2.5.2等比数列前n项和的性质精品课件
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2.5等比数列的前n项和 (课件)
n lg1.6 0.2 5年 lg1.1 0.041
小结作业
1. “错位相减法”不仅可以推导等比数 列求和公式，而且可以用来求一类特殊 数列的和.
2. Sn
a1(1 qn ) 1q
a是11 等aqnq比(q数 1)
列前n项和的两个基本公式,应用时一般
用前一个公式.
3.利用方程思想和等比数列前n项和公式， 可以求等比数列的首项、公比和项数 .
3.对于等差、等比数列的求和问题，可 直接套公式求解，对于某些非等差、等 比数列的求和问题，我们希望有一些求 和的方法，这又是一个需要探究的课题.
知识探究（一）：特殊数列的求和方法
思考1：如何求数列
1
1 2
,
4
1 2n
的各项之和？其和为多少？
3n2 n 2 1
2
2n
思考2：上述求和方法叫做分组求和法， 一般地，什么类型的数列可用分组求和 法求和？
由几个等差、等比数列合成的数列.
思考3：如何求数列
1 2
,
1 6
,
1 12
,
的各项之和？其和为多少？
n
n1
,n2 1 n
思考4：上述求和方法叫做裂项求和法， 一般地，什么类型的数列可用裂项求和 法求和？
每一项都能拆分为两项的差，累加后能 抵消若干项.
思考5：如何求数列2，4a，6a2，…，
2nan－1（a≠0） 的各项之和？其和为多
少？ 当a＝1时，Sn n(n 1)
当a≠1时， Sn
2(11
an a2
nan ) 1a
思考6：上述求和方法叫做错位相减法， 一般地，什么类型的数列可用错位相减 法求和？
由一个等差数列与一个等比数列对应项 的乘积组成的数列.
小结作业
1. “错位相减法”不仅可以推导等比数 列求和公式，而且可以用来求一类特殊 数列的和.
2. Sn
a1(1 qn ) 1q
a是11 等aqnq比(q数 1)
列前n项和的两个基本公式,应用时一般
用前一个公式.
3.利用方程思想和等比数列前n项和公式， 可以求等比数列的首项、公比和项数 .
3.对于等差、等比数列的求和问题，可 直接套公式求解，对于某些非等差、等 比数列的求和问题，我们希望有一些求 和的方法，这又是一个需要探究的课题.
知识探究（一）：特殊数列的求和方法
思考1：如何求数列
1
1 2
,
4
1 2n
的各项之和？其和为多少？
3n2 n 2 1
2
2n
思考2：上述求和方法叫做分组求和法， 一般地，什么类型的数列可用分组求和 法求和？
由几个等差、等比数列合成的数列.
思考3：如何求数列
1 2
,
1 6
,
1 12
,
的各项之和？其和为多少？
n
n1
,n2 1 n
思考4：上述求和方法叫做裂项求和法， 一般地，什么类型的数列可用裂项求和 法求和？
每一项都能拆分为两项的差，累加后能 抵消若干项.
思考5：如何求数列2，4a，6a2，…，
2nan－1（a≠0） 的各项之和？其和为多
少？ 当a＝1时，Sn n(n 1)
当a≠1时， Sn
2(11
an a2
nan ) 1a
思考6：上述求和方法叫做错位相减法， 一般地，什么类型的数列可用错位相减 法求和？
由一个等差数列与一个等比数列对应项 的乘积组成的数列.
等比数列的前n项和_优质PPT课件
条件,这时
k a1 . 1 q
5
4.等比数列的判定方法
(1)定义法: 列.
an1 an
(qq是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是等比数
(2)通项公式法:an=cqn(c,q均是不为0的常数,n∈N*)⇔{an}是 等比数列.
(3)中项公式法
:a2n+1=an·an+2(an·an+1·an+2≠0,n∈N*)⇔{an}
(2)只有同号的两个数才有等比中项,且这两数的等比中项互 为相反数.
18
类型二
等比数列的基本量运算
解题准备:在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共有 a1,an,q,n,Sn五个量,知道其中任意三个量,都可以求出其余 两个量.解题时,将已知条件转化为基本量间的关系,然后利 用方程组的思想求解.
19
7
解析:由数列中an与Sn的关系,当n=1时,a1=S1=a-2;当n≥2时 ,an=Sn-Sn-1=(a-1)an-1,经验证n=1时,通项公式不符合,故当 a≠1时,从第二项起成等比数列;当a=1时,an=0(n≥2),数列从 第二项起成等差数列.
