等差数列的性质及应用ppt课件

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等差数列的性质和应用PPT优秀课件

解 a n： S nS n 1(n2 ) a nn 2 2 n (n 1 )22 (n 1 )2 n 3(n2 （ )* ）
又当 n1时， a1 S1 1适合 (*) an 2n3，此a时 n1an 2 an为等差数 . 列
16
思考 :若此题S改 n n为 22n2, 试判断{a数 n}是列否成数等列 ?差
解 :由题意得 :
a1 S1 1, a2 1, a3 3 而2a2 a1 a3 ,
故{an }不成等差数列.
事实a上 n 12， n3
n1 n2
17
评注：
1.利用 an S n S n1 (n 2)解题时一定要注意验证 a1是否适合通项公式 .
19
例3:设等差{数 an}的列前 n项和S为 n, 若a5 5a3,则SS95 ______
解：
9(a1 a9)
S9 2 9a5 959
S5 5(a1a5) 5 a3 5
2
评注：S在n
a1
an 2
n中可利用性质
将a1 an转换成数列中另外之两和.项
20
例4:若数{a列 n}为等差数列 Sp ， Sq,且
(pq, p,qN) 求Spq
解:
Sp
Sq pa1
Sk,S2kSk,S3kS2k成等差数列？。如何证
略证S：k a1
ak 2
k
(1)
S2kSk
ak1

ak2
a2k
ak1 a2k 2
k
(2)
(S31k )(S23k得 )a2S k： k 12a(S 3k3kkS2k)k 2a1aka2k(13)a3k
解：由推广的通项公知式：

等差数列的性质(52张PPT)

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第二章 2.2 第2课时
系列丛书
方法2：∵{an}为等差数列， ∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列．设其公差为d，则a15为首项，a60为第4项． ∴a60＝a15＋3d，∴20＝8＋3d，解得d＝4. ∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.
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第二章 2.2 第2课时
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[点评]
等差数列中项数成等差的项仍然组成等差数
列，方法2正是应用等差数列这一性质解题的．
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第二章 2.2 第2课时
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变式训练2 已知数列{an}为等差数列． (1)若a15＝10，a45＝90，求a60； (2)公差d＝－2，且a1＋a4＋a7＋„＋a97＝50，求a3＋a6 ＋a9＋„＋a99的值．
第二章 2.2 第2课时
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联立解得 a2＝4，a5＝13，或 a2＝13，a5＝4. a5－a2 当 a2＝4，a5＝13 时，d＝＝3； 5－2 a5－a2 当 a2＝13，a5＝4 时，d＝＝－3. 5－2 ∴公差 d 为 3 或－3.
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第二章 2.2 第2课时
系列丛书
[解]
(1)∵a2＋a26＝a3＋a25＝2a14，
∴a2＋a3＋a25＋a26＝4a14＝48. 解得 a14＝12. (2)∵a2＋a5＝a3＋a4， ∴a2＋a3＋a4＋a5＝2(a2＋a5)＝34. 解得 a2＋a5＝17. 又已知 a2a5＝52，
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4.2.2等差数列的前n项和(第一课时)课件(人教版)

最小值时n的值为(
A.5
√
B.6
C.7
)
D.8
a1
17
解析由 7a5＋5a9＝0，得 d ＝－ 3 .
又a9>a5，所以d>0，a1<0.
d
1 a1 1 17 37
d 2
因为函数 y＝2x ＋a1－2x 的图象的对称轴为 x＝2－ d ＝2＋ 3 ＝ 6 ，

取最接近的整数 6，故 Sn 取得最小值时 n 的值为 6.
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数
是n，第n项为an，求前n项和Sn .
S n a1 (a1 d ) (a1 2d ) ... [a1 (n 1)d ], ①
S n an (an d ) (an 2d ) ... [an (n 1)d ], ②
跟踪练习
8.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距
10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前
来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．
解析假设20位同学是1号到20号依次排列，
使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，
由①+②，得
2Sn （a1 an）+（a1 an）+（a1 an）+...+（a1 an）
n个
n(a1 an )
2 S n n(a1 an ) 即Sn
2
求和公式
可知三
求一
等差数列的前n项和的公式：
n(a1 an )
Sn
不含d

