双曲线的离心率
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17．B
【解析】
试题分析：由双曲线定义根据点 为双曲线上一点，所以 ，又 ，所以 又因为 ，所以有 解得 或 （舍），所以 ，即 ，故选择B
考点：双曲线性质
18．
【解析】
试题分析：由双曲线的定义可知 ,
, ,即 ．
, ．
考点：1双曲线的定义；2双曲线的离心率．
19．
【解析】
试题分析：抛物线的准线方程为 ，双曲线的渐近线方程为 ,则交点A（ ），
20． ．
【解析】
试题分析：由题意， ，∴ 的离心率 ．
考点：椭圆、双曲线的标准方程及其性质．
21．1
【解析】
试题分析：由题意得： ， 所以
考点：双曲线离心率
22．
【解析】
试题分析：设直线方程为 代入双曲线方程得， ．依题意知，方程应有一正根一负根，所以两根之积小于零即 ,∴ , 故 ．
考点：求离心率范围．
4．若点 到双曲线 的一条渐近线的距离为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
5．已知 是双曲线 的两焦点，以点 为直角顶点作等腰直角三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是
6．如图， 、 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与双曲线的左右两支分别交于点 、 ．若 为等边三角形，则双曲线的离心率为
23．5
【解析】
试题分析：根据题意可得
因为三角形的三边长构成等差数列，所以有 ①，又双曲线的定义可知， 即 ，②．联立①②可得 因为 ，所以 即 ，整理可得 解得
考点：双曲线性质
考点：双曲线的简单性质
8．C
【解析】
试题分析：如图，设圆 与 的三边 分别相切于点 ，连接 ，则 ，它们分别是 的高， ，其中 是 的内切圆的半径． ， ，两边约去 得： ，根据双曲线定义，得 ，所以离心率为 ，故选C．
考点：双曲线的离心率
【思路点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下五种情况①，直接求出 ，从而求出 ②构造 的齐次式，求出 ③采用离心率的定义以及椭圆的定义来求解④根据圆锥曲线的统一定义求解⑤构建关于 的不等式，解出 的取值范围。本题中，根据题设条件 为 的内心，又 ，可以建立关于焦半径和焦距的关系。从而找出 之间的关系，求出离心率 。
13．A
【解析】
试题分析：由题知：双曲线的渐近线为 ，所以其中一条渐近线可以为 ，又因为渐近线与抛物线只有一个交点，所以 只有一个解
所以
考点：双曲线的简单性质
14．A
【解析】
试题分析：根据题意可知，点 在以 为圆心，以 为半径的圆上，可以得到圆的方程为 ，该题可转化为圆与双曲线有除右顶点以外的公共点，即方程组 有解，联立消元得 ，其中一个根为 ，另一个根为 ，根据题意可知 ，整理得 ，即 ，从而解得 ，结合双曲线的离心率的取值范围，可知 ，故选A.
10．已知双曲线 的渐近线与实轴的夹角为 ，则双曲线的离心率为（ ）
11．已知 是双曲线 的左顶点， 分别为双曲线的左、右焦点， 为双曲线上一点， 是 的重心，若 ，则双曲线的离心率为
12．双曲线 （ ， ）的左右焦点分别为 、 ，过 的直线与双曲线的右支交于 、 两点，若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 （ ）
5．A
【解析】
试题分析：由等腰直角三角形 得
考点：双曲线方程及性质
6．B
【解析】
试题分析：因为 为等边三角形，不妨设 ， 为双曲线上一点， ， 为双曲线上一点，则 ，由 ，则 ，在 中应用余弦定理得： ，得 ，则 ．
考点：双曲线的简单性质
7．D
【解析】
试题分析：不妨设双曲线的标准方程为 ，则其“伴生椭圆”的方程为 ． ，解得 ，所以其“伴生椭圆”的离心率 ；故选D．
9．A
【解析】
试题分析：由题意 为半径的圆相切于点 ，且 恰好是 的中点，连接 , 为双曲线右支上的一点，所以 ， ,在直角三角形 ，化简得 式子的两端同乘以 ，可得 解得 ，又因为 ，所以应选A．
考点：双曲线的离心率
10．C
【解析】
试题分析：渐近线方程为 ．由于渐近线与实轴夹角为 ，所以 ，所以 ，故选C．
B（ ）．所以要使 为直角三角形，根据对称性有 ,所以 ．
考点：求双曲线的离心率。
【方法点睛】对于求双曲线的离心率问题，因 ,所以只需找到a,c或a,b的关系即可，因此只需题中提供一个等量关系式即可，不需求出a,c,b的具体的值。如本题中 为直角三角形，根据对称性即为 ，从而求出a,b的一个关系，进而求出离心率。
考点：双曲线的离心率.
