7.角动量守恒定律
角动量及其守恒定律
m r2 r1 J0
22
因为 1 2， 1 1 2 E k 1 J 1 1 ( J 1 1 ) 1 2 2 相 E k1 E k 2 等 1 1 2 E k 2 J 2 2 ( J 2 2 ) 2 2 2 即系统的机械能不守恒。
23
人双臂收回过程中，内力做功，
J 2
l/2
r dr
2
1 12
l
3
0
1 12
ml
2
如转轴过端点垂直于棒 l 1 2 J r d r ml 2 0 3
例3 一质量为 m 、半径为 R 的均匀圆盘，求通 过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 .
解 设圆盘面密度为 ， 在盘上取半径为 r ，宽为 d r 的圆环
v M (2 gh )
u l 2
1 2
M
h N
B
l 2 1 12
2
2
把M、N和跷板作为 一个系统, 角动量守恒
mvM l 2 J 2 mu
C l
m l 1 2 1 6 m ( 2 gh )
A l/2
ml
2
解得
mvMl 2 m l
2
2
12 ml
2
2 2 2
质量连续分布刚体的转动惯量
J
m
j
j j
r
2
r dm
2
d m ：质量元
例2 一质量为 m 、长为 l 的均匀细长棒，求 通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量 .
O
l 2
O
dr
l 2
r
dr
O´
角动量 角动量守恒定律大学物理
对定轴转动的刚体 Miin 0 ，合外力矩
M
Miex
d dt
(
mi
ri
2
)
d(J
dt
)
d( J )
dL
M
dt dt
第3章 守恒定律
12
大学物
理学
第二版
t2 t1
Mdt
L2
L1
t2 t1
Mdt
L2
L1
当转轴给定时，作用在物体上的冲量 矩等于角动量的增量．——定轴转动的角 动量定理
第3章 守恒定律
然长度处以
垂直于弹簧运动，当
弹簧与初始位置垂直时，弹簧长度
v
求此时滑块的速度.
v0
第3章 守恒定律
图 3.4
大学物 理学
第二版
【解】 由角动量和机械能守恒
结论：对于有心力问题，系统对力心处的 角动量守恒.
第3章 守恒定律
大学物
理学
第二版
三、角动量守恒定律的应用
（1）常平架回转仪（陀螺仪） （2）直升飞机尾翼
质点角动量定理的推导
L r p r mv
dL
d
(r
p)
r
dp
dr
p
dt dt dr v，v p 0
dt dL
dt
r
dp
r
F
dt
dt
dt
第3章 守恒定律
4
大学物
理学
第二版
dL
M
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力 矩，等于质点对该点 O 的角动量随时间的 变化率.
13
大学物
理学
第二版
对定轴转动的刚体，受合外力矩M，
力学-7-角动量守恒定律
注意：M＝0，可以是r=0,也可以是F =0,
2
2.力矩作用效果
M rF
r
dp
d
(r
p)
dr
p
dr
v
dt
dt
p mv
dt
dr
p
dt
0
dt
3.角动量矢量
Lrp
积分形式
4.角动量定理
M
dL
dt
t
0 M dt L'L0
质点所受合外力矩等于它的角动量对时间的变化率。
3
二、角动量守恒定律
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
M
dL
dt
如果：M 0
则：dL 0
dt
角动量守恒定律
即L＝常矢量
如果对于某一固定点，质点所受的合外力矩 为零，则此点对该固定点的角动量矢量保持不变。
5
三、质点系角动量守恒定律
1、定义：质点系各质点对该定点的角动量的矢量和。
Mi
dL dt
L
8
质点的角动量 角动量守恒定律
1
一、质点的角动量
1.rM 力是矩P点r相反对映F于力固的定大小点、O的方向位和矢作。用点M对 o物d 体r转动的p θ影F 响
大小：M＝Frsin=Fd
方力向臂：：右d=手rsi螺n旋定则判定力与M力 臂的r乘 F积 。
单位：N•m（不能写成功的单位J）
量纲：ML2T–2
dLi
dt
ri
i
i
Li Fi
ri
i M i ri
(ri
i
pi
(Fi
fi j )
j
fi j )
i j
7 第5章角动量及角动量守恒定律
ω
z
dx
r r x⊥v = x 2ω d m dLz = x（xω d m) ⋅
Lz = 2ω ∫0
l 2
v = xω
x
(kg ⋅ m 2 / s)
x
1 2 x d m = ml ⋅ ω 12
2
角动量为z轴方向
19
r r r 1) 对O点 作用在一个质点上的力矩 M = r × F 一个质点 N ⋅m 力矩的大小： M = rF sin α r Z r r 方向 (r × F ) M 右手螺旋 r
r r r M = r×F
（三）力矩
特点：矢量性 瞬时性 状态量
Mz
θ
mr
r
α 对Z轴的力矩: M
X
F
z
r r = k⋅M
o
Y
M z = Fr sin α ⋅ cos θ
20
2）对O点
r r r r M = ∑ M i= ∑ ri × F外i
i
作用在质点系的力矩
i
3）对O点 作用在连续分布物体的“弥散 力”的力矩 r r r r r M = ∫ dM dM = r × dF
2
势能及其零点的选取
保守力与势能的积分关系 (1) 重力势能:
E
r r F ⋅ dr
a
E Pa = mgh a
势能零点b的位置
(2) 弹性势能： E = 1 kx 2 P 2
弹簧原长处为零势能位置。 弹簧原长处
Mm 选无穷远处为势能零点。 (3) 万有引力势能： P = −G E 无穷远处 r
连续分布物体
r L=
物体
r dL ∫
r v v L = ∫ r × v dm
角动量角动量守恒定律jm
角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
20
角动量守恒现象举例
图1
图2
J ri2mi
i
M轴 0
J11 J22
L1
L2
L J
J1 J2
1 2
21
许多现象都可 以用角动量守恒来 说明.
