椭球面上的测量计算
投影长度变形计算公式
高斯投影长度变形公式
长度变形来源于以下两个方面
1、实地测量的边长长度换算到椭球面上产生的变形，即∆s1；
改正数误差方程式(此式较复杂这里省略)经最小二乘列出误差方程式,按级数展开后取其主项(其它项的影响甚微可忽略不计)：
∆s1=−H m
R A
s（1）式中：R A—长度所在方向的椭球曲率半径；
H m—长度所在高程面对于椭球面的平均高程；
s—实地测量的水平距离。
2、椭球面上的长度投影至高斯平面
∆s2=+y m2
2R2
s0（2）式中：R—测区中点的平均曲率半径；
y m—距离的2端点横坐标平均值；
s0—为归算到椭球面上的长度。
在不影响推证严密性的前提下取， R A=R，s=s0，综合上两式可得,综合长度变形∆s为：
∆s=−H m
R
s+
y m2
2R2
s。
椭球面的几何特征与测量计算课件
椭球面的离散化方法
椭球面的离散化方法是将椭球面分割成 若干个小的离散单元，以便于进行数值
计算和分析。
常见的离散化方法包括网格法、元胞自 动机法、粒子群优化算法等。
离散化方法需要考虑离散单元的大小和 形状，以及离散单元之间的连接关系等 因素。离散化方法的精度和效率直接影 响到数值计算和分析的准确性和可靠性
数据处理方法
在空间数据处理过程中，椭球面可以作为基础数据结构，用于建立各种地理信息要素的空 间关系，如点、线、面等要素的相互关系。
椭球面在空间信息分析中的应用
信息分析方法
空间信息分析是地理信息系统的核心功能之一，包括空间查询、空间分析、空间统计等。椭球面作为一种几何模型， 可以为空间信息分析提供重要的方法和手段。
椭球面的几何特 征与测量计算课 件
目录
• 椭球面的基本几何特征 • 椭球面的测量计算方法 • 椭球面在地理信息系统中的应用 • 椭球面在大地测量学中的应用 • 椭球面的数学模型与计算方法 • 椭球面在地球科学领域的应用前
景
01
椭球面的基本几何特征
椭球面的定义与方程
Hale Waihona Puke 椭球面定义椭球面是一种二次曲面，由椭圆 围绕其主轴旋转形成。
椭球面方程
对于一个椭球面，其一般方程可 写为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 + z^2 / c^2 = 1，其中a、b、c是 椭球的长半轴、中半轴和高半轴 。
椭球面的主轴与极点
主轴
椭球面的主轴是椭圆的主轴，也是椭 球面的旋转轴。
极点
在椭球面上，与主轴等距离的点形成 的曲线称为极曲线，极曲线的交点称 为极点。
椭球面的基本性质
封闭性
一组高精度椭球面电子计算实用公式
一组高精度椭球面电子计算实用公式
顾旦生
【期刊名称】《测绘通报》
【年(卷),期】1997()3
【摘要】一组高精度椭球面电子计算实用公式顾旦生（中国测绘科学研究院１０００３９）我国天文大地网整体平差于１９８２年５月完成。
经整体平差的我国天文大地网的精度得到极大提高，能完全满足我国国家级各种比例尺测图控制以及其它国民经济建设和国防建设等有关方面的需要。
近...
