量子力学复习提纲(1)

量子力学复习提纲

第一章 绪论 1.德布罗意关系, E h νω==h

(1)

h p n k λ

==r r r

h

(2)

2.微观粒子的波粒二象性.

3. 电子被V 伏电压加速,则电子的德布罗意波长为

12.25h

A λ=≈o

(3)

第二章 波函数和薛定谔方程 1.波函数的统计解释:

波函数在空间某一点的强度()2

,r t ψr 和在该处找到粒子的几率

成正比,描写粒子的波是几率波. 其中2

w *

=

ψψ=ψ

代表几率密度.

2.态叠加原理:

如果1ψ和2ψ是体系的可能状态,那么它们的线性叠加

1122c c ψ=ψ+ψ,也是体系的一个可能状态.

3. 薛定谔方程和定态薛定谔方程

薛定谔方程 ()(),ˆ,r t i H r t t

∂ψ=ψ∂r

r h (4)

定态薛定谔方程

()()ˆH r E r ψ=ψr r (5)

其中

()2

2ˆ2H U r μ

=-∇+h r (6)

为哈密顿算符,又称为能量算符,

4. 波函数的标准条件: 有限性,连续性(包括ψ及其一阶导数)和单值性.

5. 波函数的归一化,

1d τ*

∞

ψψ=⎰

(9)

6.求解一维薛定谔方程的几个例子.

一维无限深势阱及其变种, 一维线性谐振子; 势垒贯穿.

第三章 量子力学中的力学量

1. 坐标算符, 动量算符及角动量算符;构成量子力学力学量的法

则;

2. 本征值方程,本征值,本征函数的概念

ˆF ψλψ

=

(10)

3. 厄密算符的定义,性质及与力学量的关系.

ˆF dx ψφ*

=⎰

()ˆF dx ψφ*

⎰ (11)

实数性: 厄密算符的本征值是实数.

正交性: 厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数 相互正交.

完全性: 厄密算符ˆF

的本征函数()n x φ和()x λφ组成完全系,

即任一函数()x ψ可以按()n x φ和()x λφ展开为级数:

()()()n n n

x c x c x d λλψφφλ=+∑⎰

(12) 展开系数:

()()n n c x x dx φψ*

=⎰, (13)

()()c x x dx λ

λφψ*

=⎰. (14)

2

n

c 是在()x ψ

态中测量力学量F 得到n

λ

的几率,

2

c d λλ是在()x ψ态中测量力学量F ,得到测量结果在λ到

d λλ+范围内的几率. 4. 2ˆL 和ˆZ

L 算符的本征值方程,本征值和本征函数.

()22ˆ1L l l ψψ=+h , ˆz

L m ψψ=h 本征函数 (),lm Y θφ.

5. 氢原子的哈密顿算符及其本征值,本征函数nlm ψ的数学结构,

()()(),,,nlm nl lm r R r Y ψθφθφ= (15)

主量子数n ,角量子数l 和磁量子数m 的取值范围,简并态的概念. 6. 氢原子的能级公式和能级的简并度. 4

2

2

,

1,2,3,...2s n e E n n

μ=-

=h (16)

不考虑电子的自旋是2

n 度简并的;

考虑电子的自旋是2

2n 度简并的. 7. 给定电子波函数的表达式,根据电子在(),,r θφ点周围的

体积元内的几率

()2

2,,sin nlm r r drd d ψθφθθφ

(17)

计算电子几率的径向分布和角分布.

计算在半径r 到r dr +的球壳内找到电子的几率.

8. 给定态函数,计算力学量平均值,平均值的计算公式.

()()ˆF x F x dx ψψ*=⎰

(18) 注意(11)式对波函数所在的空间作积分.

9. 算符的对易关系及测不准关系.

(1) 如果一组算符相互对易,则这些算符所表示的力学量同时具有确定值(即对应的本征值), 这些算符有组成完全系的共同的本征函数.

例如: 氢原子的哈密顿算符ˆH ,角动量平方算符2ˆL 和角动

量算符ˆz

L 相互对易, 则

(i) 它们有共同的本征函数nlm ψ, () 在态nlm ψ中,它们同时具有确定值:

4

22

2s n e E n μ=-

h , (

)2

1l l +h , m h . (2) 测不准关系:如果算符ˆF

和ˆ

G 不对易,则一般来说它们不能同时有确定值. 设

ˆF

ˆG

-ˆG ˆF =ˆik 则算符ˆF

和ˆ

G 的均方偏差满足:

()_______

2

ˆF

∆⋅()_______

22

ˆ4

k G ∆≥

(19)

其中 ()()___________

_______

______2

2

2

22

2

2F F F F FF F F F ∆=-=-+=-

()

_______

___2

2

2F F F ∆=-, ()_______

___2

2

2G G G ∆=-

(a) 利用测不准关系估计氢原子的基态能量, 线性谐振子的零