2.7数列求和及综合应用

∴a2＝3，∴aa21＋＋11＝2，∴当 n＝1 时，①式也成立，
∴an＋1＝2n，即an＝2n－1(n∈N*).
思维启迪 先利用错位相减法求出Tn，再放缩.
（2）证明 ∵an＝2n－1，
所以b1<b2＝b3>b4>…>bn>…，
所以(bn)max＝b2＝b3＝ 9 . 2
例2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1 ＝2Sn＋n＋1(n∈N*)， (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝ an＋1n－an，数列{bn}的前n项和为Tn，n∈N*，证 明：Tn<2.
思维启迪 n>1时，Sn＝2Sn－1＋n两式相减得{an}的递推关系式，然
后构造数列求通项；
解 （1）∵Sn＋1＝2Sn＋n＋1， 当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n， ∴an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
即aan＋n＋1＋11＝2(n≥Байду номын сангаас)，
①
又S2＝2S1＋2，a1＝S1＝1，
(4)裂项相消法
利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相
加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和.这种方
法，适用于求通项为
的数列的前n项和，其中{an}
1
若为等差数列，则＝ anan＋1
.
ana1n＋1＝1da1n－an1＋1
常见的裂项公式：
①nn1＋1＝n1－n＋1 1；
例1 等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、 三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在 下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3
2
10
第二行 6 第三行 9
4
14
8
18
(1)求数列{an}的通项公式；
思维启迪 根据表中数据逐个推敲确定{an}的通项公式；
解 当a1＝3时，不合题意； 当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意. 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18，所以公比q＝3. 故an＝2·3n－1 (n∈N*).
②nn1＋k＝1k(n1－n＋1 k)；
③2n－112n＋1＝12(2n1－1－2n1＋1)；
④
1 n＋
n＋k＝1k(
n＋k－
n).
2.数列应用题的模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时， 该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差. (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个 固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就 是公比. (3)混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等 比数列的模型.
所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－ 1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3.
当n为偶数时，
Sn＝2×11－－33n＋n2ln 3＝3n＋n2ln 3－1；
当n为奇数时，
Sn＝2×11－－33n－(ln 2－ln 3)＋n－2 1－nln 3 ＝3n－n－2 1ln 3－ln 2－1.
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列
{bn}的前n项和Sn.
思维启迪
分组求和.
解 因为bn＝an＋(－1)nln an ＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)
＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3]
＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
综上所述，
Sn＝33nn＋－nn2l－2n 13l－n 31－，ln 2－1，
n为偶数， n为奇数.
在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思
想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数
列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等
思 差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.
维 在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正
解 由(1)可得 T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4
＋…＋a2n)＝1－1－2112n＋12[11－－1212n]＝3－3(12)n，
所以 bn＝3n(n＋1)(12)n，
bn＋1＝3(n＋1)(n＋2)( 1 )n＋1， 2
所以 bn＋1－bn＝3(n＋1)(12)n(n＋2 2－n) ＝3(n＋1)(12)n＋1(2－n)，
2
2
所以aan＋n2＝12.
又a1＝1，a2＝
1
，所以数列a1，a3，…，a2n－1，…，是
以1为首项，1为2 公比的等比数列；
2
数列a2，a4，…，a2n，…，是以
1为首项，1
为公比的等
比数列.
2
2
(2) 若 数 列 {an} 的 前 2n 项 和 为 T2n ， 令 bn ＝ (3 － T2n)·n·(n＋1)，求数列{bn}的最大项.
(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定 的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体 量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型.如分 期付款问题，树木的生长与砍伐问题等. (5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它 的前一项an－1(或前n项)间的递推关系式，我们可以 用递推数列的知识来解决问题.
高中数学 必修5
2.7数列求和及综合应用
主干知识梳理
1.数列求和的方法技巧 (1)分组转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将 数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列 或常见的数列，即先分别求和，然后再合并.
(2)错位相减法 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种 方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分 别是等差数列和等比数列. (3)倒序相加法 这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是 将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有 公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用 倒序相加法求和.
升 华
负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最
后再验证是否可以合并为一个公式.
变式训练1
已知数列{an}中，a1＝1，anan＋1＝( 1 )n(n∈N*). (1)求证：数列{a2n}与{a2n－1}(n∈N*)2都是等比数列；
1 1 证明 因为anan＋1＝( )n，an＋1an＋2＝( )n＋1，