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高中数学选修2-2(人教A版)第二章推理与证明2.2知识点总结含同步练习及答案

4. 当 q ≠ 1 时， S n =
−a1 n a q + 1 = aq n + b ，这里 a + b = 0 ，且 a ≠ 0, b ≠ 0 ，这是等比数 1−q 1−q 列前 n 项和公式的一个特征，据此很容易根据 S n ，判断数列 {an } 是否为等比数列．如若 {an } 是
等比数列，且 S n = 3 n + r ，则 r =
)
C．2 D．3
B．1
2. 从任何一个正整数 n 出发，若 n 是偶数就除以 2 ，若 n 是奇数就乘 3 再加 1 ，如此继续下去
⋯ ⋯，现在你从正整数 3 出发，按以上的操作，你最终得到的数不可能是 (
A．1
答案： C 解析：按照题中给出的规则：
)
B．2
C．3
D．4
10 = 5 ；得到的第三个数是 2 16 8 5 × 3 + 1 = 16 ；得到的第四个数是 = 8 ；得到的第五个数为 = 4 ； 2 2 4 2 得到的第六个数为 = 2 ；得到第七个数为 = 1 ；得到第八个数为 1 × 3 + 1 = 4． 2 2 所以后面的数是以 4、2、1 为一个周期的数．
高中数学选修2-2(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章推理与证明 2.1 合情推理与演绎推理
一、学习任务 1. 能用归纳和类比等进行简单的推理，体会并了解合情推理在数学发现中的作用． 2. 理解演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单推理． 3. 了解合情推据已知中的点
E, F 的位置，如图，可知入射角的正切值为 2 ，第一次碰撞点为 F ，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点 G 在 DA 上，且 1 1 DG = , 第三次碰撞点 H 在 DC 上，且 DH = ，第四次碰撞点 M 在 CB 上，且 6 3 1 1 1 CM = ，第五次碰撞点为 N ，在 DA 上，且 AN = ，第六次回到 E 点， AE = . 3 6 3

