图解法求解简单线性规划问题
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线性规划图解法
第二节 线性规划的图解法
图解法 线性规划问题求解的 几种可能结果 由图解法得到的启示
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例1的数学模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
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图解法
9— 8—
x1+ 2x2=8 4x1 =16
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
最优解 (4, 2)
D
x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9 | 4
A
0
| 1
| 2
| 3
E
| 5
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图解法求解步骤
• 由全部约束条件作图求出可行域； • 作目标函数等值线，确定使目标函数最
(d)无可行解
Max Z = 2x1 + 3x2 x1 +2 x2 8 4 x1 16 4x2 12 -2x1 + x2 4 x 1、 x 2 0
可行域为空集
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图解法的几点结论:
（由图解法得到的启示）
– 可行域是有界或无界的凸多边形。 – 若线性规划问题存在最优解，它一定可以在
优的移动方向； • 平移目标函数的等值线，找出最优点， 算出最优值。
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线性规划问题求解的 几种可能结果
(a) 唯一最优解
x2
6— 5— 4— 3— 2— 1— | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | x 9 1
图解法 线性规划问题求解的 几种可能结果 由图解法得到的启示
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例1的数学模型
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2 约束条件 x1 + 2x2 8 4x1 16 4x2 12 x 1、 x 2 0
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图解法
9— 8—
x1+ 2x2=8 4x1 =16
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
最优解 (4, 2)
D
x1 + 2x2 8
| 6 | 7 | 8 | 9 | 4
A
0
| 1
| 2
| 3
E
| 5
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图解法求解步骤
• 由全部约束条件作图求出可行域； • 作目标函数等值线，确定使目标函数最
(d)无可行解
Max Z = 2x1 + 3x2 x1 +2 x2 8 4 x1 16 4x2 12 -2x1 + x2 4 x 1、 x 2 0
可行域为空集
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图解法的几点结论:
（由图解法得到的启示）
– 可行域是有界或无界的凸多边形。 – 若线性规划问题存在最优解，它一定可以在
优的移动方向； • 平移目标函数的等值线，找出最优点， 算出最优值。
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线性规划问题求解的 几种可能结果
(a) 唯一最优解
x2
6— 5— 4— 3— 2— 1— | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | x 9 1
线性规划(图解法)
D
max Z
可行域
（7.6，2） ， ）
34.2 = 3X1+5.7X2
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥) X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤) L0： 0=3X1+5.7X2
oபைடு நூலகம்
x1
图解法
min Z=5X1+4X2 x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
Page 18
43=5X1+4X2 8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （0，2） ， ）
图解法
线性规划问题的求解方法 一般有 两种方法 图解法 单纯形法 两个变量、 两个变量、直角坐标 三个变量、 三个变量、立体坐标
Page 1
适用于任意变量、 适用于任意变量、但必需将 一般形式变成标准形式
下面我们分析一下简单的情况—— 下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策 变量的线性规划问题， 变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来 求解。图解法具有简单、直观、 求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线 性规划基本原理和几何意义等优点。 性规划基本原理和几何意义等优点。
• 有效与无效 紧与松)约束：与最优解相关的约束为有效 有效与无效(紧与松 约束 紧与松 约束： (紧)约束。 紧 约束 约束。 • 最优解：总是在可行域的边界上，一般由可行域的顶 最优解：总是在可行域的边界上， 点表示。 点表示。 • 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域，可行域 可行域：由约束平面围起来的凸多边形区域， 个可行解。 内的每一个点代表一 个可行解。
20
无可行解(即无最优解 无可行解 即无最优解) 即无最优解
10
O
10
2.2 线性规划的图解法
2.2线性规划的图解法我们先用图解法来解含有两个决策变量的线性规划问题，并从中受到启发，再去解决一般的线性规划问题。
例３ 求解线性规划ｍａｘ Ｚ＝０.７ｘ1＋０.９ｘ2约束于⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤+≤≤0,1278212121x x x x x x 解：１．先在平面直角坐标系ｘ1Ｏｘ2里画出上述线性规划的可行域Ｒ。
事实上在约束条件中，每个线性等式代表平面上一条直线，这直线将坐标平面分成两部分，于是每个线性不等式代表一个半平面。
本例中五个线性不等式代表的五个半平面的交，就是可行域Ｒ，它是一个凸多边形，这个凸多边形有五个顶点，它们分是Ｏ（０，０），Ａ（０，７），Ｂ（５， ７），Ｃ（８，４），Ｄ（８，０），如图2－１。
图2－１２．求解线性规划，就是要在上述凸多边形Ｒ中找一点12(,)x x ，使目标函数０.７ｘ1＋０.９ｘ2取最大值。
对任意固定的常数Ｃ，直线０.７ｘ1＋０.９ｘ2＝Ｃ上的每点都有相同的目标函数值Ｃ，故该直线也称为“等值线”。
当Ｃ变化时，得出一族相互平行的等值线，这些等值线中有一部分与可行域相交。
我们要在凸多边形即可行域Ｒ中找这样的点，使它所在的等值线具有最大值Ｃ。
当Ｃ<０时，直线120.70.9x x C +=与Ｒ不相交；当Ｃ＝０时，直线120.70.9x x C +=与Ｒ有唯一交点，即顶点（０，０）；当Ｃ由０增大时，等值线平行向右上方移动，与Ｒ相交于一线段；当Ｃ增至一定程度时，等值线与可行域Ｒ只有唯一交点，即顶点（５，７），这时Ｃ＝９ ８；若Ｃ继续增大，等值线与Ｒ将不再有交点。
由此可见，顶点（５，７）是使Ｒ中目标函数达到最大值的点，于是线性规划有唯一解7,5*2*1==x x 这时Ｚ*＝ｍａｘ Ｚ＝９.８若将例３中求目标函数的最大值改为求最小值，即求ｍｉｎ ｗ＝０.７ｘ1＋０.９ｘ2约束条件不变。
这时，令直线族120.70.9x x C +=中的Ｃ不断减小，等值线将向左下方平行移动。
管理运筹学_第二章_线性规划的图解法
线性规划中超过约束最低限的部分，称为剩余量。 记s1,s2为剩余变量，s3为松弛变量，则s1=0, s2=125,
s3=0，加入松弛变量与剩余变量后例2的数学模型变为 标准型： 目标函数： min f =2x1+3x2+0s1+0s2+0s3 约束条件： x1+x2-s1=350， x1-s2=125, 2x1+x2+s3=600, x1, x2, s1,s2,s3≥0.
