高三高考数学总复习《直线与圆》题型归纳与汇总
直线与圆题型总结
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．2、设圆满足：(1)截轴所得弦长为2；(2)被轴分成两段弧，其弧长的比为，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线的距离最小的圆的方程．类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程1 已知圆，求过点与圆相切的切线．2 两圆与相交于、两点，求它们的公共弦所在直线的方程．3、过圆122=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。
练习：1．求过点(3,1)M ，且与圆22(1)4x y -+=相切的直线l 的方程2、过坐标原点且与圆0252422=++-+y x y x 相切的直线的方程为 3、已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为.类型三：弦长、弧问题1、求直线063:=--y x l 被圆042:22=--+y x y x C 截得的弦AB 的长2、直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为3、求两圆0222=-+-+y x y x 和522=+y x 的公共弦长类型四：直线与圆的位置关系1、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，实数m 的取值范围 2圆上到直线的距离为1的点有个？3、直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点，则a 的取值范围是4、若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点，则k 的取值范围是.5、 圆上到直线的距离为的点共有（）．（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个6、 过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点 类型五：圆与圆的位置关系1、判断圆02662:221=--++y x y x C 与圆0424:222=++-+y x y x C 的位置关系2圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的公切线共有条。
直线与圆的高考常见题型总结
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知识篇 新高考名师护航
高二数学 2023 年 10 月
解得
5
a)≤ (
a-3)+2 ,
2
2
2
1
3
≤a≤ 。
3
2
(
2
0
2
3 年 新 高 考 Ⅰ 卷 )过 点 (
0,
例 6
与圆 x2 +y2 -4
-2)
x-1=0 相 切 的 两 条 直
y -2)<1,
2
2
,
方程 xc
o
sθ+ (
s
i
nθ=1(
0≤θ≤2π)
θ
y-2)
无解。因此经过任意点的直线均为有限个。
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高二数学 2023 年 10 月
(
对于 B:
不在任一直线上。
0,
2)
对于 C:
做圆 x + (
y-2)=1 的 外 切 正
2
故选 ABD。
2
n 边形 即 可。 (将 正 n 边 形 的 中 心 置 于 (
0,
,
中心到边的距离 设 为 1,此 正 n 边 形 即 满
2)
足题意)
例 4
2
x-y-3=0 的距离为(
5
A.
5
对 于 D:注 意 到 任 意 三 条 直 线 若 能 围 成
高考热点 2
2
(写 出 所 有 真
其中真命 题 的 代 号 是
。
命题的代号)
高考数学直线与圆归纳总结
高考数学直线与圆归纳总结直线与圆是高中数学中重要的几何概念。
在高考数学中，直线与圆的相关知识点常常出现，并且在解决几何问题时扮演着重要的角色。
下面将对高考数学中涉及直线与圆的知识进行归纳总结。
一、直线与圆的位置关系1. 直线和圆可能有三种位置关系：相离、相切和相交。
a. 如果直线和圆没有交点，则称直线和圆相离。
b. 如果直线与圆有且仅有一个交点，则称直线与圆相切。
c. 如果直线与圆有两个交点，则称直线与圆相交。
2. 判断直线与圆的位置关系的方法：a. 判断直线与圆相离：计算直线到圆心的距离是否大于圆的半径。
b. 判断直线与圆相切：计算直线到圆心的距离等于圆的半径。
c. 判断直线与圆相交：计算直线到圆心的距离小于圆的半径。
二、直线与圆的方程1. 直线的一般方程：Ax + By + C = 0。
直线的一般方程表示直线上的所有点 (x, y)，满足方程左侧等式。
2. 圆的标准方程：(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2。
圆的标准方程表示平面上距离圆心 (a, b) 距离为半径 r 的点 (x, y)。
3. 直线与圆的方程应用：a. 直线与圆的相交问题可以通过联立直线和圆的方程求解。
b. 直线与圆的相切问题可以通过判断直线方程是否与圆方程有且仅有一个交点来确定。
三、直线与圆的性质1. 切线与半径的关系：切线与半径的夹角是直角，即切线垂直于半径。
2. 切线的性质：a. 切点：切线与圆的交点称为切点。
b. 切线长度：切点到圆心的距离等于半径的长度。
c. 外切线：若直线与圆内切于一点，则这条直线称为外切线。
d. 内切线：若直线切圆于两个相交点，则这条直线称为内切线。
3. 弦的性质：弦是圆上的两个点之间的线段。
弦的性质有：a. 弦长：弦长等于圆心到弦的距离的两倍。
b. 直径：直径是通过圆心的弦。
直径等于半径的两倍。
四、圆的位置关系1. 同心圆：具有共同圆心的多个圆称为同心圆。
2. 内切圆与外接圆：如果一个圆与另一个圆有且仅有一个切点，则这两个圆称为内切圆与外接圆。
高考数学真题题型分类解析专题专题07 直线与圆
高考数学真题题型分类解析高考数学真题题型分类解析 专题07直线与圆直线与圆命题解读考向考查统计1.高考对直线的考查，重点是直线的倾斜角与斜率、直线方程的求法、两条直线的位置关系、距离公式、对称问题等。
2.高考对圆的考查，重点是圆的标准方程与一般方程的求法，除了待定系数法外，要特别要重视利用几何性质求解圆的方程。
同时，除了直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，还特别要重视直线与圆相交所得弦长及相切所得切线的问题。
3.其他就是直线、圆与其他知识点的交汇。
直线与圆的位置关系2023·新高考Ⅰ卷，62022·新高考Ⅱ卷，152023·新高考Ⅱ卷，152024·新高考Ⅱ卷，10（多选题的一个选项中考查）圆与圆的位置关系2022·新高考Ⅰ卷，14直线的斜率2022·新高考Ⅱ卷，3命题分析2024年高考新高考Ⅰ卷未直接考查直线与圆的相关知识点，Ⅱ卷在多选题的一个选项中考到了直线与圆相切的问题，其实在压轴题中也有直线斜率的影子，后续专题再呈现。
其实直线与圆直接考查的话，难度一般是较易的，一般计算不出错即可。
在一些上难度的题型中，往往有直线斜率的一些影子。
直线与圆考查应关注：直线、圆的方程及位置关系，直线方程的求解、直线过定点问题的求解、含参直线方程中参数取值范围求解、直线与圆的位置关系中涉及的弦长与切线方程的求解。
以常规题型、常规解法为主要方向，常结合基本不等式、函数、三角形面积等知识考查最值问题。
预计2025年高考还是主要考查直线与圆的位置关系。
试题精讲一、多选题1．（2024新高考Ⅱ卷·10）抛物线C ：24y x =的准线为l ，P 为C 上的动点，过P 作22:(4)1A x y +−=⊙的一条切线，Q 为切点，过P 作l 的垂线，垂足为B ，则（ ）A ．l 与A 相切B ．当P ，A ，B 三点共线时，||PQ =C ．当||2PB =时，PA AB ⊥D ．满足||||PA PB =的点P 有且仅有2个一、单选题1．（2023新高考Ⅰ卷·6）过点()0,2−与圆22410x y x +−−=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（ ）A ．1B2．（2022新高考Ⅱ卷·3）图1是中国称为步，垂直距离称为举，图2是某古1111,,,OD DC CB BA 是相等的步，相邻桁的成公差为0.1的等差数列，且直线A ．0.75B ．0.8C ．0.85D ．0.93．（2022新高考Ⅰ卷·14）写出与圆是中国古代建筑中的举架结构，,,,AA BB CC DD ′′′′是桁是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中111,DD CC 邻桁的举步之比分别为1111111,0.5,DD CC BB k OD DC CB ==OA 的斜率为0.725，则3k =（ ）与圆221x y +=和22(3)(4)16x y −+−=都相切的一条直是桁，相邻桁的水平距离1,,BB AA 是举，1231,AAk k BA ==．已知123,,k k k 一条直线的方程．由图像可知由图像可知，，共有三条直线符合条件又由方程22(3)(4)16x y −+−=和x 即为过两圆公共切点的切线方程即为过两圆公共切点的切线方程，，又易知两圆圆心所在直线OC 的方程为直线OC 与直线10x +=的交点为条件条件，方程为(当切线为l时，因为14 3OOk=，所以O到l的距离||19116td==+，解得当切线为m时，设直线方程为kx由题意211344pkk p=+++=，解得kp．（新高考卷）设点有公共点，则a的取值范围是．5．（2023新高考Ⅱ卷·15）已知直线:10l x my −+=与2:14C x y −+= 交于A ，B 两点，写出满足“ABC面积为85”的m 的一个值．一、直线的倾斜角和斜率1、直线的倾斜角若直线l 与x 轴相交，则以x 轴正方向为始边，绕交点逆时针旋转直至与l 重合所成的角称为直线l 的倾斜角，通常用，，， αβγ表示（1）若直线与x 轴平行（或重合），则倾斜角为0 （2）倾斜角的取值范围[0)，∈απ 2、直线的斜率设直线的倾斜角为α，则α的正切值称为直线的斜率，记为tan =k α （1）当2=πα时，斜率不存在；所以竖直线是不存在斜率的（2）倾斜角α与斜率k 的关系当0=k 时，直线平行于轴或与轴重合；当0>k 时，直线的倾斜角为锐角，倾斜角随k 的增大而增大； 当0<k 时，直线的倾斜角为钝角，倾斜角随k 的增大而增大； 3、过两点的直线斜率公式已知直线上任意两点，11()，A x y ，22()，B x y 则2121−=−y y k x x （1）直线的斜率是确定的，与所取的点无关．（2）若12=x x ，则直线AB 的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90° 4、三点共线两直线，AB AC 的斜率相等→、、A B C 三点共线；反过来，、、A B C 三点共线，则直线，AB AC 的斜率相等（斜率存在时）或斜率都不存在．二、直线的方程1、直线方程的五种形式在已知曲线类型的前提下，求曲线（或直线）方程的思路通常有两种：（1）直接法：寻找决定曲线方程的要素，然后直接写出方程，例如在直线中，若用直接法则需找到两个点，或者一点一斜率（2）间接法：若题目条件与所求要素联系不紧密，则考虑先利用待定系数法设出曲线方程，然后再利用条件解出参数的值（通常条件的个数与所求参数的个数一致） 3、线段中点坐标公式若点12，P P 的坐标分别为1122()()，，，x y x y 且线段12PP 的中点M 的坐标为()，x y ，则121222+= + = x x x y y y ，此公式为线段12PP 的中点坐标公式． 4、两直线的夹角公式若直线11y k x b =+与直线22y k x b =+的夹角为α，则2112tan 1k k k k α−=+.三、两直线平行与垂直的判定两条直线平行与垂直的判定以表格形式出现，如表所示． 两直线方程平行垂直11112222:0:0++=++=l A x B y C l A x By C1221122100且−=−≠A B A B B C B C12120+=A A B B111222::=+=+l y k x b l y k x b （斜率存在）11,22::==l x x l x x （斜率不存在）1212,=≠k k b b 或 1212,,==≠x x x x x x121=−i k k 或12与k k 中有一个为0，另一个不存在．四、三种距离1、两点间的距离平面上两点111222(,),(,)P x y P x y 的距离公式为12||=P P． 特别地，原点O （0，0）与任一点P （x ，y ）的距离||=OP 2、点到直线的距离点000(,)P x y 到直线:0++=l Ax By C 的距离=d 特别地，若直线为l ：x =m ，则点000(,)P x y 到l 的距离0||=−d m x ；若直线为l ：y =n ，则点000(,)P x y 到l 的距离0||=−d n y 3、两条平行线间的距离已知12,l l 是两条平行线，求12,l l 间距离的方法：（1）转化为其中一条直线上的特殊点到另一条直线的距离．（2）设1122:0,:0++=++=l Ax By C l Ax By C ，则1l 与2l 之间的距离=d注：两平行直线方程中，x ，y 前面对应系数要相等． 4、双根式双根式()=±f x 型函数求解，首先想到两点间的距离，或者利用单调性求解．五、圆1、圆的四种方程（1）圆的标准方程：222()()−+−=x a y b r ，圆心坐标为（a ，b ），半径为(0)>r r（2）圆的一般方程：22220(40)++++=+−>x y Dx Ey F D E F ，圆心坐标为,22−− D E ，半径r（3）圆的直径式方程：若1122(,),(,)A x y B x y ，则以线段AB 为直径的圆的方程是1212()()()()0−−+−−=x x x x y y y y2、点与圆的位置关系判断（1）点00(,)P x y 与圆222()()−+−=x a y b r 的位置关系： ①222()()−+−>⇔x a y b r 点P 在圆外； ②222()()−+−=⇔x a y b r 点P 在圆上； ③222()()−+−<⇔x a y b r 点P 在圆内．（2）点00(,)P x y 与圆220++++=x y Dx Ey F 的位置关系：①2200000++++>⇔x y Dx Ey F 点P 在圆外； ②2200000++++=⇔x y Dx Ey F 点P 在圆上； ③2200000++++<⇔x y Dx Ey F 点P 在圆内．六、直线与圆的位置关系1、直线与圆的位置关系判断（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）圆心(,)a b 到直线0Ax By C ++=的距离，则d =：d r <⇔直线与圆相交，交于两点,P Q ，||PQ =d r =⇔直线与圆相切； d r >⇔直线与圆相离（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）由2220()()Ax By C x a y b r++= −+−= ， 消元得到一元二次方程20p x q x t ++=，20p x q x t ++=判别式为∆，则：0∆>⇔直线与圆相交； 0∆=⇔直线与圆相切； 0∆<⇔直线与圆相离．七、两圆位置关系的判断用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：设两圆12,O O 的半径分别是,R r ，（不妨设R r >），且两圆的圆心距为d ，则：d R r <+⇔两圆相交； d R r =+⇔两圆外切； R r d R r −<<+⇔两圆相离 d R r =−⇔两圆内切；0d R r ≤<−⇔两圆内含（0d =时两圆为同心圆）设两个圆的半径分别为R r ，，R r >，圆心距为d ，则两圆的位置关系可用下表来表示： 位置关系 相离 外切 相交 内切 内含几何特征 d R r >+d R r =+R r d R r −<<+d R r =−d R r <−代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解 公切线条数 4321【直线与圆常用结论直线与圆常用结论】】一、直线1、点关于点对称点关于点对称的本质是中点坐标公式：设点11()，P x y 关于点00()，Q x y 的对称点为22()，′P x y ，则根据中点坐标公式，有12012022+=+ = x x x y y y 可得对称点22()，′P x y 的坐标为0101(22)，−−x x y y 2、点关于直线对称点11()，P x y 关于直线:0++=l Ax By C 对称的点为22()，′P x y ，连接′PP ，交l 于M 点，则l 垂直平分′PP ，所以′⊥PP l ，且M 为′PP 中点，又因为M 在直线l 上，故可得12121022′⋅=− ++++= l PP k k x x y y AB C ，解出22()，x y 即可．3、直线关于点对称法一：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；法二：求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程． 4、直线关于直线对称求直线1:0++=l ax by c ，关于直线2:0++=l dx ey f （两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12，l l 算出交点00()，P x y第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()，Q x y ，利用点关于直线对称的秒杀公式算出对称点22()，′Q x y 第三步：利用两点式写出3l 方程 5、常见的一些特殊的对称点()，x y 关于x 轴的对称点为()，−x y ，关于y 轴的对称点为()，−x y ．点()，x y 关于直线=y x 的对称点为()，y x ，关于直线=−y x 的对称点为()，−−y x ． 点()，x y 关于直线=x a 的对称点为(2)，−a x y ，关于直线=y b 的对称点为(2)，−x b y ． 点()，x y 关于点()，a b 的对称点为(22)，−−a x b y ．点()，x y 关于直线+=x y k 的对称点为()，−−k y k x ，关于直线−x y =k 的对称点为()，+−k y x k ． 6、过定点直线系过已知点00()，P x y 的直线系方程00()−=−y y k x x （k 为参数）． 7、斜率为定值直线系斜率为k 的直线系方程=+y kx b （b 是参数）． 8、平行直线系与已知直线0++=Ax By C 平行的直线系方程0++=Ax By λ（λ为参数）． 9、垂直直线系与已知直线0++=Ax By C 垂直的直线系方程0−+=Bx Ay λ（λ为参数）． 10、过两直线交点的直线系过直线1111:0++=l A x B y C 与2222:0++=l A x B y C 的交点的直线系方程：111222()0+++++=A x B y C A x B y C λ（λ为参数）．二、圆1、圆的参数方程①222(0)+=>x y r r 的参数方程为cos sin = =x r y r θθ（θ为参数）；②222()()(0)−+−=>x a y b r r 的参数方程为cos sin =+ =+x a r y b r θθ（θ为参数）．注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(cos ,sin )++a r b r θθ（θ为参数，,（）a b 为圆心，r 为半径），以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值． 2、关于圆的切线的几个重要结论（1）过圆222x y r +=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200x x y y r +=． （2）过圆222()()x a y b r −+−=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为200()()()()x a x a y b y b r −−+−−=（3）过圆220x y D x E y F ++++=上一点00(,)P x y 的圆的切线方程为0000022x x y y x x y y D E F ++++⋅+⋅+= （4）求过圆222x y r +=外一点00(,)P x y 的圆的切线方程时，应注意理解： ①所求切线一定有两条；②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为00()y y k x x −=−，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于k 的方程，求出k 值．若求出的k 值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的k 值只有一个，则说明斜率不存在的情形符合题意．一、单选题1．（2024·江西新余·二模）已知直线0x ay −=交圆C：2220x y y +−−=于M ，N 两点，则“MCN △为正三角形”是“0a =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2024·陕西西安·三模）若过点0,1P 可作圆22240x y x y a +−−+=的两条切线，则a 的取值范围是（ ） A ．()3,+∞B ．()1,3−C ．()3,5D ．()5,+∞【答案答案】】C【分析分析】】根据点在圆外即可求解.【详解详解】】圆22240x y x y a +−−+=，即圆()()22125x y a −+−=−，则50a −>，解得5a <．的距离的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．44．（2024·四川成都·三模）已知直线1:10l x ay −+= 与:11C x a y −+−= 相交于 A B ， 两点，若ABC 是直角三角形，则实数 a 的值为（ ）A ．