高中数学选修2-2第一章课后习题解答

新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答第一章导数及其应用 3．1变化率与导数练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升.练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P9）函数()r V =(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆.所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=.因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第 5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J.4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>. 由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算练习（P18）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=；（2）2x y e '=；（3）4106y x x '=-；（4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin33x y '=-；（6）y '=习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=. 2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、()r V '=4、（1）213ln 2y x x '=+；（2）1n x n x y nx e x e -'=+；（3）2323sin cos cos sin x x x x xy x-+'=；（4）9899(1)y x '=+；（5）2x y e -'=-；（6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.5、()8f x '=-+. 由0()4f x '=有 048=-+，解得0x =.6、（1）ln 1y x '=+；（2）1y x =-.7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少. 习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应用练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增；当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增；当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增；当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+. （1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，注：图象形状不唯一.其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-. （2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54；当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-.（3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22（4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x=-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈. 因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>. 因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减.3、（1）图略. （2）加速度等于0.4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值；（2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值；（3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值；（4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-.（3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-.（4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724. 由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16；当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-.习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈.图略（2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略（4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++. 下面分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4生活中的优化问题举例习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2l x =. 当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x .（1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+，所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax =时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ，则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2Vh R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+，0R >. 令2()40V S R R R π'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>. 因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点. 此时，（第2题）（第3题）22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2x m ，半圆的面积为28x π2m ，矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x a l x x x x x πππ=++-=++，0x <<令22()104a l x x π'=+-=，得x =.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.m 时，所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<.令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c c x a x b b -=-+⨯=--，54ba x <<. 令845()0c ac bc L x xb b +'=-+=，解得458a bx +=.当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<. 当458a bx +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润.1．5定积分的概念练习（P42） 83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =.于是 111()nnni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]n i i n n n ==-⋅+⋅∑22211111()()()2n n n n n n n n -=-⋅--⋅-⋅+2231[12]2n n=-++++31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+111(1)(1)232n n=-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323n nn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km.说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48）2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰；（2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰；（3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）；距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式11()nni i i b af x b a n ξ==-∆==-∑∑，从而11lim nban i b adx b a n →∞=-==-∑⎰，说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义，0⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此4π=⎰.5、（1）03114x dx -=-⎰. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得10133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得202333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx-⎰化为02331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出031x dx -⎰，23x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）；不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）（3）49.81tdt ⎰；49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n -，记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =），其长度为 (1)il i l l x n n n-∆=-=.把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作： 12,,,n m m m ∆∆∆，则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l iln n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l il n n ξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l il n n-上质量2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =）.（3）求和得细棒的质量 2111()nnni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑. （4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm nξ→∞==∑，所以20l m x dx =⎰..1．6微积分基本定理练习（P55）（1）50；（2）503；（3）533-；（4）24；（5）3ln 22-；（6）12；（7）0；（8）2-.说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题1.6 A 组（P55）1、（1）403；（2）13ln 22--；（3）9ln 3ln 22+-；（4）176-；（5）2318π+；（6）22ln 2e e --. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰.它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习题1.6 B 组（P55）1、（1）原式＝221011[]222x e e =-；（2）原式＝4611[sin 2]22x ππ=；（3）原式＝3126[]ln 2ln 2x =. 2、（1）cos 1sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=-=---=⎰；（2）sin 1cos [sin sin()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=|=--=⎰；（3）21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx m πππππππ----==-=⎰⎰；（4）21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰. 3、（1）0.202220()(1)[]49245245t kt kt t kt t g g g g g gs t e dt t e t e t e k k k k k k ----=-=+=+-=+-⎰.（2）由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值范围.根据指数函数的性质，当0t >时，0.201t e -<<，从而 5000495245t <<，因此，500052454949t <<. 因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯，52450.2749245 1.2410e-⨯-≈⨯，所以，70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而，在解方程0.2492452455000t t e -+-=时，0.2245t e -可以忽略不计.因此，.492455000t -≈，解之得 524549t ≈（s ）. 说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1．7定积分的简单应用练习（P58）（1）323；（2）1.说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习（P59）1、52533(23)[3]22s t dt t t =+=+=⎰（m ）.2、42403(34)[4]402W x dx x x =+=+=⎰（J ）. 习题1.7 A 组（P60）1、（1）2；（2）92.2、2[]b b a a q q q qW k dr k k k r r a b==-=-⎰. 3、令()0v t =，即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体达到最大高度.最大高度为 42400(4010)[405]80h t dt t t =-=-=⎰（m ）.4、设t s 后两物体相遇，则2(31)105tttdt tdt +=+⎰⎰，解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇. 此时，物体A 离出发地的距离为523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰（m ）.5、由F kl =，得100.01k =. 解之得1000k =. 所做的功为 0.120.10010005005W ldl l ==|=⎰（J ）.6、（1）令55()501v t t t=-+=+，解之得10t =. 因此，火车经过10s 后完全停止.（2）1021000551(5)[555ln(1)]55ln1112s t dt t t t t =-+=-++=+⎰（m ）. 习题1.7 B 组（P60） 1、（1）a-⎰表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积，因此22aa π-=⎰（2）1]x dx ⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形（如图所示）的面积，因此，21111]114242x dx ππ⨯=-⨯⨯=-⎰. 2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为2y ax =，则2()2b h a =⨯，所以24ha b=.从而抛物线的方程为 224hy x b =.于是，抛物线拱的面积232202204422()2[]33bh h S h x dx hx x bh b b =-=-=⎰. 3、如图所示.解方程组223y x y x⎧=+⎨=⎩得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =，22x =. 于是，所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.4、证明：2[]()R hR h R RMm Mm MmhW Gdr G G r r R R h ++==-=+⎰. 第一章复习参考题A 组（P65）1、（1）3；（2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x x y x+'=；（2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-；（3）22ln ln 2x xy x x '=+；（4）2422(21)x x y x -'=+.3、32GMmF r'=-. （第1（2）题）（第2题）4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略.5、因为()f x =()f x '=.当()0f x '=>，即0x >时，()f x 单调递增；当()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+. 当()20f x x p '=+=，即12px =-=时，()f x 有最小值. 由12p-=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+，所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--. 当()0f x '=，即3cx =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >.所以，当3c x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c=，6c =.8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，所以直线AB 的方程为001y x a x a --=--，即1()1y x a a =--. 当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -. 因此，AOB ∆的面积21()212(1)AOBa a S S a a a a ∆===--. 令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去.所以，当2a =，即直线AB 的倾斜角为135︒时，AOB ∆的面积最小，最小面积为2. 9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m. 所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++，0 1.6x <<.令()0V x '=，即26 4.4 1.60x x -++=. 所以，415x =-（舍去），或1x =.当(0,1)x ∈时，()0V x '>；当(1,1.6)x ∈时，()0V x '<. 因此，1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100x +时，旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤.令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =. 所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x，打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x=--，5.0898.38x <<.令()0S x '=，即23168.3966.340x -=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.14、（1）2；（2）22e -；（3）1；（4）原式＝22222000cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x x dx x x dx x x x xπππ-=-=+=+⎰⎰；（5）原式＝22001cos sin 2[]224x x x dx πππ---==⎰.15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2.17、由F kl =，得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962l W ldl ==⨯|=⎰（J ）第一章复习参考题B 组（P66）1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）当05t ≤<时，()0b t '>，所以细菌在增加；当55t <<+()0b t '<，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S .因为212S r α=，2l r r α-=，所以2lrα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r -=，4lr =，此时α为2弧度.4l r =是函数()S r 在(0,)2l内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.所以，扇形的半径为4l、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=.因此，222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得3h R =.容易知道，3h R =是函数()V h 的极大值点，也是最大值点.所以，当h =时，容积最大.把3h R =代入222r h R +=，得3r R =.由2R r απ=，得3α=.所以，圆心角为α=时，容积最大. 4、由于28010k =⨯，所以45k =. 设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805y x x x=⨯+⨯ 960016x x=+，0x >令0y '=，即29600160x -=，24x ≈.容易知道，24x =是函数y 的极小值点，也是最小值点.当24x =时，960020(1624)()9412424⨯+÷≈（元／时）所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元. 5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360x y x x =++⨯，50100x ≤≤令0y '=，解得53x ≈（km ／h ）. 此时，114y ≈（元）容易得到，53x ≈是函数y 的极小值点，也是最小值点.因此，当53x ≈时，行车总费用最少.所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元.6、原式＝4404422022[]2xxx x x e dx e dx e dx e e e e -----=+=-+|=+-⎰⎰⎰.7、解方程组 2y kx y x x=⎧⎨=-⎩ 得，直线y kx =与抛物线2y x x =-交点的横坐标为0x =，1k -.抛物线与x 轴所围图形的面积2312100111()[]23236x x S x x dx =-=-=-=⎰.由题设得 11200()2k k S x x dx kxdx --=--⎰⎰31221001()[]23kkk x x x kx dx x ---=--=-⎰3(1)6k -=.又因为16S =，所以31(1)2k -=. 于是12k =-.说明：本题也可以由面积相等直接得到111220()()kk k x x kx dx kxdx x x dx -----=+-⎰⎰⎰，由此求出k 的值. 但计算较为烦琐.。

高中数学选修(A版)2-2课后题答案(2021年整理)

高中数学选修(A版)2-2课后题答案(word版可编辑修改)
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第一章导数及其应用
第二章推理与证明
第三章数系的扩充与复数的引入。

