类型三++点的坐标的变化规律
位似
位似一、目标认知学习目标1．了解图形的位似，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用相似的方法，将一个图形放大或缩小.2．观察分析现实生活中确定位置的现象，经历探索图形坐标的变化与图形形状的变化之间的关系，进一步发展数形结合的意识、形象思维能力和数学应用能力.3．在同一直角坐标系中，感受图形变化后点的坐标的变化与各点坐标变化后图形发生的变化.重点难点1．重点：位似图形的有关概念、性质与作图．用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换．2．难点：利用位似将一个图形放大或缩小及在同一直角坐标系中，图形变化后点的坐标的变化规律.二、知识要点梳理：1．位似图形的概念如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．2．位似图形的性质位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上；位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；位似图形中不经过位似中心的对应线段平行。
3．位似图形与相似图形的区别位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形。
4．作位似图形的步骤第一步：在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；第二步：作位似中心与各关键点连线；第三步：在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；第四步：顺次连接截取点。
5．位似变换中对应点的坐标变化规律在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k。
6．平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而图形放大或缩小(位似变换)之后是相似的．三、规律方法指导1．判断位似图形的方法，紧抓两个要点：①是相似图形；②每组对应点所在的直线经过同一点(即位似中心)．2．位似图形的画法可归结为：一确定、二连结、三关键．一确定，即确定位似中心；二连结，即连结位似中心和顶点；三关键，即根据相似比，确定关键点．3．位似图形是相似图形的特例．因此，位似比可通过相似三角形对应边的比得到，根据位似中心和位似比就可以把一个图形放大或缩小．4．列表总结如下：图形相似变换若与是位似图形，则位似中心O为位似中心，位似中心可以在两图形的同侧，或两图形之间，或图形内，或边上，或图形的顶点相似图形与位似图形的关系位似图形一定是相似图形；相似图形不一定是位似图形图形放大与缩小的原理射线法测量原理位似图形的性质(1)；(2)；(3)；(4)(为相似比)经典例题讲解类型一、位似图形的有关概念1．（1）（2011广东东莞）将左下图中的箭头缩小到原来的，得到的图形是（）思路点拨：根据形状相同，大小不一定相等的两个图形相似的定义，A符合将图中的箭头缩小到原来的的条件；B与原图相同；C将图中的箭头扩大到原来的2倍；D只将图中的箭头长度缩小到原来的，宽度没有改变，故选A.答案：A.（2）如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，那么矩形ABCD与四边形EFGH是否是位似图形？若是，指出位似中心并求出位似比.思路点拨：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，根据定义，题目中的所述图形符合条件，显然是位似图形，它们的位似中心即AC与BD的交点O，又因为E、F、G、H分别是中点，所以位似比为2.解：∵E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，∴∴∴同理：∴四边形ABCD与四边形EFGH相似因为两个图形的对应点所在直线都经过点O所以它们是位似图形，位似中心为点O，位似比为2：1.总结升华：判断两个图形是否是位似图形，只要看两个图形是否是相似图形，并且对应点的连线是否经过同一个点，若经过同一点，则是位似图形，否则不是位似图形；求位似比，也就是求相似图形的相似比，对于此类问题，只要认真观察图形，就能解决.举一反三【变式1】如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心．思路点拨：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两个方面缺一不可．解：图(1)、(2)和(4)三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心分别是图(1)中的点A ，图(2)中的点P和图(4)中的点O．(图(3)中的点O不是对应点连线的交点，故图(3)不是位似图形，图(5)也不是位似图形)2．如图，D、E分别AB、AC上的点.(1)如果DE∥BC，那么△ADE和△ABC是位似图形吗？为什么？(2)如果△ADE和△ABC是位似图形，那么DE∥BC吗？为什么？解：(1)△ADE和△ABC是位似图形.理由是：DE∥BC，所以∠ADE=∠B，∠AED=∠C.所以△ADE∽△ABC，所以.又因为点A是△ADE和△ABC的公共点，点D和点B是对应点，点E和点C 是对应点，直线BD与CE交于点A，所以△ADE和△ABC是位似图形.(2)DE∥BC.理由是：因为△ADE和△ABC是位似图形，所以△ADE∽△ABC所以∠ADE=∠B所以DE∥BC.类型二、位似图形的作法3．把图1中的四边形ABCD缩小到原来的．思路点拨：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．作法一：(1)在四边形ABCD外任取一点O；(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；(3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，使得；(4)顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图2．作法二：(1)在四边形ABCD外任取一点O；(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；(3)分别在射线OA，OB，OC，OD的反向延长线上取点A′、B′、C′、D′，使得；(4)顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图3．作法三：(1)在四边形ABCD内任取一点O；(2)过点O分别作射线OA，OB，OC，OD；(3)分别在射线OA，OB，OC，OD上取点A′、B′、C′、D′，使得；(4)顺次连接A′B′、B′C′、C′D′、D′A′，得到所要画的四边形A′B′C′D′，如图4．(当点O在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略)举一反三【变式1】已知五边形ABCDE，利用位似，将图形放大2倍。
中考数学小专题(五) 平面直角坐标系中点的变化规律
是
.
第4题 图
5 . （ 2 0 2 2 ·咸 宁 市 通 城 县 期 末 ） 如 图 ， 在 平 面 直 角 坐 标 系
中，有若干个整数点，其顺序按图中“→”方向排列，
如：（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），
（3，1（）7，，（6）3，0），…，根据这个规律，第22个点的
坐标为
.
类型三 沿坐标轴延伸运动的点的坐标规律
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3.（2022·恩施州来凤县期末）如图，动点P在平面直角坐标
系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点
（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动
到点（3，2A）……按这样的运动规律，经过第2 022次运动
A后.（，2动0点22P，的坐B标.（是2（022， ）
类型四 环绕型运动中点的坐标规律
6.在平面直角坐标系中，设一动点自点P0（1，0）处向上运
动1个单位长度至点P1（1，1），然后向左运动2个单位长
度至点P2处，再向下运动3个单位长度至点P3处，再向右运
动4个单位长度至点P4处，再向上运动5个单位长度至点P5
处，如此继续B 运动下去，设点Pn（xn，yn），n＝1，2，
小专题（五） 平面直角坐标系中点的
变化规律
类型一 利用有序数对表示数列中的规律 1.（2022·孝感市安陆市期末）将从1开始的连续自然数按以下规律
若有序数对（n，m）表示第n行，从左到右第m个数，如：
（3，2）表示6，（则1表0，示1989）的有序数对是
.