阴影部分的每 一点都是这个线 性规划的可行解， 而此公共部分是 可行解的集合， 称为可行域。
B
X2=250
100
100
300
x1
B点为最优解， X1+X2=300 坐标为（50, 250）， Z=0=50x1+100x2 此时Z=27500。 Z=10000=50x1+100x2 问题的解： 最优生产方案是生产I产品50单位，生产Ⅱ产品250单位，可得 最大利润27500元。
Z=10000=50x1+50x2
线段BC上的所有点都代表了最优解，对应的最优值相 同： 50x1+50x2=15000。
10
3. 无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题：
目标函数：max z =x1+x2 约束条件：x1 - x2≤1 -3x1+2x2≤6 x1≥0, x2≥0．
x2 -3x1+2x2=6 3
其中ci为第i个决策变量xi在目标函数中的系数， aij为第i个约束条件中第j个决策变量xj的系数， bj(≥0)为第j个约束条件中的常数项。
16
灵敏度分析
灵敏度分析：求得最优解之后，研究线性规划的
线性规划问题的图解法
第二十四页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
单纯形法的思路(sīlù)
找出一个(yī ɡè)初始可行解
4x1
16
可行(kěxíng)域
单纯形法的进一步讨论(tǎolùn)－人工变量法
第四十三页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
是否最优 故人(gùrén)为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：
量作为换出变量。
L
min
bi a ik
a ik
0
第二十九页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
③ 用换入变量(biànliàng)xk替换基变量(biànliàng)中的换出变量 (biànliàng)，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可 行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。
： X (1) K和X (2) K
X X (1) (1 ) X (2) (0 1)
则X为顶点(dǐngdiǎn).
(wèntí)
的 几
第四页，共51页。
凸组合(zǔhé)：
意线 义性
规 划 问 题 的 几 何
设X（1) ,..., X (k)是n维向量空间中的k个点,
若存在1,..., k ,且0 i 1, i 1,2,..., k,
A
1 域2 3
D
| E|
45
4 x2 16 x1 + 2x2 8
|||| 6789
x1
第九页，共51页。
❖图解法
目标(mùbiāo)函数 Max Z = 2x1 + 3x2
x2 9—
8—
7—
6—
5—
4—
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
单纯形法的思路(sīlù)
找出一个(yī ɡè)初始可行解
4x1
16
可行(kěxíng)域
单纯形法的进一步讨论(tǎolùn)－人工变量法
第四十三页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
是否最优 故人(gùrén)为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：
量作为换出变量。
L
min
bi a ik
a ik
0
第二十九页，共51页。
单纯形法的计算(jìsuàn)步骤
③ 用换入变量(biànliàng)xk替换基变量(biànliàng)中的换出变量 (biànliàng)，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可 行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。
： X (1) K和X (2) K
X X (1) (1 ) X (2) (0 1)
则X为顶点(dǐngdiǎn).
(wèntí)
的 几
第四页，共51页。
凸组合(zǔhé)：
意线 义性
规 划 问 题 的 几 何
设X（1) ,..., X (k)是n维向量空间中的k个点,
若存在1,..., k ,且0 i 1, i 1,2,..., k,
A
1 域2 3
D
| E|
45
4 x2 16 x1 + 2x2 8
|||| 6789
x1
第九页，共51页。
❖图解法
目标(mùbiāo)函数 Max Z = 2x1 + 3x2
x2 9—
8—
7—
6—
5—
4—
§1.2图解法
试用图解法分析，问题最优解随（ 试用图解法分析，问题最优解随（-∞<c<∞)变化的情况 变化的情况
注：本问题有可行解，但无最优解。 本问题有可行解，但无最优解。
例4
max z = 3 x1 + x2
x1 − x 2 ≤ − 1 x1 + x 2 ≤ − 1 x , x ≥ 0 1 2
该问题的可行域是空的，即无可行解（ 解 该问题的可行域是空的，即无可行解（
x2
x1-x2=-1
本问题只有唯一最优解。 注：本问题只有唯一最优解。
例1的最优生产方案为： 生产产品甲为2件， 的最优生产方案为： 生产产品甲为2 生产产品乙6 生产产品乙6件，最大利润为36万元。 最大利润为36万元 万元。
注： 问题的可行域是一个有界的凸多边形， 其边界由5条直线所围成： 其边界由 条直线所围成： 条直线所围成
解
该线性规划问题的可行域见图1 该线性规划问题的可行域见图1-1。
x2 8
Q1(0,6)
Q2(2,6)
图1-1 图解法解题过程 x1=4 2 x 2 = 12 3x1+5x2=z=36