【总页数】8页(P2-9)
【关键词】大地测量;控制网;椭球面;电子计算;计算公式
【作者】顾旦生
【作者单位】中国测绘科学研究院
【正文语种】中文
【中图分类】P221
【相关文献】
1.地球椭球面上航迹计算的中分纬度公式 [J], 丁佳波
2.一组性能优良的水和水蒸汽高精度特性公式 [J], 蒋寻寒;曹祖庆
3.论椭球面在球面上投影的一般公式和极值性质 [J], 杨启和
4.关于地面斜距归算椭球面长度公式的一点注释 [J], 余贤著;曾启雄
5.高精度任意元素椭球面子午线长度的正反算 [J], 李海祥;张伟国
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第7章椭球面讲义上的测量计算
(7 31)
B tg1( Z Ne2 sin B) X 2 Y2
(7 32)
H Z N(1 e2 ) sin B
(7 34)
• （7－31）可直接由（7－25）得到。
• （7－32）可根据右图得到。
• OP″＝x＝ X2 Y2
• 因等式右边也包含B，故需迭代计算， 其初始值可设为0; N值也需逐次迭代。
• 归算和改化工作分两步进行。不难理解，椭球体实际上只是一个 过渡体。
• 在第一章中已经简介过参考椭球体的有关概念和参数。本章将比 较系统、详细地介绍椭球体的参数、坐标系以及在椭球面上的测 量计算问题。
• 椭球面上的测量计算公式很多。因时间有限，不一定一一推导。 课堂上讲过的主要公式，未推导部分请同学们课后尽量自学。
• 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年 西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是 WGS-84椭球参数。
• 涉及我国的这三组参数值见表7－1。
克拉索夫斯基椭球
1975年国际椭球
WGS-84椭球
a
6378245 (m)
6378140（m）
6378137 (m)
ab
a
④第一偏心率：e a2 b2 a
⑤第二偏心率： e a2 b2 b
• e和e׳是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆长短半径之比，它 们也能反映椭球体的扁平程度。偏心率越大，椭球愈扁。
• 五个参数中，知道其中的两个就可决定椭球的形状和大小，但其 中至少应有一个是长度元素（如a或b）。习惯上通常用a和α。
计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面。
• 椭球体有关元素——
O为椭球中心；
NS为旋转轴；
椭球基本知识
控制测量计算理论
六、地面观察值归算至椭球面
3、地面观察方向归算至椭球面 归算旳基本要求 地面观察方向归算至椭球面上有3个基本内容： 1) 将测站点铅垂线为基准旳地面观察方向换算成椭球面上以 法线方向为准旳观察方向； 2) 将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间旳 法截线方向； 3) 将椭球面上旳法截线方向换算成大地线方向。
H H正常 (高程异常)
H H正 N (大地水准面差距)
控制测量计算理论
一、常用旳四种坐标系
2、空间直角坐标系 以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴， 在赤道面上与X轴正交旳方向为Y轴，椭球体旳旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点旳位置 用X、Y、Z表达 。 空间直角坐标系旳坐标原点位于地球 质心（地心坐标系）或参照椭球中心（参 心坐标系），Z 轴指向地球北极，x 轴指 向起始子午面与地球赤道旳交点，y 轴垂 直于XOZ 面并构成右手坐标系。
4、平均曲率半径
在实际际工程应用中，根据测量工作旳精度要求，在一定范围内，把
椭球面当成具有合适半径旳球面。取过地面某点旳全部方向 RA 旳平均值
来作为这个球体旳半径是合适旳。这个球面旳半径——平均曲率半径R：
R MN 或
R b c N a (1 e2 ) W2 V2 V W2
所以，Ｒ等于该点子午圈曲率半径Ｍ和卯酉圈曲率半径Ｎ旳几何
控制测量计算理论
三、地球椭球及其定位
1、椭球旳几何参数及其关系
e2
a2 b2 a2
e'2
a2 b2 b2
1 e2
b2 a2
1 e2
椭球面坐标与大地测量的转换方法与公式
椭球面坐标与大地测量的转换方法与公式椭球面坐标是地球表面上的一种坐标系统, 它将地球视为一个近似椭球体, 提供了一种测量和计算地球上点的方法。
在实际的测量和定位任务中, 经常需要将椭球面坐标转换为其他坐标系统, 或者反过来。
这就需要使用一些转换方法和公式。