类型二 新定义中的坐标规律
2.（2022·随州市曾都区期末）在平面直角坐标系中，对于点
平面直角坐标系中点的变化规律例题
平面直角坐标系中点的变化规律例题嘿，伙计们！今天我们来聊聊点的变化规律，这个话题可真是有点儿意思呢！你知道吗，点在平面直角坐标系中可是有着千丝万缕的关系，它们之间的关系就像是一家人一样，有时候亲密无间，有时候又各自为政。
好了，废话不多说，让我们一起来揭开点的变化规律吧！我们来看看点的基本概念。
在平面直角坐标系中，点是指一个具有特定横纵坐标的确定位置。
我们可以把点想象成生活中的一个标志性建筑，比如一家餐厅、一座公园或者一条小巷子。
这些地方都有自己的特色和位置，而点也是如此。
它们在平面直角坐标系中的位置是固定的，不会随着时间的推移而发生改变。
接下来，我们来聊聊点的坐标。
在平面直角坐标系中，点的位置是由横纵坐标共同决定的。
横坐标表示点在水平方向上的位置，而纵坐标表示点在垂直方向上的位置。
有了横纵坐标，我们就可以准确地找到一个点在哪里。
这就像是我们在找朋友的时候，知道他们家的地址和电话号码，就能轻松地找到他们一样。
那么，点之间又是如何相互关联的呢？这就涉及到了点的平移、旋转和缩放等变换。
平移是指点沿着某一方向按照一定距离进行移动；旋转是指点绕着某一点按照一定角度进行旋转；缩放是指点的大小按照一定比例进行变化。
这些变换在我们日常生活中是非常常见的，比如我们去外地旅游时，可能会选择乘坐火车、飞机或者汽车等交通工具；在学习过程中，我们可能会阅读课本、做笔记或者参加讨论等活动。
这些都是点之间相互关联的例子。
点还有着丰富的性质。
比如，我们可以发现，在同一平面直角坐标系中，任意两点之间的距离是固定的；如果两个点的横纵坐标互为相反数，那么这两个点就是关于原点的对称点；如果一个点的横纵坐标分别等于另一个点的横纵坐标的一半，那么这两个点就是关于对角线的中点对称的。
这些性质在我们的日常生活中也是非常实用的，比如我们可以用来计算两点之间的距离、判断两个点是否关于某一点对称等等。
点在平面直角坐标系中的变化规律是丰富多彩的，它们之间的关系既有趣又实用。
平面直角坐标系点的坐标移动规律
平面直角坐标系点的坐标移动规律平面直角坐标系中的点的坐标移动规律在平面直角坐标系中，点的坐标移动规律是描述点在平面上移动的方式和规则。
点的坐标由x轴和y轴上的数值组成，通过改变这些数值，我们可以改变点在平面上的位置。
点的坐标移动可以有多种方式，下面我们将介绍一些常见的移动规律。
1. 平移：平移是指点在平面上沿着某个方向移动一定的距离。
平移可以分为水平平移和垂直平移两种。
水平平移是指点在x轴方向上移动，垂直平移是指点在y轴方向上移动。
在平移过程中，点的x 轴和y轴坐标同时改变，但是它们的差值保持不变。
2. 旋转：旋转是指点围绕某个固定点旋转一定的角度。
旋转可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种。
顺时针旋转是指点沿着一个圆周顺时针方向旋转，逆时针旋转是指点沿着一个圆周逆时针方向旋转。
在旋转过程中，点的坐标随着旋转角度的变化而改变。
3. 缩放：缩放是指改变点到固定点的距离。
缩放可以分为放大和缩小两种。
放大是指点到固定点的距离变大，缩小是指点到固定点的距离变小。
在缩放过程中，点的x轴和y轴坐标同时改变，但是它们的比例保持不变。
4. 对称：对称是指点关于某条直线或某个点对称。
关于直线对称是指点在直线两侧对称，关于点对称是指点关于一个点对称。
在对称过程中，点的x轴和y轴坐标同时改变，但是它们的符号改变。
这些移动规律可以单独应用，也可以同时应用。
通过组合使用这些规律，我们可以描述点在平面上的任意移动方式。
在实际应用中，点的坐标移动规律被广泛应用于几何学、物理学、计算机图形学等领域。
在几何学中，点的坐标移动规律可以用来描述线段、角度、面积等几何概念。
在物理学中，点的坐标移动规律可以用来描述物体的运动轨迹和变形过程。
在计算机图形学中，点的坐标移动规律可以用来生成图像和动画效果。
点的坐标移动规律是描述点在平面上移动的方式和规则。
通过改变点的x轴和y轴坐标，我们可以改变点在平面上的位置。
这些移动规律可以单独应用，也可以同时应用，通过组合使用这些规律，我们可以描述点在平面上的任意移动方式。
五种点的对称点的规律
五种点的对称点的规律确定图形的位置及描述图形的变化规律都需要求点的坐标，对这类基本题型，有的同学由于对点的坐标概念理解不清，单凭直觉来思维，往往导致误解，现总结五种点的对称点的规律，记住此规律，可使解题省时准确。
一、点关于x 轴的对称点如图1，P （a ，b ）关于x 轴的对称点为P ′，则|PA|=|P ′A|，∴P ′（a ，-b ） 规律：点P 关于x 轴的对称点P ′的坐标是P 的，横坐标不变，纵坐标互为相反数二、点关于y 轴的对称点如图2，P （a ，b ）关于y 轴的对称点为P ′，则|PB|=|P ′B|，∴P ′（-a ，b ） 规律：点P 关于y 轴的对称点P ′的坐标是P的横坐标互为相反数，纵坐标不变。
三、点关于原点的对称点如图3，P （a ，b ）关于原点的对称点为P ′，则|OP|=|OP ′|，作PA ⊥x 轴于A ，作P ′B ⊥x 轴于B ，有∠PAO=∠P ′BO=Rt ∠，∠POA=∠P ′OB ，故△POA ≌△P ′OB ，∴|PA|=|P ’B|，|OA|=|OB|，∴P ′（-a ，-b ）规律：点P 关于原点的对称点P ′的坐标是P 的横、纵坐标的相反数。
四、点关于一、三象限角平分线的对称点如图4，l 为一、三象限的角平分线，P （a ，b ）关于l 的对称点为P ′，则|PC|=|P ′C|，易证Rt △PCO ≌Rt △P ′OC∴OP=OP ′，∠COP=∠COP ′作PA ⊥x 轴于A ，作P ′B ⊥y 轴于B ，易证图2 b ） ，b ） x∵l 平分一、三象限∴∠COA=∠COB ，所以∠POA=∠P ′OBRt △POA ≌Rt △P ′OB ，所以|PA|=|P ′B|，|OA|=|OB|∴P ′（b ，a ）规律：点P 关于一、三象限的角平分线的对称点P ′的坐标是P 的纵、横坐标。
五、点关于二、四象限角平分线的对称点如图5，l 是二、四象限的角平分线，P （a证Rt △PCO ≌Rt △P ′CO ∴|OP|=|OP ′|，∠POC=∠P ′OC作PA ⊥x 轴于A ，作P ′B ⊥y 轴于B又∵l 为二、四象限的角平分线∴∠AOC=∠BOC∴∠POA=∠P ′OB又∵|OP|=|P ′O| ∴Rt △PAO ≌Rt △P ′BO ∴|OA|=|OB|，|PA|=|P ′B|∴P ′（-b ，-a ）规律：点P 关于二、四象限的角平分线的对称点P ′的 坐标是P 的纵、横坐标的相反数。
专题：平面直角坐标系中的变化规律(含答案)
专题：平面直角坐标系中的变化规律——掌握不同规律，以不变应万变◆类型一沿坐标轴方向运动的点的坐标规律探究1．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是________．2．(2017·阿坝州中考)如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，沿着箭头所示方向，每次移动1个单位，依次得到点P1(0，1)，P2(1，1)，P3(1，0)，P4(1，－1)，P5(2，－1)，P6(2，0)，…，则点P2017的坐标是________．◆类型二绕原点呈“回”字形运动的点的坐标规律探究3．在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点．如图，由里向外数第2个正方形开始，分别是由第1个正方形各顶点的横坐标和纵坐标都乘2，3，…得到的，请你观察图形，猜想由里向外第10个正方形四条边上的整点个数共有() A．10个B．20个C．40个D．80个第3题图第4题图4．(2017·温州中考)我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧P1P2︵，P2P3︵，P3P4︵，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连接P1P2，P2P3，P3P4，…得到螺旋折线(如图)，已知点P1(0，1)，P2(－1，0)，P3(0，－1)，则该折线上的点P9的坐标为()A．(－6，24) B．(－6，25)C．(－5，24) D．(－5，25)◆类型三图形变化中的点的坐标探究5．(2017·河南模拟)如图，点A(2，0)，B(0，2)，将扇形AOB沿x轴正方向做无滑动的滚动，在滚动过程中点O的对应点依次记为点O1，点O2，点O3…，则O10的坐标是()A．(16＋4π，0) B．(14＋4π，2)C．(14＋3π，2) D．(12＋3π，0)6．如图，在直角坐标系中，第一次将三角形OAB变换成三角形OA1B1，第二次将三角形OA1B1变换成三角形OA2B2，第三次将三角形OA2B2变换成三角形OA3B3.已知A(1，3)，A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，B(2，0)，B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)．(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将三角形OA3B3变换成三角形OA4B4，则A4的坐标是__________，B4的坐标是__________；(2)若按(1)中找到的规律将三角形OAB进行了n次变换，得到三角形OA n B n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测点A n的坐标是__________，点B n的坐标是__________．