7.6 函数展开成正弦级数与余弦级数

0 x3
的Fourier级数在[3,3]上的和函数的表达式.
Solution. f(x)的Fourier级数在 x=0 处收敛于
f (0 0) f (0 0) 2 0 1;
2
2
在x 3处收敛于 f (3 0) f (3 0) 2 2 (3) 3;
2
2
2
在3<x<3与0<x<3时,收敛于f(x).
(2) 对F(x)作周期延拓
(3) 将经过奇延拓与周期延拓后的函数展成Fourier级数
必为 bn
n1
sin
nx ,
lLeabharlann Baidu
且bn
2 l
l
0
f
( x) sin
nxdx
l
(4) 限制x的取值范围为[0, l] (5) 对收敛性进行讨论
2. 将f(x)在[0,l]上展成余弦级数. 具体步骤是: (1) 偶延拓: 在[l,0]上补充定义得到F ( x),
定理 2. 设f(x)是以2l为周期的周期函数,且满足收敛定理的条件,
(1) 如果f ( x)为奇函数, 则有
f
(
x)
n1
bn
sin
nx , l
其中系数 bn为 bn
2 l
l 0
f ( x)sin nxdx, l
(n 1,2,)
(2) 如果f ( x)为偶函数, 则有
f
(x)
a0 2
n1
l
[02
x
sin
nxdx
l
l
l
(l
x)
sin
nxdx
l
4l
n2
2
sin
n
2
f
(x)
4l
2
n1sinnn22
2
sin nx
l
(0 x l)
(2) 将f(x)作偶延拓,再作周期延拓. See Figure y
l
o
l
x
可见f ( x)的Fourier 级数在[0, l]上收敛于f ( x).
且bn
令z x ,得
f (x)
2
f (z )
2
z
2
,
z,
2
y
z 0 0 z
F(z)
o
z
F(z)在[,]上满足收敛定理的条件，它在每一点都 连续，它的Fourier级数在[,]上收敛于F(z).
a0
1
0
(z
)dz
2
1
0
(
2
z)dz
0
an
1
0
(z
2
) cos
nzdz
(1) 偶延拓: 在[ ,0]上补充定义得到F ( x), 使F ( x)为[ , ]上的偶函数
(2) 对F(x)作周期延拓
(3) 将经过偶延拓与周期延拓后的函数展成 Fourier级数，必为余弦级数
(4) 限制x的取值范围为[0, ]
(5) 对收敛性进行讨论，类似于前面讨论的情况
Example2. 将f ( x) x2, x [0, ]分别展为正弦级数
a0
2
0
x 2dx
2
3
2
x2
2
3
4
(
n1
1) n2
n
cos nx
(0 x )
三. 定义在[0, l]上的函数展成正弦级数与余弦级数
若f(x)在[0,l]上满足收敛定理的条件,则可展成Fourier 级数. 具体作法分两种情况进行:
1. 将f(x)在[0,l]上展成正弦级数. 具体步骤是:
(1) 奇延拓: 在[l,0]上补充定义得到F ( x), 使F ( x)为[l, l]上的奇函数
1
0
(
2
z) cos
nzdz
2[1
(1)n]
n2
bn
1
0
(z
) sin
2
nzdz
1
0
(
2
z) sin
nzdz
0
F
(
z)
2[1
n1
(1)n
n2
]
cos
nz
( z )
故f
(
x)
2[1
n1
(1)n
n2
]
cos
n(
x
2
),
( x 3 )
2
2
Example5.将f ( x) 10 x (5 x 15)展开成Fourier 级数.
对于非对称区间上的函数，只要作适当的变量替换将 非对称区间转化为对称区间，再按前面介绍的情形展 成Fourier级数,最后代回原来的变量即得所求.
Example4.
将f
(
x)
x
x
x
2
2 展开成Fourier级数.
x 3
2
2
Solution. 由于f(x)为非对称区间上的函数，故应作 变量替换将其转化为对称区间上的函数.
同理可证(2) 定理证毕.
定义:
如果
f
(
x
)
为奇函数,Fourier
级数
bn
sin
nx
n1
称为正弦级数.
如果
f
( x)为偶函数,Fourier
级数a0 2
an
n1
cos nx
称为余弦级数.
Example1.
将f
(
x)
a
a
x 0展成Fourier级数. 0 x
Solution. 将f(x)作周期延拓, See Figure y
an
1 5
5
5
(
z
)
cos
nz
5
dz
0
bn
1 5
5
5
(
z
)
sin
nz
5
dz
(1)n10
n
F
(
z)
(
n1
1)n10
n
sin
nz
5
从而f
(
x)
10
(
n1
1) n
n
sin
n
5
(x
10)
即f
(
x
)
10
n1(n1)n
sin
nx
5
,
(5 x 15)
Example6. 设f ( x
)
x 2
2 3
x
3 x0 , 写出以6为周期
与余弦级数. Solution. (1) 将f(x)作奇延拓,再作周期延拓. See Figure
y
o
x
可见f ( x)的Fourier 级数在x 处收敛于
f ( 0) f ( 0) 2 2 0;
2
2
在0 x 时收敛于f ( x).