一、椭球面坐标系统椭球面坐标系统是大地测量学中常用的一种坐标系统。
它使用经度、纬度和高程来描述地球上的点。
其中，经度表示点在东西方向上的位置，纬度表示点在南北方向上的位置，而高程表示点相对于基准面的高度。
在椭球面坐标系统中，常用的参考椭球体包括WGS84、CGCS2000等。
二、椭球面坐标与地心坐标的转换将椭球面坐标转换为地心坐标是大地测量中常见的任务。
地心坐标是以地球质心为原点的坐标系统，它与椭球体的长短轴、扁率等参数有关。
在转换过程中，需要考虑到椭球体的参数，包括椭球体的半长轴a、扁率f等。
常用的转换方法包括勒让德多项式展开法、球面三角法等。
三、椭球面坐标与笛卡尔坐标的转换将椭球面坐标转换为笛卡尔坐标是另一个常见的任务。
笛卡尔坐标是三维坐标系，它使用直角坐标系来表示地球上的点。
在转换过程中，需要考虑到椭球体的参数，包括椭球体的半长轴a、扁率f等。
常用的转换方法包括克里金插值法、最小二乘法等。
四、大地测量中的应用椭球面坐标与大地测量的转换方法和公式在实际测量和定位任务中发挥着重要的作用。
它们被广泛应用于地理信息系统、导航定位、地质勘探等领域。
例如，在导航定位中，利用椭球面坐标与笛卡尔坐标的转换，可以实现卫星导航系统的精确定位。
在地质勘探中，利用椭球面坐标与地心坐标的转换，可以确定地下矿藏的位置和分布。
总结：椭球面坐标与大地测量的转换方法与公式是地球科学中的重要内容。
通过了解和掌握这些方法和公式，我们可以更好地进行地球测量和定位任务。
椭球面坐标系统提供了一种描述地球表面上点的方式，而转换方法和公式则是实现不同坐标系统之间转换的关键。
在实际应用中，我们需要根据具体任务的要求选择适当的转换方法和公式，以保证测量和定位的精度和准确性。
5-椭球面的几何特征与测量计算解析
2
0
1
MN
2
M NtgA
M1 N co2sAdA
设 t M tgA N
则
dt
M N
1 cos2
dA A
大地测量学基础
第二节 椭球面上法截线曲率半径
四、平均曲率半径
此时积分限要作相应变更：当A=0时，t=0；A
2
时，t 。
照此换元后，经积分得到下式，
R2
MN
dt
2
0 1t2
MNarctg 0 t
第三节 椭球面上弧长计算 大地测量学基础
一、子午圈弧长公式
（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）
1、计算B=0到B的子午圈弧长X
由M=dX/dB得X：
B
dX
B
MdB
0
0
将
代入上式，从0到B积分，可得X。 可知，X是B的函数。
大地测量学基础
第三节 椭球面上弧长计算
一、子午圈弧长公式
（用于高斯投影计算，椭球面上大地问题解算）
11 (11)(2 s A ic n2 o A )s 11
RR A 90 MN
MN
大地测量学基础
第二节 椭球面上法截线曲率半径
四、平均曲率半径
1 n
R ni1
RAi
(n)
R 2 10 2 R A d A 2 10 2 N c o s 2A M N M s in 2A d A
R2
dyta9 n0 (B)coBt dx
yx(1e2)tanB
x
a
coBs
1e2sinB2
N a c WV
VW1e2 WV1e2bVaV,ca2 ac b
W1e2si2nB V1e'2co2B s12
控制测量学将地面观测值归算至椭球面
将地面观测值归算至椭球面6.4.1 概述参考椭球面是测量计算的基准面。
在野外的各种测量都是在地面上进行，观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的垂线，各点的垂线与法线存在着垂线偏差。
因此不能直接在地面上处理观测成果，而应将地面观测元素（包括方向和距离等）归算至椭球面。
在归算中有两条基本要求：（1）以椭球面的法线为基准；（2）将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素。
6.4.2 将地面观测的水平方向归算至椭球面 1．垂线偏差改正u δ地面上所有水平方向的观测都是以垂线为根据的，而在椭球面上则要求以该点的法线为依据。
把以垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正定义为垂线偏差改正，以u δ表示。
如图所示，以测站A 为中心作出单位半径的辅助球，u 是垂线偏差，它在子午圈和卯酉圈上的分量分别以ηξ,表示，M 是地面观测目标m 在球面上的投影。
垂线偏差改正的计算公式是：1cot )cos sin (Z A A m m uηξδ''-''-='' 1tan )cos sin (αηξm m A A ''-''-=式中：ηξ,为测站点上的垂线偏差在子午圈及卯酉圈上的分量，它们可在测区的垂线偏差分量图中内插取得；m A 为测站点至照准点的大地方位角；1Z 为照准点的天顶距；1α为照准点的垂直角。
