自动控制原理胡寿松 第8章

ImG( j ) 0 40
Im
1 N ( A)
3.5 0.714 Re G ( j 40) 4.9
G( j )
令
1 0.714 N ( A)
非线性：指元件或环节的静特性不是按线性规律变化。
非线性系统：只要系统中包含一个或一个以上具有非线性元 件，即称为非线性系统。其特性不能用线性微分方程来描述。
非本质非线性：可以进行小偏差线性化的非线性 本质非线性：不能应用小偏差线性化概念将其线性化
非线性系统的主要特征： 系统的稳定性除与结构参数有关 外，还与起始偏差的大小有关 。 系统的响应形式与输入信号的大小 和初始条件有关。
x
b
b
x
a ma
0
b
ma a
a
e
0
a
e
b
（5）变增益特性
k2 e(t ) x(t ) k1e(t ) e(t ) a e(t ) a
式中
特点：
k1 , k 2 -变增益特性斜率
a -切换点
使系统在大误差信号时具有较大的增益，从而使系统响应迅速；
而在小误差信号时具有较小的增益，从而提高系统的相对稳定性。 同时抑制高频低振幅噪声，提高系统响应控制信号的准确度。
n 1
当线性环节具有较好的低通滤波特性时， 高次谐波项被滤除，即可以忽略高次项。 当非线性环节特性为奇对称时，此项为零
其中， A0 1
An 1
2
2 0
2
0
x(t )dt

1
x(t )cos ntd (t )
Bn


2
0
x(t )sin ntd (t )
2 n
Xn A B
8.2 非线性控制系统的特性
1. 非线性系统的稳定性除了与系统 结构参数有关之外，还与初始条 件和输入信号有关； 1. 线性系统的稳定性仅与系统结 构参数有关之外，与初始条件 和输入信号无关；
2. 非线性系统除了收敛或发散两种 2. 线性系统有收敛或发散两种运 运动状态外，还有自持振荡状态； 动状态，等幅振荡状态只在理 想情况下存在； 3. 非线性系统对某一频率的输入信 号的稳态输出一般是含有高次谐 3. 线性系统对某一频率的输入信 波分量的非正弦周期函数； 号的稳态输出是与输入信号同 频率的正弦信号； 4. 非线性系统不能使用叠加原理分 析。 4. 线性系统使用叠加原理分析。
x
G (s)
c
描述函数法
非线性环节的输入信号为 e(t ) A sin t 则其输出x(t)是一个周期函数， x(t)可以展开成傅立叶级数
x(t ) A0 ( An cos nt Bn sin nt )
n 1
A0 X n sin(nt n )
描述函数法
用非线性环节输出信号中的基波分量来近似代替正弦信 号作用下的实际输出，即忽略输出中的高次谐波分量 描述函数的概念
应用描述函数分析法分析系统需要满足的条件：
1.非线性系统的结构图可 以简化为只有一个非线 性环节N ( A)和线性 部分G(s)相串联的典型形式。
r (t ) 0
e
N ( A)
可能是稳定的，也可能是不稳定的。
G(jw)
稳定系统
不稳定系统
1 N( A)
例 P.199 6-6 分析系统稳定性
N ( A)
3 2 1 4 A 2 4 N ( A) 3A
1 N ( A) 1 A , 0 N ( A) A 0,
1 轨迹为整个负实轴 N ( A)
非线性元件用一个对正弦信号的幅值和相位进行变换的环 节来代替
N ( A) X 1 j1 e A
为A和 的复函数
其中：
A为正弦输入信号的振幅 X 1为输出信号的基波分量 的振幅
1为输出信号基波分量相 对输入正弦信号的相移 当非线性特性为单值奇函数时，A1 0 1 0
N ( A) B1 A
在没有外界周期变化信号输入时， 非线性系统完全可能产生具有固定周 期和幅值的稳定振荡过程。
非线性系统的动态响应不服从叠加 原理
(1)饱和特性
ke(t ) x(t ) kasigne(t ) e(t ) a
e(t ) a
1 sign[e(t )] 1
第八章 非线性系统的特点
•学习重点

