双曲线的离心率
双曲线求离心率
成等差数列，且
PF2 F1 1200 ,则该双曲线的离心率是（
） D.3
A. 3
2
B.
3
C.2
在一点 P ,使 PF1 PF2 ,且 PF1F2 300 ,则 C 的离心率为_F1、F2 分别是双曲线 C : 2 2 1(a 0, b 0) 的左右 a b
焦点，点 P 在 C 的右支上，
PF 1 , PF 2, F 1F 2
求双曲线离心率
思路：得到一个关于a,b,c的等式
方法：
1.求曲线上一点的坐标，代入曲线方程
2.利用三角形中的公式，比如余弦定理， 勾股定理等列等式
2015湖南理
例1
2015山东文
x2 y 2 过双曲线 C : 2 2 1 a 0, b 0 a b
的右焦点作一条与其渐近线平行
的直线，交 C 于点 P ，若点 P 的横坐标为 2a 则 C 的离心率 为 .
2015新课标2
已知 A， B 为双曲线 E 的左， 右顶点， 点 M 在 E 上， ∆ABM 为等腰三角形，且顶角为 120° ，则 E 的离心 率为 A．
5
B．2
C．
3
D．
2
x2 y2 1.设 F1 , F2 是双曲线 C： 2 2 1(a 0, b 0) 的两个焦点.若在 C 上存 a b
双曲线离心率常见题型
一、求双曲线的离心率及其范围。
例1:已知21,F F 分别是双曲线122
22=-b
y a x 的左右焦点，过1F 垂直于x 轴的直线与双曲线交于B A ,两点，若2ABF ∆是直角三角形，求双曲线的离心率。
答案：21+
=e 变式：
1、若2ABF ∆是等边三角形，求双曲线的离心率。
答案：3=e
2、若2ABF ∆是锐角三角形，求双曲线的离心率。
答案：)21,1(+
∈e 3、若2ABF ∆是钝角三角形，求双曲线的离心率。
答案：),21(+∞+∈e
例2:已知21,F F 分别是双曲线12222=-b
y a x 的左右焦点，过2F 且倾斜角的为 60的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，求双曲线的离心率的取值范围。
答案：),2[+∞∈e
例3:过双曲线122
22=-b
y a x 的右焦点2F 作垂直于渐近线的的直线与双曲线的两支都相交，求双曲线的离心率的取值范围。
答案：),2(+∞∈e
二、直线1-=kx y 与双曲线42
2=-y x 没有公共点，求k 的取值范围 2
5,25>-<k k 或 变式1、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 有两个公共点，求k 的取值范围
)2
5,1()1,1()1,25(⋃-⋃-- 变式2、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 只有一个公共点，求k 的取值范围1,2
5±±=k k 或 变式3、直线1-=kx y 与双曲线422=-y x 的左支有两个公共点，求k 的取值范围 )1,25(--。
双曲线的离心率
双曲线的离心率
双曲线的离心率定义为双曲线上任意一点到它的长轴的距离除以到短轴的距离的比值，其符号表示为e，称为双曲线的离心率。
双曲线总是一种几何形状，它的定义即在任意一
点处都满足特定方程，特别是，双曲线满足椭圆方程：
$$
\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } }+\frac
{ { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } }=1
$$
这里a和b分别叫做长轴和短轴的长度，因此，双曲线离心率的定义就是指：
$$
e=\frac { a }{ b }
$$
双曲线是一类重要的曲线，在几何图形中起着重要作用，它有多种形式，可以根据离
心率来划分，离心率表示双曲线形状的大小，离心率越大，双曲线越扁，离心率越小，双
曲线越圆。
如果离心率为1，则双曲线为椭圆，离心率大于1，则双曲线称为钝心双曲线；离心率小于1，则双曲线称为锐心双曲线；当离心率等于无穷大时，双曲线变为直线。
双
曲线是非常常见的几何图形，由于其扁平程度的不同，在许多地方都有应用，比如在球面
测地学中，双曲线用来定义地球的地图投影，也可以用于计算电流在涡旋器中的流动等。
双曲线也经常被应用在求解复杂方程组以及分析特殊函数的问题中。
双曲线的特征与其离心率有关，离心率越大，双曲线越快，越圆，反之，则双曲线变
得越扁，离心率越小，因此，双曲线的离心率在双曲线中起着关键作用，它反映了双曲线
形状的大小，可以用来描述双曲线的属性，以及求解复杂的几何图形模型。
双曲线函数求离心率
双曲线函数求离心率一、引言双曲线函数是高中数学中的一个重要的知识点，它在几何、物理等领域都有着广泛的应用。
其中，离心率是描述双曲线形状特征的一个重要参数，本文将介绍如何通过双曲线函数求离心率。
二、双曲线函数双曲线函数是指函数y=a/x在平面直角坐标系上所表示的图形。
其中，a为常数，x为自变量，y为因变量。
当a>0时，图形在第一象限和第三象限中；当a<0时，图形在第二象限和第四象限中。
三、离心率离心率是描述椭圆或双曲线形状特征的一个重要参数。
对于椭圆而言，它表示焦点与中心之间的距离与长轴长度之比；对于双曲线而言，它表示焦点与中心之间的距离与距离两条渐近线最短距离之差的一半之比。
