高等数学竞赛试题1答案

１

高等数学竞赛试题1

一、填空：

1．若()⎪⎩

⎪⎨⎧≤->-=,x ,a x ,x f x x

x

01e 0,arctan e 122sin 是()+∞∞-,上的连续函数，则a = －1 。

2．函数x x y 2sin +=在区间⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡ππ,2上的最大值为332+π 。 3．

()=+⎰--22

d e

x x x x

26e 2-- 。

4．由曲线⎩

⎨⎧==+012

2322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点()

230,,处的指向外侧的单位法向

量为

{}

3205

1

,,

。

5．设函数()x,y z z =由方程2e =+----x

y z x x y z 所确定，则=

z d ()y x x x x

y z x

y z d d e 1e 1-1+++---- 。 二、选择题：

1． 设函数f (x )可导，并且()50='x f ，则当0→∆x 时，该函数在点0x 处微分d y 是y ∆的（ A ） （A ）等价无穷小； （B ）同阶但不等价的无穷小； （C ）高阶无穷小； （D ）低阶无穷小。

2． 设函数f (x )在点x = a 处可导，则()x f 在点x = a 处不可导的充要条件是（ C ） （A ）f (a ) = 0，且()0='a f ； （B ）f (a )≠0，但()0='a f ； （C ）f (a ) = 0，且()0≠'a f ； （D ）f (a )≠0，且()0≠'a f 。 3． 曲线12+-+

=x x x y （ B ）

（A ）没有渐近线； （B ）有一条水平渐近线和一条斜渐近线； （C ）有一条铅直渐近线； （D ）有两条水平渐近线。

4．设()()x,y x,y f ϕ与均为可微函数，且()0≠'x,y y ϕ。已知()00,y x 是()x,y f 在约束条件()0=x,y ϕ下的一个极值点，下列选项中的正确者为（ D ）

（A ）若()000=',y x f x ，则()000=',y x f y ； （B ）若()000=',y x f x ，则()000≠',y x f y ； （C ）若()000≠',y x f x ，则()000=',y x f y ； （D ）若()000≠',y x f x ，则()000≠',y x f y 。

２

5．设曲面(){}

0Σ2

222≥=++=,z k z y x x,y,z 的上侧，则下述曲面积分不为零的是（ B ）

（A ）⎰⎰∑

z y x d d 2； （B ）⎰⎰∑

z y x d d ； （C ）

⎰⎰∑

x z z d d ； （D ）⎰⎰∑

y x y d d 。

三、设函数f (x )具有连续的二阶导数，且()0lim

=→x x f x ，()40=''f ，求()x

x x x f 1

01lim ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+→。 解：由题设可推知f (0) = 0，()00='f ，于是有

()()()22lim 2lim lim

0020

=''='=→→→x f x x f x

x f x x x 。 故 ()()()

()

()()()220010e 1ln exp lim 1lim 1lim =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡

+=⎪⎭

⎪⎬⎫⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡

+→→→x f x

x x x f x f x

x x

x x x f x x f x x f x x f 。

四、设函数()x y y =由参数方程()1d e 212ln 11

2>⎪⎩

⎪⎨⎧=+=⎰+t ,u u y ,t x t u 所确定，求9d d 2

2

=x x y 。 解：由t t t t t y t 2ln 12e 22ln 1e d d 2ln 1+=⋅+=+，t t x 4d d =，得到()

t x y 2ln 12e d d +=，所以

()()()22

2222ln 14e 412ln 12e

2

412ln 12e d d d d 1d d d d d d t t t t t t t t t

x x y t x y +-=⋅+-=⋅⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=。 而当x = 9时，由2

21t x +=及t > 1，得t = 2，故

()()

222

222ln2116e

22ln 14e 9d d +-==+-==t t t x x y 。 五、设n 为自然数，计算积分()⎰

+=

20

d sin 12sin π

n x x

x

n I 。

解：注意到：对于每个固定的n ，总有

()12sin 12sin lim

0+=+→n x

x

n x ，

所以被积函数在x = 0点处有界（x = 0不是被积函数的奇点）。又

()()x nx x n x n sin 2cos212sin 12sin =--+，

于是有