6
4 Q 2
Q3(4,3)
3x1+2x2=18
Q4(4,0)
0
Q0(0,0)
2
4
6
8
x1 3x1+5x2=z=20
1 3 , 10 10
如图: 解 该问题的可行域 Q 如图
x2 x1+x2=5 6x1+2x2=21 -x1+x2=0
A(11/4,9/4)
B(21/6,0) 3x 1 + x 2 = z =0 3x 1 + x 2 = z =6
注：本问题有可行解，但无最优解。 本问题有可行解，但无最优解。
例4
max z = 3 x1 + x2
x1 − x 2 ≤ − 1 x1 + x 2 ≤ − 1 x , x ≥ 0 1 2
该问题的可行域是空的，即无可行解（ 解 该问题的可行域是空的，即无可行解（
x2
x1-x2=-1
本问题只有唯一最优解。 注：本问题只有唯一最优解。
例1的最优生产方案为： 生产产品甲为2件， 的最优生产方案为： 生产产品甲为2 生产产品乙6 生产产品乙6件，最大利润为36万元。 最大利润为36万元 万元。
注： 问题的可行域是一个有界的凸多边形， 其边界由5条直线所围成： 其边界由 条直线所围成： 条直线所围成
解
该线性规划问题的可行域见图1 该线性规划问题的可行域见图1-1。
x2 8
Q1(0,6)
Q2(2,6)
图1-1 图解法解题过程 x1=4 2 x 2 = 12 3x1+5x2=z=36
6
4 Q 2
Q3(4,3)
3x1+2x2=18
Q4(4,0)
0
Q0(0,0)
2
4
6
8
x1 3x1+5x2=z=20
1 3 , 10 10
如图: 解 该问题的可行域 Q 如图
x2 x1+x2=5 6x1+2x2=21 -x1+x2=0
A(11/4,9/4)
B(21/6,0) 3x 1 + x 2 = z =0 3x 1 + x 2 = z =6
任务二图解法求解线性规划问题
任务二 图解法求解线性规划问题情境导入：我们上一个任务成功的将一个实际问题转化为数学语言，用数学模型表达了出来，但是该问题到底该怎么解决呢？我们又该如何对该数学模型进行求解呢？任务：掌握图解法求解两个决策变量的线性规划问题的思路，了解线性规划问题解的性质 任务引入：现在我们要想办法求解例1的数学模型MaxZ=2x 1+3x 2⎢⎢⎢⎢⎣⎡≥⋅≤≤≤+012416482..212121x x x x x x t s 一、任务分析图解法是指求解仅含两个变量的线性规划问题的一种方法。
是求解线性规划的一种几何解法。
只含两个变量的线性规划问题，由约束条件确定的可行域可以在二维平面上表示出来，按照一定规则，在可行域上移动目标函数的等值线，从而得到线性规划问题的最优解。
这里的可行域是凸区域，最优解必在可行域的某个顶点上达到。
[1]图解法仅适用于仅含有两个变量的线性规划问题的求解，因而图解法的实际用途并不广泛。
针对线性规划几何解还有一些重要的性质，这里不加证明叙述如下：1. 若线性规划可行域非空，则可行域必定是一个凸集，即集合中任意两点连线上的一切点仍然在该集合巾，这样的凸集表现为一个凸多边形，在空间上为一个凸几何体。
2.若线性规划优解存在，则最优解或最优解之一肯定能够在可行域（凸集）的某个极点找到。
3.线性规划的可行域若有界，则一定有最优解。
4.线性规划几何解存在四种情况：唯一最优解、无穷多最优解、无有限最优解、无可行解。
以上结论是非常有用的，特别是结论2非常明确地告诉我们，线性规划的最优解不可能在可行域的内点取得，而只能在凸集的某一个顶点(特殊情况为在凸集的某一条边界上)上达到。
因此，求解线性规划问题可转化为如何在可行域的顶点上求出使目标函数值达到最优的点的问题。
由于可行域的顶点个数是有限的，因此在求解线性规划模型的最优解时，只要在可行域的有限个顶点范围内一一寻找即可，这样就极大地降低了线性规划问题的复杂程度，将减少大量的工作。
线性规划问题的图解法
bm 0 1 am ,m 1 amn m
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
j
0 0 j c j c i a ij
bi 其中： i a kj 0 a kj
单纯形法的计算步骤
例1.8 用单纯形法求下列线性规划的最优解
max Z 3 x1 4 x 2 2 x1 x 2 40 x1 3 x 2 30 x , x 0 1 2
A
0
E
| 5
| 6
| 7
| 8
| 9
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16
C 4 x2 16
4 —B
3— 2— 1—
D
| 1 | 2 | 3 | 4
4—
3— 2— 1— 0
x1
图解法
9— 8—
目标函数 Max Z = 2x1 + 3x2
约束条件 x1 + 2x2 8
4x1 16 4x2 12 x1、 x2 0
x2
7—
6— 5—
4x1 16 4 x2 12 x1 + 2x2 8
4—
3— 2— 1— 0
可行域
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9
x2
X1 + 1.9X2 = 11.4 (≤)
8=5X1+4X2 此点是唯一最优解 （ 0， 2）
D
43=5X1+4X2
可行域
线性规划问题的图解法
20 40
.
即B点坐标为20 ，40，代入目标函数可得最优值Smax 50 20 30 40 2 200 .
线性规划问题的图解法
例2
解
1. 求可行域（如图7 - 2所示）
（1）建立直角坐标系Ox1x2 . （2）满足条件 x1 x2 2 的所有点均落在直线 x2 2 x1 的右下半平面内； （3）满足条件 x1 x2 2 的所有点均落在直线 x2 2 x1 的右上半平面内. 由约束条件可知，无界区域ABCD是其可行域 .
3 截距最大的点即为最优解，其对应的S值就是最优值 .因此，我们可以把过原点且斜率 5的直
3 线作为参照直线，然后在可行域里进行平移，直到找到最优解 .
