(完整word版)河南农业大学工科类高等数学A_16-17-1
河南农业大学2015-2016学年第二学期《高等数学》(工科)期末考试试卷(A)
1河南农业大学2015-2016学年第二学期《高等数学》（工科）期末考试试卷（A ）一、判断题（每小题2分，共计20分）( R )1、两个单位向量的数量积一定等于1.( W )2、设有向量,,a b c ，则()()a b c a b c ⋅=⋅.(R )4、沿梯度方向时，方向导数取得最大值.( R )5、若σ为D 的面积，则D dxdy σ=⎰⎰. ( W )6、设平面闭区}{(,),Dx y a x a x y a =-≤≤≤≤，}{1(,)0,D x y x a x y a =≤≤≤≤，则14DD xydxdy xydxdy =⎰⎰⎰⎰. ( R )7、设L 是任意一条分段光滑的曲线，则220L xydx x dy +=⎰. ( W )8、若级数1n n u∞=∑收敛，1n n v ∞=∑发散，则级数()1n n n u v ∞=+∑可能发散，也可能收敛. ( R )9、对级数1n n u∞=∑，lim 0n n u →∞=是该级数收敛的必要非充分条件.( R )10、若级数1n n n a x ∞=∑在2x =-处收敛，该级数的收敛半径一定大于等于2.二、填空题（每空2分，共计20分）.1、已知两点(4,0,5),(7,1,3)A B ,则与向量AB 方向一致的单位向量为______________. 2、曲面222231xy z +-=在点(1,1,1)处的法线方程为________________________. 3、向量(2,1,1),(2,3,)a k β==-，且a β⊥，则k ＝______________. 4、交换积分次序1220o I dy x y dx ==⎰____________________________.5、设2x z y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则z x∂=∂_______________________. 6、级数11(2)n n x n∞=-∑的收敛区间为______________. 7、设L 为圆周221x y +=，则22()Lx y ds +=⎰__________________. 8、设cos ,cos ,cos αβγ是有向曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的单位余弦，则两类曲面积分间关系是 Pdydz Qdzdx Rdxdy ∑++⎰⎰＝_____________________.2 9、设∑为球面2222x y z R ++=的外侧，则32222()xdydz ydxdz zdxdy x y z ∑++=++⎰⎰_________.10、设()f x 是以4为周期的周期函数，在[]2,2-定义为120()02x f x xx -≤≤⎧=⎨<<⎩，则傅立叶级数在2x =收敛于________________. 三、计算题（每题10分，共计60分）1、计算二重积分D ，其中D 是由直线,1,0y x y x ===所围成的平面区域．2、设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f =满足22220z z x y ∂∂+=∂∂.证明：()()0f u f u u '''+=．3、将函数2()2x f x x x =+-展成x 的幂级数．4、计算曲面积分：xyzdS ∑⎰⎰，其中∑是球面2221x y z ++=外侧在0,0x y ≥≥的部分．5、利用格林公式计算：3222(2cos )(12sin 3)L xy y x dx y x x y dy -+-+⎰，其中L 为抛物线22x y π=上由点(0,0)到(,1)2π的一段弧．6、设一平面经过原点及点(6,3,2)-，且与平面428x y z -+=垂直，求此平面方程．。
河南理工大学16-17-1高数提高试卷B
河南理工大学16-17-1高数提高试卷B-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1河南理工大学2016-2017学年第 1 学期 《高等数学提高》期末考试试卷（A 卷）1.设1sin , 0(),0sin, 0x a x x f x b x x x x ⎧+>⎪⎪==⎨⎪⎪<⎩在0x =连续，则a b +=____________.30sin tan limx x x x →-=.3.当(0,)2x π∈时, sin 0x=⎰____________.32d d x x x =⎰. 5.函数(1)ln(1)x x ++展成x 的幂级数后的收敛区间为____________. 1.极限0()()limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆存在是函数()f x 在点x 处可导的一个（ ）（A ）必要非充分条件； （B ）充分非必要条件；（C ）充要条件； （D ）既非充分也非必要条件.2.直线127:27x y z L x y z +-=⎧⎨-++=⎩和23638:20x y z L x y z +-=⎧⎨--=⎩，则（ ）（A ）12L L ⊥； （B ）12//L L ； （C ）12,L L 异面； （D ）12,L L 相交. 3.球面2229x y z ++=与平面1x z +=的交线在XOY 面上的投影方程为（）（A ）229x y +=； （B ）221172()22x y -+=（C ）226x y +=； （D ）2228x y +=4.设在[0,1]上，''()0f x >，则'(0)f ，'(1)f ，(1)(0)f f -或(0)(1)f f -的大小顺序为（ ）（A ）'(1)(1)(0)'(0)f f f f >->； （B ）'(1)'(0)(1)(0)f f f f >>-； （C ）(1)(0)'(1)'(0)f f f f ->>； （D ）'(1)(0)(1)'(0)f f f f >->. 5.下列等式中，正确的结果是（ ）（A ）'()d ()f x x f x =⎰； （B ）d ()()f x f x =⎰；（C ）d()d ()d f x x f x x =⎰； （D ）d ()()f x f x =⎰.1．求4224cos d x x ππ-⎰.一、填空题（每小题5分）二、选择题（每小题5分）2．设ln z x xy =，求32.zx y∂∂∂3．求微分方程 2d 32d yx y x x x+=++的通解.4．计算三重积分：222222()d d d x y z I x y z a b c Ω=++⎰⎰⎰，其中222222:(,,)|1x y z x y z a b c ⎧⎫Ω++≤⎨⎬⎩⎭5．计算22d d L x y y x x y-+⎰，其中L 为椭圆曲线2221x y +=的正向。
中国农业大学高数(A)期中考试带答案解析2019-20(2019.12)
中国农业大学2019 ~2020学年秋季学期（2019.12 ） 高等数学A （上） 课程试题解答一、单项选择题（本题共有8道小题，每小题3分，满分24分）1. 设函数()f x 可微，则2d ()f x =【 C 】．(A) ()22d x f x x '； (B) ()2d f x x '； (C) ()22d x f x x '； (D) ()22x f x '.2. 设2sin ()sin x t xF x e tdt π+=⎰，则()F x 【 A 】．(A) 为正常数； (B) 为负常数； (C) 恒为零； (D) 不为常数.3. 已知函数()y f x =对一切x 满足[]2()3()1x xf x x f x e -'''+=-，若()00()00f x x '=≠，则【 C 】.(A) 0()f x 是()f x 的极大值； (B) ()00,()x f x 是曲线()y f x =的拐点； (C) 0()f x 是()f x 的极小值；(D) 0()f x 不是()f x 的极小值，()00,()x f x 不是曲线()y f x =的拐点.4. 设10()20，，x e x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩, 则()f x 在0x =处【 D 】.(A) 0lim ()x f x →不存在； (B) 0lim ()x f x →存在, 但在0x =处不连续；(C) (0)f '存在； (D) ()f x 在0x =处连续, 但不可导.5. 