花样滑冰 跳水运动员跳水
J11 J 22
J1 J2
若 M 0，则 L J =常量
or : J22 J11
19
M
M 轴外
d(J)
dt
dL dt
讨论
L J =常量
守恒条件 M 0
若 J 不变，不变；
J 22 J11
若 J 变， 也变，但 L J 不变.
内力矩不改变系统的角动量.
在冲击等问题中M in M exL 常量
碰撞后的瞬间：
M+N+板转动：
N
C
Bl
M+N具有相 u l
同的线速度： 2
M
h A
l/ 2
25
冲击前： vM (2gh)1 2
冲击后：u l
2
M、N和跷板组成的系统，角动量守恒
mvM
l 2
J
2mu l 2
M
1 ml2 1 ml2
12
2
质点：
L
r
4-3 角动量 角动量守恒定律
1
问题：
力的时间累积效应： 冲量、动量、动量定理．
力矩的时间累积效应： 冲量矩、角动量、角动量定理．
（角冲量）
力 第七讲 动量定理、动量守恒定律、角动量守恒定律
解: varrrr矩Maaacos2si0cntoirs,t该irtb质irsib点nb对cto2原rjssi点nt的rj t角rj 动量 L
mabk
.
LMrrrrrr2mrrFrvr
0r
mabk
例4. 如图所示, 在光滑水平面上有一个以速率 v向右运动的物
个质点的运动, 与质点系的内力无关.
§3.5 碰撞
一. 定义 “相遇”—碰撞
碰撞的时间极短, 碰撞前后物体运动
状态的改变显著, 过程始末状态清楚.
二. 特征: 动量守恒!
r
碰撞过程, 相互作用内力—冲击力>>常力, 可认为 F合外 0！
三. 类型
特征
完全弹性碰撞: 碰撞 非弹性碰撞:
动量守恒, 动能守恒! 动量守恒, 动能不守恒!
求: (1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小; (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量.
4. 一长为 l 、质量均匀的链条, 放在光滑的水平桌
面上, 若使其长度的一半悬于桌边下, 然后由静
l
v0
v
M
止释放, 任其滑动. 求它全部离开桌面时的速率.
5. 如图所示, 一质量为m的物体, 位于质量可以忽略的 直立弹簧的正上方高度为h 处, 该物体从静止开始落 h
2. 质Fr点的d角pr 动量定rr 理Fr rr d pr d (rr pr )
dt
dt
dt
质点的角动量定理:
drr
r p
r r
d
pr
dt 0
rr
d
pr
dt
dt
r M
r dL
角动量守恒定律是什么 公式有哪些
角动量守恒定律是什么公式有哪些
有很多的同学是非常想知道，角动量守恒定律是什幺，公式有哪些，小编整理了相关信息，希望会对大家有所帮助！
1 角动量守恒定律内容对于质点，角动量定理可表述为：质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
物理学的普遍定律之一。
反映质点和质点系围绕一点或一轴运动的普遍规律
如果合外力矩零(即M 外=0),则L1=L2，即L=常矢量。
这就是说,对一固定点o,质点所受的合外力矩为零,则此质点的角动量矢量保持不变。
这一结论叫做质点角动量守恒定律。
1 角量守恒公式是什幺角动量守恒定律是用来叙述刚体旋转运动的方法,要想了解它建议用和动量守恒定律类比的方法
很容易理解,我给您谢几个公式,注意他们是对应的:
1 动量：质量m,速度v,加速度a,动量mv,力F,F=ma
2 角动量：转动惯量J,角速度w,角加速度β,角动量Jw,力矩M,M=Jβ
可以看出转动惯量是“充当”质量的角色,力矩充当了力的角色
牛2：物体不受外力或合外力为0,则物体保持运动状态不变
角：旋转物体不受外力矩或和力矩为0,则物体保持旋转状态不变
以上可以看出其数学结构很统一,但是角动量中转动惯量的求法要复杂的多, 有些需要微积分基础,这里给出质点：J=mr
最后,角动量守恒定理：。
角动量守恒定律
0 L v0 ; L v 2 2
得：
v0 v 9
注意：区分两类冲击摆 质点 质点 柔绳无切向力 （1） o • 水平方向： Fx =0 ， px 守恒
v0
l
m (2)
Fy
M
L • 对 o 点：M 0 ，
m v 0l = ( m + M ) v l
m v 0= ( m + M ) v
守恒
Fx
质点
定轴刚体（不能简化为质点）
o
v0
m
l
轴作用力不能忽略，动量不守恒， 但对 o 轴合力矩为零，角动量守恒
M
mv 0 l ml 2 1 Ml 2 3
v l
回顾习题
P84 4 -10
F
O
m M
F轴 0 m M系统 p 不守恒; M轴 0 m M系统 对O点角动量守恒 m 2 gh R m M vR
角动量守恒定律： 当质点系所受外力对某参考点（或轴）的力矩的矢 量和为零时，质点系对该参考点（或轴）的角动量 守恒。
注意
1.与动量守恒定律对比
当 F外 0 时，
当 M外 0 时，
2.守恒条件 能否为
p 恒矢量 L 恒矢量
或
?