垂线偏差改正的数值主要与测站点的垂线偏差和观测方向的天顶距（或垂直角）有关。
2.标高差改正h δ 标高差改正又称由照准点高度而引起的改正。
不在同一子午面或同一平行圈上的两点的法线是不共面的。
当进行水平方向观测时，如果照准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点，由此引起的方向偏差的改正叫做标高差改正，以h δ表示。
如图所示，A 为测站点，如果测站点观测值已加垂线偏差改正，则可认为垂线同法线一致。
地球椭球面相对大地水准面的高度
地球椭球面相对大地水准面的高度摘要：一、引言二、地球椭球面与大地水准面的概念三、地球椭球面相对大地水准面的高度测量方法四、我国采用的地球椭球面与大地水准面的高度基准五、地球椭球面相对大地水准面的高度在实际应用中的意义六、结论正文：地球是我们生活的星球，它的形状并非完全的球体，而是一个稍微扁平的椭球体。
大地水准面则是地球表面上一个理想的水平面，与椭球面存在一定的高度差。
本篇文章将详细介绍地球椭球面相对大地水准面的高度及其测量方法。
首先，我们需要了解地球椭球面与大地水准面的概念。
地球椭球面是一个接近地球真实形状的椭球面，而大地水准面则是一个与地球椭球面相切的水平面。
由于地球自转和地球内部结构的差异，地球椭球面与大地水准面之间存在一定的高度差，这个高度差即为地球椭球面相对大地水准面的高度。
接下来，我们来了解一下地球椭球面相对大地水准面的高度的测量方法。
目前，全球范围内主要有两种测量方法：一是重力高法，通过测量地球重力场，计算出地球椭球面与大地水准面之间的高度差；二是卫星测高法，利用卫星测量技术，通过观测地球表面某一点的绝对高程，计算出地球椭球面与大地水准面之间的高度差。
在我国，我们采用的地球椭球面与大地水准面的高度基准是1985 国家高程基准。
这一基准是我国自主建立的，对于我国国土范围内的地形地貌研究、工程测量以及国土规划等方面具有重要意义。
地球椭球面相对大地水准面的高度在实际应用中具有重要意义。
首先，准确地了解地球椭球面与大地水准面之间的高度差，有助于我们更好地研究地球的形状、大小以及地球内部结构；其次，在国土规划、城市建设、交通运输等工程领域，地球椭球面相对大地水准面的高度数据是基础地形图、工程测量以及国土监测的重要依据。
总之，地球椭球面相对大地水准面的高度是一个重要的地理参数，对于地球科学研究、国土规划以及工程测量等方面具有重要意义。
7.4椭球面上的弧长计算
§7.4椭球面上的弧长计算在研究与椭球有关的一些测量计算时，例如研究高斯投影计算，往往要用到子午线弧长及平行圈弧长，现推导其计算公式。
7.4.1子午线弧长计算公式我们知道，子午椭圆的一半，其端点与极点相重合。
而赤道又把子午线分成对称的两部分，因此，我们只推导从赤道开始到已知纬度B 子午线弧长的计算公式。
取子午线上某微分弧dx P P =',令P 点纬度为B,P /点纬度为B dB +,P 点的子午圈曲率半径为M,于是有dx MdB = (7-62)要计算从赤道开始到任意纬度B 的子午线弧长,必须求出下列积分值: ⎰⎰⎰---=-==B B B dB B e e a dB W e a MdB X 0232220032)sin 1()1()1( (7-63) 将积分因子按二项式定理展开为级数形式+++=--B e B e B e 44222322sin 815sin 231)sin 1( 为积分方便,将正弦的指数函数化为余弦的倍数函数.则由于: sin cos sin cos cos 241212238122184B B B B B =-=-+ 于是有:++-+-+=--)4cos 64152cos 16156445()2cos 4343(1)sin 1(444222322B e B e e B e e B e 令常系数:A e e =+++134456424 =B ++42161543e e (7-64)=C +46415e 将其代入(7-63)式中:X a e A B B C B dB B=--+-⎰()(cos cos )12420 积分后得由赤道至子午线上某点的子午弧长公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--= B C B B B A e a X 4sin 42sin 2)1(2ρ (7-65) 7.4.2平行圈弧长公式旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上任意一点的子午面直角坐标x,(7-69)如果平行圈上有两点，其经差12 L L l -=''，可写出平行圈弧长公式：cos ρ''''=l B N S (7-70) 7.4.3子午线弧长和平行圈弧长变化的比较从表中可以看出，单位纬差的子午线弧长随B 的增大而缓慢地增大；而单位经差的平行圈弧长则随B 的增大而急剧缩短。