设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x -+是比sin n x x 高阶的无穷小，而sin nx x 是比2(1)x e -高阶的无穷小，则正整数n = 【 B 】.(A) 1 ; (B) 2 ; (C) 3 ; (D) 4.6. 0x =是函数12sin ()||1xxf x x e=++的【 B 】间断点. (A) 跳跃； (B) 可去； (C) 无穷； (D) 振荡.7. 下列积分的值为0的是【 C 】. (A)111dx x -⎰； (B)11sin(2)x dx -+⎰； (C)11cos x xdx -⎰； (D)21xdx x +∞-∞+⎰. 8. 已知一阶线性微分方程()x y p x y e '+=有特解x y xe =，则该微分方程的通解是【 B 】.(A) ()xy e C x =-； (B) ()xy e C x =+；(C) (2)x y e C x =-； (D) (2)x y e C x =+.二、填空题（本题共有4道小题，每小题3分，满分12分） 1. ()1lim 12xx x →+ =2e .2. 已知函数()y y x =由方程2610ye xy x ++-=确定，则(0)y ''= -2 .3. 设lim ()x f x k →∞'=，则 []lim ()()x f x a f x →∞+-=ka .4. 11xdx e=+⎰ ln(1)x x e C -++ .三、求解下列各题（本题共有4道小题，每小题7分，满分28分）.(1) 求极限 20ln(1)lim sec cos x x x x→+- .【解】 解一 22200ln(1)lim lim sec cos 1cos x x x x x x x→→+=-- =1解二 22002ln(1)1lim lim 1sec cos sec tan sin x x xx x x x x x x→→++==-+ (2) 证明：当1x >时，ln(1)ln 1x xx x+>+. 【解】令()(1)ln(1)ln f x x x x x =++-1()ln(1)11ln ln0xf x x x x+'⇒=++--=> ， 于是()f x 在1x >时单调递增，所以()(1)2ln20f x f >=> ， 所以，当1x >时，(1)ln(1)ln x x x x ++>⇒ln(1)ln 1x xx x+>+ .(3) 设0()()cos f x x f x xdx π=-⎰，求()f x .【解】 原等式两端同时乘以cos x ，并从0到π积分得()cos cos cos ()cos f x xdx x xdx xdxf x xdx ππππ=-⎰⎰⎰⎰，求得0()cos 2f x xdx π=-⎰ ，所以 ()2f x x =+ .(4)求微分方程2109xy y y e '''-+=的通解.【解】特征方程21090r r -+= ， 特征根121,9r r ==对应齐次方程的通解为912x x y C e C e =+ 设*2x y Ae =是原微分方程的一个特解，求得17A =-，即*217x y e =-所以原微分方程的通解为 921217x x x y C e C e e =+-.四、（本题满分10分）在曲线21(0)y x x =>上求一点M , 使过该点的切线被两坐标轴所截得的长度最短, 并求出这最短的长度.解 设点M(t,21)t即为所求的切点(也可设为(0201,x x ))， 切线方程为 2312()y x t t t-=-- 两截距分别为 233,2t t ,于是所截线段长度为 l241()4t f t t=+ 在()0,+∞内的最小值点.由54()2t f t t '=-=0，得唯一驻点为t，且0,f ''> t. 由实际问题可知， t是最小值点，故点12)即为所求的点，且最短距离为2. 五、（本题满分10分）设函数()f x 在(),-∞+∞内二阶可导且()0f x ''>，又()0lim1x f x x→=.1. 求()(0),0f f '；2. 试证：在()0,+∞内，函数()()f x g x x=是单调增加的.解 1. 因为()0lim1x f x x→=, 要使此式成立，必 ()0lim 0x f x →=. 又因为可导必连续，()f x 在(),-∞+∞内二阶可导，所以 ()()0lim 00x f x f →== ()()()()000limlim10x x f x f f x f x x→→-'===-2. ()()()2x f x f x g x x'-'=，设()()()h x x f x f x '=-，下证()0h x ≥.因为()h x 在[)0,+∞上连续，且()()()()()()()0,0,h x f x x f x f x x f x x '''''''=+-=>∈+∞所以()h x 在()0,+∞内单调增加， ()()00h x h >=，所以()0g x '>，()g x 在()0,+∞内单调增加.六、（本题满分10分）已知()f x 有连续导数，当0x →时，220()()()xF x x t f t dt '=-⎰的导数与2x 为等价无穷小，求0f '（）.解 22220()()()()()xxxF x x t f t dt x f t dt t f t dt '''=-=-⎰⎰⎰220()2()()()xF x x f t dt x f x x f x ''''=+-⎰2()2(()(0))xx f t dt x f x f '==-⎰由题意22000()2(()(0))()(0)lim=lim 2lim 1x x x F x x f x f f x f x x x→→→'--== 所以 (0)=f '12七、（本题满分6分）已知函数()f x 在闭区间[],a b 上连续（0a >），且()0baf x dx =⎰，求证：存在(,)a b ξ∈，使得()()af x dx f ξξξ=⎰.证明：令1F()()xa x f t dt x=⎰，由于()f x 在[],a b 上连续，故F()x 在[],a b 上可导，且F()0,F()0a b ==，应用罗尔定理可知，存在(,)a b ξ∈，使得F ()0ξ'=，而 2()()F ()xa xf x f t dtx x-'=⎰，故()()()aaf t dt f x dx f ξξξξ==⎰⎰ .。
河南农业大学高数08-09-A
河南农业大学2008-2009学年第二学期 《高等数学》（工科）期末考试试卷(A)一、判断题（每题2分，共20分，正确的打√，错误的打×）（ ）1、()()a b c a b c⋅⋅=⋅⋅． （ ）2、方程z =表示一个开口向上的锥面．（ ）3、曲面(,)z f x y =在点000(,,)x y z 处的法向量为{}0000(,),(,),1x y f x y f x y ．（ ）4、极限3(,)(0,0)lim x y x y x y→+不存在．（ ）5、若二元函数在某点可微，则函数在该点的偏导数连续． （ ）6、若在区域D 上(,)0f x y ≤，则(,)0Df x y d σ≤⎰⎰．（ ）7、设C 为x 轴上从(1,0)A 到(1,0)B -的有向直线段，则d d 0Cy x x y +=⎰．（ ）8、设C 为圆周221x y +=，定向为正向，记C 所围平面区域为D ，则2222222222220()()C Dxdy ydx y x y x d x y x y x y σ⎛⎫---=-= ⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰． （ ）9、若正项级数1nn a∞=∑的部分和数列{}n S 无界，则该级数发散．（ ）10、级数11)2n n ∞=-∑收敛．二、填空题（每空2分，共计20分）1、设{}1,1,2=a，{}4,1,b λ=-，且a b ⊥，则=λ _________.院、系 班级 姓名 学号 座号密 封 线2、通过z 轴和点(1,1,2)--的平面方程为_______ .3、200tan()lim x y xy y →→= _________．4、2(,)f x y x y =+在点0(1,1)P 沿向量{}2,2-方向的方向导数为___________．5、若22:4D x y +≤，则二重积分2Dx ydxdy =⎰⎰___________． 6、交换积分次序0(,)a a dy f x y dx -=⎰⎰______ ．