四、求解方法对于给定的双曲线函数y=a/x，在平面直角坐标系上可以画出该图形。
根据定义可知，在该图形上任意一点P(x,y)，其到两个焦点F1和F2的距离之差等于常数2a。
因此，只需求出两个焦点的坐标，即可计算出离心率。
五、计算步骤1. 求解a值：根据双曲线函数y=a/x的定义可知，a为该函数图形中心到两条渐近线的距离。
因此，只需求出该函数的渐近线方程，即可求解a值。
2. 求解焦点坐标：根据双曲线焦点公式可知，焦点坐标为(F1,F2)=(±sqrt(a^2+b^2),0)，其中b为与a有关的参数。
3. 计算离心率：根据双曲线离心率公式可知，离心率为e=c/a，其中c为焦点到中心的距离。
六、代码实现下面是一个用Python语言实现双曲线函数求离心率的示例代码：def hyperbola_eccentricity(a,b):"""双曲线函数求离心率:param a: 双曲线函数y=a/x中的参数a:param b: 双曲线函数y=a/x中与参数a有关的参数b:return: 离心率e"""# 求解渐近线方程y = ± a/xasymptote1 = lambda x: a / xasymptote2 = lambda x: -a / x# 求解焦点坐标focus1 = (sqrt(a**2 + b**2), 0)focus2 = (-sqrt(a**2 + b**2), 0)# 计算离心率e = sqrt(1 + (b/a)**2)return e七、总结本文介绍了如何通过双曲线函数求离心率的方法，给出了详细的计算步骤和Python代码实现。
双曲线离心率求解的基本方法
精品文档双曲线离心率的求法、利用双曲线定义 例1.已知椭圆E 上存在点P ,在P 与椭圆E 的两个焦点F 、F 2构成的△ FPF 2中, sin. PF 1F 2 : si n. FfF 2:si n. PF 2F 1 ^7 :10 :11.则椭圆 E 的离心率等于 ________二、利用平面几何性质2 2例2 设点P 在双曲线 冷-爲=1(a . 0,b . 0)的右支上，双曲线两 a b 焦点F 、F 2, I PF I=4| PF 2 I ,求双曲线离心率的取值范围。
三、 利用数形结合例3 (同例2)四、 利用均值不等式2 2务一笃_1(a . 0,b . 0)的右支上，双曲线两焦a b六、 利用直线与双曲线的位置关系2X 2例6已知双曲线—-y = 1(a . 0)与直线I : x • y = 1交于P 、Qa 两个不同的点，求双曲线离心率的取值范围。
七、 利用点与双曲线的位置关系2例7已知双曲线■X 〒一 y 2 = 1(a > 0)上存在p 、Q 两点关于直线a x - 2y =1对称，求双曲线离心率的取值范围。
八、 利用非负数性质2 2例8已知过双曲线 务-花-1(a ■ 0,b . 0)左焦点R ,的直线I 交a b双曲线于 P Q 两点，且OP_OQ ( O 为原点)，求双曲线离心率的取值范围。
九、 利用双曲线性质2 2例9.已知双曲线务-首-1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F i (-c,0), F 2(C ,0) •若双曲a b 线上存在点P 使si n PF i F 2朋，则该双曲线的离心率的取值范围是 __________________________sin /PF 2F 1 c精品文档 例4已知点P 在双曲线 点为斤、F 2 , |一丄最小值是8a ,求双曲线离心率的取值范围。
|PF 2|五、利用已知参数的范围例5已知梯形ABCD 中, |AB | = 2|CD |，点E 分有向线段AC 所成的比为，，双曲线过 C 、D E 三点，且以 A B 为焦点，当 <3- 4 <- 求双曲线离心率的取值范围。
双曲线的第二定义
双曲线的第二定义：到定点F 的距离与到定直线l 的距离之比为常数()0ce c a a=>>的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。
1、离心率：（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比aca c e ==22，叫做双曲线的离心率； （2）范围：1>e ；（3）双曲线形状与e 的关系：1122222-=-=-==e ac a a c a b k ； 因此e 的形状就从扁狭逐渐变得开阔。
由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔； （1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化； （2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约； 2、准线方程：对于12222=-by a x 来说，相对于左焦点)0,(1c F -对应着左准线c a x l 21:-=，相对于右焦点)0,(2c F 对应着右准线ca x l 22:=；位置关系：02>>≥c a a x ，焦点到准线的距离cb p 2=（也叫焦参数）； 对于12222=-bx a y 来说，相对于下焦点),0(1c F -对应着下准线c a y l 21:-=；相对于上焦点),0(2c F 对应着上准线ca y l 22:=。
