第2章二次函数 题型解读6 二次函数应用题-北师大版九年级数学下册教学讲义

《二次函数》题型解读6 二次函数应用题

【题型梳理】

1.二次函数解析式的应用题型

（1）建立直角坐标系，或找到直角坐标系；

（2）用待定系数法求解析式，建立起y与x的函数关系式；

（3）审题理解找出已知x值代入求y值或已知y值代入求x值；

2.二次函数最值应用题型

（3）注意题中的限制条件，会影响到当配方求y最值时x的求值；

【方法梳理】

1.解题方法----审透等量关系式；

2.解题技巧----特殊值法：把未知数假设为具体数字，只列综合式不计算，最后用未知数换回来；有

具体数字的参与，可以帮助我们更好的结合生活理解找准题中各数量间的关

系式；

【典型例题】

例1.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶

（拱桥洞的最高点）离水面2米，水面下降1米时，水面的宽度为米．

解析：（1）“建立直角平面坐标系

设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2）（2）“待定系数法求二次函数解析式”

通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2

（3）代入x或y求y或x值

当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1=﹣0.5x2+2，解得：x=±√6，所以水面宽度增加到2√6米，

例2.为备战奥运会，中国女排的姑娘们刻苦训练，为国争光．如图，已知排球场OD的长度为18米，位于球场中线处球网的高度为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G，建立如图所示的平面直角坐标系．

（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与

水平距离x（单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量的x取值范围）

（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，她起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．

解析：此题中有关距离的数据即是“x值”，有关高度的数据即是“y值”；

（1）∵排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最大高度3.2米，∴抛物线的顶点坐标为（7，3.2），

设抛物线的解析式为：y=a(x−7)2+3.2，∵抛物线过点C（0，1.8），∴1.8=a(0−7)2+3.2，

∴a=−1

35

，∴排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式为：y=

−1

35(x−7)2+3.2，即y=−1

35

x2+2

5

x+9

5

．

（2）∵OF=18

2+0.5=9.5，∴当x=9.5时，y=423

140

<3.1，∴她可以拦网成功．

例3.在世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x（x≥60）元，销售量为y套．

（1）求出y与x的函数关系式．

（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元；

（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？

解析：

（1）解题方法：“审透等量关系列解析式”

①销售量=原销售量-因提价减少的销售量，即y=240−x−60

5

×20=−4x+480

②销售额=每件销售单价×销售量=x(−4x+480)=−4x2+480x

（1）解题技巧：“特殊值法”

①假设销售单价为70元，则提价为（70-60）元，销售量减少70−60

5

×20套，现在的销售量为

240-70−60

5×20，换回来即为：y=240−x−60

5

×20=−4x+480；

②假设销售单价为70元，则提价为（70-60）元，销售量减少70−60

5

×20套，现在的销售量为

240-70−60

5

×20，

×20)=14000，换回来即为：x(−4x+480)=−4x2+每月的销售额为：70×(240−70−60

5

480x；

（2）“解一元二次方程”

③根据题意可得，−4x2+480x=14000,解得：x1=70,x2=50，∵x≥60，∴x=

50舍去.

（3）“配方求最值”

④设一个月内获得的利润为w元，根据题意，得

w=（x﹣40）（﹣4x+480），=﹣4x2+640x﹣19200=﹣4（x﹣80）2+6400，∵a=−4<0,

抛物线对称轴是x=80,

∴当x=80时，w的最大值为6400∴当销售单价为80元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是6400元．

例4.某景区商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个；第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了提高销售量，决定降价销售（根据市场调查，单价降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出。

（1）如果这批旅游纪念品共获利1050元，那么第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？（2）第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少时，这批旅游纪念品利润最大？最大利润是多少？解：(1)由题意得出：200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[（600﹣200)﹣（200+50x）]=1050，即800+（4﹣x）（200+50x）﹣2（200﹣50x）=1050，整理得：x2﹣2x-3=0，解得：x1=3,x2=-1(舍去)，∴10﹣3=7，答：第二周的销售价格为7元．

(2)设总利润为W，由题意可得W=200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[（600﹣200)﹣（200+50x）]= -50x2+100x+1200=-50（x-1）2+1250