清华大学材料力学习题详解范钦珊6章

×
π × 402 4
⎞ ⎟ ⎠
= (5.0 + 0.1674)×106 − (0.1256 + 0.8044 )×106
= 4.239×106 mm4
6－3 几何图形尺寸如图所示（单位为 mm）。试： 1、 确定形心主轴与水平方向的夹角； 2、 确定形心主惯性矩。
(a)
(b)
习题 6－3 图
解：1、确定形心位置
将组合图形分解为 1、2、3 三个矩形。根据反对称性，矩形 1 的形心 C1 即为组合图形 的形心。
2、建立初始坐标系，确定组合图形对于初始坐标系的惯性矩与惯性积
以 C1 为坐标原点，奖励 C1zy 坐标系，利用叠加的方法，求组合图形对于 z、y 轴的惯 性矩与惯性积
I y = I y (1) + I y (2) + I y (3)
6－4 图中所示组合截面为两根 No.20a 的普通热轧槽 形钢所组成的截面，今欲使 Ix = Iy，试求 b =？（提示：计算 所需要数据均可由型钢表中查得。）
解：由型钢表查到 No.20a 普通热轧槽钢 Iy1 = 1780.4 cm4，Iz1 = 128 cm4 yO = 2.01cm，A = 28.83cm2
=
Iy
+ 2
Iz
−
1 2
I y − I z 2 + 4 I yz 2
=
⎡ ⎢⎣
3.674
+ 2
15.17
−
1 2
(3.674
−15.17
)2
+
4
(
−5.88)2
⎤ ⎥⎦
×106
= (9.422 − 8.223)×106 = 1.199×106 mm4 = 1.199×10−6 m4
( ) ( ) Iz0 =
( ) = 2× −49.6×104 = −5.88×106 mm4
3、确定形心主轴与 z 轴的夹角
tanα0
=
2I yz Iy − Iz
=
−2× 5.88×106
(3.674 −15.17)×106
= 1.023
α0 = arctan (1.023) = 45.65D
3、确定形心主惯性矩
( ) ( ) Iy0
Iy
+ 2
Iz
+
1 2
2
2
I y − Iz + 4 I yz
( ) ( ) Iy0
=
Iy
+ 2
Iz
−
1 2
I y − Iz 2 + 4 I yz 2
=
⎡ ⎢⎣
3.674
+ 2
15.17
+
1 2
(3.674
− 15.17 )2
+
4
( −5.88)2
⎤ ⎥⎦
×106
= (9.422 + 8.223)×106 = 1.765×107 mm4 = 1.765×10−5 m4
100× 60× (−20) − 0
zC = 100× 60 − π × 402 = 25.3 mm 4
Iz
= 100 × 603 12
− π × 404 64
= 1.674×106
mm4
Iy
=
⎛ ⎜ ⎝
60 ×1003 12
+ 5.32
×100 ×
60
⎞ ⎟
−
⎛ ⎜
⎠⎝
π × 404 64
+ 25.32
习题 6－11
—2—
第 6 章 梁的弯曲问题（2）截面的几何性质
6－1 图示的三角形中 b、h。试用积分法求 Iz、Iy、Iyz 。 解：1、计算 Iy 取微面积如图 b 所示：
(a)
(b)
(c)
习题 6－1 图
dA = b ( z) dz, b ( z) = b z
h
∫ ∫ I y = z2dA = A
⎡ 20 × 703
⎢ ⎣
12
+
702 × 20× 30
⎤ ⎥ ⎦
( ) = 1.44×106 + 2 4.667 ×104 + 6.86×106 = 15.17 ×106 mm4
I yz = I yz (1) + I yz (2) + I yz (3) = 0 + 2I yz (2) = 0 + 2 ⎡⎣0 − (20× 70× 70× 30)⎤⎦
( ) =
120 ×103 12
+
2
⎡ 70 × 203
⎢ ⎣
12
+
20× 70× 302
⎤ ⎥ ⎦
( ) = 1×104 + 2 57.2×104 +126×104 = 3.674×106 mm4
—5—
Iz = Iz (1) + Iz (2) + Iz (3)
( ) =
10 ×1203 12
+
2
Iy= 2Iy1
Iz
=
2
⎡ ⎢⎣
I
z1
+
( y0
+
b )2 2
A⎤⎥⎦
—6—
习题 6－4 图
若 Iy = Iz，则
I y1
=
I z1
+
(
y0
+
b )2 2
A
⎛ b = 2⎜⎜⎝
I y1
− Iz1 A
−
y0
⎞ ⎟⎟⎠
=
⎛ 2 ⎜⎜⎝
1780.4 −128 28.83
×105
+
⎝
a2
×
π642 8
⎞ ⎟ ⎠
a = 40 − 2× 64 = 26.4 mm 3π
Iz
=
100 ×803 12
−
2
⎛ ⎜1.15
×105
+
⎝
26.42
×
π642 8
⎞ ⎟ ⎠
= 1.792×106
mm4
（b）题： 先求图形心位置：z 轴为对称轴，所以形心必在 z 轴上。 yC = 0
—4—
h z2 ( b z)dz = bh3
0h
4
2、计算 Iz 取微面积如图 b 所示:
dA
=
−h(
y)dy
=
−h
⎛⎜⎝1 −
y b
⎞ ⎟⎠
wenku.baidu.com
dy
∫ I z
=
−
−b 0
y2h ⎛⎜⎝1−
y b
⎞ ⎟⎠
dy
=
hb3 12
3、计算 Iyz 由图 b，
∫ ∫ I yz =
yzdA =
A
yzb( z )dz
A
b(z) = b z h
Iy
=
80 ×1003 12
−
π644 64
= 5.84×106
mm4
半圆对于自身形心轴的惯性矩：
I z′
=
π 644 128
−
⎛ ⎜⎝
2
× 64 3π
⎞2 ⎟⎠
×
π642 8
= 1.15×105
mm4
组合图形对于 z 轴的惯性矩：
其中 代入上式后，算得
Iz
=
100 ×803 12
−
2
⎛ ⎜1.15
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FAN Qin-Shan’s Education & Teaching Studio
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材料力学习题详细解答
教师用书
(第 6 章)
2006-01-18
—1—
习题 6－1 习题 6－2 习题 6－3 习题 6－4 习题 6－5 习题 6－6 习题 6－7 习题 6－8 习题 6－9 习题 6－10
y = − b(z) = − b z 2 2h
—3—
∫ ∫ I yz =
A
yzb( z )dz
=
h 0
⎛ ⎜⎝
−
b 2h
z
⎞ ⎟⎠
z
⎛ ⎜⎝
b h
z
⎞ ⎟⎠
dz
=
−
b2h2 8
6－2 试确定图中所示图形的形心主轴和形心主惯性矩。 解：（a）题：
(a)
(b)
图中 y、z 即为形心主轴
习题 6－2 图