章轴对称单元分析
8年级上册数学第三单元《第十三章 轴对称》知识点总结
第十三章轴对称一、概念1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。
2. 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。
这条直线叫做对称轴。
折叠后重合的点是对应点,叫做对称点3、让学生知道轴对称图形（一个图形，有一条或多条对称轴）和轴对称（两个图形，只有一条对称轴）的区别与联系4.轴对称的性质①关于某直线对称的两个图形是全等形。
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
二、线段的垂直平分线1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。
2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上三、用坐标表示轴对称小结：在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.点（x, y）关于x轴对称的点的坐标为（x,- y）.点（x, y）关于y轴对称的点的坐标为（-x, y）.注意：像类似点（x，y）关于X=1对称的题目要学会做法2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等注意：知道角平分线交点（到边相等）和垂直平分线交点（到点相等）的区别四、等腰三角形1.等腰三角形的性质①.等腰三角形的两个底角相等。
（等边对等角）②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
（三线合一）2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。
（等角对等边）注意：三线合一不能直接来判定等腰三角形，需要证明全等。
八年级数学上册第十三章轴对称《轴对称：轴对称》
教学设计2024秋季八年级数学上册第十三章轴对称《轴对称：轴对称》一、教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解轴对称图形的概念，掌握识别轴对称图形的方法，能画出给定图形的轴对称图形。
2.过程与方法：通过观察、操作、归纳等数学活动，培养学生的空间想象能力和图形变换能力；在小组合作中，提升交流与合作能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学美的感受，培养探索数学规律的兴趣；通过解决实际问题，增强应用数学的意识。
二、教学重点•轴对称图形的定义及其性质。
•如何判断一个图形是否为轴对称图形。
•掌握作轴对称图形的基本方法。
三、教学难点•理解轴对称图形中对称轴两侧图形全等的意义。
•灵活运用轴对称性质解决复杂图形问题。
四、教学资源•多媒体课件（包含轴对称图形的实例、动态演示）。
•实物教具（如对称的剪纸、镜子等）。
•学生分组材料（纸张、剪刀、直尺、铅笔）。
•教材及配套练习册。
五、教学方法•直观演示法：利用多媒体和实物展示轴对称现象。
•动手操作法：学生动手剪纸或画图，体验轴对称图形的形成过程。
•合作探究法：小组内讨论轴对称图形的性质，共同解决问题。
•归纳总结法：引导学生总结轴对称图形的特征和应用。
六、教学过程1. 导入新课•情境引入：展示自然界和生活中轴对称图形的图片（如蝴蝶、树叶、建筑等），引导学生观察并思考这些图形的共同特点。
•提出问题：这些图形有什么共同之处？你能举出更多这样的例子吗？2. 新课教学•定义讲解：明确轴对称图形的定义，强调对称轴、对应点、对应线段等概念。
•实例分析：选取几个典型的轴对称图形，引导学生分析其对称轴和对称性质。
•动手操作：•活动一：学生分组，利用纸张和剪刀尝试剪出轴对称图形，并讨论其对称轴。
•活动二：给定一个简单图形，要求学生画出其关于某条直线的轴对称图形，并说明作图步骤。
•归纳总结：总结轴对称图形的性质，强调对称轴两侧图形全等的特点。
结构图示意（简化版）：引入（生活实例）→ 定义讲解（轴对称图形）→ 实例分析（图形特征）→动手操作（剪纸/画图）→ 归纳总结（性质、作图方法）3. 课堂小结•回顾轴对称图形的定义、性质及作图方法。
人教版八年级数学上册第十三章轴对称单元教材分析优秀教学案例
（一）导入新课
1.利用实物模型、图片等展示轴对称现象，如剪纸、折叠等，让学生直观感受轴对称的美妙。
2.通过PPT、视频等多媒体手段，展示生活中的轴对称实例，如建筑物的设计、艺术作品等，引导学生关注轴对称在生活中的应用。
3.创设问题情境，如“你能找出周围的轴对称现象吗？”等，让学生在解决实际问题的过程中，自然引入轴对称的概念。
（四）反思与评价
1.引导学生对自己的学习过程进行反思，总结自己在探究过程中的收获和不足。