显然，斜率为 5的直线在可行域里平移时过B点的纵截距最大，求B点的坐标，联立 3
方程
x2 x2
Hale Waihona Puke 80 2x1 40，解得
x1 x2
图7-2
线性规划问题的图解法
2. 求最优解 把目标函数 S x1 2x2 中的S看作参数，当S 0时，目标函数S x1 2x2是一条过原点 的直线，在坐标系内画出这样的直线（用虚线表示），然后再将该直线向可行域内平移 . 在平移
时，7-2中B点是满足该约束条件的S最小值，其坐标为2 ，0，于是得到该线性规划问题的最
于是从约束条件知，由l1 ，l2 ，l3以及x1轴围成的区域 ABCD是该线性规划问题的可行域，如图7-1所示 .
图7-1
线性规划问题的图解法
2.求最优解 可行域的点满足约束条件，但并非使得目标函数 max S 50x1 30x2 取得最大值的解， 且该目标函数对应的图象也是一条直线，其斜率为 5，可行域里能使该直线与y轴的纵
19.3线性规划问题的图解法
例1：已知线性约束条件为 x y 1 0
例
2
x
y
5
0
题
x 4 y 1 1 0
解 求线性目标函数z=x+2y满足线性约束条件的最优解及最大值、最小值。
析 解:（1）在直角坐标系中，画出可行域。 y
x-y-1=0
（2）将目标函数变形为 y 1 x z
22
B
当z/2取得最大值时，z取得最大值；
3.将z看成常数，这是一条直
y=3 ● M X+2y-8=0
线，当z变化时，可以得到一
组平行的直线；
O
x
4.当直线 y 2 x z 经过
X=4
33
不等式组①表示的平面区域内一个点时，
z 3
被唯一确定；当
z 3
取最大值时，z取最大值，当
z 3
取最小值时，z取最小值。
5.令z=0，画出直线2x+3y=0,然后平移这条直线，如图可知当经过点M（4，2）时
19.3线性规划问题的 图解法
提出问题
在19.1的问举例中线性目标函数z=2x+3y
线性约束条件为
x 2y 8
4 4
x y
1 1
6 2
x
0
①
y 0
当x,y满足不等式①且为整数时，如何求z的最大值呢？
问题探究
y
1.首先，画出①表示的平面区域；
2.把z=2x+3y变形为 y 2 x z 33
并找出整数点。 （2）将目标函数变形为
y1x z
24
当z/4取得最大值时，z取得最大值；
A ● ●
●
●
●
x
2x+y-8=0
线性规划的图解法
s.t.
32xx11'' 3x1'
+ + +
2
x2 x2 x2
+ x3' − x3'' + 2x3' − 2x3'' + 3x3' − 3x3''
+
x4
−
x5
= 9 = 4 = 6
x1'
,
2
x2
,
x3' ,
x3'' ,
x4 ,
x5
≥
0
2.1问题的提出
例7 将以下线性规划问题转化为标准形式。
min f =−3x1 + 5x2 + 8x3 − 7x4
x5
≥
20
x5 xj
+ ≥
x6 0,
≥ 30 j = 1, 2, ,
6
2.1问题的提出
所谓线性规划问题
就是求一组变量 (x1,x2,…,xn)的值，它们在满足一组线 性等式或不等式的限制条件下，使某一线性函数的值达到 极大或极小。而线性规划就是研究并解决这类问题的一门 理论和方法。
线性规划模型是由决策变量、目标函数和约束条件三要素 组成。
例2 某昼夜服务的公交线路每天各时间区段内所需的工
作人员数量如下：
时段
时间
所需人数
1
6:00~10:00
60
2
10:00~14:00
70
3
14:00~18:00
60
4
18:00~22:00
50
5
22:00~2:00
20
第二章 线性规划的图解法(简)
第二节 图解法
在线性规划中，对一个约束条件中没使用的资源或能力的大小称 之为松弛量。记为Si。
第二节 图解法
像这样把所有的约束条件都写成等式 ，称为线性规划模型的标准化，所得结果 称为线性规划的标准形式。
第二节 图解法
同样对于≥约束条件中，可以增加一些代表
最低限约束的超过量，称之为剩余变量，把≥约
第二章 线性规划的图解法
主要内容：
§1 问题的提出 （什么是线性规划） §2 图解法 §3 图解法的灵敏度分析
重点和难点
重点： （1）线性规划问题的主要概念 （2）线性规划问题的数学模型 （3）线性规划图解法的过程 （4）阴影价格的定义和灵敏度分析 难点： 灵敏度分析
第一节 问题的提出
约束条件对偶价格小于零时，约束条件
右边常数增加一个单位，就使得最优目
标函数值减少一个其对偶价格。
第三节 图解法的灵敏度分析
对目标函数值求最小值的情况下， 当对偶价格大于零时，约束条件右边常数增加 一个单位就使其最优目标函数值减少一个其对 偶价格； 当对偶价格等于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，并不影响其最优目标函数值； 当对偶价格小于零时，约束条件右边常数增加 一个单位，就使得其最忧目标函数值增加一个 其对偶价格。
具有上述3个特征的问题为线性规划问题。
第一节 问题的提出
我们的仸务就是要选择一组或多组方案，使目
标函数值最大或最小。从选择方案的角度说，
这是规划问题。从使目标函数值最大或最小的
角度说，就是优化问题。
线性规划数学模型的一般表示方式