7、设C 为圆周222x y R +=，则222()Cx y ds +=⎰________________.8、设S为上半球面z =，则曲面积分SdS =⎰⎰________________.9、级数1(1)(23)nn n x n ∞=--∑的收敛区间为 ． 10、设函数()f x 以2π为周期，在[,)ππ-上定义10()10x x f x x x ππ--≤<⎧=⎨+≤<⎩，则其傅里叶级数在x π=收敛于________________.三、计算题（每题10分，共计60分）1、设22w x y =+，x st =，cos y s t =，求10s t w s==∂∂，10s t w t==∂∂.2、计算二重积分d Dxy σ⎰⎰，其中D 是由两条抛物线y =2y x =所围成的闭区域.3、计算三重积分zdv Ω⎰⎰⎰,其中Ω是由2221(0)xy z z ++=≥与z =的空间区域．4、确定λ的值，使曲线积分212(4)d (62)d Cx xy x x y y y λλ-++-⎰在xoy 平面上与路径无关．当起点为(0,0)，终点为(3,1)时，求此曲线积分的值．院、系 班级 姓名 学号 座号密 封 线5、计算曲面积分d d d d d d SI x y z y z x z x y =--+⎰⎰，其中S 是曲面221z x y =++被平面5z =所截下的部分，取下侧.6、将函数21()43f x x x =++展开成x 的幂级数.。
高等数学期末15-16-A1-A卷答案
河南工程学院 2015 至 2016 学年第 1 学期 高等数学A1 试卷 A 卷（答案与评分标准）考试方式： 闭卷 本试卷考试分数占学生总评成绩的 70%一、单选题（本题18分，每小题3分）1. C2. B3. A4. C5. C6. B二、填空题（本题18分，每小题3分）1. 1x =，2x = 或1，22. 2e3. 14. -15. cos x6. 12x x C e C e -+三、计算题（本题48分，每小题6分）1.2222220011sin lim()lim sin sin x x x x x xx x →→--= ....................................2分 224300sin 2sin 2lim lim 4x x x x x x x x →→--==....................................2分 222001(2)1cos 212lim lim 663x x x x x x →→-===....................................2分2.00x x →→=...........2分 0x →=....................................2分 1=......................................................2分3.y''=........................................2分2)x'=-..................................2分=.......................................2分4.2ln ln ln ln()x x x xf x x e e=== ..........................................2分2ln1()2lnxf x e xx'∴=⋅⋅ ........................................2分ln2lnxx xx⋅= ..............................2分或者ln()ln()ln lnxf x x f x x x=⇒= .....................2分两者都对x求导12()ln()f x xf x x'= .......................................2分lnln()2xxf x xx'∴=⋅ ..........................................2分5.2()2sin22cos2f x x x x x'=+ ................................2分22()2(sin22cos2)2(2cos22sin2)(24)sin28cos2f x x x x x x x xx x x x''=++-=-+....................2分()4f x''=-π ...........................2分6.11lnln lndx d xx x x=⎰⎰ ................3分lnln x C=+ .....................................................3分或11lnln lndx d xx x x=⎰⎰ ...........................................2分令ln x t =11ln ln d x dt x t =⎰⎰ln t C =+ ..........................................2分lnln x C =+ ..................................................2分 7.111000arctan arctan arctan xdx x x xd x =-⎰⎰ .......2分 12041x dx xπ=-+⎰ 122011(1)421d x x π=-++⎰ ......................................2分 1201ln(1)42x π=-+ 1ln 242π=-………………………………………………2分 8.法1 常数变量法 设齐次方程为0dy y dx += ...................2分 求解得x y Ce -=设非齐次方程的解为()x y C x e -= .........................................2分 代入原方程求得()C x x C =+∴原方程的通解为()x y x C e -=+ ..........................................2分 法2 公式法()1P x = ()x Q x e -= ...............................2分求()()(())P x dx P x dx y e C Q x e dx -⎰⎰=+⎰ ..................................2分 ()x e C x -=+ .......................................2分四、讨论题（本题8分）...............................................................................2分 101p dx x =⎰11011p x p --ln x1p ≠0p =①当10p ->即1p <时10111p dx x p=-⎰ 收敛...............................................2分 ②当10p -= 即1p =时11001ln pdx x x ==∞⎰发散.........................................2分 ③当10p -<即1p >时101p dx x =∞⎰ 发散..........................................2分五、综合题（本题8分） 。
河南农业大学工科类高等数学A_16-17-1
院、系
班级
姓名
学号
密
封
线
《工科类高等数学A》期末考试试卷（A）
题号 一 二 三 四 总分
分数
得分 评卷人
一、判断题（每小题2分，共计20分．请在正确命题前
打“√”，错误命题前打“×”）
（ ）1、收敛数列必有界． （ ）2、方程在开区间内至少有一个根． （ ）3、闭区间上无最大值的函数在该闭区间上必不连续． （ ）4、函数在点处不可微． （ ）5、． （ ）6、积分中值定理中的是唯一的． （ ）7、极值点一定是函数的驻点，驻点也一定是极值点． （ ）8、初等函数在其定义域内可积． （ ）9、如果，则． ）10、如果和是的两个解，那么是此方程的通解（其中，是任意常
1、在正午时，甲船恰在乙船正南82海里处，以速度海里/小时向正东开 出；乙船也正以海里/小时向南开出.已知两船航向不变，问什么时候 两船相距最近？
2、求由曲线,直线,与轴所围成平面图形的面积及其绕轴、旋转一周所得 旋转体的体积和.
