中考数学专题探究-动手操作问题

一、知识网络梳理
在近几年的中考试题中，为了体现教育部关于中考命题改革 的精神，出现了动手操作题．动手操作题是让学生在通过实际操作 的基础上设计有关的问题．这类题对学生的能力有更高的要求，有 利于培养学生的创新能力和实践能力，体现新课程理念．
操作型问题是指通过动手测量、作图（象）、取值、计算等 实验，猜想获得数学结论的探索研究性活动，这类活动完全模拟以 动手为基础的手脑结合的科学研究形式，需要动手操作、合情猜想 和验证，不但有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实 验研究的习惯，符合新课程标准特别强调的发现式学习、探究式学 习和研究式学习，鼓励学生进行“微科研”活动，提倡要积极引导 学生从事实验活动和实践活动，培养学生乐于动手、勤于实践的意 识和习惯，切实提高学生的动手能力、实践能力的指导思想．因此 ．实验操作问题将成为今后中考的热点题型．
AH DH
（三）探索性问题
例6、在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是： 第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）； 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得 到线段BN（如图2）．
图1
图2 p
ABH MBH ABM 300
在RtABH中，AH 1 AB 1，BH 3， 2
A（ 3，1）， A落在EF上。
A/
H
三、知识巩固训练
1、如图，将ABC绕着点C按顺时针方向旋转200， B点落在B位置，A点落在A位置，若AC AB， 则BAC的度数是( C) A、500 ，B、600，C、700 ，D、800 。 B'
题型1 动手问题 此类题目考查学生动手操作能力，它包括裁剪、
折叠、拼图，它既考查学生的动手能力，又考查学生 的想象能力，往往与面积、对称性质联系在一起．
题型2 证明问题 动手操作的证明问题，既体现此类题型的动手能
力，又能利用几何图形的性质进行全等、相似等证明 ．
题型3 探索性问题 此类题目常涉及到画图、测量、猜想证明、归
请解答以下问题： （1）如图2，若延长MN交BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论．
（1）△BMP是等边三角形．
证明：连结AN, ∵EF垂直平分AB ∴AN ＝ BN.由折叠知 :AB ＝ BN ∴AN ＝ AB ＝ BN ∴△ABN为等边三角形 ∴∠ABN ＝60° ∴∠PBN ＝30° 又∵∠ABM ＝∠NBM ＝30°，∠BNM ＝ ∠A ＝90° ∴∠BPN ＝60°,∠MBP ＝∠MBN ＋∠PBN ＝60° ∴∠BMP ＝60°∴∠MBP ＝∠BMP ＝∠BPM ＝60°∴△BMP为等边三角形 ．
纳等问题，它与初中代数、几何均有联系．此类题目 对于考查学生注重知识形成的过程，领会研究问题的 方法有一定的作用，也符合新课改的教育理论。
二、知识运用举例
（一）动手问题 例1．将正方形纸片两次对折，并剪出一个菱形小洞后展开铺 平， 得到的图形是（ C ）
(第1题)
例2．把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠，EM 、FM为折痕，折叠后的C点落在B′M或B′M的延长线上 ，那么∠EMF的度数是（ ）B
例6、在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是： 第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）； 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得 到线段BN（如图2）．
p
图1
图2
请解答以下问题：
（2）在图2中，若AB＝a，BC＝b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出 符合（1）中结论的三角形纸片BMP ？
（图1）
（图2）
（图3）
（图4）
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，
请你帮助解决．
（1）将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F
重合，请你求出平移的距离；
解：（1）图形平移的距离就是线段BC的长， 又∵在Rt△ABC中，斜边长为10cm，∠BAC＝300，∴BC=5cm， ∴平移的距离为5cm。
（3）将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于 点H，请证明：AH﹦DH
(3)证明：AHE与DHB1中，FAB1 EDF 300， FD FA，EF FB FB1， FD FB1 FA FE，即AE DB1 又AHE DHB1，AHE DHB（1 AAS）
图1
图2
请解答以下问题：
（3）设矩形ABCD的边AB＝2，BC＝4，并建立如图3所示的直角坐标系. 设直线BM/为
y=kx，当∠M/BC＝60°时，求k的值.此时，将△ABM′沿BM′折叠，点A是否落在EF上（ E、F分别为AB、CD中点）？为什么？
图3
(3)M BC 600 ,ABM 900 600 300
在RtABM A中，tan ABM AM , AM 2 • tan 300 AB
2 3 , M ( 2 3 ,2)。代入y kx中，得k 3.
3
3
设ABM 沿BM 折叠后，点A落在矩形ABCD内的点为A，
过A作AH BC，交BC于H。
ABH ABM ，ABM ABM 300，AB AB 2
B
FD
图1
C
A
D
F
B
E
C
图2
(3)操作3：在平面直角坐标系中，正方形ABCO的边长为6，两
边OA、OC分别落在坐标轴上，点E在射线BC上，且BE=2CE，
将△ABE沿直线AE翻转，点B落在点B1处。
y
（1）请在图中作出点B1及翻转后图形. 两种情况
A
B
（2）对于图3，若E在BC上，求点B1的坐标 。 利用相似，列出方程求解
(2)要在矩形纸片ABCD上剪出等边BMP，则BC BP
在RtBNP中，BN BA a, PBN 300,
BP
a cos 300
,b
a cos 300
, a
3 b, 2
当a 3 b时，在矩形上能剪出这样的等边BMP。 2
例6、在我们学习过的数学教科书中，有一个数学活动，其具体操作过程是： 第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）； 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得 到线段BN（如图2）．
A．85° B．90° C．95° D．100°
例3、如图（1）所示，用形状相同、大小不等的三块直角三 角形木板，恰好能拼成如图（2）所示的四边形ABCD，若AE
＝4，CE＝3BE， 那么这个四边形的面积是___1_6___3____
（二）证明问题
例4、如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角 形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm，较小锐角为30°， 再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条 直线上，且点C与点F重合（在图3至图6中统一用F表示）
（图3）
（图5
）
（2）将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位
置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；
解：（2） A1FA 300，GFD 600，D 300， FGD 900。
在RtEFD中，ED 10cm, FD 5 3，FG 5 3 cm. 2
（图3）
（图5）
0
C
x
（3）如果题设中的条件“BE=2CE”改为：若
点E从点B开始在射线BC上运动。设BE=t, △ABE翻折后与正方形ABCO的重叠y 部分面
积为y,试写出y与t的函数关系式。A
B
并求出当y=12时，BE的值。
B1
0
Cx
E
y
A
B
M 0
E
B1
N C
A A'
B
C
2、如图，把边长为2的正方形的局部进行图①～图④的变换， 拼成图⑤，则图⑤的面积是（ B ）
（1）
（2）
A、18 ， B、 16 ，
（3）
Hale Waihona Puke Baidu
（4）
C、12 ，
（5）
D、8
3、（1）操作1：将矩形ABCD沿对角线AC折叠（如图1），猜想
重叠部分是什么图形？并验证你的猜想。
E
连结BE与AC有什么位置关系？ （2）操作2：折叠矩形ABCD，让点B落在 A 对角线AC上（如图2），若AD=4，AB=3， 请求出线段CE的长度。