max(min) f ( x) c1 x1 c2 x2 cn xn a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 21 1 22 2 2n n s.t. a x a x a x m2 2 mn n m1 1 x1 , x2 , , xn n : 变量个数 ; m : 约束行数 ; n m : 线性规划问题的规模 c j : 价值系数 ; b j : 右端项; aij : 技术系数 (, )b1 (, )b2 (, )bm 0
图解法求解简单线性规划问题
有关概念
满足下列条件
x-4y≤-3 3x+5y≤25 ， x≥1
x-4y=-3
o
B
3ｚ的最大值和最小值。
x=1
式中变量x、 满足下列条件 例1：设z＝2x－y,式中变量 、y满足下列条件 ： 式中变量 求ｚ的最大值和最小值。 的最大值和最小值。 解：作出可行域如图： 作出可行域如图 当ｚ＝0时，设直线 l0：2x－y＝0 ｚ＝ 时 ＝ 平移l 经过可行域上点A时 平移l0，当l0经过可行域上点 时，
y
x=1
C
问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？ ３
x-4y=-3
A B
3x+5y=25
o
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ z ｘ、ｙ满足下列条件 ｘ、ｙ 求ｚ的最大值和最小值。 ｚ
x-4y≤-3 3x+5y≤25， + x≥1
y x=1
C x-4y=-3 4y=-
Ａ
B
3x+5y=25
o
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 求ｚ的最大值和最小值。
x +4y=11
0
1
2
3
4
5
3x +２y=10
x
x－4y＝－3 －
∴
解线性规划问题的步骤： 解线性规划问题的步骤：
画出线性约束条件所表示的可行域； 画 画出线性约束条件所表示的可行域； 2、 移 在线性目标函数所表示的一组平行线 1、
中，用平移的方法找出与可行域有公 共点且纵截距最大或最小的直线； 共点且纵截距最大或最小的直线；
通过解方程组求出最优解； 求 通过解方程组求出最优解； 作出答案。 4、 答 作出答案。 3、
线性规划图解法(NO3)
2x1 =16
最优值
C
2x2 =10 Maxz=37
Z=30 B Z=37
Z=15
0
4
8A
10
x1
3x1 +4 x2 =32
3
一、线性规划问题的图解法
3、LP问题图解法的步骤：
（1）画出直角坐标系； （2）依次做每条约束直线，标出可行域的方向，并找出 它们共同的可行域；
（3）任取一目标函数值作一条目标函数线（称等值线） ,根据目标函数（最大或最小）类型，平移该直线即将离开 可行域处，则与目标函数线接触的最终点即表示最优解。
例：用图解法求解如下线性规划问题
最优解为
max Z 4x1 3x2
s.t.
32xx11
3 2
x x
2 2
24 26
x1,
x
2
0
B(0,13) Q3(0,8)
3x1+2x2=26 Q2(6,4)
x1=6,x2=4 最优值为 maxz=36
2x1+3x2=24
Q1(26/3,0) A(12,0)
一、线性规划问题的图解法
4、线性规划解的特性
• 由线性不等式组成的可行域是凸多边形(凸多边形是凸集)
凸集定义：集合内部任意两点连线上的点都属于这个集合
a
b
c
d
• 可行域有有限个顶点。 • 目标函数最优值一定在可行域的边界达到，而不可能在 其区域的内部。
5
一、线性规划问题的图解法
5、线性规划解的可能性
x1 x2 5 s.t.3x1 4x2 24
x1, x2 0
4
2
O
2
4
6
8 x1
线性规划的图解法
设备能力(h)
3 2 0 1500
65 40 75
2.2.1 线性规划的图解法
问题：工厂应如何安排生产可获得最大的 总利润？用图解法求解。
解：设变量xi 为第i种（甲、乙）产品的生 产件数（i＝1，2）。根据前面分析，可 以建立如下的线性规划模型： Max z = 1500 x1 + 2500 x2
2.2.1 线性规划的图解法
(1)建立直角坐标系： 分别取决策变量x1 ,x2 为坐标 向量，建立平面直角坐标系。
2.2.1 线性规划的图解法
（2）绘制可行域： 对每个约束（包括非负约束）条 件，作出其约束半平面（不等式）或 约束直线（等式）。
各半平面与直线交出来的区域若 存在，其中的点为此线性规划的可行 解。称这个区域为可行集或可行域。 然后进行下步。否则若交为空，那么 该线性规划问题无可行解。
线性规划的图解法
2.2.1 线性规划的图解法
对于只有两个决策变量的线性 规划问题，可以二维直角坐标平 面上作图表示线性规划问题的有 关概念，并求解。 图解法求解线性规划问题的步 骤如下：
例题
目标函数 Max z =1500x1+2500x2
约束条件 s.t. 3x1 + 2x2 ≤ 65 2x1 + x2 ≤ 40 3x2 ≤ 75 x1 ,x2 ≥ 0
2.2.1 线性规划的图解法
(3) 绘制目标函数等值线，并移动求解：
目标函数随着取值不同，为一族相 互平行的直线。 首先，任意给定目标函数一个值， 可作出一条目标函数的等值线（直线）； 然后，确定该直线平移使函数值增 加的方向； 最后，依照目标的要求平移此直线。
2.2.1 线性规划的图解法
结果
若目标函数等值线能够移动到 既与可行域有交点又达到最优的位 置，此目标函数等值线与可行域的 交点即最优解（一个或多个），此 目标函数的值即最优值。 否则，目标函数等值线与可行 域将交于无穷远处，此时称无有限 最优解。