答案:D
8
2.已知等比数列{an}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7=() A.64 B.81
2,3S2=a3-2,则公比q=(
)
A.3
B.4
C.5
D.6
解析 :
3S3 3S2
a4 a3
2① 2②
,
①
②得
:
3a3
a4
a3,
4a3
a4,
q a4 4. a3
答案:B
12
5.(2010·重庆)在等比数列{an}中,a2010=8a2007,则公比q的值 为( )
25第1课时等比数列的前n项和精品PPT课件
(2) 2．一个等比数列前5项和为10，前10项和为50，前15项和为 多少？
3.在正项等比数列{an}中，若S2=7, S6=91, 则S4的值 为（ A ）.
（A）28 （B）32 （C）35 （D）49
4．在等比数列{an}中，Sn=k-(
1 2
)n，则实数k的值为（
B
）
（A）
1 2
（B）1
a1( 1 qn 1q
)
a1 anq 1q
3.五个量n，a1，q，an，Sn中，解决“知三求二”问题.
例求下列等比数列前8项的和:
（1）1 , 1 , 1 , ; 248
（2）a1＝27，a9＝
1 243
，q
0.
解:1因为a1
1 2
,q
1 2
,n
8，
所以S8
1 2
1
1 2
8
1 1
1 2
1-2
估计千粒麦子的质量约为40g，那么麦粒的总质量超过
了7 000亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.
问题2答案： 230–1 (分)＝10 737 418. 23 (元) 远大于3 000元
Sn
na1 a1 (1
qn )
1 q
q 1 q 1
1.注意q=1与q≠1两种情形
2.q≠1时，
Sn
1
1
1 8
2
1
1 8 2
255 . 256
2
2
2由a1
27 , a9
1 243
,可得
1 ＝27 q8 243
,
又由q 0,可得
q 1 , 3
于是当n
8时，S8271 来自1 381
3.在正项等比数列{an}中，若S2=7, S6=91, 则S4的值 为（ A ）.
（A）28 （B）32 （C）35 （D）49
4．在等比数列{an}中，Sn=k-(
1 2
)n，则实数k的值为（
B
）
（A）
1 2
（B）1
a1( 1 qn 1q
)
a1 anq 1q
3.五个量n，a1，q，an，Sn中，解决“知三求二”问题.
例求下列等比数列前8项的和:
（1）1 , 1 , 1 , ; 248
（2）a1＝27，a9＝
1 243
，q
0.
解:1因为a1
1 2
,q
1 2
,n
8，
所以S8
1 2
1
1 2
8
1 1
1 2
1-2
估计千粒麦子的质量约为40g，那么麦粒的总质量超过
了7 000亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.
问题2答案： 230–1 (分)＝10 737 418. 23 (元) 远大于3 000元
Sn
na1 a1 (1
qn )
1 q
q 1 q 1
1.注意q=1与q≠1两种情形
2.q≠1时，
Sn
1
1
1 8
2
1
1 8 2
255 . 256
2
2
2由a1
27 , a9
1 243
,可得
1 ＝27 q8 243
,
又由q 0,可得
q 1 , 3
于是当n
8时，S8271 来自1 381
等比数列前n项和公式课件PPT
等比数列的特殊前n项和
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程
对于等比数列，当公比q=1时，前n项和公式为Sn=na1；当q=-1时，Sn=a1a1*q^n/1+q。
等比数列前n项和公式的变种
倒序相加法
错位相减法
将等比数列的前n项和公式倒序相加， 可以得到新的求和公式。
通过错位相减法，可以求出等比数列 的通项公式。
分组求和法
将等比数列分组求和，可以简化计算 过程。
公式与其他数学知识的结合
总结词：综合运用
详细描述：等比数列前n项和公式可以与其他数学知识结合使用，以解决更复杂的数学问题。例如，可以与等差数列、函数、 极限等知识结合，用于解决一些综合性数学问题。
03
等比数列前n项和公式的扩展
特殊等比数列的前n项和
等差数列的前n项和
等差数列是一种特殊的等比数列，其前n项和公式为Sn=n/2 * (a1+an)，其中 a1为首项，an为第n项。
等比数列前n项和公式的证明方法
数学归纳法
通过数学归纳法证明等比数列的前n 项和公式。
累乘法
通过累乘法证明等比数列的前n项和公 式。
04
等比数列前n项和公式的练习 与巩固
基础练习题
详细描述：通过简单的等比数列求和问题，让 学生熟悉并掌握等比数列前n项和的公式。
解题思路：利用等比数列前n项和公式，将数列中的 每一项表示为2的幂，然后求和。
05
等比数列前n项和公式的总结 与回顾
本节课的重点回顾
等比数列前n项和公 式的推导过程
等比数列前n项和公 式的适用范围和限制 条件
如何应用等比数列前 n项和公式解决实际 问题
本节课的难点解析
如何理解和掌握等比数列前n项和公 式的推导过程
(最新修订)新课标初中数学教学课件 2.5.2 等比数列前n项和的性质 _1-5
2.5.2 等比数列前 n 项和的性质
掌握等比数列{an}前 n 项和公式的一些基本性质．
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1
1．数列{an}是等比数列，Sn是其前n 项和，则Sn，S2n－Sn， S3n－S2n也成_等__比__数__列___．
练习1：在等比数列{an}中，a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则 S6＝___1_4_0__.