椭球面上的测量计算
e2 e’2
0.006693421622 966 0.006738525414 683
我国所采用的的1954年北京坐标系应用的是克 拉索夫斯基椭球参数；以后采用的1980国家大地坐 标系应用的是1975国际椭球参数；而GPS应用的是 WGS-84系椭球参数。
大地测量学
主讲：田倩
2008 年 10 月
学科介绍：
根据德国著名大地测量学家F.R. Helmert 的经典定义，它是一门量测和描绘地球表面的科 学。它也包括确定地球重力场和海底地形。也就 是研究和测定地球形状、大小和地球重力场，以 及测定地面点几何位置的学科。是测绘学的一个 分支。
2
大地测量学的任务
a2 c , t tan B, 2 e2 cos 2 B b
W 1 e sin B ,V 1 e cos B
2 2 2 2
式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。
11
克拉索夫斯基椭球
1975国际椭球 6378140
WGS-84系椭球 6378137
a b
1880年瑞典耶德林提出悬链线状基线尺测量方法，继而法 国制成因瓦基线尺，使丈量距离的精度明显提高。
6
大地测量学的简史
19世纪末和20世纪30年代，先后出现了摆仪和重力仪，使 重力点数量大量增加，为研究地球形状和地球重力场提供 大量重力数据。 1945年苏联的M.C.莫洛坚斯基提出，不需要任何归算，可 以直接利用地面重力测量数据严格求定地面点到参考椭球 面的大地高程，直接确定地球表面形状，这一理论已被许 多国家采用。 20世纪40年代，电磁波测距仪的发明，克服了量距的困难， 使导线测量、三边测量得到重视和发展。 1957年第一颗人造地球卫星发射成功后，产生了卫星大地 测量学，使大地测量学发展到一个新阶段。
椭球面上观测成果归化到高斯平面上计算
高斯正形等角投影
R2
(xa
xb )
( ya
2
yb )
方向改化
（2）方向改化计算公式
• 球面角超公式为：
R2
(xa
xb )
( ya
2
yb )
• 适用于三、四等三角测量的方向改正的计算公式：
• 式中
ab
2R2
ym (xa
xb )
ba
2R2
ym (xa
xb )
ym
1 2
( ya
yb
)
，为a、b两点的y坐标的自然平均值
第三部分
距离改化
距离改化
1、距离改正数
距离改化计算 S
• 椭球面上已知的大地线边长（或观测的大地线边长）归算至平 面上相应的弦线长度
• 如图所示，设椭球体上有两点 P1, P2 及其大地线S，在高斯投影 面上的投影为 P1P2 长度为s；连接 P1, P2 两点的直线距离为D；
Nf
y2
y
tan B f
1
3N
3 f
(1
t
2 f
2 f
)
上式计算精度可达1“ 如果要达到0.001"计算精度，可用下式计算：
Nf
yt f
y 2
3N
3 f
t
f
(1
t
2 f
2 f
)
y 15N
5
5 f
t
f
(2
5t
2 f
3t
4 f
)
第二部分
方向改化
方向改化
（1）方向改化分析
• 方向改化值 ab ：椭球面上大地线AB方向改
椭球面上的测量计算
25
4.6.2 将地面观测的长度归算到椭球面
1、基线尺量距高程对长度归算的影响：
S0 R Hm 1 Hm
SR
R
S
S0 (1
Hm R
) 1
基线两端点平 均大地高程
基线方向法截 线曲率半径
将上式展开级数，取至二次项
S
S0 (1
Hm R
H
2 m
Байду номын сангаас
R2
)
SH
S
S0
是由弦长改 化为弧长的 改正项。
1 ( H2 H1 )2
d D
D
(1 H1 )(1 H 2 )
28
RA
RA
注意
决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中 的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如 a或b）。
为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：
c a2 ,t tan B, 2 e2 cos2 B
b
W 1 e2 sin2 B,V 1 e2 cos2 B
式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。
RA相应的圆弧长。
SD
1 ( H2 H1 )2 D
(1 H1 )(1 H2 )
D3 24RA2
27
RA
RA
简化后：
S D 1 h2 D H m D3