用图解法求解线性规划模型解
3000
单价（元/件）
70
120
上 页 下 页 返回
设x1, x2 分别表示甲、乙两种产品在计划期的产 量, 则根据题意知，计划期内所耗费的资源和设备 能力分别：
铜材耗费总量为4x1 5x2 ,不能超过2000公斤；
钢材耗费总量为9x1 4x2 ,不能超过3600公斤；
专用设备能力耗费总量为 3x1 10x2；
求取一组变量，使之既满足线性约束条件， 又使线性的目标函数取得最大值（或最小值）的 一类最优化问题，称为线性规划问题．
线性规划问题可用数学语言描述如下：
LP max（或min）S c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a1n xn (, )b1 s.t a21x1 a22x2 a2n xn (, )b2
一、线性规划问题的实例和数学模型
例1（资源利用问题） 某厂在计划期可生产 甲、乙两种机器零件．已知计划期具备的可用资 源为：钢材3600公斤，铜材2000公斤，专用设备 能力3000台时．生产甲种产品1件，需要钢材9 公斤，铜材4公斤，专用设备能力3台时；生产乙 种产品1件，需要钢材4公斤，铜材5公斤，专用 设备能力10台时；而生产1件甲、乙产品的单位 收益（单价）分别为70元和120元．问在产品销 售看好的条件下，该厂应如何安排生产计划，才 能获得最大收益？
C称为价值系,数向量或目标函数系数向量， A称为技术系数矩阵或约束系数矩阵，b称为资 源系数向量或右端常数向量．
线性规划的数学模型还可以用比较简洁的紧 缩 形 式 （ 11.1.4 ） 以 及 应 用 广 泛 的 矩 阵 形 式 （11.1.5）表示：
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n
LP max（或min）S c j x j
单价（元/件）
70
120
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设x1, x2 分别表示甲、乙两种产品在计划期的产 量, 则根据题意知，计划期内所耗费的资源和设备 能力分别：
铜材耗费总量为4x1 5x2 ,不能超过2000公斤；
钢材耗费总量为9x1 4x2 ,不能超过3600公斤；
专用设备能力耗费总量为 3x1 10x2；
求取一组变量，使之既满足线性约束条件， 又使线性的目标函数取得最大值（或最小值）的 一类最优化问题，称为线性规划问题．
线性规划问题可用数学语言描述如下：
LP max（或min）S c1x1 c2x2 cnxn
a11x1 a12x2 a1n xn (, )b1 s.t a21x1 a22x2 a2n xn (, )b2
一、线性规划问题的实例和数学模型
例1（资源利用问题） 某厂在计划期可生产 甲、乙两种机器零件．已知计划期具备的可用资 源为：钢材3600公斤，铜材2000公斤，专用设备 能力3000台时．生产甲种产品1件，需要钢材9 公斤，铜材4公斤，专用设备能力3台时；生产乙 种产品1件，需要钢材4公斤，铜材5公斤，专用 设备能力10台时；而生产1件甲、乙产品的单位 收益（单价）分别为70元和120元．问在产品销 售看好的条件下，该厂应如何安排生产计划，才 能获得最大收益？
C称为价值系,数向量或目标函数系数向量， A称为技术系数矩阵或约束系数矩阵，b称为资 源系数向量或右端常数向量．
线性规划的数学模型还可以用比较简洁的紧 缩 形 式 （ 11.1.4 ） 以 及 应 用 广 泛 的 矩 阵 形 式 （11.1.5）表示：
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n
LP max（或min）S c j x j
线性规划的图解法
线性规划的图解法
图解法
学习要点：
几种可能结果 一、唯一解 如例1、例2都只有一个 最优点，属于唯一解的情形。
s.t.
max z = 3x1+4x2 x1 ≤ 8 2x2 ≤ 12 3x1 + 4x2 ≤ 36 x1 ， x2 ≥ 0
图解法
min Z=5X1+4X2
x1
x2
o
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
D
L0： 0=5X1+4X2
max Z
min Z
8=5X1+4X2
43=5X1+4X2
（0，2）
可行域
此点是唯一最优解
图解法
单击此处添加文本具体内容
演讲人姓名
二、多重解
z = 12
z* = 36
线段BC上无穷多个 点均为最优解。
O(0,0)
x1
x2
R
D(0,6)
C(4,6)
B(8,3)
A(8,0)
线性规划的图解法
x1
x2
z*
三、无界解
3
6
9
4
8
12
x1
x2
R2
R1∩R2 = Ø
四、无可行解
+∞
R1
线性规划的图解法
谢谢观看！
CLICK HERE TO ADD A TITLE
练习： 用图解法求解线性规划问题
图解法
x1
x2
o
X1 - 1.9X2 = 3.8(≤)
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
图解法
学习要点：
几种可能结果 一、唯一解 如例1、例2都只有一个 最优点，属于唯一解的情形。
s.t.