15．C
【解析】
试题分析：过右顶点A斜率为 的直线为 ，与渐近线 联立可得 ，与渐近线 联立可得 ，由 可得 ，整理得
考点：1．双曲线方程与性质；2．直线方程；3．向量的坐标运算
16．B
【解析】
试题分析：由题意得 ， 双曲线的渐近线方程为 ， 到渐近线的距离 ； 关于渐近线的对称点为 ，与 与渐近线交于点 ，可得 ；而 为 的中点， 为 的中点，所以 ，所以 ；在三角形 中， ，即 ，而 ，可得 ，所以离心率 ．选B．
考点：离心率计算问题．
11．B
【解析】
试题分析：若 ,所以 ，又因为 是 的重心，所以 ，所以 ，故选B．
考点：1．双曲线的几何性质；2．三角形重心的性质．
12．C
【解析】
试题分析：由双曲线的定义可得 ，两式相加可得 ，因为 ，所以 ，代入 可得 ．
因为 ， 所以 ， ．
所以 ，所以 ．故C正确．
考点：双曲线的定义．
23．设F1、F2分别为双曲线 的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使 的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为．
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：由渐近线方程得， ．故选A．
考点：Hale Waihona Puke Baidu双曲线的离心率．
2．D
【解析】
试题分析：由题意 ，即 ，所以 ，即 ．
考点：双曲线的性质．
【方法点晴】在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容;双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e= 是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2=c2-a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1．
17．设 、 分别为双曲线 ， 的左、右焦点，双曲线上存在一点 使得 ， ，则该双曲线的离心率为（ ）
18．若点 是以 为焦点的双曲线 上一点，满足 ，且 ，则此双曲线的离心率为．
19．已知 为抛物线 的焦点，抛物线的准线与双曲线 的两条渐近线分别交于 、 两点．若 为直角三角形，则双曲线的离心率为__________．
3．C
【解析】
试题分析：由 得 ，所以 是 的中点，设 是右焦点，则 是 的中点，所以 ，又 切点，即 ，所以 ， ，点 双曲线上，故 ，所以 ，于是由 有 ，得 ，即 ，故选C．
考点：双曲线的几何性质．
4．A
【解析】
试题分析：双曲线 的一条渐近线为 ，由题意 ，化简得 ，所以 ， ，故选A．
考点：双曲线的性质．
20．如图， 是椭圆 与双曲线 的公共焦点， 分别是 在第二，第四象限的公共点，若四边形 为矩形，则 的离心率是．21．双曲线 与双曲线 的离心率分别为 和 ，则 ．
22．已知双曲线 的左焦点为F，若过点F且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是________．
双曲线的离心率
1．已知双曲线 （ ， ）的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为（ ）
2．过双曲线 的右焦点 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
3．过双曲线 （a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆 的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
考点：双曲线的标准方程与几何性质．相关知识点：点到线的距离 ；双曲线 ，离心率 ， ．
【思路点睛】首先设出点 的坐标（c，0），然后作出其关于渐近线的对称点A，连接 A（如上图）．易得 A∥OB，且 A=2BO．然后可求出点 到渐近线的距离为b，OB=a，所以 A=2a，A =2b，同时可得， ，最后由勾股定理即可求出b，c的关系，进而求出离心率．
13．设双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心率等于( )
14．设双曲线C： 的离心率为 ，右顶点为 ，点 ，若C上存在一点 ，使得 ，则15．过双曲线 的右顶点A作斜率为 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B， C．若 ，则双曲线的离心率是（）
16．已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，若 关于渐近线的对称点恰落在以 为圆心， 为半径的圆上，则双曲线 的离心率为
