自动控制原理胡寿松 第8章

非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。
非线性系统：只要系统中包含一个或一个以上具有非线性元 件，即称为非线性系统。其特性不能用线性微分方程来描述。
非本质非线性：可以进行小偏差线性化的非线性 本质非线性：不能应用小偏差线性化概念将其线性化
非线性系统的主要特征： 系统的稳定性除与结构参数有关 外，还与起始偏差的大小有关 。 系统的响应形式与输入信号的大小 和初始条件有关。
式中 k
x(t ) 0 x(t ) 0 x(t ) 0

间隙宽度 间隙特性斜率
危害： 使系统输出信号在相位上产生滞后，从而降低系统的相 对稳定性，使系统产生自持振荡。
（4）继电器特性
(t ) 0 m a e(t ) a, e 0 0 (t ) 0 a e(t ) m a, e x(t ) bsigne(t ) e(t ) a b (t ) 0 e(t ) m a, e b (t ) 0 e(t ) m a, e
例，判断系统稳定性，已知a=0.2，b=1，K=10。
2k 1 a a a 2 N ( A) 1 ( ) , ( A a) sin A A A 1 N ( A) a a a 2k sin 1 1 ( )2 A A A
描述函数法
用非线性环节输出信号中的基波分量来近似代替正弦信 号作用下的实际输出，即忽略输出中的高次谐波分量 描述函数的概念
应用描述函数分析法分析系统需要满足的条件：
1.非线性系统的结构图可 以简化为只有一个非线 性环节N ( A)和线性 部分G(s)相串联的典型形式。
r (t ) 0
e
N ( A)
自振分析
Im
自持振荡是稳定的周期运动
0
A Re
b

0 A
1 N ( A)
a
G ( j )

a点受干扰向A增大方向移动， 系统发散，A继续增大 a点受干扰向A减小方向移动，系统收敛，A继续减小 系统收敛，A减小回到b b点受干扰向A增大方向移动，
b点受干扰向A减小方向移动， 系统发散，A增大回到b b点是稳定的振荡点，称为自持振荡点
n 1
当线性环节具有较好的低通滤波特性时， 高次谐波项被滤除，即可以忽略高次项。 当非线性环节特性为奇对称时，此项为零
其中， A0 1
An 1
2
2 0
2
0
x(t )dt

1
x(t )cos ntd (t )
Bn


2
0
x(t )sin ntd (t )
2 n
Xn A B
第八章 非线性系统的特点
•学习重点

了解非线性系统的特点，掌握非线性系统与线性系 统的本质区别； 了解典型非线性环节的特点； 理解描述函数的基本概念，掌握描述函数的计算方 法； 掌握分析非线性系统的近似方法——描述函数法， 能够应用描述函数法分析非线性系统的稳定性。
8.1 非线性系统的特点