即S3n＝70.
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5
”
小狐狸狗长得俊俏，又聪明伶俐，和小狐狸、小狗们处得可融洽了，小狐狸们有义务劳动的时候，他去参加。”
蜜蜂循声音望去，果真是热闹非凡，大大小小的苍蝇乱轰轰地飞舞着，蟑螂在爬行，蛆虫在蠕动;地面上乌七糟八的东西更是应有尽有，脏土废纸菜根烂叶，还有不少鱼骨肉渣— —原来是一个兼收并蓄的大垃圾场，这就是苍蝇吹崇备至的居处。”
4
题型1 等比数列前 n 项和性质的应用
例1：已知等比数列前 n 项和为 10，前 2n 项和为 30.求前
3n 项的和．
自主解答：解法一：设数列为{an}，
依题意，可得Sn＝10，S2n＝30.
又∵在等比数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，(30－10)2＝10·(S3n－30)，
“玻璃粉屑?”老鹰迟疑了一会。 上海松江注册公司
地主”
那人问：“你怎么了?为什么浑身发抖?” 小老鼠“吱吱”尖叫着说：“我遇见一只猫，吓得要死。最近4年来，我才明白一个人生来不能光为自己，还要为别人服务。， 他家花园里种了一丛樖鳎人们就给他起了个绰号，叫做“樖鞯刂鳌薄 他知道了这个绰号，认为这是对他的嘲弄，便把整个樖鞔匀部砍掉，以为这样一来就不会再有这样一个讨厌的绰号了?可是，树丛砍掉了，还有树桩呢!人们又开始称他为“树桩
掌握等比数列{an}前 n 项和公式的一些基本性质．
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1
1．数列{an}是等比数列，Sn是其前n 项和，则Sn，S2n－Sn， S3n－S2n也成_等__比__数__列___．
练习1：在等比数列{an}中，a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，则 S6＝___1_4_0__.
即S3n＝70.
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5
”
小狐狸狗长得俊俏，又聪明伶俐，和小狐狸、小狗们处得可融洽了，小狐狸们有义务劳动的时候，他去参加。”
蜜蜂循声音望去，果真是热闹非凡，大大小小的苍蝇乱轰轰地飞舞着，蟑螂在爬行，蛆虫在蠕动;地面上乌七糟八的东西更是应有尽有，脏土废纸菜根烂叶，还有不少鱼骨肉渣— —原来是一个兼收并蓄的大垃圾场，这就是苍蝇吹崇备至的居处。”
4
题型1 等比数列前 n 项和性质的应用
例1：已知等比数列前 n 项和为 10，前 2n 项和为 30.求前
3n 项的和．
自主解答：解法一：设数列为{an}，
依题意，可得Sn＝10，S2n＝30.
又∵在等比数列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，(30－10)2＝10·(S3n－30)，
“玻璃粉屑?”老鹰迟疑了一会。 上海松江注册公司
地主”
那人问：“你怎么了?为什么浑身发抖?” 小老鼠“吱吱”尖叫着说：“我遇见一只猫，吓得要死。最近4年来，我才明白一个人生来不能光为自己，还要为别人服务。， 他家花园里种了一丛樖鳎人们就给他起了个绰号，叫做“樖鞯刂鳌薄 他知道了这个绰号，认为这是对他的嘲弄，便把整个樖鞔匀部砍掉，以为这样一来就不会再有这样一个讨厌的绰号了?可是，树丛砍掉了，还有树桩呢!人们又开始称他为“树桩
等比数列前N项和的性质ppt课件
AX.Z2YB .Y Y Z Z Z X
C.Y2 XZ D .Y Y X X Z X
等比数列前n项和的性质三：
若等比 an共 数 2n 有 项 列，则：
S偶 q S奇
怎么证 明？
等比数列前n项和的性质四：
如 a n 为 果公 q 的比 等 ， 对 为 m 比 、 p N 数 有 ： 列 Smp SmqmSp
[提示] 本题应用等比数列的性质求S4更简捷．
[解] 法一：∵S2＝7，S6＝91，易知q≠1， a11＋q＝7，
∴a111－－qq6＝91. ∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91. ∴q4＋q2－12＝0.∴q2＝3. ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28. ∴S4＝28.