参考答案与解析1．(2016，0)解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P点运动到x轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P的坐标是(2016，0)．2．(672，1)解析：由已知得P7(2，1)，P13(4，1)，所以P6n＋1(2n，1)．因为2017÷6＝336……1，所以P2017(336×2，1)，即P2017(672，1)．3．C解析：每个正方形四个顶点一定为整点，由里向外第n个正方形每条边上除顶可见，第n个正方形每条边上除顶点外还有(n－1)个整点，四条边上除顶点外有4(n－1)个整点，加上4个顶点，共有4(n－1)＋4＝4n(个)整点．当n＝10时，4n＝4×10＝40，即由里向外第10个正方形的四条边上共有40个整点．故选C.4．B解析：由题意，P5在P2的正上方，推出P9在P6的正上方，且到P6的距离为21＋5＝26，所以P9的坐标为(－6，25)，故选B.5．C6．(1)(16，3)(32，0)(2)(2n，3)(2n＋1，0)解析：(1)∵A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，∴A4的横坐标为24＝16，纵坐标为3.故点A4的坐标为(16，3)．又∵B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，∴B4的横坐标为25＝32，纵坐标为0.故点B4的坐标为(32，0)．(2)由A1(2，3)，A2(4，3)，A3(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n，纵坐标都是3.故点A n的坐标为(2n，0)．由B1(4，0)，B2(8，0)，B3(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n＋1，纵坐标都是0.故点B n的坐标为(2n＋1，0)．。
坐标平面内图形的轴对称和平移(提高) 知识讲解
坐标平面内图形的轴对称和平移（提高）【学习目标】1.能在同一直角坐标系中，感受图形经轴对称后点的坐标的变化.2.掌握左右、上下平移点的坐标规律.【要点梳理】要点一、关于坐标轴对称点的坐标特征1.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,－b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (－a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a,－b)．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)．3.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.要点二、用坐标表示平移1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．要点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a ，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a 个单位长度． 要点诠释：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化. 【典型例题】类型一、用坐标表示轴对称1．在直角坐标系中，已知点A （a ＋b ，2－a ）与点B （a －5，b －2a ）关于y 轴对称， （1）试确定点A 、B 的坐标；（2）如果点B 关于x 轴的对称的点是C ，求△ABC 的面积．【思路点拨】（1）根据在平面直角坐标系中，关于y 轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，得出方程组求出a ，b 即可解答本题；（2）根据点B 关于x 轴的对称的点是C ，得出C 点坐标，进而利用三角形面积公式求出即可．【答案与解析】解：（1）∵点A （a ＋b ，2－a ）与点B （a －5，b －2a ）关于y 轴对称，∴2250a b aa b a -=-⎧⎨++-=⎩，解得：13a b =⎧⎨=⎩， ∴点A 、B 的坐标分别为：（4，1），（－4，1）；（2）∵点B关于x轴的对称的点是C，∴C点坐标为：（－4，－1），∴△ABC的面积为：12×BC×AB＝12×2×8＝8．【总结升华】本题主要考查了平面直角坐标系中，各象限内点的坐标的符号的确定方法以及三角形面积求法，熟练记忆各象限内点的坐标符号是解题关键．举一反三：【变式】小华看到了坐标系中点B关于X轴的对称点为C（－3，2），点A关于Y轴对称点为D（－3，4），若将A、B、C、D顺次连接，此图形的面积是多少？【答案】解：∵B关于x轴的对称点为C（－3，2），∴B（－3，－2），∵点A关于y轴对称点为D（－3，4），∴A（3，4），∴△ABD的面积为：12×AD×DB＝12×6×6＝18．2.已知点A（a，3）、B（－4，b），试根据下列条件求出a、b的值．（1）A、B两点关于y轴对称；（2）A、B两点关于x轴对称；（3）AB∥x轴；（4）A、B两点在第二、四象限两坐标轴夹角的平分线上．【思路点拨】（1）关于y轴对称，y不变，x变为相反数．（2）关于x轴对称，x不变，y变为相反数．（3）AB∥x轴，即两点的纵坐标不变即可．（4）在二、四象限两坐标轴夹角的平分线上的点的横纵坐标互为相反数，即分别令点A，点B的横纵坐标之和为0，列出方程并解之，即可得出a，b．【答案与解析】解：（1）A、B两点关于y轴对称，故有b＝3，a＝4；（2）A、B两点关于x轴对称；所以有a＝－4，b＝－3；（3）AB∥x轴，即b＝3，a为≠－4的任意实数．（4）如图，根据题意，a＋3＝0；b－4＝0；所以a＝－3，b＝4．【总结升华】本题主要考查学生对点在坐标系中的对称问题的掌握；在一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相等，在二、四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．类型二、用坐标表示平移3.如图，△A′B′C′是由△ABC平移后得到的，已知△ABC中一点P（x0，y0）经平移后对应点为P′（x0+5，y0﹣2）．（1）已知A（﹣1，2），B（﹣4，5），C（﹣3，0），请写出A′、B′、C′的坐标；（2）试说明△A′B′C′是如何由△ABC平移得到的；（3）请直接写出△A′B′C′的面积为．【思路点拨】（1）根据点P（x0，y0）经平移后对应点为P′（x0+5，y0﹣2）可得A、B、C三点的坐标变化规律，进而可得答案；（2）根据点的坐标的变化规律可得△ABC先向右平移5个单位，再向下平移2个单位；（3）把△A′B′C′放在一个矩形内，利用矩形的面积减去周围多余三角形的面积即可．【答案与解析】解：（1）A′为（4，0）、B′为（1，3）C′为（2，﹣2）；（2）△ABC先向右平移5个单位，再向下平移2个单位（或先向下平移2个单位，再向右平移5个单位）；（3）△A′B′C′的面积为6．【总结升华】此题主要考查了坐标与图形的变化，在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）举一反三：【变式】（大庆校级模拟）如图所示，△COB是由△AOB经过某种变换后得到的图形，观察点A与点C的坐标之间的关系，解答下列问题：（1）若点M的坐标为（x、y），则它的对应点N的坐标为．（2）若点P（a，2）与点Q（﹣3，b）关于x轴对称，求代数式…的值．【答案】解：（1）由图象知点M和点N关于x轴对称，∵点M的坐标为（x、y），∴点N的坐标为（x，﹣y）；（2）∵点P（a，2）与点Q（﹣3，b）关于x轴对称，∴a=﹣3，b=﹣2，∴…=+++…+，=﹣+﹣+…+，=﹣，=．类型三、综合应用4. 如图是某台阶的一部分，如果建立适当的坐标系，使A点的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1）（1）直接写出C，D，E，F的坐标；（2）如果台阶有10级，你能求得该台阶的长度和高度吗？【思路点拨】（1）根据平面直角坐标系的定义建立，然后写出各点的坐标即可；（2）利用平移的性质求出横向与纵向的长度，然后求解即可．【答案与解析】解：（1）∵点P（a﹣2，2a+8），在x轴上，∴2a+8=0，解得：a=﹣4，故a﹣2=﹣4﹣2=﹣6，则P（﹣6，0）；（2））∵点P（a﹣2，2a+8），在y轴上，∴a﹣2=0，解得：a=2，故2a+8=2×2+8=12，则P（0，12）；（3）∵点Q的坐标为（1，5），直线PQ∥y轴；，∴a﹣2=1，解得：a=3，故2a+8=14，则P（1，14）；（4）∵点P到x轴、y轴的距离相等，∴a﹣2=2a+8或a﹣2+2a+8=0，解得：a1=﹣10，a2=﹣2，故当a=﹣10则：a﹣2=﹣12，2a+8=﹣12，则P（﹣12，﹣12）；故当a=﹣2则：a﹣2=﹣4，2a+8=4，则P（﹣4，4）．综上所述：P（﹣12，﹣12），（﹣4，4）．【总结升华】此题主要考查了点的坐标性质，用到的知识点为：点到坐标轴的距离相等，那么点的横纵坐标相等或互为相反数以及在坐标轴上的点的性质．。