3双曲线上任意一点M 与双曲线焦点12F F 、的连线段，叫做双曲线的焦半径。
设双曲线)0,0( 12222>>=-b a by a x ，21,F F 是其左右焦点，e d MF =11， ∴e cax MF =+201，∴10MF a ex =+；同理 20MF a ex =-； 即：焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式：1020MF a ex MF a ex ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩同理：焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：1020MF a ey MF a ey ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（ 其中12F F 、分别是双曲线的下、上焦点）点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。
双曲线离心率求解技巧
双曲线离心率求解技巧双曲线是数学中一种常见的曲线形状，其特点是离心率大于1。
在解决问题和分析双曲线时，了解和计算离心率是一项重要的技巧。
下面是一些关于双曲线离心率求解技巧的详细说明。
首先，让我们回顾一下双曲线的定义。
双曲线可以通过以下方程表示：(x²/a²) - (y²/b²) = 1其中，a和b是曲线的两个参数，通过改变这两个参数的值可以调整曲线的形状。
曲线的离心率可以通过参数a 和b来计算，具体方法如下：1. 找到曲线的焦点坐标。
双曲线的焦点坐标可以通过下面的公式计算：c = √(a² + b²)其中，c是双曲线曲线的焦点到原点的距离。
根据焦点的位置，曲线可以分为两种类型：左右开口和上下开口。
如果曲线是左右开口的，焦点坐标的x分量为±c，y分量为0；如果曲线是上下开口的，焦点坐标的x分量为0，y 分量为±c。
2. 计算离心率。
离心率是一个用来描述在双曲线上的点离焦点的距离和该点到曲线的距离之比。
数学上，离心率可以通过以下公式计算：e = c/a离心率大于1，说明曲线是一个双曲线。
离心率越接近于1，曲线的形状越趋向于直线。
离心率越大，曲线的形状越弯曲。
计算离心率是分析和解决问题的关键步骤之一，因为离心率的大小可以告诉我们关于曲线特性的很多信息。
例如，离心率越大，曲线的焦点越集中，曲线在焦点附近的形状会发生明显变化。
除了上述的求解技巧，还有一些常见的双曲线的性质和应用，可以帮助我们更好地理解和使用双曲线。
以下是一些常见的例子：1. 长轴和短轴：在双曲线上，a被称为长轴，b被称为短轴。
它们之间的关系是a²- b²= 1。
长轴是双曲线在水平方向上的最长距离，短轴是双曲线在垂直方向上的最短距离。
2. 渐近线：双曲线的渐近线是指曲线在无限远处趋于的直线。
双曲线有两个渐近线，一个是左右开口的情况下的水平渐近线（y = ±(b/a) * x），另一个是上下开口的情况下的垂直渐近线（x = ±(a/b) * y）。
双曲线的三种离心率公式
双曲线的三种离心率公式
双曲线的三种离心率公式是指双曲线的离心率有三种可能的表示形式：椭圆离心率，双曲线离心率和双曲线参数离心率。
首先，椭圆离心率是指双曲线的离心率的椭圆形式。
椭圆离心率的表示形式是C=a/b，其中C代表椭圆离心率，a代表双曲线的短半轴长，b代表双曲线的长半轴长。
第二种双曲线离心率表示形式是双曲线离心率。
双曲线离心率的表示形式是C=e，其中C代表双曲线离心率，e代表双曲线的离心率。
最后，双曲线参数离心率的表示形式是C=e/2，其中C代表双曲线参数离心率，e代表双曲线的离心率。
双曲线的三种离心率公式可以用来表示双曲线的各种形状，从而有助于我们对双曲线的研究。
椭圆离心率可以用来表示双曲线的轮廓，双曲线离心率可以表示双曲线的不同程度的弯曲，而双曲线参数离心率可以表示双曲线的不同程度的扭曲。
双曲线是很多几何图形的一种，它的三种离心率公式可以帮助我们更好地理解双曲线的特性，并且可以应用到许多数学问题中。
例如，可以使用双曲线离心率来计算两个双曲线之间的距离，可以使用双曲线参数离心率来计算双曲线的曲率，也可以使用椭圆离心率来计算双曲线的面积。
总之，双曲线的三种离心率公式可以用来帮助我们更好地理解双曲线的形状，它们也可以用来解决许多数学问题，这使得它们极具有实用价值。
离心率公式大全
离心率公式大全：e=c/a。
圆的离心率=0；抛物线的离心率：e=1；0<e<1, 椭圆；e>1, 双曲线
双曲线的离心率：e=c/a(1,+∞) （c,半焦距；a,半长轴(椭圆)/半实轴(双曲线) ）在圆锥曲线统一定义中，圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为
ρ=ep/(1-e×cosθ)，其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。
扩展资料
在椭圆的标准方程X^2/a^2+Y^2/b^2=1中，如果a>b>0焦点在X轴上；如果b>a>0焦点在Y轴上。
这时，a代表长轴b代表短轴c代表两焦点距离的一半，存在a^2=c^2+b^2。
偏心率e=c/a (0<e<1)中，当e越大，椭圆越扁平。
椭圆的离心率（偏心率）（eccentricity）。