8、心形线的全长为_______
.
9、________________________．
10、微分方程的通解为_______
.
得分 评卷人
三、计算题（每题8分，共计40
分）
1、求.
2、设函数由参数方程 确定，求．
3、求．
院、系
班级
密
姓名
封
学号
线
4、求 ．
5、求微分方程的通解.
得分 卷人
四、应用题（每题10分，共计20 分）
数）．
得分 评卷人
二、填空题（每空2分，共计20
分）
1、．
高等数学a大一教材答案详解
高等数学a大一教材答案详解一、导数与微分在高等数学A的大一教材中，导数与微分是一个重要的内容。
导数是用于描述函数变化率的工具，它可以帮助我们分析函数的性质和求解问题。
下面我们将对导数与微分的相关知识进行详细解答。
1. 导数的概念及计算方法导数描述了函数在某一点的切线斜率，可以通过以下公式计算：$$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$其中，$f(x)$表示函数，$\Delta x$表示自变量的增量，$\Delta y$表示函数值的变化量。
通过不断减小$\Delta x$的值，我们可以得到函数在某一点的导数。
2. 常见函数的导数根据导数的定义和计算方法，我们可以得到一些常见函数的导数计算公式，如：- 幂函数 $y=x^n$ 的导数为 $y'=nx^{n-1}$- 指数函数 $y=a^x$ 的导数为 $y'=a^x\ln{a}$- 对数函数 $y=\log_a{x}$ 的导数为 $y'=\frac{1}{x\ln{a}}$- 三角函数的导数如下：- 正弦函数 $y=\sin{x}$ 的导数为 $y'=\cos{x}$- 余弦函数 $y=\cos{x}$ 的导数为 $y'=-\sin{x}$- 正切函数 $y=\tan{x}$ 的导数为 $y'=\sec^2{x}$3. 导数的性质与应用导数具有一些重要的性质，例如：- 若函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，那么它在 $x=a$ 处连续。
- 函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，则 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处的切线方程为 $y=f'(a)(x-a)+f(a)$。
导数在实际问题中的应用十分广泛，例如可以用于求解函数的极值、优化问题以及描述物理过程中的变化率等。
河南农业大学高数06-07第二学期A
河南农业大学2006-2007学年第二学期《高等数学》（工科）试卷（A）一、判断题（每小题2分，共20分）（）1.平面的法向量不唯一.（）2.向量→→⨯ba与二向量→a及→b的位置关系是垂直的.（）3.若),(yxfz=在点),(yxP处的两个偏导数存在，则),(yxf函数必在该点连续.（）4.沿梯度方向时，方向导数取得最大值.（）5.二重积分σdyxfD⎰⎰),(表示以),(y x fz=为顶，D为底，以D的边界曲线为准线，母线平行于z轴的柱面为侧面的曲顶柱体的体积．（）6.曲线积分⎰+Ldyxxydx2与路径无关．（）7.闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数),(yxP在D上具有一阶连续偏导数，则D LPdxdy Pdyx∂=∂⎰⎰⎰.（）8.若级数1nnu∞=∑收敛，1nnv∞=∑发散，则级数∑∞=+1)(nnnvu可能发散，也可能收敛.（）9.设L为圆周221x y+=，则2Ldsπ=⎰.（）10.若幂级数nnna x∞=∑在点1-处收敛，则该级数的收敛半径1≥r.二、填空题（每空2分，共20分）1. xoz坐标面上的直线5z x=绕ox轴旋转而成的旋转曲面方程为.2．曲面222231x y z+-=在点)1,1,1(-处的法线方程.．系班级姓名学号课头号座号密封线3．__________42lim0=+-→→xy xy y x .4．交换积分次序⎰⎰---=22111),(y y dx y x f dy ____________________________.5．函数y xe z 2=在点)0,1(P 处沿点P 到点)1,2(-Q 的方向导数为_______.6．级数11(2)n n x n∞=-∑的收敛区间为______________.7．设D 表示整个xOy 平面，则⎰⎰=--Dy xdxdy e 22__________________.8．设cos ,cos ,cos αβγ是有向曲面∑在点(,,)x y z 处的法向量的方向余弦，则两类曲面积分间关系是Pdydz Qdzdx Rdxdy ++∑⎰⎰＝___________________.9．由2x y =与1=y 所围成的均匀薄片（面密度为μ）对直线1-=y 的转动惯量为 .10．设()f x 是以4为周期的周期函数，在)2,2[-上定义为1,20(),02x f x x x -≤≤⎧=⎨<<⎩，则其傅立叶级数在点1=x 处收敛于________________.三．计算题（每题10分，共60分）1. 计算三重积分dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中Ω是由椭球面1222222=++c z b y a x 所围成的空间闭区域．2．设⎩⎨⎧=+++=,2032,22222z y x y x z 求 dx dz dx dy ,．3．求幂级数1211(1)(21)n n n x n n -+∞=--∑的收敛域．4．计算曲面积分⎰⎰∑+dS y x )(22，其中∑是锥面)(3222y x z +=被平面0=z 和3=z 所截得的部分．密 封 线5．计算曲线积分222(cos 2sin )(sin 2)x x Lx y x xy x y e dx x x ye dy +-+-⎰，其中L 为正向星形线)0(323232>=+a a y x ．6．设)57()3(b a b a -⊥+，)27()4(b a b a -⊥-，求向量b a,的夹角．。
(word完整版)高等数学习题集及答案