坐标规律知识点总结
坐标规律知识点总结一、直角坐标系直角坐标系是平面几何中最常用的坐标系，它是由两条互相垂直的坐标轴组成的。
一般来说，我们约定横轴为 x 轴，竖轴为 y 轴，它们的交点作为原点 O，两者的单位长度分别为1。
我们以原点为中心，向右为 x 轴正方向，向上为 y 轴正方向，建立直角坐标系。
在直角坐标系中，任意一点 P 的坐标可用有序偶数 (x, y) 表示。
其中，x 为横坐标，y 为纵坐标。
对于直角坐标系，有以下一些重要知识点：1. 点的对称性：关于 x 轴、y 轴和原点的对称性，可以用来求解坐标对称点的坐标。
2. 距离公式：在直角坐标系中，两点之间的距离公式为d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²)。
3. 中点坐标：在直角坐标系中，可以根据两点的坐标求出其中点坐标，即((x₁+x₂)/2,(y₁+y₂)/2)。
4. 直线方程：在直角坐标系中，通过两点的坐标，可以确定一条直线的方程，通常以 y = kx + b 或 Ax + By + C = 0 的形式表示。
二、极坐标系极坐标系是另一种常用的坐标系，它是由极轴和极角组成的。
极轴通常是 x 轴，极角通常用θ 表示，它是与极轴的顺时针夹角。
在极坐标系中，任意一点 P 的坐标由有序偶数(r, θ) 表示。
其中，r 为极径，表示点 P 到极点 O 的距离，θ 为极角，表示点 P 在极坐标系中的方向。
对于极坐标系，也有一些重要的知识点：1. 坐标变换：极坐标系和直角坐标系是可以相互转换的，需要用到的公式为x = r*cos(θ) 和y = r*sin(θ)。
2. 极坐标系中的直线方程：在极坐标系中，直线的方程通常以r = f(θ) 的形式表示，其中f(θ) 为一个函数。
3. 极坐标系中的距离公式：两点间的距离公式为d = √(r₁² + r₂² - 2*r₁*r₂*cos(θ₂-θ₁))。
三、空间直角坐标系空间直角坐标系是直角坐标系的延伸，它是由三条相互垂直的坐标轴组成的。
难点探究专题：平面直角坐标系中点的坐标的变化规律(选做)
难点探究专题：平面直角坐标系中点的坐标的变化规律(选做)——掌握不同规律，以不变应万变◆类型一沿坐标轴运动的点的坐标的探究1．如图，动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1，1)，第2次接着运动到点(2，0)，第3次接着运动到点(3，2)……按这样的运动规律，经过第2016次运动后，动点P的坐标是________．2．如图，平面直角坐标系上的点A(1，0)第1次跳至点A1(－1，1)，第2次跳至点A2(2，1)，第3次跳至点A3(－2，2)，第4次跳至点A4(3，2)……依此规律跳下去，点A第100次跳至的点A100的坐标是________．第2题图第3题图3．★如图，一个动点在第一象限内及x轴、y轴上运动，第1分钟从原点运动到(1，0)，第2分钟内从(1，0)运动到(1，1)，然后它接着按图中箭头所示的方向来回运动(在第一象限内运动时，运动方向与x轴或y轴平行)，且每分钟移动1个单位长度．(1)当动点所在位置是(2，2)时，所经过的时间是________；(2)在第2016分钟时，这个动点所在位置的坐标是________．◆类型二绕原点呈“回”字形运动的点的坐标的探究4．(甘孜州中考)如图，正方形A1A2A3A4，A5A6A7A8，A9A10A11A12，…(每个正方形从第三象限的顶点开始，按顺时针方向顺序，依次记为A1，A2，A3，A4；A5，A6，A7，A8；A9，A10，A11，A12；…)的中心均在坐标原点O，各边均与x轴或y轴平行，若它们的边长依次是2，4，6，…则顶点A20的坐标为________．第4题图第5题图5．★如图，一甲虫从原点出发按图示方向作折线运动，第1次从原点到A1(1，0)，第2次运动到A2(1，1)，第3次运动到A3(－1，1)，第4次运动到A4(－1，－1)，第5次运动到A5(2，－1)……则第2015次运动到的点A2015的坐标是________．◆类型三图形变化的点的坐标的探究6．如图，长方形ABCD 的两边BC 、CD 分别在x 轴、y 轴上，点C 与原点重合，点A (－1，2)，将长方形ABCD 沿x 轴向右翻滚，经过1次翻滚点A 对应点记为A 1，经过2次翻滚点A 对应点记为A 2……依此类推，经过5次翻滚后点A 对应点A 5的坐标为( )A ．(5，2)B ．(6，0)C ．(8，0)D ．(8，1)7．如图，在直角坐标系中，第1次将△OAB 变换成△OA 1B 1，第2次将△OA 1B 1变换成△OA 2B 2，第3次将△OA 2B 2变换成△OA 3B 3.已知A (1，3)，A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，B (2，0)，B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)．(1)观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此变换规律再将△OA 3B 3变换成△OA 4B 4，则A 4的坐标是________，B 4的坐标是________；(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB 进行了n 次变换，得到△OA n B n ，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测A n 的坐标是________，B n 的坐标是__________．参考答案与解析1．(2016，0) 解析：结合图象可知，当运动次数为偶数次时，P 点运动到x 轴上，且横坐标与运动次数相等．∵2016为偶数，∴运动2016次后，动点P 的坐标是(2016，0)．2．(51，50) 解析：由题意，得A 100在第一象限，纵坐标为1002＝50，横坐标比纵坐标大1.∴点A 100的坐标为(51，50)．3．(1)6分钟(2)(44，8) 解析：观察图形得第12分钟坐标为(1，0)，第22分钟坐标为(0，2)，第32分钟坐标为(3，0)，第42分钟坐标为(0，4)……∵2016<452＝2025，第2025分钟坐标为(45，0)，第2024分钟坐标为(44，0)，2024－2016＝8，∴在第2016分钟时，这个动点所在位置的坐标是(44，8)．4．(5，－5) 解析：∵20÷4＝5，∴点A 20在第四象限．∵点A 4所在正方形的边长为2，∴点A 4的坐标为(1，－1)，同理可得点A 8的坐标为(2，－2)，点A 12的坐标为(3，－3)，∴点A 20的坐标为(5，－5)．5．(－504，504) 解析：观察图形序号(大于4)，被4除余数为1的点在第四象限，被4除余数为2的点在第一象限，余数为3的点在第二象限，能被4整除的点在第三象限.2015被4除商为503，余数为3.由A 3(－1，1)，A 7(－2，2)，可得A 2015(－504，504)．6．D 解析：由题意可得下图，经过5次翻滚后点A 对应点A 5的位置如图所示，故A 5的坐标为(8，1)．故选D.7．(1)(16，3) (32，0) (2)(2n ，3) (2n ＋1，0)解析：(1)∵A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，∴A 4的横坐标为24＝16，纵坐标为3.故A 4的坐标为(16，3)．∵B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)，∴B 4的横坐标为25＝32，纵坐标为0.故点B 4的坐标为(32，0)；(2)由A 1(2，3)，A 2(4，3)，A 3(8，3)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n ，纵坐标都是3.故A n 的坐标为(2n ，3)．由B 1(4，0)，B 2(8，0)，B 3(16，0)，可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2n ＋1，纵坐标都是0.故B n 的坐标为(2n ＋1，0)．。
中考一轮复习--专题五 规律探索题
(3)通过对简单、特殊情况的观察,再推广到一般情况.
2.规律探究的基本原则:
(1)遵循类推原则,项找项的规律,和找和的规律,差找差的规律,积
找积的规律.
(2)遵循有序原则,从特殊开始,从简单开始,先找3个,发现规律,再
验证运用规律.
类型一
类型二
类型三
类型一 数式的变化规律
例1(2019·安徽)观察以下等式:
∴S5= =-1-a,
4
∴S6=-S5-1=a.
1
1
∴S7= = =S1,
6
故此规律为 6 个一循环,
∵2 018÷6=336 余 2,
1+
∴S2 018=- .
1
2
3
4
5
6
7
4.(2018·黑龙江龙东区)如图,已知等边△ABC的边长是2,以BC边上
的高AB1为边作等边三角形,得到第一个等边△AB1C1;再以等边
(2)∵2 020÷3=673…1,∴需要小正方形674个,大正方形673个.
1
2
3
4
5
6
7
7.图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案,最上
面一层有一个圆圈,以下各层均比上一层多一个圆圈,一共堆了n层.