2.组织学生进行自我评价，鼓励学生树立自信，勇于面对困难和挑战。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注学生的个体差异，给予有针对性的指导和建议。
4.结合学生的反馈，及时调整教学策略，提高教学效果。
在教学过程中，我将注重启发式教学，引导学生主动探究，培养学生的创新意识和思维能力。同时，我会设计具有挑战性的数学题目，激发学生的学习兴趣，提高学生的数学素养。在整个教学过程中，我将注重培养学生的情感态度与价值观，使学生在学习数学的过程中，不仅能获得知识与技能的提升，还能在情感态度与价值观方面得到全面发展。
4.教师引导学生总结本节课的主要内容，加深学生对轴对称知识的理解和记忆。
（五）作业小结
1.布置具有针对性的作业，让学生巩固本节课所学知识，提高学生的实际应用能力。
2.要求学生对自己的作业进行自我评价，发现自己的不足，为下一步学习做好准备。
3.教师及时批改作业，给予学生反馈，帮助学生提高。
4.根据学生作业情况，调整教学策略，为下一节课的教学做好准备。
2.培养学生勇于探究、积极思考的科学精神，增强学生的自信心。
3.培养学生团队合作、交流分享的良好学习习惯，提高学生的沟通能力。
新人教版(2013版))初中数学《第十三章轴对称》单元教材教学分析
第三课时：作轴对称图形
第四课时用坐标表示轴对称
第五课时：等腰三角形的性质和应用
第六课时：等腰三角形的判定
第七课时：等边三角形的性质和判定
第八课时：最短路径问题
……
说明
数学教学应该选在牵一发而动全身的关键之处进行，轴对称图形的认识的教学就是要抓住“对折”与“完全重合”两个关键之处．不然就是隔靴搔痒.当“部分重合”与“完全重合”理解了，轴对称图形的概念也会在学生脑海中留下深刻的印象．
新人教版（2013版））初中数学《第十三章轴对称》单元教材教学分析
学段及学科
初中数学
教材版本
新人教版（2013版））
单元名称
《第十三章轴对称》
单元教材主题内容与价值作用
本节课我采用从生活中创设情境来激发学生们的学习兴趣，采用拼图形的方法创设问题的情境，引导学生自主探究活动，培养学生用类比、猜想、论证的研究方法研究问题，培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容．
学生思想教育和行为习惯的培养及学习方法
几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形．
课时安排
第一课时轴对称
本节课以数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题学习，让学生经历将实际问题抽象为数学问题的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小的问题转化为“两点之间，线段最短”问题．
单元目标
1．理解和掌握轴对称的性质．会画轴对称图形的对称轴．2．运用等腰三角形的性质进行证明和计算3．理解并掌握等腰三角形的判定方法．
人教版八年数学上 第13章_轴对称单元复习课件(共27张PPT)
(3)图形轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对 称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平
分线。
3
(4)轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一 对对应点所连线段的垂直平分线。
13
例1 如图，以直线AE为对称轴，画出该图形的另一部分。
B C
A D E
解：作图过程如下：
(1)分别作出点B、C关 F 于直线AE的对称点F、H。
(2)连结AF、FD、DH、 HE，得到所求的图形。
H
14
点P（a，b）关于x轴对称的点的坐标为（a，-b）
点P（a，b）关于y轴对y 称的点的坐标为（-a，b）
到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平 分线上。
4
正方形、长方形、等腰三角形、等腰梯形 和圆都是轴对称图形。有的轴对称图形有不止 一条对称轴。
5
二、题目特点：
• 判断轴对称图形或对称轴的条数 • 根据轴对称图形的性质作对称轴 • 用线段垂直平分线的性质解决计算题或进行证明说理 三、解题切入点：
4
A5E来自FG3
12
∴ AB=DB， ∠1= ∠2=60° 从而有 ∠3= ∠1=60° 在△ABF和△DBG中
∠3= ∠1
BC
∠4= ∠5
AB=DB
∴ △ABF≌ △DBG
∴ＢF＝ＢG
1.如图，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和 ∠ACB的平分线，且PD//AB，PE//AC，求 △PED的周长 .
