福建省厦门外国语学校2012届最后一卷(数学理)

2012年厦门外国语学校适应性考试数学（理科）试卷参考公式：13V sh =锥体，343V R π=球体 若（x 1，y 1），（x 2，y 2）…，（x n ，y n ）为样本点，ˆy bx a =+为回归直线，则 111n i x x n ==∑，111ni y y n ==∑()()()111111222111nni i n n i i i x y yy x ynx yb x x x nx a y bx====---==--=-∑∑∑∑，第Ⅰ卷 （选择题 共50分）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的. 1．已知集合{||2,A x x x =≤∈R },{2,B x x =∈Z },则A B = （ ）A. (0,2)B. [0,2]C. {0, 2}D. {0,1,2}2．若复数)(12R a iai∈-+是纯虚数(i 是虚数单位)，则a 的值为（ ） (A) 2-(B) 2(C) 1(D) 1-3．“lg ,lg ,lg x y z 成等差数列”是“2y xz =”成立的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件；C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件. 4．设b a ,是不同的直线，βα,是不同的平面，则下列结论错误．．的是（ ） (A) 若,//,ααb a ⊥则b a ⊥ (B) 若βαβα//,,⊥⊥b a ，则b a //(C) 若βαα⊂⊥b b a ,//,，则β⊥a (D) 若βα⊥⊥a a ,，则βα//5．阅读右侧程序框图，输出结果s 的值为（ ）(A) 21 (B)23 (C) 3- (D) 36．若nxx )1(+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A10 B.20 C.30 D.120（5）题图7．已知某几何体的三视图如上右图所示，其中，正视图，侧视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为（ ）12 B. 4136π+16+ D. 2132π+8．已知函数()f x 满足：)()()(n f m f n m f =+，)1(f ＝3，则)1()2()1(2f f f +＋)3()4()2(2f f f +＋)5()6()3(2f f f +＋)7()8()4(2f f f + 的值等于( )A ．36B ．24C ．18D ．129．已知定点12(2,0),(2,0)F F -，N 是圆22:1O x y +=上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆10．某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪都比上一年增加20%，另外，每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的本年年薪相同．若以今年为第一年，如果将第n 年企业付给工人的工资总额y (万元)表示成n 的函数，则其表达式为( )A ．y ＝(3n ＋5)1.2n ＋2.4B ．y ＝8×1.2n ＋2.4nC ．y ＝(3n ＋8)1.2n ＋2.4D ．y ＝(3n ＋5)1.2n －1＋2.4第Ⅱ卷 （非选择题 共100分）二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 11．某种产品的广告费支出x 与销售额y (单位：百万元) 之间有如下的对应数据：根据上表提供的数据 算出5,50x y ==，521145ii x==∑，511390i ii x y==∑用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程为12．函数1)(23++-=x x x x f 在点)2,1(处的切线与函数2)(x x g =围成的图形的面积等于 13．一个箱子中装有4个白球和3个黑球，一次摸出2个球，在已知它们的颜色相同的情况下，该颜色是白色的概率 。

14． ()()()22,0,f x x f a f b a b ab =-=<<已知函数若且则的取值范围是15．已知两个正数,a b ,可按规则c ab a b =++扩充为一个新数c ,在,,a b c 三个数中取两个较大的数,按上述规则扩充得到一个新数，依次下去，将每扩充一次得到一个新数称为一次操作.若0p q >>，经过6次操作后扩充所得的数为(1)(1)1m n q p ++-（,m n 为正整数），则m n +的值为_______.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分13分） 已知函数π()sin()(00,)2f x A x A ωϕωϕ=+>><，（x ∈R ）的部分图像如图所示．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）设()()()4g x f x x π=+，且tan α=，求()g α的值．17．（本小题满分13分） 某公园设有自行车租车点， 租车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为2141，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为4121，；两人租车时间都不会超过三小时. （Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE .18. （本小题满分13分）如图，三角形PAB 是半圆锥PO 的一个轴截面，PO=1，AB=2，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，且与圆锥PO 的底面共面.(Ⅰ)若H 为圆锥PO 的底面半圆周上的一点，且BH OC ，连AH ，证明：AH PC ⊥;（Ⅱ）在圆锥PO 的底面半圆周上确定点G 的位置，使母线PG 与平面PCD . 19. （本小题满分13分）在平面直角坐标系中，原点O 在以A,B 为直径的圆C 外，O 点到C 的切线长为l ；(Ⅰ)证明：2l OA OB =⋅;（Ⅱ）若点A 在抛物线21y x =+上，点B 在圆22(3)1x y +-=，求l 的最小值.20. （本小题满分14分）()()()2.2().af x x R x x f x =∈≠-+I 已知函数且函数y=图像是否是中心对称图形，如果是求出其对称中心，并给予证明;如果不是请说出理由.