导数导学案4
导数导学案
导数的综合应用学习目标：1、利用导数研究单调性、最值、零点等问题。
2、掌握导数与不等式结合的问题。
3、体会分类讨论思想，数形结合思想，转化与化归思想在解决问题中的应用。
一、课前热身1、已知函数)(3)(3R a ax x x f ∈-=，若直线0=++m y x 对任意的R m ∈都不是曲线)(x f y =的切线，则a 的取值范围为2、设函数x x x f +=3)(，若02πθ<≤时，(cos )(1)0f m f m θ+->恒成立，则实数的取值范围是_ .3、已知关于x 的方程3||3x kx x =+有三个不同的实数解，则实数k 的取值范围是 4、在平面直角坐标系xOy 中，设A 是曲线1C ：31(0)y ax a =+>与曲线2C ：2252x y +=的一个公共点，若1C 在A 处的切线与2C 在A 处的切线互相垂直，则实数a 的值是二、课堂互动1、数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.()(0)kxf x xe k =≠()y f x =(0,(0))f ()f x ()f x (1,1)-k2、(1)()ln (0,)a x f x x x a R x-=->∈． （1）试求f (x )的单调区间；（2）当a >0时，求证：函数f (x )的图像存在唯一零点的充要条件是a =1；（3）求证：不等式111ln 12x x -<-对于(1,2)x ∈恒成立．3、已知函数.32)(2x x e x f x -+=（I ）求曲线))1(,1()(f x f y 在点=处的切线方程；（Ⅱ）求证函数)(x f 在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相 应x 的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e ≈2.7，e ≈1.6，e 0.3≈1.3） （III ）当,1)3(25)(,212恒成立的不等式若关于时+-+≥≥x a x x f x x 试求实数a 的取 值范围。
导数的四则运算法则标准导学案
主备人: ________审核人:________审批人：_________授课人:__________
备注
（教师复备栏及与技能：1.理解两个函数的和(或差)的导数法则，学会用法则求一些函数的导数；
复习1：（预习教材，找出疑惑之处）
常见函数的导数公式：
； ； ； ； ； ；
且 ； .
复习2：根据常见函数的导数公式计算下列导数
（1） （2） （3） （4）
【合作探究】两个函数的和(或差)积商的导数
新知：
练习1：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数 的导数.
练习2：日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为 时所需费用（单位：元）为 .求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
2.理解两个函数的积的导数法则，学会用法则求乘积形式的函数的导数．
过程与方法：通过学生的讨论、探索，揭示知识的发生过程，培养学生分析问题和解决问题的能力。
情感、态度与价值观：培养学生灵活的处理问题能力和坚韧的品质。
【学习重点】
掌握函数的导数公式和四则运算法则。
【难点】
应用函数的导数公式和四则运算法则解决问题。
【课前预习，成竹在胸】
使用说明学法指导：
1用20分钟左右的时间，阅读课本内容，熟记基础知识.自主高效预习，提升自己的阅读理解能力。
2完成教材助读设置的问题，然后结合课本基础知识和例题，完成预习自测题。
3将预习中不能解决的问题标记出来，并写到后面“我的疑问”处。
【自主学习】Ⅰ.课题导入
复习回顾（课前完成）
导数学案(有答案)
3.1.1平均变化率课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题．1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________．2．函数y＝f(x)的平均变化率ΔyΔx＝f(x2)－f(x1)x2－x1的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)图象上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________．一、填空题1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号)①在[x0，x1]上的平均变化率；②在x0处的变化率；③在x1处的变化率；④以上都不对．2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________.3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝________.4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________．5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________．7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______．8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________．二、解答题9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．能力提升11.甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快？12．函数f(x)＝x2＋2x在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)＝2x－3在[2,3]上的平均变化率的2倍，求a的值．3.1.2 瞬时变化率——导数(二)课时目标 1.知道导数的几何意义.2.用导数的定义求曲线的切线方程．1．导数的几何意义函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是：________________________________.2．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．一、填空题1．曲线y ＝1x在点P(1,1)处的切线方程是________．2．已知曲线y ＝2x 3上一点A(1,2)，则A 处的切线斜率为________． 3．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是____________． 4．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为______________．5．曲线y ＝2x －x 3在点(1,1)处的切线方程为________．6．设函数y ＝f(x)在点x 0处可导，且f ′(x 0)>0，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处切线的倾斜角的范围是________．7．曲线f(x)＝x 3＋x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 点的坐标为______________．8．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 二、解答题9．已知曲线y ＝4x在点P(1,4)处的切线与直线l 平行且距离为17，求直线l 的方程．10．求过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．能力提升11．已知曲线y＝2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1 (a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．1．利用导数可以解决一些与切线方程或切线斜率有关的问题．