彼此独立
M外 0
M轴 0
M 外 dt 0
m 以速度v 0 撞击 m 2 ，发生完全非弹性碰撞
求：撞后m 2的速率 v ?
解1：m 和 m 2 系统动量守恒
m v 0 = (m + m 2 ) v
A
解2： m 和 (m1 + m 2 )系统动量守恒
角动量守恒定律
Mdt dL
Mdt 为力矩和作用时间的乘积，叫作冲量矩。对上式积分得
t2
Mdt L2 L1
t1
质点的角动量定理：对同一参
考点，质点所受的冲量矩等于质点 角动量的增量。 成立条件：惯性系
四、质点的角动量守恒定律
若质点所受的合外力矩为零，即 M=0，
v
L
L＝r mv＝恒矢量
二、角动量
概念：一质量为m 的质点，以速度v 运动，相对于坐
标原点O的位置矢量为 r，定义质点对坐标原点O的角 动量L为该质点的位置矢量与动量的矢量积 L
L r P r mv
大小：L＝rmvsin 方向：右手螺旋定则判定 单位：kgm2/s 量纲：ML2T-1 o
P m r θ
说明
角动量守恒定律：当质点所受的对参考点的合外力矩为
零时，质点对该参考点的角动量为一恒矢量。 外力矩为零有两种情况： a、质点所受的外力为零； b、质点所受的外力不为零，但是在任意时刻外力对于固定参考 点的合力矩为零。 特例： •在向心力的作用下，质点对力心的角动量都是守恒的； •匀速直线运动。 例题2.17 有心力场中质点的运动(P.81-82)
•角动量是自然界最基本最重要的概念之一，它不仅在经典 力学中很重要，而且在近代物理中的运用更为广泛。 •角动量不仅与质点的运动有关，还与参考点有关。 •作圆周运动的质点的角动量 的角动量L保持不变。 P
L＝mrv
•质点作匀速直线运动时，尽管位置矢量r变化，但是质点
L
o
r
三、质点的角动量定理
设质点的质量为m，在合力F的作用下，运动方程
§2-7 角动量守恒定律
一、力矩
力对点的力矩
角动量守恒物体旋转状态的守恒定律
角动量守恒物体旋转状态的守恒定律角动量守恒，是指在没有外力矩作用下，物体的角动量保持不变。
这一守恒定律在描述物体旋转状态时具有重要的意义。
本文将探讨角动量守恒的基本原理、守恒定律的应用以及实际案例。
角动量守恒的基本原理角动量是描述物体旋转运动的物理量，它的大小与物体的质量、转动轴与速度有关。
在物体没有外力矩作用时，转动的物体总角动量保持不变，即角动量守恒。
根据角动量的定义，物体的角动量L可以表示为L = Iω，其中I为物体的转动惯量，ω为物体的角速度。
守恒定律的应用角动量守恒定律在众多物理现象和实际问题中都有广泛的应用。
以下列举几个常见的应用场景：1. 垂直转动的自行车轮自行车的轮子在转动时，可以利用角动量守恒定律解释其稳定性。
当骑车人向一侧倾斜时，轮子的转动惯量增加，从而角速度变小，使得整个系统保持平衡。
2.体操运动员的跳跃动作体操运动员在跳跃时，通过膝盖的屈伸使身体产生旋转，利用角动量守恒来调整身体的姿势，以保持在空中的平衡状态。
3.天体运动天体运动中的许多规律也可以用角动量守恒定律来解释。
例如，地球的自转角速度减小时，自转惯量会相应增加，以保持整个系统的角动量不变。
实际案例：陀螺陀螺是一种玩具，它在旋转时展示了角动量守恒的原理。
当陀螺旋转时，由于角动量守恒，陀螺会保持平衡，不会倒下。
我们可以通过施加力矩来改变陀螺的转动轴方向，进而改变陀螺的平衡状态。
结语角动量守恒是物体旋转状态下的一个重要定律，它揭示了物体在没有外力矩作用时，转动状态的稳定性和保持平衡的原理。
通过理解角动量守恒定律的基本原理和应用，我们可以更好地理解和解释一些复杂的物理现象。
理解角动量守恒对于学习和应用物理学知识都具有重要的意义。
角动量角动量守恒定律
x x
（2）对于通过棒的中心与棒垂直的轴。
解（1）细杆为线质量分布，单位长度的质量为： m
I A
l
x2dm
L
x2dx
1 L3
0
1 mL2
0
3
A
o
x
dm
dx L
l
B
3
（2）对于通过棒的中心的轴 A
C dm B
L/2
L/2
Ic x2dm x2dx
o
L2
x dx
L2
L/
L / 2
1 L3 1 mL2
第三节
角动量 角动量守恒定律
1
一、力矩 角动量 转动惯量