Leabharlann Baidu
1 N ( A)
令
1 4 N ( A) 3
A 0 -6

A
Re
A 1
A>1时，系统发散 A<1时，系统收敛 A＝1时，系统的状态？
自持振荡
非线性系统的自振（稳定的周期运动）： 系统受到轻微扰动作用偏离原来的运动状态， 在扰动消失后，系统的运动能重新收敛于原来的等 幅持续振荡。 不稳定的周期运动： 系统的运动不能重新收敛于原来的等幅持续振 荡，而是一经扰动就收敛、发散或是转移到另一种 稳定的周期运动状态。
可能是稳定的，也可能是不稳定的。
G(jw)
稳定系统
不稳定系统
1 N( A)
例 P.199 6-6 分析系统稳定性
N ( A)
3 2 1 4 A 2 4 N ( A) 3A
1 N ( A) 1 A , 0 N ( A) A 0,
1 轨迹为整个负实轴 N ( A)
8 24 8(2 2 ) G ( j ) 4 j 2 j ( j 1)( j 2) 5 4 ( 4 5 2 4)
Im
G( j )
4 3
ImG( j) 0 2
4 Re G ( j 2) 3
x
b
b
x
a ma
0
b
ma a
a
e
0
a
e
b
（5）变增益特性
k2 e(t ) x(t ) k1e(t ) e(t ) a e(t ) a
式中
特点：
k1 , k 2 -变增益特性斜率
a -切换点
使系统在大误差信号时具有较大的增益，从而使系统响应迅速；
而在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定性。 同时抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。
(3)相平面法的特点
① 适用于一、二阶非线性系统的分析 ② 方法：首先将二阶非线性微分方程变成以输 出量及输出量导数为变量的两个一阶微分方 程；求出其在上述两变量构成的相平面中的 轨线，并由此对系统的时间响应进行判别。 ③ 该方法所得结果比较精确和全面。 ④ 对于高于二阶的系统，需要讨论变量空间中 的曲面结构，从而大大增加了工程使用的困 难。
x
G (s)
c
描述函数法
非线性环节的输入信号为 e(t ) A sin t 则其输出x(t)是一个周期函数， x(t)可以展开成傅立叶级数
x(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt )
n 1
A0 X n sin(nt n )
为A的实函数
没有相移
例 三个非线性系统的非线性部分相同，而线性部分分别为
G1 ( s ) 2 s (0.1s 1) 2 s ( s 1) 2(1.5s 1) s ( s 1)(0.1s 1)
G2 ( s )
G3 ( s )
采用描述函数法分析系统时，哪个系统的准确性最高？ 2比1的惯性大，故2比1的低通滤波效果好。3虽然比2多 一个时间常数为0.1的惯性环节，却也多了一个时间常数 为1.5的一阶微分环节。故2的低通滤波效果最好，2的准 确性最高。
(1)控制系统的稳定性分析
C ( j ) N ( A)G( j ) R( j ) 1 N ( A)G( j )
特征方程为 1 N ( A ) G ( jw ) 0
G ( jw ) 1 N ( A)
非线性特性的负倒描述函数 相当于
G ( jw) 1
负倒描述函数的轨迹是稳定的临界线，可以用G(jw)轨迹 和-1/N(A)之间的相对位置来判别非线性系统的稳定性
两个非线性环节串联时，总的描述函数不等于两个非线性环 节描述函数的乘积！
不能随意交换串联顺序！
y
x
2 1
k1 1
1
1 2
2 1
k2 2
1
1 2
3 2 1
2
3 e
3 2 1
2
3 x
N1 ( A)
N2 ( A)
非线性环节串联的计算方法
x
2 1
y y
k1 1
1
1 2
8.3 非线性特性的描述函数法
• • • • 1. 2. 3. 4. 基本概念 谐波线性化 非线性特性的描述函数 典型非线性特性的描述函数
1. 基本概念
(1) 分析非线性系统的两种工程方法
相平面法 描述函数法
(2) 描述函数法的特点
• 描述函数法是一种近似方法，相当于线性理论中频率法的推广。 方法不受阶次的限制，且所得结果也比较符合实际，故得到了广 泛应用。
非线性元件用一个对正弦信号的幅值和相位进行变换的环 节来代替
N ( A) X 1 j1 e A
为A和 的复函数
其中：
A为正弦输入信号的振幅 X 1为输出信号的基波分量 的振幅
1为输出信号基波分量相 对输入正弦信号的相移 当非线性特性为单值奇函数时，A1 0 1 0
N ( A) B1 A
4. 非线性系统结构图的简化
（1）由两个并联的非线性部件和线性部分串联而成
可以将两个非线性特性进行叠加，对叠加后的特性求其 描述函数N（A）。也可以先求各非线性特性的描述函数， 之后叠加得总描述函数N（A）,二者完全相同。 非线性环节并联后，总的描述函数等于各非线性环节描述 函数之和。
（2）当两个非线性环节串联时而成
2 1
2
k2 2
1
1 2
1
k2
1
1 2
3 2 1
2
3 e
3 2 1
2
3 x
3 2 1
2
3
e
3 2 1
1 2
只在同一范围内可以相乘！ 通常采用作图的方法！
x
1
2
1
将前一环节的输出与 后一环节的输入对齐
2
k1 1
3 e
非线性控制系统的描述函数分析
假设线性部分是最小相位环节，非线性系统稳定性判断规则如下：
1 曲线则系统稳定，两者距离越远，稳定程度越高 N ( A) 1 （b） G ( jw) 包围 曲线则系统不稳定 N ( A) 1 （c） G ( jw) 与 曲线相交，则非线性系统存在着周期运动，它 N ( A)
（a） G ( jw) 不包围
8.2 非线性控制系统的特性
1. 非线性系统的稳定性除了与系统 结构参数有关之外，还与初始条 件和输入信号有关； 1. 线性系统的稳定性仅与系统结 构参数有关之外，与初始条件 和输入信号无关；
2. 非线性系统除了收敛或发散两种 2. 线性系统有收敛或发散两种运 运动状态外，还有自持振荡状态； 动状态，等幅振荡状态只在理 想情况下存在； 3. 非线性系统对某一频率的输入信 号的稳态输出一般是含有高次谐 3. 线性系统对某一频率的输入信 波分量的非正弦周期函数； 号的稳态输出是与输入信号同 频率的正弦信号； 4. 非线性系统不能使用叠加原理分 析。 4. 线性系统使用叠加原理分析。
2 n
n arctan
An Bn
描述函数法
2. 非线性环节的输入输出特性是奇对称的。
保证非线性环节在正弦输入信号作用下的输出不含直流分量
3. 系统中线性部分具有较好的低通滤波特性。
满足上述条件时，非线性环节的输出x(t)仅剩下基波分量
x(t ) A1 cos t B1 sin t X1 sin(t 1 )
a 0.2, b 1, 则k 5
A a＝0.2时，A 时，-
1 1 0.2 N ( A) k
1 N ( A)
K 0.35K K (1 0.025 2 ) G ( j ) j 4 2 j (0.1 j 1)(0.25 j 1) 0.000625 0.0725 1 (0.000625 4 0.0725 2 1)
0 x(t ) k e(t ) asign[e(t )]
e(t ) 0 e(t ) 0
e(t ) a e(t ) a
（2）死区特性
式中a为死区宽度 k -线性输出的斜率
（3）间隙特性
k e(t ) x(t ) k e(t ) bsign[e(t )]
在没有外界周期变化信号输入时， 非线性系统完全可能产生具有固定周 期和幅值的稳定振荡过程。
非线性系统的动态响应不服从叠加 原理
(1)饱和特性
ke(t ) x(t ) kasigne(t ) e(t ) a
e(t ) a
1 sign[e(t )] 1
正向释放
x
b
正向吸合
a ma
0
b
正向释放电压 正向吸合电压
ma a
e
1）若a=0，则吸合电压和释放电压均为零，称这种特 性为理想继电器特性
x
b
0
b
e
2）若m=1，即吸合电压和释放电压相等，称这种特性 为具有死区的继电器特性
x
b
b
x
a ma
0
b
ma a
a
e
0
a
e
b
3）若m=－1，即反向吸合电压等于正向释放电压（正 向吸合电压等于反向释放电压），称这种特性为具有滞 环的继电器特性
ImG( j ) 0 40
Im
1 N ( A)
3.5 0.714 Re G ( j 40) 4.9
G( j )
令
1 0.714 N ( A)