3
即S1 ： 0 0S偶 S奇 80
变式训练
5、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇 数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？
提示： q S偶 170 2 S奇 85
SnS偶 S奇 17 8 0 5255
由等比数列n前 项和公式得：
255 1 2n 1-2
n8
等差数列前n项和的性质：
变式训练
1 、等{a 比 n}的数 n项 前列 和 Sn， 为 S1若 0 2， 0 S2 08， 0 S3则 0 260 。 2、等比数 {an}列 的前 n项和S为 n，若 SS63 3， 求S9的值。
S6
3、任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项
和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（ D）
1 an A.
1 a
1 a n1 B.
1 a
C.1 a n1 D.以上均不正确 1 a
C.Y2 XZ D .Y Y X X Z X
等比数列前n项和的性质三：
若等比 an共 数 2n 有 项 列，则：
S偶 q S奇
怎么证 明？
等比数列前n项和的性质四：
如 a n 为 果公 q 的比 等 ， 对 为 m 比 、 p N 数 有 ： 列 Smp SmqmSp
[提示] 本题应用等比数列的性质求S4更简捷．
[解] 法一：∵S2＝7，S6＝91，易知q≠1， a11＋q＝7，
∴a111－－qq6＝91. ∴a11＋q1－1－qq1＋q2＋q4＝91. ∴q4＋q2－12＝0.∴q2＝3. ∴S4＝a111－－qq4＝a1(1＋q)(1＋q2)＝7×(1＋3)＝28. ∴S4＝28.
3
即S1 ： 0 0S偶 S奇 80
变式训练
5、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇 数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？
提示： q S偶 170 2 S奇 85
SnS偶 S奇 17 8 0 5255
由等比数列n前 项和公式得：
255 1 2n 1-2
n8
等差数列前n项和的性质：
变式训练
1 、等{a 比 n}的数 n项 前列 和 Sn， 为 S1若 0 2， 0 S2 08， 0 S3则 0 260 。 2、等比数 {an}列 的前 n项和S为 n，若 SS63 3， 求S9的值。
S6
3、任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项
和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（ D）
1 an A.
1 a
1 a n1 B.
1 a
C.1 a n1 D.以上均不正确 1 a
2.5等比数列的前n项和ppt课件精品
[点评] 本题应用等比数列前n项和的性质使问题迎刃而解．
迁移变式2
一个等比数列的首项为1，项 数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的 和为 170 ，求此数列的公比和项数． 解：设等比数列的公比为 q，项数为 2n(n∈N*)，由已知，
1－q 1－q2 ＝85， a1＝1，q≠1，且有 2n q 1 － q 2 ＝170. 1 － q
答案：32
5．已知实数列{an}是等比数列，其中a7＝1，
且a4，a5＋1，a6成等差数列．(1)求数列{an} 的通项公式；(2)数列{an}的前n项和记为Sn， 证明：Sn<128(n＝1,2,3，…)．
解：(1)设等比数列{an}的公比为 q(q∈R)， 由 a7＝a1q6＝1，得 a1＝q－6， 从而 a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，a6＝a1q5＝q－1. 因为 a4，a5＋1，a6 成等差数列， 所以 a4＋a6＝2(a5＋1)． 即 q 3＋q 1＝2(q 2＋1)，q 1(q 2＋1)＝2(q 2＋1)．
3．在等比数列中，已知a1＋a2＋a3＝6，a2
＋ a3 ＋ a4 ＝－ 3 ，则 a3 ＋ a4 ＋ a5 ＋ a6 ＋ a7 ＝ ( ) A. B. C. D.