1.力矩
反映力的大小、方向和作用点对物体转动的影响
1 .力对固定 点的 矩 M r F r 是P点相对于固定点O的位矢。
M
o
d
r
F
θ p
力臂d=rsin
大小：M＝Frsin=Fd
力与力臂的乘积。
方向：右手螺旋定则判定
M rF
单位：N•m（不能写成功的单位J） 量纲：ML2T–2
L Iω
刚体绕OZ轴转动的角动量
a)力矩、角动量都是瞬时量，它们只能针对某 注意： 一时刻而言，它们都不是时间的累积效应。
b)力矩、角动量都是相对量，都必须指明它们 是相对于哪个轴或哪个点。
强调：对于刚体的定轴转动，我们只能用角动量来 描述，而不能用动量来描述。
8
3.转动惯量 1 .定义
刚体对固定轴的转动惯量等于各质元质量与其至 转轴的垂直距离的平方的乘积之和。
l
I
r2dm
m
R2 R1
2
l
17定轴转动刚体的角动量守恒定律
m2 vl = Iω − m2ul
1 细棒绕O转动的转动惯量为 I = m1l 2 3 3(v + u )m2 代入上式求得 ω = m1l
m2
u
v
A
O
m1
9
两个共轴飞轮转动惯量分别为J 例4：两个共轴飞轮转动惯量分别为 1、J2，角速度分 别为 ω1 、ω2，求两飞轮啮合后共同的角速度 ω 。啮合 过程机械能损失。 过程机械能损失。 J1 J2 两飞轮通过摩擦达到共同速度,合 解：两飞轮通过摩擦达到共同速度 合 外力矩为0，系统角动量守恒。 外力矩为 ，系统角动量守恒。 L0 = L = C
5
ω0 例1：在摩擦系数为µ桌面上有 细杆， 细杆，质量为 m、长度为 l， 、 ， m, l o 以初始角速度 ω0 绕垂直于杆 的质心轴转动， 的质心轴转动，问细杆经过多 µ 长时间停止转动。 长时间停止转动。 以细杆为研究对象，受力分析， 解：以细杆为研究对象，受力分析，重力及桌面的 支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。 支持力不产生力矩，只有摩擦力产生力矩。
定轴转动刚体的 角动量守恒定律
1
一、定轴转动刚体的角动量定理
dω d(Iω) dL = = 刚体定轴转动定律： 刚体定轴转动定律： M = Iβ = I dt dt dt 定轴转动刚体角动量 dL ∴M = 定理微分形式 dt
定轴转动刚体所受的合外力矩等于刚体的角动量 对时间的变化率。 对时间的变化率。 dL 两边同时乘以dt并积分 并积分， 将M = 两边同时乘以 并积分，得： dt r
7
人与转盘的转动惯量J 例2：人与转盘的转动惯量 0=60kgm2,伸 伸 臂时臂长为 1m，收臂时臂长为 0.2m。人 ， 。 站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上， 站在摩擦可不计的自由转动的圆盘中心上， 的哑铃。 每只手抓有质量 m=5kg的哑铃。伸臂时转 的哑铃 动角速度 ω1 = 3 s-1,求收臂时的角速度 ω2 。 求收臂时的角速度 解：整个过程合外力矩为0，角动量守恒， 整个过程合外力矩为 ，角动量守恒，
物理学7-角动量定理与刚体的定轴转动定律
——质点的角动量守恒定律。
2-6
刚体的定轴转动
一、质点系的角动量定理
1、质点系对固定点的角动量定理 对由n个质点组成的质点系中第i个质点，有：
质点i受力
d ri ( Fi外 f ji ) (ri mi vi ) dt j i
对i求和有： n
n n d ri Fi外 r f ji (ri mi vi ) dt i 1 i 1 i 1 j i因内力成对出 Nhomakorabea故该项为零
n d 得： ri Fi外 (ri mi v i ) dt i 1 i 1 n
作用于质点系的外力矩的矢量和等于质点系 角动量的增量。
——质点系对固定点的角动量定理
2、质点系对轴的角动量定理
设质点系内各质点均在各自的转动平面内绕同一轴转动
mv
二、质点的角动量定理
1、力矩
M
M Fr sin M r F
单位：牛· 米（N ·m）
力矩的分量式:
O
r p
M x yFz zF y M y zFx xFz
M z xFy yFx
对 轴 的 力 矩