第一章 函数一、选择题1. 下列函数中，【 】不是奇函数A. x x y +=tanB. y x =C. )1()1(-⋅+=x x yD. x xy 2sin 2⋅=2. 下列各组中，函数)(x f 与)(x g 一样的是【 】A. 33)(,)(x x g x x f == B.x x x g x f 22tan sec )(,1)(-== C. 11)(,1)(2+-=-=x x x g x x f D. 2ln )(,ln 2)(x x g x x f ==3. 下列函数中，在定义域内是单调增加、有界的函数是【 】A. +arctan y x x =B. cos y x =C. arcsin y x =D. sin y x x =⋅4. 下列函数中，定义域是[,+]-∞∞,且是单调递增的是【 】A. arcsin y x =B. arccos y x =C. arctan y x =D. arccot y x = 5. 函数arctan y x =的定义域是【 】A. (0,)πB. (,)22ππ-C. [,]22ππ-D. (,+)-∞∞6. 下列函数中，定义域为[1,1]-，且是单调减少的函数是【 】A. arcsin y x =B. arccos y x =C. arctan y x =D. arccot y x = 7. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】A. (,)-∞+∞B. [1,1]-C. (,)ππ-D. [2,0]- 8. 已知函数arcsin(1)y x =+，则函数的定义域是【 】A. (,)-∞+∞B. [1,1]-C. (,)ππ-D. [2,0]-9. 下列各组函数中，【 】是相同的函数A. 2()ln f x x =和 ()2ln g x x =B. ()f x x =和()g x =C. ()f x x =和()2g x = D. ()sin f x x =和()arcsin g x x = 10. 设下列函数在其定义域内是增函数的是【 】A. ()cos f x x =B. ()arccos f x x =C. ()tan f x x =D. ()arctan f x x = 11. 反正切函数arctan y x =的定义域是【 】A. (,)22ππ-B. (0,)πC. (,)-∞+∞D. [1,1]-12. 下列函数是奇函数的是【 】A. arcsin y x x =B. arccos y x x =C. arccot y x x =D. 2arctan y x x = 13. 函数53sin ln x y =的复合过程为【 】A.x w w v v u u y sin ,,ln ,35==== B.x u u y sin ln ,53== C.x u u y sin ,ln 53== D.x v v u u y sin ,ln ,35===二、填空题1. 函数5arctan 5arcsin x x y +=的定义域是___________.2.()arcsin3xf x =的定义域为 ___________.3. 函数1()arcsin3x f x +=的定义域为 ___________。
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目录一、函数与极限 (2)1、集合的概念 (2)2、常量与变量 (3)2、函数 (4)3、函数的简单性态 (4)4、反函数 (5)5、复合函数 (6)6、初等函数 (6)7、双曲函数及反双曲函数 (7)8、数列的极限 (8)9、函数的极限 (9)10、函数极限的运算规则 (11)一、函数与极限1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。
⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。
⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。
⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。
记作，并规定，空集是任何集合的子集。
⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：①、任何一个集合是它本身的子集。
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高学试题及答案选择题（本大题共40 小题，每小题 2.5 分，共 100 分）1．设 f(x)=lnx，且函数 (x) 的反函数1(x)= 2(x+1) ，则 f(x)（ B）x-2 x+22-xx-1 x+2lnlnlnlnA. x+2B.x-2C. x+2D. 2-xe t2 dt2． lime tx1 cosx（A ）x 0A ． 0B ． 1C ．-1D ．3．设y f ( x 0 x) f ( x 0 ) 且函数 f (x) 在 x x 0 处可导，则必有（ A）A. lim y 0B. y 0C.dy 0D. y dyx 04．设函数 f(x)=2x 2, x 1，则 f(x) 在点 x=1处（ C）3x1,x 1A. 不连续B. 连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D.可导5．设 xf(x)dx=e-x 2C ，则 f(x)= （ D）A.xe6. 设 I-x 2B.-xe -x 2C.2e -x 2D.-2e-x 2( x2y 2 ) dxdy，其中 D 由 x 2y 2 a 2 所围成，则 I =( B ).D(A)2 a 2rdra4(B)2 a 2rdr1 a4dadr22 a 2dr2 a 32a2adr2 a4(C)dr (D)da37. 若 L 是上半椭圆x a cost ,ydxxdy 的值为 ( C ).y 取顺时针方向 , 则b sin t ,L(A)0(B)ab (C)ab(D)28. 设 a 为非零常数 , 则当 ( B )时 , 级数a 收敛 .n 1 rnab(A) | r | | a |(B)| r | | a | (C) | r | 1(D)| r | 19. lim u n 0 是级数u n 收敛的 ( D )条件 .nn 1(A) 充分 (B) 必要 (C) 充分且必要 (D) 既非充分又非必要10. 微分方程 y y0 的通解为 ____B______.(A)y cos x c(B) y c 1 cos x c 2(C) y c 1 c 2 sin x(D) yc 1 cos x c 2 sin x11. 若 a ， b 为共线的单位向量，则它们的数量积a b（ D ）.（ A ） 1（B ） -1（ C ） 0（ D ） cos(a, b)12. 设平面方程为 Bx Cz D 0 ，且 B , C , D 0 ， 则平面（C ）.（ A ）平行于 x 轴（ B ）垂直于 x 轴（ C ）平行于 y 轴（ D ）垂直于 y 轴13. 设 f ( x, y)( x 2y 2 ) sin x 2 1 y 2,x 2 y 20 , 则在原点 (0,0) 处 f (x, y) ( D ).0, x 2y 2(A) 不连续 (B)偏导数不存在(C)连续但不可微 (D)可微14. 二元函数 z 3( x y)x 3 y 3 的极值点是 ( D ).