1 或 1−B 或C ．17− 或 1−D ．17− 或5．（2024·湖南邵阳·三模）已知直线l ：1x y +=，过直线l 上的任意一点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则APB ∠的最大值为（ ） A ．3π4B ．2π3C ．π2D ．π6当OP 最小时最小时，，则sin APO ∠又因为OP 的最小值即为圆心此时2sin ,2APO APO ∠=∠故选故选：：C ． 6．（2024·重庆·二模）已知圆:O 若92PA PB ⋅= ，则OP =（ ） A B ．3C ．设,APO BPO OP α∠=∠=则23sin ,cos x xxαα==cos cos212sin APB ∠α==−3,x y P +=是圆O 外一点，过点P 作圆O 的两条切线7．（2024·北京·三模）已知圆()2:11C x y +−=和两点()()(),0,,00A t B t t −>，若圆C 上存在点P ，使得0PA PB ⋅=，则t 的取值范围为（ ）A ．(]0,1B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]3,4故选故选：：B A ．()2,6B ．()3,5C ．()()2,35,6∪D ．()()2,36,+∞∪9．（2024·北京·三模）已知直线，圆:16O x y +=，下列说法错误．．的是（）A ．对任意实数a ，直线l 与圆O 有两个不同的公共点；B ．当且仅当12a =−时，直线l 被圆O 所截弦长为C ．对任意实数a ，圆O 不关于直线l 对称；D ．存在实数a ，使得直线l 与圆O 相切．10．（2024·江西鹰潭·三模）已知m ∈R ，直线1:20l mx y m ++=与2:40l x my m −+=的交点P 在圆C ：()()()222340x y r r −+−=>上，则r 的最大值是（ ）A ．．．．【答案答案】】D【分析分析】】根据两直线方程可知两直线分别过定点且垂直根据两直线方程可知两直线分别过定点且垂直，，可求得P 点轨迹方程点轨迹方程，，再由圆与圆的位置关系找出圆心距与两圆半径之间的关系可得结果.二、多选题11．（2024·湖南长沙·三模）已知圆 ()22:24C x y ++=，直线 ()():1210l m x y m m ++−+=∈R ，则（ ）A ．直线 l 恒过定点 ()1,1−B ．当0m =时，圆C 上恰有三个点到直线l 的距离等于 1 C ．直线l 与圆C 可能相切D ．若圆C 与圆 22280x y x y a +−++=恰有三条公切线，则8a =12．（2024·山西临汾·三模）已知,E F 是以为半径的圆上任意两点，且满足，P是EF 的中点，若存在关于()3,0对称的,A B 两点，满足0PA PB ⋅=，则线段AB 长度的可能值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．613．（2024·河南郑州·三模）已知直线:10l ax by ++=（,a b 不同时为0），圆22:20C x y x +−=，则（ ）A ．当221b a −=时，直线l 与圆C 相切B ．当2a b +=−时，直线l 与圆C ．当1,1a b ==−时，与圆C 外切D ．当1,1a b ==−时，直线l 与坐标C 不可能相交外切且与直线l 相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线与坐标轴相交于,A B 两点，则圆C 上存在点P 抛物线满足0PA PB ⋅=14．（2024·山东青岛·三模）已知动点M N ， 分别在圆()()221:121C x y −+−= 和 ()()222:343C x y −+−=上，动点P 在 x 轴上，则（ ）A ．圆2C 的半径为3B ．圆1C 和圆2C 相离C ．PM PN +的最小值为D．过点P 做圆1C15．（2024·浙江温州·二模）已知圆1与圆2相交于122C AB C AB S S =△△，则实数a 的值可以是（ ）A ．10B ．2C ．223D ．14316．（2024·浙江绍兴·三模）已知M ，N 为圆224x y +=上的两个动点，点1,1P −，且PM PN ⊥，则（）A ．max2PM =B ．maxMN=C ．PMN 外接圆圆心的轨迹方程为22113222x y++−=D ．PMN 重心的轨迹方程为22551666x y++−=对于C 中，设PMN 的外接圆的圆心则有22(1)(1)4(x y ++−=−即22113()()222x y ++−=，对于D 中，设PMN 的重心为点由C 项知PMN 的外接圆的圆心点三、填空题17．（2024·广东汕头·三模）已知圆（i ）则圆C 的标准方程为；（ii ）若直线AB 关于y a =对称的直线知圆C 经过()2,0A ，()0,2B ，()2,4C 三点， 的直线与圆C 有公共点，则a 的取值范围是.18．（2024·天津和平·三模）已知圆C 以点1,1为圆心，且与直线相切，则满足以上条件的圆C 的半径最大时，圆C 的标准方程为．19．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点1,P a −关于直线0x y −=的对称点在圆22(2)(4)13x y −+−=内，则实数a 的取值范围是．因为(),1Q a −在圆22(2)(4)13x y −+−=的内部的内部，，所以22(2)(14)13a −−+−<，解得40a -<<，即实数a 的取值范围是()4,0−． 故答案为故答案为：：()4,0−．20．（2024·湖南·二模）已知直线l 是圆22:1O x y +=的切线，点()2,1A −和点()0,3B 到l 的距离相等，则直线l 的方程可以是.（写出一个满足条件的即可）。
高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题
直线与圆的方程一、直线的方程 1、倾斜角：，范围0≤α＜π，x l //轴或与x 轴重合时，α=00。
2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0⇔κ=0已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜02>⇔k πP 2（x 2,y 2） α=κπ⇔2不存在`⇒k=1212x x y y -- 022<⇔<<κππ当1x =2x 时，α=900，κ不存在。
当0≥κ时，α=arctank ，κ＜0时，α=π+arctank 3、截距（略）曲线过原点⇔横纵截距都为0。
几种特殊位置的直线 ①x 轴：y=0 ②y 轴：x=0 ③平行于x 轴：y=b!④平行于y 轴：x=a ⑤过原点：y=kx两个重要结论：①平面内任何一条直线的方程都是关于x 、y 的二元一次方程。
②任何一个关于x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。
5、直线系：（1）共点直线系方程：p 0（x 0,y 0）为定值，k 为参数y-y 0=k （x-x 0） '特别：y=kx+b ，表示过（0、b ）的直线系（不含y 轴）（2）平行直线系：①y=kx+b ，k 为定值，b 为参数。
②AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0 平行的直线系 ③BX-AY+入=0表示与AX+BY+C 垂直的直线系（3）过L 1,L 2交点的直线系A 1x+B 1y+C 1+入（A 2X+B 2Y+C 2）=0（不含L2） 6、三点共线的判定：①AC BC AB =+，②K AB =K BC ，③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。
二、两直线的位置关系（说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑） 2、L 1 到L 2的角为0，则12121tan k k k k •+-=θ（121-≠k k ）3、夹角：12121tan kk k k +-=θ4、点到直线距离：2200BA c By Ax d +++=（已知点（p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0）①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0⇒2221B A c c d +-=②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022=+B A d③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是0221=+++C C BY AX 5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --'：（2）点关于线的对称：设p(a 、b)一般方法：如图：(思路1)设P 点关于L 的对称点为P 0(x 0,y 0) 则Kpp 0﹡K L =－1P , P 0中点满足L 方程:解出P 0(x 0,y 0)（思路2）写出过P ⊥L 的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出P 0(x 0,y 0)的坐标。
2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块14-直线与圆
(一) 直线与直线的方程 1、直线的倾斜角与斜率锐角直角钝角零角▪直线的倾斜角图形○ 温馨提示1. 直线都存在唯一的倾斜角, 但不一定存在斜率, 倾斜角为90∘的直线没有斜率.2. 直线的斜率和倾斜角都是刻画直线倾斜程度的量, 斜率侧重于代数角度, 倾斜角侧重于几何角度.3. 由直线的斜率k的范围求倾斜角α的范围时,要注意α的取值范围,即0∘≤α< 90∘或90∘<α<180∘ ,此时k=tanα的图象是不连续的.模块十四：直线与圆的方程1 直线的倾斜角 强调“两个方向”: x 轴的正向，直线向上的 1. 直线的倾斜角的定义 方向; 直线相对于 x 轴正向的倾斜程度.当直线 l 与 x 轴相交时,我们以 x 轴为基准, x 轴正向与直线 l 向上的方向之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角. 当直线 l 和 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为 0∘ . 直线的倾斜角 α 的取值 范围为 0∘≤α<180∘ . 2. 直线的倾斜角的意义1) 直线的倾斜角体现了直线相对于 x 轴正向的倾斜程度.2) 在平面直角坐标系中, 每一条直线都有一 个确定的倾斜角. 3) 如图所示, 倾斜角相同, 未必表示同一条直线. 2 直线的斜率 一条直线有唯一的倾斜角, 但一个倾斜 1.直线的斜率 角可以对应无数条直线.倾斜角不是 90∘ 的直线,它的倾斜角 α 的正切值叫做这条直 线的斜率. 斜率通常用 k 表示,即 k =tanα,0∘≤α<180∘ ,且 α 900. 当倾斜角 α=90∘ 时，直线的斜率不存在2. 直线的斜率公式 P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)k =(y 2−y 1x 2−x 1) 或 k =(y 1−y 2x 1−x 2) (x 1≠x 2) 的直线的斜率公式: 3 斜率与倾斜角的关系注: “/”表示“逐渐增大”. ○ 直线的方向向量图示P 1P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是直线的方 向向量.若直线 l 1,l 2 重合，仍然有 k 1 =‰，这是利用斜率证明三 点共线的方法当 l 1,l 2 的斜率都不存在时, 两直线也平行。
高中数学直线和圆知识点总结+习题
直线和圆一．直线1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈（1）[0,2πθ∈时，0k ≥；（2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2πθπ∈时，0k <（4）当倾斜角从0︒增加到90︒时，斜率从0增加到+∞；当倾斜角从90︒增加到180︒时，斜率从-∞增加到02．直线方程（1）点斜式：)(00x x k y y -=-（2）斜截式：y kx b =+（3）两点式：121121x x x x y y y y --=--（4）截距式：1x y a b +=（5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式（1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP =（2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离：d =（3）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++=的距离：d =4．位置关系（1）截距式：y kx b =+形式重合：1212k k b b ==相交：12k k ≠平行：1212 k k b b =≠垂直：121k k ⋅=-（2）一般式：0Ax By C ++=形式重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B =平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠垂直：12120A AB B +=相交：1221A B A B ≠5．直线系1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l ）二．圆1．圆的方程（1）标准形式：222()()x a y b R -+-=（0R >）（2）一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->）（3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+⎧⎨=+⎩（θ是参数）【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决.（4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--=2．位置关系（1）点00(,)P x y 和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系：当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外（2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系：判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++=的距离d =R 的大小关系当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）；当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）；当d R <时，直线和圆相离（无交点）；判断直线与圆的位置关系常见的方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系．(2)代数法：联立直线与圆的方程消元后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内可判断直线与圆相交．3．圆和圆的位置关系判断圆心距12d O O =与两圆半径之和12R R +，半径之差12R R -（12R R >）的大小关系当12d R R >+时，两圆相离，有4条公切线；当12d R R =+时，两圆外切，有3条公切线；当1212R R d R R -<<+时，两圆相交，有2条公切线；当12d R R =-时，两圆内切，有1条公切线；当120d R R ≤<-时，两圆内含，没有公切线；4．当两圆相交时，两圆相交直线方程等于两圆方程相减5．弦长公式：l =例题：例1若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围是________．例2已知两圆C 1：x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，C 2：x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，则两圆公共弦所在的直线方程是____________．例3设直线x －my －1＝0与圆(x －1)2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，则实数m 的值是________．例4若a ，b ，c 是直角三角形ABC 三边的长(c 为斜边)，则圆C ：x 2＋y 2＝4被直线l ：ax ＋by ＋c ＝0所截得的弦长为________．例5已知⊙M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点．(1)若|AB |＝423，求|MQ |及直线MQ 的方程；(2)求证：直线AB 恒过定点．例6过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为________．例7圆x 2－2x ＋y 2－3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为________．例8圆心在原点且与直线x ＋y －2＝0相切的圆的方程为____________________．例9已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为________________．例10(1)与曲线C ：x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0相内切，同时又与直线l ：y ＝2－x 相切的半径最小的圆的半径是________．(2)已知实数x ，y 满足(x －2)2＋(y ＋1)2＝1则2x －y 的最大值为________，最小值为________．例11已知x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则y －2x －1的最小值为________．例12已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2＋y 2－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．例13平面直角坐标系xoy 中，直线10x y -+=截以原点O （1）求圆O 的方程；（2）若直线l 与圆O 切于第一象限，且与坐标轴交于D ，E ，当DE 长最小时，求直线l 的方程；（3）设M ，P 是圆O 上任意两点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线MP 、NP 分别交于x 轴于点（m ，０）和（n ，０），问mn 是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．例14圆x 2+y 2=8内一点P （－1，2），过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A 、B 两点.（1）当α=43π时,求AB 的长；（2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.例15已知半径为5的动圆C 的圆心在直线l :x －y +10=0上.(1)若动圆C 过点(－5,0),求圆C 的方程;(2)是否存在正实数r ,使得动圆C 中满足与圆O :x 2+y 2=r 2相外切的圆有且仅有一个，若存在,请求出来;若不存在,请说明理由.。
高考数学复习考点题型专题讲解20 直线与圆