2D
RA 24RA2
由于控制点 之高差引起 的倾斜改正 的主项，经 过此项改正， 测线已变成 平距。
由于平均测 线高出参考 椭球面而引 起的投影改 正，经过此 项改正后， 测线已变为 弦线。
8
3）大地极坐标系
M为椭圆体面上任意 一点，MN为过M点的子 午线，S为连结MP的大 地线长，A为大地线在M 点的大地方位角。以M 为极点、MN为极轴、S 为极径、A为极角，就构 成了大地极坐标系。P点 位置用S、A表示。
椭球面离轴量
椭球面离轴量
椭球面离轴量是描述椭球形物体离心程度的物理量，是椭球面长轴和短轴的差值除以长轴。
也就是说，该值越大，则椭球越错。
椭球面离轴量是研究椭球体特性的基本物理量之一，广泛应用于机械设计、航空航天、地球物理学等领域。
椭球面离轴量的定义
一个长轴为a，短轴为b，离轴量为c的椭球面可以表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1。
在这个式子中，离轴量c就是椭球面离轴量。
椭球体离轴量的计算
椭球体离轴量计算方法有多种，以下介绍几种常用的方法。
(1) 较量法：通过测量椭球面长轴和短轴的差值，用长轴除以差值得到离轴量。
(2) 曲率法：在椭球面上选取三个不共线的点，通过求出这些点处的曲率半径，计算长轴和短轴的平均值和差值，然后计算离轴量。
(3) 高程法：选取椭球面上任意一点作为中心，向两个方向分别测出高程，然后以这两个高程的平均值为椭球面长轴的一半，再计算离轴量。
椭球体离轴量的应用
椭球体离轴量的应用非常广泛。
以下列举几个典型应用：
(1) 机械设计：在机械设计中，如果需要制造一个旋转的轮子或者滚珠，需要知道椭球面离轴量，以便准确地计算滚动半径。
(2) 航空航天：在航空和航天领域，离轴量是一个重要的物理量。
航空和航天器的运动速度和轨道方式需要根据离轴量调整。
(3) 地球物理学：在探测地球的过程中，需要根据地球的形状来分析重力场的分布。
因此，需要知道地球的离轴量。
总之，离轴量是描述椭球形物体离心程度的基本物理量，具有广泛的应用场景。
在实际应用中，需要根据不同的需求选择合适的计算方法。
椭球面上的测量计算
控制LO测GO量
三、任意法截弧的曲率半径
❖ 子午法截弧是南北方向，其方位角为00或1800； ❖ 卯酉法截弧是东西方向，其方位角为900或2700，
这两个法截弧在P点上是正交的。
控制LO测GO量
❖ 根据欧拉公式，由曲面上任意一点主曲率半径计算该点任意 方位角A的法截弧的曲率半径的公式为：
1 cos2 A sin2 A
R MN
上式即平均曲率半径的计算公式，表明，曲面任意一点的平均 曲率半径点是该点上主曲率半径的几何平均值。
控制LO测GO量
五、M、N、R的关系
❖ 椭球面上某一点的M、N、R值均是自该点起沿法线向内量取， 其长度通常是不相等的，由前面公式可知它们有如下关系： N>R>M
❖ 只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径c，即：
dS DEdx sinB sinB
（dx取负号，是因为在子午 面直角坐标系中，点的横坐 标随纬度B的增大而缩小）
控制LO测GO量
❖两式相代得
dx 1 M
dB sinB
acos2B W
dx dB
a
W
sin
Bcos W2
B
dW dB
W 1e2sin2B
dWd1e2sin2B2e2sinB cosBe2sinB cosB
克拉索夫斯基椭球子午线弧长计算公式：
X 1. 8 1 B 6 1. 4 1 6 1 s 2 8 B 0 3 i 1 . n 8 0 3 4 s 6 4 2 B i 6 0 . 0 n 8 s 6 2 B in 2 X 1 . 8 1 B 3 6 1 . 7 2 s 1 1 B c 8 i B 0 1 3 n o 0 . 9 0 s 3 4 3 s B 2 c i 5 B 3 n 0 . o 6 9 s 5 B s 9 c i B n
椭球面的几何特征与测量计算
4
e2
N
2 m
s2 cos2
Bm
s in 2 A1
a
3
e 2
12N
2 m
s2 cos2
Bm
s in 2 A1
十二 地面观测距离归算至椭球面
W
O
P
X=r
y
QB
y x(1 e2 ) tan B
a
x
cos B
1 e2 sin2 B
E
x
K
N sin B N (1 e2 )sin B e2 N sin B
S
纬度不同，椭球中心到法线与短轴交点之间的距离是不相等的
P
m2
Q1 m1
E
O
n1
n2
既不位于同一平行
圈上，也不位于同
MdB dS cos A rdL dS sin A
A P P2 dB cos A dS dL sin A dS sin A dS
dS P
M
r
N cos B
r N cos B