(完整版)数学选修2-2练习题及答案

目录：数学选修2-2第一章导数及其应用 [基础训练A 组] 第一章导数及其应用 [综合训练B 组] 第一章导数及其应用 [提高训练C 组] 第二章推理与证明 [基础训练A 组] 第二章推理与证明 [综合训练B 组]第二章推理与证明 [提高训练C 组] 第三章复数 [基础训练A 组] 第三章复数 [综合训练B 组]第三章复数 [提高训练C 组]（数学选修2-2）第一章导数及其应用[基础训练A 组]一、选择题1．若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000()()limh f x h f x h h→+--的值为（）A ．'0()f xB ．'02()f xC ．'02()f x - D ．02．一个物体的运动方程为21t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是（） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒 3．函数3yx x 的递增区间是（）A ．),0(+∞B ．)1,(-∞C ．),(+∞-∞D ．),1(+∞4．32()32f x ax x =++,若'(1)4f -=,则a 的值等于（）A ．319 B ．316C ．313 D ．310 5．函数)(x f y =在一点的导数值为0是函数)(x f y =在这点取极值的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．必要非充分条件6．函数344+-=x x y 在区间[]2,3-上的最小值为（）A ．72B ．36C ．12D ．0二、填空题1．若3'0(),()3f x x f x ==，则0x 的值为_________________；2．曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为__________； 3．函数sin xy x=的导数为_________________； 4．曲线x y ln =在点(,1)M e 处的切线的斜率是_________，切线的方程为_______________； 5．函数5523--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________。