高考数学复习考点题型专题讲解专题20 直线与圆高考定位考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.1.(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为( )A.1B. 2C.3D.2答案 B解析记点A(0，－1)，直线l：y＝k(x＋1)，由l恒过定点B(－1，0)，当AB⊥l时，点A(0，－1)到直线y＝k(x＋1)的距离最大，最大值为 2.故选B.2.(2022·北京卷)若直线2x＋y－1＝0是圆(x－a)2＋y2＝1的一条对称轴，则a＝( )A.12B.－12C.1D.－1答案 A解析依题意可知圆心坐标为(a，0)，又直线2x＋y－1＝0是圆的一条对称轴，所以2a＋0－1＝0，所以a＝12，故选A.3.(多选)(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( )A.点P到直线AB的距离小于10B.点P到直线AB的距离大于2C.当∠PBA最小时，|PB|＝3 2D.当∠PBA最大时，|PB|＝3 2答案ACD解析设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5，5)，半径为4，由题意知直线AB的方程为x4＋y2＝1，即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝|5＋2×5－4|5＝115>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋115，又4＋115<5＋1255＝10，故A正确；易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝115－4，又115－4<1255－4＝1，故B不正确；过点B作圆M的两条切线，切点分别为N，Q，如图所示，连接MB，MN，MQ，则当∠PBA 最小时，点P与N重合，|PB|＝|MB|2－|MN|2＝52＋（5－2）2－42＝32；当∠PBA 最大时，点P 与Q 重合，|PB |＝32，故C ，D 都正确.综上，选ACD. 4.(2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为________.答案 (x －2)2＋(y －3)2＝13或(x －2)2＋(y －1)2＝5或(x －43)2＋(y －73)2＝659或(x －85)2＋(y －1)2＝16925解析 依题意设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，其中D 2＋E 2－4F ＞0. 若过(0，0)，(4，0)，(－1，1)，则⎩⎨⎧F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，1＋1－D ＋E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧F ＝0，D ＝－4，E ＝－6，满足D 2＋E 2－4F ＞0，所以圆的方程为x 2＋y 2－4x －6y ＝0， 即(x －2)2＋(y －3)2＝13； 若过(0，0)，(4，0)，(4，2)，则⎩⎨⎧F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0， 解得⎩⎨⎧F ＝0，D ＝－4，E ＝－2，满足D 2＋E 2－4F ＞0，所以圆的方程为x 2＋y 2－4x －2y ＝0， 即(x －2)2＋(y －1)2＝5；若过(0，0)，(－1，1)，(4，2)，则⎩⎨⎧F ＝0，1＋1－D ＋E ＋F ＝0，16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＝－83，E ＝－143，满足D 2＋E 2－4F ＞0， 所以圆的方程为x 2＋y 2－83x －143y ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －732＝659；若过(－1，1)，(4，0)，(4，2)，则⎩⎨⎧1＋1－D ＋E ＋F ＝0，16＋4D ＋F ＝0，16＋4＋4D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧F ＝－165，D ＝－165，E ＝－2，满足D 2＋E 2－4F ＞0， 所以圆的方程为x 2＋y 2－165x －2y －165＝0， 即⎝⎛⎭⎪⎫x －852＋(y －1)2＝16925.5.(2022·新高考Ⅰ卷)写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程________.答案 x ＝－1或7x －24y －25＝0或3x ＋4y －5＝0(答案不唯一，只需写出上述三个方程中的一个即可)解析 如图，因为圆x 2＋y 2＝1的圆心为O (0，0)，半径r 1＝1，圆(x －3)2＋(y －4)2＝16的圆心为A (3，4)，半径r 2＝4，所以|OA |＝5，r 1＋r 2＝5，所以|OA |＝r 1＋r 2，所以两圆外切，公切线有三种情况： ①易知公切线l 1的方程为x ＝－1.②另一条公切线l 2与公切线l 1关于过两圆圆心的直线l 对称. 易知过两圆圆心的直线l 的方程为y ＝43x ，由⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝43x 得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－43，由对称性可知公切线l 2过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－43.设公切线l 2的方程为y ＋43＝k (x ＋1)，因为点O (0，0)到l 2的距离为1， 所以1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪k －43k 2＋1，解得k ＝724，所以公切线l 2的方程为y ＋43＝724(x ＋1)，即7x －24y －25＝0.③还有一条公切线l 3与直线l ：y ＝43x 垂直，设公切线l 3的方程为y ＝－34x ＋t ，易知t >0，因为点O (0，0)到l 3的距离为1， 所以1＝|t |⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＋（－1）2，解得t ＝54或t ＝－54(舍去)，所以公切线l 3的方程为y ＝－34x ＋54，即3x ＋4y －5＝0.综上，所求直线方程为x＝－1或7x －24y －25＝0或3x ＋4y －5＝0.热点一 直线的方程及应用1.已知直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为零)，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为零)，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且A 1C 2－A 2C 1≠0；l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2.两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B2(A 2＋B 2≠0). 3.点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2(A 2＋B 2≠0). 例1 (1)已知直线3x ＋2y －3＝0与直线6x ＋my ＋7＝0互相平行，则它们之间的距离是( )A.4B.132C.21313D.71326(2)已知直线l 1：mx ＋y －1＝0，l 2：(2m ＋3)x ＋my －1＝0，m ∈R ，则“m ＝－2”是“l 1⊥l 2”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案(1)B (2)A解析(1)由直线3x＋2y－3＝0与6x＋my＋7＝0互相平行，得m＝4，所以两直线方程分别为3x＋2y－3＝0与3x＋2y＋72＝0，所以它们之间的距离是⎪⎪⎪⎪⎪⎪72－（－3）32＋22＝132.故选B.(2)若l1⊥l2，则m(2m＋3)＋m＝0，解得m＝0或m＝－2，所以“m＝－2”是“l1⊥l2”的充分不必要条件.故选A.易错提醒 1.求解两条直线的平行或垂直问题时要考虑斜率不存在的情况；求解两条直线平行问题时，要注意排除两条直线重合的情况.2.求两平行直线间的距离时，需注意直线方程中x，y对应的系数相等.训练1 (1)已知直线l1：x＋(2a－1)y＋2a－3＝0，l2：ax＋3y＋a2＋4＝0，则“l1∥l2”是“a＝32”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(多选)(2022·南通模拟)已知直线l过点(3，4)，点A(－2，2)，B(4，－2)到l的距离相等，则l的方程可能是( )A.x－2y＋2＝0B.2x－y－2＝0C.2x＋3y－18＝0D.2x－3y＋6＝0答案 (1)C (2)BC解析 (1)若l 1∥l 2，则a (2a －1)＝3， 且a 2＋4≠a (2a －3)， 解得a ＝32，所以充分性成立；当a ＝32时，l 1：x ＋2y ＝0，l 2：x ＋2y ＋256＝0，显然l 1∥l 2，所以必要性成立. 故“l 1∥l 2”是“a ＝32”的充要条件.(2)A ，B 在直线l 同侧时，k l ＝k AB ＝－2－24＋2＝－23，∴l ：y ＝－23(x －3)＋4，即2x ＋3y －18＝0，A ，B 在直线l 异侧时，l 过AB 中点M (1，0)，∴k l ＝0－41－3＝2，∴l ：y ＝2(x －3)＋4，即2x －y －2＝0，故选：BC.热点二 圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝⎛⎭⎪⎫－D2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F2.例2 (1)(多选)(2022·潍坊调研)设圆A ：x 2＋y 2－2x －3＝0，则下列说法正确的是( ) A.圆A 的半径为2B.圆A 截y 轴所得的弦长为2 3C.圆A 上的点到直线3x －4y ＋12＝0的最小距离为1D.圆A 与圆B ：x 2＋y 2－8x －8y ＋23＝0相离(2)(2022·全国甲卷)设点M 在直线2x ＋y －1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M 上，则⊙M 的方程为________.答案 (1)ABC (2)(x －1)2＋(y ＋1)2＝5解析 (1)把圆A 的方程x 2＋y 2－2x －3＝0化成标准方程为(x －1)2＋y 2＝4， 所以圆A 的圆心坐标为(1，0)，半径为2，A 正确； 圆A 截y 轴所得的弦长|CD |＝2×4－1＝23，B 正确； 圆心(1，0)到直线3x －4y ＋12＝0的距离为3，故圆A 上的点到直线3x －4y ＋12＝0的最小距离为3－2＝1，C 正确；圆B ：x 2＋y 2－8x －8y ＋23＝0的圆心为(4，4)，半径为3，根据（4－1）2＋42＝5可知，圆A 与圆B 外切，D 错误.故选ABC. (2)法一 设⊙M 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎨⎧2a ＋b －1＝0，（3－a ）2＋b 2＝r 2，a 2＋（1－b ）2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－1，r 2＝5，∴⊙M 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5.法二 设⊙M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则M (－D 2，－E2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2·（－D 2）＋（－E2）－1＝0，9＋3D ＋F ＝0，1＋E ＋F ＝0，解得⎩⎨⎧D ＝－2，E ＝2，F ＝－3，∴⊙M 的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝5. 规律方法 解决圆的方程问题一般有两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.训练2 (1)已知圆C 与x 轴的正半轴相切于点A ，圆心在直线y ＝2x 上，若点A 在直线x －y －4＝0的左上方且到该直线的距离等于2，则圆C 的标准方程为( ) A.(x －2)2＋(y ＋4)2＝4B.(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝16 C.(x －2)2＋(y －4)2＝4D.(x －2)2＋(y －4)2＝16(2)已知直线l 过点A (a ，0)且斜率为1，若圆x 2＋y 2＝4上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A.32B.±3 2C.±2D.± 2 答案 (1)D (2)D解析 (1)∵圆C 的圆心在直线y ＝2x 上， ∴可设C (a ，2a )，又圆C 与x 轴的正半轴相切于点A ， ∴a >0，且圆C 的半径r ＝2a ，A (a ，0). ∵点A 到直线x －y －4＝0的距离d ＝2， ∴d ＝|a －0－4|1＋1＝2，解得a ＝6或a ＝2， ∴A (2，0)或A (6，0)，又点A 在直线x －y －4＝0的左上方， ∴A (2，0)，∴C (2，4)，r ＝4，∴圆C 的标准方程为(x －2)2＋(y －4)2＝16.故选D. (2)因为直线l 过点A (a ，0)且斜率为1， 所以其方程为y ＝x －a ， 即x －y －a ＝0.因为圆x 2＋y 2＝4上恰有3个点到l 的距离为1， 所以圆心到直线的距离为1， 即|－a |2＝1，解得a ＝± 2.故选D. 热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：相交、相切和相离. 判断方法：(1)点线距离法(几何法).(2)判别式法：设圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)，方程组⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，（x －a ）2＋（y －b ）2＝r 2，消去y ，得到关于x 的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ<0，直线与圆相切⇔Δ＝0，直线与圆相交⇔Δ>0.2.圆与圆的位置关系，即内含、内切、相交、外切、外离.考向1 直线与圆的位置关系例3 (1)(2022·北京石景山区二模)已知圆C ：(x －3)2＋y 2＝9，过点D (1，2)的直线l 与圆C 交于A ，B 两点，则弦AB 长度的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4(2)(2022·新高考Ⅱ卷)设点A (－2，3)，B (0，a )，若直线AB 关于y ＝a 对称的直线与圆(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，则a 的取值范围是________. 答案 (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32解析 (1)根据题意圆C ：(x －3)2＋y 2＝9，圆心C (3，0)，半径为3，点D (1，2)在圆C 的内部.当直线DC 垂直于直线l 时，即点D 为AB 的中点时，弦AB 最短. ∵|DC |＝（3－1）2＋（0－2）2＝22， ∴|AB |min ＝2r 2－|DC |2＝29－8＝2. 故选B.(2)法一 由题意知点A (－2，3)关于直线y ＝a 的对称点为A ′(－2，2a －3)， 所以k A ′B ＝3－a 2，所以直线A ′B 的方程为y ＝3－a2x ＋a ，即(3－a )x －2y ＋2a ＝0. 由题意知直线A ′B 与圆(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点， 易知圆心为(－3，－2)，半径为1， 所以|－3（3－a ）＋（－2）×（－2）＋2a |（3－a ）2＋（－2）2≤1，整理得6a 2－11a ＋3≤0，解得13≤a ≤32，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32.法二 易知(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1关于y 轴对称的圆的方程为(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，由题意知该对称圆与直线AB 有公共点.直线AB 的方程为y ＝a －32x ＋a ，即(a －3)x －2y ＋2a ＝0，又对称圆的圆心为(3，－2)，半径为1， 所以|3（a －3）＋（－2）×（－2）＋2a |（a －3）2＋（－2）2≤1， 整理得6a 2－11a ＋3≤0，解得13≤a ≤32，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32.法三 易知(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1关于y 轴对称的圆的方程为(x －3)2＋(y ＋2)2＝1， 由题意知该对称圆与直线AB 有公共点. 设直线AB 的方程为y －3＝k (x ＋2)， 即kx －y ＋3＋2k ＝0，因为对称圆的圆心为(3，－2)，半径为1， 所以|5k ＋5|k 2＋（－1）2≤1，解得－43≤k ≤－34，又k ＝a －32，所以－43≤a －32≤－34， 解得13≤a ≤32，所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32.考向2 圆与圆的位置关系例4 (1)(2022·台州调研)已知圆O 1：x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0与圆O 2：x 2＋y 2＝4有且仅有两条公共切线，则正数a 的取值范围为( ) A.(0，1) B.(0，3) C.(1，3) D.(3，＋∞)(2)(多选)已知圆C 1：x 2＋y 2－10x －10y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2－6x ＋2y －40＝0，则( )A.两圆相交B.公共弦长为410C.两圆相离D.公共弦长为210 答案 (1)C (2)AB解析 (1)由题意知圆O 1与圆O 2相交，圆O 1：x 2－2ax ＋y 2＋a 2－1＝0的圆心(a ，0)，半径为1.所以1<a 2<3，又a >0，解得a ∈(1，3)， 故选C.(2)由题意知，圆C 1的标准方程为(x －5)2＋(y －5)2＝50， ∴圆心为C 1(5，5)，半径为r 1＝52， 圆C 2的标准方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝50， ∴圆心为C 2(3，－1)，半径为r 2＝52， ∴两圆的圆心距d ＝（5－3）2＋[5－（－1）]2＝210， ∴|r 1－r 2|<d <r 1＋r 2，∴两圆相交，故选项A 正确，选项C 错误； 设两圆的公共弦长为L ， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫L 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫d 22＝r 2(r ＝r 1＝r 2)， ∴L ＝410，故选项B 正确，选项D 错误.故选AB.规律方法 1.与圆的弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d ，及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.2.两圆相交公共弦的方程可通过两圆方程相减求得，进而在一个圆内，利用垂径定理求公共弦长.训练3(多选)(2022·武汉模拟)已知直线l：kx－y－k＋1＝0，圆C的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝16，则下列选项正确的是( )A.直线l与圆一定相交B.当k＝0时，直线l与圆C交于两点M，N，点E是圆C上的动点，则△MNE面积的最大值为37C.当l与圆有两个交点M，N时，|MN|的最小值为2 6D.若圆C与坐标轴分别交于A，B，C，D四个点，则四边形ABCD的面积为48答案AC解析∵直线l：kx－y－k＋1＝0过定点P(1，1).又(1－2)2＋(1＋2)2＝10<16，∴点P在圆内，因此直线与圆一定相交，故A正确；当k＝0时，直线y＝1，代入圆的方程得(x－2)2＋(1＋2)2＝16，解得x＝2±7，因此|MN|＝27，∵圆心为(2，－2)，圆半径为r＝4，∴圆心到直线l的距离为d＝3，因此E到直线l的距离的最大值为h＝4＋3＝7，∴△MNE面积最大值为S＝12×7×27＝77，故B错误；当l与圆有两个交点M，N时，|MN|最小，PC⊥l，|PC|＝（1－2）2＋（1＋2）2＝10，因此|MN |min ＝242－（10）2＝26，故C 正确；在圆方程(x －2)2＋(y ＋2)2＝16中分别令x ＝0和y ＝0可求得圆与坐标轴的交点坐标为A (2－23，0)，B (2＋23，0)，C (0，－2＋23)，D (0，－2－23)， ∴|AB |＝43，|CD |＝43，四边形ABCD 的面积为S ＝12×43×43＝24，故D 错误.故选AC. 热点四 隐圆问题在解决某些解析几何问题时，题设条件看似与圆毫无关系，但通过对题目条件的分析、转化后，会发现此问题与圆有关，进而利用圆的性质解题，一般我们称之为隐圆问题. 例5(2022·济南模拟)已知直线kx －y ＋2k ＝0与直线x ＋ky －2＝0相交于点P ，点A (4，0)，O 为坐标原点，则tan∠OAP 的最大值为( )A.2－3B.33 C.1 D. 3答案 B解析 直线kx －y ＋2k ＝0恒过定点M (－2，0)，直线x ＋ky －2＝0恒过定点N (2，0)， 又易知两直线垂直，故P 点轨迹是以(0，0)为圆心，2为半径的圆，除去与x 轴的交点， 于是得x 2＋y 2＝4(x ≠±2)，如图，观察图形可知，射线AP 绕点A 旋转∠OAP ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，当旋转到与圆O ：x 2＋y 2＝4相切时，∠OAP 最大，因为|OA|＝4，AP′为切线，点P′为切点，|OP′|＝2，∠OP′A＝π2，则∠OAP′＝π6，所以∠OAP最大值为π6，所以(tan∠OAP)max＝tan π6＝33.规律方法确定隐圆的几种方法：(1)借助圆的定义；(2)借助距离的平方和为常数；(3)借助平面向量的数量积为定值；(4)借助距离比值为常数(PAPB＝λ，λ>0且λ≠1，动点P的轨迹为阿波罗尼斯圆).训练4 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2)，若圆C上存在点M，满足|MA|2＋|MO|2＝10，则实数a的取值范围是________.答案[0，3]解析设M(x，y)，由|MA|2＋|MO|2＝10可得x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，即x2＋(y－1)2＝4，则点M在圆x2＋(y－1)2＝4上，由题目条件可知点M在圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上，所以两圆相交或相切，则2－1≤（a－0）2＋（a－2－1）2≤1＋2，解得0≤a≤3.一、基本技能练1.