复数计算练习题

、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)

1 .已知a ，b € R ，贝U a = b 是(a — b)+ (a + b)i 为纯虚数的(

) 4. 在(扌+三%12的展开式中，所有奇数项的和等于()

A . — 1 C. 0 答案 B

z

5. 已知= 2+ i ，则复数z =( )

1 + i

A . — 1 + 3i

B . 1 — 3i

C . 3+ i

D . 3— i

答案 B

z —

解析 V = 2+ i ，二 z = (2 + i)(1 + i) = 2 + 3i + i 2= 1 + 3i.二 z =

1

— 3i. 6. 复数1豊2等于()

A . 4i

B .— 4i A .充要条件

C .必要不充分条件 答案 C

二()

A . — 2 + 4i C . 2 + 4i 答案 A

3 .若w =—舟+申， A. 1 C . 3+ 3i 答案 B

B . D . B . D . 则w 4+ w 2+ 1等于( B . D . 充分不必要条件 既不充分也不必要条件

—2 — 4i

2— 4i

)

—1 + \ 3i

B . 1

D . i

C . 2i

答案 C D .— 2i

7.复数 2 + 2i4 ,/W A . 1+ 3i

C . 1— . 3i B .— 1+ ,3i

D .— 1— 3i 答案 B 2 8.复数 1 + i 3=( ) A . 1+ 2i C .— 1 答案 A

2 2

解析 1 + 73= 1 + —= 1 + 2i ，故选 A.

i — i B . 1 — 2i D . 3

9. 在复数集C 内分解因式2x2 — 4x + 5等于( )

A . (x — 1+ . 3i)(x — 1— . 3i)

B. ( 2x — ,2+ ,3i)

C.2x — 2— . 3i)

C. 2(x — 1 + i)(x — 1 — i)

D. 2(x + 1 + i)(x + 1 — i) 答案 B 10. 复数 i 3(1 + i)2=( ) A . 2 B . — 2

C . 2i

D . — 2i 答案 A 解析 由题意得 i 3(1 + i)2= — i 2i = — 2i 2= 2,选 A. 1 11. 复数z =— 的共轭复数是( ) 1 — i 1 + 2i

1 —2i C . 1 — i

答案 B

D . 1 + i

解析 z = 1——i = 1 — i 1+i =1+ 2i , z = 2— 2i ，故选 B.

12. 已知复数z = 1 — i ，则W —^=（

B .— 2i

D. — 2

答案 B

13. 已知复数 z = 2+ i ，则 z 4— 4z 3 + 6<—4z — 1 =

答案 —6

解析 z 4 — 4z 3 + 6z 2 — 4z — 1 = (z 4 — 4z 3 + 6z 2 — 4z + 1) — 2= (z — 1)4 — 2= (1 + i)4 — 2= [(1

+ i)2]2 — 2

=(2i)2 — 2= — 4 — 2= — 6.

14. i4n +i4n + 1 + i4n + 2+ i4n + 3 =

答案 0

1 — i3

15. 已知 i | . = a + 3i ，贝U a = .

1 + i -------------

答案 —2 — 3i

16. 设 z € C ， z +|z | = 2+ i ，贝U z = _______

3

答案3+ i

解析设 z = a + bi ，则 | z |= , a 2+ b 2.

• ° • a + bi + v a 2 + b ?= 2 + i.

.a +/ a 2+ b 2 = 2，

…b = 1.

三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应出写文字说明、证明过程或演算步 骤）

17. （10分）若复数z = m 2 + m — 2+ （2m 2— m — 3）i （m € R ）的共轭复数z 对

C . 2

、填空题（本大题共4小题，每小题 5分，共20分.把答案填在题中横线上）

（n 为正整数）. 3

a = 4,

b = 1,

• z = 3+ L

应的点在第一

象限，求实数m 的集合.

解析 由题意得 z _ m 2 + m — 2— (2m 2— m — 3)i.

m 2 + m — 2>0， m 2 + m — 2>0，

二 2 即 2

—2m 2— m — 3>0， 2m 2— m — 3<0，

3

解得1

18. (12分)计算(舟+申)3

解析方法一 ••• g +申)3_ (2+申)2(2+~2^i) _(—2+ 申)(2+今)_ (今产

方法二 原式_(!)3+ 3X (2)2x 申 + 3X |x (~2^)2+ (~2^)3_8 + 383i

1.

19. （12分）已知复平面内点 A 、B 对应的复数分别是z 1_ sin 2 9+ i , _-cos 9+ icos2 B,

其中9€ (0,2 n)设AB 对应的复数为z.

(1) 求复数z ;

1

(2) 若复数z 对应的点P 在直线y _2x 上，求9的值.

解析 (1)z _z 2—Z 1_ — cos 2 9— sin 2 9+ i(cos2 9— 1)_- 1 — i(2sin 2 9).

⑵点P 的坐标为(—1,— 2sin 2 9).

1 1

由点P 在直线y _qx ,得—2sin 2 9_ —夕

n 5 又••• 9(o,2 n ) •- 9_6，6n 1 ― i2 + 31 + i 20. (12分)已知复数z _ -—: ，若z2 + az + b _ 1 — i ，试求实数a 、b 的值. 解析 化简得z _ 1 + i 代入方程，得

a +

b + (2 + a)i _ 1 — i.

4

= -1. ••• sin 2

1 9_ 4,

• sin 9_ ±r

7 11 6n 6冗