力矩为零的情况: M r F （1）力F 等于零； （2）力 F 的作用线与矢径 r 共线即( sin 0 )。
d n M iz (ri mi v i sin i ) dt i 1 i 1
因有：v i ri i
n
n
2
d n 2 M [ ( m r ] iz i i ) dt i 1 i 1
转动惯量I
v i i mi O ri
角动量守恒定律
tt12M dtL L 12d L L 2L 1 t2M dt为 质t内 点O 对 在 点 的 冲 量 矩
t1
质点的角动量
力是物体平动运动状态（用动量来描述）发生改
变的原因。力矩是引起物体转动状态（用角动量 来描述）改变的原因。
1. 质点的圆周运动 动量：pmv
L
Or v
（对圆心的）角动量：
m
行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积. —–开普勒第二定律 Kepler laws
讨论：行星受力方向与矢径在一条直线（中心力），
永远与矢径是反平行的。故对力心质点所受的力矩为
零。则对力心角动量守恒！
注意
L
力心
v
m
r
F
r
Lmsvir nm rsin
1rrs 2m2
t in2mS
t
t
——开普勒第二定律
小结：
质点角动量 质点角动量定理：
L rpm r v
dL M rF dt
一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力
矩等于零。
质点→质点系
角动量守恒的几种可能情况：
1 孤立系. 2 有心力场,对力心角动量守恒.
重点！
3 由分量式：
M ix0; L x 常量
即：虽然 Mi 0,但对某轴外力矩为零,则总角动
解:对象: 滑轮+绳+A+B,
z轴正向: O点向外 .
受外力:mAg=mBg=mg, N, 对z 轴的合力为0. 对z轴,系统角动量守恒,A,B对O点速率 v'A,v'B,初始时刻系统角动量为零,则:
rm vA rm vB 0 则 vA vB
可见,不论A、B对绳的速率vA、vB如何, 二人对O的速率相同, 故将同时到达O点.
角动量及其守恒
1力矩表述 由点到力的作用点的矢径 r 与力F 的矢量积称为力F 对点0的力矩，即注释：⑴ 力矩是描述物体间相互作用的物理量.力矩不仅与力的大小有关，而且与力的方向及作用点的 相对位置有关，相同的力，若作用点不同，产生的 力矩也不同，所以，提到力矩时，必须指明是相对 哪个点而言的.⑵力矩是矢量，其大小为 M = Frsin =Fd ，式中，［为r 与力F 方向 间（小于180°）的夹角，d 到点O 力矢量的延长线 的距离，称作力臂，显然，若力的作用线通过参考点， 力臂为零，则力矩为零.⑶力矩的方向由右手旋法则确定，即将右手的四个手指由矢量r 沿小于180°转至力F 的方向，此时伸出的指向，即是力矩的方向，如图1.2.1所示，力矩 M 垂直于r 和F 构成的平面。
2、冲量矩和角动量（动量矩）冲量矩力对某定点的力矩 M 与力矩作用的微小时间间隔dt 的乘积，称为力矩M 在时间dt 内的冲量矩，而在t ［到t ?的一段时间内的冲量矩是,2 Mdt .1角动量质点对某点的位矢 r 与质点在相应位置的动量 mv 的矢量积，称作质点对该定点的动量矩，即:L =r p是质点运动状态的函数,第七讲角动量及其守恒注释⑴冲量矩是矢量，反映的是力 对绕定点转动的时间积累作 用，是一个和过程有关的量.⑵ 角动量是矢量，其大小为丨=rmvsi ，式中二为r 和 mv 方向间（小于180° ）的夹角，其方向垂直于由r 和mv 构成的 平面，由右手法则确定，如图所示。