a2＋a3＋a4 a21＋q＋q2 a2 1 解析：由 ＝ ＝ ＝q＝－ ， 2 a1＋a2＋a3 a11＋q＋q2 a1 1 又由 a1＋a2＋a3＝6， 且 q＝－ ， ∴a1＝8， 可得 a2＝a1q＝8×(－ 2 1 2)＝－4， a11－q7 11 ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝S7－a1－a2＝ －8－(－4)＝ . 8 1－q
第2课时
等比数列前n项和的
性质
1．数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，
迁移变式2
一个等比数列的首项为1，项 数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的 和为 170 ，求此数列的公比和项数． 解：设等比数列的公比为 q，项数为 2n(n∈N*)，由已知，
1－q 1－q2 ＝85， a1＝1，q≠1，且有 2n q 1 － q 2 ＝170. 1 － q
答案：32
5．已知实数列{an}是等比数列，其中a7＝1，
且a4，a5＋1，a6成等差数列．(1)求数列{an} 的通项公式；(2)数列{an}的前n项和记为Sn， 证明：Sn<128(n＝1,2,3，…)．
解：(1)设等比数列{an}的公比为 q(q∈R)， 由 a7＝a1q6＝1，得 a1＝q－6， 从而 a4＝a1q3＝q－3，a5＝a1q4＝q－2，a6＝a1q5＝q－1. 因为 a4，a5＋1，a6 成等差数列， 所以 a4＋a6＝2(a5＋1)． 即 q 3＋q 1＝2(q 2＋1)，q 1(q 2＋1)＝2(q 2＋1)．
3．在等比数列中，已知a1＋a2＋a3＝6，a2
＋ a3 ＋ a4 ＝－ 3 ，则 a3 ＋ a4 ＋ a5 ＋ a6 ＋ a7 ＝ ( ) A. B. C. D.
a2＋a3＋a4 a21＋q＋q2 a2 1 解析：由 ＝ ＝ ＝q＝－ ， 2 a1＋a2＋a3 a11＋q＋q2 a1 1 又由 a1＋a2＋a3＝6， 且 q＝－ ， ∴a1＝8， 可得 a2＝a1q＝8×(－ 2 1 2)＝－4， a11－q7 11 ∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝S7－a1－a2＝ －8－(－4)＝ . 8 1－q
第2课时
等比数列前n项和的
性质
1．数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，
高中数学《等比数列的前n项和(2)》课件
要点三 等差、等比数列前n项和的综合问题 例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－ 2(n∈N*)，在数列{bn}中，b1＝1，点P(bn，bn＋1)在 直线x－y＋2＝0上． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，求Tn.
解 (1)由Sn＝2an－2，得Sn－1＝2an－1－2(n≥2)， 两式相减得an＝2an－2an－1，即an－1(an)＝2(n≥2)， 又a1＝2a1－2，∴a1＝2， ∴{an}是以2为首项，以2为公比的等比数列，∴an＝2n. ∵点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上， ∴bn－bn＋1＋2＝0，即bn＋1－bn＝2， ∴{bn}是等差数列，∵b1＝1，∴bn＝2n－1. (2)∵Tn＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－3)2n－1＋(2n－ 1)2n① ∴2Tn＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)·2n＋ 1②
q(a1(1－qn))，它可以变形为Sn＝－1－q(a1)·qn＋ 1－q(a1)，设A＝1－q(a1)，上式可写成Sn＝－Aqn ＋A.由此可见，非常数列的等比数列的前n项和Sn 是由关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，
而指数式的系数与常数项互为相反数．
当q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1是n的正比例函
解 (1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a3(2)＋2a3a5＋ a5(2)＝25， 又an>0，∴a3＋a5＝5.又a3与a5的等比中项为2， ∴a3a5＝4，而q∈(0,1)，∴a3>a5，∴a3＝4，a5＝1. ∴q＝2(1)，a1＝16，∴an＝16×2(1)n－1＝25－n. (2)bn＝log2an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1， ∴{bn}是以b1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴Sn＝2(n(9－n))，∴n(Sn)＝2(9－n)， ∴当n≤8时，n(Sn)>0；当n＝9时，n(Sn)＝0；当 n>9时，n(Sn)<0. ∴当n＝8或9时，1(S1)＋2(S2)＋3(比数列前n项和的性质 (1)连续m项的和(如Sm、S2m－Sm、S3m－S2m)，仍构 成等比数列． (2)Sm＋n＝Sm＋qmSn(q为数列{an}的公比)． (3)若{an}是项数为偶数、公比为q的等比数列，则S 奇(S偶)＝q.
2.5.2 等比数列的前n项和(第2课时)性质及应用(课件)-下学期高一数学(人教A版必修5)
[提示] S2＝20，S4－S2＝40，∴S6－S4＝80，∴S6＝S4＋80＝S2＋40＋80 ＝140.