2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0) (x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．3.1.2 瞬时变化率——导数(一)课时目标 1.掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．1．瞬时速度的概念作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫____________．用数学语言描述为：设物体运动的路程与时间的关系是s ＝f(t)，当Δt 趋近于0时，函数f(t)在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt趋近于常数，我们这个常数称为______________． 2．导数的概念设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，当Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝____________无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在点x ＝x 0处________，并称该常数A 为______________________________，记作f ′(x 0)． 3．函数的导数若f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f ′(x)． 4．瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t 的导数，即v(t)＝________. 5．瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t 的导数，即a(t)＝________.一、填空题1．任一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．2．设f(x)在x ＝x 0处可导，则当Δx 无限趋近于0时f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx的值为________．3．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是________．4．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝32处的瞬时变化率是________．5．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是________．6．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________. 7．曲线f(x)＝x 在点(4,2)处的瞬时变化率是________．8．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________． 二、解答题9．用导数的定义，求函数y ＝f(x)＝1x在x ＝1处的导数．10.枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．能力提升11．已知函数y＝ax2＋bx＋c，求函数在x＝2处的导数．12．以初速度v0 (v0>0)垂直上抛的物体，t秒时间的高度为s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．1．利用定义求函数在一点处导数的步骤：3.2.1 常见函数的导数课时目标 1.理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概念求导数的方法.2.掌握常见函数的导数公式.3.灵活运用公式求某些函数的导数．1．几个常用函数的导数： (kx ＋b)′＝______；C ′＝______ (C 为常数)； x ′＝______； (x 2)′＝______； ⎝⎛⎭⎫1x ′＝________. 2(cos x)′＝________一、填空题1．下列结论不正确的是________．(填序号) ①若y ＝3，则y ′＝0；②若y ＝1x，则y ′＝－12x ；③若y ＝－x ，则y ′＝－12x；④若y ＝3x ，则y ′＝3.2．下列结论：①(cos x)′＝sin x ；②⎝⎛⎭⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则f ′(3)＝－227.其中正确的有______个．3．设f 0(x)＝sin x ，f 1(x)＝f ′0(x)，f 2(x)＝f ′1(x)，…，f n ＋1(x)＝f ′n (x)，n ∈N ，则f 2 010(x )＝________. 4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为______________． 5．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为_________．6．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________.7．曲线y ＝cos x 在点A ⎝⎛⎭⎫π6，32处的切线方程为__________________．8．曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π4的点是__________．二、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝log 4x 3－log 4x 2； (2)y ＝2x 2＋1x －2x ； (3)y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫2sin 2 x 4－1.10.已知曲线y ＝x 2上有两点A (1,1)，B (2,4)．求： (1)割线AB 的斜率k AB ；(2)在[1,1＋Δx ]内的平均变化率； (3)点A 处的切线斜率k AT ； (4)点A 处的切线方程．能力提升11．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围为__________． 12．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系：p (t )＝p 0(1＋5%)t ，其中p 0为t ＝0时的物价，假定某种商品的p 0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？(注ln 1.05≈0.05，精确到0.01)1．求函数的导数，可以利用导数的定义，也可以直接使用基本初等函数的导数公式． 2．对实际问题中的变化率问题可以转化为导数问题解决．§3.2 导数的运算3.2.2 函数的和、差、积、商的导数课时目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用求导公式和四则运算法则求函数的导数．1．两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的__________，即[f (x )±g (x )]′＝______________.2．两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上________________________________________，即[f (x )·g (x )]′＝________________.特别地[Cf (x )]′＝__________(其中C 为常数)．3．两个函数的商的导数，等于分子的导数与__________减去________________与分子的积，再除以______________．即_______________________________.一、填空题1．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )＝__________.2．曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处的切线方程是____________．3．