{}(){}()()1111()1,.22 1.n n n n n nn n a a a f a a a a ++=-=-=-->Ⅱ当时，数列满足a ①求数列的通项；②求证：21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换 已知△ABC ，A (－1，0)，B (3，0)，C (2，1)，对它先作关于x 轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°．(Ⅰ)分别求两次变换所对应的矩阵M 1，M 2；（Ⅱ）求点C 在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标．(2) （本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知三点O (0，0)，A (2，π2)，B (22，π4)．(Ⅰ)求经过O ，A ，B 的圆C 的极坐标方程 （Ⅱ）以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆2C 的参数方程1cos ,1sin x a y a θθ=-+⎧⎨=-+⎩（θ是参数），若圆1C 与圆2C 相切，求实数a的值．(3) （本小题满分7分）选修45-：不等式选讲已知x ，y ，z 均为正数．求证：111yx z yz zx xy x y z≥++++．+2012年厦门外国语学校适应性考试 数学（理科）试卷参考答案一．选择题：DBACB BCBBA 二填空题：11.715y x =+; 12.43 ；13.23；14.（0，2）； 15.21. 三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16解：（Ⅰ）由图可得1,A =,43124T πππ=-=………………2分 2,2T Tππω∴===………………3分 又图像过(,1)12π，sin()1,6πϕ∴+=且π2ϕ<可得π3ϕ=………………5分 ()sin(2)3f x x π∴=+………………6分（Ⅱ）()sin(2))2sin 236g x x x x ππ=++-=且tan α=……………10分2224sin cos 4tan ()2sin 24sin cos sin cos 1tan 3g αααααααααα∴=====++……………13分 17．(本题满分13分)解：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为2，4，6元. ………1分都付2元的概率为1111428P =⨯=；都付4元的概率为2111248P =⨯=； 都付6元的概率为31114416P =⨯=；故所付费用相同的概率为1231115881616P P P P =++=++=. ……6分 （Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为4，6，8，10，12. ……7分1(4)8P ξ==； 11115(6)442216P ξ==⨯+⨯=；1111115(8)44242416P ξ==⨯+⨯+⨯=；11113(10)442416P ξ==⨯+⨯=；111(12)4416P ξ==⨯=. …………9分故ξ的分布列为…………11分所求数学期望155311546810128161616162E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. …13分18解：(Ⅰ) H 为圆锥PO 的底面圆周上的一点，AH BH ∴⊥又,BH OC AH OC ∴⊥ ………………2分PO ⊥ 平面ABCD ，AH ⊂平面ABCD PO AH ∴⊥,PO OC O AH ⋂=∴⊥ 平面PCO ，………………4分PC ⊂ 平面PCO ，AH PC ∴⊥………………5分（Ⅱ）以O 为原点，OA 方向为x 轴，OP 方向为z 轴建立空间直角坐标系，………………6分则(0,0,1),(1,2,0),(1,2,0)P D C ---，(1,2,1),(1,2,1)PD PC =--=---，………………7分 设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则由00PD n PC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020x y z x y z --=⎧⎨---=⎩， 取1y =得平面PCD 的一个法向量为(0,1,2)n =-；………………9分G 为圆锥PO 的底面圆周上的一点，可设(cos ,sin ,0)(0G θθθπ≤≤）， PG=cos ,sin ,1)θθ- （，依题意得4PG n PG n ⋅==，………………10分 解得1sin 2θ=，cos 2θ∴=±，………………12分 ∴点G 的坐标为1(,0)2………………13分 19解：(Ⅰ)设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212(,)22x x y y C ++，………………2分 222222212121211(=)()[()()]2224x x y y AB l OC x x y y ++=-+--+-）（……………4分1212x x y y OA OB =+=⋅………………6分（Ⅱ）依题意2111y x =+，2222(3)1x y +-=2222221212121221222(1)()24x x l x x y y x x x y y x y y y ∴=+=++=++-………………8分 22222221(3)523(24)442y y y y y y --≥-=+-≤≤………………10分设52()(24)4t h t t t =+≤≤，则252()0(24)4h t t t '=->≤≤ 52()4t h t t ∴=+在[2,4]是增函数；min 7()(2)2h t h ∴==………………12分min l ∴………………13分()()()()()()()()100200000(1)0-2,02(,)-2,0(4,)2,4220-2,02af x a x af x P x y P x y x a a y x x af x a x =≠+=---+=-=---++∴=≠+ 20解：函数图像是中心对称图形，其对称中心为。