大学物理：Chapter 13-驻波

2π
2
半波损失: 反射点为波节，表明入射波与反射波在该点反相.
两端固定的弦 振动的简正模式
l n n n 1,2,
2
l 1
2 l 22
2
l 33
2
ຫໍສະໝຸດ Baidu
1）弦上的驻波
A
弦
B
L n n
L
2
n
2L n
n=1 n=2 n=3
n
u
n
n u n=4 2L
1
u 2L （基频）
2
u L
3
3u 2L
一端固定一端自由 的弦振动的简正模式
l (n 1) n n 1,2,
22
l 1
4
l 32
4
l 53
4
2）笛中的驻波
L (2n 1)
n
4
n
2L 2n 1
n
u
n
(2n 1) u 4L
基频：
1
u 4L
第一谐频
2
3u 4L
n=1
n=2 n=3 n=4
第二谐频
3
5u 4L
五、驻波问题举例
例： 一沿 x 轴正向传播的入射波方程为 y1 A cos 2
在 L = 5λ处的 P 点被固定端的界面反射，
(t T
x)
求：(1) 反射波的波动方程； (2) 合成的驻波方程；
(3) 合成驻波的波节、波腹点的坐标。
解： (1)
y入
A cos
2
(
t T
x
)
入射波 O
反射波
P
波密 介质
x
y入O
A cos
2
t T
L = 5λ
波由O 传至P 再返回O ，引起O 点振动相位比 y入O 落后了：
反射点处形成波节；
★ 1v1 2v2 时，无半波损失，
反射处形成波腹。
波疏介质 波密介质
半波损失的图示解释 无半波损失的入射波与反射波
反射点振动的 叠加始终加强
t t t
在反射点将波形反回去
有半波损失的入射波与反射波
反射点两个振动 的叠加相互抵消
t t t
抽去半个波长 再反回去
3. 绳上的驻波 半波损失
A驻 2 A
2 x 2 1 k (k 0, 1, 2,)
2
★ 相邻两波节(或波腹)间的距离： Δx xk 1 xk 2
t 0
tT 4
tT 2
t 3T 4
波节:始终 不动的点。 红色虚线对 应的位置。
波腹:振幅 始终最大的 点。黑色虚 线对应的位 置。
2. 驻波中各点的相位关系
设绳长为 L, 线密度为μ，张力为F, 绳两端固定.
驻波条件：在两端固定的绳中，形成驻波的条件为
L k k k 1,2,3
A
B
2
或
k
L 2k
k 1,2,3
L2
A
B
由 u F/ 有
L
k
k 2L
F
k 1,2,3
A
L 3 2
B
k 称为本征频率,1 称为基频；
Δ π Δr Δ
2，3，… 分别称为二次，三次谐频等.
能量从波腹传到波节，又从波节传到波腹，往复 循环，能量不被传播。这可从能流密度证明：因 为能流密度等于平均能量密度乘波速，左行波与 右行波能流密度之和为零。所以驻波不传播能量， 它是媒质的一种特殊的运动状态，稳定态。
振动方向相同、 驻波 — 振幅和频率相等、
传播方向相反的 两列相干波的 合成波。
(4) 方程中不含 (t x u) 项，非行波，没有波形的传播。
(5) 驻波方程的实质：振动方程。
三、驻波的特征
1. 波节和波腹
★ 波节 — 振幅 = 0
A驻
2 Acos(2 x 2 1 ) 2
波节
A驻 0
O
2 x 2 1 (2k 1)
2
2
x
波腹
(k 0, 1, 2,)
★ 波腹 — 振幅 = 2 A
细雨绵绵 独立传播
13.8 驻波
主要内容： 1. 驻波形成 2. 绳上驻波 3. 半波损失
一、驻波的产生
驻波 — 振动方向相同、振幅和频率相等、传播方向相反的两列 相干波的合成波。
例：弦线上的驻波 弦长等于半波长的整数倍时 才能形成驻波。
L n , (n 1, 2 )
2
★ 波节 — 振幅为0，始终静止的点
★ 波腹 — 振幅最大，振动最强的点
二. 驻波方程
y1 Acos ( t
2
x
1
)
y2
A cos
(
t
2
x
2)
y y1 y2
y 2 Acos(2 x 2 1 )cos( t 1 2 )
2
2
与 t 无关
写为： y A驻 cos ( t )
A驻
2 Acos(2 x 2 1 ) 2
(4) 没有能量的定向传播. 能量只是在波节和波腹之间，进行动能和势能的转化.
t0
势能
t T 4
动能
t T 2
势能
小结：
由上式可知：各质点位移达到最大时，动能为零， 势能不为零。在波节处相对形变最大，势能最大； 在波腹处相对形变最小，势能最小。 势能集中在波节。
当各质点回到平衡位置时，全部势能为零； 动能最大。动能集中在波腹。
★ 波节之间各质点作振幅不同的同相振动； ★ 波节两边质点作反相振动 。
3. 驻波的能量特征 (1) 当各质点达位移最大时全部为势能，波节点附近集中的
势能最多(此处形变最大) (2) 当各质点达平衡位置时全部为动能，波腹点附近集中的
动能最多(此处速度最大)
(3) 驻波的动能、势能在两相邻的波节波腹之间相互转化， 既无波形传播又无振动状态和能量传播。
2
)
y驻
2 A cos(2
x
)cos(2
2
t T
)
2
(3) 波节点： 2 Acos(2 x ) 2
0,
2 x (2k 1)
2
2
2 x k , x k (k 0, 1, 2,) (0 x 5 )
驻波方程 y 2 Acos(2 x 2 1 )cos( t 1 2 )
2
2
A驻 cos ( t )
A驻
2 Acos (2 x 2 1 ) 2
★ 说明：
(1) A驻 是 x 的周期函数，决定 x 处质点的振幅。
(2) (t ) 决定 x 处质点的振动状态。
(3) 各点作频率相同、振幅不同的谐振动。
垂直入射中，入射波和反射波的合成
四、半波损失 (相位跃变）
1. 波阻：ρ u 其中，ρ — 介质密度；u — 波速。 两介质相比较，ρ u 大者称波密介质，小者称波疏介质。
2. 半波损失
— 当波由波疏介质向波密介质垂直入射，在两介质界面
反射时相位突变π ，称为“半波损失”。
★ 1v1 2v2 时，有半波损失，
2
2L
由半波损失引起的相位差
所以反射波在O点的振动方程为：
y反O
A cos[ 2
t T
(2
2L
)]
Acos[2 t (2 10 )] Acos[2 t 21 ]
T
T
得反射波方程为：
y反
Acos[2 ( t
T
x ) 21 ]
y驻
y入
y反
2 Acos(2
x
21
2
) cos( 2
t T
21