高中数学第四章数列4.2等差数列4.2.1等差数列的概念第二课时等差数列的性质及其应用课件新人教A版

二、应用性——强调学以致用 2.如图所示，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数
列，且AD＝21 cm，这三个正方形的面积之和是179 cm2. (1)求AB，BC，CD的长； (2)以AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？
解：(1)设公差为 d(d>0)，BC＝x，则 AB＝x－d，CD＝x＋d. 由题意得xx－－dd＋ 2＋xx＋2＋x＋x＋dd＝2＝211，79，解得dx＝＝47，或dx＝＝－7，4 (舍去)．所以 AB＝3(cm)，BC＝7(cm)， CD＝11(cm)． (2)正方形的边长组成首项是 3，公差是 4 的等差数列{an}，所以 a10＝3＋(10－1)×4＝39， a210＝392＝1 521(cm2)．所求正方形的面积为 1 521 cm2.
(3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列．
三、创新性——强调创新意识和创新思维 3．对于给定的正整数k，若数列{an}满足：an－k＋an－k＋1＋…＋an－1＋an＋1＋…＋
an＋k－1＋an＋k＝2kan，对任意正整数n(n>k)总成立，则称数列{an}是“P(k)数列”．
(1)证明：等差数列{an}是“P(3)数列”； (2)若数列{an}既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：{an}是等差数列．
年12月末人口总数为万，则2019年10月末的人口总数为

4.2.1等差数列的性质及应用第2课时课件——高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

+ = + ( + − )
因为
所以
+=+
+ = +
合作探究
拓展
等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广： = + − (, ∈ ∗ ) ．（ =
−
−
）
(2) 若{ }是等差数列，, , , ∈ ∗ ,且 + = + . 则 + = +
31 + 21 = 4,
67
66
67
66
a5=a1+4d= ,故第 5 节的容积为升.
答案:B
13
1 = ,
22
7 则
= ,
66
二、典例引领
合作探究
∗
例 3 已知数列{ }是等差数列， , , , ∈ 且 + = +
求证： + = +
(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
解：（1）设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
又“首末两数之积比中间数的平方小16”
− − + =
∴
解得
= ±
故公差是 ±
三、课堂练习
课堂练习
3 灵活设元求解等差数列
(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
变式训练
孟子故里邹城市是我们的家乡，它曾多次入选中国经济百强县.经济的发展带动
了市民对住房的需求.假设该市2019年新建住房400万平方米，预计在以后的若干
年内，该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在第（

等差数列ppt

a8 24.
a9
1 3
a 11
a1 8d
1 3
a
1
10
d
2 3
a1
7d
2 3
a8
16.
答案:C
4.在数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*),则a1000等于( )
A.5
B.-5
C.1
D.-1
解析:解法一:a1=1,a2=5,an+2=an+1-an(n∈N*)可得该数列为 1,5,4,-1,-5,-4,1,5,4,…
使{an}是等差数列,则2pn+p+q应是一个与n无关的常数, 所以只有2p=0,即p=0.
故当p=0时,数列{an}是等差数列.
(2)证明:∵an+1-an=2pn+p+q, ∴an+2-an+1=2p(n+1)+p+q, 而(an+2-an+1)-(an+1-an)=2p为一个常数. ∴{an+1-an}是等差数列.
则a36 ( )
A. 37
B. 34
9
9
C.4
D.9
解析:由ap
aq
apq得an
a1
an1,即an1
an
a1
1, 9
故数列an是公差为19的等差数列,a36
1 9
351 9
4,
故选C.
答案:C
类型一
等差数列的判断与证明
解题准备:证明一个数列{an}为等差数列的基本方法有两种: (1)利用等差数列的定义证明,即证明an+1-an=d(n∈N*); (2)利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1(n∈N*). 注意:在选择方法时,要根据题目的特点,如果能够求出数列的

等差数列的前n项和公式的性质及应用课件

因为 S2k＝2ka1＋12×2k(2k－1)d＝8a1＋42，
所以 8a1＋42＝54，故 a1＝32，
所以此数列的首项是32，公差是32，项数为 8.
法二：设此数列的首项为 a1，公差为 d，项数为 2k(k∈N*)，
S奇＝24，根据题意，得S偶＝30，
a2k－a1＝221，
12ka1＋a2k－1＝24，即12ka2＋a2k＝30，
和 30，最后一项与第一项之差为221，求此数列的首项、公差以及项数． [解析] 法一：设此数列的首项为 a1，公差为 d，项数为 2k(k∈N*)，
S奇＝24，由已知得S偶＝30，
a2k－a1＝221，
S偶－S奇＝6，所以a2k－a1＝221，
kd＝6，
k＝4，
即2k－1d＝221，解得d＝32.
②若项数为 2n－1，则 S2n－1＝(2n－1)an(an 为中间项)且 S 奇－S 偶＝ an ， n－1
SS偶奇＝___n____.
(3)若 Sn 为数列{an}的前 n 项和，则{an}为等差数列等价于Snn是等差数列． (4)若{an}、{bn}都为等差数列，Sn、Sn′为它们的前 n 项和，则abmm＝ SS′2m2－ m1－1. (5)项数(下标)的“等和”性质： Sn＝na12＋an＝nam＋2an－m＋1.
()
A．130
B．65
C．70
D．以上都不对
解析：S13＝a1＋2 a13×13＝a5＋2 a9×13＝130.
答案：A
3．已知某等差数列共 20 项，其所有项和为 75，偶数项和为 25，则
公差为( )
A．5
B．－5
C．－2.5
D．2.5