且an
0,
bn
2
0
x2
sin nxdx
一. 正弦级数与余弦级数
定理1.
(1)当周期为2 的奇函数 f ( x) 展开为 Fourier
级数时,它的 Fourier 系数为
an 0
(n 0,1,2,)
bn
2
0
f ( x)sin nxdx
(n 1,2,)
(2) 当 周 期 为 2 的 偶 函 数 f ( x) 展 开 成
Fourier 级数时,它的 Fourier 系数为
2 [
2 n3
(
1)n
(
2 n3
2
n
)]
n12 [
2 n3
(1)
n
(
2 n3
2
n
)]sin
nx
x2, 0,
0 x x
(2) 将f(x)作偶延拓,再作周期延拓. See Figure y
o
x
可见f(x)的Fourier级数收敛于f(x).
且bn 0,
an
2
0
x2
cos
nxdx
( 1)n 4 n2
Chapter 7(5)
函数展开成正弦 级数与余弦级数
教学要求：
1. 会将定义在[0,]或[0,l]上的函数展开 为正弦级数与余弦级数
2. 会写出Fourier级数的和函数的表达式
一. 正弦级数与余弦级数
二. 定义在[0, ]上的函数展成正弦级数与余弦级数
三. 定义在[0, l]上的函数展成正弦级数与余弦级数 四. 非对称区间上的函数展成Fourier级数
使F ( x)为[l, l]上的偶函数 (2) 对F(x)作周期延拓 (3) 将经过偶延拓与周期延拓后的函数展成Fourier级数
必为 a0 2
an
n1
cos
nx ,
l
且an
2 l
l
0
f
(
x) cos
nxdx
l
(4) 限制x的取值范围为[0, l]
(5) 对收敛性进行讨论
Example3. 将f ( x)
o
x
显然f(x)在[,]上满足收敛定理条件. 可见f ( x)的Fourier 级数在x 0处收敛于
f (0 0) f (0 0) a (a) 0;
2
2
在x 处收敛于 f ( 0) f ( 0) a a 0;
2
2
在 x 0,0 x 时收敛于f ( x).
由于f(x)在[,]上为奇函数, 故Fourier级数为正弦级数.
an 0,
bn
2
0
a sin nxdx
2a[1 (1)n1]
n
2a[1
n1
(1)n1]sin
n
nx
a, a, 0,
x 0 0 x x 0, x
即4a
n1sin(22nn11)
x
a, a, 0,
x 0 0 x . x 0, x
an
cos
nx , l
其中系数 an为 an
2 l
l 0
f ( x)cos nxdx l
(n 0,1,2,)
二. 定义在[0, ]上的函数展成正弦级数与余弦级数
若f(x)在[0,]上满足收敛定理的条件,则可展成Fourier 级数. 具体作法分两种情况进行: 1. 将f(x)在[0,]上展成正弦级数. 具体步骤是:
0,
an
2l
l 0
f ( x) cos nxdx
l
2 l
l
[02
x
cos
nxdx
l
l
l
(l
x) cos
nxdx
l
2l
n2
2
(2cos n
2
2
cos n
1)
a0
2 l
[
l
02
xdx
l
l
(l
x)dx
l 2
2
f (x)
l 4
2l
2
2
cos
n
2
n1
cos n
n2
1 cos nx
l
(0 x l)
四. 非对称区间上的函数展成Fourier级数
x
l x
0 x l 2 展为正弦级数与余弦级数.
l xl
2
Solution. (1) 将f(x)作奇延拓,再作周期延拓. See Figure y
l
o
l
x
可见f ( x)的Fourier 级数在[0, l]上收敛于f ( x).
且an 0,
bn
2l
l 0
f
( x) sin
nxdx
l
2 l
(1) 奇延拓: 在[ ,0]上补充定义得到F ( x), 使F( x)为[ , ]上的奇函数
(2) 对F(x)作周期延拓
(3) 将经过奇延拓与周期延拓后的函数展成 Fourier级数，必为正弦级数
(4) 限制x的取值范围为[0, ]
(5) 对收敛性进行讨论，类似于前面讨论的情况
2. 将f(x)在[0,]上展成余弦级数. 具体步骤是:
所以所求的和函数的表达式为:
x,
2
2
x,
S(
x)
1,
3
3 2
,
3 x0 0 x3 x0 x 3
The end
Solution. 由于f(x)为非对称区间上的函数，故应作 变量替换将其转化为对称区间上的函数.
令z x 10,得
f ( x) f (z 10) z F (z) (5 z 5) y
5
o
5
z
F(z)在(5,5)上满足收敛定理的条件，它在每一点都 连续，它的Fourier级数在(5,5)上收敛于F(z).
an
2
0
f ( x)cos nxdx
(n 0,1,2,)
bn 0
(n 1,2,)
Proof. (1) 设f ( x)是奇函数,
an
1
f
( x)cos nxdx 奇函数
0
(n 0,1,2,3,)
bn
1
f
( x)sin nxdx 偶函数
2
0
f
( x)sin nxdx (n 1,2,3,)