高中数学选修2-2第二章课后习题解答

新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理练习（P77）1、由12341a a a a ====，猜想1n a =.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O P Q R -的体积，则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅. 练习（P81） 1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ，若1n na p a +=，其中p 是非零常数，则{}n a 是等比数列； ……………………大前提又因为0cq ≠，则0q ≠，则11n n nn a cq q a cq++==； ……………………………小前提所以，通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列. ……………………结论3、由AD BD >，得到ACD BCD ∠>∠的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中.习题2.1 A 组（P83）1、21n a n =+()n N *∈. 2、2F V E +=+. 3、当6n ≤时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *∈.4、212111(2)n n A A A n π++≥-（2n >，且n N *∈）. 5、121217n n b b b b b b -=（17n <，且n N *∈）.6、如图，作DE ∥AB 交BC 于E .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形，又因为AD ∥BE ，AB ∥DE . 所以四边形ABED 是平行四边形. 因为平行四边形的对边相等.又因为四边形ABED 是平行四边形. 所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的.又因为△DEC 是等腰三角形, 所以DEC C ∠=∠ 因为平行线的同位角相等又因为DEC ∠与B ∠是平行线AB 和DE 的同位角, 所以DEC B ∠=∠ 因为等于同角的两个角是相等的，又因为DEC C ∠=∠，DEC B ∠=∠, 所以B C ∠=∠ 习题2.1 B 组（P84）1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略. 2．2直接证明与间接证明练习（P89）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos 2θθθθθθθ-=+-=，所以，命题得证.2>，只需证22>，即证1313+>+>，只需要22>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，命题得证. 3、因为 222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b αααα-=-+==，又因为sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab αααααααααα+-=+-=⋅22222222sin (1cos )sin sin 161616sin tan cos cos αααααααα-===，从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P91）1、假设B ∠不是锐角，则90B ∠≥︒. 因此9090180C B ∠+∠≥︒+︒=︒. 这与三角形的内角和等于180°矛盾.所以，假设不成立. 从而，B ∠一定是锐角.2=所以22=，化简得5=225=，即2540=，这是不可能的. 所以，假设不成立..说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点. 习题2.2 A 组（P91）1、由于0a ≠，因此方程至少有一个跟bx a=.假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设12,x x 是它的两个不同的根，则 1ax b = ①2ax b = ②①－②得12()0a x x -=因为12x x ≠，所以120x x -≠，从而0a =，这与已知条件矛盾，故假设不成立.2、因为 (1tan )(1tan )2A B ++=展开得 1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B A B +=-. ①假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A B A B -=，即cos()0cos cos A B A B+=所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B π<+<，从而2A B π+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -≠.①式变形得tan tan 11tan tan A BA B +=-，即tan()1A B +=. 又因为0A B π<+<，所以4A B π+=.说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明.3、因为1tan 12tan αα-=+，所以12tan 0α+=，从而2sin cos 0αα+=. 另一方面，要证 3sin 24cos2αα=-，只要证226sin cos 4(cos sin )αααα=--即证 222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=，即证 (2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=由2sin cos 0αα+=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=，于是命题得证.说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.4、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b ac =+.假设2B π<不成立，即2B π≥，则B 是ABC ∆的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边），从而11112a c b b b +>+=. 这与211b a c=+矛盾. 所以，假设不成立，因此，2B π<.习题2.2 B 组（P91）1、要证2s a <，由于22s ab <，所以只需要2s s b<，即证b s <.因为1()2s a b c =++，所以只需要2b a b c <++，即证b a c <+. 由于,,a b c 为一个三角形的三条边，所以上式成立. 于是原命题成立. 2、由已知条件得 2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ② 要证2a cx y+=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy += 由①②，得 22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++， 24()()2xy a b b c ab b ac bc ab ac bc =++=+++=++，所以，224ay cx xy +=，于是命题得证. 3、由 tan()2tan αβα+= 得sin()2sin cos()cos αβααβα+=+，即sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+. ……①要证 3sin sin(2)βαβ=+即证 3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++ 即证3[sin()cos cos()sin ]sin()cos cos()sin αβααβααβααβα+-+=+++ 化简得sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+，这就是①式.所以，命题成立.说明：用综合法和分析法证明命题时，经常需要把两者结合起来使用. 2．3数学归纳法练习（P95）1、先证明：首项是1a ，公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-. （1）当1n =时，左边＝1a ，右边＝11(11)a d a +-=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时命题成立. （2）假设当n k =时，命题成立，即1(1)k a a k d =+-. 那么，11(1)[(1)1]k k k a a d a k d d a k d +=+=+-+=++-. 所以，当1n k =+时，命题也成立.根据（1）和（2），可知命题对任何n N *∈都成立.再证明：该数列的前n 项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+. （1）当1n =时，左边＝11S a =，右边＝111(11)12a d a ⨯-⨯+=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时命题成立.（2）假设当n k =时，命题成立，即1(1)2k k k S ka d -=+.那么，1111(1)[(1)1]2k k k k k S S a ka d a k d ++-=+=++++-1(1)(1)[1]2k k a k d -=+++1(1)(1)2k kk a d +=++所以，当1n k =+时，命题也成立.根据（1）和（2），可知命题对任何n N *∈都成立. 2、略.习题2.3 A 组（P96） 1、（1）略.（2）证明：①当1n =时，左边＝1，右边＝211=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立.②假设当n k =时等式成立，即2135(21)k k ++++-=.那么，22135(21)(21)(21)(1)k k k k k ++++-++=++=+.所以，当1n k =+时，等式也成立. 根据①和②，可知等式对任何n N *∈都成立.（3）略.2、1111122S ==-⨯，2111111(1)()112232233S =+=-+-=-⨯⨯，3111111111(1)()()1122334223344S =++=-+-+-=-⨯⨯⨯.由此猜想：111n S n =-+.下面我们用数学归纳法证明这个猜想.（1）当1n =时，左边＝111111222S ==-=⨯，右边＝11111122n -=-=+，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，猜想成立. （2）假设当n k =时，猜想成立，即111111122334(1)1k k k ++++=-⨯⨯⨯++.那么，11111111122334(1)(1)(2)1(1)(2)k k k k k k k +++++=-+⨯⨯⨯++++++.111(1)12k k =--++ 121111122k k k k +-=-⋅=-+++所以，当1n k =+时，猜想也成立.根据（1）和（2），可知猜想对任何n N *∈都成立. 习题2.3 B 组（P96）1、略2、证明：（1）当1n =时，左边＝111⨯=，右边＝11(11)(12)16⨯⨯+⨯+=，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立. （2）假设当n k =时，等式成立，即112(1)3(2)1(1)(2)6k k k k k k k ⨯+⨯-+⨯-++⨯=++.那么，1(1)2[(1)1]3[(1)2](1)1k k k k ⨯++⨯+-+⨯+-+++⨯.[12(1)3(2)1][123(1)]k k k k k =⨯+⨯-+⨯-++⨯++++++11(1)(2)(1)(2)62k k k k k =+++++ 1(1)(2)(3)6k k k =+++ 所以，当1n k =+时，等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何n N *∈都成立.第二章复习参考题A 组（P98）1、图略，共有(1)1n n -+（n N *∈）个圆圈.2、333n 个（n N *∈）.3、因为2(2)(1)4f f ==，所以(1)2f =，(3)(2)(1)8f f f ==，(4)(3)(1)16f f f ==…… 猜想()2n f n =.4、运算的结果总等于1.5、如图，设O 是四面体A BCD -内任意一点，连结AO ，BO ，CO ，DO 并延长交对面于A '，B '，C '，D '，则1OA OB OC OD AA BB CC DD''''+++=''''用“体积法”证明： OA OB OC OD AA BB CC DD ''''+++'''' O BCD O CDA O DAB O ABCA BCDB CDAC DABD ABCV V V V V V V V --------=+++1A BCD A BCDVV --==6、要证 (1tan )(1tan )2A B ++=只需证 1tan tan tan tan 2A B A B +++=（第5题）即证 tan tan 1tan tan A B A B +=-由54A B π+=，得tan()1A B +=. ①又因为2A B k ππ+≠+，所以tan tan 11tan tan A BA B+=-，变形即得①式. 所以，命题得证.7、证明：（1）当1n =时，左边＝1-，右边＝1(1)11-⨯=-，因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立.（2）假设当n k =时，等式成立，即135(1)(21)(1)k k k k -+-++--=-.那么，1135(1)(21)(1)[2(1)1]k k k k +-+-++--+-+-.1(1)(1)[2(1)1]k k k k +=-+-+- 1(1)[2(1)1]k k k +=--++- 1(1)(1)k k +=-+所以，当1n k =+时，等式也成立.根据（1）和（2），可知等式对任何n N *∈都成立.第二章复习参考题B 组（P47）1、（1）25条线段，16部分；（2）2n 条线段；（3）最多将圆分割成1(1)12n n ++部分.下面用数学归纳法证明这个结论. ①当1n =时，结论成立.②假设当n k =时，结论成立，即：k 条线段，两两相交，最多将圆分割成1(1)12k k ++部分当1n k =+时，其中的k 条线段12,,,k l l l 两两相交，最多将圆分割成1(1)12k k ++ 部分，第1k +条线段1k a +与线段12,,,k l l l 都相交，最多增加1k +个部分，因此，1k +条线段，两两相交，最多将圆分割成11(1)1(1)(1)(2)122k k k k k ++++=+++ 部分所以，当1n k =+时，结论也成立.根据①和②，可知结论对任何n N *∈都成立.2、要证 cos 44cos 43βα-=因为 cos 44cos 4cos(22)4cos(22)βαβα-=⨯-⨯ 2212sin 24(12sin 2)βα=--⨯-222218sin cos 4(18sin cos )ββαα=--⨯- 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]ββαα=---⨯-- 只需证 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]3ββαα---⨯--= 由已知条件，得 sin cos sin 2θθα+=，2sin sin cos βθθ=，代入上式的左端，得 222218sin (1sin )4[18sin (1sin )]ββαα---⨯-- 2238sin cos (1sin cos )32sin (1sin )θθθθαα=---+-2238sin cos 8sin cos 2(12sin cos )(32sin cos )θθθθθθθθ=--+++-222238sin cos 8sin cos 68sin cos 8sin cos θθθθθθθθ=--++-+ 3= 因此，cos 44cos 43βα-=。

高中数学选修2-2全套知识点和练习答案解析

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 高中数学选修2-2全套知识点和练习答案解析修选修 2-2 知识点及习题答案解析导数及其应用一一. 导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数 ( ) y f x 在0x x 处的瞬时变化率是0 00( ) ( )limxf x x f xx ，我们称它为函数 ( ) y f x 在0x x 处的导数，记作0( ) f x 或0| x x y，即0( ) f x =0 00( ) ( )limxf x x f xx 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点nP 趋近于 P 时，直线 PT 与曲线相切。