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________. 4．曲线y ＝x (x －1)(x －2)…(x －6)在原点处的切线方程为__________．5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．6．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)的值为__________．7．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x＋2在x ＝0处的切线方程为____________．8．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在第4秒末的瞬时速度应该为________ m/s. 二、解答题9．求下列函数的导数． (1)y ＝10x ；(2)y ＝x ＋cos x x －cos x；(3)y ＝2x cos x －3x log 2 011x ； (4)y ＝x ·tan x .10.求曲线y ＝x 2＋sin x 在点(π，π2)处的切线方程．能力提升11．已知点P在曲线y＝4e x＋1上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围为__________．12．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．1．理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．3．1.1 平均变化率知识梳理 1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1x 2－x 1 Δx ＝x 2－x 1 增量 x 1＋Δx f (x 2)－f (x 1) Δy Δx2．斜率 作业设计 1．①2．f (x 0＋Δx )－f (x 0) 3．4＋2Δx解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4＋2Δx . 4.s (t ＋Δt )－s (t )Δt解析 由平均速度的定义可知，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．所以v ＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )Δt.5．－1解析 Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.6．0.41 7．1解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－11－0＝1.8．4.1解析 质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由Δs Δt 求得，即v ＝Δs Δt ＝s (2.1)－s (2)0.1＝4.1.9．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为： f (－1)－f (－3)(－1)－(－3)＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2＝－6.函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为： f (4)－f (2)4－2＝(42－2×4)－(22－2×2)2＝4.10．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )3－1 ＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3， ∴割线PQ 的斜率Δy Δx ＝(Δx )3＋3(Δx )2＋3Δx Δx＝(Δx )2＋3Δx ＋3. 当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率为k ，则k ＝ΔyΔx＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31.∴当Δx ＝0.1时割线的斜率为3.31.11．解 乙跑的快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小．12．解 函数f (x )在[0，a ]上的平均变化率为 f (a )－f (0)a －0＝a 2＋2aa ＝a ＋2.函数g (x )在[2,3]上的平均变化率为 g (3)－g (2)3－2＝(2×3－3)－(2×2－3)1＝2.∵a ＋2＝2×2，∴a ＝2.3．1.2 瞬时变化率——导数(二)知识梳理1．曲线y ＝f (x )上过点x 0的切线的斜率 作业设计1．x ＋y －2＝0解析 Δy Δx ＝11＋Δx－1Δx ＝－Δx 1＋Δx Δx ＝－11＋Δx，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于－1，∴k ＝－1，∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 2．6解析 ∵y ＝2x 3， ∴Δy Δx ＝2(x ＋Δx )3－2x 3Δx＝2(Δx )3＋6x (Δx )2＋6x 2Δx Δx＝2(Δx )2＋6x Δx ＋6x 2.∴当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于6x 2，∴点A (1,2)处切线的斜率为6. 3．x －y －2＝0解析 Δy Δx ＝4(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－4x ＋x 3Δx＝4－(Δx )2－3x 2－3x (Δx )，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于4－3x 2，∴f ′(－1)＝1.所以在点(－1，－3)处的切线的斜率为k ＝1， 所以切线方程是y ＝x －2. 4．4x －y －3＝0解析 与直线x ＋4y －8＝0垂直的直线l 为4x －y ＋m ＝0，即y ＝x 4在某一点的导数为4，而y ′＝4x 3，所以y ＝x 4在(1,1)处导数为4，此点的切线方程为4x －y －3＝0. 5．x ＋y －2＝0解析 Δy Δx＝2－(Δx )2－3x 2－3x (Δx )，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于2－3x 2，∴y ′＝2－3x 2，∴k ＝2－3＝－1.∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.6.⎝⎛⎭⎫0，π2 解析 k ＝f ′(x 0)>0，∴tan θ>0，∴θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 7．(1,0)或(－1，－4)解析 设P (x 0，y 0)，由f (x )＝x 3＋x －2， ΔyΔx＝(Δx )2＋3x 2＋3x (Δx )＋1， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于3x 2＋1.∴f ′(x )＝3x 2＋1，令f ′(x 0)＝4， 即3x 20＋1＝4，得x 0＝1或x 0＝－1， ∴P (1,0)或(－1，－4)． 8.14解析 Δy Δx ＝a (x ＋Δx )2－ax 2Δx＝2ax ＋a Δx ，当Δx 无限趋近于0时，2ax ＋a Δx 无限趋近于2ax ， ∴f ′(x )＝2ax .设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2ax 0,2ax 0＝1，且y 0＝x 0－1＝ax 20，解得x 0＝2，a ＝14. 9．解 Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝4x ＋Δx －4xΔx＝－4Δx x Δx (x ＋Δx )＝－4x (x ＋Δx )， 当Δx 无限趋近于0时，－4x (x ＋Δx )无限趋近于－4x 2，即f ′(x )＝－4x2.k ＝f ′(1)＝－4，切线方程是y －4＝－4(x －1)， 即为4x ＋y －8＝0，设l ：4x ＋y ＋c ＝0，则17＝|c ＋8|42＋12，∴|c ＋8|＝17，∴c ＝9，或c ＝－25，∴直线l 的方程为4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0.10．