3
2
B1
第13章《轴对称》单元核心考点归纳
八(上)数学•第12章《轴对称》专题A ——单元核心考点归纳一点通〖核心考点1〗轴对称与轴对称图形1.下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）A .B .C .D .2.点M (－2，1)关于x 轴的对称点N 的坐标是（ ）A . (2，1)B .(－2，1)C .(－2，－1)D . (2，－1) 3.已知点A (a ＋2b ，1)，B (－2，2a －b ).(1)若点A 、B 关于x 轴对称，则a ＝_________，b ＝_________； (2)若点A 、B 关于y 轴对称，则a ＝_________，b ＝_________. 4. 如图，在4×3正方形网格中，阴影部分是由5个小正方形 组成的一个图形，请你用两种方法分别在下图方格内添涂2个小正方形，使这7个小正方形组成的图形是轴对称图形.〖核心考点2〗画轴对称图形5. 如图，△ABC 的顶点A 、B 、C 都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图. (1)画△A 1B 1C 1，使它与△ABC 关于直线l 成轴对称； (2)在直线l 上找一点P ，使点P 到点A 、B 的距离之和最短； (3)在直线l 上找一点Q ，使点Q 到边AC 、BC 的距离相等.〖核心考点3〗线段的垂直平分线6. 如图，在△ABC 中，边AB 的中垂线DE 分别交AB 、BC 于点E 、D ，连接AD ，若△ADC 的周长为7cm ，AC ＝2cm ，则BC 的长为（ ）A . 4cmB . 5cmC . 6cmD .7cm 7. 如图，点D 、E 分别在△ABC 的边AB 、AC 上，将△ABC 沿直线DE 折叠，A 与A '重合，若∠A ＝70°，则∠1＋∠2＝__________.〖核心考点4〗等腰三角形的性质 8.已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个等腰三角形的周长为（ ）A . 11B . 16C . 17D . 16或179. 如图，在△ABC 中，∠B ＝40°，AD 为BC 边上的高，E 是AB 上一点，且AD ＝AE ，求∠AED 的度数.方法一 方法二 AB C DE A ′A B C DE12 A B C D E10. 如图，已知AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于点E ，交AD 于点F ， 且AE ＝EF ，求证：AC ＝BF .〖核心考点5〗等腰三角形的判定11. 如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，DA 平分∠EDC ，且∠EAB ＝∠EDB ，DE ＝DC . 求证：AB ＝AC .12. 如图，在四边形ABDC 中，AB ＝AC ，∠ABD ＝∠ACD . 求证：DB ＝DC .〖核心考点6〗等边三角形的判定13. 如图，点E 是等边△ABC 的高AD 上一点，∠EBF ＝60°，∠BCF ＝30°.求证：△BEF 是等边三角形.14. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC 于点D . 点P 在BA 延长线上，点O 是线段AD 上一点，OP ＝OC . (1)求∠APO ＋∠DCO 的度数；(2)求证：△POC 为等边三角形.A BDE F A BD E AB DC ABDF E AC D O P〖核心考点7〗等边三角形的性质15.如图，在等边△ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AB 上，且BD ＝AE ，AD 与CE 交于点F . (1)求证：AD ＝CE ；(2)求∠DFC 的度数.16. 如图，△AB C 是等边三角形，点D 在BC 上，△ADE 是等腰三角形，AD ＝AE ，∠DAE ＝80°，当DE ⊥AC 时，求∠BAD 和∠EDC 的度数.〖核心考点8〗30°角的直角三角形的性质17. 如图，折叠直角三角形纸片，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处， 已知CD ＝1，∠B ＝30°， 则BD 的长是（ ） A . 1 B . 2 C . 3 D . 2.518. 如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，∠B ＝30°， 将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°后，得到△AB ′C ′，且C ′为BC 的中点，B ′C ′与AB 相交于点D ，求DB DC ''的值.〖核心考点9〗最短路径问题19. (1)如图1，在直线l 的两侧有两点A 、B ，在直线l 上找一点P ，使P A ＋PB 最短； (2)如图2，在直线l 的同侧有两点A 、B ，在直线l 上找一点P ，使P A －PB 最长； (3)如图3，在直线l 的同侧有两点A 、B ，在直线l 上找一点P ，使P A ＋PB 最短.AB C D FE A B C DFAB C D EAB CD C′ B′ A B l 图1AB l图2A B l图3〖核心考点10〗数学思想方法的应用 应用1 方程的思想20. 如图1，在△ABD 中，点C 在BD 上，BC ＝AC ＝AD ，∠BAD ＝63°，求∠CAD 的值.应用2 整体的思想21. 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝100°，边AB 与AC 的垂直平分线分别交BC 于T 、S ，垂足分别为F 、G ，求∠ATS ＋∠AST 的值.应用3 分类的思想22. 在△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得的锐角为40°，求底角∠B 的度数.A DBC A G B C STF。
初中八年级数学上第十三章 轴对称(单元总结)(解析版)
第十三章轴对称单元总结【思维导图】【知识要点】知识点1：轴对称和轴对称图形●轴对称概念：有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．●轴对称图形概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
（对称轴必须是直线）●轴对称图形的性质（重点）：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