容易知道，割线nPP 的斜率是 00( ) ( )nnnf x f xkx x，当点nP 趋近于 P 时，函数 ( ) y f x 在0x x 处的导数就是切线 PT 的斜率k，即0000( ) ( )lim ( )nxnf x f xk f xx x3. 导函数：当 x 变化时， ( ) f x 便是 x 的一个函数，我们称它为 ( ) f x 的导函数. ( ) y f x 的导函数有时也记作y ,即 0( ) ( )( ) limxf x x f xf xx 二二. 导数的计算基本初等函数的导数公式: 1 若 ( ) f x c (c 为常数)，则 ( ) 0 f x ； 2 若 ( ) f x x ,则1( ) f x x ; 3 若 ( ) sin f x x ,则 ( ) cos f x x1/ 34 若 ( ) cos f x x ,则 ( ) sin f x x ;5 若 ( )xf x a ,则 ( ) lnxf x a a6 若 ( )xf x e ,则 ( )xf x e7 若 ( ) log xaf x ,则1( )lnf xx a8 若 ( ) ln f x x ,则1( ) f xx导数的运算法则 1. [ ( ) ( )] ( ) ( ) f x g x f x g x2. [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x f x g x f x g x3. 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) [ ( )]f x f x g x f x g xg x g x复合函数求导 ( ) y f u 和 ( ) u g x ,称则 y 可以表示成为 x 的函数,即 ( ( )) y f g x 为一个复合函数( ( )) ( ) y f g x g x 三三. 导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间 ( , )a b 内 (1)如果( ) 0 f x ，那么函数( ) y f x 在这个区间单调递增；(2)如果 ( ) 0 f x ，那么函数( ) y f x 在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数( ) y f x 的极值的方法是:（1）如果在0x 附近的左侧 ( ) 0 f x ,右侧( ) 0 f x ,那么0( ) f x是极大值（2）如果在0x 附近的左侧 ( ) 0 f x ,右侧 ( ) 0 f x ,那么0( ) f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数求函数( ) y f x 在 [ , ]a b 上的最大值与最小值的步骤：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ （1）求函数 ( ) y f x 在 ( , )a b 内的...3/ 3。

衡水桃城中学高中数学选修2-2第一章《推理与证明》测试(含答案解析)