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列分布，例如光的波长、音阶的频率等，等差数列的前n项和公式可以用于计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可以用等差数列的前n项和公式来解决，例如在求解一些物理问题的近似解时，可以利用等差数列的前n项和来简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益呈等差数列分布，例如定期存款、基金定投等，等差数列的前n项和公式可以用于计算这些投资组合的总收益。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指从第一项到第n项的所有项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法

4.2.1等差数列(第二课时)等差数列的证明与性质PPT课件(人教版)

1
2
1
2
=

，
2( −2)
= ，为常数( ∈ ∗ ).
1
，
2
1
2
( > 1， ∈
∗ )，记
∴数列{ }是首项为，公差为的等差数列.
=
1
.求证：数
−2
新知探究
证明：(法二：等差中项法)∵ =
∴+2 =
+1
2(+1 −2)
4
=
4−
4

2(4− −2)
(m，n，p，q∈N*)
特别地，设{an}为等差数列，若m＋n＝2p，则有am＋an＝2ap. (m，n，p∈N*)
注意：必须是两项相加等于两项相加，否则不一定成立.
例如，15 ≠ 7 + 8 ，但6 + 9 = 7 + 8 ；1 + 21 ≠ 22 ，但1 + 21 = 211 .
[方法二]由等差数列的性质知30 = 37 ，则7 = 10.
故3 − 25 = 3 − (3 + 7 ) = −7 = −10.
新知探究
例3.(1)数列{an}为等差数列，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求数列{an}的通项公式；
(2)在等差数列{an}中，a15＝8，a60＝20，求a75的值．
∴ = 1 + ( − 1) × (−20) = 220 − 20.
故从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
04
课堂小结
课堂小结
推广：an＝am＋(n－m)d (n，m∈N*)
首末项两项之间的关系
任意两项之间的关系
an －a1

《等差数列》PPT课件

解：因为
an 是等差数列，它的公差为d.所以有
= (a1 d ) d a1 2d
两边都等于a1 ，
a2 a1 d
a3 a2 d
a4 a3 d (a1 2d ) d 当 a1 n 3 d 1时，等式 a5 a4 d (a1 3d ) d a1 4d
2.2.0 引理：
1. 在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0, 5,____,____,____,____,….
2. 2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目.该项目共设置了7个级别.其中较轻的4个级别体重组成数列(单位：kg)： 48，53，58，63.
练习６
a4 6、等差数列{an }中，
则
3a1 , ak 9a1
k 13
小结：
1、等差数列的概念：
an an 1 d (n 2, n N ）
或

an 1 an d （n N ）

2、等差数列的通项公式：
an a1 (n 1)d
an , a1 , n ,d 这四个变量，知道其中三
例后思考：
等差数列的通项公式
例后思考
an = a1+(n-1)d 中，
an , a1 , n ,d 这四个变量，知道其中三个量
就可以求余下的一个
量.
例题2
在等差数列
a
n
a5 10, a12 31 , 中，
求首项 a1 与公差
解：
d
.

a5 a1 4d 10 a12 a1 11d 31

4.2.1等差数列的性质与应用课件(人教版)

( , , , , , ∈ ∗ ), 则有 + + = + + .
辨析：判断对错
若数列是等差数列
（1）当 + = + ( , , , ∈ ∗ ),则 + = + （×）
(2) 当 + = (, , ∈ ∗ ),则有 + = （×）
= + ( − )， = + ( − ) ，
= + ( − )， = + ( − )，
容易发现 + = + ( + −)
+ = + ( + −)
因为 + = + ,故有 + = +

(
−
∗

,

=−

−
∗
( ≥ , ∈ ),
∈ ).
(2)求数列{an}中的最大项和最小项,并说明理由.