⑶角动量是描述质点绕定点的运动， 是状态量.提到动量矩，应指出是相对哪个定点而言的.⑷ 动量和角动量概念的对比. 动量和角动量都是矢量， 又都 但二者又有区别：从定义看，前者只是速度的函数，而后者除了与运动速度有关以外， 还与质点对给定点的矢径有关.以匀速圆周运动为例， 运动过程中动量 不守恒，图而对圆心的角动量却是守恒的.3、角动量定理表述质点所受合外力对某定点的冲量矩等于质点对该定点的角动量的增量，即t2 I —t Mdt= L^ -L2对于质点系，角动量定理表述为系统所受外力合冲量矩等于系统总动量矩的增量，即M i外dt = ' L i 二.L io注释⑴此定理只适用于惯性系.⑵系统的动量矩的改变仅取决于外力的冲量矩，与内力矩无关.⑶各外力的作用点一般不在同一点上，在求合外力矩时应先求出每一个外力的力矩，再求各力矩的矢量和.例如，两个质量相同的小球用一（质量可以忽略的）轻杆相连，绕中心点0在水平面内转动，如图所示，当分别作用于两球上大小相等，方向相反的外力时，对于两球系统有7斤外二0，而对中心点o的7 M j外=0.i i⑷定理中每个外力的力矩和每个质点的角动量都应是相对同一定点而言的.⑸对于微小的时间过程，动量矩定理可以写成微分形式，即dLdt式中，M合（岭F 外）为各外力对某定点的力矩的矢量和，称为合外力矩，iL = " （r m i v i）为系统内各质点对该定点的角动量的矢量和，称为系统对该定点的总角i动量，微分形式的角动量定理可表述为：系统所受的合外力矩等于系统总角动量的变化率.4、角动量守恒定律表述若对某定点合外力矩为零，则系统对该定点角动量守恒，即若M 合=0,则L 二 '（r i口）= Ci注释：⑴ 角动量守恒定律既适用于单个质点，又适用于质点系•对于单个质点，守恒定律可简化为：对于某个定点O,若质点所受的合外力矩为零，则质点对点O的角动量守恒.⑵ 守恒条件为对某定点的合外力矩为零. 应理解力矩为零既可能是由于力为零，也可能是由于力臂为零，即力的作用线过定点. 在有心力作用下的质点（如电子绕核运动时）角动量守恒.⑶一旦满足角动量守恒条件，则有角动量守恒的结论，如匀速直线运动的质点，由于所受的合外力为零，从而导致合外力矩为零，对线外点O的动量矩一定守恒，即L = r父mv = mvd ;而匀速圆周运动的质点受到的合外力指出圆心，故对其圆心点来说，合外力矩为零，动量矩必然守恒，对其他点来说，向心力的力矩不是零，则动量矩不守恒.5、角动量定理在刚体动力学中的简单应用5.1刚体的动能刚体是多质点系统，它的动能等于各质点动能之和，即根据柯尼希定理E k二Eg - E k有:1 2 1 2 1 2E k = —mv C + —I c o/ （其中Eg =（送一mJv C为质心动能，2 2 i 21 2 1 2 2 1 2E k = —瓦mM =-（乞皿苗）⑷2 = — I 2，I c为相对于质心的转动惯量）2 i 2 i 2转动惯量：I = ' m i r i2i5.2刚体运动的描述5.3刚体定轴转动动力学dL z绕z轴转动的定轴转动方程:dt（1 ）转动方程2L 二' m i r^j 二 ' m i r i IdL . d ,-M I Idt dt（2）转动动能： E k转- 1 2 I2dl（3）质心系中的角动量定理：M ■外二，这是由于质心系中惯性力的力矩为0.dt例1：（1）试证明开普勒第二定律。
大学物理角动量守恒定律ppt课件
d J
dt
v L1 v L2
v L1
dL v
dL
J d
dt
L2 v L2
L1 v L1
积分
M轴 dt Jd J2 J1
当 M 轴合外 0 时
t1
1
J2 J1 恒量
定轴转动刚体 角动量守恒
若转动惯量有变化，则有：J22 J11 恒量 19
5.5 定轴转动刚体的转动定律 转动中的功和能
Jz Jc mh2
式中:
J
关于通过质心轴的转动惯量
c
m 是刚体质量, h 是 c 到 z 的距离
h Cz
J z 是对平行于质心轴的一个轴的转动惯量
23
2） 转动惯量叠加，如图
z B
Jz JA JB JC
A
C
式中:J A 是A球对z轴的转动惯量
JB 是B棒对z轴的转动惯量
J c 是C球对z轴的转动惯量
点的角动量
有 r
1 2
g
t
2
LA
r
p
1 2
mpt3gmvg
mgt 0
o
r
RA r
（2） 对 O 点的角动量
m
mv
r r R
LO r p (R r) p R p R mgt
Rg
LO Rmgt
4
2. 质点的角动量定理
角动量的时间变化率
dL
d
(r
v
r
O
B S
A r
[证明] (1) 行星对太阳O的角动量的大小为
L r p rmvsin
其中 是径矢 r 与行星的动量 p 或速度 v 之间的夹角.
