
由此可见，已知x轴上一点P1(x0，0)和y 轴上一点P2(0，y0)，那么点P1和P2的距 离为：
P2 y | P1P2 | x02 y02
o
P1 x
高中数学必修二——空间两点间的距离公式
研一研·问题探究、课堂更高效
4.3.2
跟踪训练 1 在 z 轴上求一点 M，使点 M 到点 A(1,0,2)与点 B(1， －3,1)的距离相等．
本 课 时 栏 目 开 关
解
设点 M 的坐标是(0,0，z)．依题意，
得 0－12＋0＋z－22＝ 0－12＋0＋32＋z－12.
解得 z＝－3.即 M 点坐标为(0,0，－3)．
2．若点 P1(x1，y1,0)，P2(x2，y2,0)， 2 2 则|P1P2|＝ x1－x2 ＋y1－y2 . 3．若点 P1(x1,0,0)，P2(x2,0,0)， 则|P1P2|＝ |x1－x2| .
研一研·问题探究、课堂更高效
4.3.2
本 课 时 栏 目 开 关
[问题情境] 我们已经学习了平面上任意两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)之间 的距离公式 |AB|＝ x1－x22＋y1－y22.那么空间中任意两 点 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间距离的公式是怎样的？ 本节我们就来探讨这个问题．
研一研·问题探究、课堂更高效
4.3.2
例 2 已知正方形 ABCD、 ABEF 的边长都是 1， 且平面 ABCD⊥ 平面 ABEF，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF 上移动，若 CM＝BN＝a(0＜a＜ (1)求 MN 的长；
答
问题 2 答
M(x1，y1,0)，N(x2，y2,0)；|MN|＝ x1－x22＋y1－y22.
若直线 P1P2 垂直于 xOy 平面，则点 P1，P2 之间的距离如 |P1P2|＝|z1－z2|；|P1P2|＝|MN|＝ x1－x22＋y1－y22.
何？若直线 P1P2 平行于 xOy 平面， 则点 P1、 P2 之间的距离如何？
高中数学课件-平面直角坐标系中的距离公式
A．1
B．2
1 C.2
D．4
B [∵63＝m4 ≠－143，∴m＝8，直线 6x＋my＋14＝0 可化为 3x＋
4y＋7＝0，两平行线之间的距离 d＝|－332＋－472|＝2.]
21
3．已知两平行直线，其距离可利用公式 d＝ |CA1－2＋CB2|2求解，也可 在已知直线上取一点，转化为点到直线的距离．
|Ax0＋By0＋C| A2＋B2
.
思考：点到直线的距离公式对于 A＝0 或 B＝0 时的直线是否仍 然适用？
4
提示：仍然适用，①当 A＝0，B≠0 时，直线 l 的方程为 By＋C ＝0，
即 y＝－CB，d＝y0＋CB＝|By|0B＋| C|，适合公式． ②当 B＝0，A≠0 时，直线 l 的方程为 Ax＋C＝0，x＝－CA，d＝ x0＋CA＝|Ax|0A＋| C|，适合公式．
则这两条直线间的距离是________． 5 [d＝|3－(－2)|＝5.]
8
两点间的距离公式
【例 1】 (1)若 x 轴的正半轴上的点 M 到原点的距离与点(5，－
3)到原点的距离相等，则点 M 的坐标为( )
A．(－2,0)
B．(1,0)
C.32，0
D．( 34，0)
(2)直线 2x＋my＋2＝0(m≠0)与两坐标轴的交点之间的距离为
5
3．两平行线间的距离公式
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的
距离d＝
|C1－C2| A2＋B2
.
6
1．已知 A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则||CACB||的值为( )
1 A.3 C．3
1 B.2 D．2
高一数学空间两点间的距离公式
知识探究（一）:与坐标原点的距离公式
思考1:在空间直角坐标系中，坐标 轴上的点A（x，0，0），B（0，y， 0），C（0，0，z），与坐标原点O 的距离分别是什么？
z
|OA|=|x|
B
|OB|=|y|
|OC|=|z|ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
O
A
y
C
x
思考2:在空间直角坐标系中，坐标 平面上的点A（x，y，0），B（0，y， z），C（x，0，z），与坐标原点O 的距离分别是什么？
z A P O M N B D Q C y
x
作业: P138练习：1，2，3，4.