1．思考辨析
[基础自测]
(1)等比数列{an}共 2n 项，其中奇数项的和为 240，偶数项的和为 120， 则该等比数列的公比 q＝2.( )
(2)已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝a·3n－1－1，则 a＝1.( ) (3)若数列{an}为等比数列，则 a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6 也成等比数列．( ) (4)若 Sn 为等比数列的前 n 项和，则 S3，S6，S9 成等比数列．( )
等比数列前 n 项和公式的函数特征应用 例 1、已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝an－1(a 是不为零且不等于 1 的常数)， 则数列{an}( ) A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．是等差数列或等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列
B [当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1； 当 n＝1 时，a1＝a－1，满足上式． ∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*. ∴aan＋n 1＝a， ∴数列{an}是等比数列．]
[解] 设 S2n＝x，S4n＝y，则 2，x－2,14－x，y－14 成等比数列，所以 x－22＝214－x， 14－x2＝x－2y－14， 所以xy＝ ＝63， 0 或xy＝ ＝－ －44，0 (舍去)，所以 S4n＝30.
2．(变条件变结论)将例题(2)中的条件“q＝3，S80＝32”变为“项数为偶 数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的12，又它的首项为12，且中间 两项的和为1238”求此等比数列的项数．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1． （2019 年金华模拟）设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10∶S5＝1∶2，
1．思考辨析
[基础自测]
(1)等比数列{an}共 2n 项，其中奇数项的和为 240，偶数项的和为 120， 则该等比数列的公比 q＝2.( )
(2)已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝a·3n－1－1，则 a＝1.( ) (3)若数列{an}为等比数列，则 a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6 也成等比数列．( ) (4)若 Sn 为等比数列的前 n 项和，则 S3，S6，S9 成等比数列．( )
等比数列前 n 项和公式的函数特征应用 例 1、已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝an－1(a 是不为零且不等于 1 的常数)， 则数列{an}( ) A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．是等差数列或等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列
B [当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1； 当 n＝1 时，a1＝a－1，满足上式． ∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*. ∴aan＋n 1＝a， ∴数列{an}是等比数列．]
[解] 设 S2n＝x，S4n＝y，则 2，x－2,14－x，y－14 成等比数列，所以 x－22＝214－x， 14－x2＝x－2y－14， 所以xy＝ ＝63， 0 或xy＝ ＝－ －44，0 (舍去)，所以 S4n＝30.
2．(变条件变结论)将例题(2)中的条件“q＝3，S80＝32”变为“项数为偶 数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的12，又它的首项为12，且中间 两项的和为1238”求此等比数列的项数．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1． （2019 年金华模拟）设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S10∶S5＝1∶2，
高中数学《等比数列前n项和性质》课件
A.24
√B.12
C.18
D.22
解析 设a1＋a3＋…＋a99＝S，则a2＋a4＋…＋a100＝2S.
∵S100＝36，∴3S＝36，∴S＝12，∴a1＋a3＋a5＋…＋a99＝12.
规律与方法
1.在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判 断；若{an}是等比数列，且an>0，则{lg an}构成等差数列. 2.等比数列前n项和中用到的数学思想 (1)分类讨论思想： ①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论； ②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,0<q<1 时为递增数列；当a1<0，q>1或a1>0,0<q<1时为递减数列；当q<0时为 摆动数列；当q＝1时为常数列.
反思与感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形， 在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
跟踪训练2 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
第二章 §2.5 等比数列的前n项和 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
学习目标
1.理解等比数列前n项和公式的函数特征. 2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题. 3.会用错位相减法求和.
知识点一 等比数列前n项和公式的函数特征
思考 若数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？
若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－1呢？
答案 当Sn＝2n－1时，
an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2 当Sn＝2n＋1－1时，
等比数列的前n项和性质PPT——公开课(幻灯片12张ppt)
(S20 S10 )2 S10 (S30 S20 )
S20 （3 舍）或 S20 4
练习：
2、等比数列 an的前n项和为 Sn
，若
S10 S5
3,
则 S15
S10
.
答案：7/3
思考：已知一等比数列{an},其项数为偶 数，其所有奇数项的和为S奇=100 ，公 比q=2，求其所有偶数项的和S偶。
为39，则该数列的前10项之和 为（ ）
答案：C
A. 3 2 C. 12
B. 3 13
D. 15
练习：
1、等比数列an中，
答案：4
S30 13S10 , S10 S30 14, 则 S20
.
