单级倒立摆系统的分析与设计

单级倒立摆系统的分析与设计

小组成员：武锦张东瀛杨姣

李邦志胡友辉

一．倒立摆系统简介

倒立摆系统是一个典型的高阶次、多变量、不稳定和强耦合的非线性系统。由于它的行为与火箭飞行以及两足机器人行走有很大的相似性，因而对其研究具有重大的理论和实践意义。由于倒立摆系统本身所具有的上述特点，使它成为人们深入学习、研究和证实各种控制理论有效性的实验系统。

单级倒立摆系统（Simple Inverted Pendulum System）是一种广泛应用的物理模型，其结构和飞机着陆、火箭飞行及机器人的关节运动等有很多相似之处，因而对倒立摆系统平衡的控制方法在航空及机器人等领域有着广泛的用途，倒立摆控制理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器入技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。

倒立摆仿真或实物控制实验是控制领域中用来检验某种控制理论或方法的典型方案。最初研究开始于二十世纪50年代，单级倒立摆可以看作是一个火箭模型，相比之下二阶倒立摆就复杂得多。1972年，Sturgen等采用线性模拟电路实现了对二级倒立摆的控制。目前，一级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛用于教学。

二．系统建模

1．单级倒立摆系统的物理模型

图1：单级倒立摆系统的物理模型

单级倒立摆系统是如下的物理模型：在惯性参考系下的光滑水平平面上，放置一个可以在平行于纸面方向左右自由移动的小车（cart ），一根刚性的摆杆（pendulum leg ）通过其末端的一个不计摩擦的固定连接点（flex Joint ）与小车相连构成一个倒立摆。倒立摆和小车共同构成了单级倒立摆系统。倒立摆可以在平行于纸面180°的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然保持竖直向上状态。在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到微小的摄动时就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。依照惯性参考系下的牛顿力学原理，作用力与物体位移对时间的二阶导数存在线性关系，单级倒立摆系统是一个非线性系统。

各个参数的物理意义为：

M — 小车的质量 m — 倒立摆的质量

F — 作用到小车上的水平驱动力

L — 倒立摆的长度 x — 小车的位置 θ— 某一时刻摆角

整个倒立摆系统就受到重力、驱动力和摩擦阻力的三个外力的共同作用。这里，驱动力F 是由连接小车的传动装置提供，控制倒立摆的稳定实际上就是依靠控制驱动力F 使小车在水平面上做与倒立摆运动相关的特定运动。为了简化模型以利于仿真，假设小车与导轨以及摆杆与小车铰链之间的摩擦均为0。

2．单级倒立摆系统的数学模型

令小车的水平位移为x ，运动速度为v ，加速度a 。 小车的动能为212kc E Mx =&，选择特定的参考平面使得小车的势能为0。

摆杆的长度为L ，某时刻摆角为θ，在摆杆上与固定连接点距离为q （0

=+⎧⎨=⎩V V 该质元的动能为：2222211()(2cos )22

k m m m E m x y m x q x q θθθ=+=++V V V &&&&&&V V 势能为：cos p m E m g q θ=⋅⋅V V ， 其中 m dq ρ=⋅V ，ρ是摆杆的线密度 则系统的总动能可以通过对和从0到L 积分获得：

2220111()cos 226

l

k kc k m E E E dq M m x ml x ml θθθ=+=+++⎰V &&&& 01cos 2

l p p m E E dq mgl θ==⎰V 其中小车的动能和势能为： 212kc E Mx =& ， 0pc E = 系统的拉格朗日方程可写为：

2221111()cos cos 2262

k p L E E M m x ml x ml mgl θθθθ=-=+++-&&&& 由欧拉—拉格朗日方程： d L L F dt x x ∂∂-=∂∂& ， 0d L L dt θθ

∂∂-=∂∂& 可以确定摆杆的运动方程： 211222111232()cos sin cos sin 0m M x ml ml F ml x ml mgl θθθθθθθ⎧++⋅-⋅=⎪⎨+-=⎪⎩

&&&&&&&&& 为避免复杂的求解微分方程的运算，考虑摆角在θ=0附近的微小变化，倒立摆在垂直位置可以近似为：cos θ≈1，sin θ≈0，运动方程可简化为：

122113

2()()()0m M x ml F t ml ml x g θθθ⎧++=⎪⇒⎨+-=⎪⎩&&&&&&&& 令所有作用力、位移与角度参数为时间t 的函数，则

2()[()()]t F t m M x ml

θ=

-+&&&& 2[()()]()032

l ml F t m M x x g θ-++-=&&&& ∴ 43()()44mg x F t t m M m M

θ=-++&& 22()43()[()()]44m M mg F t F t t ml ml m M m M θθ+=--++&& 66()()()(4)(4)

g m M F t t l m M l m M θ+=-+++ 将转换后的线性系统用两个2阶微分方程描述，系统的状态矢量为：

令(,,,),()T x x x f F t θθ==&& ，则状态方程描述为： x Ax Bf y Cx

=+⎧⎨=⎩& 将相关参数带入，得到

010006()

6

000(4)

(4)()0

00103

400044g m M l m M l m M f t x x mg

m M m M ⎡⎤

⎡

⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥

+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

-

⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦

&

01006()000(4)000130004g m M l m M A mg

m M ⎡⎤

⎢⎥+⎢⎥

+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥+⎣⎦ 06(4)044l m M B m M ⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥-+⎢⎥=

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥+⎣⎦

100

0001

0C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

三． 控制对象的初步分析

倒立摆系统的基本数据：

M ——小车质量2Kg

m ——摆杆质量0.5Kg

L ——摆杆长度 0.5m

得到系统的状态方程如下：

0100034.5882

000 1.4118000101.72940000.4706u x x x x θ⎡⎤θ⎡⎤⎡⎤

⎡⎤

⎢⎥⎢

⎥⎢⎥⎢⎥

θ-θ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

⎣⎦&

&&&&&&&

10000010y x x x θθθ

⎡⎤

⎢⎥

⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦

&&

由状态方程可知，系统的开环特征值为：

开环系统有极点在右半平面，因此原系统为不稳定系统。

由能控性的定义，根据状态方程x Ax Bu =+&

^2^3S=[B AB A B A B]，rank(S)=4，满秩，所以系统完全能控；

由能观性的定义，^2^3T P=[C CA CA CA ]，