类似的，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．轴对称图形上对应线段相等、对应角相等。
●画一图形关于某条直线的轴对称图形步骤：1.找到关键点，画出关键点的对应点，2.按照原图顺序依次连接各点。
●用坐标表示轴对称1、点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（-x，y）；2、点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（x，-y）；【典例分析】1．（2019·湖北中考真题）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（）A．诚B．信C．友D．善【答案】D【解析】根据轴对称图形的概念逐一进行分析即可得.【详解】A.不是轴对称图形，故不符合题意；B.不是轴对称图形，故不符合题意；C.不是轴对称图形，故不符合题意；D.是轴对称图形，符合题意，故选D.【点睛】本题考查了轴对称图形的识别，熟知“平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形是轴对称图形”是解题的关键.2．（2014·海南中考真题）如图，△ABC与△DEF关于y轴对称，已知A，，B，，E（2，1），则点D的坐标为（）A ． ，B ． ，C ． ，D ． ，【答案】B 【解析】∵△ABC 与△DEF 关于y 轴对称，A （-4，6），∴D （4，6），故选B ．3．（2019·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，点(),2A m 与点()3,b n 关于y 轴对称，则（ ） A ．3m =，2n =B ．3m =-，2n =C ．2m =，3n =D ．2m =-，3n =【答案】B【解析】根据点关于y 轴对称，其横坐标互为相反数，纵坐标相同即可得到答案.【详解】A ，B 关于y 轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标相同,故选B【点睛】本题考查点坐标的轴对称，解题的关键熟练掌握点坐标的轴对称. 知识点2：线段的垂直平分线概念：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）性质：线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．【典例分析】4．（2019·吉林中考真题）如图，在ABC ∆中，ACB ∠为钝角．用直尺和圆规在边AB 上确定一点D ．使A D C 2B ∠=∠，则符合要求的作图痕迹是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由ADC 2B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠知B BCD ∠=∠，据此得DB DC =，由线段的中垂线的性质可得答案．【详解】解：∵ADC 2B ∠=∠且ADC B BCD ∠=∠+∠，∴B BCD ∠=∠，∴DB DC =，∴点D 是线段BC 中垂线与AB 的交点，故选：B【点睛】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.5．（2019·广西中考真题）如图，DE 是ABC ∆的边AB 的垂直平分线，D 为垂足，DE 交AC 于点E ，且8,5AC BC ==，则BEC ∆的周长是（ ）A ．12B ．13C ．14 【答案】B【解析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AE BE =，进而得出答案．【详解】解：∵DE 是ABC ∆的边AB 的垂直平分线，∴AE BE =，∵8,5AC BC ==，∴BEC ∆的周长是：13BE EC BC AE EC BC AC BC ++=++=+=．故选：B ．【点睛】考核知识点：线段垂直平分线.理解线段垂直平分线性质是关键.6．（2019·四川中考真题）如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，若BC=6，AC=5，则△ACE 的周长为（ ）A ．8B ．11C ．16D ．17【答案】B【解析】根据线段垂直平分线的性质得AE=BE ，然后利用等量代换即可得到△ACE 的周长=AC+BC ，再把BC=6，AC=5代入计算即可．【详解】解：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴△ACE的周长=AC+CE+AE=AC+CE+BE=AC+BC=5+6=11．故选：B．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．知识点3：等腰三角形等腰三角形性质：1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
第十三章 轴对称教材分析
第三学段：
图形的性质
平移 图形的变化 图形与坐标
空 间 与 图 形
轴对称
旋转
第三学段：
（二）图形的变化
1．图形的轴对称 （1）通过具体实例了解轴对称的概念， 探索它的基本性质：成轴对称的两个图形 中，对应点的连线被对称轴垂直平分。 （2）能画出简单平面图形（点，线段， 直线，三角形等）关于给定对称轴的对称 图形。
1.关于“轴对称图形”的概念
大量丰 富实例 概括 共性 形成 概念
2.关于“轴对称”的概念
“轴对称”与“轴对称图形”两个概 念的区别与联系。
3.轴对称的基本性质
M A C N C’ A’
轴对称的应用
用坐标表示轴对称
B
B’
由两个图形成轴对称的性质可以得到 轴对称图形的性质，这也说明二者的本质 是一致的。
任意一个平移变换都可以看作是经过两 个轴对称变换得到；
任意一个旋转变换也都可以看作是经过 两个轴对称变换得到.
6
二、课程要求
“图形与几何”的主要内容有： 空间和平面基本图形的认识，图形 的性质、分类和度量；图形的平移、旋 转、轴对称、相似和投影；平面图形基 本性质的证明；运用坐标描述图形的位
置和运动。
研究几何图形的基本思路：
• 明确概念 • 探究性质 • 探究定
一个图形的要素之间的关系
几何 图形
两个或多个图形之间的关系
“想象”是空间观念的核心
在几何领域内如何分析思考问题
在解决问题的过程中，合情推理用于 探索思路，发现结论；演绎推理用于验证 结论。推理能力的发展应贯穿在整个数学 学习过程中。
4
2.轴对称变换
在平面内，给定一条直线l，P与P’是平 面内的两个点，如果直线l垂直平分线段PP’， 则将P变换成P’的变换，称之为关于直线l的 轴对称变换，P与P’称为一组对应点，直线l 称为对称轴.