离心率统一定义是动点到焦点的距离和动点到准线的距离之比。
双曲线的离心率的求法
双曲线的离心率的求法1.设1F 、2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，若双曲线上存在点P ，使得︒=∠3021F PF ，︒=∠12012F PF ，则双曲线的离心率为 （ ▲ )A ．2B ．3C ．123+D ．213+2.设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过点2F 的直线交双曲线右支于不同的两点M 、N ．若△1MNF 为正三角形，则该双曲线的离心率为（ ）3.已知双曲线的左、右焦点分别为F 1、F 2，若在双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF 1|=3|PF 2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为（ ）A ． [，+∞） B ． [2，+∞） C ．D ． （1，2] 4.已知12,F F 是两个定点，点P 是以1F 和2F 为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点， 并且12PF PF ⊥，1e 和2e 分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有A ．2212114e e +=B ．22124e e +=C ．2212112e e +=D ．22122e e += 5.设12,F F 分别是双曲线22221x y a b -=的左、右焦点。
若双曲线上存在点A ，使1290F AF ∠=，且123AF AF =，则双曲线的离心率为A．2 B．2 C．2 D6过双曲线的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0）作圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线y 2=4cx 于点P ．若，则双曲线的离心率为 A ．B ．C ．D ．7设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点, P 是C 上一点,若126,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为( )．A. B. D.38.已知点P 是双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交M ，N 两点（如图），点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是A B ．2 C D9如图所示，已知双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A 、B 两点，且直线l 的倾斜角是渐近线OA 倾斜角的2倍，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为10.已知点P 是双曲线)0,0(,12222>>=-b a by a x 右支上一点，21,F F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若 212121F IF IPF IPF S S S ∆∆∆+=成立，则双曲线的离心率为 11设F 1、F 2分别为双曲线C:)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点, A 为双曲线的左顶点, 以F 1F 2为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M 、N 两点, 且满足∠MAN=120o , 则该双曲线的离心率为12已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左、右焦点分别为F 1(-c ，0)，F 2(c ，0)，若双曲线右支上存在点P 使得1221sin sin a c PF F PF F =∠∠，则该双曲线离心率的取值范围为。
双曲线的离心率和渐近线-概述说明以及解释
双曲线的离心率和渐近线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述双曲线是一个非常重要且有趣的数学概念，它在许多科学领域中都具有广泛的应用。
双曲线的离心率和渐近线是研究双曲线性质时的两个重要方面。
本文将深入探讨双曲线的离心率和渐近线，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。
在概率统计学、物理学和工程学等领域，双曲线经常用于描述一些特定的曲线形状。
它具有许多独特的性质，如非对称、无中心和无界等，这使得双曲线在一些特定情况下成为研究对象。
首先，我们将介绍双曲线的离心率。
离心率是用来衡量双曲线扁平程度的一个参数，它决定了双曲线的形状。
通过研究离心率，我们可以更好地理解双曲线的特性，并在实际问题中应用它们。
其次，我们将深入探讨双曲线的渐近线。
渐近线是指曲线在无穷远处趋近于某一直线的情况。
对于双曲线而言，它具有两条渐近线，分别与曲线的两个分支在无穷远处平行。
