高等数学第七章习题详细解答

第七章习题答案

习题7.0

1．下列各种情形中，P 为E 的什么点？

（1）如果存在点P 的某一邻域()U P ，使得()⊂c U P E （c E 为E 的余集）； （2）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有, ()(),C U P E U P E φφ≠≠； （3）如果对点P 的任意邻域()U P ，都有. 解 （1）P 为E 的外点；（2）P 为E 的边界点；（3）P 为E 的聚点。 2.判定下列平面点集的特征（说明是开集、闭集、区域、还是有界集、无界集等？）并分别求出它们的导集和边界.

(1) (){}

,0≠x y y ;

(2) (){}

22,620≤+≤x y x y ; (3) (){}

2,≤x y y x ;

(4) ()(){

}()(){

}

2

2

22,11,24+-≥⋂+-≤x y x y x y x y .

解 (1) 是开集，是半开半闭区域，是无界集，导集为2R ,边界集为

(){},0=x y y ；(2)既不是开集也不是闭集，是半开半闭区域，是有界集，导集

为(){}

22,620≤+≤x y x y ，边界集为(){}

2222,=6=20++，x y x y x y ；(3) 是闭集，是半开半闭区域，是无界集，导集为集合本身,边界集为(){}

2,=x y y x ；是闭集，是闭区域，是有界集，导集为集合本身，边界集为

()()

(){

}

2

2

22,11,24+-=+-=x y x y x y

习题7.1

1. 设求

1. 解 令

,=-=

y

u x y v x

，解得

,11=

=--u uv x y v v

，故

()22

,11⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭

u uv f u v v v ，即()()21+,1=-u v f u v v ，所以，()()21+y ,1=-x f x y y φ≠-}){()(P E P U 22,,y f x y x y x ⎛

⎫-=- ⎪⎝

⎭(,).f x y

2.已知函数()2

2,cot =+-x f x y x y xy y

，试求(),f tx ty .

2. 解 因为

()2

2

,cot =+-y f x y x y xy x

，所以，

()22

22,cot ,=+-t y f tx ty tx ty txty t x

即()()2

2

2,cot =+-y f tx ty t x y t xy x

.

3.求下列各函数的定义域 (1) 25)1(=-+z ln y xy ;

(2) =

z ;

(3) =z

(4) )0;=>>u R r

(5) =u

3. 解 (1)

(){}

2

,510-+>x y y

xy ；(2)

(){}

,0->x y x y ；（3）

(){}2

,≥x y x y ；

（4）(){}2

2222,<++≤x y r x y z R ；（5）(){}

222,≤+x y z x y

4. 求下列各极限:

(1) ()()233

,0,31lim →-+x y x y

x y ;

(2)

()(

,1,1ln lim

→+x x y y e

(3)

(

)(,0,0lim

→x y

(4)

(

)(,0,0lim

→x y ;

(5)

()()()

,0,2sin lim

→x y xy x ;

(6)

()()

()

()22

222

2

,0,01cos lim

→-++x y x y x y x

y e

.

4. 解 （1）()()2333,0,31101

lim 0327

→--==++x y x y x y ；

（2）()(

()

1,1,1ln ln 11lim

2

→+++=

=

=

x x y y e e e （3）

()()()(

,0,0,0,0lim

lim

→→=x y x y ()

(,0,01

lim

4

→=

=

x y （4）

(

)(

()()

),0,0,0,01

lim

lim

→→=x y x y xy xy

()()

)

,0,0=

lim

1=2→+x y

（5）

()()()()()()

,0,2,0,2sin sin lim

lim 122→→=⋅=⋅=x y x y xy xy y x xy

（6）

()()

()

()()()

()

()

()

22

22

22222

22

2

2

2

2,0,0,0,01cos 1cos lim

lim

→→-+-++=

⋅

++x y x y x y x y x y x y x

y x

y e

e

x y

()()

()

()

()()

()22

222

22

02

2,0,0,0,01cos 10

lim

lim

=02→→-++=

⋅⋅=+x y x y x y x y x

y e e

x

y

5.证明下列极限不存在: (1)

()(),0,0lim

→-+x y x y

x y ;

(2)

()(),0,0lim

→+-x y xy

xy x y .

5. (1) 解 令=y kx ,有

()(),0,001lim

lim 1→→---==

+++x y x x y x kx k

x y x kx k ，k 取不同值，极