rdL
O
N P1
rdL N cos BdL
dA
P1T
P1T
90 B
B
P1T N tan( 90 B) N cot B
系数均以米作单位
0.00003m, 0.0003m, R 0.00009m
误差不超过这些舍去项
若将1975年国际椭球的相关参数值代入，还可得到1975年国 际椭球的曲率半径计算式。
五 椭球面上弧长 子午圈弧长公式
M dX dB
X B2 dX B2 MdB
大地测量学基础(椭球面上的几种曲率半径)
Ona Q1na sinB1 Onb Q2nbsinB2
b
A
a
B
O B 1 B 2 Q 2
Q1
由 Qn Ne2 ，得
na
Ona N1e2 sinB1
nb
Onb N2e2 sinB2
若 B1B2， Oan Obn
若A、B两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点有两条法
⑷了解大地线微分方程和克莱劳定理
—定义：椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线。
B
⑴ 大地线是一条空间曲线；
—性质：⑵ 大地线惟一，位于相对法截线之间。
C
—说明：⑴
1 3
A
其长度与法截线长度
相差为百万分之一毫米；
B
⑵地面观测值归算成大地线的
方向，距离。
A
3.大地线的微分方程和克莱劳方程 ⑴ 大地线的微分方程 描述p到p1时，dS与 dA、dL、 dB之间的关系 在微分直角三角形pp2p1中
截线。
说明：⑴相对法截线
A照准B：AaB叫A点的正法截线，B点的反法截线；
B照准A：BbA叫B点的正法截线，A点的反法截线。
⑵ 相对法截线的位置
BbA比AaB偏上。
B2B1， ObnOa， n
正反法截线的位置如课本图4-18 所示
⑶ 当A、B两点位于同一子午圈或平行圈时，正反法截线合 二为一。
⑷ 椭球面上A、B、C三点构不成三角形。（产生了矛盾） 2.大地线的定义和性质
个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的 闭合的圈，称为卯酉圈。
r N cos B
xr
a cos W
B
N
a W
N
椭球的几何参数与椭球面上有关数学性质
广义弧度测量方程式
sinL
新 新
N新
s(iNnBcHo)Ls (MH) coBscoLs
coLs
(NH) sinBsinL
(MH) coBssinL
0
coBs
(MH)
sinB
X0 Y0 Z0
旧
sinBcosL
sinBsinL cosBx
sinL
cosL
0y
N e2sin2BcosBsinLN e2sinBcosBcosL 0旧 z
x y
x L
（三）空间直角坐标系与大地坐标系的关系
在椭球面上的点：
X xcos L N cos Bcos L
Y xsin L N cos Bsin L
Z y N(1e2)sin B
不在椭球面上的点：
X (N H)cos Bcos L
Y
(N
H)cos
Bsin
L
Z [N(1e2) H]sin B
多点定位的方法过程（对于我国）
利用拉普拉斯点的成果和以有椭球参数求解
1)由广义弧度测量方程采用最小二乘法求椭球参数
采用IUGG 75椭球参数。
(X0 , Y0, Z0)
2)由广义弧度测量方程计算得到大地原点上的: K, K, K
大地原点处80椭球的垂线偏差ξK=-1.9″及ηK=-1.6″，高程 异常值差ζK=-14.2m。 忽略两种椭球坐标轴指向不平行的影
B
N
旧
其未知数是三个平移参数：△X0， △Y0，△Z0，三个旋转参数：εx，εy，
εz，一个尺度比参数m，及椭球大小和
形状参数△a，△α。通常，在实用上
舍去旋转和尺度比参数。
在每个天文大地点上都可以列出如上的弧度方程
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传统大地测量利用天文大地测量和重力测量资料推求地球椭球的 几何参数，自1738年（法国）布格推算出第一个椭球参数以来， 200多年间各国大地测量工作者根据某一国或某一地区的资料，求 出了数目繁多，数值各异的椭球参数。由于卫星大地测量的发展， 使推求总地球椭球体参数成为可能，自1970年以后的椭球参数都
W
y a(1 e2 ) sin B a (1 e2 ) sin B b sin B
1 e2 sin2 B W
V
两式即为子午面直角坐标x、y同大地纬度B的关系式。
7.2.2各种坐标系间的关系
空间直角坐标系与子午面直角坐标系的关系
注意到图7-3与图7-4，空间 直角坐标系中的相当于子午 平面直角坐标系中的y，相当 于x，且两者之经度相同，于 是可得：
e e 1 e2 e e 1 e2
V W 1 e2 W V 1 e2