第13章轴对称单元计划
第十三章单元计划单元名称：轴对称本单元教学内容、地位和作用内容：本章的主要内容是轴对称，画轴对称，等腰三角形，课题学习最短路径问题。
地位：轴对称在当今社会中有着重要的地位和作用，是全等形的一种特殊情况，用坐标表示轴对称，体现了数形结合的思想，等腰三角形在几何中具有奠定性的重要作用。
作用：轴对称在当今社会中有着重要的地位和作用，它承前启后，是今后学习其他几何知识的重要基础，在几何学习中占有重要地位单元教学目标知识与技能目标1、通过具体实例认识轴对称，了解轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系。
2、理解对应点所连线段被对称轴垂直平分的性质。
3、了解等腰三角形，等边三角形的概念和性质。
4、欣赏现实生活中的轴对称图形，结合现实生活中典型实例了解并欣赏轴对称图形过程与方法通过探究轴对称图形的性质，拓展论证有关边，角问题的方法，提升学生探索与发现问题的能力。
情感态度与价值观1、在数学活动的探索与发现中获得成功的体验2、发展应用数学解决实际问题的意识教学重点理解轴对称的性质，学会有关轴对称作图，运用线段垂直平分线的性质与判定解决具体问题教学难点灵活运用所学知识解决实际问题单元课时安NO 单元教学内容（课题）课时数实际授课时间1 轴对称 32 画轴对称图形 23 等腰三角形 44 课题学习最短路径问题 1教案检查签名：13.3等腰三角形主备人：蔡芳教学目标知识与技能1．等腰三角形的概念．等腰三角形的性质．等腰三角形的概念及性质的应用．2、探索等腰三角形的判定定理3、经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程4、探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质．5、有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．过程与方法1、经历作（画）出等腰三角形的过程，•从轴对称的角度去体会等腰三角形的特点．2、探索并掌握等腰三角形的性质．3、探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念4、经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．5、经历观察、实验、猜想、证明的数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．6、经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，•引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．7、培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力情感态度价值观通过应用知识解决实际问题，体验数学与实际生活的紧密联系。
第四章轴对称问题
主要内容： 4-1轴对称问题有限单元法 4-2空间问题常应变四面体单元
轴对称结构体可以看成由任意
一个纵向剖面绕着纵轴旋转一周而 形成。此旋转轴即为对称轴，纵向 剖面称为子午面，如图4-1表示一 圆柱体的子午面abcd被分割为若干 个三角形单元，再经过绕对称轴旋 转，圆柱体被离散成若干个三棱圆 环单元，各单元之间用圆环形的铰 链相连接。对于轴对称问题，采用 圆柱坐标较为方便。以弹性体的对 称轴为z轴，其约束及外载荷也都 对称于z轴，因此弹性体内各点的 各项应力分量、应变分量和位移分 量都与环向坐标θ无关，
zi , z j , zm, ri , rj , rm 及结点位移ui , uj , um, wi , w j , wm代入式（4-4）中,可以 解出六个待定系数 1, 2, 。,再6 将这些待定系数回代到式 （4-4）中，就可以得到由结点位移和形函数所表示的单元内任 一点的位移表达式
u Ni ui N j u j Nmum w Ni wi N j w j Nmwm
bi A1 fi
Si
2 A3 A
A1
bi
A1bi A2ci
fi fi
A1ci
ci
i, j, m
A1ci A2bi
返回
其中
u A1 1 u
，
1 2u
A2 21 u
，
1 uE A3 41 u1 2u
从（4-14）式可知，只有剪应力在单元中是常数，而其他 三个正应力在单元中都不是常数，与坐标r和z有关。同样 采用形心坐标和来代替，每个单元近似地被当作常应力单 元，所求得的应力是单元形心处的应力近似值。
e1
e1
这就是求解结点位移的方程组，写成标准形式
第13章轴对称教材分析
三、《轴对称》一章的教学建议
线段垂直平分线有什么性质呢？ 看线段，看角；看数量，看位置． 元素之间的关系：位置或数量关系
三、《轴对称》一章的教学建议
如何在已知对 称轴的情况下画 出一个轴对称图 形呢？ 点在线上或点在线外 从特殊到一般
三、《轴对称》一章的教学建议
如果将问题放置在平面直 角坐标系中，会怎样？ 用两数的关系来刻画轴对称 数形结合
A
Ｏ
1
B
C
D
三、《轴对称》一章的教学建议
