2017年高考数学真题三角函数

第四章 三角函数

第一节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式

题型42 终边相同的角的集合的表示与识别——暂无

题型43 倍角、等分角的象限问题——暂无

题型44 弧长与扇形面积公式的计算——暂无

题型45 三角函数定义题——暂无

题型46 三角函数线及其应用——暂无

题型47 象限符号与坐标轴角的三角函数值——暂无

题型48 诱导求值与变形——暂无

题型49 同角求值——已知角与目标角相同——暂无

第二节 三角函数的图像与性质

题型50 已知解析式确定函数性质

1.（2017全国3理6）设函数，则下列结论错误的是（ ）.

A ．的一个周期为

B ．的图像关于直线对称

C ．的一个零点为

D ．在上单调递减

解析 函数的图像可由向左平移个单位长度得到，由图可知，在上先递减后递增，所以D 选项错误.故选D.

题型51 根据条件确定解析式

1.（2017天津理7）设函数，，其中，.若，，且的最小正周期大于，则（ ）.

A.，

B.，

C.，

D.，

解析 解法一：由题意，其中，所以.又，所以，从而.由，由，得.故选A ．

解法二：由，，易知为的一条对称轴，点为的一个零点，则，又因为 ，即.又，且的最小正周期大于，所以，从而，又，所以.故选A.

2.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .

（1）求23f π⎛⎫ ⎪⎝⎭

的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.

解析 （1）由2

sin 3π=21cos 32π=-，得2

22112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.

（2）由22cos2cos sin x x x =-，sin22sin cos x x x =，得()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭

，

所以()f x 的最小正周期是2π2T

==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k π

ππ+π+

+π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63

k k k π

π⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，. 题型52 三角函数的值域（最值)——暂无

题型53 三角函数图像变换

1.（2017全国1理9）已知曲线，，

则下面结论正确的是（ ）.

A.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

B.把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

C.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线

D.把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线

解析 ，.

首先曲线，统一为一三角函数名，可将用诱导公式处理．

．横坐标变换需将变成，

即．

注意的系数，左右平移需将提到括号外面，这时平移至，

根据“左加右减”原则，“”到“”需加上，即再向左平移．故选D.

2.（2017山东理1）设函数，其中.已知.

（1）求；

（2）将函数的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移个单位，得到函数的图像，求在上的最小值.

解析 （1）因为，

所以

.

由题设知，所以，.

故，，又，所以.

（2）由（1）得，所以.

因为，所以，当，即时，取得最小值.

第三节 三角恒等变换

题型54 化简求值

1.（17江苏05）若，则 ．

解析 解法一（角的关系）：．故填．

解法二（直接化简）：，所以．故填．

2.(2017北京理12)在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，=___________.

解析 由题作出图形，如图所示，，则，由于与关于轴对称，

则，，故.

3.（2017全国2理14）函数的最大值是 ．

解析 ()2233πsin 1cos 0442f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=+-=--∈ ⎪⎢⎥⎣

⎦⎝⎭，，令且，，当，即时，取最大值为1．

4.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .

（1）求23f π⎛⎫ ⎪⎝⎭

的值； （2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.

解析 （1）由2

sin 3π=21cos 32π=-，得2

22112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.

（2）由22

cos2cos sin x x x =-，sin22sin cos x x x =，得()cos 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期是2π2T

==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k π

ππ+π+

+π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63

k k k π

π⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，. 第四节 解三角形

题型55 正弦定理的应用

1.（2017天津理15）在中，内角所对的边分别为.已知，，.

（1）求和的值；

（2）求的值.

解析 （1）在中，因为，故由，可得.由已知及余弦定理，得，所以.

由正弦定理，得.