将图1倒置后与原图1拼成图2的形状,这样我们可以算出图1中所有
n(n + 1)
圆圈的个数为1+2+3+…+n= 2 .如果图3和图4中的圆圈各有13
为
.
类型一
类型二
类型三
分析:(1)观察图形,结合已知条件,得出将基本图每复制并平移一
次,特征点增加5个,由此得出图4中特征点的个数为17+5=22个,进
平面直角坐标系变化规律
平面直角坐标系变化规律一、平面直角坐标系中的平移变化规律1. 点的平移- 在平面直角坐标系中，将点(x,y)向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点(x + a,y)（或(x - a,y)）；- 将点(x,y)向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点(x,y + b)（或(x,y - b)）。
- 例如：点A(2,3)向右平移3个单位长度，得到点A'(2 + 3,3)=(5,3)；点A(2,3)向下平移2个单位长度，得到点A''(2,3 - 2)=(2,1)。
2. 图形的平移- 图形的平移实际上就是图形上各个点的平移。
例如，三角形ABC三个顶点A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2)、C(x_3,y_3)，将三角形ABC向右平移a个单位长度，再向上平移b个单位长度，则A点变为A'(x_1 + a,y_1 + b)，B点变为B'(x_2+a,y_2 + b)，C点变为C'(x_3 + a,y_3 + b)，新的三角形A'B'C'就是原三角形ABC平移后的图形。
二、平面直角坐标系中的对称变化规律1. 关于x轴对称- 点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x,-y)。
- 例如：点P(3,4)关于x轴对称的点P'(3,-4)。
- 对于图形来说，图形关于x轴对称，就是图形上所有点关于x轴对称后得到的新图形。
如三角形ABC关于x轴对称，A(x_1,y_1)变为A''(x_1,-y_1)，B(x_2,y_2)变为B''(x_2,-y_2)，C(x_3,y_3)变为C''(x_3,-y_3)，新的三角形A''B''C''就是三角形ABC关于x轴对称后的图形。
2. 关于y轴对称- 点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为( - x,y)。
2020年中考数学必考经典(江苏版)专题17数字及图形的规律型问题
C．第251行，第1列D．第251行，第5列
3．已知a是一个正整数，记G（x）＝a﹣x+|x﹣a|．若G（1）+G（2）+G（3）+…+G（2019）＝90，则a的值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
4．如图1所示的是中国南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中出现的三角形状的数列，又称为“杨辉三角形”．该三角形中的数据排列有着一定的规律，若将其中一组斜数列用字母a1、a2、a3…代替，如图2，则a199+a200的值为（ ）
2020年中考数学必考经典（江苏版）
专题17数字及图形的规律型问题
【方法指导】
数字和图形的变化规律每年中考都会考查到，考到的知识点比较多，主要有以下几种类型：
（1）数字的变化规律，主要是数字的末尾数字变化规律、高中数学知识的等差数列、等边数列、数列的递推公式和求和公式等.
（2）数与式的变化规律类，常结合高中的数学知识有：一元二次不等式、分式不等式的解法、不等式的基本性质、二项式定理的展开、指数和幂数函数、裂项法等.
【达标检测】
1．已知有理数a≠1，我们把 称为a的差倒数，如：2的差倒数是 1，﹣1的差倒数是 ，如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，依此类推，那么a2020的值是（ ）
A．﹣2B． C． D．
2．将正偶数按图排成5列：
根据上面的排列规律，则2008应在（ ）
【类型2】图形的变化规律
【例2】（2019•徐州二模）如图所示，将形状、大小完全相同的“ ”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“ ”的个数为 ，第2幅图形中“ ”的个数为 ，第3幅图形中“ ”的个数为 ， ，以此类推，则 的值为．
人教版九年数学中考规律专题练习及参考答案
人教版九年数学中考规律专题练习学习数学很重要的一个目的，就是要善于捕捉事物的规律，用数学形式和数学方法表示出来.规律与猜想类试题选材一般来源于学生熟悉的生活，有一定的趣味性，呈现形式多样，便于学生观察，侧重考查学生观察和归纳能力，让学生从不同角度，利用不同方法探索并发现数学规律，同时利用发现的规律，让学生学会自我验证，真正考查了学生的数学思考能力.类型之一数式的变化规律例1 (2014·安徽)观察下列关于自然数的等式：32-4×12=552-4×22=972-4×32=13……根据上述规律解决下列问题：(1)完成第四个等式：92-4×( )2=( )；(2)写出你猜想的第n个等式(用含n的式子表示)，并验证其正确性.【思路点拨】(1)从等式的结构看，等于号的左边第一项的底数依次增大2，第二项的底数依次增大1，等于号的右边依次增大4.依次规律就可写出第四个等式；(2)先根据分析的规律用含n的等式表示出第n个等式，然后将等号的一边经过整理与另一边相同.【解答】(1)4，17.(2)(2n+1)2-4×n2=4n+1.验证：∵左边=4n2+4n+1-4n2=4n+1=右边，∴等式成立.方法归纳：探究等式变化规律的题目，关键把握两点：一是找出等式中“变”与“不变”的部分；二是分析出“变”的规律即等式的个数之间存在的规律.1.(2014·东营)将自然数按以下规律排列：表中数2在第二行，第一列，与有序数对(2，1)对应；数5与(1，3)对应；数14与(3，4)对应；根据这一规律，数2 014对应的有序数对为.2.(2014·菏泽)下面是一个按某种规律排列的数阵：根据数阵排列的规律，第n行(n是整数，且n≥3)从左至右数第n-2个数是(用含n的代数式表示).3.(2014·滨州)计算下列各式的值：2919+；299199+；2999 1 999+；29 99919 999+.观察所得结果，总结存在的规律，运用得到的规律可得22 01492 01499991999⋯+⋯个个= .4.(2014·巴中)如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”.它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了(a+b)n (n 为非负整数)的展开式中a 按次数从大到小排列的项的系数.例如，(a+b)2=a 2+2ab+b 2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，(a+b)3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字.请认真观察此图，写出(a-b)4的展开式为 .5.(2014·黄石)观察下列等式：第一个等式：a 1=23122⨯⨯=112⨯-2122⨯第二个等式：a 2=34232⨯⨯=2122⨯-3132⨯ 第三个等式：a 3=45342⨯⨯=3132⨯-4142⨯ 第四个等式：a 4=56452⨯⨯=14142⨯-5152⨯按上述规律，回答以下问题：用含n 的代数式表示第n 个等式：a n = = ；式子a 1+a 2+a 3+…+a 20= .6.(2014·烟台)将一组数3，6，3,23,15,…，310，按下面的方法进行排列：若23的位置记为(1，4)，26的位置记为(2，3)，则这组数中最大的有理数的位置记为( ) A.(5，2) B.(5，3) C.(6，2) D.(6，5)类型之二 图形的变化规律例2 (2014·金华)一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式进行拼接. (1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？ (2)若有餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？【思路点拨】由拼图可知，每多拼一张餐桌，可坐的人数就增多4人，依次规律可探究出餐桌的个数与可坐人数之间的关系.从而就可解决问题.【解答】(1)根据图中的规律我们可以发现，每多拼接一张餐桌，可坐的人数就增多4人.即：拼接x张餐桌可以就餐的人数为：6+4(x-1)=4x+2(人).所以，拼4张可以坐4×4+2=18(人)，拼8张可以坐4×8+2=34(人).(2)由题意可知4x+2=90.解得x=22.答：这样的餐桌需要拼接22张.方法归纳：当图形在变换时，图形的个数与对应的另一个变换的量的关系很难直接观察出规律时，可以通过建立这两个变量之间的函数关系，利用已知的几对对应值求出函数关系式，然后去论证.1.(2014·重庆A卷)如图，下列图形都是由面积为1的正方形按一定的规律组成，其中，第(1)个图形中的正方形有2个，第(2)个图形中面积为1的正方形有5个，第(3)个图形中面积为1的正方形有9个，……，按此规律，则第(6)个图形中面积为1的正方形的个数为( )A.20B.27C.35D.402.