等腰三角形的判定：等角对等边
G
A
D A E
K H
A
J
L I
E B
D C
F B C G
A F
D A E
E
E B D C
D C
B C
B
三、《轴对称》一章的教学建议
举例10
B 2C, AD⊥BC, 求证： CH AB BH A
B
H
B’
C
三、《轴对称》一章的教学建议
E D B C
举例15
在△ ABC 中，∠BAD=∠DAE=9° ，∠DAC=90° ，且 AE+BA=BC， E’ 求∠B
x°
A
(x+18)° x° B DE
x°
C
举例16
如图，在 △ ABC 中， D 是 BC 边上的一点，若 ∠BAD=∠C=2∠DAC=45° ，DC=2．求 BD 的长．
角平分线的性质和判定 线
最简单的轴对称封闭图形 等腰三角形的判定和性质 特殊化 等边三角形的判定和性质
轴对称变换
轴对称分形
·从能力来看
二、《轴对称》一章的教学目标
最新新人教版八年级上册第13章轴对称单元教学计划
第十三章轴对称单元教学计划一、教学内容：本章的主要内容是轴对称，画轴对称，等腰三角形，课题学习最短路径问题。
轴对称在当今社会中有着重要的地位和作用，是全等形的一种特殊情况，用坐标表示轴对称，体现了数形结合的思想，等腰三角形在几何中具有奠定性的重要作用。
轴对称在当今社会中有着重要的地位和作用，它承前启后，是今后学习其他几何知识的重要基础，在几何学习中占有重要地位。
二、单元教学目标：知识与技能1、通过具体实例认识轴对称、轴对称图形，探索轴对称的基本性质，理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质。
2、探索简单图形之间的轴对称关系能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形；认识和欣赏轴对称在现实生活中的应用，能利用轴对称进行简单的图案设计。
3、了解线段垂直平分线的概念，探索并掌握其性质；了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，探索并掌握它们的性质及判断方法。
4、能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题，在观察、操作、想象、论交流的过程中，发展空间观念，激发学习图形与几何的兴趣。
过程与方法：1、通过探索、猜测，进一步体会学会推理的必要性，发展学生过程与方法〕初步推理能力；2、通过揭示一些概念和性质之间的联系，对学生进行创新精神和实践能力的培养.情感态度与价值观：1、通过观察、实验、归纳、类比、推断，体验数学活动的趣味性，以感受推理过程的严谨性以及结论的确定性；2、开展探究性活动，充分体现学生的自主、合作精神，激发学生乐于探索的热情。
三、教学重点：轴对称图形的性质推理和应用。
四、教学难点：掌握等腰三角形的性质和判定定理。
五、教学建议：1．注意使学生经历探索等腰三角形、等边三角形性质及等腰三角形、等边三角形的判定的过程．在教学中鼓励学生观察、操作、推理，运用多种方式探索等腰三角形、等边三角形有关性质．2．注重创设具有现实性、趣味性和挑战性的情境，体现轴对称的广泛应用．3．注意直观操作与说理的结合，逐步培养学生有条理的思考和表达．六、课时分配：教学时间约需12课时，具体分配如下：13.1轴对称3课时13.2轴对称图形2课时13.3等腰三角形5课时13.4课题学习2课时中国农业银行企业文化核心理念一、中国农业银行使命面向“三农”，服务城乡，回报股东，成就员工二、中国农业银行愿景建设城乡一体化的全能型国际金融企业三、中国农业银行核心价值观诚信立业，稳健行远四、核心价值观指导下的相关理念（一）经营理念：以市场为导向，以客户为中心，以效益为目标。
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章轴对称单元分析————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期：第十二章“轴对称”单元备课人教版初中数学八年级上册第十二章“轴对称”单元分析ﻫ课程教材研究所李海东ﻫ八年级上册第12章是“轴对称”，主要包括轴对称和等腰三角形的有关内容。
本章共安排了三个小节和两个选学内容，教学时间约需13课时,具体分配如下（仅供参考)：12．1 轴对称3课时12．２作轴对称图形3课时12.3等腰三角形5课时数学活动小结２课时一、教科书内容和课程学习目标（一)本章知识结构框图本章知识结构如下图所示：（二）教科书内容本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质,欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用。
在此基础上，利用轴对称,探索等腰三角形的性质,学习它的判定方法，并进一步学习等边三角形。
轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学与现实联系的重要内容。
在本章第１小节“轴对称”中，教科书立足于学生的生活经验和数学活动经历,从观察现实生活中的对称现象开始,引出轴对称图形和图形的轴对称的概念，从整体上概括出轴对称的特征。