max z = 3x1+4x2 x1 ≤ 8 2x2 ≤ 12 3x1 + 4x2 ≤ 36 x1 ， x2 ≥ 0
图解法
min Z=5X1+4X2
x1
x2
o
X1 - 1.9X2 = 3.8 (≤)
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
D
L0： 0=5X1+4X2
max Z
min Z
8=5X1+4X2
43=5X1+4X2
（0，2）
可行域
此点是唯一最优解
图解法
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二、多重解
z = 12
z* = 36
线段BC上无穷多个 点均为最优解。
O(0,0)
x1
x2
R
D(0,6)
C(4,6)
B(8,3)
A(8,0)
线性规划的图解法
x1
x2
z*
三、无界解
3
6
9
4
8
12
x1
x2
R2
R1∩R2 = Ø
四、无可行解
+∞
R1
线性规划的图解法
谢谢观看！
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练习： 用图解法求解线性规划问题
图解法
x1
x2
o
X1 - 1.9X2 = 3.8(≤)
X1 + 1.9X2 = 3.8(≥)
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用图解法解线性规划
y
o
x
x -4y≤ - 3 表示的平面区域。 画出不等式组 3x+5y≤ 25 表示的平面区域。 x≥1
x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1
在该平面区域上 问题 1：ｘ有无最大(小)值？ 问题２：ｙ有无最大(小)值？ ２
y
x=1
C
问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？ ３
x-4y=-3
x－4y＝－3 －
∴
解线性规划问题的步骤： 解线性规划问题的步骤：
画出线性约束条件所表示的可行域； 画 画出线性约束条件所表示的可行域； 2、 移 在线性目标函数所表示的一组平行线 1、
中，用平移的方法找出与可行域有公 共点且纵截距最大或最小的直线； 共点且纵截距最大或最小的直线；
通过解方程组求出最优解； 求 通过解方程组求出最优解； 作出答案。 4、 答 作出答案。 3、
A B
3x+5y=25
o
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ z ｘ、ｙ满足下列条件 ｘ、ｙ 求ｚ的最大值和最小值。 ｚ
x-4y≤-3 3x+5y≤25， + x≥1
y x=1
C x-4y=-3 4y=-
Ａ
B
3x+5y=25
o
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 求ｚ的最大值和最小值。
x-4y≤-3 4y≤3x+5y≤25 ， x≥1
x-4y=-3
线往右上方平移时z 逐渐增大： 当l 过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3 当l 过点A(5,2)时，ｚ最大,即 zmax＝2×5+2＝12 。
o
B
3x+5y=25
Ａ
x
x=1
ｘ、ｙ的不等式 方程）构成的不等式组。 的不等式（ 约束条件：由ｘ、ｙ的不等式（方程）构成的不等式组。 线性约束条件：约束条件中均为关于x、 的一次不等式或方程 的一次不等式或方程。 线性约束条件：约束条件中均为关于 、y的一次不等式或方程。 目标函数：欲求最值的关于x、 的一次解析式 目标函数：欲求最值的关于 、y的一次解析式。 线性目标函数：欲求最值的解析式是关于x、 的一次解析式 的一次解析式。 线性目标函数：欲求最值的解析式是关于 、y的一次解析式。 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。 可行解：满足线性约束条件的解（ ， ）。 可行解：满足线性约束条件的解（x，y）。 可行域：所有可行解组成的集合。 可行域：所有可行解组成的集合。 y 最优解： 目标函数达到最大值 最优解：使目标函数达到最大值 或 最小值 的可 行 解。 设Z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ C
y
3x+5y=25 x-4y=-3
C
∵
4 .4 2 3 = kAC＝ 1 5 5
k l = -a ∴ ∴ -a
=
3 5 3 5
Ａ B
a=
o
x
x=1
3x +２y≤10 例3：满足线性约束条件 ： 多少个整数解。 多少个整数解。
x+4y≤11 的可行域中共有 x>0 y>0
y
5 4 3 2 1
由题意得可行域如图: 解：由题意得可行域如图 由图知满足约束条件的 可行域中的整点为(1,1)、 、 可行域中的整点为 (1,2)、(2,1)、(2,2) 、 、 故有四个整点可行解. 故有四个整点可行解
－z 最小，即ｚ最大。 最小， 最大。
x －4y≤－3 3x+5y≤25 x≥1
y
3x+5y=25
2x－y＝0 ＝
C (1,4.4)
平移l 当 经过可行域上点C时 平移l0 ， l0经过可行域上点 时，
－ｚ最大，即ｚ最小。 最大， 最小。
x－4y=－3
o
B
(5,2)
Ａ
x=1
x=1
x
由
点坐标_____； 点坐标_______； 得A点坐标 (5,2) ； 点坐标 由 得C点坐标 (1,4.4) ； 点坐标 3x＋5y＝25 3x＋5y＝25 ＋ ＝ ＋ ＝ zmax＝2×5－2＝8 × ＝ zmin＝2×1－4.4＝ －2.4 ×
ｙ＝ｙ＝-2ｘ+ z 问题 1: 将z＝2ｘ+ｙ变形? z 斜率为-2的直线在 的直线在y轴上的截距 斜率为 的直线在 轴上的截距 问题 2: z几何意义是_____________________________。
y
C
l 析: 作直线l0 ：2ｘ+ｙ=0 ,则直线 l： 2 2ｘ+ｙ=z是一簇与 l0平行的直线,故 =z 直线 l 可通过平移直线l0而得，当直
x +4y=11
0
1
2
3
4
5
3x +２y=10
x
例2：已知 、y满ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ：已知x、 满足
x －4y≤－3 3x+5y≤25 x≥1
，设z＝ax＋y (a>0)， 若ｚ ，