(A) (1,2)(B) (1， -2 ) (C) (1,-1)(D) (-1,-1)15. 设 D 为 x 2y 2 1,则11 dxdy=（C ）.Dx 2 y 2(A) 0(B)(C) 2(D) 416.1 1 x)0 dxf ( x, y ) dy =( C1 x 11 1 xf ( x , y ) dx (A)0 dyf ( x , y ) dx(B) 0dy11 y f ( x , y ) dx11f ( x , y ) dx(C)dy(D) dy17.x a cost ,ydxxdy 的值为 ( C ).若 L 是上半椭圆取顺时针方向 , 则Lyb sin t ,(A) 0(B)ab(C)ab(D)ab218. 下列级数中 , 收敛的是 ( B ).(A)(5 )n1(B)( 4 ) n 1(C)( 1) n 1( 5) n 1(D)(54)n 1n 1 4n 1 5n 1 4 n 1 4519. 若幂级数a n x n 的收敛半径为 R 1 ： 0R 1，幂级数b n x n 的收敛半径为 R 2 ： 0 R 2，n 0n 0则幂级数(a nb n ) x n 的收敛半径至少为 ( D )n 0(A) R1R2(B)R1 R2(C)max R1, R2(D)min R1 , R220.下列方程为线性微分方程的是（ A ）(A)y(sin x) y e x(B)y x sin y e x(C)y sin x e y(D)xy cos y1１x21. a b a b 充分必要条件是（ B ）(A) a ×0(B) a b0(C)a b 0(D) a b 0 b22. 两平面x 4 y z50与 2x 2 y z 30的夹角是（ C ）(A)6(B)3(C)4(D)223. 若f y(a, b) 1 ，则 lim f a, b y f a,b y=( A )y 0y(A)2(B)1(C)4(D)024.若 f x ( x0 , y0 ) 和 f y ( x0 , y0 ) 都存在,则 f ( x, y) 在 (x 0 , y 0 ) 处( D )(A)连续且可微(C)可微但不一定连续(B)连续但不一定可微(D)不一定连续且不一定可微25.下列不等式正确的是（ B ）(A)(x3y3 )d0(B)(x2y2 ) d0x 2y 21x2 y 2 1(C)x 2y2(x y)d0(D)x2 y 2( x y)d0 1126.11xf (x, y)dy =( C) dx(A)1 xdy1(B)1 1 x f ( x, y) d x 0f ( x, y)d x dy0011y11f (x, y)d x(C)dy0f (x, y)d x(D)dy00027. 设区域 D 由分段光滑曲线L 所围成， L 取正向， A 为区域 D 的面积，则（ B ）(A)11 Aydx xdy(B) A xdy ydx2 L 2 L(C) A1xdy ydx(D) Axdy ydx2LLn28. 设a n 是正项级数，前 n 项和为 s na k ，则数列 s n 有界是a n 收敛的（ C ）n 1k 1n 1(A) 充分条件(B) 必要条件(C) 充分必要条件(D) 既非充分条件，也非必要条件29. 以下级数中，条件收敛的级数是（ D ）(A)( 1) Nn (B)( 1) n11N 12n10n 1n 3(C)( 1) n 1 ( 1 )n (D)( 1) n13 n12 n 1n30．设 xf(x)dx=e-x 2C ，则 f(x)= （D ）A.xe -x 2B.-xe -x 2C.2e -x 2D.-2e-x 231、已知平面： x2 y z4 0 与直线 L :x1y2 z 1 的位置关系是（ D ）31 1（ A ）垂直（B ）平行但直线不在平面上（ C ）不平行也不垂直 （ D ）直线在平面上 32、 lim3xy（ B）x 02xy 1 1y 0（ A ）不存在 （ B ） 3（ C ） 6（ D ）33、函数 z2 z及2 zD 内f ( x, y) 的两个二阶混合偏导数在区域 D 内连续是这两个二阶混合偏导数在x y y x相等的（ B ）条件 .（ A ）必要条件（ B ）充分条件（ C ）充分必要条件 （ D ）非充分且非必要条件34、设d4 ，这里 a0 ，则 a =（ A）x 2y 2a（ A ） 4（ B ）2 （ C ） 1（ D ） 035、已知 xay dxydy为某函数的全微分，则 a （ C）x y 2（ A ） -1 （B ） 0（ C ） 2（ D ） 136、曲线积分ds（C ），其中y 2 Lx 2 z 2（ A ）（ B ）2（ C ）x 2 y 2 z 210L :1.z3（D ）4555537、数项级数a n 发散，则级数ka n （ k 为常数）（ B）n 1n 1（A ）发散（ B ）可能收敛也可能发散（ C ）收敛 （ D ）无界38、微分方程xy y 的通解是（ C ）（A ）y C1x C2（B ）y x2C（ C）y C1x2 C 2（ D）y 1 x2C2。
河南理工大学大学2021—2022学年第一学期《高等数学A(三)》考试试卷(A卷)
河南理工大学大学2021—2022学年第一学期《高等数学A（三）》考试试卷（A卷）（闭卷时间120分钟）2分，共10分）1、下列陈述正确的是（）。
(A)若方程组有唯一解，则方程组有唯一解(B)若方程组有唯一解，则方程组有唯一解(C)若方程组有无穷多解，则方程组有无穷多解(D)若方程组无解，则方程组无解2、已知维向量组线性相关，则下列选项中必正确的是( )。
(A) 对于任何一组不全为零的数，使得(B)中任何两个向量线性相关(C)存在一组不全为零的数，使得(D)对于每一个都可以由其余向量线性表出3、设，且，则 ( )。
(A) 事件与事件互不相容(B)事件与事件对立(C)事件与事件不独立(D)事件与事件独立4、设（指数分布），是总体的样本，则参数的矩估计是( )。
(A)(B)(C)(D)5、设是来自正态总体的样本，则下列结论正确的是( )。
(A)(B)(C)(D)10分）6、若齐次线性方程组有非零解，则＝。
7、矩阵的逆矩阵为。
8、若3阶方阵的特征值分别为、0、1，则行列式= 。
9、已知（泊松分布），，且，则。
10、从一批零件中，抽取9个零件，测得其直径（单位：毫米）为：19.7，20.1，19.8，19.9，20.2，20.0，19.0，20.2，20.3设零件直径服从正态分布，其中未知，（毫米），，则这批零件平均直径的对应于置信度为0.95的置信区间为。
三、计算题（本大题共4小题，共46分）11、(本小题10分) 计算下列行列式12、(本小题14分) 已知三阶矩阵求: (1) 矩阵的特征值及特征向量（6分）；(2) 正交矩阵，使得为对角矩阵，并写出相应的对角阵（4分）；(3) (为正整数)(4分)。
13、（本小题10分）已知二次型正定，求的取值范围。