一、选择题1．某快递公司的四个快递点,,,A B C D 呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D 四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A ．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B ．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C ．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D ．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种2．某单位实行职工值夜班制度，已知,,,,5A B C D E 共名职工每星期一到星期五都要值一次夜班，且没有两人同时值夜班，星期六和星期日不值夜班，若A 昨天值夜班，从今天起,B C 至少连续4天不值夜班，D 星期四值夜班，则今天是星期几（）A ．五B ．四C ．三D ．二3．设k 1111S k 1k 2k 32k=+++⋯++++,则1k S +=( ) A ．()k 1S 2k 1++B ．()k 11S 2k 12k 1++++ C ．()k 11S 2k 12k 1+-++ D ．()k 11S 2k 12k 1+-++4．演绎推理“因为0'()0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数3()f x x =，'(0)0f =，所以0是函数3()f x x =的极值点.”所得结论错误的原因是（）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．全不正确5．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，315N =)，则10N =（）A ．1020B ．1010C ．510D ．5056．在平面几何中，可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这个正三角形的高的13.”拓展到空间中，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的( ) A ．12B ．14C ．16D ．187．数学老师给同学们出了一道证明题，以下四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，甲：我不会证明；乙：丙会证明；丙：丁会证明；丁：我不会证明.根据以上条件，可以判定会证明此题的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁8．由圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦，想到球心与截面圆（不经过球心的小截面圆）圆心的连线垂直于截面，用的是（）A ．类比推理B ．三段论推理C ．归纳推理D ．传递性推理9．利用反证法证明“若220x y +=，则0x =且0y =”时，下列假设正确的是（） A ．0x ≠且0y ≠ B ．0x =且0y ≠ C ．0x ≠或0y ≠D ．0x =或0y =10．根据给出的数塔猜测12345697⨯+（）19211⨯+=1293111⨯+= 123941111⨯+=12349511111⨯+= 1234596111111⨯+=…A ．1111111B ．1111110C ．1111112D ．111111311．请观察这些数的排列规律，数字1位置在第一行第一列表示为（1,1），数字14位置在第四行第三列表示为（4,3），根据特点推算出数字2019的位置A ．（45,44）B ．（45,43）C ．（45,42）D ．该数不会出现12．用数学归纳法证明“1112n n ++++…111()24n N n n +≥∈+”时，由n k =到1n k =+时，不等试左边应添加的项是( ) A ．12(1)k +B ．112122k k +++ C ．11121221k k k +-+++ D ．1111212212k k k k +--++++ 二、填空题13．观察如图等式，照此规律，第n 个等式为______.11234934567254567891049=++=++++=++++++=14．数表的第1行只有两个数字3，7，从第2行开始，先按序照搬上一行的数再在相邻两数之间插入这两个数的和，如下图所示，那么第10行的各个数之和等于__________．15．已知[x]表示不大于x 的最大整数，设函数f （x ）=[log 2x 219+],得到下列结论：结论1：当2<x<3时，f （x ）max=-1. 结论2：当4<x<5时，f （x ）max=1. 结论3：当6<x<7时，f （x ）max=3. ……照此规律，结论6为_____16．“开心辞典”中有这样一个问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数．现给出一组数：11315,,,,228432---，…，则第8个数可以是__________．17．甲、乙、丙、丁四人分别从一个装有编号为1,2,3,4,的四个完全相同的小球的袋中依次取出一个小球.现知道：①甲取出的小球编号为偶数；②乙取出的小球编号比甲大；③乙、丙取出的小球编号差的绝对值比甲大.则丁取出的小球编号是________. 18．下列式子：13=(1×1)2，13+23 +33 =(2×3)2，l 3+23 +33 +43 +53 =(3×5)2， l 3 +23 +33+ 43 +53 +63 +73=(4×7)2，…由归纳思想，第n 个式子3333123(21)n ++++-=________19．甲乙丙三人代表班级参加校运会的跑步，跳远，铅球比赛，每人参加一项，每项都要有人参加，他们的身高各不同，现了解到已下情况：（1）甲不是最高的；（2）最高的是没报铅球；（3）最矮的参加了跳远；（4）乙不是最矮的，也没参加跑步．可以判断丙参加的比赛项目是__________．20．面积为S 的平面凸四边形的第i 条边的边长记为(1,2,3,4)i a i =，此四边形内任一点P 到第i 条边的距离记为，若31241234a a a a k ====，则12342234Sh h h h k+++=．类比以上性质，体积为V 的三棱锥的第i 个面的面积记为(1,2,3,4)i S i =，此三棱锥内任一点Q 到第i 个面的距离记为(1,2,3,4)i H i =，若31241234S S S S K ====，则1234234H H H H +++等于_____________．三、解答题21．观察下列等式：11122-= 11111123434-+-=+ 11111111123456456-+-+-=++ ……（1）根据给出等式的规律，归纳猜想出等式的一般结论；（2）用数学归纳法证明你的猜想．22．已知数列{}n a 各项均为正数，满足2333(1)122n n a n +⎛⎫+++= ⎪⎝⎭．（1）求1a ，2a ，3a 的值；（2）猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论． 23．在数列{}n a 的前n 项和为n S ，123a =-，满足12n n nS a S ++=（n ≥2）．（Ⅰ）求1S ，2S ，3S 并猜想n S 表达式；（Ⅱ）试用数学归纳法证明你的猜想．24．（本小题满分14分）若n 为正整数，试比较132n -⋅与23n +的大小，分别取1,2,3,4,5n =加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明．25．已知数列{}n a 满足()*12n n n a a n n +⋅=∈+N ，11a =2. （I ）求2a ，3a ，4a 的值；（Ⅱ）归纳猜想数列{}n a的通项公式，并用数学归纳法证明.26．证明：223333(1)1234n nn++++⋯+=，其中*n N∈.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】先阅读题意，再结合简单的合情推理即可得解．【详解】（1）A→D调5辆，D→C调1辆，B→C调3辆，共调整：5＋1＋3＝9次，（2）A→D调4辆，A→B调1辆，B→C调4辆，共调整：4＋1＋4＝9次，故选D【点睛】本题考查了阅读能力及简单的合情推理，属中档题．2．B解析：B【解析】分析：A昨天值夜班，D周四值夜班，得到今天不是周一也不是周五，假设今天是周二，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则周五与下周一B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；由此得到今天是周四．详解：∵A昨天值夜班，D周四值夜班，∴今天不是周一也不是周五，若今天是周二，则周一A值夜班，周四D值夜班，则周二与周三B，C至少有一人值夜班，与已知从今天起B，C至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周三，则A 周二值夜班，D 周四值夜班，则周五与下周一B ，C 至少有一人值夜班，与已知从今天起B ，C 至少连续4天不值夜班矛盾；若今天是周四，则周三A 值夜班，周四D 值夜班，周五E 值夜班，符合题意．故今天是周四．故答案为：B ．