7．当双曲线 不是等轴双曲线时，我们把以双曲线 的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线 的“伴生椭圆”．则离心率为 的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为
8．已知点 是双曲线 右支上一点， 分别是双曲线的左、右焦点， 为 的内心，若 成立，则双曲线的离心率为（ ）
9．已知 分别是双曲线 的左、右焦点， 为坐标原点， 为双曲线右支上的一点， 与以 为圆心， 为半径的圆相切于点 ，且 恰好是 的中点，则双曲线 的离心率为（ ）
【解析】
试题分析：由双曲线定义根据点 为双曲线上一点，所以 ，又 ，所以 又因为 ，所以有 解得 或 （舍），所以 ，即 ，故选择B
考点：双曲线性质
18．
【解析】
试题分析：由双曲线的定义可知 ,
, ,即 ．
, ．
考点：1双曲线的定义；2双曲线的离心率．
19．
【解析】
试题分析：抛物线的准线方程为 ，双曲线的渐近线方程为 ,则交点A（ ），
20． ．
【解析】
试题分析：由题意， ，∴ 的离心率 ．
考点：椭圆、双曲线的标准方程及其性质．
21．1
【解析】
试题分析：由题意得： ， 所以
考点：双曲线离心率
22．
【解析】
试题分析：设直线方程为 代入双曲线方程得， ．依题意知，方程应有一正根一负根，所以两根之积小于零即 ,∴ , 故 ．
考点：求离心率范围．
4．若点 到双曲线 的一条渐近线的距离为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
5．已知 是双曲线 的两焦点，以点 为直角顶点作等腰直角三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是
6．如图， 、 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与双曲线的左右两支分别交于点 、 ．若 为等边三角形，则双曲线的离心率为
23．5
【解析】
试题分析：根据题意可得
因为三角形的三边长构成等差数列，所以有 ①，又双曲线的定义可知， 即 ，②．联立①②可得 因为 ，所以 即 ，整理可得 解得
考点：双曲线性质
考点：双曲线的简单性质
8．C
【解析】
试题分析：如图，设圆 与 的三边 分别相切于点 ，连接 ，则 ，它们分别是 的高， ，其中 是 的内切圆的半径． ， ，两边约去 得： ，根据双曲线定义，得 ，所以离心率为 ，故选C．
考点：双曲线的离心率
【思路点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下五种情况①，直接求出 ，从而求出 ②构造 的齐次式，求出 ③采用离心率的定义以及椭圆的定义来求解④根据圆锥曲线的统一定义求解⑤构建关于 的不等式，解出 的取值范围。本题中，根据题设条件 为 的内心，又 ，可以建立关于焦半径和焦距的关系。从而找出 之间的关系，求出离心率 。
13．A
【解析】
试题分析：由题知：双曲线的渐近线为 ，所以其中一条渐近线可以为 ，又因为渐近线与抛物线只有一个交点，所以 只有一个解
所以
考点：双曲线的简单性质
14．A
【解析】
试题分析：根据题意可知，点 在以 为圆心，以 为半径的圆上，可以得到圆的方程为 ，该题可转化为圆与双曲线有除右顶点以外的公共点，即方程组 有解，联立消元得 ，其中一个根为 ，另一个根为 ，根据题意可知 ，整理得 ，即 ，从而解得 ，结合双曲线的离心率的取值范围，可知 ，故选A.
10．已知双曲线 的渐近线与实轴的夹角为 ，则双曲线的离心率为（ ）
11．已知 是双曲线 的左顶点， 分别为双曲线的左、右焦点， 为双曲线上一点， 是 的重心，若 ，则双曲线的离心率为
12．双曲线 （ ， ）的左右焦点分别为 、 ，过 的直线与双曲线的右支交于 、 两点，若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 （ ）
5．A
【解析】
试题分析：由等腰直角三角形 得
考点：双曲线方程及性质
6．B
【解析】
试题分析：因为 为等边三角形，不妨设 ， 为双曲线上一点， ， 为双曲线上一点，则 ，由 ，则 ，在 中应用余弦定理得： ，得 ，则 ．
考点：双曲线的简单性质
7．D
【解析】
试题分析：不妨设双曲线的标准方程为 ，则其“伴生椭圆”的方程为 ． ，解得 ，所以其“伴生椭圆”的离心率 ；故选D．
9．A
【解析】
试题分析：由题意 为半径的圆相切于点 ，且 恰好是 的中点，连接 , 为双曲线右支上的一点，所以 ， ,在直角三角形 ，化简得 式子的两端同乘以 ，可得 解得 ，又因为 ，所以应选A．
考点：双曲线的离心率
10．C
【解析】
试题分析：渐近线方程为 ．由于渐近线与实轴夹角为 ，所以 ，所以 ，故选C．
B（ ）．所以要使 为直角三角形，根据对称性有 ,所以 ．
考点：求双曲线的离心率。
【方法点睛】对于求双曲线的离心率问题，因 ,所以只需找到a,c或a,b的关系即可，因此只需题中提供一个等量关系式即可，不需求出a,c,b的具体的值。如本题中 为直角三角形，根据对称性即为 ，从而求出a,b的一个关系，进而求出离心率。
考点：双曲线的离心率.