过点A(1，2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )A.x－y＋1＝0B.x＋y－3＝0C.2x－y＝0或x＋y－3＝0D.2x－y＝0或x－y＋1＝0答案 D解析当直线过原点时，满足题意，方程为y＝2x，即2x－y＝0；当直线不过原点时，设方程为xa＋y－a＝1，∵直线过(1，2)，∴1a－2a＝1，∴a＝－1，∴方程为x－y＋1＝0，故选D.2.已知圆C：x2＋y2＝r2(r>0)，直线l：x＋3y－2＝0，则“r>3”是“直线l与圆C相交”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案 A解析由题意知圆心(0，0)到直线x＋3y－2＝0的距离d＝|－2|1＋3＝1，当r>3时，直线与圆相交，当直线与圆相交，则d＝1<r，故“r>3”是“直线l与圆C相交”的充分不必要条件.故选A.3.(2022·厦门模拟)已知O为坐标原点，直线l：y＝kx＋(2－2k)上存在一点P，使得|OP|＝2，则k的取值范围为( )A.[3－2，3＋2]B.(－∞，2－3]∪[2＋3，＋∞)C.[2－3，2＋3]D.(－∞，3－2]∪[3＋2，＋∞)解析 点O (0，0)到直线l ：y ＝kx ＋(2－2k )的距离d ＝|2－2k |k 2＋1. 由题意得坐标原点到直线l 距离d ≤|OP |， 所以|2－2k |k 2＋1≤2， 解得2－3≤k ≤2＋3，故k 的取值范围为[2－3，2＋3]，故选C.4.(2022·北京海淀区一模)已知直线l ：ax ＋by ＝1是圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0的一条对称轴，则ab 的最大值为( )A.14B.12 C.1 D. 2 答案 A解析 圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0的圆心为(1，1)，直线l ：ax ＋by ＝1是圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0的一条对称轴. 可得a ＋b ＝1， 则ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14， 当且仅当a ＝b ＝12时，取等号.所以ab 的最大值为14，故选A.5.(2022·西安模拟)过点P (5，1)作圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的割线l 交圆C 于A ，B 两点，点C 到直线l 的距离为1，则PA →·PB →的值是( ) A.32 B.33 C.6 D.不确定解析 由题意，可得向量PA →与PB →共线且方向相同，圆C 的圆心为(－1，2)，半径为2，如图所示，其中PD 为切线，根据切割线定理，则PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|＝|PD →|2＝|PC →|2－|CD →|2＝62＋12－22＝33.故选B.6.(2022·广州二模)已知直线x ＋y ＋1＝0与x ＋2y ＋1＝0相交于点A ，过点A 的直线l 与圆M ：x 2＋y 2＋4x ＝0相交于点B ，C ，且∠BMC ＝120°，则满足条件的直线l 的条数为( )A.0B.1C.2D.3 答案 B解析 由题意得点A (－1，0)，圆M ：x 2＋y 2＋4x ＝0的标准方程为(x ＋2)2＋y 2＝4，圆心(－2，0)，半径r ＝2， 由∠BMC ＝120°，可得圆心M 到直线l 的距离d ＝1，直线l 过点A (－1，0)， 当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝－1， 圆心M 到直线l 的距离d ＝1，符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0. 圆心M (－2，0)到直线l 的距离d ＝|－2k －0＋k |k 2＋1＝|－k |k 2＋1＝1，此方程无解.故满足条件的直线l 的条数为1，故选B.7.已知两条直线l 1：2x －3y ＋2＝0，l 2：3x －2y ＋3＝0，有一动圆(圆心和半径都在变动)与l 1，l 2都相交，并且l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24，则动圆圆心的轨迹方程为( )A.(y－1)2－x2＝65B.x2－(y－1)2＝65C.y2－(x＋1)2＝65D.(x＋1)2－y2＝65 答案 D解析设动圆圆心P(x，y)，半径为r，则P到l1的距离d1＝|2x－3y＋2|13，P到l2的距离d2＝|3x－2y＋3|13，因为l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24.∴2r2－d21＝26，2r2－d22＝24，化简后得r2－d21＝169，r2－d22＝144，相减得d22－d21＝25，将d1，d2代入距离公式后化简可得(x＋1)2－y2＝65，故选D.8.(2022·江门模拟)已知M是圆C：x2＋y2＝1上一个动点，且直线l1：mx－ny－3m＋n ＝0与直线l2：nx＋my－3m－n＝0(m，n∈R，m2＋n2≠0)相交于点P，则|PM|的取值范围是( )A.[3－1，23＋1]B.[2－1，32＋1]C.[2－1，22＋1]D.[2－1，33＋1]答案 B解析依题意，直线l1：m(x－3)－n(y－1)＝0恒过定点A(3，1)，直线l2：n(x－1)＋m(y－3)＝0恒过定点B(1，3)，显然直线l1⊥l2，因此，直线l1与l2交点P的轨迹是以线段AB为直径的圆，其方程为：(x－2)2＋(y－2)2＝2，圆心N(2，2)，半径r2＝2，而圆C 的圆心C (0，0)，半径r 1＝1， 如图：|NC |＝22>r 1＋r 2，所以两圆外离，由圆的几何性质得： |PM |min ＝|NC |－r 1－r 2＝2－1， |PM |max ＝|NC |＋r 1＋r 2＝32＋1，所以|PM |的取值范围是[2－1，32＋1].故选B.9.(多选)已知直线l 1：(a ＋1)x ＋ay ＋2＝0，l 2：ax ＋(1－a )y －1＝0，则( ) A.l 1恒过点(2，－2)B.若l 1∥l 2，则a 2＝12C.若l 1⊥l 2，则a 2＝1D.当0≤a ≤1时，直线l 2不经过第三象限 答案 BD解析 l 1：(a ＋1)x ＋ay ＋2＝0⇔a (x ＋y )＋x ＋2＝0， 令⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝2， 即直线恒过点(－2，2)，故A 不正确；若l 1∥l 2，则有(a ＋1)(1－a )＝a 2，解得a 2＝12，经检验满足条件，故B 正确；若l 1⊥l 2，则有a (a ＋1)＋a (1－a )＝0，解得a ＝0，故C 不正确； 若直线l 2恒过点(1，1)且不经过第三象限，则当1－a ≠0时，a a －1<0，解得0<a <1，当a＝1时，直线l2：x＝1，也不过第三象限，当a＝0时，直线l2：y＝1，也不过第三象限，综上可知，当0≤a≤1时，直线l2不经过第三象限，故D正确.10.(多选)(2022·全国名校大联考)如图，O为坐标原点，B为y轴正半轴上一点，矩形OABC为圆M的内接四边形，OB为直径，|OC|＝3|OA|＝3，过直线2x＋y－4＝0上一点P作圆M的两条切线，切点分别为E，F，则下列结论正确的是( )A.圆M的方程为x2＋(y－1)2＝1B.直线AB的斜率为2C.四边形PEMF的最小面积为2D.PA→·PC→的最小值为4 5答案AD解析由题意可得圆M的直径|OB|＝2，线段OB的中点即为圆M的圆心，所以圆M的方程为x2＋(y－1)2＝1，故A正确；易知∠AOB＝π3，从而可得∠xOC＝π3，所以直线OC的斜率为k OC＝tan π3＝3，由AB∥OC可得直线AB的斜率为k AB＝k OC＝3，故B错误；连接PM，可得Rt△PME≌Rt△PMF，所以四边形PEMF的面积为S＝2S Rt△PME＝|ME|·|PE|＝|PE|＝|PM|2－1，当直线PM与直线2x＋y－4＝0垂直时，|PM|最小，即|PM |min ＝|2×0＋1－4|5＝355，所以S min ＝255，故C 错误；因为PA →·PC →＝(PM →＋MA →)·(PM →＋MC →)＝(PM →＋MA →)·(PM →－MA →)＝PM →2－MA →2＝PM →2－1≥95－1＝45，故D 正确.故选AD.11.(2022·辽宁六校联考)已知直线l 1：y ＝(2a 2－1)x －2与直线l 2：y ＝7x ＋a 平行，则a ＝________. 答案 2解析∵两直线平行，∴⎩⎨⎧2a 2－1＝7，a ≠－2，解得a ＝2. 12.过点M (0，－4)作直线与圆C ：x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0相切于A ，B 两点，则直线AB 的方程为________. 答案x －7y ＋18＝0解析 圆C 的标准方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝4，圆心为C (－1，3)，半径为2， 由圆的切线的性质可得MA ⊥AC ， 则|MA |＝|MC |2－22＝（－1－0）2＋（3＋4）2－22＝46，所以，以点M 为圆心、以|MA |为半径的圆M 的方程为x 2＋(y ＋4)2＝46， 将圆M 的方程与圆C 的方程作差并化简可得x －7y ＋18＝0. 因此直线AB 的方程为x －7y ＋18＝0. 二、创新拓展练13.(多选)(2022·青岛质检)已知圆C1：(x－3)2＋(y－1)2＝4，C2：x2＋(y＋3)2＝1，直线l：y＝k(x－1)，点M，N分别在圆C1，C2上.则下列结论正确的有( )A.圆C1，C2没有公共点B.|MN|的取值范围是[1，7]C.过N作圆C1的切线，则切线长的最大值是4 2D.直线l与圆C1，C2都有公共点时，k≥2 3答案AC解析圆C1的圆心C1(3，1)，半径r1＝2，圆C2的圆心C2(0，－3)，半径r2＝1.对于选项A，圆心距d＝（0－3）2＋（－3－1）2＝5>r1＋r2，所以圆C1，C2外离，选项A正确；对于选项B，|MN|的最小值为d－(r1＋r2)＝2，最大值为d＋(r1＋r2)＝8，选项B错误；对于选项C，连接C1C2与圆C2交于点N(外侧交点)，过N作圆C1的切线，切点为P，此时|NP|最长，在Rt△C1PN中，|NP|＝（d＋r2）2－r21＝62－22＝42，选项C正确；对于选项D，直线l方程化为kx－y－k＝0，圆心C1到直线l的距离|2k－1|k2＋1≤2，解得k≥－3 4，圆心C2到直线l的距离|3－k|k2＋1≤1，解得k≥43，所以直线l与圆C1，C2都有公共点时，k≥43，选项D错误.故选AC.14.(多选)(2022·武汉模拟)过点P(1，1)的直线与圆C：(x－2)2＋y2＝9交于A，B两点，线段MN是圆C的一条动弦，且|MN|＝42，则( )A.△ABC面积的最大值为92B.△ABC面积的最大值为14C.|AB|的最小值为27D.|PM→＋PN→|的最小值为22－2 答案BCD解析设圆心C到直线AB的距离为d，由题意得0≤d≤2，|AB|＝29－d2，则S△ABC＝12|AB|·d＝12×29－d2·d＝9d2－d4＝－⎝⎛⎭⎪⎫d2－922＋814，当d2＝2时，(S△ABC)max＝14，故A错误，B正确；由0≤d≤2，|AB|＝29－d2知|AB|min＝29－2＝27，C正确；过圆心C作CE⊥MN于点E，则点E为MN的中点，又|MN|＝42，则|CE|＝9－8＝1，即点E的轨迹为圆(x－2)2＋y2＝1.因为|PM→＋PN→|＝2|PE→|，且|PE→|min＝|PC|－1＝2－1，所以|PM→＋PN→|的最小值为22－2，故D正确.因此应选BCD.15.(多选)(2022·南通调研)P是直线y＝2上的一个动点，过点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，A，B为切点，则( )A.弦长|AB|的最小值为3B.存在点P，使得∠APB＝90°C.直线AB经过一个定点D.线段AB的中点在一个定圆上答案ACD解析 依题意|OP |2＝|AP |2＋|AO |2＝|AP |2＋1，设AB ∩OP ＝C ，则C 为AB 的中点，且OP ⊥AB ，所以|AC |＝|AP |·|AO ||OP |＝|AP ||OP |，所以|AB |＝2|AC |＝2|OP |2－|AO |2|OP |＝21－1|OP |2，sin∠APB 2＝|OA ||OP |＝1|OP |， 又|OP |∈[2，＋∞)，所以sin∠APB 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，|AB |∈[3，2)，所以|AB |min ＝3，(∠APB )max＝60°，故A 正确，B 不正确；设P (t ，2)，则|OP |＝t 2＋4，所以以OP 为直径的圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －t 22＋(y －1)2＝14t 2＋1， 则⎝ ⎛⎭⎪⎫x －t 22＋(y －1)2－(x 2＋y 2)＝14t 2＋1－1，即tx ＋2y ＝1，则直线AB 的方程为tx ＋2y＝1，所以直线AB 过定点M ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，故C 正确；又OC ⊥MC ，|OM |＝12，所以AB 的中点C 在以OM 为直径的圆上，故D 正确；故选ACD.16.在平面直角坐标系xOy 中，圆x 2＋y 2＝1交x 轴于A ，B 两点，且点A 在点B 的左侧，若直线x ＋3y ＋m ＝0上存在点P ，使得|PA |＝2|PB |，则实数m 的取值范围为________. 答案⎣⎢⎡⎦⎥⎤－133，1解析 由题意得A (－1，0)，B (1，0)，设P (x ，y )， 则由|PA |＝2|PB |，得（x ＋1）2＋y 2＝2（x －1）2＋y 2， 即⎝⎛⎭⎪⎫x －532＋y 2＝169， 因此圆⎝⎛⎭⎪⎫x －532＋y 2＝169与直线x ＋3y ＋m ＝0有交点，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪53＋m 2≤43，解得－133≤m ≤1.故实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－133，1.17.在平面直角坐标系xOy 中，过点A (0，－3)的直线l 与圆C ：x 2＋(y －2)2＝9相交于M ，N 两点，若S △AON ＝65S △ACM ，则直线l 的斜率为________.答案 ±3147解析 由题意得C (0，2)，直线MN 的斜率存在， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线MN 的方程为y ＝kx －3， 与x 2＋(y －2)2＝9联立，得(k 2＋1)x 2－10kx ＋16＝0，Δ＝100k 2－64(k 2＋1)＝36k 2－64>0， 得k 2>169，x 1＋x 2＝10k k 2＋1，x 1x 2＝16k 2＋1. 因为S △AON ＝65S △ACM ，所以12×3×|x 2|＝65×12×|2－(－3)|×|x 1|，则|x 2|＝2|x 1|，于是x 2＝2x 1，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＝10kk 2＋1，2x 21＝16k 2＋1两式消去x 1得k 2＝187，满足Δ>0，所以k ＝±3147. 18.(2022·浙江五校联考)已知实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －2)2＝1，则z ＝2x ＋yx 2＋y 2的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，115 解析 方程(x －1)2＋(y －2)2＝1表示的是以C (1，2)为圆心，1为半径的圆，圆心C (1，2)在直线2x ＋y ＝0上方，且可知2x ＋y >0.设圆C 上任意一点P (x ，y )，过点P 作直线2x ＋y ＝0的垂线，垂足为H ，则z ＝2x ＋y x 2＋y 2＝5|2x ＋y |5x 2＋y 2＝5|PH ||OP |＝5sin∠POH .设过坐标原点的切线为y ＝kx ， 由|k －2|k 2＋1＝1可得k＝34， 所以该圆过坐标原点的切线方程为x ＝0和y ＝34x ，两个切点分别为P 1(0，2)，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫85，65，且∠POH <π2，所以当P (x ，y )在点P 1(0，2)时， sin∠POH 最小，此时z min ＝1；当P (x ，y )在点P 2⎝⎛⎭⎪⎫85，65时，sin∠POH 最大，此时z max ＝115， 所以z ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，115.。
历年高三数学高考考点之直线与圆必会题型及答案
历年高三数学高考考点之<直线与圆>必会题型及答案体验高考1.平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D.2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 答案 A解析 设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题意有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0，故选A.2.过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |等于( ) A.26B.8C.46D.10 答案 C解析 由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A ，B ，C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝46，选C.3.一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )A.－53或－35B.－32或－23C.－54或－45D.－43或－34答案 D解析 由已知，得点(－2，－3)关于y 轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3).设反射光线所在直线的斜率为k ， 则反射光线所在直线的方程为y ＋3＝k (x －2)， 即kx －y －2k －3＝0.由反射光线与圆相切，则有d ＝|－3k －2－2k －3|k 2＋1＝1，解得k ＝－43或k ＝－34，故选D.4.已知平行直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：2x ＋y ＋1＝0，则l 1，l 2的距离为______. 答案255解析 d ＝|1＋1|22＋12＝255. 5.已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 答案 4解析 设AB 的中点为M ，由题意知， 圆的半径R ＝23，|AB |＝23， 所以|OM |＝3，解得m ＝－33， 由⎩⎨⎧x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2，0)，D (2，0)， 所以|CD |＝4.高考必会题型题型一 直线方程的求法与应用例1 (1)若点P (1，1)为圆(x －3)2＋y 2＝9的弦MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为( ) A.2x ＋y －3＝0 B.x －2y ＋1＝0 C.x ＋2y －3＝0 D.2x －y －1＝0答案 D解析 由题意知圆心C (3，0)，k CP ＝－12.由k CP ·k MN ＝－1，得k MN ＝2，所以弦MN 所在直线的方程是2x －y －1＝0.(2)已知△ABC 的顶点A (3，－1)，AB 边上的中线所在直线方程为6x ＋10y －59＝0，∠B 的平分线所在直线方程为x －4y ＋10＝0，求BC 边所在直线的方程. 解 设B (4y 1－10，y 1)，由AB 中点在6x ＋10y －59＝0上，可得：6·4y 1－72＋10·y 1－12－59＝0，y 1＝5，∴B (10，5).设A 点关于x －4y ＋10＝0的对称点为A ′(x ′，y ′)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ′＋32－4·y ′－12＋10＝0，y ′＋1x ′－3·14＝－1⇒A ′(1，7)，∵点A ′(1，7)，B (10，5)在直线BC 上，∴y －57－5＝x －101－10，故BC 边所在直线的方程是2x ＋9y －65＝0. 点评 (1)两条直线平行与垂直的判定①若两条不重合的直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2存在，则l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1； ②判定两直线平行与垂直的关系时，如果给出的直线方程中存在字母系数，不仅要考虑斜率存在的情况，还要考虑斜率不存在的情况. (2)求直线方程的常用方法①直接法：直接选用恰当的直线方程的形式，写出结果；②待定系数法：先由直线满足的一个条件设出直线方程，使方程中含有一个待定系数，再由题给的另一条件求出待定系数.变式训练1 已知直线l 经过直线3x ＋4y －2＝0与直线2x ＋y ＋2＝0的交点P ，且垂直于直线x －2y －1＝0. (1)求直线l 的方程；(2)求直线l 关于原点O 对称的直线方程.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2.所以点P 的坐标是(－2，2)，又因为直线x －2y －1＝0， 即y ＝12x －12的斜率为k ′＝12，由直线l 与x －2y －1＝0垂直可得k l ＝－1k ′＝－2， 故直线l 的方程为：y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0.