点睛：（1）本题主要考查推理证明，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)类似这种题目，一般利用假设分析法，先逐一假设，找到矛盾，就否定这种假设.3．C解析：C 【解析】分析：由题意将k 替换为1k +，然后和k S 比较即可. 详解：由题意将k 替换为1k +，据此可得：()()()()1111111121321k S k k k k +=+++++++++++()111123421k k k k =++++++++()11111123422121k k k k k k =+++++++++++ ()111111111234221211k k k k k k k k =+++++++-+++++++ ()1111111123422121k k k k k k k =++++++-++++++ ()112121k S k k =+-++. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查数学归纳法中由k 到k +1的计算方法，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．A解析：A 【解析】分析：要分析一个演绎推理是否正确，主要观察所给的大前提，小前提和结论及推理形式是否都正确，根据这几个方面都正确，才能得到这个演绎推理正确．根据三段论进行判断即可得到结论.详解：演绎推理““因为()0'0f x =时，0x 是()f x 的极值点，而对于函数()3f x x =，()'00f =，所以0是函数()3f x x =的极值点.”中，大前提：()0'0f x =时，f x '（）在0x 两侧的符号如果不相反，则0x 不是()f x 的极值点，故错误，故导致错误的原因是：大前提错误，故选：A ．点睛：本题考查演绎推理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题5．D解析：D 【解析】n 阶幻方共有2n 个数，其和为()222112...,2n n n n ++++=阶幻方共有n 行，∴每行的和为()()2221122n n n n n++=，即()()2210110101,50522n n n N N+⨯+=∴==，故选D.6．B解析：B 【解析】从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的14．证明如下：球心到正四面体一个面的距离即球的半径r ，连接球心与正四面体的四个顶点．把正四面体分成四个高为r 的三棱锥，所以4×13S•r=13•S•h ，r=14h ．（其中S 为正四面体一个面的面积，h 为正四面体的高）故选B ．点睛：平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体高的14，证明方法是等积法（平面上等面积，空间等体积）． 7．A解析：A 【解析】四人中只有一人说了真话，只有一人会证明此题，丙：丁会证明；丁：我不会证明，所以丙与丁中有一个是正确的；若丙说了真话，则甲必是假话，矛盾；若丁说了真话，则甲说的是假话，甲就是会证明的那个人，符合题意，以此类推，即可得到甲说真话，故选A.8．A解析：A【解析】将平面几何问题推广为空间几何的问题，利用了类比推理. 本题选择A 选项.点睛：在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．9．C解析：C 【解析】“且”的否定为“或”，故选C ： 0x ≠或0y ≠10．A解析：A 【解析】【分析】根据数塔，归纳可知，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的加数相同，从而可得结果. 【详解】由19211⨯+=；1293111⨯+=； 123941111⨯+=；12349511111⨯+=，...，归纳可得，等式右边各数位上的数字均为1，位数跟等式左边的加数相同，123456*********∴⨯+=，故选A.【点睛】本题主要考查归纳推理的应用，属于中档题. 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想） .11．C解析：C 【分析】由所给数的排列规律得到第n 行的最后一个数为2n ，然后根据2452025=可推测2019所在的位置．【详解】由所给数表可得，每一行最后一个数为2221,2,3,，由于22441936,452025==，2244201945<<，所以故2019是第45行的倒数第4个数，所以数字2019的位置为（45,42）．故选C ．【点睛】（1）数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识．（2）解决归纳推理问题的基本步骤①发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)； ②归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)．12．C解析：C 【分析】分别代入,1n k n k ==+，两式作差可得左边应添加项．【详解】由n=k 时，左边为11112k k k k+++++，当n=k+1时，左边为11111231(1)(1)k k k k k k k k +++++++++++++ 所以增加项为两式作差得：11121221k k k +-+++，选C. 【点睛】运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基(或递推基础)证明当n 取第一个值n 0(n 0∈N *)时命题成立，第二步是归纳递推(或归纳假设)假设n ＝k (k ≥n 0，k ∈N *)时命题成立，证明当n ＝k ＋1时命题也成立，只要完成这两步，就可以断定命题对从n 0开始的所有的正整数都成立，两步缺一不可．二、填空题13．【解析】分析：由题意结合所给等式的规律归纳出第个等式即可详解：首先观察等式左侧的特点：第1个等式开头为1第2个等式开头为2第3个等式开头为3第4个等式开头为4则第n 个等式开头为n 第1个等式左侧有1个解析：2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-.【解析】分析：由题意结合所给等式的规律归纳出第n 个等式即可. 详解：首先观察等式左侧的特点：第1个等式开头为1，第2个等式开头为2，第3个等式开头为3，第4个等式开头为4，则第n 个等式开头为n ，第1个等式左侧有1个数，第2个等式左侧有3个数，第3个等式左侧有5个数，第4个等式左侧有7个数，则第n 个等式左侧有2n -1个数，据此可知第n 个等式左侧为：()()132n n n ++++-，第1个等式右侧为1，第2个等式右侧为9，第3个等式右侧为25，第4个等式右侧为49，则第n 个等式右侧为()221n -，据此可得第n 个等式为()()()213221n n n n ++++-=-.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．14．【解析】分析：归纳出第一行第二行第三行…各个数之和的规律从而即可得到答案详解：第一行的和为；第二行的和为；第三行的和为；第四行的和为；…第n 行的和为；故第10行的各个数之和等于故答案为：点睛：归纳推解析：95(31)⨯+【解析】分析：归纳出第一行、第二行、第三行、…各个数之和的规律，从而即可得到答案.详解：第一行的和为()1110531-=⨯+；第二行的和为()2120531-=⨯+；第三行的和为()3150531-=⨯+；第四行的和为()41140531-=⨯+；…第n 行的和为()1531n -⨯+；故第10行的各个数之和等于()9531⨯+. 故答案为：()9531⨯+.点睛：归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别情况发现某些相同特征；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．15．当时【解析】由题意得当时其中根据上述的运算规律可以归纳得出结论当时点睛：本题考查归纳推理的应用解答中根据给定式子的计算得到计算的规律是解答的关键归纳推理属于合情推理对于合情推理主要包括归纳推理和类比解析：当1213x <<时，()122392max f x =⨯-= 【解析】由题意得，当1213x <<时，其中()max f x 根据上述的运算规律，可以归纳得出结论当1213x <<时，()max 122392f x =⨯-=．点睛：本题考查归纳推理的应用，解答中根据给定式子的计算，得到计算的规律是解答的关键，归纳推理属于合情推理，对于合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．（而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．16．【详解】这几个数是这样规律比较明显了即所以故填：解析：132【详解】这几个数是12345,,,,......2481632---，这样规律比较明显了，即()12nn n n a =-⋅，所以88125632a ==，故填：132. 17．3【解析】由①②可知甲取出的小球编号为2乙取出的小球编号可能是3或4又|1－4|＝3>2|1－3|＝2所以由③可知乙取出的小球编号是4丙取出的小球编号是1故丁取出的小球编号是3解析：3 【解析】由①②可知，甲取出的小球编号为2，乙取出的小球编号可能是3或4.