渐近线的性质可以帮助我们更好地理解双曲线的走向和特征。
本文将通过详细的推导和实例分析，阐明双曲线的离心率和渐近线的定义、性质和应用。
我们将探讨它们在物理学、工程学和数学模型中的应用案例，以及如何利用这些概念来解决实际问题。
在结论部分，我们将总结双曲线的离心率和渐近线的重要性，并探讨它们在实际问题中的应用和意义。
通过深入理解和应用双曲线的离心率和渐近线，我们可以更好地解决各种问题，并在科学研究和工程实践中取得更好的成果。
在接下来的章节中，我们将逐步展开双曲线的离心率和渐近线的详细内容，希望读者能够跟随我们的步伐，深入了解这些有趣且具有应用价值的数学概念。
1.2文章结构文章结构是指文章的章节安排和组织方式。
对于这篇文章，可以按照以下方式组织文章结构：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 双曲线的离心率2.2 双曲线的渐近线3. 结论3.1 总结双曲线的离心率和渐近线3.2 对双曲线性质的应用和意义在引言部分，可以首先对双曲线的概念进行简要说明，包括其定义和特点。
双曲线的三种离心率公式
双曲线的三种离心率公式：
双曲线的离心率公式：e=√（a²-b²)/a。
其中a是椭圆的半长轴长度，b是椭圆的半短轴长度。
在数学中，双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。
这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。
a还叫做双曲线的实半轴。
焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。
离心率介绍：
离心率又称偏心率是指圆锥曲线上的一点到平面内一定点的距离与到不过此定点的一定直线的距离之比。
其中此定点称为焦点而此定直线称为准线，设一圆锥曲线C由C:d（P，M）＝e·d（L，M）定义，其中P为焦点、L为准线则此时e称为C的离心率。
关于椭圆,双曲线及抛物线离心率的几何性质
关于椭圆,双曲线及抛物线离心率的几何性质
离心率是一个几何性质，是指一个图形它的焦点到曲线上任意点的距离与另一个焦点到这一点的距离的比值。
这个几何性质经常用于椭圆，双曲线和抛物线描述，从而有助于理解它们的几何特征。
下面对这三种曲线的离心率进行详细介绍。
（1）椭圆的离心率
椭圆是一种经典的曲线，其离心率的定义如下：椭圆的离心率是焦点到曲线上任意点的距离与两焦点之间的距离的比值。
也就是说，椭圆的离心率就是两个焦点之间距离与任意点到其中一个焦点之间距离的比值。
椭圆的离心率一般大于0，但小于1。
（2）双曲线的离心率
双曲线属于几何图形，它的离心率的定义如下：双曲线的离心率是焦点到曲线上任意点的距离与两焦点之间的距离之比。
双曲线的离心率一般大于1，但小于无限大。
（3）抛物线的离心率
抛物线也称为二次曲线，它的离心率定义为：抛物线的离心率是焦点到曲线上任意点的距离与两焦点之间的距离之比。
抛物线的离心率总是等于1，两个焦点之间的距离总是等于任意点到其中一个焦点之间的距离。
以上就是椭圆，双曲线和抛物线的离心率的相关几何特征。
它们的离心率是一个重要的几何属性，可以帮助我们更好地理解这三种曲线的几何结构。
有关双曲线的二级结论
有关双曲线的二级结论
1. 双曲线的离心率（eccentricity）是一个大于1的实数。
离心率越大，双曲线的形状越扁平。
2. 双曲线的焦点（focus）是离心线（directrix）上的两个点，与该双曲线上的点的距离之和始终相等。
3. 双曲线的两个分支之间的距离（transverse axis）是双曲线的两个焦点之间的距离。
4. 双曲线的两个分支的交点称为顶点（vertex）。
5. 双曲线对称于它的两条渐近线（asymptotes）。
6. 双曲线的上支和下支分别称为正支（positive branch）和负支（negative branch）。
7. 双曲线的标准方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1或(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = -1。
其中，a称为双曲线的横轴半轴长，b称为双曲线的纵轴半轴长。
8. 双曲线的渐近线方程为y = (±b/a)x或y = (±b/a)x。
这些是关于双曲线的一些二级结论，它们有助于理解双曲线的性质和特点。
双曲线离心率课件
高速铁路
在高速铁路轨道设计中，双曲线离心率用于优化 列车运行的轨迹，提高列车的运行效率和安全性。
05
双曲线离心率的题目解析
基础题目解析
01 基础题目解析
这类题目主要考察双曲线离心率的定义和基本性 质，难度较低。通常包括求双曲线的离心率、判 断离心率的大小关系等。
02 题目示例
已知双曲线$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$的一条渐近线方程为$y = frac{1}{2}x$，求该 双曲线的离心率。
根据渐近线方程，我们可以得到$frac{b}{a} = 1$， 进一步得到离心率$e = frac{c}{a} = sqrt{1 + frac{b^2}{a^2}} = sqrt{1 + 1} = sqrt{2}$。
高难度题目解析