(2)直线l 的方程2x ＋y ＋2＝0在x 轴、y 轴上的截距分别是－1与－2，则直线l 关于原点对称的直线在x 轴、y 轴上的截距分别是1与2， 所求直线方程为x 1＋y2＝1，即2x ＋y －2＝0.题型二 圆的方程例2 (1)如图，已知圆C 与x 轴相切于点T (1，0)，与y 轴正半轴交于两点A ，B (B 在A 的上方)，且|AB |＝2.①圆C 的标准方程为________________.②圆C 在点B 处的切线在x 轴上的截距为________.答案 ①(x －1)2＋(y －2)2＝2 ②－2－1解析 ①由题意，设圆心C (1，r )(r 为圆C 的半径)，则r 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|AB |22＋12＝2，解得r ＝ 2.所以圆C 的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝2.②方法一 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1).又点C (1，2)，所以直线BC 的斜率为k BC ＝－1，所以过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝x －0，即y ＝x ＋(2＋1). 令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.方法二 令x ＝0，得y ＝2±1，所以点B (0，2＋1).又点C (1，2)，设过点B 的切线方程为y －(2＋1)＝kx ，即kx －y ＋(2＋1)＝0.由题意，得圆心C (1，2)到直线kx －y ＋(2＋1)＝0的距离d ＝|k －2＋2＋1|k 2＋1＝r ＝2，解得k ＝1.故切线方程为x －y ＋(2＋1)＝0.令y ＝0，得切线在x 轴上的截距为－2－1.(2)已知圆C 经过点A (2，－1)，并且圆心在直线l 1：y ＝－2x 上，且该圆与直线l 2：y ＝－x ＋1相切. ①求圆C 的方程；②求以圆C 内一点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－52为中点的弦所在直线l 3的方程. 解 ①设圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－1－b )2＝r 2，b ＝－2a ，|a ＋b －1|2＝r ，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－2，r ＝ 2.故圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝2. ②由①知圆心C 的坐标为(1，－2)， 则k CB ＝－52－(－2)2－1＝－12.设直线l 3的斜率为k 3，由k 3·k CB ＝－1，可得k 3＝2. 故直线l 3的方程为y ＋52＝2(x －2)，即4x －2y －13＝0.点评 求圆的方程的两种方法(1)几何法：通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程.(2)代数法：用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数.变式训练2 已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2，0)，B (1，1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点. (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ ＝90°，求线段PQ 中点的轨迹方程.解 (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2，2y ). 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4，故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设PQ 的中点为N (x ，y )，连接BN . 在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0. 题型三 直线与圆的位置关系、弦长问题例3 (1)(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A.2B.42C.6D.210 答案 C解析 根据直线与圆的位置关系求解.由于直线x ＋ay －1＝0是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，∴圆心C (2，1)在直线x ＋ay －1＝0上，∴2＋a －1＝0，∴a ＝－1，∴A (－4，－1). ∴|AC |2＝36＋4＝40.又r ＝2，∴|AB |2＝40－4＝36. ∴|AB |＝6.(2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.①写出圆C 的标准方程，并指出圆心坐标和半径大小；②是否存在斜率为1的直线m ，使m 被圆C 截得的弦为AB ，且OA ⊥OB (O 为坐标原点).若存在，求出直线m 的方程；若不存在，请说明理由. 解 ①圆C 的标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9， 则圆心C 的坐标为(1，－2)，半径为3. ②假设存在这样的直线m ， 根据题意可设直线m ：y ＝x ＋b .联立直线与圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，y ＝x ＋b得2x 2＋2(b ＋1)x ＋b 2＋4b －4＝0， 因为直线与圆相交，所以Δ>0， 即b 2＋6b －9<0，且满足x 1＋x 2＝－b －1，x 1x 2＝b 2＋4b －42，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＝x 1＋b ，y 2＝x 2＋b ，由OA ⊥OB 得OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0，所以x 1x 2＋(x 1＋b )(x 2＋b )＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝0， 即b 2＋3b －4＝0得b ＝－4或b ＝1， 且均满足b 2＋6b －9<0，故所求的直线m 存在，方程为y ＝x －4或y ＝x ＋1. 点评 研究直线与圆位置关系的方法(1)研究直线与圆的位置关系的最基本的解题方法为代数法，将几何问题代数化，利用函数与方程思想解题.(2)与弦长有关的问题常用几何法，即利用圆的半径r ，圆心到直线的距离d 及半弦长l2，构成直角三角形的三边，利用其关系来处理.变式训练3 已知以点C (t ，2t)(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点.(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若|OM |＝|ON |，求圆C 的方程. (1)证明 ∵圆C 过原点O ，且|OC |2＝t 2＋4t2.∴圆C 的方程是(x －t )2＋(y －2t )2＝t 2＋4t2，令x ＝0，得y 1＝0，y 2＝4t；令y ＝0，得x 1＝0，x 2＝2t ，∴S △OAB ＝12|OA |·|OB |＝12×|4t |×|2t |＝4，即△OAB 的面积为定值.(2)解 ∵|OM |＝|ON |，|CM |＝|CN |， ∴OC 垂直平分线段MN . ∵k MN ＝－2，∴k OC ＝12.∴2t ＝12t ，解得t ＝2或t ＝－2. 当t ＝2时，圆心C 的坐标为(2，1)，|OC |＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝15<5，圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点.当t ＝－2时，圆心C 的坐标为(－2，－1)，|OC |＝5， 此时C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95> 5.圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交， ∴t ＝－2不符合题意，舍去. ∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝5.高考题型精练1.已知x ，y 满足x ＋2y －5＝0，则(x －1)2＋(y －1)2的最小值为( ) A.45B.25C.255 D.105 答案 A解析 (x －1)2＋(y －1)2表示点P (x ，y )到点Q (1，1)的距离的平方.由已知可得点P 在直线l ：x ＋2y －5＝0上，所以|PQ |的最小值为点Q 到直线l 的距离，即d ＝|1＋2×1－5|1＋22＝255， 所以(x －1)2＋(y －1)2的最小值为d 2＝45.故选A.2.“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析 由l 1⊥l 2得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2.∴m ＝3是l 1⊥l 2的充分不必要条件.3.若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( ) A.32B.22C.33D.4 2 答案 A解析 依题意知AB 的中点M 的集合是与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0的距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离， 设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0， 根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0，根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2.4.(2016·山东)已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( ) A.内切B.相交C.外切D.相离 答案 B解析 ∵圆M ：x 2＋(y －a )2＝a 2， ∴圆心坐标为M (0，a )，半径r 1＝a ， 圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝|a |2，由几何知识得⎝⎛⎭⎪⎫|a |22＋(2)2＝a 2，解得a ＝2. ∴M (0，2)，r 1＝2.又圆N 的圆心坐标N (1，1)，半径r 2＝1，∴|MN |＝(1－0)2＋(1－2)2＝2，r 1＋r 2＝3，r 1－r 2＝1.∴r 1－r 2＜|MN |＜r 1＋r 2，∴两圆相交，故选B.5.与圆x 2＋y 2＝1和圆x 2＋y 2－8x ＋7＝0都相切的圆的圆心轨迹是( ) A.椭圆B.椭圆和双曲线的一支C.双曲线和一条直线(去掉几个点)D.双曲线的一支和一条直线(去掉几个点) 答案 D解析 设所求圆圆心为M (x ，y )，半径为r ， 圆x 2＋y 2－8x ＋7＝0⇒(x －4)2＋y 2＝9，圆心设为C (4，0)，由题意得当动圆与两定圆外切时， 即|MO |＝r ＋1，|MC |＝r ＋3，从而|MC |－|MO |＝2<|OC |， 因此为双曲线的一支，当动圆与两定圆一个外切一个内切时， 必切于两定圆切点，即M 必在x 轴上， 但需去掉O ，C 及两定圆切点，因此选D.6.(2015·课标全国Ⅱ)已知三点A (1，0)，B (0，3)，C (2，3)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为( ) A.53B.213 C.253 D.43 答案 B解析 由点B (0，3)，C (2，3)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，① 由点A (1，0)，B (0，3)，得线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝33⎝⎛⎭⎪⎫x －12，②联立①②，解得△ABC 外接圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，233，其到原点的距离为12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2332＝213.故选B.7.(2016·山东)在[－1，1]上随机地取一个数k ，则事件“直线y ＝kx 与圆(x －5)2＋y 2＝9相交”发生的概率为________. 答案 34解析 由已知得，圆心(5，0)到直线y ＝kx 的距离小于半径，∴|5k |k 2＋1<3，解得－34<k <34，由几何概型得P ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－(－1)＝34.8.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________. 答案 43解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，圆心为(4，0). 由题意知(4，0)到kx －y －2＝0的距离应不大于2， 即|4k －2|k 2＋1≤2.整理，得3k 2－4k ≤0.解得0≤k ≤43.故k 的最大值是43.9.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且仅有三个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的值为________. 答案 ±13解析 因为圆心到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为|c |13，所以由题意得|c |13＝1，c ＝±13.10.已知直线l 过点(－2，0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是________________. 答案 (－24，24) 解析 因为已知直线过点(－2，0)，那么圆的方程x 2＋y 2＝2x 配方为(x －1)2＋y 2＝1，表示的是圆心为(1，0)，半径为1的圆， 设过点(－2，0)的直线的斜率为k ， 则直线方程为y ＝k (x ＋2)， 则点到直线距离等于圆的半径1， 有d ＝|k －0＋2k |k 2＋1＝1，化简得8k 2＝1， 所以k ＝±24， 然后可知此时有一个交点，那么当满足题意的时候， 可知斜率的取值范围是(－24，24)，故答案为(－24，24). 11.已知过点A (0，1)，且方向向量为a ＝(1，k )的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1相交于M ，N 两点.(1)求实数k 的取值范围；(2)若O 为坐标原点，且OM →·ON →＝12，求k 的值.解 (1)∵直线l 过点A (0，1)且方向向量为a ＝(1，k )，∴直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 由|2k －3＋1|k 2＋1＜1，得4－73＜k ＜4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0，∴x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2，∴OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，∴4k (1＋k )1＋k 2＝4，解得k ＝1.12.已知圆M ∶x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点.(1)若Q (1，0)，求切线QA ，QB 的方程；(2)求四边形QAMB 面积的最小值；(3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程.解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1，则圆心M 到切线的距离为1，∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0，∴切线QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1.(2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA | ＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1 ≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于点P ，则MP ⊥AB .∵MB ⊥BQ ，∴|MP |＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2232＝13.在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP |·|MQ |，即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3.设Q (x ，0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)，∴直线MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。
(完整版)直线与圆题型总结
高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程1求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y 0上的圆的标准方程并判断点 2、设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2; (2)被x 轴分成两段弧, 求圆心到直线I : x 2y 0的距离最小的圆的方程.类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程1已知圆O : x 2 y 2 4，求过点P 2,4与圆0相切的切线.2两圆C 1: x 2 y 2D 1xE 1 yF 1 0与C 2: x 2 y 2 D 2x E 2y F 2 0相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程.3、过圆x 2 y 2 1外一点M(2,3)，作这个圆的两条切线 MA 、MB ，切点分别是 A 、B ，求直线AB 的方程。
练习：2 2 1•求过点 M(3,1)，且与圆(x 1) y4相切的直线I 的方程 __________________ 2 2 52、 过坐标原点且与圆 x y 4x 2y 0相切的直线的方程为 _________22 2 3、 已知直线5x 12y a 0与圆x 2x y 0相切，则a 的值为 _________________________ .类型三：弦长、弧问题2 21、 求直线I : 3x y 6 0被圆C : x y 2x 4y 0截得的弦AB 的长 ________________________________2、 直线 3x y 2 3 0截圆x 2 y 2 4得的劣弧所对的圆心角为 _________________________3、求两圆x 2 y 2 x y 2 0和x 2 y 2 5的公共弦长 __________________________类型四：直线与圆的位置关系 I1、若直线y x m 与曲线y 4 x 2有且只有一个公共点，实数 m 的取值范围 _________________________________4、 若直线y kx 2与圆(x 2)2 (y 3)2 1有两个不同的交点，贝U k 的取值范围是 ________________________ .5、 圆x 2 y 2 2x 4y 3 0上到直线x y 1 0的距离为 2的点共有().(A ) 1 个 (B ) 2 个 (C ) 3 个(D ) 4 个2 2 6、 过点P 3, 4作直线l ，当斜率为何值时，直线I 与圆C: x 1 y 24有公共点 类型五：圆与圆的位置关系2 2 2 2 1、判断圆C 1 : xy 2x 6y 26 0与圆C 2 : x y 4x 2y 4 0的位置关系 ___________________________________2 2 2 2 P(2,4)与圆的其弧长的比为3:1 ,在满足条件(1)(2)的所有圆中,2 圆(x 3)2 (y 3)29上到直线3x 4y 11 0的距离为1的点有_________ 个？ 2 2 3、直线 x y 1 与圆 x y 2ay 0 (a 0)没有公共点，则a 的取值范围是 __________2圆x y 2x 0和圆x y 4y 0的公切线共有___________________________条。
高考数学一轮复习---直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习