解 (2,0)不在曲线y ＝1x 上，令切点为(x 0，y 0)，则有y 0＝1x 0.①又Δy Δx ＝1x ＋Δx －1x Δx ＝－1x (x ＋Δx )， 当Δx 无限趋近于0时，－1x (x ＋Δx )无限趋近于－1x 2.∴k ＝f ′(x 0)＝－1x 20.∴切线方程为y ＝－1x 20(x －2)．而y 0x 0－2＝－1x 20.②由①②可得x 0＝1，故切线方程为x ＋y －2＝0.11．解 Δy Δx ＝2(1＋Δx )2－2Δx＝4Δx ＋2(Δx )2Δx＝4＋2Δx ，当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于4，∴f ′(1)＝4.∴所求直线的斜率为k ＝－14.∴y －2＝－14(x －1)，即x ＋4y －9＝0.12．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3， ∴Δy Δx＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 3.1.2 瞬时变化率——导数(一)课时目标 1.掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．1．瞬时速度的概念作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫____________．用数学语言描述为：设物体运动的路程与时间的关系是s ＝f(t)，当Δt 趋近于0时，函数f(t)在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt趋近于常数，我们这个常数称为______________． 2．导数的概念设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，当Δx 无限趋近于0时，比值ΔyΔx＝____________无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在点x ＝x 0处________，并称该常数A 为______________________________，记作f ′(x 0)． 3．函数的导数若f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f ′(x)． 4．瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t 的导数，即v(t)＝________. 5．瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t 的导数，即a(t)＝________.一、填空题1．任一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．2．设f(x)在x ＝x 0处可导，则当Δx 无限趋近于0时f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx的值为________．3．一物体的运动方程是s ＝12at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是________．4．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝32处的瞬时变化率是________．5．函数y＝x＋1x在x＝1处的导数是________．6．设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________.7．曲线f(x)＝x在点(4,2)处的瞬时变化率是________．8．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________．二、解答题9．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝1x在x＝1处的导数．10.枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．能力提升11．已知函数y＝ax2＋bx＋c，求函数在x＝2处的导数．12．以初速度v0 (v0>0)垂直上抛的物体，t秒时间的高度为s(t)＝v0t－12gt2，求物体在时刻t0处的瞬时速度．3．1.2 瞬时变化率——导数(一)知识梳理1．瞬时速度 瞬时速度 2.f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx可导 函数f (x )在点x ＝x 0处的导数4．S ′(t ) 5.v ′(t ) 作业设计 1．3解析 Δs Δt ＝s (Δt )－s (0)Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt＝3－Δt ，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于3.2．－f ′(x 0)解析 ∵f (x 0－Δx )－f (x 0)Δx＝f (x 0)－f (x 0－Δx )－Δx＝－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx，∴当Δx 无限趋近于0时，原式无限趋近于－f ′(x 0)． 3．at 0解析 Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12a Δt ＋at 0，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于at 0.4．－3解析 ∵Δf Δx ＝f ⎝⎛⎭⎫32＋Δx －f ⎝⎛⎭⎫32Δx＝－Δx －3，当Δx 无限趋近于0时，ΔfΔx无限趋近于－3.5．0解析 ΔyΔx ＝(1＋Δx )＋11＋Δx －2Δx＝(1＋Δx )2＋1－2(1＋Δx )Δx (1＋Δx )＝(Δx )2Δx (1＋Δx )＝Δx 1＋Δx， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于0.6．1解析 ∵f (－1＋Δx )－f (－1)Δx＝a (－1＋Δx )3－a (－1)3Δx＝a (Δx )2－3a Δx ＋3a .∴当Δx 无限趋近于0时，ΔfΔx无限趋近于3a ，即3a ＝3，∴a ＝1. 7.14解析 Δf Δx ＝f (4＋Δx )－f (4)Δx ＝4＋Δx －2Δx＝14＋Δx ＋2，∴当Δx 无限趋近于0时，Δf Δx 无限趋近于14.8．4＋Δt 4解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v (1＋Δt )－v (1)Δt＝Δt ＋4，当Δt 无限趋近于0时，ΔvΔt无限趋近于4. 9．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －11＝1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx1＋Δx ·(1＋1＋Δx )∴ΔyΔx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴当Δx 无限趋近于0时，－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )无限趋近于－12，∴f ′(1)＝－12.10．解 运动方程为s ＝12at 2.因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－12at 20＝at 0Δt ＋12a (Δt )2，所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt .所以当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于at 0. 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－3s ， 所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.11．