01
高难度题目解析
这类题目难度较大，除了考察双曲线离心率的定义和性质外，还会涉及
离心率与双曲线焦点的关系
总结词
离心率越大，双曲线的焦点距离越短；离心率越小，双曲线的焦点距离越长。
详细描述
离心率不仅决定了双曲线的形状和顶点位置，还影响了双曲线的焦点距离。离心率越大，两个焦点之间的距离越 短；离心率越小，两个焦点之间的距离越长。这是因为离心率的变化会影响到双曲线的形状和大小，进而影响焦 点的位置和距离。
$a$和$b$分别表示双曲线的实半轴和虚半轴长度， 且满足关系$c^2 = a^2 + b^2$，其中$c$为焦 距。
双曲线的性质
双曲线有两个分支，在平面内关于原点对称。 01
双曲线的离心率大于1，表示双曲线与焦点之间的 02 距离逐渐增大。
双曲线的渐近线方程为$y = pm frac{b}{a}x$或 03 $y = pm frac{a}{b}x$，取决于双曲线的开口方向。
双曲线离心率与渐近线的关系
双曲线离心率与渐近线的关系双曲线离心率与渐近线的关系1、什么是双曲线离心率：双曲线离心率（eccentricity）是指一个椭圆及其形状的程度。
它是描述一个椭圆或其它椭圆曲线的形状的一种特殊比例。
其值的取值范围被约束在 0～1 之间，离心率e 就是在这一范围内，椭圆曲线的圆心和焦点之间的距离与大圆的半径的比。
离心率的取值越大，椭圆的形状就越扁。
2、什么是渐近线:渐远线（Asymptote）是指椭圆或其它椭圆曲线的某一总体方向的线段。
它是定义在曲线上但在某一程序趋近无穷大，任何直线与这条曲线趋近时，直线与曲线的距离都会变为无穷小，最终消失的椭圆上的一种总体方向的直线。
3、双曲线离心率与渐近线的关系:（1）双曲线离心率与渐近线的关系有助于理解双曲线的形状。
由于双曲线上有两个焦点，所以它有两个渐近线，都以椭圆的圆心为中心，斜率自然也不同。
（2）由于双曲线的离心率为0到1之间的一个数值，当离心率越大时，椭圆轮廓更扁，渐近线也会越远离椭圆的形心。
当离心率越接近1时，椭圆轮廓变得更扁，而两条渐近线也越来越远离椭圆的圆心。
（3）此外，双曲线的离心率也与渐近线之间的距离存在关系。
双曲线的离心率越大，两个焦点分别处于曲线的最远点，椭圆轮廓变得更扁，而两条渐近线之间的距离也越远。
反之，当离心率越接近0时，椭圆的形状越圆，渐近线之间的距离也越短。
4、结论:总的来说，双曲线离心率与渐近线之间存在着诸多关系，离心率越大，渐近线之间的距离就越远；反之，离心率越小，渐近线之间的距离就越短。
它们的关系彼此之间密不可分，它们对于双曲线的性质和形状分析具有重要意义。
双曲线离心率秒杀公式
双曲线离心率秒杀公式
在数学中，双曲线是一种非常有趣且重要的曲线形式。
它由两个分离的点（焦点）和与这两个点的距离之差（称为离心率）的比例确定。
离心率是双曲线的一个重要参数，可以用来描述其形状。
在研究双曲线的性质和应用时，计算离心率是一个常见的任务。
幸运的是，有一个简单的公式可以用来计算双曲线的离心率，这个公式被称为双曲线离心率秒杀公式。
双曲线离心率秒杀公式是通过使用双曲线的焦点和顶点的坐标来计
算离心率的。
假设双曲线的焦点坐标为（h，k），顶点坐标为（a，b），离心率为e。
则公式如下：
e = √(h^2 + k^2 - a^2 - b^2) / |a|
这个公式的推导和证明可以通过几何和代数的方法完成，但是在这里我们只关注它的实际应用。
通过使用这个公式，我们可以轻松地计算给定双曲线的离心率。
双曲线离心率秒杀公式的应用非常广泛。
它可以在数学问题中使用，比如求解双曲线的方程、性质和参数等；它还可以在物理学和工程学中使用，比如在轨道力学中描述行星轨道的形状和运动等。
总结起来，双曲线离心率秒杀公式是一个非常有用的工具，可以帮助我们快速准确地计算双曲线的离心率。
它在数学、物理学和工程学等领域都有着广泛的应用。
掌握这个公式可以帮助我们更好地理解和应用双曲线的各种性质和特点。
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试题分析：如图，设圆 与 的三边 分别相切于点 ，连接 ，则 ，它们分别是 的高， ，其中 是 的内切圆的半径． ， ，两边约去 得： ，根据双曲线定义，得 ，所以离心率为 ，故选C．
考点：双曲线的离心率
【思路点睛】离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下五种情况①，直接求出 ，从而求出 ②构造 的齐次式，求出 ③采用离心率的定义以及椭圆的定义来求解④根据圆锥曲线的统一定义求解⑤构建关于 的不等式，解出 的取值范围。本题中，根据题设条件 为 的内心，又 ，可以建立关于焦半径和焦距的关系。从而找出 之间的关系，求出离心率 。
13．设双曲线 的渐近线与抛物线 相切，则该双曲线的离心率等于( )
14．设双曲线C： 的离心率为 ，右顶点为 ，点 ，若C上存在一点 ，使得 ，则15．过双曲线 的右顶点A作斜率为 的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B， C．若 ，则双曲线的离心率是（）
16．已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，若 关于渐近线的对称点恰落在以 为圆心， 为半径的圆上，则双曲线 的离心率为
考点：双曲线的离心率.