（2014·武汉）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图片共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中共有点的个数是( )A.31B.46C.51D.663.(2014·重庆B卷)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，……，依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )A.22B.24C.26D.284.(2014·宜宾)如图，将n个边长都为2的正方形按照如图所示摆放，点A1,A2，…,A n分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是( )A.nB.n-1C.(14)n-1 D.14n5.(2014·鄂州)如图，四边形ABCD中，AC=a,BD=b,且AC⊥BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n.下列结论正确的是( )①四边形A 4B 4C 4D 4是菱形；②四边形A 3B 3C 3D 3是矩形；③四边形A 7B 7C 7D 7周长为8a b+；④四边形A n B n C n D n 面积为·2na b . A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④6.(2014·内江)如图，已知A 1、A 2、……、A n 、A n ＋1是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝……＝A n A n ＋1＝1，分别过点A 1、A 2、……、A n 、A n ＋1作x 轴的垂线交直线y ＝2x 于点B 1、B 2、……、B n 、B n ＋1，连接A 1B 2、B 1A 2、A 2B 3、B 2A 3、……、A n B n ＋1、B n A n ＋1，依次相交于点P 1、P 2、P 3、……、P n ，△A 1B 1P 1、△A 2B 2P 2、……、△A n B n P n 的面积依次为S 1、S 2、……、S n ，则S n 为( )A.121n n ++ B.231n n - C.221n n - D.22+1n n7.(2014·内江)如图所示，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第 2 014个图形是 .△△□□□△○○□□□△○○□□□△○○□……8.（2014·娄底）如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个▲组成，第2个图案由7个▲组成，第3个图案由10个▲组成，第4个图案由13个▲组成，…，则第n （n 为正整数）个图案由 个▲组成.9.(2014·盐城)如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y ＝x 的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A 的坐标为(8，4)，阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S n 的值为 .(用含n 的代数式表示，n 为正整数)类型之三 点的坐标的变化规律例3 (2014·泰安)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去……，若点A(53,0),B(0,4),则点B2 014的横坐标为.【思路点拨】先根据勾股定理求出AB的长度，再根据第4个图形与第1个图形的位置相同，可知每三个三角形为一个循环依次循环，然后求出每个循环组中B点坐标的变化规律即可.【解答】由题意可得：∵AO=53，BO=4，∴AB=133，∴OA+AB1+B1C2=53+133+4=6+4=10，∴B2的横坐标为10，B4的横坐标为2×10=20，∴点B2 014的横坐标为：20142×10=10 070.故答案为：10 070.方法归纳：由于图形在坐标系中的运动而导致的点的坐标的变化情况，先应该分析图形的运动规律，然后结合点在图形中的位置找出点的坐标的变化规律.1.如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，……，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，……的等腰直角三角形.若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1(2，0)，A2(1，-1)，A3(0，0)，则依图中所示规律，A2 014的坐标为.2.(2013·湛江)如图，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点在y轴上，从内到外，它们的边长依次为2，4，6，8，…，顶点依次用A1、A2、A3、A4、…表示，其中A1A2与x轴、底边A1A2与A4A5、A4A5与A7A8、…均相距一个单位，则顶点A3的坐标是，A22的坐标是.3.(2014·孝感)正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置.点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是.4.(2014·德州)如图，抛物线y ＝x 2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A 1，A 2，A 3，…A n ，….将抛物线y ＝x 2沿直线l ：y ＝x 向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件： ①抛物线的顶点M 1，M 2，M 3，…M n ，…都在直线l ：y ＝x 上； ②抛物线依次经过点A 1，A 2，A 3，…A n ，…. 则顶点M 2 014的坐标为 .参考答案类型之一 数式的变化规律1.(45，12) 22n - 3.102 0142919+1299199+229 99 1 999+3，29 99919 999+4，2201492014999...9199...9+个个=102 014.故答案为102 014.4.a 4-4a 3b+6a 2b 2-4ab 3+b 45.()1212n n n n +++；1·2n n -()1112n n ++；12-211212⨯ 6.C类型之二 图形的变化规律1.B2.B3.C提示：每一次操作三角形个数增加6个. 4.B提示：每两个之间重叠部分的面积都等于正方形面积的14，正方形的面积为4，所以重叠部分的面积为1，n 个正方形有(n-1)个重叠部分，故重叠部分的面积之和为(n-1). 5.A 6.D提示：A n B n当底，利用函数y＝2x即可求得，利用黑白三角形相似如△A1B1P1∽△B2A2P1等求得P n到A n B n的距离，从而得△A n B n P n的面积.7.正方形8.3n+19.24n-5提示：根据A点的坐标为(8,4)即可得出正方形的边长依次为20、21、22、23、…，第n个正方形的边长为2n-1计算,第n个阴影部分是在第2n-1和2n个正方形中，与求S2的方法一样，第n个阴影部分的面积是第2n-1个正方形面积的一半，∴S n=12×（22n-1-1）2=24n-5.类型之三点的坐标的变化规律1.(1,-1 007)2.(0，3-1) (-8，-8)提示：由于22÷3=7……1，而A1的坐标为(-1，-1)；A4的坐标为(-2，-2)；A7的坐标为(-3，-3)；……；A22的坐标为(-8，-8).3.(63，32)提示：A1(0,1)，B1(1，1);A2(1，2)B2(3，2),A3(3，4),B3(7，4);依次类推A n(2n-1,2n-1),所以B6(63，32).4.(4 027，4 027)提示：M1(a1，a1)是抛物线y1=(x-a1)2+a1的顶点，抛物线y=x2与抛物线y1=(x-a1)2+a1相交于A1，得x2=(x-a1)2+a1，即2a1x=a21+a1，x=12(a1+1).∵x为整数点，∴a1=1，M1(1，1)；同理M2(3，3)，M3(5，5)，……，∴M2 014(2 014×2-1，2014×2-1)，即M2014(4 027，4 027).。
纬度经度的变化规律
纬度经度的变化规律纬度和经度是地理坐标系统中用于确定地球上任意位置的坐标值。
它们的变化规律是根据地球的自转和形状所决定的。
我们来看纬度的变化规律。
纬度是指地球表面上某一点与赤道面之间的夹角，通常用度数表示。
赤道的纬度为0度，向北依次增加，北极的纬度为90度，而赤道以南的纬度则用负数来表示，南极的纬度为-90度。
纬度的变化规律是从赤道往极地方向逐渐增加或减小。
我们来看经度的变化规律。
经度是指地球表面上某一点与本初子午线之间的夹角，同样用度数表示。
本初子午线经过英国伦敦格林尼治，被定义为0度经度线。
经度向东方逐渐增加，最大值为180度，到达180度经度线后，经度又从-180度开始逐渐减小。
换句话说，经度的变化规律是从本初子午线往东或往西逐渐增加或减小。
纬度和经度的变化规律在地图上呈现出一种网格状的分布。