解 ∵Δy ＝a (2＋Δx )2＋b (2＋Δx )＋c －(4a ＋2b ＋c ) ＝4a Δx ＋a (Δx )2＋b Δx ， ∴Δy Δx ＝4a Δx ＋a (Δx )2＋b Δx Δx＝4a ＋b ＋a Δx ， 当Δx 无限趋近于0时，ΔyΔx无限趋近于4a ＋b .所以函数在x ＝2处的导数为4a ＋b .12．解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝⎛⎭⎫v 0t 0－12gt 20 ＝(v 0－gt 0)Δt －12g (Δt )2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt ， 当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于v 0－gt 0.故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0.3．2.1 常见函数的导数知识梳理1．k 0 1 2x －1x22.1．②解析 y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝(x －12)′＝－1232x -＝－12x x .2．1解析 直接利用导数公式．因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝⎛⎭⎫32′＝0，所以②错误；⎝⎛⎭⎫1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则f ′(3)＝－227， 所以③正确． 3．－sin x解析 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )＝cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f ′3(x )＝sin x ，….由此继续求导下去，发现四个一循环，从0到2 010共2 011个数，2 011＝4×502＋3，所以f 2 010(x )＝f 2(x )＝－sin x . 4．(－1，－1)或(1,1)解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1， 则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．5.110523解析 s ′＝155t 4.当t ＝4时，s ′＝15·1544＝110523.6．2x解析 ∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2， ∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x .7．x ＋2y －3－π6＝0解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，∴k ＝－sin π6＝－12，∴在点A 处的切线方程为y －32＝－12⎝⎛⎭⎫x －π6， 即x ＋2y －3－π6＝0.8.⎝⎛⎭⎫12，14解析 设切点坐标为(x 0，x 20)，则tan π4＝f ′(x 0)＝2x 0，∴x 0＝12.∴所求点为⎝⎛⎭⎫12，14.9．解 (1)∵y ＝log 4x 3－log 4x 2＝log 4x ，∴y ′＝(log 4x )′＝1x ln 4.(2)∵y ＝2x 2＋1x －2x ＝2x 2＋1－2x 2x ＝1x .∴y ′＝⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2. (3)∵y ＝－2sin x2⎝⎛⎭⎫2sin 2 x 4－1 ＝2sin x2⎝⎛⎭⎫1－2sin 2 x 4 ＝2sin x 2cos x2＝sin x .∴y ′＝(sin x )′＝cos x .10．解 (1)k AB ＝4－12－1＝3.(2)平均变化率Δy Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx .(3)y ′＝2x ，∴k ＝f ′(1)＝2， 即点A 处的切线斜率为k AT ＝2.(4)点A 处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0. 11．(－∞，0)解析 ∵f ′(x )＝5ax 4＋1x，x ∈(0，＋∞)，∴由题知5ax 4＋1x ＝0在(0，＋∞)上有解．即a ＝－15x5在(0，＋∞)上有解．∵x ∈(0，＋∞)，∴－15x5∈(－∞，0)．∴a ∈(－∞，0)．12．解 ∵p 0＝1，∴p (t )＝(1＋5%)t ＝1.05t . 根据基本初等函数的导数公式表，有 p ′(t )＝(1.05t )′＝1.05t ·ln 1.05. ∴p ′(10)＝1.0510·ln 1.05≈0.08(元/年)．因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．3.2.2 函数的和、差、积、商的导数课时目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用求导公式和四则运算法则求函数的导数．1．两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的__________，即[f (x )±g (x )]′＝______________.2．两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上________________________________________，即[f (x )·g (x )]′＝________________.特别地[Cf (x )]′＝__________(其中C 为常数)．3．两个函数的商的导数，等于分子的导数与__________减去________________与分子的积，再除以______________．即_______________________________.一、填空题1．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )＝__________.2．曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处的切线方程是____________．3．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________. 4．曲线y ＝x (x －1)(x －2)…(x －6)在原点处的切线方程为__________．5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．6．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π4)的值为__________．7．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x＋2在x ＝0处的切线方程为____________．8．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在第4秒末的瞬时速度应该为________ m/s.二、解答题9．求下列函数的导数．(1)y ＝10x ；(2)y ＝x ＋cos x x －cos x； (3)y ＝2x cos x －3x log 2 011x ；(4)y ＝x ·tan x .10.求曲线y ＝x 2＋sin x 在点(π，π2)处的切线方程．能力提升11．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围为__________．12．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．1．理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．3．2.2 函数的和、差、积、商的导数知识梳理1．和(或差) f ′(x )±g ′(x )2．第一个函数乘第二个函数的导数 f ′(x )·g (x )＋f (x )·g ′(x ) C ·f ′(x )3．