14、(本小题12分) 设二维随机向量的联合概率密度函数为求：(1) 常数(6分)；(2) (6分)。
四、证明题（本大题共2小题，共24分）15、(本小题12分) 设为实矩阵，且满足。
河南农业大学《经济类高等数学》考试试卷(B卷)
得分评卷人二、填空题（每小题2分，共20分）1．设axe y =，则=)(n y．2．利用函数的奇偶性计算积分=⎰-dx x xππsin 6．3．用特殊极限e xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→11lim 求=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→xx 311lim ．4．曲线2x y =在点()1,1处的切线方程为．5．xy x y x z +-=2233在点()1,1处的全微分为．6．微分方程)()('x Q y x P y =+的通解为．7．用迫敛准则求=⎪⎭⎫⎝⎛+++++++∞→πππn n n n n 2221211lim ．8．用定积分表示极限=⎪⎭⎫⎝⎛+++++++∞→n n n n n 12111lim ．9．过点()0,0,1A ，()0,2,0B 和()3,0,0C 的平面方程为．10．二次积分rdr r r f d ⎰⎰2/0cos 0)sin ,cos (πθθθθ的直角坐标形式为．得分评卷人三、计算题（每小题6分，共42分）1．已知方程y x y ln +=确定了函数)(x f y =，求"y ．2．利用洛必达法则求x x x tan 2ln lim -⎪⎭⎫ ⎝⎛-→ππ．3．计算广义积分dx ⎰+∞∞-++2212．4．求dx x e x ⎰sin ．5．设222z y x u ++=且y x z cos 2=，求u ∂∂和u∂∂．6．计算dxdy xy D⎰⎰，其中D 是由抛物线2y x =，直线2-=x y 所围成的区域．7．求微分方程0'2"=++y y y 满足初始条件20==x y和5'==x y 的特解．四、证明题（6分）证明方程0133=+-x x 在()1,0内只有一个实根．得分评卷人得分评卷人五、应用题（每小题6分，共12分）1．从一块边长为a的正方形铁皮的各角上截去相等的方块，把四边折起来做成一个无盖的方盒，为了使这个方盒的容积最大，问应该截去的每个方块的边长是多少？y=，直线1=x及x轴所围成的图形的面积以及该图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的2．求由曲线x体积．。
工科高等数学A08-09-1
河南农业大学2008-2009学年第一学期 《高等数学》（工科）期末考试试卷（A ）一、判断题（每题2分，共20分，正确的打√，错误的打×）（ ）1、若数列{}n a 无界，则数列{}n a一定不收敛．（ ）2、可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数． （ ）3、当x →∞时，()cos f x x x =为无穷大量． （ ）4、0lim[()()]lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±．（ ）5、若()f x 在点0x 可微，则()f x 在点0x 处连续．（ ）6、若()f x '在[],a b 上连续，则()f x 在[],a b 上可导、连续． （ ） 7、若()f x 在[],a b 上有定义，则ξ∃∈[],a b ，使得()()()b af x dx f b a ξ=-⎰．（ ）8、[]2ln 1ln 2ln ln 12121=-==--⎰x dx x . （ ）9、1()b padx x a -⎰()a b < 在1p <时收敛，在1p ≥时发散．（ ）10、5(')cos 1y y x ''+=为2阶微分方程．二、填空题（每空2分，共计20分）1、222111lim()12n n n n n n n n→∞+++=++++++____________ ．2、0x →=___________．3、22()(1)x x f x x x -=-的可去间断点为___________．院、系 班级 姓名 学号密 封 线4、圆221x y +=上点)21,23(处的切线斜率为___________． 5、曲线2x y e -=的上凸区间是______________________．6、若(0)(0)f g >，当0x >时，()()f x g x ''>，则当0x >时，()f x ()g x .7、已知()f x 的一个原函数为ln x ，则'()xf x dx =⎰． 8、设=⎰．9、由曲线12y x y x x===，，及y 0＝所围成平面图形的面积A ＝_____________． 10、40y y ''+=的通解为______ ．三、计算题（每题8分，共计48分）1、设函数⎩⎨⎧>+≤=1,1,)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，求a 和b .2、设21cos x t y t⎧=+⎨=⎩，求22d y dx3、求． 4、求1-⎰.5、求抛物线2x y =介于1=x 与2=x 之间的一段弧绕着y 轴旋转所得曲面的面积.6、求初值问题230(1)0xy y x x y '-=>=，，.院、系 班级 姓名 学号密 封 线四、综合题（每题6分，共计12分）1、东西走向的铁路上AB 段的距离为100千米,且B 在A 的东边.工厂C 在A 正南方20千米处,为了运输需要,要在AB 段上选一点D 向工厂修一条笔直公路.已知铁路每千米货运费与公路每千米货运费之比为3:5.为了使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省,问D 点应选在何处?2、设)(x f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导，()()0f a f b ==，0)(>c f ，b c a <<，证明：至少存在一个(,)a b ξ∈，使得()0f ξ''<.。
河南农业大学18-19-1农科高等数学A卷参考答案 (2)
河南农业大学2018—2019学年第1学期 《高等数学》考试试卷（A 卷）参考答案农科类专业适用一、判断题（正确者打√，错误者打×，每题2分，共20分）。
1. √ 2. √ 3.√ 4.× 5.√ 6.× 7. √ 8.× 9.√ 10.×二、填空题（每题2分，共20分）。
1.32.13.104.2019！5.第一类跳跃间断点或者跳跃间断点6.(0,1)7.c + 8.0 9.dx dy + 10.1(,)y eedy f x y dx ⎰⎰三、计算题（每题7分，共42分）。