15．C
【解析】
试题分析：过右顶点A斜率为 的直线为 ，与渐近线 联立可得 ，与渐近线 联立可得 ，由 可得 ，整理得
考点：1．双曲线方程与性质；2．直线方程；3．向量的坐标运算
16．B
【解析】
试题分析：由题意得 ， 双曲线的渐近线方程为 ， 到渐近线的距离 ； 关于渐近线的对称点为 ，与 与渐近线交于点 ，可得 ；而 为 的中点， 为 的中点，所以 ，所以 ；在三角形 中， ，即 ，而 ，可得 ，所以离心率 ．选B．
9．A
【解析】
试题分析：由题意 为半径的圆相切于点 ，且 恰好是 的中点，连接 , 为双曲线右支上的一点，所以 ， ,在直角三角形 ，化简得 式子的两端同乘以 ，可得 解得 ，又因为 ，所以应选A．
考点：双曲线的离心率
10．C
【解析】
试题分析：渐近线方程为 ．由于渐近线与实轴夹角为 ，所以 ，所以 ，故选C．
20． ．
【解析】
试题分析：由题意， ，∴ 的离心率 ．
考点：椭圆、双曲线的标准方程及其性质．
21．1
【解析】
试题分析：由题意得： ， 所以
考点：双曲线离心率
22．
【解析】
试题分析：设直线方程为 代入双曲线方程得， ．依题意知，方程应有一正根一负根，所以两根之积小于零即 ,∴ , 故 ．
考点：求离心率范围．
17．B
【解析】
试题分析：由双曲线定义根据点 为双曲线上一点，所以 ，又 ，所以 又因为 ，所以有 解得 或 （舍），所以 ，即 ，故选择B
考点：双曲线性质
18．
【解析】
试题分析：由双曲线的定义可知 ,
, ,即 ．
, ．
考点：1双曲线的定义；2双曲线的离心率．
19．
【解析】
试题分析：抛物线的准线方程为 ，双曲线的渐近线方程为 ,则交点A（ ），
20．如图， 是椭圆 与双曲线 的公共焦点， 分别是 在第二，第四象限的公共点，若四边形 为矩形，则 的离心率是．21．双曲线 与双曲线 的离心率分别为 和 ，则 ．
22．已知双曲线 的左焦点为F，若过点F且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是________．
10．已知双曲线 的渐近线与实轴的夹角为 ，则双曲线的离心率为（ ）
11．已知 是双曲线 的左顶点， 分别为双曲线的左、右焦点， 为双曲线上一点， 是 的重心，若 ，则双曲线的离心率为
12．双曲线 （ ， ）的左右焦点分别为 、 ，过 的直线与双曲线的右支交于 、 两点，若 是以 为直角顶点的等腰直角三角形，则 （ ）
双曲线的离心率
1．已知双曲线 （ ， ）的一条渐近线方程为 ，则双曲线的离心率为（ ）
2．过双曲线 的右焦点 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
3．过双曲线 （a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆 的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
考点：离心率计算问题．
11．B
【解析】
试题分析：若 ,所以 ，又因为 是 的重心，所以 ，所以 ，故选B．
考点：1．双曲线的几何性质；2．三角形重心的性质．
12．C
【解析】
试题分析：由双曲线的定义可得 ，两式相加可得 ，因为 ，所以 ，代入 可得 ．
因为 ， 所以 ， ．
所以 ，所以 ．故C正确．
考点：双曲线的定义．
23．设F1、F2分别为双曲线 的左、右焦点，若双曲线的右支上存在一点P，使 的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为．
参考答案
1．A
【解析】
试题分析：由渐近线方程得， ．故选A．
考点：求双曲线的离心率．
2．D
【解析】
试题分析：由题意 ，即 ，所以 ，即 ．
考点：双曲线的性质．
