130412镜像法、电轴法-zyw

a、h、b满足关系
a h b (h b)(h b)
2 2 2
根据
，得到 Ex 和 Ey 分量 E
E 线方程
dy dx Ex
Ey
K1 2 2 K1 x (y ) b 2 4
2
2
平行传输线附近的电位和电场
电位云势图
电场云势图
2. 电轴法
例1.7.3 试求两带电长直平行传输线的电场及电位分布。 解： a) 取圆柱坐标系 电轴位置 b h 2 a 2 b) 圆柱导线间的电场与电位
以此类推（n+1)个多导体系统只有n个电位线性独立方程，即
1 11q1 12 q2 1k qk 1n qn
k k 1q1 k 2 q2 kk qk knqn
1 1 EP ( e e ) 2π 0 1 2
1 2
图1.7.16 平行传输线电场的计 算
2 p ln 2π 0 1 ( 以 y 轴为参考电位)
已知平行传输线端压为U0, 试求空间电位分布。
解： 确定电轴的位置
b 2 h 2 a 2 d 2 2 b ( ) a 2 d 2h 设电轴线电荷 ，任一点电位
2
五点差分格式
有限差分的网格分割
1 2 3 4 4 0 Fh2
通常将场域分成足够小的正方形网格,网格线之间的距离为 h , 节点0,1,2,3,4上的电位分别用 0 ,1,2 ,3 ,4 表示。
1.7
1.7.1 镜像法
镜像法与电轴法
1.平面导体的镜像 边值问题：
；
2. 已知带电导体的电位，求电荷和感应系数
q 1
1
q1 11 1 12 2 1k k 1n n qk k 1 1 k 2 2 kk k kn n qn n1 1 n 2 2 nk k nn n
得到
球外任一点 P 的电位与电场为
q q' p 4 π 0 r1 4π 0 r2
图1.7.4 球外的电场计算
q qR EP e e 2 r1 2 r2 4π 0 r1 4π 0 dr2
镜像电荷放在当前求解的场域外。 镜像电荷等于负的感应电荷总量。
球外的电场分布
思考：不接地金属球附近放置点电荷q的电场分布。 边值问题： （除q点外的空间) 2 0
D dS q ,
S
D
q e , 2 r 4r
E
q 4 0 r
b a
2
er
q 4 0 (
图1.8.1 球形电容器
同心导体间的电压 球形电容器的电容 当 b 时
U Edr
C
1 1 q ba ) a b 4 0 ab
q 4 0 ab U ba
q q' q' ' cos cos cos 2 2 2 4π1r 4π1r 4π 2 r
q q' q' ' sin sin sin 2 2 2 4πr 4πr 4πr
2 2 1 2 q 解得 q ' q 和 q' ' 1 2 1 2
（孤立导体球的电容）
C 4 0 a
1.8.2
多导体系统、部分电容
• 线性、多导体(三个以上导体)组成的系统； • 静电独立系统——D线从这个系统中的带电体发出，并终止于该系统
中的其余带电体，与外界无任何联系，即
• 部分电容概念
q
K 1
n 1
K
0.
图1.8.2 三导体静电独立系统
1.

——静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；
i ,i ——自有感应系数，表示导体 i 电位对导体 i 电荷的贡献； i , j ——互有感应系数，表示导体 j 电位对导体 i 电荷的贡献。
通常， 的值可以通过给定各导体的电位 ，测量各导体的电荷 q 而得。
3. 已知带电导体间的电压，求电荷和部分电容
四川大学电气信息学院 电工电子基础教学实验中心
朱英伟
1.5 分离变量法
分离变量法采用正交坐标系，将变量分离后得到 微分方程的通解， 当场域边界与正交坐标面重合或 平行时，才可确定积分常数，得到边值问题的解。 1.5.1 解题的一般步骤： 1）写出边值问题（微分方程和边界条件）；
2）分离变量，将偏微分方程分离成几个常微分方程；
2 K 2 整理后，等位线方程 ( x 2 1 b) 2 y 2 ( 2bK ) K 1 K 2 1
2 K 1 圆心坐标 h , 0 h b 2 K 1 2bK 圆半径 a 2 K 1
K 取不同值时，得到一族偏心圆。
图1.7.14 两根细导线的等位线
2 K 1 2 2bK 2 2 2 2 2 a b ( 2 ) b ( 2 b) h K 1 K 1
n n1q1 n 2 q2 nk qk nn qn
q0 ( q1 q2 qk qn )
写成矩阵形式为
（非独立方程）
q
—— 电位系数，表明各导体电荷对各导体电位的贡献； i ,i —— 自有电位系数，表明导体 i 上电荷对导体 i 电位的贡献； i , j —— 互有电位系数，表明导体 j 上的电荷对导体 i 电位的贡献 注： 的值可以通过给定各导体电荷 q ,计算各导体的电位 而得。
2 ln 2π 0 1
b (h a) b (h a) U0 ln ln 2π 0 b (h a) b (h a)
U0 ln 所以 b (h a) 2 ln b (h a)
2 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
图1.7.19 电压为U0的传输线
qk k 1( k 1 ) k 2 ( k 2 ) ( k 1 k 2 kk kn ) k
镜像法（电轴法）小结
1.镜像法（电轴法）的理论基础是： 静电场惟一性定理； 2.镜像法（电轴法）的实质是： 用虚设的镜像电荷（电轴）替代未知电荷的分布， 使计算场域为无限大均匀媒质；
3.镜像法（电轴法）的关键是：
确定镜像电荷（电轴）的个数、大小及位置； 4.应用镜像法（电轴法）解题时，注意：
镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区域。
2 0 0
s D dS q
（除 q 所在点外的区域） （导板及无穷远处） （S 为包围 q 的闭合面）
上半场域边值问题：
除 q 所在点外的区域 2 0 q q 中间对称面处 0 4 0 r 4 0 r （S 为包围q 的闭合 s D dS q 面）