摩登娱乐 摩登娱乐
是低声下气地向她服软：“您以后别要再说那句话咯 爷只说过壹次 爷保证以后再也别会说咯 您是爷の诸人 将您满门抄斩 爷能有啥啊好结果？”见他说得如此情真意切、 语气凝重 水清原本是逗他开心 谁想到竟然引发他如此伤感の话题 很是别忍心 赶快岔开话题 缓解壹下气氛：“刚刚妾身也没什么别の啥啊意思 只是因为您天天让妾身躺在 床上养身子 照那么壹各养法儿 过两天 您见到の就别是妾身 而是壹头白白胖胖の大肥猪咯！”壹听是那话 他那壹颗悬着の心才算是踏实下来 继而被她气得牙根痒痒 于是 攥她胳膊の手又加咯壹番力道 痛得水清眉头皱咯起来 他晓得她吃痛 可是别让她痛壹痛 真是难解心头之气 继而他又觉得只让她肉体上痛壹下别足以对她实施足够有效の惩 罚 还要在精神上再对她实施壹番折磨 方能壹解他心中の恼怒之气 于是他壹边对她松手 壹边意味深长地说道：“好好好 您说得对 变成大肥猪更好！爷就喜欢您养得白白胖 胖の！”“啊？”她当然晓得他最喜欢啥啊样の诸人 无非是性情上要听话の、温顺の、乖巧の 而模样上当然还是要娇气の 柔弱の 怎么啥啊时候他の审美观点改变咯？开始 喜欢上胖美人咯？见水清中计 他の心情也是大好起来 于是说道：“白白胖胖最好 那样才能给爷多生几各小小格 ”水清哪里料到自己の玩笑之语竟然招惹来他の那番真情告 白 脸上立即挂别住咯 特别是月影还在屋里 可是月影心里最期盼の竟然与王爷壹模壹样 就是盼着她家仆役赶快怀胎 赶快生子 别管是啥啊准备晚膳啊 还是啥啊缝补衣裳啊 统统都没什么那件事情重要 现在见到王爷与她所想の竟是如出壹辙 虽然她晓得仆役已经被恼得脸色通红 可是仍然止别住の高兴 最后竟是憋别住 抿着嘴笑咯起来 昨天被那 两各人壹各该听话进屋来却别听话地迅速退咯下去 另壹各别该听话却偏偏“听话”旁若无人地吻她别停 今天又被那两各人合起伙儿来取笑她 月影是强忍抿嘴笑 而他更是别 管别顾地坏坏地笑 被气坏咯の水清壹甩手进咯里屋 扔下那两各人在外间屋 第壹卷 第923章 验证他今天の心情格外地好 既是因为淑清の病好得差别多咯 他再也别用疲于 奔命、左右逢缘 另外今天没什么太多の事情 回来得早壹些 前两天 天天弄到后半夜 实非他本意 对此既是觉得愧疚 也是觉得别忍心 他晓得水清の睡眠是壹各大难题 别是 想睡就能睡 想醒就能醒の 壹连折腾咯她两天 终于偷得浮生半晚闲 于是他就赶快张罗着歇息 好好地补偿壹下她严重缺觉の问题 由于躺下得早 两各人就又有咯足够の闲功 夫来逗嘴皮子：“您瞧瞧您 怎么现在越来越长脾气咯？爷说咯啥啊咯 又惹得您给爷摞脸子？”“爷啊！您以后能别能别要当着月影の面说那些话啊！”“爷就说各让您养得 胖壹些 好给爷多生几各小小格 那有啥啊？怎么就月影听别得咯？”水清当然别愿望让月影听到咯！即使月影是她の贴身丫环 那种暧昧の话题她也别想与任何人分享 于是她 要向他发出严正警告：“爷啊 您以后别要再当着月影说那些话咯！”“那也别能说 那也别能说 那以后月影在の时候 爷就当哑巴？爷怎么还要怕咯她那各奴才别成？”“您 是别用怕 可是妾身怕得别行呢！”“您怕她做啥啊？”“您没瞧见月影那丫头在笑话妾身吗？”壹听水清说月影笑话她 王爷可算是找到咯共鸣：“哈哈！月影笑话您也是应 该の！您要是赶快给爷生各小小格 爷就别说咯！再说咯 谁让您别好好养身子の？您瞧瞧 您那胳膊细の 都没什么筷子粗呢！”壹边说着 壹边似乎是为咯证明他の话有多么 の正确 于是他壹把抓起咯水清の小细胳膊 果然 他只用咯壹只手 竟然轻轻松松地实现咯大拇指与中指の成功对接！那各情景将他都吓咯壹跳 天啊！竟是比他想象得更是骇 人！于是他又急急地伸手去握她の纤腰 想要看壹看她那腰肢有多么の纤细 她要将自己养胖の任务是多么の艰巨 可是事
距离公式高中数学
高中数学常用的13个距离公式距离是我们生活中不可或缺的概念，高中数学中也有许多与距离相关的概念和公式。
下面将介绍13个与距离相关的高中数学公式。
1. 两点之间的距离公式我们常用的两点之间的距离公式是勾股定理，即：d = √((x2-x1)^2+(y2-y1)^2)，其中d表示两点之间的距离，(x1,y1)和(x2,y2)分别表示两个点在坐标系中的坐标。
2. 点到直线的距离公式点到直线的距离公式是：d = |Ax0 + By0 + C|/√(A^2+B^2)，其中A、B、C是直线的一般式方程的系数，(x0,y0)表示点的坐标。
3. 点到平面的距离公式点到平面的距离公式是：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|/√(A^2+B^2+C^2)，其中A、B、C、D是平面的一般式方程的系数，(x0,y0,z0)表示点的坐标。
4. 点到点集的距离公式点到点集的距离公式是：d = min{√((x-xi)^2+(y-yi)^2)}，其中(xi,yi)是点集中的点的坐标。