又|1－4|＝3>2，|1－3|＝2，所以由③可知，乙取出的小球编号是4，丙取出的小球编号是1，故丁取出的小球编号是3.18．【解析】观察所给等式的特点归纳推理可得：点睛：归纳推理是由部分到整体由特殊到一般的推理由归纳推理所得的结论不一定正确通常归纳的个体数目越多越具有代表性那么推广的一般性命题也会越可靠它是一种发现一般性解析：2[(21)]n n -【解析】观察所给等式的特点，归纳推理可得：()()233331232121n n n ⎡⎤++++-=-⎣⎦.点睛：归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．19．跑步【解析】由题意得由（4）可知乙参加了铅球比赛由（2）可知乙不是最高的所以三人中身高居中；再由（1）可知甲是最矮的参加了跳远丙是最高的参加了跑步比赛解析：跑步【解析】由题意得，由（4）可知，乙参加了铅球比赛，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中身高居中；再由（1）可知，甲是最矮的，参加了跳远，丙是最高的，参加了跑步比赛．20．【解析】试题分析：根据三棱锥的体积公式V=Sh 得：S1H1+S2H2+S3H3+S4H4=V 即S1H1+2S2H2+3S3H3+4S4H4=3V ∴H1+2H2+3H3+4H4=考点：平面问题与空间问解析：3V K【解析】试题分析：根据三棱锥的体积公式 V=13Sh 得：13S 1H 1+13S 2H 2+13S 3H 3+13S 4H 4=V ，即S 1H 1+2S 2H 2+3S 3H 3+4S 4H 4=3V ， ∴H 1+2H 2+3H 3+4H 4=3VK考点：平面问题与空间问题中的类比思想．三、解答题21．（1）111111111234212122n n n n n-+-+⋯+-=++⋯+-++；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据给出等式的规律，直接写出一般结论；（2）利用数学归纳法证明猜想的结论，递推部分利用n k =时的结论来推导证明当1n k =+时，等式仍然成立.【详解】（1）111111111234212122n n n n n-+-+⋯+-=++⋯+-++．（2）证明：①当1n =时，左边11122=-=，右边12=，左边=右边∴当1n =时，等式成立； ②假设当n k =时等式成立，即111111111234212122k k k k k-+-+⋯+-=++⋯+-++ 则当1n k =+时左边111111112342122122k k k k =-+-++-+--++ (111111222122)k k k k k =++⋯++-++++ 111112321122k k k k k ⎛⎫⎛⎫=++++- ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭…1111232122k k k k =++++=++++…右边 ∴当1n k =+时，等式也成立由①②可知，对一切n *∈N ，等式都成立．【点睛】本题主要考查了归纳推理和数学归纳法，考查了学生逻辑推理与运算求解能力. 22．（1）11a =，22a =，33a =；（2）猜想：n a n =；证明见解析. 【解析】【分析】（1）分别代入1,2,3n =，根据0n a >，解方程可求得结果；（2）猜想n a n =，验证1n =时成立；假设n k =时成立，则1n k =+时，利用假设可证得结论成立，从而证得结果. 【详解】（1）当1n =时，231212a ⋅⎛⎫= ⎪⎝⎭，又0n a > 11a ∴=当2n =时，23323122a ⋅⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得：22a = 当3n =时，2333341232a ⋅⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得：33a = (2)猜想：n a n =证明：（1）当1n =时，由（1）可知结论成立；（2）假设当n k =时，结论成立，即k a k =成立，则当1n k =+时，由()23331122k a k k ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭与()()2313321212k a k k +⎛⎫+++++= ⎪⎝⎭得：()()()()()2222311212112222k k k a k a k a k k k k ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()()()()2322222221241114412k a k k k k k k k k k +∴+=+++=+++=++ 又0n a > 11k a k +∴=+成立根据（1）、（2）猜想成立，即：n a n = 【点睛】本题考查数列中的项的求解、利用数学归纳法证明问题.利用数学归纳法证明时，要注意在证明1n k =+时结论成立时，必须要用到n k =时假设成立的结论，属于常规题型. 23．（Ⅰ）123S =-，234S =-，345S =-，12n n S n +=-+（Ⅱ）见解析【分析】（Ⅰ）利用1(2)n n n a S S n -=-≥，化简整理得112n n S S -=-+（n ≥2），依次代入数据，即可求解．（Ⅱ）根据数学归纳法步骤证明即可．【详解】（Ⅰ）由112n n n n n S a S S S -++==-，得112n n S S -=-+（n ≥2）． ∵ 123a =-， ∴ 123S =-， 2111322423S S =-=-=-+-+，3211432524S S =-=-=-+-+，猜想：12n n S n +=-+．（Ⅱ）证明：① 当1n =时，左边＝1123S a ==-，右边＝11122123n n ++-=-=-++，猜想成立．② 假设当n k =（*k N ∈）时猜想成立，即12k k S k +=-+，那么，()()()()11111221212231222k k k k k S k S k k k k k +++++=-=-=-=-=-++-++++++-++，即当1n k =+时猜想也成立．根据①②，可知猜想对任何*n N ∈都成立．【点睛】本题考查数列中n a 和n S 的关系，利用数学归纳法证明猜想的公式，考查计算化简，推理证明的能力，属基础题． 24．当4n ≥时，132n -⋅>23n +．【解析】试题分析：先依次代入，计算并比较大小，观察趋势，猜想结论：当4n ≥时，132n -⋅>23n +．再利用数学归纳法给予证明试题解：当1n =时，132n -⋅<23n +；当2n =时，132n -⋅<23n +；当3n =时，132n -⋅=23n +；当4n =时，132n -⋅>23n +；当5n =时，132n -⋅>23n +；猜想：当4n ≥时，132n -⋅>23n +．证明：当4n =时，132n -⋅>23n +成立；假设当(4n k k =≥）时，132k -⋅>23k +成立，则1n k =+时，左式=32k⋅=1232k ⋅⋅－>223k +（），右式=213k ++（），因为223k +（）－213k ++[()]=222k k -+=211k +（－）>0，所以，左式>右式，即当1n k =+时，不等式也成立．综上所述：当4n ≥时，132n -⋅>23n +．考点：数学归纳法 25．（1）234234,,345a a a ===（2）1n n a n =+ 【解析】试题分析：(1)利用递推关系可求得234234,,345a a a ===； (2) 猜想1n na n =+ ，按照数学归纳法的过程证明猜想即可. 试题解:(1)计算得234234,,345a a a === 猜想1n n a n =+ 证明如下：①当n=1时，猜想显然成立； ②假设当n=k （k ∈N +）时猜想成立，即1k ka k =+成立，则当1n k =+时，()11112211k k k k k k a k a k k k +++=⋅=⋅=++++，即1n k =+时猜想成立由①②得对任意*n N ∈，有1n na n =+ 26．证明见解析【分析】由等式的特点利用数学归纳法证明题中的等式即可. 【详解】①当1n =时，左边311==，右边221214⨯==，左边=右边，等式成立；②假设当n k =时，等式成立，即：223333(1)1234k k k ++++⋯+=，当1n k =+时，左边()()22333333(1)123114k k k k k +=+++⋯+++=++()()()()22221411244k k k k k ⎡⎤+++++⎣⎦==，即当1n k =+时，等式也成立，综合①②可得223333(1)1234n n n ++++⋯+=. 【点睛】1．数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题．证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据．2．在用数学归纳法证明时，第(1)步验算n ＝n 0的n 0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值．第(2)步，证明n ＝k ＋1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法.。

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