长直平行双传输线
const
电荷分布不均
S D dS ,
1 d ln 1 C1 2 π 2π 0 0 2 ln 2 C2 2π 0 2 P 1 2 ln C 2π 0 1
Q
S const
D dS 0
S
思路： 球面等位（ q ' 位于球心） 通量为零（ q' , - q'大小相等）
不接地金属球的镜像
点电荷位于不接地导体 球附近的场图
3. 不同介质分界面的镜像
图1.7.9 点电荷对无限大介质分界面的镜像
根据惟一性定理
E1t E2 t
D1n D2n
叠加时，要注意场的适用区域。
作 业
• • • • 1-5-1 1-6-3 1-7-2 1-7-5
1.8.1 电容
定义： C
1.8
电容及部分电容
Q U
单位： F( 法拉）， f , pf
电容只与两导体的几何形状、尺寸、相互位置及导体周围的介质有关。 工程上的实际电容： 电力电容器，电子线路用的各种小电容器。 Q 设 Q E U E dl C 电容的计算思路： U 例1.8.1 试求球形电容器的电容。 解：设内导体的电荷为 q ,则
已知导体的电荷，求电位和电位系数 以接地导体为电位参考点,导体的电位与各导体上的电荷的关系为
10 a0q0 a1q1 a2q2
q0 (q1 q2 )
10 11q1 12 q2
20 b0q0 b1q1 b2q2
20 21q1 22 q2
镜像法:用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,
虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。
平面导体的镜像
例1.7.1 试求空气中点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布。
解：设点电荷 q 镜像后
E E E （方向指向地面）
q cos qh E2 2 4π 0 r 2 π 0 (h 2 x 2 ) 3 / 2
1.7.2 电轴法（Electric Axis Method）
用置于电轴上的等效线电荷,来代替圆柱导体面上分布电荷,
从而求得电场的方法,称为电轴法。 分析长直平行双传输线附近的电场：
边值问题
2 0 (导线以外的空间)

导体A
const

S
D dS , 电荷分布不均匀
导体B
3）解常微分方程，并叠加得到通解；
4）利用边界条件确定积分常数，最终得到电位的解。
1.6 有限差分法
基本思想：将场域离散为许多网格 ，应用差分原
理，将求解连续函数 的微分方程问题转换为求解网
格节点上 的代数方程组的问题。
1.6.1 二维泊松方程的差分格式
1 20 3 ( 2 ) x x0 x h2
qh p＝Dn 0 E 2 π(h 2 x 2 ) 3 / 2
地面上感应电荷的总量为 qh S p dS 0 2π(h2 x 2 )3/ 2 2πxdx
q
图1.7.2 地面电荷分布
2. 球面导体的镜像 点电荷位于接地导体球外的边值问题
（除q点外的空间) 0
例1.7.4 试决定图示不同半径平行长直导线的电轴位置。
图1.7.17 不同半径传输线的电轴位置
解：求得h1和h2 ，就可以确定等效电轴位置
b 2 h12 a12 2 2 2 b h a 2 2 d h h 1 2
2 d 2 a12 a2 h1 2d 2 d 2 a12 a2 h2 2d
2

r

球面
0
' 设镜像电荷 q如图，球面电位
q q' p 0 4 π 0 r1 4 π 0 r2
r1 d 2 R 2 2 Rd cos
2
图1.7.3 点电荷对接地导体球的镜像
r2 b 2 R 2 2 Rb cos
2
将 r1, r2 代入方程
qr2 q' r1 0 ，得
[q 2 (b 2 R 2 ) q'2 (d 2 R 2 )] 2R(q'2 d q 2b) cos 0
联立求解
q 2 (b 2 R 2 ) q'2 (d 2 R 2 ) 0 q '2 d q 2b 0
R2 b 镜像电荷位置 d b R q' q q 镜像电荷大小 d d
1
1. 两根细导线产生的电位
E0 2 0
以 y 轴为参考电位， C=0， 则
2
图1.7.13 两根带电细导线
2
2 ( x b) y P ln ln 2π 0 1 2π 0 ( x b) 2 y 2
P C， 等位线方程 令：
( x b) 2 y 2 2 K 2 2 ( x b) y