直线与圆、圆与圆的位置关系知识点与题型复习一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )Δ＜0 Δ＝0 Δ＞02．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)|r －r |＜d ＜二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋221⎪⎭⎫⎝⎛l .三、考点解析考点一 直线与圆的位置关系 考法(一) 直线与圆的位置关系的判断例、直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定[解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法： (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．考法(二) 直线与圆相切的问题例、(1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( )A ．3x ＋4y －4＝0B ．4x －3y ＋4＝0C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0 (2)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.考法(三) 弦长问题例、(1)若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D.2 (2)设直线y ＝x ＋2a 与圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0相交于A ，B 两点，若|AB |＝23，则圆C 的面积为( ) A ．4π B ．2π C ．9π D ．22π跟踪练习：1．已知圆的方程是x 2＋y 2＝1，则经过圆上一点M ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2222，的切线方程是________． 2．若直线kx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2－2x －3＝0没有公共点，则实数k 的取值范围是________．3．设直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＋2x －my ＝0相交于A ，B 两点，若点A ，B 关于直线l ：x ＋y ＝0对称，则|AB |＝________.考点二 圆与圆的位置关系例、已知圆M ：x 2＋y 2－2ay ＝0(a ＞0)截直线x ＋y ＝0所得线段的长度是22，则圆M 与圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系是( )A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离变式练习：1．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( )A ．21B ．19C ．9D ．－112.(变结论)若本例两圆的方程不变，则两圆的公共弦长为________．[解题技法]几何法判断圆与圆的位置关系的3步骤： (1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d ，求r 1＋r 2，|r 1－r 2|； (3)比较d ，r 1＋r 2，|r 1－r 2|的大小，写出结论．课后作业1．若直线2x ＋y ＋a ＝0与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0相切，则a 的值为( ) A ．±5 B ．±5 C ．3 D ．±32．与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0，C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0都相切的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线y ＝kx ＋3被圆(x －2)2＋(y －3)2＝4截得的弦长为23，则直线的倾斜角为( ) A.π6或5π6 B ．－π3或π3 C ．－π6或π6 D.π64．过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( ) A ．2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y －5＝0 D ．x －2y －7＝05．若圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0上有且仅有三个点到直线x ＋ay ＋1＝0的距离为1，则实数a 的值为( ) A ．±1 B ．±24 C ．± 2 D ．±326．过点P (1，－2)作圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则AB 所在直线的方程为( ) A ．y ＝－34 B ．y ＝－12 C ．y ＝－32 D ．y ＝－147．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． 8．若P (2,1)为圆(x －1)2＋y 2＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________． 9．过点P (－3,1)，Q (a,0)的光线经x 轴反射后与圆x 2＋y 2＝1相切，则a 的值为________．10．点P 在圆C 1：x 2＋y 2－8x －4y ＋11＝0上，点Q 在圆C 2：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0上，则|P Q |的最小值是________．11．已知圆C 1：x 2＋y 2－2x －6y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2－10x －12y ＋45＝0. (1)求证：圆C 1和圆C 2相交；(2)求圆C 1和圆C 2的公共弦所在直线的方程和公共弦长．12．已知圆C 经过点A (2，－1)，和直线x ＋y ＝1相切，且圆心在直线y ＝－2x 上． (1)求圆C 的方程；(2)已知直线l 经过原点，并且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程．提高练习1．过圆x 2＋y 2＝1上一点作圆的切线，与x 轴、y 轴的正半轴相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B.3 C ．2 D ．32．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5,0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB ―→·CD ―→＝0，则点A 的横坐标为________． 3．已知圆C ：x 2＋(y －a )2＝4，点A (1,0)．(1)当过点A 的圆C 的切线存在时，求实数a 的取值范围； (2)设AM ，AN 为圆C 的两条切线，M ，N 为切点，当|MN |＝455时，求MN 所在直线的方程．。
高考数学总复习历年考点知识与题型专题讲解18---直线与圆、圆与圆的位置关系(解析版)
高考数学总复习历年考点知识与题型专题讲解直线与圆、圆与圆的位置关系考点一 直线与圆的位置的关系【例1】（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））若直线y b =+与圆221x y +=相切，则b =（ ）A ．3± B ．C ．2± D ．【答案】C【解析】由题得圆的圆心坐标为（0,0）1,2b =∴=±.故选C 【举一反三】1．（2018·福建高一期末）若直线 :1(0)l y kx k =+<与圆22:4230C x x y y ++-+=相切，则直线l 与圆22:(2)3D x y -+=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定【答案】A【解析】圆C 的方程可化为()()22212x y ++-=，故圆心为()2,1C -，半径C r =.由于直线l ：10kx y -+=和圆C=k 0<解得1k =-，所以直线l 的方程为10x y --+=，即10x y +-=.圆D 的圆心为()2,0D，半径为D r =D 到直线l2=<l 与圆D 相交.故选：A 2．（2020·包头市田家炳中学高二期中）直线y ＝x ﹣1与圆x 2+y 2＝1的位置关系为（ ）A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心【答案】D【解析】圆x 2+y 2＝1的圆心坐标为(0,0)O ，半径为1，因为圆心(0,0)O 到直线y ＝x ﹣11=<， 所以直线y ＝x ﹣1与圆x 2+y 2＝1相交，因为001≠-，所以直线y ＝x ﹣1与圆x 2+y 2＝1的位置关系为相交但直线不过圆心. 故选：D3．（2020·辉县市第二高级中学高二期中（文））“点(),a b 在圆221x y +=内”是“直线10ax by ++=与圆221x y +=相离”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若点(),a b 在圆221x y +=内，则221a b +<则圆心O 到直线10ax by ++=的距离1d =>则直线10ax by ++=与圆221x y +=相离反之直线10ax by ++=与圆221x y +=相离，则圆心O 到直线10ax by ++=的距离1d =>，即221a b +<，则点(),a b 在圆221x y +=内所以“点(),a b 在圆221x y +=内”是“直线10ax by ++=与圆221x y +=相离”的充分必要条件故选：C考点二 弦长【例2】（2020·全国高三其他（文））直线21y x =+被圆221x y +=截得的弦长为（ ）A ．1BC ．5D 【答案】C【解析】圆心()0,0到直线21y x =+，所求弦长为=故选：C ．【举一反三】1．（2020·河南濮阳。
2023赵礼显高考 直线与圆经典题型总结
2023赵礼显高考直线与圆经典题型总结引言直线与圆是高中数学的重要内容之一，也是高考的重要考点。
在高考备考过程中，掌握直线与圆的经典题型对于提高数学成绩具有重要意义。
本文将详细介绍赵礼显老师总结的直线与圆经典题型，帮助考生更好地备考高考。
一、直线与圆的基本概念1. 直线方程及其性质2. 圆的方程及其性质3. 直线与圆的位置关系及其判定二、经典题型总结1. 直线过定点，圆过定圆，求公共弦所在直线方程【题型1】求圆C：$(x - 1)^{2} + y^{2} = 4$与圆D：$(x + 2)^{2} + (y - 3)^{2} = r^{2}$的公共弦BD所在直线方程【分析】利用两圆相减可得公共弦所在直线方程。
【解答】由题意可知，两圆的方程相减可得：$x + 2y - 1 = 0$，即公共弦BD所在直线方程为$x + 2y - 1 = 0$。
2. 求圆上点到定直线的距离【题型2】求圆上点到定直线的距离最大值或最小值【分析】根据点到直线的距离公式求解最值。
【解答】设圆心到定直线的距离为d，则当直线与圆相交时，最大值为d + r，最小值为d - r。
3. 求圆内或圆外两平行直线之间的距离【题型3】求圆内或圆外两平行直线之间的距离【分析】根据平行线间的距离公式求解。
【解答】设两平行直线之间的距离为h，则有$h =\frac{|m|}{\sqrt{n^{2} + m^{2}}} = \frac{m}{\sqrt{n^{2} +m^{2}}}，(m$表示平行线之间的距离，n表示两平行线中一条直线的斜率)4. 求过已知三点且与已知圆相切的圆的方程【题型4】求过已知三点$A(x_{1},y_{1})、B(x_{2},y_{2})$、C(a,b)且与已知圆C：$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$相切的圆的方程【分析】利用已知三点共线的方法求出圆的圆心和半径，进而得到圆的方程。
【解答】根据已知条件可知，所求圆的圆心在AB垂直平分线上，且半径等于AB的一半。
高三高考数学总复习《直线与圆》题型归纳与汇总
高考数学总复习题型分类汇《直线与圆》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一倾斜角与斜率 (3)题型二直线方程 (3)题型三直线位置关系的判断 (4)题型四对称与直线恒过定点问题 (4)题型五圆的方程 (5)题型六直线、圆的综合问题 (6)【巩固训练】题型一倾斜角与斜率 (7)题型二直线方程 (8)题型三直线位置关系的判断 (9)题型四对称与直线恒过定点问题 (10)题型五圆的方程 (11)题型六直线、圆的综合问题 (12)高考数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 倾斜角与斜率例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l 的方程为310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴︒=150α． 故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值.【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35a k a k CB AB +=-= ∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型二 直线方程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y =【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x y m m+=， 代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ．【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+n y m x 中要求m ，n 均非零。
(完整)高三专题复习：直线与圆知识点及经典例题(含答案),推荐文档
专题：圆的方程、直线和圆的位置关系知识要点】圆的定义： 平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆 一）圆的标准方程形如： （x a ）2 （y b ）2 r 2 这个方程叫做圆的标准方程 。
王新敞说明： 1、若圆心在坐标原点上，这时 a b 0 ，则圆的方程就是 x 2 y 2 r 2。
2、圆的标准方程的两个基本要素：圆心坐标和半径；圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要 a,b,r 三个量确定了且 r >0，圆的方程就给定了。
圆的一般方程的特点： （i ） x 2和y 2 的系数相同，不等于零； （ii ）没有 xy 这样的二次项。
三）直线与圆的位置关系1、直线与圆位置关系的种类 （1）相离 --- 求距离；2、直线与圆的位置关系判断方法：几何方法主要步骤：（1）把直线方程化为一般式，利用圆的方程求出圆心和半径 （2）利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离（3）作判断 : 当 d>r 时，直线与圆相离；当 d ＝r 时，直线与圆相切 ;当 d<r 时，直线与圆相交。
代数方法主要步骤：就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件王新敞确定 a,b,r ，可以根据 3 个条件，利用 待定系数法 来解决。
将圆的标准方程(x a)2 (y 的方 程都可以写成: x 2 2 y Dx问题： 形 如x 22 y Dx Ey将方程x 22yDx Ey F （1）当 D 2 E 24F 0时，方程D 2E 24F 为半径 的圆。
心以2（2）当 D 2 E 24F 0时，方程点（ D , E)22（3）当 D2E 24F 0时， 方程圆的 一般方程的 定义：当 D 2 E 22 2 2 r ,展开可得 x y 2ax 2by 222a b r 0 。
可见，任何一个圆0 的方程的曲线是不是圆？ 0左边配方得： （x 与标准方程比较，y 2 Dx Eyy 2 Dx Ey 20 时，方程 x 2 D 2 E D 2)2 (y E 2)D 2E 2 4F )2方程 x 2 y 2 Dx Ey F 0 只有实数解，解为 x0表示以 （ D, E）为圆22DE2,y 2, 所以表示一个F 0 没有实数解，因而它不表示任何图形。
2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练
2020年高考理科数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一直线方程、两直线的位置关系例1已知两直线1:80l mx y n ++=和2:210l x my +-=.试确定m 、n 的值，使： (1)1l 与2l 相交于点(),1P m -； (2)1l ∥2l ；(3)1l ⊥2l ，且1l 在y 轴上的截距为－1. 【答案】（1）1m =，7n =.（2）4m =，2n ≠-时或4m =-，2n ≠时，1l ∥2l . （3）0m =，8n =【解析】(1)由题意得280210m n m n ⎧-+=⎨--=⎩，解得1m =，7n =.(2)当0m =时，显然1l 不平行于2l ；当0m ≠时，由821m nm =-≠-，得⎩⎨⎧-≠=⇒⎩⎨⎧≠--⨯=⨯-⋅240)1(8028n m nm m m 或⎩⎨⎧≠-=24n m . 即4m =，2n ≠-时或4m =-，2n ≠时，1l ∥2l .(3)当且仅当280m m +=，即0m =时，1l ⊥2l .又18n-=-，∴8n =.即0m =，8n =时，1l ⊥2l ，且1l 在y 轴上的截距为－1.【易错点】忽略对0m =的情况的讨论【思维点拨】遇到直线类题型，首先要注意特殊情况如斜率不存在时或0k =时，并且对于直线平行和垂直时与12A A 和12B B 间的关系要熟练记忆。
例2如图，设一直线过点(－1,1)，它被两平行直线l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：x ＋2y －3＝0所截的线段的中点在直线l 3：x －y －1＝0上，求其方程．【答案】2750x y +-=.【解析】与1l 、2l 平行且距离相等的直线方程为220x y +-=.设所求直线方程为()()2210x y x y λ+-+--=，即()()1220x y λλλ++---=.又直线过()1,1A -，∴()()()112120λλλ+-+-⋅--=.解13λ=-.∴所求直线方程为2750x y +-=.2【易错点】求错与1l 、2l 平行且距离相等的直线方程【思维点拨】本题的关键在于求到1l 、2l 平行且距离相等的直线方程，再利用这条直线求出和第三条支线的交点，从而求解本题.题型二 圆的方程（对称问题、圆的几何性质运用） 例1已知实数x 、y 满足方程22410x y x +-+=.(1)求yx的最大值和最小值； (2)求y x -的最大值和最小值．【答案】（1）yx（2）y x -的最大值为2-+，最小值为2-.【解析】(1)原方程化为()2223x y -+=，表示以点()2,0为圆心，为半径的圆．设yk x=，即y k x =，当直线y kx =与圆相切时，斜率k=k =.故yx 的最大值(2)设y x b -=，即y x b =+，当y x b =+与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时=2b =-.故y x -的最大值为2-，最小值为2--. 【易错点】理解错给定要求结果的含义【思维点拨】正确理解给定结果的含义，在利用题中的条件解决问题。
直线与圆常考6种题型总结(解析板)--2024高考数学常考题型精华版