结合探索对称点的关系,归纳得出对应点连线被对称轴垂直平分的性质，并结合这一性质的得出，讨论了垂直平分线的性质定理及其逆定理。
接下来,在第2小节“作轴对称图形”中，通过作轴对称图形、简单的图案设计、确定最短路线等活动，让学生进一步体会轴对称的应用价值和丰富内涵。
用坐标表示轴对称,从数量关系的角度刻画了轴对称。
教科书从观察和实验入手,归纳得出坐标平面上一个点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律，并进一步探讨了如何利用这种规律在平面直角坐标系中作出一个图形关于x轴或ｙ轴对称的图形。
等腰三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的所有性质外,还有许多特殊的性质。
由于它的这些特殊性质,使它比一般三角形应用更广泛。
而等腰三角形的许多特殊性质，又都和它是轴对称图形有关,这也是教科书把这部分内容安排在本章的一个重要原因。
在本章第3小节“等腰三角形”中,利用等腰三角形的轴对称性,得出了“等边对等角”“三线合一”等性质，并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角形的性质与判定方法的内容。
在本章,轴对称的性质是本章的重点，轴对称的应用，利用轴对称设计图案,用坐标表示轴对称等都是围绕这一性质进行的。
另外,等腰三角形的性质和判定也是本章的重点，它们是证明线段和角相等的重要根据，应用也比较广泛。
按照整套教科书对于推理证明的安排，在“全等三角形”已经要求让学生会用符号表示推理（证明)的基础上,对于一些图形的性质（如线段垂直平分线的性质、等腰(边）三角形的性质与判定等）,仍是要求学生证明。
由于学生刚开始接触用符号表示推理，虽然教科书控制了证明难度，但是相对于上一章，推理的依据多了，图形、题目的复杂程度也增加了，因此会使一些学生感到无处下手，这是本章教学的一个难点，要注意帮助学生克服这一难点。
(三）课程学习目标１．通过具体实例认识轴对称、轴对称图形,探索轴对称的基本性质,理解对应点连线被对称轴垂直平分的性质；２.探索简单图形之间的轴对称关系,能够按照要求作出简单图形经过一次或两次轴对称后的图形;认识和欣赏轴对称在现实生活中的应用，能利用轴对称进行简单的图案设计；3.了解线段垂直平分线的概念，探索并掌握其性质;了解等腰三角形、等边三角的有关概念，探索并掌握它们的性质以及判定方法;4.能初步应用本章所学的知识解释生活中的现象及解决简单的实际问题,在观察、操作、想象、论证、交流的过程中,发展空间观念,激发学习空间与图形的兴趣。
二、本章编写特点在以往的教科书中，等腰三角形的有关内容一般安排于介绍三角形的内容之中，利用三角形的全等研究等腰三角形的性质和判定。
在本套教科书中，等腰三角形的有关内容安排在了“轴对称”一章,学生学完了轴对称的相关性质之后，利用轴对称的有关知识研究等腰三角形的性质，再利用三角形的全等的知识给以证明，这是本章编排上的一个特点。
哈拉道口学区中学导学案设计备课者:孙鹏飞、杨晓利备课时间：9.1５上课时间:1２.１轴对称学案(一)学习目标：１、通过实例认识轴对称，掌握轴对称图形和关于直线成轴对称这两个概念2、培养学生的观察能力、思维能力、操作能力、归纳能力．学习重点:轴对称图形和两个图形关于某直线对称的概念学习难点：轴对称图形和两个图形关于某直线对称的区别和联系学习过程：(一）、看教材P2９--－P３0图１2.１－1(二)、概念：（１)轴对称图形:如果一个图形沿一条折叠，直线两旁的部分能够,这个图形就叫做。
这条直线就是它的对称轴.这时,我们也说这个图形关于这条直线。
(2）轴对称:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线成。
这条直线就是对称轴,两个图形中的对应点(即两个图形重合时互相重叠的点）叫做。
(3)轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别和联系？区别:轴对称是说个图形的位置关系,轴对称图形是说个具有特殊形状的图形。
联系：都能沿着某条直线。
这条直线是对称轴。
(三）、思考：（1)成轴对称的两个图形全等吗？全等的两个图形一定成轴对称吗？（2)如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分,那么这两个图形就关于这条直线成；反过来，•如果把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个图形．（四）、练一练：1、标出下列图形中的对称点2、下面给出的每幅图中的两个图案是轴对称的吗?如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点.（五）、分类训练一、选择题1.等腰三角形的对称轴有（)A、1条Ｂ、３条C、1条或３条D、无数条2．下列图形中不是轴对称图形的是()A B Ｃ D3. 下列图案是轴对称图形的有( ）A.1个Ｂ.2个Ｃ.３个D．4个4．下列英文字母属于轴对称图形的是（)A、NB、ＳC、ＬＤ、E5．下列各时刻是轴对称图形的为(）Ａ、Ｂ、C、D、二、填空题1.如果一个图形沿着一条直线对折,两侧的图形能够完全重合，这个图形就是（）,折痕所在的直线叫做（)。