取得最大值时，对应点有无数个， 的值。 取得最大值时，对应点有无数个，求a 的值。
解：当直线 l ：y ＝－ax＋ z 与
直线重合时，有无数个点， 直线重合时，有无数个点，使 函数值取得最大值，此时有： 函数值取得最大值，此时有： k l ＝kAC
有关概念
满足下列条件
x-4y≤-3 3x+5y≤25 ， x≥1
x-4y=-3
o
B
3x+5y=25
Ａ
x
求ｚ的最大值和最小值。
x=1
式中变量x、 满足下列条件 例1：设z＝2x－y,式中变量 、y满足下列条件 ： 式中变量 求ｚ的最大值和最小值。 的最大值和最小值。 解：作出可行域如图： 作出可行域如图 当ｚ＝0时，设直线 l0：2x－y＝0 ｚ＝ 时 ＝ 平移l 经过可行域上点A时 平移l0，当l0经过可行域上点 时，
y
o
x
x -4y≤ - 3 表示的平面区域。 画出不等式组 3x+5y≤ 25 表示的平面区域。 x≥1
x-4y≤-3 3x+5y≤25 x≥1
在该平面区域上 问题 1：ｘ有无最大(小)值？ 问题２：ｙ有无最大(小)值？ ２
y
x=1
C
问题３：2ｘ+ｙ有无最大(小)值？ ３
x-4y=-3
x－4y＝－3 －
∴
解线性规划问题的步骤： 解线性规划问题的步骤：
画出线性约束条件所表示的可行域； 画 画出线性约束条件所表示的可行域； 2、 移 在线性目标函数所表示的一组平行线 1、
中，用平移的方法找出与可行域有公 共点且纵截距最大或最小的直线； 共点且纵截距最大或最小的直线；
通过解方程组求出最优解； 求 通过解方程组求出最优解； 作出答案。 4、 答 作出答案。 3、
A B
3x+5y=25
o
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ z ｘ、ｙ满足下列条件 ｘ、ｙ 求ｚ的最大值和最小值。 ｚ
x-4y≤-3 3x+5y≤25， + x≥1
y x=1
C x-4y=-3 4y=-
Ａ
B
3x+5y=25
o
x
设z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ满足下列条件 求ｚ的最大值和最小值。
x-4y≤-3 4y≤3x+5y≤25 ， x≥1
x-4y=-3
线往右上方平移时z 逐渐增大： 当l 过点 B(1,1)时,z 最小,即zmin=3 当l 过点A(5,2)时，ｚ最大,即 zmax＝2×5+2＝12 。
o
B
3x+5y=25
Ａ
x
x=1
ｘ、ｙ的不等式 方程）构成的不等式组。 的不等式（ 约束条件：由ｘ、ｙ的不等式（方程）构成的不等式组。 线性约束条件：约束条件中均为关于x、 的一次不等式或方程 的一次不等式或方程。 线性约束条件：约束条件中均为关于 、y的一次不等式或方程。 目标函数：欲求最值的关于x、 的一次解析式 目标函数：欲求最值的关于 、y的一次解析式。 线性目标函数：欲求最值的解析式是关于x、 的一次解析式 的一次解析式。 线性目标函数：欲求最值的解析式是关于 、y的一次解析式。 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。 线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值。 可行解：满足线性约束条件的解（ ， ）。 可行解：满足线性约束条件的解（x，y）。 可行域：所有可行解组成的集合。 可行域：所有可行解组成的集合。 y 最优解： 目标函数达到最大值 最优解：使目标函数达到最大值 或 最小值 的可 行 解。 设Z＝2ｘ+ｙ,式中变量ｘ、ｙ C
y
3x+5y=25 x-4y=-3
C
∵
4 .4 2 3 = kAC＝ 1 5 5
k l = -a ∴ ∴ -a
=
3 5 3 5
Ａ B
a=
o
x
x=1
3x +２y≤10 例3：满足线性约束条件 ： 多少个整数解。 多少个整数解。
x+4y≤11 的可行域中共有 x>0 y>0
y
5 4 3 2 1
由题意得可行域如图: 解：由题意得可行域如图 由图知满足约束条件的 可行域中的整点为(1,1)、 、 可行域中的整点为 (1,2)、(2,1)、(2,2) 、 、 故有四个整点可行解. 故有四个整点可行解
－z 最小，即ｚ最大。 最小， 最大。
x －4y≤－3 3x+5y≤25 x≥1
y
3x+5y=25
2x－y＝0 ＝
C (1,4.4)
平移l 当 经过可行域上点C时 平移l0 ， l0经过可行域上点 时，
－ｚ最大，即ｚ最小。 最大， 最小。
x－4y=－3
o
B
(5,2)
Ａ
x=1
x=1
x
由
点坐标_____； 点坐标_______； 得A点坐标 (5,2) ； 点坐标 由 得C点坐标 (1,4.4) ； 点坐标 3x＋5y＝25 3x＋5y＝25 ＋ ＝ ＋ ＝ zmax＝2×5－2＝8 × ＝ zmin＝2×1－4.4＝ －2.4 ×
ｙ＝ｙ＝-2ｘ+ z 问题 1: 将z＝2ｘ+ｙ变形? z 斜率为-2的直线在 的直线在y轴上的截距 斜率为 的直线在 轴上的截距 问题 2: z几何意义是_____________________________。
y
C
l 析: 作直线l0 ：2ｘ+ｙ=0 ,则直线 l： 2 2ｘ+ｙ=z是一簇与 l0平行的直线,故 =z 直线 l 可通过平移直线l0而得，当直
x +4y=11
0
1
2
3
4
5
3x +２y=10
x
例2：已知 、y满ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ：已知x、 满足
x －4y≤－3 3x+5y≤25 x≥1
，设z＝ax＋y (a>0)， 若ｚ ，
取得最大值时，对应点有无数个， 的值。 取得最大值时，对应点有无数个，求a 的值。
解：当直线 l ：y ＝－ax＋ z 与
直线重合时，有无数个点， 直线重合时，有无数个点，使 函数值取得最大值，此时有： 函数值取得最大值，此时有： k l ＝kAC
有关概念
满足下列条件
x-4y≤-3 3x+5y≤25 ， x≥1
x-4y=-3
o
B
3x+5y=25
Ａ
x
求ｚ的最大值和最小值。
x=1
式中变量x、 满足下列条件 例1：设z＝2x－y,式中变量 、y满足下列条件 ： 式中变量 求ｚ的最大值和最小值。 的最大值和最小值。 解：作出可行域如图： 作出可行域如图 当ｚ＝0时，设直线 l0：2x－y＝0 ｚ＝ 时 ＝ 平移l 经过可行域上点A时 平移l0，当l0经过可行域上点 时，