分母的积 分母的导数 分母的平方 [f (x )g (x )]′＝g (x )f ′(x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0) 作业设计1．3x 2＋3x ·ln 3解析 (ln 3)′＝0，注意避免出现(ln 3)′＝13的错误． 2．x －y ＋1＝0解析 y ′＝e x ＋x e x ，当x ＝0时，导数值为1，故所求的切线方程是y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.3．18解析 ∵f ′(x )＝4x 3＋2ax －b ，由⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(0)＝－13f ′(－1)＝－27⇒⎩⎪⎨⎪⎧－b ＝－13，－4－2a －b ＝－27. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝13. ∴a ＋b ＝5＋13＝18. 4．y ＝720x解析 y ′＝(x －1)(x －2)…(x －6)＋x [(x －1)(x －2)…(x －6)]′，所以f ′(0)＝1×2×3×4×5×6＋0＝720.故切线方程为y ＝720x .5.12e 2 解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴在(2，e 2)处的切线斜率为e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)，即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1.∴S △＝12×1×|－e 2|＝12e 2. 6．1解析 ∵f (x )＝f ′⎝⎛⎭⎫π4cos x ＋sin x ，∴f ′(x )＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4sin x ＋cos x .∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝－f ′⎝⎛⎭⎫π4×22＋22. ∴f ′⎝⎛⎭⎫π4＝11＋2＝2－1.故f ⎝⎛⎭⎫π4＝(2－1)×22＋22＝1. 7．2x －y ＋3＝0解析 由f (x )＝sin x ＋e x ＋2得f ′(x )＝cos x ＋e x ，从而f ′(0)＝2，又f (0)＝3，所以切线方程为y ＝2x ＋3.8.12516解析 ∵s ′＝2t －3t2， ∴当第4秒末，v ＝8－316＝12516(m/s)． 9．解 (1)y ′＝(10x )′＝10x ln 10.(2)y ′＝(x ＋cos x )′(x －cos x )－(x ＋cos x )(x －cos x )′(x －cos x )2＝(1－sin x )(x －cos x )－(x ＋cos x )(1＋sin x )(x －cos x )2＝－2(cos x ＋x sin x )(x －cos x )2. (3)y ′＝(2x )′cos x ＋(cos x )′2x －3[x ′log 2 011 x ＋(log 2 011x )′x ]＝2x ln 2·cos x －sin x ·2x －3[log 2 011 x ＋⎝⎛⎭⎫1x log 2 011 e x ] ＝2x ln 2·cos x －2x sin x －3log 2 011 x －3log 2 011 e.(4)y ′＝(x tan x )′＝⎝⎛⎭⎫x sin x cos x ′＝(x sin x )′cos x －x sin x (cos x )′(cos x )2＝(sin x ＋x cos x )cos x ＋x sin 2x (cos x )2＝sin x cos x ＋x (cos 2x ＋sin 2x )(cos x )2＝12sin 2x ＋x (cos x )2＝sin 2x ＋2x 2cos 2x . 10．解 f ′(x )＝2x ＋cos x .故曲线在点(π，π2)的切线斜率为2π－1，所以切线为y －π2＝(2π－1)(x －π)，即(2π－1)x －y －π2＋π＝0.11．[3π4，π) 解析 y ′＝－4e x e 2x ＋2e x ＋1＝－4e x ＋2＋1ex ， ∵e x ＋1ex ≥2，∴－1≤y ′<0，即－1≤tan α<0，∴α∈⎣⎡⎭⎫3π4，π.12．解 依题意知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12. 切点坐标为⎝⎛⎭⎫12，14.∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.。
导数学案(完整版)精心
选修〔 1-1〕第三章导数及其应用课题：§3.1 变化率与导数学习目标： 1. 认识函数的均匀变化率、刹时变化率的观点；2.理解导数的观点，理解、掌握导数的几何意义3.会利用定义求函数在某一点周边的均匀变化率及导数；4.会利用定义求函数在某点处的切线方程.学习过程：一、变化率问题[ 开篇思虑 ]：阅读开篇语，认识课程目标1.微积分的创办与自然科学中的哪些问题的办理直接有关？2.导数的研究对象是什么？[ 问题研究一 ]：气球膨胀率吹气球时，跟着气球内空气容量的增添，气球的半径增添得愈来愈慢。
从数学的角度如何描绘这类现象 ? 阅读教材 P72并思虑：〔 1〕问题中波及到的两个变量分别是、，这两个变量间的函数关系是；（2〕“气球的半径增添得愈来愈慢〞的意思是“〞，从数学角度进行描绘就是“适用标准文案当空气容量从 2.5 L增添到 4 L时，气球半径r 增添了，气球的均匀膨胀率为；能够看出，跟着气球体积渐渐变大，它的均匀膨胀率渐渐.〔 4〕思虑：当空气容量从V1增添到 V2时，气球的均匀膨胀率是[问题研究二 ]：高台跳水在高台跳水运动中，运发动相对于水面的高度h(单位：米 )与起跳后的时间t〔单位：秒〕存在函数关系)t2t10h t如何用运发动在某些时间段内的均匀速度大略地描绘其运动状态？(阅读教材 P73并思虑：h假定用运发动在某段时间t1 , t 2内的均匀速度v 描绘其运动状态，那么：〔 1〕v =；〔 2〕算一算：在 0t0.5 这段时间内， v =ot 在 1t 2 这段时间内， v =t1 t2在 0t65这段时间内， v =49[新知 ]：〞，即气球的均匀膨胀率就是.〔 3〕运用上述数学解说计算一些详细的值当空气容量从0 增添到 1 L时，气球半径r增添了，气球的均匀膨胀设 y f (x) ， x1是数轴上的一个定点，在数轴x 上另取一点x2， x1与 x2的差记为x，即x =率为；或许 x2 =， x 就表示从x1到x2的变化量或增量；相应地，函数的变化量或增量记为y ，当空气容量从1L 增添到2 L 时，气球半径 r 增添了，气球的均匀膨胀率即 y =；假如它们的比值y ，那么上式就表示为，此比值就称为均匀变化率 .为；x当空气容量从2L 增添到 L 时，气球半径 r 增添了，均匀变化率： _______________ = ______气球的均匀膨胀率为；反省：所谓均匀变化率也就是的增量与的增量的比值 .出色文档适用标准文案[ 试一试 ]：[研究 ]：计算[问题研究二]运发动在0 t 65这段时间里的均匀速度，并思虑以下问题：例：函数2，分别计算 f ( x) 在以下区间上的均匀变化率：49 f ( x) x〔1〕1，〔2〕1，2〔 1〕运发动在这段时间内使静止的吗？〔 3〕1，1x〔 2〕你以为用均匀速度描绘运发动的运动状态有什么问题吗？研究过程：[知识回想 ]：什么是函数y f ( x) 的均匀变化率？如何求均匀变化率？[ 思虑 ] ：当x愈来愈小时，函数 f ( x) 在区间1， 1x 上的均匀变化率有如何的变化趋向？[想想 ]：既然用均匀速度不可以精准描绘运发动的运动状态，那该如何求运发动在某一时辰的速度呢？y =回复以下问题：[ 变式 ] ：函数 f (x)x2x 的图象上一点 1 ， 2 及周边一点 1 x ， 2y ，那么1．什么是刹时速度？x2. 当t 趋近于 0 时,均匀速度v有什么样的变化趋向？3. 运发动在某一时辰t0的刹时速度如何表示？[ 学习小结 ]：[认识与理解 ]：求刹时速度1.函数 f ( x) 的均匀变化率是一物体的运动方程是 s 3t 2，那么在 t2 时辰的刹时速度是2.求函数 f ( x) 的均匀变化率的步骤：〔 1〕求函数值的增量；〔 2〕计算均匀变化率.