解析：S30 13S10, S10 S30 14
S10 1, S30 13
S10 , S20 S10 , S30 S20 成等比数列
其中A 0, q 0且q 1,n N*
二、例题解析（一）
例1、若等比数列an中，Sn m3n 1, 则
实数m= -1 .
练习：1、已知等比数列an的前n项和为
Sn
x 3n1
1, 6
则x的值为
1
2.
2、已知等比数列an的前n项和为
Sn
3n2
2a,
则a的值为
1 18
.
3、已知等比数列 an的前n项和为
等比数列的前n项和的性质
授课班级 14-15班
一、复习回顾，引出课题
1、等比数列的前n项和公式：
na1, q 1
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
,
q
1
=
n
a1,
q
1
S20 （3 舍）或 S20 4
练习：
2、等比数列 an的前n项和为 Sn
，若
S10 S5
3,
则 S15
S10
.
答案：7/3
思考：已知一等比数列{an},其项数为偶 数，其所有奇数项的和为S奇=100 ，公 比q=2，求其所有偶数项的和S偶。
为39，则该数列的前10项之和 为（ ）
答案：C
A. 3 2 C. 12
B. 3 13
D. 15
练习：
1、等比数列an中，
答案：4
S30 13S10 , S10 S30 14, 则 S20
.
解析：S30 13S10, S10 S30 14
S10 1, S30 13
S10 , S20 S10 , S30 S20 成等比数列
其中A 0, q 0且q 1,n N*
二、例题解析（一）
例1、若等比数列an中，Sn m3n 1, 则
实数m= -1 .
练习：1、已知等比数列an的前n项和为
Sn
x 3n1
1, 6
则x的值为
1
2.
2、已知等比数列an的前n项和为
Sn
3n2
2a,
则a的值为
1 18
.
3、已知等比数列 an的前n项和为
等比数列的前n项和的性质
授课班级 14-15班
一、复习回顾，引出课题
1、等比数列的前n项和公式：
na1, q 1
Sn
a1
(1 q 1 q
n
)
,
q
1
=
n
a1,
q
1
2.5.2等比数列前n项和的性质精品课件(1)(1)
S 15
993
32
k
S15 993
S 10 992
变式训练
、等比数列 的前 项和为 ，若 ， 2 ，则 。 S 20 80
{ an}
S 30
n
Sn
260
S10 20
和3、分任别意为等X比、数Y、列Z，，它则的下前列n等1 项式和中、恒前成2立n的项是和（与前D）3n 项
A．X＋Z＝2Y
n
S n a1 1,
S10 31
S 5 32
求 S15 的值。
S
解：10 S10 31
设 S 31 k , S 32 k ( k 0)
S 32
10
5
5
， ， 成等比数列 1
S S - S S - S
5
10
5
15
10
即： 解得： ( S10 - S 5 ) 2 S 5 ( S15 - S10 ) (31 k - 32 k ) 2 32 k ( S15 - 31 k )
解： ， ， 成等比数列 S m S 2m - S m S 3m - S 2m
( S 2 m - S m ) 2
Sm
( S1 3m
-
S2m )
即：(30 - 10 ) 2 10 ( S 3m - 30 ) 解得：S 3m 70
例题讲解
、等比数列 的前 项和为 ， 若 ， 3
{ an }
． － ＝ － B Y(Y X) Z(Z X)
． ＝ C Y2 XZ
． － ＝ － D Y(Y X) X(Z X)
4、书上第58页，第2题。 210
等比数列前n项和的性质三：
若等比数列an 共有2n项，则：
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新等比数列首项为 S k，公比为q k 。
2、等比数列 {an }的前n项和为S n，若S m 10 ，S 2m 30 ， 求S 3m的值。
解： S m，S 2m - S m，S3m - S 2m 成等比数列
(S 2m - S m ) S m (S3m - S 2m )
2
即： (30 - 10) 10 (S3m - 30)
q 1 ， q 1。
1 、数列1 ，a，a ， ，a ， 的前n项和为( D ) n 1 n 1 1 an 1 a 1 a A. B. D.以上均不正确 C . 1 a 1 a 1 a 2、若等比数列 {an }的前n项和为S n , 则数列 {S n }中( D )
解： a1an
a2 an1 128
又有a1 an 66
两式联立解得：
a1 2 a1 64 或 a n 64 a n 2 显然，q 1。
(1)当a1 2，an 64时有：
2 - 64q Sn 126 1 q
a1 a n q Sn 1-q
2
解得：S3m 70
S10 31 3、等比数列 {a n }的前n项和为S n，a1 1, 若 ， S 5 32 S15 求 的值。 S10
S10 31 解： S 5 32