直线与圆常考6种题型总结【考点分析】考点一：圆的定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆考点二：圆的标准方程设圆心的坐标()C a b ，，半径为r ，则圆的标准方程为：()()222x a y b r -+-=考点三：圆的一般方程圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆心坐标：()22D E --，，半径：r =注意：①对于F E D 、、的取值要求：2240D E F +->当2240D E F +-=时，方程只有实数解22D E x y =-=-，．它表示一个点()22D E--，当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．②二元二次方程220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=，表示圆的充要条件是22040A C B D E AF =≠⎧⎪=⎨⎪+->⎩考点四：以1122()()A x y B x y ，，，为直径端点的圆的方程为1212()()()()0x x x x y y y y -⋅-+--=考点五：阿波罗尼斯圆设A B ，为平面上相异两定点，且||2(0)AB a a =>，P 为平面上异于A B ，一动点且||||PA PB λ=（0λ>且1λ≠）则P 点轨迹为圆.考点六：直线与圆的位置关系设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则直线与圆的位置关系几何意义代数意义公共点的个数①直线与圆相交r d <0>∆两个②直线与圆相切r d =0=∆一个③直线与圆相离r d >0<∆0个注：代数法：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程2Ax Bx C ++=考点七：直线与圆相交的弦长问题法一：设圆心到直线的距离d ，圆的半径为r ，则弦长222d r AB -=法二：联立直线方程与圆方程，得到关于x 的一元二次方程20Ax Bx C ++=，利用韦达定理，弦长公式即可【题型目录】题型一：圆的方程题型二：直线与圆的位置关系题型三：直线与圆的弦长问题题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题题型五：圆中最值问题题型六：圆与圆的位置关系问题【典型例题】题型一：圆的方程【例1】AOB 顶点坐标分别为()2,0A ，()0,4B ，()0,0O ．则AOB 外接圆的标准方程为______．【答案】()()22125x y -+-=【解析】设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=，因为过点()2,0A ，()0,4B ，()0,0O 所以()()()()()()222222222200400a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+-=⎪⎩解得2125a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩则圆的标准方程为()()22125x y -+-=故答案为：()()22125x y -+-=【例2】已知圆22(1)(2)4x y +++=关于直线()200,0ax by a b ++=>>对称，则12a b+的最小值为（）A ．52B ．92C ．4D ．8故选：B【例3】过点(1,1),(3,5)A B -，且圆心在直线220x y ++=上的圆的方程为_______．【例4】设甲：实数3a <；乙：方程2230x y x y a +-++=是圆，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【例5】苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度100AB =米，拱高10OP =米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP 相距30米的支柱MN 的高度是（）米.（注意：≈3.162）A ．6.48B ．5.48C ．4.48D ．3.48【答案】A【解析】以O 为原点,以AB 所在直线为x 轴,以OP 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系.设圆心坐标为（0，a ），则P (0,10),A (-50,0).可设圆拱所在圆的方程为()222x y a r +-=,由题意可得：()()222221050a r a r ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩解得：2120,16900a r =-=.所以所求圆的方程为()2212016900x y ++=.将x =-30代入圆方程,得:()290012016900y ++=,因为y >0,所以12040 3.162120 6.48y =≈⨯-=.故选：A.【例6】阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：在平面内到两定点距离之比为常数(0,1)k k k >≠的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB =，则PAB △面积的最大值是（）AB ．2C．D ．4【答案】C【解析】设经过点A ，B 的直线为x 轴，AB的方向为x 轴正方向，线段AB 的垂直平分线为y 轴，线段AB 的中点O 为原点，建立平面直角坐标系.则()1,0A -，()10B ,．设(),P x y，∵PA PB==两边平方并整理得22610x y x +-+=，即()2238x y -+=．要使PAB △的面积最大，只需点P到AB （x 轴）的距离最大时，此时面积为122⨯⨯故选：C.【题型专练】1．设点M 在直线210x y +-=上，点(3,0)和(0,1)均在M 上，则M 的方程为______________．2.经过三个点00()(02)()0A B C -,,,,的圆的方程为（）A ．(()2212x y ++=B ．(()2212x y +-=C ．(()2214x y ++=D ．(()2214x y +-=中的三点的一个圆的方程为____________．【答案】22420x y x y +--=或22460x y x y +--=或22814033x y x y +--=或2216162055x y x y +---=（答案不唯一，填其中一个即可）【解析】设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=若圆过(0,0)，(4,0)，(4,2)三点，则0164020420F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得420D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22420x y x y +--=；若圆过(0,0)，(4,0)，(1,1)-三点，则0164020F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩，解得460D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆的方程为22460x y x y +--=；若圆过(0,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则02020420F D E F D E F =⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得831430D E F ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，故圆的方程为22814033x y x y +--=；若圆过(4,0)，(1,1)-，(4,2)三点，则16402020420D F D E F D E F ++=⎧⎪-++=⎨⎪+++=⎩，解得1652165D E F ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎩，故圆的方程为2216162055x y x y +---=.4.已知“m t ≤”是“220x y m ++=”表示圆的必要不充分条件，则实数t 的取值范围是（）A ．()1,-+∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(),1-∞-5.若两定点()1,0A ，()4,0B ，动点M 满足2MA MB =，则动点M 的轨迹围成区域的面积为（）．A ．2πB ．5πC ．3πD ．4π6.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点A ，B 的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，A （－2，0），B （4，0），点P 满足PA PB＝12.设点P 的轨迹为C ，则下列结论正确的是（）A ．轨迹C 的方程为（x ＋4）2＋y 2＝9B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E 使得PD PE＝12C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =【答案】BC【分析】根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.设MA MO，则在O，A，M三点所能构成7．已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离满足2=的三角形中面积的最大值是（）A．1B．2C．3D．4易知90MBO ∠=︒时，MOA S △取得最大值3．故选：C ．题型二：直线与圆的位置关系【例1】直线:10l kx y k -+-=与圆223x y +=的位置关系是（）A ．相交B ．相离C ．相切D ．无法确定【例2】（黑龙江哈尔滨市）若过点()4,3A 的直线l 与曲线()()22231x y -+-=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（）A ．⎡⎣B ．(C ．,33⎡-⎢⎣⎦D ．,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由题意知，直线的斜率存在，设直线的斜率为k ，则直线方程为()43-=-x k y ，即043=-+-k y kx ，圆心为()3,2，半径为1，所以圆心到直线得距离1211433222+≤-⇒≤+-+-=k k k kk d ，解得3333≤≤-k【例3】直线:20l kx y --=与曲线1C x -只有一个公共点，则实数k 范围是（）A ．(3,)(,3)+∞-∞- B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．4(2,4]3⎧⎫⎨⎬D ．(-由图知，当24k <≤或故选：C【例4】已知直线2:0l ax by r +-=与圆222:C x y r +=，点(),A a b ，则下列说法正确的是（）A ．若点A 在圆C 上，则直线l 与圆C 相切B ．若点A 在圆C 内，则直线l 与圆C 相交C ．若点A 在圆C 外，则直线l 与圆C 相离D ．若点A 在直线l 上，则直线l 与圆C 相切【答案】AD【分析】根据直线与圆的位置关系相应条件判断即可．【题型专练】1.直线():120l kx y k k R -++=∈与圆22:5C x y+=的公共点个数为（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个【答案】D【解析】将直线l 变形为()012=+-+y x k ，令⎩⎨⎧=+-=+0102y x ，解得⎩⎨⎧=-=12y x ，所以直线过定点()1,2-P ，因为()51222=+-，所以点P 在圆上，所以直线与圆相切或者相交2.已知关于x 的方程2(3)1k x ++有两个不同的实数根，则实数k 的范围______.当直线与半圆相切时，圆心O 到直线1l 的距离d 解得：13265k -=（舍），或13265k +=当直线过点(2,0)-时，可求得直线2l 的斜率2k =则利用图像得：实数k 的范围为3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭故答案为：3261,5⎡⎫+⎪⎢⎪⎣⎭3.（2022全国新高考2卷）设点A (－2，3)，B (0(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝1有公共点，则a 的取值范围为_______．【答案】13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】()2,3A -关于y a =对称的点的坐标为()2,23A a '--，()0,B a 在直线y a =上，所以A B '所在直线即为直线l ，所以直线l 为32a y x a -=+-，即()3220a x y a -+-=；圆()()22:321C x y +++=，圆心()3,2C --，半径1r =，依题意圆心到直线l 的距离1d =≤，即()()2225532a a -≤-+，解得1332a ≤≤，即13,32a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；故答案为：13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦题型三：直线与圆的弦长问题【例1】已知圆C ：()()22210x y a a +-=>与直线l ：x -y -1=0相交于A ，B 两点，若△ABC 的面积为2，则圆C 的面积为（）A ．πB ．2πC ．4πD ．6π【答案】C 【解析】如图，由圆C 方程可知圆心()0,1C ，半径为a ，由点到直线的距离公式可知圆心C到直线l 的距离d =又△ABC 的面积为11222S AB d =⋅==，解得AB =2222a ⎛+= ⎝⎭，则a =2，即圆C 的半径为2.则圆C 的面积为24S a ππ==.故选：C.【例2】已知圆22:60M x y x +-=，过点()1,2的直线1l ，2l ，…，()*n l n ∈N 被该圆M 截得的弦长依次为1a ，2a ，…，n a ，若1a ，2a ，…，n a 是公差为13的等差数列，则n 的最大值是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】D【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出n 的最大值此时，直线DE 的解析式为：3y x =-+直线BC 的解析式为：=+1y x 圆心到弦BC 所在直线的距离：AM 连接BM ,由勾股定理得，()22=322=1AB -x y+=交于,A B两点，过,A B分别作l的垂线与x轴交于【例3】已知直线:10l mx y+--=与圆2216,C D两点，则当AB最小时，CD=（）A．4B．C．8D．故选：D【例4】（多选题）若直线l 经过点0(3,1)P -，且被圆2282120x y x y +--+=截得的弦长为4，则l 的方程可能是（）A ．3x =B ．3y =C ．34130x y --=D ．43150x y --=【题型专练】1.直线:l y x m =+与圆224x y +=相交于A ，B 两点，若AB ≥m 的取值范围为（）A ．[]22-,B ．⎡⎣C ．[]1,1-D ．,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】令圆224x y +=的圆心(0,0)O 到直线l 的距离为d ，而圆半径为2r =，弦AB 长满足AB ≥，则有1d =，又d =1≤，解得m -≤≤所以实数m 的取值范围为⎡⎣.故选：B2.在圆22420x y x y +-+=内，过点()1,0E 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】圆22420x y x y +-+=化简为22(2)(1)5x y -++=可得圆心为(2,1),r -=易知过点()1,0E 的最长弦为直径，即||AC =而最短弦为过()1,0E 与AC 垂直的弦，圆心(2,1)-到()1,0E 的距离：d ==所以弦||BD ==所以四边形ABCD 的面积：12S AC BD =⋅=故选：D.3.若直线1y kx =+与圆221x y +=相交于B A ,两点，且60AOB ∠= (其中O 为原点)，则k 的值为（）A ．3-或3B ．3C ．D 4.直线l ：()()2110m x m y -+-+=与圆C ：2260x x y -+=相交于A ，B 两点，则AB 的最小值是（）A ．B ．2C ．D ．4【答案】D【解析】分别取1,2m m ==，则1010x y -+=⎧⎨-+=⎩，得11x y =⎧⎨=⎩，即直线l 过定点(1,1)P ，将圆C 化为标准方程：22(3)9x y -+=，圆心为(3,0)，半径3r =.如图，因为AB =，所以当圆心到直线距离最大时AB 最小.当CP 不垂直直线l 时，总有d CP <，故当CP l ⊥时AB 最小，因为CP =所以AB的最小值为4=.故选：D题型四：圆中的切线切线长和切点弦问题【例1】直线l 过点(2,1)且与圆22:(1)9C x y ++=相切，则直线l 的方程为______________．【例2】已知圆C ：228240x y y +--+=，且圆外有一点()0,2P ，过点P 作圆C 的两条切线，且切点分别为A ，B ，则AB =______.【例3】点P 在圆C ：()()22334x y -+-=上，()2,0A ，()0,1B ，则PBA ∠最大时，PB =___________.【答案】3【分析】根据题意PBA ∠最大时，直线【详解】点P 在圆C ：()23x -+如图将BA 绕点B 沿逆时针方向旋转，当刚好与圆当旋转到与圆相切于点2P 时，∠【例4】过点()2,1P 作圆O ：221x y +=的切线，切点分别为,A B ，则下列说法正确的是（）A．PA B ．四边形PAOB 的外接圆方程为222x y x y +=+C ．直线AB 方程为21y x =-+D ．三角形PAB 的面积为85【题型专练】1.过点(0,2)作与圆2220x y x +-=相切的直线l ，则直线l 的方程为（）A ．3480x y -+=B ．3480x y +-=C ．0x =D ．1x =2.直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，过点()1,P b --作圆C 的一条切线，切点为Q ，则PQ =（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【详解】圆222:2250C x y bx by b +---+=的圆心为(,)C b b ，半径为r =因为直线40x y +-=平分圆222:2250C x y bx by b +---+=的周长，所以直线40x y +-=经过(,)C b b ，所以40b b +-=，故2b =，由已知()1,2P --，(2,2)C ，||PC ，圆的半径为3，所以4PQ =，故选：B.3.过点(2,2)P作圆224x y+=的两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程为_______．题型五：圆中最值问题【例1】已知l：4y x=+，分别交x，y轴于A，B两点，P在圆C：224x y+=上运动，则PAB△面积的最大值为（）A．8-B．16-C．8+D．16+【答案】C【解析】如图所示，以AB 为底边，则PAB △面积最大等价于点P 到l 距离最大，而点P 到l 距离最大值等于O 到l 的距离加半径看，O 到l 的距离d =O 的半径2r =，()4,0A -，()0,4B ，则AB =PAB △面积的最大值为()1282⨯=+故选：C【例2】已知点P 是圆()()2241625x y -+-=上的点，点Q 是直线0x y -=上的点，点R 是直线125240x y -+=上的点，则PQ QR +的最小值为（）A ．7B ．335C ．6D ．295由对称性可知CQ EQ =，点E 到直线125240x y -+=的距离为的交点以及点【例3】已知直线:320l x y ++=与x 、轴的交点分别为A 、B ，且直线1:310l mx y m --+=与直线2:310l x my m +--=相交于点P ，则PAB 面积的最大值是（）A ．103+B ．103+C D【例4】已知圆()()22:254C x y -+-=的圆心为C ，T 为直线220x y --=上的动点，过点T 作圆C 的切线，切点为M ，则TM TC ⋅的最小值为（）A ．10B ．16C ．18D ．20()2TM TC TC CM TC TC CM ⋅=+⋅=+ CM TM ⊥ ，CM CT CM CT ∴⋅=⋅ 24TM TC TC ∴⋅=- ，【例5】已知复数z 满足1i 1z +-=（i 为虚数单位），则z 的最大值为（）A ．2B 1C 1D ．1【答案】B【解析】令i z x y =+，x ，y ∈R ，则()1i 11i 1z x y +-=++-=，即()()22111x y ++-=，表示点(),x y 与点()1,1-距离为1的点集，此时，i z x y =-()()22111x y ++-=上点到原点距离，所以z 的最大值，即为圆上点到原点的距离的最大值，，且半径为1，1．故选：B ．【例6】若0x =，则2yx -的取值范围为【答案】11[,]22-【解析】因为0x +=x =-所以()2210x y x +=≤如图，此方程表示的是圆心在原点，半径为1的半圆,2yx -的几何意义是点(),x y 与点()2,0连线的斜率如图，()()0,1,0,1A B -，()2,0P101022PA k -==--，101022PB k --==-所以2y x -的取值范围为11[,]22-故选：D【例】AB 为⊙C ：(x －2)2＋(y －4)2＝25的一条弦，6AB =，若点P 为⊙C 上一动点，则PA PB ⋅的取值范围是（）A ．[0，100]B ．[－12，48]C ．[－9，64]D ．[－8，72]【答案】D 【解析】【分析】取AB 中点为Q ,利用数量积的运算性质可得2||9PA PB PQ ⋅=- ，再利用圆的性质可得||PQ 取值范围，即求.【详解】取AB 中点为Q ，连接PQ2PA PB PQ ∴+= ，PA PB BA -= 221()()4PA PB PA PB PA PB ⎡⎤∴⋅=+--⎣⎦ 2214||||4PQ BA ⎡⎤=-⎣⎦ ，又||6BA = ，4CQ =2||9PA PB PQ ∴⋅=-，∵点P 为⊙C 上一动点，∴max min ||9,|5|15PQ Q P C Q Q C =+=-==PA PB ∴⋅的取值范围[－8，72].故选：D.【题型专练】1．直线20x y +-=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆22(2)2x y ++=上，则ABP 面积的取值范围是（）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．D ．⎡⎣2.（多选题）已知点P 在圆O :224x y +=上,直线l :43120x y +-=分别与x 轴,轴交于,A B 两点,则（）A ．过点B 作圆O 的切线,则切线长为B ．满足0PA PB ⋅=的点P 有3个C ．点P 到直线l 距离的最大值为225D ．PA PB +的最小值是1【答案】ACD【分析】对于A,根据勾股定理求解即可;对于B,0PA PB ⋅=即PA PB ⊥,所以点P 在以AB 为直径的圆上,设AB 的中点为M ,写出圆M 的方程,根据两个圆的交点个数即可判断正误;对于C,根据圆上一点到直线的最大PM 3．已知动点A ，B 分别在圆1C ：()2221x y ++=和圆2C ：()2244x y -+=上，动点P 在直线10x y -+=上，则PA PB +的最小值是_______【答案】3-##3-+如图，设点()10,2C -关于直线10x y -+=对称的点为()030,C x y ，所以，00002121022y x x y +⎧=-⎪⎪⎨-⎛⎫⎪-+= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得003,1x y =-=，即()33,1C -，所以，3252C C =所以，32523PA B C P C r R --+=-≥，即PA PB +的最小值是523-.