5. 点到圆的距离公式点到圆的距离公式是：d = |(Ax0+By0+C)/√(A^2+B^2)-r|，其中(A,B,C)是圆的一般式方程的系数，r是圆的半径，(x0,y0)是点的坐标。
6. 点到球的距离公式点到球的距离公式是：d = |Ax0+By0+Cz0+D|/√(A^2+B^2+C^2)-r，其中(A,B,C,D)是球的一般式方程的系数，r是球的半径，(x0,y0,z0)是点的坐标。
7. 点到椭球的距离公式点到椭球的距离公式是： d = √(((x-x0)^2/a^2)+((y-y0)^2/b^2)+((z-z0)^2/c^2))，其中(a,b,c)是椭球的半轴长度，(x0,y0,z0)是椭球中心点的坐标。
8. 直线到直线的距离公式直线到直线的距离公式是： d = |(A1-A2)x+(B1-B2)y+(C1-C2)|/√(A^2+B^2)，其中(A1,B1,C1)和(A2,B2,C2)分别是两条直线的一般式方程的系数。
两点间距离公式高中数学
两点间距离公式高中数学
两点间距离公式是高中数学中一个重要的知识点，主要用于计算两点之间的距离。
公式如下：
设两点的坐标是(x1,y1)和(x2,y2)，则两点之间的距离公式为d=√[(x1-
x2)²+(y1-y2)²]。
这个公式可以用于计算平面上的任意两点之间的距离。
如果两点的坐标是已知的，那么可以直接代入这个公式计算出两点之间的距离。
另外，还有一些特殊的点与点之间的距离，如：
1. 当x1=x2时，两点间距离为y1-y2。
2. 当y1=y2时，两点间距离为x1-x2。
以上内容仅供参考，如需更详细的信息，建议查阅高中数学教辅或咨询数学老师。
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举例
例2 证明平行四边形四条边的平方和等 于两条对角线的平方和.
y
D(b,c) C(a+b,c)
o A(0,0) B(a,0) x
例1 已知点A(1,2), B(2, 7 ),在x轴上求一点P, 使得| PA|| PB |, 并求| PA| 的值.
解 ： 设P点 的 坐 标 为(a,0) | PA| (1 a)2 (2 0)2 4 (a 1)2 | PB | (2 a)2 ( 7 0)2 7 (2 a)2 | PA|| PB | 4 (a 1)2 7 (2 a)2 解 得 ：a 1 | PA| 4 (a 1)2 2 2
练习
2、求在x轴上与点A(5,12)的距离为13的 坐标；
解 ： 设 所 求 点 的 坐 标 为(a,0) 由题意可得：
13 (a 5)2 (0 12)2 解 得 ：a 0或10 所 求 点 的 坐 标 为(0,0)或(10,0)
练习
3、已知点P的横坐标是7，点P与点N(-1,5) 间的距离等于10，求点P的纵坐标.
| P1P2 | ( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
特别地, 原点O与任一点P( x, y)的距离 : | OP | x2 y2
作业
教科书 106页 练习 习题3.3 A组 7，8
解题参考
第一步：建立坐标系，用坐标表示有关 的量； 第二步：进行有关的代数运算；
第三步：把代数运算结果“翻译”所几 何关系.
练习
4、证明直角三角形斜边的中点到三个
顶点的距离相等.
y
B (0,b)
M(
a 2
,b 2
)
o C(0,0)
A(a,0)x
解题参考
小结
平面内两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) 的距离公式是
y
P1 (x1,y1)
(x2,y1)
Q
点P1(x1,y1), P2(x2,y2),
如何求P1 P2的距离 | P1 P2 |呢?
o
P2 (x2,y2)
x
| P1P2 | ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x2 x1 )2 ( y2 y1 )2
特别地, 原点O与任一点P( x, y)的距离 :
| OP | x2 y2
举例
练习
1、求下列两点间的距离：
(1) A(6，0),B(-2，0) (2) C(0，-4),D(0，-1) (3) P(6，0),Q(0，-2) (4) M(2，1),N(5，-1)
解： (1) | AB | (2 6)2 (0 0)2 8
(2) | CD | (0 0)2 (1 4)2 3 (3) | PQ | (6 0)2 (0 2)2 2 10 (4) | MN | (2 5)2 (1 1)2 13
两点间 的距离
两点间的距离
已知平面上两点P1(x1,y1)， P2(x2,y2)， 如何求P1 P2的距离| P1 P2 |呢?
(1) x1≠x2, y1=y2 | P1P2 || x2 x1 |
(2) x1 = x2, y1 ≠ y2 | P1P2 || y2 y1 |
两点间的距离
(3) x1 ≠ x2, y1 ≠ y2 已知平面上两