[ 作业 ] ：形成练习 P41-42练习 21 函数的均匀变化率[新知 ]：[再思虑 ]：计算[问题研究二]中运发动在0 t 651. 函数y f (x) 的刹时变化率如何表示？这段时间里的均匀速度，思虑以下问题：49（1〕运发动在这段时间内使静止的吗？（2〕你以为用均匀速度描绘运发动的运动状态有什么问题吗？二、导数的观点 2. 什么是函数y f ( x) 在x x0处的导数？如何表示？其实质是什么？出色文档适用标准文案[思虑与研究一]：曲线的切线及切线的斜率如图，当P n(x n, f (x n))( n1,2,3,4)沿着曲线 f (x) 趋近于点P( x0, f (x0))时，割线PP n的变化趋向是什么？[试一试 ]：例 1．〔 1〕用定义求函数y 3x2在x1处的导数.〔 2〕求函数f(x)=x 2x 在x1周边的均匀变化率，并求出在该点处的导数．图当点 P n沿着曲线无穷靠近点P 即x→ 0 时，割线PP n趋近于确立的地点，这个确立地点的直线例 2．阅读教材 P75例 1, 计算第3h时和第5h时, 原油温度的刹时变化率PT 称为曲线在点P 处的., 并说明它们的意义 .[想想 ]：〔 1〕割线PP n的斜率k n与切线 PT 的斜率k有什么关系？〔 2〕切线 PT 的斜率k为多少？[ 学习小结 ]：1．刹时速度、刹时变化率的观点〔 3〕此处切线的定义与从前学过的切线的定义有什么不一样？2．函数y f ( x) 在x x0处的导数及其实质[ 作业 ] ：形成练习P43-44练习 22 导数的观点三、导数的几何意义〔阅读教材P74-75〕[新知 1]：导数的几何意义：出色文档1.函数 y f ( x) 在x x0处的导数等于即 f (x0 )lim f ( x0x) f (x0 )xkx 02.函数 y f ( x) 在x x0处的切线方程是.3.求曲线在某点 P 处的切线方程的根本步骤:①求出点的坐标 P( x0 , f ( x0 )) ；② 求出函数在点x x0处的变化率 f (x0 ) lim0f ( x0x) f ( x0 )k ，x x获得曲线在点P( x0 , f ( x0 )) 的切线的斜率；③利用点斜式求切线方程.[新知 2]：导函数：1.什么是函数 y f (x) 的导函数？2. 函数f ( x)在点x0处的导数 f ( x0 ) 、导函数f ( x) 、导数之间的差别与联系？[ 试一试 ]：例 1:〔1〕求曲线y f ( x) x21在点P(1,2)处的切线方程.例 2：在曲线y x 2上过哪一点的切线平行于直线y 4x 5？适用标准文案例 3：〔1〕试描绘函数 f ( x) 在x5, 4, 2,0,1 周边的的变化状况.〔 2〕函数 f (x) 的图象 ,试画出其导函数 f (x) 图象的大概形状.[练一练 ]：〔 1〕求函数 f ( x) 3x 2在点x1处的切线方程.〔 2〕设曲线 f ( x)x2在点 P0处的切线斜率是3，那么点P0的坐标是[学习小结 ]：1.导数的几何意义是什么？2.函数 f (x) 在点x0处的导数f ( x0)、导函数 f (x) 、导数之间的差别与联系？3. 求曲线在某点P 处的切线方程的根本步骤:[ 作业 ]：1. 形成练习 P44-45练习 23 导数的几何意义； 2.学探诊测试十一[课后思虑 ]： 1.本节知识内容有哪些？你学会了什么？ 2.你还有哪些疑惑？快快去解决 .课题：§ 导数的计算出色文档学习目标： 1．会利用导数的定义推导函数y c 、 y x 、 y x 2 、 y1 的导数公式；x2．掌握根本初等函数的求导公式及导数的运算法那么，会求简单函数的导数.学习过程：一、几个常用函数的导数[开篇语 ]：我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时辰的刹时速度．那么，对于函数y f ( x) ，如何求它的导数呢？由导数定义自己，给出了求导数的最根本的方法，但因为导数是用极限来定义的，因此求导数老是归纳到求极限， 这在运算上很麻烦， 有时甚至很困难， 为了能够较快求出某些函数的导数，这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下边我们先来求几个常用的函数的导数．[思虑与研究 ]：阅读教材 81-82，利用导数的定义，试试自己推导函数y c 、 y x 、y x 2 、P1 y的导数x[练一练 1] ：利用导数的定义函数y x 3 的导数适用标准文案〔 1〕y x3〔 2〕y x x〔3 〕y 1x2〔 4〕 y 2 sin x cosx〔 5〕 y1 22x例 2：〔 1〕求 y1 在点 (2, 1) 处的切线方程x 2〔 2〕求 y ln x 在 xe 2 处的切线方程〔 3〕求 y sin x 在点 A(, 1) 处的切线方程 6 2〔 4〕设曲线f ( x)2x 2在点 P 0 处的切线斜率是3，那么点 P 0 的坐标是二、根本初等函数的导数公式及导数运算法那么[记一记 1]：根本初等函数的导数公式( c)〔 5〕在曲线1. _________2. ( x )________〔为有理数〕 ( 1)_________x3. ( ex)_________(a x )_________( a 0,a 1)〔 6〕求过点 4. (ln x) __________(log a x)________( a 0, a 1) 5. (sin x)_________(cos x)_________y x 2 上过哪一点的切线平行于直线y 4x 5？P 2, 8 所作的 yx 3 的切线方程 ___________.[练一练 2]例 1：求以下函数的导数[记一记 2]：导数运算法那么： 设函数 f ( x), g (x) 是可导函数，出色文档1.( f ( x)g( x))_________________.2.( f ( x)g( x))_________________.3.( f ( x) )_________________.g( x)[练一练 3]：练 1. 求以下函数的导数：〔 1〕y1x ；〔 2〕 y log 3x〔 3〕 y 2x5 3 x2 5 x 4 ；〔4〕y练 2. 求以下函数的导数：〔 1〕 y x3log 2 x ；〔 2〕 y x n e x；cf ( x)_____________.2e x；3cos x 4sin x .x31〔 3〕ysin x适用标准文案[提升篇 ]1.〔旭日一模〕函数 f x x 2 a 2 x a ln x，此中a R ，求曲线y f x 在点2, f 2处的切线的斜率为1的值 .〔如改为切线方程〕，求 a2. 〔 2021 北京〕函数f xax2 1 a0 ， g x x3bx .假定曲线y f x 与曲线 y g x在它们的交点 1, c 处拥有公共切线，求a,b 的值.练 3.〔 1〕设曲线y x 1在点 (3, 2) 处的切线与直线 axy 1 0 垂直，那么a的值.x1〔 2〕〔2021 年江西〕假定曲线y x 1 (α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,那么α的值 .[学习小结 ]：1．对于简单的函数均可利用求导法那么与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2．对于函数求导，一般要按照先化简，再求导的根来源那么。
导数的计算导学案
导数的计算导学案导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在其中一点的变化速率。
导数的计算方法非常重要，下面将介绍导数的计算导学案。
一、导数的定义根据导数的定义，函数f在点x处的导数可以通过极限的方法得到：f'(x) = lim(h->0) (f(x+h) - f(x))/h二、导数的基本计算方法根据导数的定义，我们可以利用一些基本的规则计算导数：1.常数的导数为0若c为常数，则d(c)/dx = 02.幂函数的导数对于幂函数y = x^n（n为正整数），导数为dy/dx = nx^(n-1)例如，y = x^2，则dy/dx = 2x3.指数函数的导数对于指数函数y = a^x（a>0且a≠1），导数为dy/dx = a^x * ln(a)例如，y = e^x，则dy/dx = e^x * ln(e) = e^x4.对数函数的导数对于对数函数y = log_a(x)（a>0且a≠1），导数为dy/dx =(1/ln(a)) * (1/x)特别地，自然对数函数y = ln(x)的导数为dy/dx = 1/x5.三角函数的导数对于三角函数，有以下导数公式：sin(x)的导数为cos(x)cos(x)的导数为-sin(x)tan(x)的导数为sec^2(x)cot(x)的导数为-csc^2(x)sec(x)的导数为sec(x)tan(x)csc(x)的导数为-csc(x)cot(x)6.反三角函数的导数对于反三角函数，有以下导数公式：arcsin(x)的导数为1/√(1-x^2)arccos(x)的导数为-1/√(1-x^2)arctan(x)的导数为1/(1+x^2)7.速度与加速度若y表示物体的位移，t表示时间，则速度v的导数为dy/dt，加速度a的导数为d^2y/dt^2三、导数的基本运算法则导数具有一些基本的运算法则，例如和差法则、积法则和商法则等，它们可以辅助我们计算复合函数的导数。