定轴转动的角动量定理 角动量守恒定律
C
零点， 表示棒这时的角速度, 零点，用ω表示棒这时的角速度,则
l 1 11 2 2 2 mg = J ω ＝ ml ω 2 2 23
（ 1）
第二阶段是碰撞过程 。 因碰撞时间极短， 第二阶段是 碰撞过程。 因碰撞时间极短 ， 自由的 碰撞过程 冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力， 冲力极大，物体虽然受到地面的摩擦力，但可以忽略 这样，棒与物体相撞时， 。这样，棒与物体相撞时，它们组成的系统所受的对 的外力矩为零，所以， 转轴O的外力矩为零，所以，这个系统的对O轴的角 动量守恒。 表示物体碰撞后的速度， 动量守恒。我们用v表示物体碰撞后的速度，则
讨论： 讨论：
a.对于绕固定转轴转动的刚体，因J保持不变， 对于绕固定转轴转动的刚体， 保持不变 保持不变， 对于绕固定转轴转动的刚体 当合外力矩为零时，其角速度恒定。 当合外力矩为零时，其角速度恒定。
当 M z = 0时， J =恒量
ω
=恒量
b.若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时,系 若系统由若干个刚体构成,当合外力矩为零时, 若系统由若干个刚体构成 统的角动量依然守恒。 统的角动量依然守恒。J 大→ ω , J 小→ 大。 小 ω
(6)
l h = + 3 µ s − 6 µ sl 2
的匀质细杆， 例13：一长为 l 的匀质细杆，可绕通过中心的固定 13： 水平轴在铅垂面内自由转动， 水平轴在铅垂面内自由转动，开始时杆静止于水平位 置。一质量与杆相同的昆虫以速度 v0 垂直落到距点 O点 l/4 处的杆上，昆虫落下后立即向杆的端点爬行 处的杆上， ，如图所示。若要使杆以匀角速度转动 如图所示。 求: 昆虫沿杆爬行的速度。 昆虫沿杆爬行的速度。
r r vi ∆m i L r ri
7角动量、角动量守恒定律
N
r′
o
o′
r
F θ ×M
C
θ
1. 力矩: M = r × F 方向： 右手螺旋法则确定 方向： 用右手螺旋法则确定 即：右手四指从 r 方向绕向F
则拇指指的就是 M 的方向
大小： 大小： M = r × F = r F sin θ = ON F
2. 角动量 L = r × p 角动量: ——力臂乘以力 力臂乘以力 o′ 方向: 右手螺旋法则确定 方向 用右手螺旋法则确定 r ′ α p B 大小： 大小： L = r × p A α ×L = r p sin α = OA p
v A = vB
一 人 用 力 上 爬
一 人 握 绳 不 动
v A绳 + v 绳地 = v B
u vB = vB
u vB = 2
可能出现的情况是
16
下列说法正确的是（ 例 下列说法正确的是（ ）。
A B F
（A）作用力和反作用力之和为零。 ）作用力和反作用力之和为零。 （B）作用力和反作用力对同一点的力矩之和必为零。 ）作用力和反作用力对同一点的力矩之和必为零。 （C）内力作功之和必为零。 ）内力作功之和必为零。 （D）内力能够改变系统的总动量。 ）内力能够改变系统的总动量。 （E）内力矩能够改变系统对定点的总角动量。 ）内力矩能够改变系统对定点的总角动量。 （F）内力能够改变系统的总动能。 ）内力能够改变系统的总动能。
v
F
r
与 F 反平行
M = r ×F = 0
故 角动量守恒
mr0 v 0 = mrv
解得： 解得：
r0 v 0 v= r
10
例：摆球对O和O’点的角动量是否守恒？ 摆球对 和 点的角动量是否守恒？
大学物理——角动量定理和角动量守恒定律
解：把飞船和排出的 废气看作一个系统， 废气质量为m。可以 认为废气质量远小于 飞船的质量，
dm/2
u
Lg
r
L0
u dm/2
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所以原来系统对于飞船中心轴的角动量近似地等 于飞船自身的角动量，即
L0＝J
在喷气过程中，以dm表示dt时间内喷出的气体
， 这 些 气 体 对 中 心 轴 的 角 动 量 为 dm·r(u+v) ， 方 向
量为JB=20kgm2 。开始时A轮的转速为600r/min，B
轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在 啮合过程中，两轮的机械能有何变化？
A
B
C
A
B
C
A
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解：以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在
啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的 切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴 有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外 力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律 可得
由匀减速直线运动的公式得
0 v2 2as
亦即 v 2 2gs
（3）
（4）
由式（1）、（2）与（4）联合求解，即得
3gl 3 2gs
l
（5）
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当’取正值，则棒向左摆，其条件为
3gl 3 2gs 0
亦即l >6s；当’取负值，则棒向右摆，其条件
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数为 。相撞后物体沿地面滑行一距离s而停止。
求相撞后棒的质心C 离地面的最大高度h，并说明
棒在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。
解：这个问题可分为三个阶段
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《大学物理》练习题 No 7 角动量守恒定律
班级__________学号 _________ 姓名 _________ 成绩 ________
基本要求： （1） 掌握质点和刚体在定轴转动中的角动量、角动量定理、角动量守恒定律及应用
内容提要：
1. 质点的角动量
a. 质点对点的角动量：v m r p r L ⨯=⨯=
b. 对固定轴的角动量：ω J L =
2. 刚体对定轴的角动量：等于刚体对此轴的转动惯量与角速度的乘积 即：ω
z z
J L =
3．刚体的角动量定理: 外力矩对系统的角冲量(冲量矩)等于角动量的增量.