e2 2 2 2
7.2椭球面上的常用坐标系及其相互关系
7.2.1各种坐标系的建立
大地坐标系：P点的子午面NPS与 起始子午面NGS所构成的二面 角叫做P点大地经度，P点的法 线Pn与赤道面的夹角B叫P点的 大地纬度，P点的位置用L、B 表示。
❖ 7.1.1地球椭球的基本几何参数
❖ 地球椭球 用来代表地球的椭球
❖ 参考椭球 具有一定的几何参数、定位及定向的用以代表某一地 区大地水准面的地球椭球叫做参考椭球。地面上一切观测元素 都应归算到参考椭球面上，并在该面上进行计算，它是大地测 量计算的基准面，同时又是研究地球形状和地图投影的参考面。
❖ 有关元素
采用了卫星大地测量资料。长半经变化于6378135m～ 6378145m之间，扁率分母变化于298.25～298.26之间，可见精
度已很高。比较著名的有30个椭球参数，其中涉及我国的有：
椭球参数
年代 长半径m
扁率分母
采用国家、地区
海福特
1906 6378283
297.8
美、阿根廷、比利时、大洋洲
克拉索夫斯基 1940 6378245
298.3
苏、东欧、中、朝鲜等
1975年大地坐 1975 标系
WGS-84
1984
6378140 6378137
298.257 298.25722
1975年国际第三个推荐值 GPS定位系统
我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年 西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是
X x cosL Y x sin L Zy
7.3椭球面上的几种曲率半径
❖ 法截面：过椭球面上任意一点做一条垂直与椭球面的法线，
包截含线这条法线的平面叫法M截面 。a(1法截e2面) 同椭球面的交线叫法
WGS-84系椭球参数。
7.1.2地球椭球参数间的相互关系
e2 a2 b2 a2
e2 a2 b2 b2
1 e2 b2 a21e2Fra biblioteka2 b2
(1 e2 )(1 e2 ) 1
e 2 e并2且得到： 1 e2
e2
e2 1 e2
a b 1 e 2 b a 1e2
c a 1 e2 a c 1 e2
用a和表示椭球的形状和大小，便于级数展开。引入下列符号：
c a2
t tgB 2 e2 cos2 B
❖ 式中B为b大地纬度，c为极曲率半径（极点处的子午线曲率半
径），
❖ 两个常用的辅助函数，W第一基本纬度函数，V第二基本纬度
函数，
W 1 e2 sin 2 B V 1 e2 cos2 B
本章提要
本章介绍了地球椭球，椭球体的基本几何参数， 基本坐标系及其相互关系，椭球面上的曲率半径及弧 长，大地线的定义及微分方程，并且在后面介绍了椭 球面同地面之间的关系以及两者间坐标的转换问题。
[要求]在对本章的学习中，首先要理解相关的 概念了解相关的内容即可，对推导的过程的掌 握不做要求。
7.1地球椭球的基本几何参数及相互关系
❖ 其中：a、b称为长度元素；
e a2 b2 b
❖ 扁率反映了椭球体的扁平程度，如α=0时，椭球变为球体； α=1时，则为平面。
❖ e和e/是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆半径之比，它们 也反映了椭球体的扁平程度，偏心率越大，椭球愈扁。
❖ 五个参数中，若知道其中的两个参数就可决定椭球的形状和大 小，但其中至少应已知一个长度元素（如a或b），人们习惯于
若点不在椭球面上，还要附加另 一参数大地高H，它与正常高
及正高的关系为：
H H正常 (高程异常)
H H正 N(大地水准面差距)
若点在椭球面上，H=0
大地坐标系是大地测量的基本坐标系，其优点为：⑴它是整个椭球体上 统一的坐标系，是全世界公用的最方便的坐标系统。⑵它与同一点的天
文坐标（天文经纬度）比较，可以确定该点的垂线偏差的大小. 空间直角坐标系:以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴，
❖ O为椭球中心；NS为旋转轴；a为长半轴；b为短半轴；子午圈 （或径圈或子午椭圆）；平行圈（或纬圈）；赤道。
❖ 旋转椭球的形状和大小是由子午椭圆的五个基本几何参数（元 素）来决定的，即：
❖ 椭圆的长半轴：
a 椭圆的短半轴：
b
ab
❖
椭圆的扁率：
a
❖
椭圆的第一偏心率：
e a2 b2
a
❖
椭圆的第二偏心率：
叫大地主题解算。
7.2.2各种坐标系间的关系
子午面直角坐标系同大地坐标系的关系
过P点作法线Pn，与x轴 之夹角为B，过P点作子 午圈的切线TP，与x轴的 夹角为（90+B）。该夹 角的正切值为曲线在P点 处之斜率，它等于曲线在 该点的一阶导数。
a cos B
a cos B
x
1 e2 sin2 B