(2)解:由(1)知 bn=n-,则 an=1+ =1+

设函数 f(x)=1+

-
.
-

,f(x)在区间(-∞, )和( ,+∞)上单调递
等差数列“下标和”相等性质
若数列是等差数列
当 + = + ( , , , ∈ ∗ ),则 + = +
思考1：数列是等差数列，当 + = (, , ∈ ∗ ),
则有 + = .
思考2：数列是等差数列，当 + + = + +

等差数列ppt课件

课前探究学习
课堂讲练互动
第2课时等差数列的性质及其应用
【课标要求】 1．进一步了解等差数列的项与序号之间的规律． 2．理解等差数列的性质． 3．掌握等差数列的性质及其应用．【核心扫描】 1．等差数列的性质及证明．(重点) 2．运用等差数列定义及性质解题．(难点)
课前探究学习
课堂讲练互动
自学导引
课前探究学习
课堂讲练互动
名师点睛
1．等差数列的公差与斜率的关系 (1) 一次函数 f(x)＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线，斜率
(2) k＝fxx22－－xf1x1(x1≠x2)．当k＝0时，对于常数函数f(x)＝b，上式仍然成立． (2)等差数列{an}的公差本质上是相应直线的斜率．如am，an是等差数列{an}的任意两项，由an＝am＋(n－m)d，类比直线方程的斜率公式得 d＝ann－－mam.
(2)若a15＝8，a60＝20，则a75＝________.
解析 (1)a1＋2a4＝a1＋(a3＋a5)＝(a1＋a5)＋a3＝2a3＋a3＝
3a3＝15.
(2)法一设首项为a1，公差为d.
∵a15＝8，a60＝20，
aa11＋＋1549dd＝＝82，0，
解得a1＝1654， d＝145.
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一等差数列性质的应用
【例1】 (1)已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8.
(2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15， a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13的值． [思路探索] 分析题目，可利用等差数列性质，也可利用通项公式求解．
1．等差数列的项与序号的关系
两项关系

等差数列的性质与证明.ppt

等差数列的证明
an
2(10 3n) 2
3n 10
当n 2时，an an1 3n 10 [3(n 1) 10] 3
等差数列的证明
解 :由：xn
2 xn 1 xn1 2
1 xn1 2 1 1
xn
2 xn 1
xn1 2
{ 1 } 1 +（n-1）g1 n 1
∴a3＋a6＋a9＝2a6＋a6＝3a6
等差数列的性质
变式已知等差数列{an}中，a1＋a4＋a7＝15，a2 a4 a6＝45，求此数列的通项公式．
解因为 a1＋a7＝2a4，a1＋a4＋a7＝3a4＝15，所以 a4＝5.又因为 a2a4a6＝45，所以 a2a6＝9，即(a4－2d)(a4＋2d)＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得 d＝±2. 若 d＝2，an＝a4＋(n－4)d＝2n－3；若 d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝13－2n.
1、等差数列的性质用来化简条件，关注下标间的关系
2、等差数列的证明利用定义来证明
3、解方程组能力
等差数列的性质
(3) 若{an} ，{bn} 分别是公差为 d1，d2 的等差数列，则数列 { pan＋qbn }(p、q是常数)是公差为 pd1＋qd2 的等差数列．
两个等差数列进行加减组合后构成的新数列是等差数列
2.2 等差数列的性质与证明
知识回顾
尝试证明
等差数列的性质(探究)
(1)若 {an} 是等差数列，且 k＋l＝m＋n (k、l、 m、n∈N*)，则 ak＋al＝am＋an. (2)若 {an} 是等差数列，且公差为d，则{a2n－1} 和 {a2n}都是等差数列，且公差为 2d .

【数学】等差数列的概念第2课时等差数列的性质及应用课件-高二上数学人教A版2019选择性必修第二册

，
Q(q,aq)
‧
p
∵p q s t ,∴p s t q .
∴a p a s at aq ,即a p aq a s at .
‧
‧
图4.2-2
qtBiblioteka n课本P154. 已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝ 12. 求a4.
(a1 3d ) (a1 7d ) 20
解：数列的图象如图示.
an
18 •
15
12
9
6
由等差数列定义可知,数列{an }是等差数列,且a1 18,d 3. 3
∴an 18 3( n 1) 3n 21.
∴由通项公式可得通过图象上所有点的直线斜率为 3.
O
•
•
•
•
•
1 2 3 4 56
n
课本P18
3. 在等差数列{an}中， an = m，am = n，且n ≠ m，求am+n .
2
21
7 35
∴a2 a1 d
,a3 a1 2d 14,a4 a1 3d 7
.
2
2 2
21
35
∴在7和21中插入 ,14, ,可使这5个数成等差数列.
2
2
解 2 : 设a1 7,a5 21，则由2a3 a1 +a5 ,得a3 14,
21
35
－6.5
《同步导练》9页 “初试身手” 第3题和例2
3.在等差数列{an}中，a3=2，d=6.5，求a7?
例2.（1）在等差数列{an}中，已知a4=7，a10=25，求通项公式an；