即：00
ωω
J J L d dt M L L t t -==⎰⎰
若J 可以改变,则：000
ωω
J J L d dt M L L t t -==⎰⎰
4．角动量守恒定律：当物体所受的合外力矩为零时,物体的角动量保持不变， 即00 ωωω
J J J ==或
常矢量
角动量守恒定律的两种情况：
a. 转动惯量保持不变的单个刚体
00,0ωωωω ===则时，当J J M
b. 转动惯量可变的物体。
.
保持不变就增大，从而减小时，当就减小；
增大时，当ωωω
J J J
一、选择题
1.刚体角动量守恒的充分必要条件是 [ ] (A) 刚体不受外力矩的作用.
(B) 刚体所受合外力矩为零.
(C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零. (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变
2.有一半径为R 的水平圆转台,可绕通过其中心的竖直固定光滑轴转动, 转动惯量为J , 开始时转台以匀角速度ω 0转动,此时有一质量为m 的人站在转台中心,随后人沿半径向外跑去,当人到达转台边缘时, 转台的角速度为 [ ] (A) J ω 0/(J +mR 2) .
(B) J ω 0/[(J +m )R 2]. (C) J ω 0/(mR 2) . (D) ω 0.
3.如图7.1所示,一静止的均匀细棒,长为L 、质量为M , 可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴O 在水平面内转动, 转动惯量为ML 2/3.一质量为m 、速率为v 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射入并穿出棒的自由端,设穿过棒后子弹的速率为v /2,则此时棒的角速度应为
[ ] (A) mv/(ML ) . (B) 3mv/(2ML ). (C) 5mv/(3ML ). (D) 7mv/(4ML ).
二、填空题
1. 在XOY 平面内的三个质点,质量分别为m 1 = 1kg, m 2 = 2kg,和 m 3 = 3kg,位置坐标(以米为单位)分别为m 1 (－3,－2)、m 2 (－2,1)和m 3 (1,2),则这三个质点构成的质点组对Z 轴的转动惯量I z = .
2.质量均为70kg 的两滑冰运动员，以6.5s m /等速反向滑行，滑行路线的垂直距离为10m 。
当彼此交错时，各抓住10m 长绳子的两端，然后相对旋转。
则各自对中心的角动量=L ，当各自收绳到绳长为5m 时，各自速率为=v 。
3.一飞轮以角速度ω 0绕轴旋转, 飞轮对轴的转动惯量为J 1;另一静止飞轮突然被同轴地啮合到转动的飞轮上,该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍,啮合后整个系统的角速度ω = .
三、计算题
1. 如图7.2所示,有一飞轮,半径为r = 20cm,可绕水平轴转动,在轮上绕一根很长的轻绳,若在自由端系一质量m 1 = 20g 的物体,此物体匀速下降；若系m 2=50g 的物体,则此物体在10s 内由静止开始加速下降40cm .
绳系重物m 2后的张力？
v /2
图7.1
图7.2
图7.3
2. 如图7.3所示,质量为M 的均匀细棒,长为L ,可绕过端点O 的水平光滑轴在竖直面内转动,当棒竖直静止下垂时,有一质量为m 的小球飞来,垂直击中棒的中点.由于碰撞,小球碰后以初速度为零自由下落,而细棒碰撞后的最大偏角为θ,求小球击中细棒前的速度值.
No. 7 参考答案
一、选择题
1. （B ）；
2. （A ）提示：人在向外运动的过程中，由于所受合外力矩为零，故角动量是
守恒的，由 ωω)(20mR J J +=可得；3. （B ），提示：子弹在与细杆相互作用的过程中，整个系统对细杆转轴的角度量是守恒的，则v L m J mLv 2⋅+=ω，其中，2
3
1mL J =，得到，棒的角速度为=ω3mv/(2ML ). 二、填空题
1. 2
38m kg ⋅；2. =L 122275-⋅⋅s m kg ，
=v s m /13， 提示：质点对轴的角动量p r L
⨯=，大小为1
2
2275705.65-⋅⋅=⋅⋅=s m kg L ，各自收绳时，系统的角动量是守恒的，故可得人的速度为=v s m /13； 3. 3
ωω=，提示：系统作用过程中，合外力矩为零，角动量守恒，ωω1013J J =；
三、计算题
1. 解： 摩擦阻力矩m N gr m M f ⋅==04.01
系上m 2物体后，
a m T g m 22=-
βJ M Tr f =- N T 5.0≈
βr a = 249.1m kg J ⋅≈ 2
2t S a =
2. 解：设小球碰撞前速度为v ω⋅=
-23
1
)(ML a L mv 2/L a = 2
)
(3ML
a L mv -=ω )cos 1(2
312122θω-=⋅L
Mg ML 解出 3)
cos 1()(θ--=
Lg a L m ML v
化简得到， 3
)
cos 1(2θ-=Lg m
M v。