数学物理方程-第五章格林函数法

第五章 格林函数法

在第二章中利用分离变量法求出了矩形区域和圆域上位势方程Dirichlet 问

题的解.本章利用Green 函数法求解一些平面或空间区域上位势方程Dirichlet 问题. 另外，也简单介绍利用Green 函数法求解一维热传导方程和波动方程半无界问题. 应指出的是：Green 函数法不仅可用于求解一些偏微分方程边值问题或初边值问题，特别重要的是，它在偏微分方程理论研究中起着非常重要的作用.

§5⋅1 格林公式

在研究Laplace 方程或Poisson 方程边值问题时，要经常利用格林（Green ）公式，它是高等数学中高斯（Gauss ）公式的直接推广.

设Ω为3R 中的区域，∂Ω充分光滑. 设k 为非负整数，以下用()k C Ω表示在

Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体，()k C Ω表示在Ω上具有k 阶连续偏导的实函数全体. 如()10()()()()u C C C C ∈Ω⋂ΩΩ=Ω，表示(,,)u x y z 在Ω具有一阶连续偏导数而在Ω上连续. 另外，为书写简单起见，下面有时将函数的变量略去.

如将(,,)P x y z 简记为P ，(,,)P x y z x ∂∂简记为P

x

∂∂或x P 等等.

设(,,)P x y z ，(,,)Q x y z 和(,,)R x y z 1()C ∈Ω，则成立如下的Gauss 公式

(

)P Q R dV Pdydz Qdydx Rdxdy x y z Ω

∂Ω

∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.1) 或者

(

)(cos cos cos )P Q R dV P Q R ds x y z αβγΩ

∂Ω

∂∂∂++=++∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.2) 如果引入哈米尔顿（Hamilton ）算子： (,,)x y z

∂∂∂

∇=∂∂∂，并记(,,)F P Q R =，则Gauss 公式具有如下简洁形式

⎰⎰⎰⎰⎰∂⋅=⋅∇Ω

Ω

ds n F dv F

(1.3)

其中(cos ,cos ,cos )n αβγ=为∂Ω的单位外法向量.

注1 Hamilton 算子是一个向量性算子，它作用于向量函数(,,)F P Q R =时，其运算定义为

(

,,)(,,) ,

F P Q R x y z

P Q R

x y z

∂∂∂

∇⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=++∂∂∂

形式上相当于两个向量作点乘运算，此即向量F 的散度div F . 而作用于数量函数(,,)f x y z 时，其运算定义为

(

,,)(,,)f f f

f f x y z x y z

∂∂∂∂∂∂∇==∂∂∂∂∂∂， 形式上相当于向量的数乘运算，此即数量函数f 的梯度grad f .

设(,,)u x y z ，2(,,)()v x y z C ∈Ω，在(1.3)中取F u v =∇得 ()u v dV u v nds Ω

∂Ω

∇⋅∇=∇⋅⎰⎰⎰⎰⎰ (1.4)

直接计算可得

v u v u v u ∇∇+=∇⋅∇∆)( (1.5)

其中xx yy zz v v v v ∆=++. 将(1.5)代入到(1.4)中并整理得

v

u vdV u

ds u vdV n Ω

∂Ω

Ω

∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.6) (1.6)称为Green 第一公式.

在(1.6)中将函数u ，v 的位置互换得

u

v udV v

ds v udV n Ω

∂Ω

Ω

∂∆=-∇⋅∇∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.7) 自(1.6)减去(1.7)得

()()v u

u v v u dV u

v ds n n

Ω

∂Ω

∂∂∆-∆=-∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.8) (1.8)称为Green 第二公式.

设点0(,,)P ξηζ∈Ω，点3(,,)P x y z R ∈，||00P P r P P -

==引入函数 001

(,)4P P

P P r πΓ=

，注意0(,)P P Γ是关于六个变元(,,)x y z 和(,,)ξης的函数且00(,)(,)P P P P Γ=Γ. 如无特别说明, 对b 求导均指关于变量(,,)x y z 的偏导数. 直接计算可得

00(,)0, P P P P ∆Γ=≠

即0(,)P P Γ在3R 中除点0P 外处处满足Laplace 方程.

设0ε>充分小使得00(,){(,,) ||}B B P P x y z P P εε==-≤⊂Ω. 记\G B =Ω,

则G B ∂=∂Ω⋃∂. 在Green 第二公式中取0(,)v P P =Γ，G Ω=. 由于在区域G 内有0∆Γ=，故有

()G

G

u udV u

ds n n

∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ 或者

()()G

B

u u udV u

ds u ds n n n n ∂Ω

∂∂Γ∂∂Γ∂-Γ∆=-Γ+-Γ∂∂∂∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ (1.9) 在球面B ∂上，

02

1

()41

4P P r n r

r r ππ∂∂Γ∂Γ

=-=-=

∂∂∂， 因此

2

1(,,)4B

B

u

u

ds ds u x y z n π

ε

∂∂∂Γ==∂⎰⎰⎰⎰ (1.10)

其中(,,)P x y z B ∈∂.

同理可得 14B

B

u u ds ds n n πε

∂∂∂∂Γ

=∂∂⎰⎰⎰⎰(,,)u

x y z n ε∂'''=∂ (1.11) 其中(,,)P x y z B '''∈∂.

将(1.10)和 (1.11)代入到(1.9)中并令0ε+→，此时有

0(,,)(,,)P x y z P ξηζ→，(,,)0u

x y z n ε∂'''→∂，

并且区域G 趋向于区域Ω，因此可得

()(,,)u

udV u

ds u n n

ξηζΩ

∂Ω

∂Γ∂-Γ∆=-Γ+∂∂⎰⎰⎰⎰⎰， 即

(,,)()u u u ds udV n n ξηζ∂Ω

Ω

∂∂Γ

=Γ

--Γ∆∂∂⎰⎰⎰⎰⎰ (1.12) (1.12)称为Green 第三公式. 它表明函数u 在Ω内的值可用Ω内的u ∆值与边界

∂Ω上u 及n

u

∂∂的值表示.

注2 在二维情形，Green 第一公式和Green 第二公式也成立. 而对于Green

第三公式, 需要取011

(,)ln 2P P r

πΓ=

，其中0(,)P ξη∈Ω，2(,)P x y R ∈，