２．圆的对称轴有( )条，半圆形的对称轴有（ )条。
3．在对称图形中,对称轴两侧相对的点到对称轴的（)。
4.（）三角形有三条对称轴，( )三角形有一条对称轴。
５.正方形有（）条对称轴，长方形有( ）条对称轴,等腰梯形有（）条对称轴。
6.请找出右图中每个正多边形对称轴的条数，并填入下表。
正多边形的条数34568n对称轴的条数7.当写着数字的纸条垂直于镜面摆放时（如图所示）:下面是从镜子中看到的数: ，它实际上是____＿_______＿＿__8．右图是屋架设计图的一部分，其中∠Ａ＝30°,点D是斜梁AB的中点，BC、DE垂直于横梁AC，AB=１６m,则DE的长为( )A、8 mB、4 mC、2 mD、6m二．判断。
1.通过一个圆的圆心的直线是这个圆的对称轴。
（)２．圆是轴对称图形,每一条直径都是它的对称轴。
（）3.等腰梯形是对称图形。
( )4.正方形只有一条对称轴。
( ）三.选择。
1.下列图形中,对称轴最多的是( ）。
①等边三角形②正方形③圆④长方形２．下面不是轴对称图形的是( )。
①长方形②平行四边形③圆④半圆３．要使大小两个圆有无数条对称轴,应采用第（)种画法。
①②③四．作图题画下面图形的对称轴．五.应用题。
４. 求右图阴影部分的面积。
（单位:厘米）总结反馈：哈拉道口学区中学导学案设计备课者:孙鹏飞、杨晓利备课时间：９.1６上课时间：1２．１轴对称学案学习课题：1２.1轴对称（第二课时）学习内容：教材P３１-33学习目标:1、探索轴对称图形性质的过程,进一步体验轴对称的特点，发展空间观察2、探索线段垂直平分线的性质，培养学生认真探究、积极思考的能力学习重点:探索轴对称的性质,并总结出线段垂直平分线的性质学习难点：探索并总结出线段垂直平分线的性质,能运用其性质解答简单的几何问题学习方法：探索、归纳、交流、练习学习过程：一、学习新知(一)轴对称的性质１、如图１４.1—4,△ABC和△Ａ′Ｂ′C′关于直线MN对称，点A′B′C′分别是点A、B、Ｃ的对称点,线段AA′、BB′、ＣC′与直线MN有什么关系？（１）设ＡA′交对称轴ＭＮ于点P,将△ＡBC和△A′B′C′沿MN折叠后,点A与A′重合吗?于是有PA= ,∠ＭPA＝=度(2)对于其他的对应点，如点Ｂ、B′,C、C′也有类似的情况吗?（3)那么MN与线段AA′，BB′，ＣC′的连线有什么关系呢?２、垂直平分线的定义:经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线3、轴对称的性质:如果两个图形关于某条直线对称，那么是任何一对对应点所连线段的类似地,轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
4、练习：教材P３2图12.1-5(二)线段垂直平分线的性质1、探究：教材P３22、归纳,线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的与这条线段的距离３、思考:反过来，如果PA=ＰB，那么点P是否在线段AＢ的垂直平分线上？探究:教材P334、归纳:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的上.(三）应用１、如下图，AＤ⊥BＣ，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、ＡＣ、C Ｅ的长度有什么关系?AB+ＢＤ与DE有什么关系?2、如下图，AB=ＡC,MB=MＣ．直线AＭ是线段ＢＣ的垂直平分线吗？三、总结四、作业1、△ABＣ中,DE是ＡC的垂直平分线,AE＝３cm，△AＢＤ的周长为13ｃm，求△ＡBC的周长。
哈 拉 道 口 学 区 中 学 导 学 案 设 计备课者：孙鹏飞、杨晓利 备课时间: ９．16 上课时间：《１2.2．２用坐标表示轴对称》学案学习内容 １２.2.2用坐标表示轴对称学习课型 新授课学习 目标⑴能在平面直角坐标系中画出点关于坐标轴对称的点 ⑵在找关于坐标轴对称的点的坐标之间规律病检验其正确性的过程中,培养学生的语言表达能力，观察能力,归纳能力，养成良好的科学研究方法。
⑶在找点,绘图的过程中是学生体验数形结合思想,体验学习的乐趣。
重 难 点重点： 用坐标表示点关于坐标轴对称的点的坐标。
难点:利用转化的思想，确定能代表轴对称图形的关键点。
学前准备投影仪、多媒体学习过程 学习感悟一、 动手实践，引入新课。
已知点A 和一条直线ＭN,A 到MN 的距离是5个单位长度, 请你画出点A 关于直线MN 的对称点。
NMA ·· · 二、合作学习，探究发现。
1描出这些点关于y 轴的对称点。
2在表格内写出A 、B 、C 、D 关于y 轴对称点的坐标 。
３仔细观察点的坐标,你能发现对称点的横坐标和纵坐标分别有什么样的关系吗?４小组合作,总结规律:点（x, y)关于ｙ 轴对称的点的坐标为________，即横坐标_＿___＿______,纵坐标___＿____。