通过纬度和经度，我们可以确定地球上任意一个点的位置。
这对于导航、航海、天文观测等活动都至关重要。
纬度和经度的变化规律还与地球的形状密切相关。
地球并非完全规则的球体，而是稍微偏扁的椭球体。
因此，在不同纬度上，地球的半径会有所不同。
这导致了纬度和经度的实际距离并非完全相等。
为了更精确地表示地球上不同点的位置，人们提出了各种地理坐标系统，如UTM投影坐标、高斯克吕格投影坐标等。
纬度和经度的变化规律也与地球表面的地理特征有关。
例如，赤道附近的地区气候较为炎热，而极地地区则极度寒冷。
而经度的变化则决定了不同时区的划分。
当太阳从东方经过某一经线时，该经线所在的地区就进入新的一天，而在西经线上的地区则仍然是前一天。
纬度和经度是地理坐标系统中用于确定地球上任意位置的坐标值。
它们的变化规律是根据地球的自转和形状所决定的。
纬度从赤道往极地方向逐渐增加或减小，经度从本初子午线往东或往西逐渐增加或减小。
纬度和经度的变化规律在地图上呈现出网格状的分布，通过它们可以确定地球上任意一个点的位置。
同时，纬度和经度的变化规律还与地球的形状和地理特征有关。
关于“点的坐标”的规律探索题归类解析
关于“点的坐标”的规律探索题归类解析作者：徐骏来源：《黑龙江教育·中学教学案例与研究》2009年第07期课改后,开放性、探索性试题频频出现,已然成为一道亮丽的风景线.而其中和点的坐标有关的规律探索试题,更以其丰富的知识性和趣味性,绽放出夺目的光彩.本文以近几年中考题作为原型进行编创,归纳其类型与解法,希望教师认真探索、总结,在碰到此类型题目时能冷静处理,进行有条理的思考,寻找解题的途径和方法.一、滚动型问题1.三角形的滚动问题.例1:如图1,将边长为1的正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转2008次,点P依次落在点P1,P2,P3,…,P2 008的位置,则点P2 008的横坐标为_________.【分析】此题关键是要发现P点坐标变化的规律,可用两种方法解答此题:法一:如图2,正三角形OAP沿x轴正方向连续翻转3次,也就是正三角形OAP沿x轴滚动一周,点P的横坐标增加3(其中点P翻转至点P1,横坐标增加1.5;点P1翻转至点P2,横坐标增加0;点P2翻转至点P3,横坐标增加1.5).因为2 008=669×3+1,正三角形OAP滚动669周后又翻转了1次,所以点P2 008的横坐标为:-0.5+669×3+1.5=2 008.法二:如图3,可以将y轴向左平移0.5,在新坐标系下易知点P2007的横坐标为2 007, 所以点P2 008的横坐标为:2 007+1.5=2 008.5,再还原成原坐标系下的点P2 008 的横坐标为:2 008.5-0.5=2 008.2.正方形的滚动问题.例2:如图4,将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2 006次,点P依次落在点P1,P2,P3,…,P2 006的位置,则P2 006的横坐标x2 006=_______.【分析】如图5,正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转4次,也就是正方形OAPB沿x轴滚动一周,点P的横坐标增加4(其中从点P→点P1→点P2→点P3→点P4,横坐标分别增加2,1,0,1).因为2 006=501×4+2,正方形OAPB滚动501周后又翻转了两次,所以点P2 006的横坐标为:-1+501×4+2+1=2 006.或者仿例1一样将点P2 006放在新坐标系下,易知点P2 004的横坐标为2 004,所以点P2 006的横坐标为:2 004+2+1=2 007,再还原成原坐标系下的点P2 006的横坐标为:2 007-1=2 006.3.三角形与正方形结合的滚动问题.例3:已知正方形ABCD的边长AB=k(k是正整数),正△PAE的顶点P在正方形内,顶点E在边AB上,且AE=1. 将△PAE在正方形内按图6中所示的方式,沿着正方形的边AB、BC、CD、DA、AB……连续地翻转n次,使顶点P第一次回到原来的起始位置.(1)如果我们把正方形ABCD的边展开在一直线上,那么这一翻转过程可以看作是△PAE在直线上作连续的翻转运动.图7是k=1时,△PAE沿正方形的边连续翻转过程的展开示意图. 请你探索:若k=1,则△PAE沿正方形的边连续翻转的次数n=_______时,顶点P第一次回到原来的起始位置.(2)若k=2,则n=_______时,顶点P第一次回到原来的起始位置;若k=3,则n=_______时,顶点P第一次回到原来的起始位置.(3)请你猜测:使顶点P第一次回到原来的起始位置的n值与k之间的关系(请用含k的代数式表示n).【分析】正△PAE沿正方形的边AB、BC、CD、DA连续翻转4k次,也就是正△PAE沿正方形的边滚动一周,而正△PAE连续翻转3次自身滚动一周,于是当正△PAE沿正方形的边连续翻转的次数为4k与3的最小公倍数(即若k是3的倍数时为4k,若k不是3的倍数时为12k)时,顶点P第一次回到原来的起始位置.故当k=1时,n=12;k=2,则n=24;k=3,则n=12.二、变换型问题例4:如图8,在直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3已知:A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3);B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0).(1)观察每次变换前后的三角形系有何变化,找出变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是______,B4的坐标是 _________ ,变换的规律是_________.(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB进行了n次变换,得到△OAnBn,比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化,找出规律,推测An的坐标是__________,Bn的坐标是_______.【分析】可发现变换的过程中,点A和点B坐标变化的规律为:纵坐标不变,横坐标乘以2.所以得A4的坐标为(16,3),B4的坐标为(32,0),依此规律类推,不难得出An的坐标为(2n,3),Bn的坐标为(2n+1,3).例5:如图9,在直角坐标系中,第一次将△OAB变换成△OA1B1,第二次将△OA1B1变换成△OA2B2,第三次将△OA2B2变换成△OA3B3已知:A(1,3),A1(-2,-3),A2(4,3),A3(-8,-3);B(2,0),B1(-4,0),B2(8,0),B3(-16,0).(1)观察每次变换前后的三角形系有何变化,找出变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4,则A4的坐标是_______,B4的坐标是_______,变换的规律是________.(2)若按第(1)题找到的规律将△OAB进行了n次变换,得到△OAnBn,推测An的坐标是________,Bn的坐标是______.【分析】可发现变换的过程中,点A坐标变化的规律为:纵坐标乘以-1,横坐标乘以-2;点B坐标变化的规律为:纵坐标不变(为零),横坐标乘以-2.所以得A4的坐标为(16,3), B4的坐标为(32,0),依此规律类推,不难得出An的坐标为[(-2)n,3×(-1)n ],Bn的坐标为[ -(-2)n+1,0].例6:如图10,在直角坐标系中,△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为(1,0),(0,1),(0,0).点列P1,P2,P3,…,中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点成中心对称.点P1与点P2关于点A对称,点P2与点P3关于点B对称,点P3与点P4关于点O对称,点P4与点P5关于点A对称,点P5与点P6关于点B对称,点P6与点P7关于点O对称……对称中心分别是A,B,O,A,B,O……且这些对称中心依次循环.已知P1的坐标是(1,1),试写出点P2 009的坐标.【分析】P1(1,1),P2(1,-1),P3(-1,3),P4 (1,-3), P5(1,3),P6(-1,-1),P7(1,1).如图11,P点坐标变化的规律是以6为一个周期进行循环.因为2 009=364×6+5,点P2 009的坐标相当于点P5的坐标(1,-3).三、交点型问题例7:如图12,在平面直角坐标系中,点A1是以原点O为圆心,半径为2的圆与过点(0,1)且平行于x轴的直线l1的一个交点;点A1是以原点O为圆心,半径为3的圆与过点(0,2)且平行于x 轴的直线l2的一个交点;…;按照这样的规律进行下去,点An的坐标为_____.四、跳跃型问题例9:已知甲运动方式为:先竖直向上运动1个单位长度后,再水平向右运动2个单位长度;乙运动方式为:先竖直向下运动2个单位长度后,再水平向左运动3个单位长度.在平面直角坐标系内,现有一动点P第1次从原点O出发按甲方式运动到点P1,第2次从点P1出发按乙方式运动到点P2,第3次从点P2出发再按甲方式运动到点P3,第4次从点P3出发再按乙方式运动到点P4,…,依此运动规律,则经过第2 009次运动后,动点P所在位置P2 009的坐标是 .