7.角动量守恒定律

《大学物理》练习题 No 7 角动量守恒定律

班级__________学号 _________ 姓名 _________ 成绩 ________

基本要求： （1） 掌握质点和刚体在定轴转动中的角动量、角动量定理、角动量守恒定律及应用

内容提要：

1. 质点的角动量

a. 质点对点的角动量：v m r p r L ⨯=⨯=

b. 对固定轴的角动量：ω J L =

2. 刚体对定轴的角动量：等于刚体对此轴的转动惯量与角速度的乘积 即：ω

z z

J L =

3．刚体的角动量定理: 外力矩对系统的角冲量(冲量矩)等于角动量的增量.

即：00

ωω

J J L d dt M L L t t -==⎰⎰

若J 可以改变,则：000

ωω

J J L d dt M L L t t -==⎰⎰

4．角动量守恒定律：当物体所受的合外力矩为零时,物体的角动量保持不变， 即00 ωωω

J J J ==或

常矢量

角动量守恒定律的两种情况：

a. 转动惯量保持不变的单个刚体

00,0ωωωω ===则时，当J J M

b. 转动惯量可变的物体。

.

保持不变就增大，从而减小时，当就减小；

增大时，当ωωω

J J J

一、选择题

1.刚体角动量守恒的充分必要条件是 [ ] (A) 刚体不受外力矩的作用.

(B) 刚体所受合外力矩为零.

(C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零. (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变

2.有一半径为R 的水平圆转台,可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动, 转动惯量为J , 开始时转台以匀角速度ω 0转动,此时有一质量为m 的人站在转台中心,随后人沿半径向外跑去,当人到达转台边缘时, 转台的角速度为 [ ] (A) J ω 0/(J +mR 2) .

(B) J ω 0/[(J +m )R 2]. (C) J ω 0/(mR 2) . (D) ω 0.

3.如图7.1所示,一静止的均匀细棒,长为L 、质量为M , 可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动, 转动惯量为ML 2/3.一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射入并穿出棒的自由端,设穿过棒后子弹的速率为v /2,则此时棒的角速度应为

[ ] (A) mv/(ML ) . (B) 3mv/(2ML ). (C) 5mv/(3ML ). (D) 7mv/(4ML ).

二、填空题

1. 在XOY 平面内的三个质点,质量分别为m 1 = 1kg, m 2 = 2kg,和 m 3 = 3kg,位置坐标(以米为单位)分别为m 1 (－3,－2)、m 2 (－2,1)和m 3 (1,2),则这三个质点构成的质点组对Z 轴的转动惯量I z = .

2.质量均为70kg 的两滑冰运动员，以6.5s m /等速反向滑行，滑行路线的垂直距离为10m 。当彼此交错时，各抓住10m 长绳子的两端，然后相对旋转。则各自对中心的角动量=L ，当各自收绳到绳长为5m 时，各自速率为=v 。

3.一飞轮以角速度ω 0绕轴旋转, 飞轮对轴的转动惯量为J 1;另一静止飞轮突然被同轴地啮合到转动的飞轮上,该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍,啮合后整个系统的角速度ω = .

三、计算题

1. 如图7.2所示,有一飞轮,半径为r = 20cm,可绕水平轴转动,在轮上绕一根很长的轻绳,若在自由端系一质量m 1 = 20g 的物体,此物体匀速下降；若系m 2=50g 的物体,则此物体在10s 内由静止开始加速下降40cm .

绳系重物m 2后的张力？

v /2

图7.1

图7.2

图7.3

2. 如图7.3所示,质量为M 的均匀细棒,长为L ,可绕过端点O 的水平光滑轴在竖直面内转动,当棒竖直静止下垂时,有一质量为m 的小球飞来,垂直击中棒的中点.由于碰撞,小球碰后以初速度为零自由下落,而细棒碰撞后的最大偏角为θ,求小球击中细棒前的速度值.

No. 7 参考答案

一、选择题

1. （B ）；

2. （A ）提示：人在向外运动的过程中，由于所受合外力矩为零，故角动量是

守恒的，由 ωω)(20mR J J +=可得；3. （B ），提示：子弹在与细杆相互作用的过程中，整个系统对细杆转轴的角度量是守恒的，则v L m J mLv 2⋅+=ω，其中，2

3

1mL J =，得到，棒的角速度为=ω3mv/(2ML ). 二、填空题

1. 2

38m kg ⋅；2. =L 122275-⋅⋅s m kg ，

=v s m /13， 提示：质点对轴的角动量p r L

⨯=，大小为1

2

2275705.65-⋅⋅=⋅⋅=s m kg L ，各自收绳时，系统的角动量是守恒的，故可得人的速度为=v s m /13； 3. 3

ωω=，提示：系统作用过程中，合外力矩为零，角动量守恒，ωω1013J J =；

三、计算题

1. 解： 摩擦阻力矩m N gr m M f ⋅==04.01

系上m 2物体后，

a m T g m 22=-

βJ M Tr f =- N T 5.0≈

βr a = 249.1m kg J ⋅≈ 2

2t S a =

2. 解：设小球碰撞前速度为v ω⋅=

-23

1

)(ML a L mv 2/L a = 2

)

(3ML

a L mv -=ω )cos 1(2

312122θω-=⋅L

Mg ML 解出 3)

cos 1()(θ--=

Lg a L m ML v

化简得到， 3

)

cos 1(2θ-=Lg m

M v