341基本不等式的证明

称重分别为a和b，为示公平，店主把
两次结果“平均”一下，以
作为
金饰品的质量。
m
a
mgl1 ? agl2 ?1?
b
m
（1）金饰品的真实质量是多少？
（2）店主肖某是否存在违法行为？
ab ? a ? b 2
mgl2 ? bgl1 ?2?
联立（1）（2）解得
m ? ab
问题情境2
细心观察
请问：以上图形的面积有什么关系？ 以上图形的外围周长有什么关系？
2、学会用数形结合的观点理解基本不等式，会用作差法证明基本 不等式，注意基本不等式成立的条件；
3、了解基本不等式的变形；
4、通过观察、猜想、验证、应用，提高数学抽象和数学建模的核 心素养。
问题情境1
小王来到一家金店购买一件金饰品，店
主肖某拿出一臂长不等的天平称重，店
主分别把金饰品放于左右两盘各称一次，
著名数学家华罗庚教授在强调数形结合的 重要性时，做了如下一首诗：
数与形，本是相倚依， 焉能分作两边飞。 数缺形时少直觉， 形少数时难入微。 数形结合百般好， 割裂分家万事非。
苏教版必修五第三章第四节
基本不等式
教学目标
1、学会用数学的眼光观察世界，通过观察现实问题，抽象出数学 问题，然后猜想验证，进而应用推广；
mgl2 ? bgl1 ?2?
联立（1）（2）解得
m ? ab
知法、守法、学法、用法
1、拨打12315热线维权；
2、上百度百科了解相关法律法规；
3、关注“黔微普法”微信公众号了解 更多的法律资讯，还可以留言获得 法律援助。
实际应用
例1 在教室墙壁上修建一矩形窗户，窗户的周长为 8m， 请问：如何设计，能使窗户的面积最大？
小王来到一家金店购买一件金饰品，店
主肖某拿出一臂长不等的天平称重，店
主分别把金饰品放于左右两盘各称一次，
称重分别为a和b，为示公平，店主把
两次结果“平均”一下，以
作为
金饰品的质量。
m
Baidu Nhomakorabea
a
mgl1 ? agl2 ?1?
b
m
（1）金饰品的真实质量是多少？
（2）店主肖某是否存在违法行为？
ab ? a ? b 2
解:设矩形窗户的长为am，宽为bm，
则
a+b=4
S ? ab
b
由基本不等式 a ? b ?
S
?
ab
?
(a
?
b
)
2 2?
(4
)
2
ab ?
有
a
4 当且仅当a=b=2时，等号成立
2
2
∴当矩形的长宽均为2m时，能使窗户的面积最大。
课堂小结
面层识知
本节课我们学习了：
a
1.基本不等式：
?
b
?
2
2.基本不等式证明：
ab ?
?
?
?0
2
2
2
ab
当且仅当 a ? b 时，等号成立
你能给出该不等式的几何解释吗？
定理的几何解释
EO ? EC AB ? ED
1、在圆中直径是最长的弦，即半径的长大于或等于半弦的长； 2、在直角三角形中，斜边长大于直角边长； 3、在直角三角形中，斜边上的中线长大于或等于斜边的高。
问题解决
ab (a, b ? R? )
代数法 几何法
3.基本不等式的应用：
面层养素心核、法方想思
课堂小结
本节课我们学习了：
1.数形结合
2.数学抽象 用数学的眼光观察世界； 用数学的思维分析世界； 用数学的语言表达世界。
作业
1、百度百科：基本不等式、数学核心素养 2、P100 练习1、2、3、4
大胆猜想
ab S ? ab
S ? ab b
a
4 ab ? 2?a ? b?
ab ? a ? b 2
数值验证
核心定理
基本不等式
一般地，对于任意正实数a、b，
我们有 a ? b ? ab
2
当且仅当a=b时，等号成立.
你能给出该不等式的代数证明吗？
证明： a ? b ? 2
? a?b? 2
a ? b ? 2 ab ( a )2 ? ( b )2 ? 2 ab ( a ? b )2