设S10 31k , S5 32k (k 0)
S5，S10 - S5，S15 - S10 成等比数列
S n Aq - A( A 0)
n
② an 为等比数列 S k , S 2k S k , S3k S 2k 也成等比数列。
且新等比数列首项为 S k，公比为q k 。
an 共有2n项，则： ③ 若等比数列
S偶 S奇 q
如果 a 为公比为 q 的等比数列 ， 对 m 、 p N 有： ④ n
S5 31
S 3 7，求S 5。
7、已知正项等比数列 {an }前n项和为S n，若a2 a4 1 ，
31 S5 4
8、已知数列 {an }的前n项和S n 满足：S n 4an 2， 求数列 {an }的通项公式。
2 4 n 1 an ( ) 3 3
等差数列前n项和的性质： ① 数列 {an }是等比数列
如果an 为等差数列 ，则S k , S 2k S k , S3k S 2k 也成等差数列。
新的等差数列首项为 S k，公差为k d。
2
那么，在等比数列重，也有类似的性质吗？
等比数列前n项和的性质二：
怎么 证明？
如果an 为等比数列 ，则S k , S 2k S k , S3k S 2k 也成等比数列
q
S偶 S奇
170 2 85
S n S 偶 S奇 170 85 255
由等比数列前 n项和公式得：
1 2 255 1-2
n
n8
5、在等比数列 {an }中，a1 an 66 ，a2 an1 128 ， 前n项和S n 126 ，求n及公比q。
Sm p Sm q S p
m
课本第62页，习题2.5 B组，第2题、第5题。
260
。
3、任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项 和分别为 X、Y、Z，则下列等式中恒成立的是（ D） A．X＋Z＝2Y C．Y2＝XZ B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) D．Y(Y－X8页，第2题。
等比数列前n项和的性质三：
an 共有2n项，则： 若等比数列
数
列
等比数列的前n项和的性质
复习回顾 引入新课
1、等比数列前n项和公式: q 1 ， na1 na1 S n a1 a1 q n 或 Sn a1 an q q 1 。 1-q 1-q 2、数学思想：整体代入法。 3、两个求和方法： (1)拆项分组求和法； (2)错位相减求和法；
S偶 S奇 q
怎么 证明？
等比数列前n项和的性质四：
如果an 为公比为 q的等比数列 ，对m、p N 有：
Sm p Sm q S p
m
1 4、若等比数列 {a n }的公比为 ，且a1 a3 a99 60, 3 则{a n }的前100项和为 80 。
A.任意一项都不为0 C.至多有有限项为0
B.必有一项为0
2
n1
D.可以有无数项为0
n
3、若等比数列 {a n }的前n项和S n 2 1 ，数列{bn }满足： bn a n ，则{bn }的前那n项和Tn
2
1 n (4 1) 。 3
合作探究 形成规律
a1 n a1 a1 a1q n Sn q Sn 1-q 1-q 1-q a1 令A 0 则：S n Aqn - A 1-q
(S10 - S5 ) 2 S5 (S15 - S10 ) 993 2 k 即： (31k - 32k ) 32k (S15 - 31k ) 解得： S15 32
S15 993 S10 992
2、等比数列 {a n }的前n项和为S n，若S10 20 ， S 20 80 ，则S 30
这个形式和等比 数列等价吗？
n
等比数列前n项和的性质一：
数列 {an }是等比数列 S n Aq - A( A 0) 类似结论： 相反 数列 {an }是等比数列 数 Sn Aan B( AB 0, A 1)
1 、若等比数列 {an }的前n项和S n 4n a，求a的值。
解得：q 2
又an a1q 得：64 2 2
n1
n 1
解得：n 6 (2)当a1 64 ，an 2时,同理可得： 1 q ，n 6 2
1 综上所述： n 6，q 或2。 2
6、已知等比数列 {a n }前n项和为S n，若a 2 a3 2a1， 5 且a 4与2a7的等差中项为 ，求S 5。 4
解： 令X a1 a3 a99 60
Y a2 a4 a100
Y 1 由等比数列前 n项和性质知： q X 3
则S100 X Y
Y 20
即：S100 X Y 80
5、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇 数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？ 提示：
提示：
S n Aq - A( A 0)
n
系数和常数互为相反数
a 1
1 、若等比数列 {an }的前n项和S n 3n1 2a，求a的值。
1 1 1 n 化简到： S n 3 2a 2a 0 a 3 3 6
我们知道，等差数列有这样的性质：