1.解：()()1222cos 324(1)(1cos )(sin )1cos limlim lim 44xx x x t dtx x xI x x x →→→'----==-='⎰5分14=7分2.解： 方程两边同时对x 求导0y x e y y xy e ''++-= 2分可得 x y e yy e x-'=+ 4分当0x =时，0y = 6分01x y ='= 7分 3.解：方法一：交换积分次序，按照二重积分计算方法二：一元函数分部积分1222111000()=()=()()222x x x xf x dx f x d f x df x -⎰⎰⎰ 2分22211200sin =0()=222x x x df x xdx x--⎰⎰ 5分1221200cos 1=sin (cos11)222x x x d -==-⎰ 7分4.解：21212=()()2x x x x zf e y f y x f e y f x x ∂''''''⋅+⋅-=⋅-⋅∂4分 21212=()()x x y y zf e y f y x f e f y ∂''''''⋅+⋅-=⋅+∂7分 5.解：依题意可得：⎰⎰Ddxdy xxsin 21sin xxxdx dy x=⎰⎰ 2分 ()()10sin 1x dx x x x ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎰ 4分 11sin sin dx x dx =-⎰⎰ 5分1cos1sin1cos1=--+1sin1=- 7分6.解： 由在点1x =处有极值2-(1)2f =- 和(1)0f '= 2分可知：12320a b a b ++=-⎧⎨++=⎩ ，可求解03a b =⎧⎨=-⎩4分()0f x '= 可求出所有驻点：1,1x x ==- 5分 (1)60f ''-=-< 所以有极大值(1)2f -= 7分四、应用题（本题12分）。
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C. 2(x 1) 2x
D. 2(x 1) x
2.已知 f(x)=ax+b,且 f(-1)=2,f(1)=-2,则 f(x)=（ ）
A.x+3
B.x-3
C.2x
D.-2x
3. lim ( x ) x （ ） x x 1
A.e
B.e-1
C.
D.1
4.函数 y
x 3 的连续区间是（ ）
４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 f ' ( x) 0, f "( x) 0 ，则在
（ａ，ｂ）内曲线弧ｙ＝ｆ（ｘ）为 （ ）
①上升的凸弧
②下降的凸弧
③上升的凹弧
④下降的凹弧
５．设 F ' ( x) G' ( x) ，则 （ ）
① Ｆ(X)＋Ｇ(X) 为常数 ② Ｆ(X)－Ｇ(X) 为常数 ③ Ｆ(X)－Ｇ(X) ＝０
１．（－１，１）
２．２ｘ－ｙ＋１＝０
４．ｙ＝ｘ2＋１
5.
1 2
arctan x 2
c
７．ｙｃｏｓ（ｘｙ）
３．５Ａ ６．１
π/2 π ８．∫ ｄθ ∫ ｆ（ｒ2）ｒｄｒ
0
0
９．三阶
பைடு நூலகம்
１０．发散
二、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，将其码写在题干的 （ ）内，１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分）
B.x5+C
C. 2 x 3 C 3
x5 D.
C
15
13.
8
3
e
x
dx
（ ）
8
A.0
B. 2
8
3
e
x
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河南农业大学2016-2017学年第一学期 《工科类高等数学A 》期末考试试卷（A ）
一、判断题（每小题2分，共计20分．请在正确命题前打“√”，错误命题前打“×”） （ ）1、收敛数列必有界．
（ ）2、方程01sin =++x x 在开区间⎪⎭
⎫ ⎝⎛-2,2ππ内至少有一个根． （ ）3、闭区间上无最大值的函数在该闭区间上必不连续． （ ）4、函数32x y =在点0=x 处不可微．
（ ）5、
01
11
=⎰
-dx x
． （ ）6、积分中值定理中的ξ是唯一的．
（ ）7、极值点一定是函数的驻点，驻点也一定是极值点． （ ）8、初等函数在其定义域内可积． （ ）9、如果0)0()0(='=f f ，则0)
(lim
=→x
x f x ． （ ）10、如果)(1x y 和)(2x y 是0)()(=+'+''y x Q y x P y 的两个解，那么
)()(2211x y C x y C +是此方程的通解（其中1C ，2C 是任意常数）．
二、填空题（每空2分，共计20分）
1、______)
31(lim 20
=+→x
x x ．
2、设)(x f y =在0x 处可导，则000
()()lim x f x x f x x x ∆→+∆--∆⎛⎫
=
⎪∆⎝⎭
___________． 3、曲线sin()ln()xy y x x +-=在点
(0,1)的切线方程为 ．
4、设x
e y 2=，则0
)
20(=x y
．
院、系 班级 姓名 学号
密 封 线
5、函数23
23
+-=x x y 的单调减少区间为_______________________． 6、极限n
i
n n
i n +
•
∑=∞
→11
lim
1
的定积分的形式是___________________． 7
、
=⎰
________________．
8、心形线)cos 1(θρ+=a 的全长为_______ . 9、
dx xe x ⎰
∞
+-0
2=________________________．
10、微分方程02=+'-''y y y 的通解为_______ .
三、计算题（每题8分，共计40分）
1、求)
1ln()arctan(lim 4
30
3
x dt t x x +⎰
→.
2、设函数)(x y y =由参数方程⎩
⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x 确定，求22d y
dx ．
3、求
dx x
x ⎰
-1
．
4、求
dx x ⎰
1
02)(arcsin ．
5、求微分方程x e y x dx
dy
e
x x 2222
=+的通解.
院、系 班级 姓名 学号
密 封 线
四、应用题（每题10分，共计20分）
1、在正午时，甲船恰在乙船正南82海里处，以速度201=v 海里/小时向正东开出；乙船也正以162=v 海里/小时向南开出.已知两船航向不变，问什么时候两船相距最近？
2、求由曲线x
e
y -=,直线1=x ,2=x 与x 轴所围成平面图形的面积A 及其绕x 轴、
y 旋转一周所得旋转体的体积x V 和y V .。