【方法点晴】在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容;双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e= 是一个比值，故只需根据条件得到关于a，b，c的一个关系式，利用b2=c2-a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1．
考点：双曲线的标准方程与几何性质．相关知识点：点到线的距离 ；双曲线 ，离心率 ， ．
【思路点睛】首先设出点 的坐标（c，0），然后作出其关于渐近线的对称点A，连接 A（如上图）．易得 A∥OB，且 A=2BO．然后可求出点 到渐近线的距离为b，OB=a，所以 A=2a，A =2b，同时可得， ，最后由勾股定理即可求出b，c的关系，进而求出离心率．
13．A
【解析】
试题分析：由题知：双曲线的渐近线为 ，所以其中一条渐近线可以为 ，又因为渐近线与抛物线只有一个交点，所以 只有一个解
所以
考点：双曲线的简单性质
14．A
【解析】
试题分析：根据题意可知，点 在以 为圆心，以 为半径的圆上，可以得到圆的方程为 ，该题可转化为圆与双曲线有除右顶点以外的公共点，即方程组 有解，联立消元得 ，其中一个根为 ，另一个根为 ，根据题意可知 ，整理得 ，即 ，从而解得 ，结合双曲线的离心率的取值范围，可知 ，故选A.
4．若点 到双曲线 的一条渐近线的距离为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
5．已知 是双曲线 的两焦点，以点 为直角顶点作等腰直角三角形 ，若边 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是
6．如图， 、 是双曲线 的左、右焦点，过 的直线 与双曲线的左右两支分别交于点 、 ．若 为等边三角形，则双曲线的离心率为
17．设 、 分别为双曲线 ， 的左、右焦点，双曲线上存在一点 使得 ， ，则该双曲线的离心率为（ ）
18．若点 是以 为焦点的双曲线 上一点，满足 ，且 ，则此双曲线的离心率为．
19．已知 为抛物线 的焦点，抛物线的准线与双曲线 的两条渐近线分别交于 、 两点．若 为直角三角形，则双曲线的离心率为__________．
3．C
【解析】
试题分析：由 得 ，所以 是 的中点，设 是右焦点，则 是 的中点，所以 ，又 切点，即 ，所以 ， ，点 双曲线上，故 ，所以 ，于是由 有 ，得 ，即 ，故选C．
考点：双曲线的几何性质．
4．A
【解析】
试题分析：双曲线 的一条渐近线为 ，由题意 ，化简得 ，所以 ， ，故选A．
考点：双曲线的性质．
5．A
【解析】
试题分析：由等腰直角三角形 得
考点：双曲线方程及性质
6．B
【解析】
试题分析：因为 为等边三角形，不妨设 ， 为双曲线上一点， ， 为双曲线上一点，则 ，由 ，则 ，在 中应用余弦定理得： ，得 ，则 ．
考点：双曲线的简单性质
7．D
【解析】
试题分析：不妨设双曲线的标准方程为 ，则其“伴生椭圆”的方程为 ． ，解得 ，所以其“伴生椭圆”的离心率 ；故选D．
7．当双曲线 不是等轴双曲线时，我们把以双曲线 的实轴、虚轴的端点作为顶点的椭圆称为双曲线 的“伴生椭圆”．则离心率为 的双曲线的“伴生椭圆”的离心率为
8．已知点 是双曲线 右支上一点， 分别是双曲线的左、右焦点， 为 的内心，若 成立，则双曲线的离心率为（ ）
9．已知 分别是双曲线 的左、右焦点， 为坐标原点， 为双曲线右支上的一点， 与以 为圆心， 为半径的圆相切于点 ，且 恰好是 的中点，则双曲线 的离心率为（ ）
B（ ）．所以要使 为直角三角形，根据对称性有 ,所以 ．
考点：求双曲线的离心率。
【方法点睛】对于求双曲线的离心率问题，因 ,所以只需找到a,c或a,b的关系即可，因此只需题中提供一个等量关系式即可，不需求出a,c,b的具体的值。如本题中 为直角三角形，根据对称性即为 ，从而求出a,b的一个关系，进而求出离心率。
23．5
【解析】
试题分析：根据题意可得
因为三角形的三边长构成等差数列，所以有 ①，又双曲线的定义可知， 即 ，②．联立①②可得 因为 ，所以 即 ，整理可得 解得
考点：双曲线性质