【分析】如图15,点P2、P4、P6、P8…在直线y=x上,点P1、P3、P5、P7、P9、P11…在直线y=x-1上.P点坐标变化的规律是 P2n(-n,-n),P2n+3(1-n,-n).故点P2 009的坐标为(-1 002, -1 003).例10:如图16,在平面直角坐标系中,一颗棋子从点P处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动,即第一次跳到点P关于点A的对称点M处,接着跳到点M关于点B的对称点N处,第三次再跳到点N关于C的对称点处,…,如此下去.(1)在图中画出点M、N,并写出点M、N的坐标 .(2)求经过第2 008次跳动之后,棋子落点与点P的距离.【分析】P(1,0),P4(2,2),P8(3,4),P12(4,6).P点坐标变化的规律是每跳动4次横坐标增加1,纵坐标增加2,于是可得P4n的坐标(1+n,2n).故点P2 008的坐标是(503,1 004).例12:电子跳蚤游戏盘为△ABC(如图19),AB=8,AC=9,BC=10,如果电子跳蚤开始时在BC边上P0点,BP0=4,第一步跳蚤跳到AC边上P1点,且CP1=CP0;第二步跳蚤从P1跳到AB边上P2点,且AP2=AP1;第三步跳蚤从P2跳回到BC边上P3点,且BP3=BP2;…;跳蚤按上述规定跳下去,第2 008次落点为P2 008,则点P2 008与A点之间的距离为 .【分析】从P0→P1,CP1=CP0=6,故AP1=9-6=3.同理,可求得BP2=5,CP3=5,AP4=4,BP5=4,BP6=4,发现点P6与P0点重合.电子跳蚤落点位置变化的规律是棋子每跳动6次后又回点P0处,因为2 008=334×6+4,所以经过第2 008次跳动后,电子跳蚤落在点P4处,点P2与A点之间的距离就是点P4与A点之间的距离,即点P2 008与A点之间的距离是4.E-mail:hit790205@编辑/张烨。
平面直角坐标系中点的变化规律
平面直角坐标系中点的变化规律在数学的世界里，有一块神奇的领域，就是平面直角坐标系。
你有没有想过，我们生活中很多事物，其实都可以用这种坐标系来描述？比如地图、运动场、甚至是你桌上的那块巧克力。
今天，我们就来聊聊这个话题，看看点在平面直角坐标系里是怎么变化的，别急，我们一步步来，确保你跟得上。
1. 坐标系的基础知识1.1 坐标系的构建首先，平面直角坐标系就是我们平常看到的那个“十字”图。
横轴叫X轴，竖轴叫Y 轴。
这个十字形状把平面分成了四个象限，我们用它来标记点的位置。
想象一下，X轴就像是平地上的长道路，Y轴是垂直的直梯。
点的位置，就是在这两条路的交叉点上。
1.2 坐标的表示每个点都有两个坐标值，X和Y，像“(3, 4)”这样。
X表示点在横轴上的位置，Y表示在竖轴上的位置。
比如，点(3, 4)就像是说：从原点出发，先走3步到右边，再走4步到上面，找到了这个点。
2. 点的变化规律2.1 平移说到点的变化，我们得从最简单的平移开始。
平移就是把一个点从一个地方搬到另一个地方，但不改变它的形状和方向。
举个例子，如果点(2, 3)向右移动2个单位，它就变成了(4, 3)。
就像你从家里搬到隔壁的房间，位置变了，但你的样子还是那个样子。
2.2 缩放接下来是缩放。
缩放就像是用放大镜看一个点，让它变得大一点或者小一点。
比如，点(1, 2)经过缩放，变成了(2, 4)。
也就是说，坐标都乘以了一个倍数。
这就像是把一张照片放大，里面的细节看起来都变得更加清楚了。
2.3 旋转最后，我们来看看旋转。
旋转就是把点绕着原点转动。
比如，点(1, 0)绕原点逆时针旋转90度，就会变成(0, 1)。
这个过程就像你在转动一个旋转木马，点的位置随着旋转而改变，但它本身的“本质”没变。
3. 点的组合与变换3.1 点的相对位置有时候，我们需要考虑多个点之间的相对位置。
例如，点A(1, 2)和点B(4, 6)之间的距离。
我们可以用勾股定理来计算它们之间的距离，这就像是用尺子量两点之间的直线距离。
平面直角坐标系中点的变化规律
平面直角坐标系中点的变化规律1. 引言在数学的世界里，坐标系就像一张大地图，帮我们搞清楚每一个点的位置。
今天，我们来聊聊平面直角坐标系中的点是怎么变化的，听起来可能有点抽象，但其实很有趣。
2. 基本概念2.1 坐标系的构成平面直角坐标系就是我们常说的“X轴”和“Y轴”组成的坐标系统。
X轴横着，Y轴竖着，两者交汇的地方就是原点（0,0）。
点的位置就靠它的坐标（X, Y）来决定。
2.2 点的移动说到点的移动，就是在这个坐标系里，点的位置怎么随着某些因素发生变化。
比如，如果点的X坐标增加了，那点就往右移动；Y坐标增加了，点就往上移动。
简单来说，就是看着点在“X”方向和“Y”方向上的变化。
3. 点的变化规律3.1 按X轴方向的变化当我们谈到点在X轴方向的变化时，想象一下你在坐标系上滑动小点。
比如，点从（2, 3）移动到（5, 3），你会发现它只是在水平线上移动，没有垂直的变化。
这种变化就是X坐标变化了，而Y坐标保持不变。
3.2 按Y轴方向的变化而点在Y轴方向的变化，情况就不同了。
比如，点从（2, 3）移动到（2, 6），你会看到它只是沿着竖直方向移动。
这个时候，X坐标保持不变，而Y坐标增加了。
4. 综合变化4.1 同时改变X和Y有时候，点的变化是同时发生在X和Y两个方向上的。
例如，点从（1, 1）变到（4, 5），你可以看到，它在X方向上移动了3单位，在Y方向上移动了4单位。
这种情况可以用坐标的变化量来描述，也就是（41, 51）。
4.2 变化规律的实际应用这些点的变化规律不仅仅是在课堂上有用，它们在实际生活中也有很大的作用。
例如，你在设计图纸时，需要根据坐标系来确定每个点的位置；或者在地图上找到某个位置，也离不开这些坐标的变化规律。
5. 总结了解平面直角坐标系中的点如何变化，就像是掌握了如何在地图上找到自己的位置。
它不仅让我们理解坐标的基本操作，还能帮助我们在实际生活中解决问题。
只要把握了点在X轴和Y轴上的变化规律，我们就能更加得心应手地应对各种数学和实际问题。
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类型三点的坐标的变化规律
(2013·安徽)我们把正六边形的顶点及其对称中心称作(如图1所示)基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点．将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图2、图3…
(1)观察以上图形并完成下表：
图形的名称基本图的个数特征点的个数
图1 1 7
图2 2 12
图3 3 17
图4 4
………
猜想：在图n中，特征点的个数为________(用n表示)；
(2)如图，将图n放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O1的坐标为(x1，2)，则x1＝________；图2 013的对称中心的横坐标为________．
【思路点拨】(1)观察图形，结合已知条件，得出将基本图每复制并平移一次，特征点增加5个，由此得出图4中特征点的个数为17＋5＝22个，进一步猜想出：在图n中，特征点的个数为：7＋5(n－1)＝5n＋2；(2)过点O1作O1M⊥y轴于
点M，根据正六边形、等腰三角形的性质得出∠BO1M＝30°，再由余弦函数的定义求出O1M＝
，即x1＝
；然后结合图形分别得出图2、图3、图4的对称中心的横坐标，找到规律，进而得出图2 013的对称中心的横坐标．
【解答】(1)表中填：22；
特征点的个数为：5n＋2.
(2)如图，过点O1作O1M⊥y轴于点M.
又∵正六边形的中心角为
＝60°，
O1C＝O1B＝O1A＝2，
∴∠BO1M＝30°.
∴O1M＝O1B·cos∠BO1M＝2×
＝
.
∴x1＝
.
由题意，可得
图2的对称中心的横坐标为
＋2
＝3
；
图3的对称中心的横坐标为
＋2×2
＝5
；
图4的对称中心的横坐标为
＋3×2
＝7
；
…；
∴图2 013的对称中心的横坐标为
＋2 012×2
＝4 025
.
故答案为：
，4 025
.
1．(2015·六安模拟)如图，在直角坐标系中，以原点O为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4…，同心圆与直线y＝x和y＝－x分别交于A1，
A2，A3，A4…，则点A2 015的坐标是( )
A．(－2 015，－2 015) B．(－504
，－504
)
C．(－252
，252
) D．(－252
，－252
)
2．(2015·河南)如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O1，O2，O3，…组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒
个单位长度，则第2 015秒时，点P的坐标是( )
A．(2 014，0) B．(2 015，
－1)
C．(2 015，1) D．(2 016，0) 3．(2015·龙东)如图，在平面直角坐标系中，点A(0，
)、B(－1，0)，过点A作AB的垂线交x轴于点A1，过点A1作AA1的垂线交y轴
于点A2，过点A2作A1A2的垂线交x轴于点A3…按此规律继续作下去，直至得到
点A2 015为止，则点A2 015坐标为________．
参考答案
1．D 2.B 3.(－31 008，0)。