15．C
【解析】
试题分析：过右顶点A斜率为 的直线为 ，与渐近线 联立可得 ，与渐近线 联立可得 ，由 可得 ，整理得
考点：1．双曲线方程与性质；2．直线方程；3．向量的坐标运算
16．B
【解析】
试题分析：由题意得 ， 双曲线的渐近线方程为 ， 到渐近线的距离 ； 关于渐近线的对称点为 ，与 与渐近线交于点 ，可得 ；而 为 的中点， 为 的中点，所以 ，所以 ；在三角形 中， ，即 ，而 ，可得 ，所以离心率 ．选B．
考点：离心率计算问题．
11．B
【解析】
试题分析：若 ,所以 ，又因为 是 的重心，所以 ，所以 ，故选B．
考点：1．双曲线的几何性质；2．三角形重心的性质．
12．C
【解析】
试题分析：由双曲线的定义可得 ，两式相加可得 ，因为 ，所以 ，代入 可得 ．
因为 ， 所以 ， ．
所以 ，所以 ．故C正确．
考点：双曲线的定义．
23．设F1、F2分别为双曲线 的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使 的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为．
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：由渐近线方程得， ．故选A．
考点：Hale Waihona Puke Baidu双曲线的离心率．
2．D
【解析】
试题分析：由题意 ，即 ，所以 ，即 ．
考点：双曲线的性质．
【方法点晴】在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容;双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e= 是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2=c2-a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1．
17．设 、 分别为双曲线 ， 的左、右焦点，双曲线上存在一点 使得 ， ，则该双曲线的离心率为（ ）
18．若点 是以 为焦点的双曲线 上一点，满足 ，且 ，则此双曲线的离心率为．
19．已知 为抛物线 的焦点，抛物线的准线与双曲线 的两条渐近线分别交于 、 两点．若 为直角三角形，则双曲线的离心率为__________．
3．C
【解析】
试题分析：由 得 ，所以 是 的中点，设 是右焦点，则 是 的中点，所以 ，又 切点，即 ，所以 ， ，点 双曲线上，故 ，所以 ，于是由 有 ，得 ，即 ，故选C．
考点：双曲线的几何性质．
4．A
【解析】
试题分析：双曲线 的一条渐近线为 ，由题意 ，化简得 ，所以 ， ，故选A．
考点：双曲线的性质．
20．如图， 是椭圆 与双曲线 的公共焦点， 分别是 在第二，第四象限的公共点，若四边形 为矩形，则 的离心率是．21．双曲线 与双曲线 的离心率分别为 和 ，则 ．
22．已知双曲线 的左焦点为F，若过点F且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是________．
双曲线的离心率
1．已知双曲线 （ ， ）的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为（ ）
2．过双曲线 的右焦点 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
3．过双曲线 （a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆 的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
考点：双曲线的标准方程与几何性质．相关知识点：点到线的距离 ；双曲线 ，离心率 ， ．
【思路点睛】首先设出点 的坐标（c，0），然后作出其关于渐近线的对称点A，连接 A（如上图）．易得 A∥OB，且 A=2BO．然后可求出点 到渐近线的距离为b，OB=a，所以 A=2a，A =2b，同时可得， ，最后由勾股定理即可求出b，c的关系，进而求出离心率．
13．设双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心率等于( )
14．设双曲线C： 的离心率为 ，右顶点为 ，点 ，若C上存在一点 ，使得 ，则15．过双曲线 的右顶点A作斜率为 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B， C．若 ，则双曲线的离心率是（）
16．已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，若 关于渐近线的对称点恰落在以 为圆心， 为半径的圆上，则双曲线 的离心率为
7．当双曲线 不是等轴双曲线时，我们把以双曲线 的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线 的“伴生椭圆”．则离心率为 的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为
8．已知点 是双曲线 右支上一点， 分别是双曲线的左、右焦点， 为 的内心，若 成立，则双曲线的离心率为（ ）
9．已知 分别是双曲线 的左、右焦点， 为坐标原点， 为双曲线右支上的一点， 与以 为圆心， 为半径的圆相切于点 ，且 恰好是 的中点，则双曲线 的离心率为（ ）