了解非线性系统的特点，掌握非线性系统与线性系 统的本质区别； 了解典型非线性环节的特点； 理解描述函数的基本概念，掌握描述函数的计算方 法； 掌握分析非线性系统的近似方法——描述函数法， 能够应用描述函数法分析非线性系统的稳定性。
8.1 非线性系统的特点
2 n
n arctan
An Bn
描述函数法
2. 非线性环节的输入输出特性是奇对称的。
保证非线性环节在正弦输入信号作用下的输出不含直流分量
3. 系统中线性部分具有较好的低通滤波特性。
满足上述条件时，非线性环节的输出x(t)仅剩下基波分量
x(t ) A1 cos t B1 sin t X1 sin(t 1 )
正向释放
x
b
正向吸合
a ma
0
b
正向释放电压 正向吸合电压
ma a
e
1）若a=0，则吸合电压和释放电压均为零，称这种特 性为理想继电器特性
x
b
0
b
e
2）若m=1，即吸合电压和释放电压相等，称这种特性 为具有死区的继电器特性
x
b
b
x
a ma
0
b
ma a
a
e
0
a
e
b
3）若m=－1，即反向吸合电压等于正向释放电压（正 向吸合电压等于反向释放电压），称这种特性为具有滞 环的继电器特性
2 1
2
k2 2
1
1 2
1
k2
1
1 2
3 2 1
2
3 e
3 2 1
2
3 x
3 2 1
2
3
e
3 2 1
1 2
只在同一范围内可以相乘！ 通常采用作图的方法！
x
1
2
1
将前一环节的输出与 后一环节的输入对齐
2
k1 1
3 e
非线性控制系统的描述函数分析
8.3 非线性特性的描述函数法
• • • • 1. 2. 3. 4. 基本概念 谐波线性化 非线性特性的描述函数 典型非线性特性的描述函数
1. 基本概念
(1) 分析非线性系统的两种工程方法
相平面法 描述函数法
(2) 描述函数法的特点
• 描述函数法是一种近似方法，相当于线性理论中频率法的推广。 方法不受阶次的限制，且所得结果也比较符合实际，故得到了广 泛应用。
为A的实函数
没有相移
例 三个非线性系统的非线性部分相同，而线性部分分别为
G1 ( s ) 2 s (0.1s 1) 2 s ( s 1) 2(1.5s 1) s ( s 1)(0.1s 1)
G2 ( s )
G3 ( s )
采用描述函数法分析系统时，哪个系统的准确性最高？ 2比1的惯性大，故2比1的低通滤波效果好。3虽然比2多 一个时间常数为0.1的惯性环节，却也多了一个时间常数 为1.5的一阶微分环节。故2的低通滤波效果最好，2的准 确性最高。
8 24 8(2 2 ) G ( j ) 4 j 2 j ( j 1)( j 2) 5 4 ( 4 5 2 4)
Im
G( j )
4 3
ImG( j) 0 3
两个非线性环节串联时，总的描述函数不等于两个非线性环 节描述函数的乘积！
不能随意交换串联顺序！
y
x
2 1
k1 1
1
1 2
2 1
k2 2
1
1 2
3 2 1
2
3 e
3 2 1
2
3 x
N1 ( A)
N2 ( A)
非线性环节串联的计算方法
x
2 1
y y
k1 1
1
1 2
(1)控制系统的稳定性分析
C ( j ) N ( A)G( j ) R( j ) 1 N ( A)G( j )
特征方程为 1 N ( A ) G ( jw ) 0
G ( jw ) 1 N ( A)
非线性特性的负倒描述函数 相当于
G ( jw) 1
负倒描述函数的轨迹是稳定的临界线，可以用G(jw)轨迹 和-1/N(A)之间的相对位置来判别非线性系统的稳定性
假设线性部分是最小相位环节，非线性系统稳定性判断规则如下：
1 曲线则系统稳定，两者距离越远，稳定程度越高 N ( A) 1 （b） G ( jw) 包围 曲线则系统不稳定 N ( A) 1 （c） G ( jw) 与 曲线相交，则非线性系统存在着周期运动，它 N ( A)
（a） G ( jw) 不包围

1 N ( A)
令
1 4 N ( A) 3
A 0 -6

A
Re
A 1
A>1时，系统发散 A<1时，系统收敛 A＝1时，系统的状态？
自持振荡
非线性系统的自振（稳定的周期运动）： 系统受到轻微扰动作用偏离原来的运动状态， 在扰动消失后，系统的运动能重新收敛于原来的等 幅持续振荡。 不稳定的周期运动： 系统的运动不能重新收敛于原来的等幅持续振 荡，而是一经扰动就收敛、发散或是转移到另一种 稳定的周期运动状态。