故答案为：523-4．过直线3450x y +-=上的一点P 向圆()()22344x y -+-=作两条切线12l l ，．设1l 与2l 的夹角为θ，则θ的最大值为______．【答案】π3##60︒【分析】由题可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，根据圆的性质结合条件可得1sin sin22APC θ∠=≤，进而即得.【详解】由()()22344x y -+-=，可得圆心为()3,4C ，半径为2，设12l l ，与圆C 切于,A B ，则2APB APC θ=∠=∠，在Rt APC △中，2AC =，2sin sin 2CA APC CP CPθ∠===又()3,4C 到直线3450x y +-=的距离为223344534⨯+⨯-+所以4CP ≥，1sin sin22APC θ∠=≤，所以APC ∠的最大值为π6，即θ的最大值为π3.故答案为：π3.5．已知圆22:410,+--=M x y x (),P x y 是圆M 上的动点，则3t x =+的最大值为_________；22x y +的最小值为____________．6.18世纪末，挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，使复数及其运算具有了几何意义，例如z OZ =，也即复数z 的模的几何意义为z 对应的点Z 到原点的距离．已知复数z 满足2z =，则34i z --的最大值为（）A ．3B ．5C ．7D ．9【答案】C【解析】2z = ，z ∴对应的点(),Z x y 的轨迹为圆224x y +=；34i z -- 的几何意义为点(),Z x y 到点()3,4的距离，max 34i 27z ∴--==.故选：C.题型六：圆与圆的位置关系问题【例1】已知圆221:1C x y +=与圆222:(3)(4)4C x y -+-=，则圆1C 与2C 的位置关系是（）A ．内含B ．相交C ．外切D ．相离【例2】已知点P 在圆O ：224x y +=上，点()30A -,，()0,4B ，满足AP BP ⊥的点P 的个数为（）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】【分析】设(,)P x y ，轨迹AP BP ⊥ 可得点P 的轨迹方程，即可判断该轨迹与圆的交点个数.设点(,)P x y ，则224x y +=，且(3,)(,4)AP x y BP x y =+=- ，，由AP BP ⊥，得22(3)(4)340AP BP x x y y x y x y ⋅=++-=++-= ，即22325()(2)24x y ++-=，故点P 的轨迹为一个圆心为3(,2)2-、半径为52的圆，则两圆的圆心距为52，半径和为59222+=，半径差为51222-=，有159222<<，所以两圆相交，满足这样的点P 有2个.故选：B.【例3】圆221:22260O x y x y +---=与圆222:820O x y y +--=的公共弦长为（）A ．B ．C ．D ．【例4】已知圆C ：()()22681x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（）A ．12B ．11C ．10D ．9【答案】B【分析】由题意得P 点轨迹，转化为有交点问题【详解】90APB ∠=︒，记AB 中点为O ，则||OP m =，故P 点的轨迹是以原点为圆心，m 为半径的圆，又P 在圆C 上，所以两圆有交点，则|1|||1m OC m -≤≤+，而||10OC =，得911m ≤≤．故选：B【题型专练】1．写出与圆221x y +=和圆()2264x y -+=都相切的一条直线的方程______.2.（2022全国新高考1卷）写出与圆x 2＋y 2＝1和(x －3)2＋(y －4)2＝16都相切的一条直线的方程_______．【答案】3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆221x y +=的圆心为()0,0O ，半径为1，圆22(3)(4)16x y -+-=的圆心1O 为(3,4)，半径为4，5=，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l 时，因为143OO k =，所以34l k =-，设方程为3(0)4y x t t =-+>O 到l 的距离1d ==，解得54t =，所以l 的方程为3544y x =-+，当切线为m 时，设直线方程为0kx y p ++=，其中0p >，0k <，由题意14⎧=⎪⎪=，解得7242524k p ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，7252424y x =-当切线为n 时，易知切线方程为1x =-，故答案为：3544y x =-+或7252424y x =-或1x =-.3.（多选题）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 14.已知点()()2,3,5,1A B -，则满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数有（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，将所求转化为求圆A 与圆B 的公切线条数，判断两圆的位置关系，从而得公切线条数.【详解】以A 为圆心，1为半径，B 为圆心，3为半径分别画圆，如图所示，由题意，满足点A 到直线l 的距离为1，点B 到直线l 距离为3的直线l 的条数即为圆A 与圆B 的公切线条数，因为513AB ==>+，所以两圆外离，所以两圆的公切线有4条，即满足条件的直线l 有4条.故选：D5.已知圆()()221:111C x y -++=，圆()()222:459C x y -+-=，点M 、N 分别是圆1C 、圆2C 上的动点，点P 为x 轴上的动点，则PN PM -的最大值是（）A ．4B ．9C ．7D ．2【答案】B【解析】【分析】分析可知()21max 4PN PM PC PC -=-+，设点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，可得出22PC PC '=，求出21PC PC '-的最大值，即可得解.【详解】圆()()221:111C x y -++=的圆心为()11,1C -，半径为1，圆()()222:459C x y -+-=的圆心为()24,5C ，半径为3．()max min max PN PM PN PM -=- ，又2max 3PN PC =+，1min 1PMPC =-，()()()2121max 314PN PM PC PC PC PC ∴-=+--=-+．点()24,5C 关于x 轴的对称点为()24,5C '-，2121125PC PC PC PC C C ''-=-≤==，所以，()max 549PN PM -=+=，故选：B ．。
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高考数学总复习题型分类汇《直线与圆》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一倾斜角与斜率 (3)题型二直线方程 (3)题型三直线位置关系的判断 (4)题型四对称与直线恒过定点问题 (4)题型五圆的方程 (5)题型六直线、圆的综合问题 (6)【巩固训练】题型一倾斜角与斜率 (7)题型二直线方程 (8)题型三直线位置关系的判断 (9)题型四对称与直线恒过定点问题 (10)题型五圆的方程 (11)题型六直线、圆的综合问题 (12)高考数学《直线与圆》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 倾斜角与斜率例1 直线l 310y +-=，则直线l 的倾斜角为（ ）A. 0150B. 0120C. 060D. 030【答案】 A【解析】由直线l 的方程为310y +-=，可得直线的斜率为33-=k ，设直线的倾斜角为[)πα,0∈，则33tan -=α，∴︒=150α． 故选：A ．【易错点】基础求解问题注意不要算错【思维点拨】直线方程的基础问题（倾斜角，斜率与方程，注意倾斜角为α为2π，即斜率k 不存在的情况）应对相关知识点充分理解，熟悉熟练例2 已知三点()0,a A 、()7,3B 、()a C 9,2--在一条直线上，求实数a 的值.【答案】2=a 或92=a 【解析】597,35a k a k CB AB +=-= ∵A 、B 、C 三点在一条直线上，∴BC AB k k =，即59735a a +=-，解得2=a 或92=a ．题型二 直线方程例1 经过点()1,1M 且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）．A. 2x y +=B. 1x y +=C. 1x =或1y =D. 2x y +=或x y =【答案】D【解析】若直线过原点，则直线为y x =符合题意，若直线不过原点设直线为1x y m m+=， 代入点()1,1解得2m =，直线方程整理得20x y +-=，故选D ．【易错点】截距问题用截距式比较简单，但截距式1=+n y m x 中要求m ，n 均非零。
故做题时应考虑此情形 【思维点拨】求解基本直线方程问题通常比较简单，考虑时注意每种形式的适用范围即可。
不要漏解。
题型三 直线位置关系的判断例1 直线()1:3230l kx k y +--=和()()2:2220l k x k y -++-=互相垂直，则实数k 的值是（ ）A. 2-或1-B. 2或1-C. 2-或1D. 2或1【答案】D【解析】根据直线垂直的充要条件得到： ()()()3*22*20k k k k -+-+=化简为23201k k k -+=⇒= 或2 故选择D【易错点】本题若采用斜率之积为-1求解，则容易错误。
首先求斜率变形时分母不为0，分母为零，实际上上是一条竖线（k 不存在）；其次垂直时应为：121-=k k （斜率均存在）或21k k ，中一为0，一不存在若用0:1=++c by ax l ，0:2=++t ny mx l 垂直的充要条件：0=+bn am ，则避免上述问题【思维点拨】 直线位置关系问题（平行与垂直）应熟练掌握其判断方法。
一般而言，除一般式其他形式可能漏解（忽略了k 不存在的情况）。
在做题时应该考虑全面，避免少解题型四 对称与直线恒过定点问题例1 点()2,4关于直线230x y +-=的对称点的坐标为_________．【答案】()2,2-【解析】设对称点坐标为()00,x y ，则对称点与已知点连线的中点为0024,22x y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由题意可得()00004122{ 2423022y x x y -=-++⨯+-=，解得002{ 2x y =-= 所以对称点坐标为()2,2-．【易错点】此题求点可以设点，利用对称（实则用中垂线），建立方程组求解；亦可先求过该点与已知线垂直的直线方程，联立求交点，反推对称点（中点坐标公式）即可【思维点拨】对称问题像点关于点对称点关于直线对称，直线关于直线对称，其本质都是点点对称。
当点运动则轨迹（曲线）得到而已。
点点对称根据中点坐标公式转化，有时候利用中垂线特性（垂直，平分）进行求解例2 直线()32y kx k k R =-+∈必过定点（ ）．A. ()3,2B. ()3,2-C. ()3,2--D. ()3,2-【答案】A【解析】()32y k x =-+，当3x =时， 2y =，直线过()3,2定点，故选A ．【易错点】对直线方程的常见表达式应熟悉熟练，并能进行恰当变形【思维点拨】直线过定点关键是把所有参数提出来，保证参数后面为零。
即可求得题型五 圆的方程例1 若圆心在x O 位于y 轴左侧，且与直线20x y += 相切，则圆O 的方程是A ．22(5x y -+=B ．22(5x y ++=C ．22(5)5x y -+=D ．22(5)5x y ++= 【答案】D【解析】设圆心(,0)(0)O a a <，=，即||5a =，解得5a =-，所以圆O 的方程为22(5)5x y ++=．例2圆心在直线20x y -=上的圆C 与y 轴的正半轴相切，圆C 截x 轴所得弦的长为C 的标准方程为 ．【答案】22(2)(1)4x y -+-=【解析】设圆心为(2,)b b ，则圆的半径为2b ，圆心到x 轴的距离为b ，所以0b =>，解得1b =，所以圆C 的标准方程为 22(2)(1)4x y -+-=．例3 已知圆经过点()1,2-A ，圆心在直线02=+y x 上且与直线:1l 01=--y x 相切，求圆的方程.【答案】见解析【解析】设圆的方程为()()()0222>=-+-r r b y a x . ∵圆心在直线x y 2-=上，∴a b 2-=，即圆心为()a a 2,-.又圆与直线01=--y x 相切，且过点()1,2-，∴r a a =-+212，()()222212r a a =+-+-，即()()()2222122213a a a +-+-=-， 解得1=a 或9=a .∴1=a ，2-=b ，2=r 或9=a ，18-=b ，338=r ，故所求圆的方程为：()()22122=++-y x ，或()()33818922=++-y x .此题也可设出圆心所在直线方程0:2=++t y x l ，联立21l l 与求圆心P ,利用P 到A 的距离与到1l 距离相等求解t 。
则方程可求【易错点】圆方程求解需要对圆的方程形式（标准式与一般式，其适用范围，两者转化）充分熟悉。
在解题时采用合适的方法（或代数法，或几何法）进行相关求解 【思维点拨】求解圆的方程问题可以采用代数方法：设合适的方程，根据条件进行转换。
变形解方程等求解；也可以采用几何法（勾股定理，相似等）进行求解题型六 直线、圆的综合问题例1 直线250x y +-+=被圆22240x y x y +--=截得的弦长为( )A ．1B ．2C ．4D ．【答案】C【解析】圆心(1,2)，圆心到直线的距离d =，半径r =4=. 例2 已知点()b a M ,在圆O ：122=+y x 外，则直线1=+by ax 与圆O 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定【答案】B【解析】因为()b a M ,在圆O ：122=+y x 外，所以122>+b a ，而圆心O 到直线1=+by ax 的距离1122<+=b a d ，故直线与圆O 相交.例3 直线l ：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21x k y 与圆C ：122=+y x 的位置关系为( ) A. 相交或相切 B. 相交或相离 C. 相切 D. 相交【答案】D【解析】由于圆心()0,0 ，半径等于1，圆心到直线l ：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21x k y的距离为112d r ====＜＜， 故直线和圆相交，故选D ．例4已知圆()()221:231C x y -+-=，圆()()222:349C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x 轴上的动点，则PM PN +的最小值为A．4 B1 C．6-【答案】D【解析】圆1C ，2C 的圆心分别为1C ，2C ，由题意知11-≥PC PM ，32-≥PC PN ， ∴421-+≥+PC PC PN PM ，故所求值为421-+PC PC 的最小值．又1C 关于x 轴对称的点为()3,23-C ， 所以421-+PC PC 的最小值为425423-=-C C ，故选A ．【易错点】此题可以采用联立方程（∆）求解；也可以采用圆心到直线的距离与半径大小比较求解；还可以利用直线l 恒过⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0，易得（可作草图）该点在圆内，故应为相交。
直线（含参数）过定点特征应有所熟悉，高考中常有涉及【思维点拨】直线与圆位置关系通常采用圆心到直线距离d 与圆半径r 大小确定。
圆:C ()()222x a y b r -+-=，直线l ：0=++C By Ax ，圆心()b a C ,到直线l 的距离为d ，则：1.r d >，直线与圆相离。
可求圆上动点到直线距离范围（最大最小）问题2.r d =，直线与圆相切。
依此可求过圆C ：222r y x =+上某点),(00y x P 的切线方程：200r y y x x =+； 一般地，过圆C ：()()222r b y a x =-+-上某点),(00y x P 的切线方程：()()()()200r b y b y a x a x =--+--. 3.r d <，直线与圆相交。
此时常用勾股定理2222⎪⎭⎫ ⎝⎛+=AB d r （AB 为相交弦）来求解相关问题. 【巩固训练】题型一 倾斜角与斜率1.经过()0,2-A ，()3,5-B 两点的直线的斜率是_______，倾斜角是_______．【答案】见解析【解析】经过()0,2-A ，()3,5-B 两点的直线的斜率()12503-=----=k ，故倾斜角为︒135． 2.设点()3,2-A ，()2,3--B ，直线l 过点()1,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A. 43≥k 或4-≤k B. 434≤≤-k C. 443≤≤-k D. 以上都不对 【答案】A【解析】求得43,4=-=PB PA k k ,结合图像知k 的范围为434≥-≤k k 或 3.直线l 过点()2,1A ，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( )A.0B.1C.21 D.2 【答案】D【解析】如图，2=OA k ，0='l k ，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故[]2,0∈k .故直线l 的斜率k 的最大值为2.题型二 直线方程1.过点()3,1A 且倾斜角为120︒的直线方程为（ ） A. 34y x =-- B. 34y x =-+ C. 32y x =-- D. 32y x =-+ 【答案】B【解析】倾斜角为120︒的直线斜率为3-.利用点斜式可得()133y x -=--.整理得34y x =-+. 2.直线l 过点()2,1-且与直线0432=+-y x 垂直，则l 的方程是( )A ．0123=-+y xB ．0723=++y xC ．0532=+-y xD ．0832=+-y x【答案】A【解析】设023:=++t y x l ，代入()2,1-.得1-=t3.已知()2,1A ,()1,3B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）．A. 0524=+-y xB. 0524=--y xC. 052=-+y xD. 052-=-y x【答案】B【解析】AB 中点为M )232(，,21-=AB k .则中垂线斜率2=k .方程为).2(223-=-x y 化简得： 0524=--y x4.已知直线l 过点()2,1，且在x 轴截距是在y 轴截距的2倍，则直线l 的方程（ ）A.052=-+y xB.052=++y xC.02=-y x 或052=-+y xD.02=-y x 或032=+-y x【答案】C【解析】当直线过原点时，又过点()2,1，∴所求直线方程为02=-y x .当直线不过原点时，由已知设直线方程为12=+my m x ，又过点()2,1，∴所求直线方程为052=-+y x ∴选C题型三 直线位置关系的判断1.已知直线20x y --=与直线0mx y +=垂直，那么m 的值是（ ）．A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】C【解析】利用垂直的条件：0)1(11=-⋅+⋅m ，得1=m2.若直线()1:34350l m x y m +++-=与直线()2:2580l x m y ++-=平行，则m 的值为（ ）． A. 133-B. 1-或7-C. 6-D. 7- 【答案】D【解析】∵12l l ，∴()()3524m m +⋅+=⨯，解得1m =-或7-，又当1m =-时，两条直线重合， 故7m =-．3.直线3x y +=和直线2x y +=的位置关系是（ ）． A. 垂直 B. 相交不垂直 C. 平行 D 重合．【答案】A【解析】∵110⨯+⨯=，∴两条直线相互垂直．故选A ．题型四 对称与过定点1.直线2130x my m -+-=，当m 变化时，所有直线都过定点（ ） A. 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭ B. 1,32⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 1,32⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】直线2130x my m -+-=，化为()2130x m y +-+=，令210{ 30x y +=+=，解得1,32x y =-=-，当m 变动时，所有直线都通过定点1,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选D. 2.直线()():220l m n x m n y m n ++--+=，对任意,m n R ∈直线l 恒过定点_______．【答案】()1,1-【解析】()()220m n x m n y m n ++--+=可化为：()()2120m x y n x y +-+-+=，若要让m,n “失去作用”，则210{ 20x y x y +-=-+=，解得1{ 1x y =-= ，即定点为()1,1-. 3.已知直线l 经过点()6,4P ，斜率为k（1）若l 的纵截距是横截距的两倍，求直线l 的方程；（2）若1k =-，一条光线从点()6,0M 出发，遇到直线l 反射，反射光线遇到y 轴再次反射回点M ，求光线所经过的路程.【答案】（1）:230l x y -=或:2160l x y +-=；（2）【解析】（1）由题意得0k ≠。