部编版2020学年高中数学第三章导数的四则运算法则同步导学案新人教B版选修70
3.2.1导数的四则运算法则学习目标：1掌握函数的和、差、积、商的求导法则2 能利用导数的四种运算法则求较简单初等函数的导数德育目标：通过学生的主动参与，师生、生生的合作交流，提高学生的学习兴趣，激发其求知欲，培养探索精神重点：掌握函数的和、差、积、商的求导法则难点：会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题活动一：自主预习，知识梳理设()()x g x f ,是可导的，则1.函数和（或差）的求导法则：()()()=±/x g x f 即两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数这个法则可推广到任意有限个可导函数的和（或差），即n n ff f f f f /2/1/21)(±±±=±±±ΛΛ 2.函数积的求导法则：()()[]=/xg x f即两个函数的积的导数，等于 个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上 个函数的导数。
()[]()x Cf x Cf //=，此式可表述为：常数与函数积的导数，等于常数乘以函数的导数3.函数商的求导法则：()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡/x g x f （其中())0≠x g 特别时有()()()x g x g x g 2//1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡活动二：问题探究导数的运算法则成立的条件是什么？活动三：要点导学，合作探究要点一：利用导数运算法则求函数的导数例1： 求下列函数的导数（1）765432)(2345+-+-+=x x x x x x f（2）x x y sin = （3）x y 2sin =（4）x y tan =练习：求下列函数的导数（1）x x y ln -= （2）)1)(1(2-+=x x y （3）()22ln x x x f x+= （4）332++=x x y要点二：导数运算法则的综合应用例2：已知函数()),(23123R a R x ax x x x f ∈∈+-=，在曲线()x f y =的所有切线中，有且仅有一条切线l 与直线x y =垂直。
导数全套导学案
3.1.1函数的平均变化率命题人 林晓明 审批人 李志远 时间：2015/12/19 期数 51【预习目标】 1.通过实例，领悟由平均变化率到瞬时变化率刻画现实的过程．2.了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．3.体会导数的思想及其内涵，并能运用.【预习内容】１.平均变化率的概念是什么？２．Δx ，Δy 的值一定是正值吗？平均变化率一定为正值吗？３.函数在某点处附近的平均变化率是什么？４.观察函数f (x )的图象,平均变化率y x ∆=∆1212)()(x x x f x f --表示什么?５.求函数在某点处附近的平均变化率的步骤什么？６.“Δx →0”的意义是什么？函数f (x )在x 0处的附近的平均变化率与Δx 有关吗？1.函数y ＝f (x )的自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数值的改变量Δy 为( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)2．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy ．【疑难解析】 例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，且Δx ＝1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx； (2)求当x 1＝4，且Δx ＝0.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx ；例2．求函数f (x )=3x x -+图象上从点(1,2)A 到点(1,2)B x y +∆+∆的平均变化率.【练习与展示】1．质点运动规律为32+=t s ，则在时间)3,3(t ∆+中相应的平均速度为A.3B.6C.9D.122. 已知函数2()f x x =，分别计算()f x 在[1，3]区间上的平均变化 率 ；()f x 在[1，2]区间上的平均变化率 .3.物体按照s (t )=3t 2+t +4的规律作直线运动,求在4s 附近的平均变化 率 .4．已知函数f （x ）=2x+1，g （x ）= -2x ，分别计算在区间[-3，-1]，[0， 5]上f （x ）及g （x ）的平均变化率.【总结提升】。
导数复习讲课导学案
题目：导数（复习课）高考导数，大题一道。
大题不大，一碰就炸；难题不难，有我帮忙。
分类讨论， 少不 了；数形结合，缺不得，基础牢，细心算，胜利在我手中攥。
一、【目标展示】二、【预备知识】◆◆◆◆◆课前一定要完成呀！◆◆◆◆◆【基础知识再现】 1、 导数的概念： 2、 导数的几何意义： 3、 常见函数的导数：(1)C ′＝ (2)(x n )′＝(3)(sin x )′＝ (4)(cos x )′＝ (5)(ln x )′＝ (6)(log a x )′＝ (7)(e x )′＝ (8) (a x )′＝ 4、 写出函数求导运算法则：（=±')v u =')(uv '⎪⎭⎫⎝⎛v u =5、 求函数3223-+=x x y 的单调增区间并由此归纳出函数的单调性的求法：6、怎么求函数的极值并判断是极大值还是极小值7、函数32()32f x x x =-+在区间[]1,1-上的最大值是（ ）(A)－2 (B)0 (C)2 (D)4由此题的解法你能说说怎样求在某区间上函数的最值吗？三、【课前小练】◆◆◆◆◆课前一定要完成呀！◆◆◆◆◆1、求函数的导数：)11(32xx x x y ++=2、曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） A ．19B ．29C ．13D ．23四、【合作探究】◆◆◆◆◆独立考虑5分钟，组内讨论5分钟◆◆◆◆ 【合作探究一】1、函数3)(x x f =有极值吗？若有是极大还是极小值为多少？理由：______________________________________________________ 2、 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）abxy)(x f y '=OA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个谈谈你的看法：_______________________________1、 理解导数的概念和几何意义。
《导数与函数的单调性》 导学案
《导数与函数的单调性》导学案一、学习目标1、理解导数的概念，掌握导数的几何意义。
2、掌握利用导数判断函数单调性的方法。
3、能够运用导数求函数的单调区间。
二、学习重难点1、重点（1）导数的定义及几何意义。
（2）利用导数判断函数的单调性。
2、难点（1）导数概念的理解。
（2）导数与函数单调性的关系的推导。
三、知识回顾1、函数单调性的定义设函数\（f(x)＼）的定义域为\（I\），如果对于定义域\（I\）内某个区间\（D\）上的任意两个自变量的值\（x_1\），＼（x_2\），当\（x_1 ＜ x_2\）时，都有\（f(x_1) ＜ f(x_2)＼）（或\（f(x_1) ＞ f(x_2)＼）），那么就说函数\（f(x)＼）在区间\（D\）上是增函数（或减函数）。
2、常见函数的单调性（1）一次函数\（y ＝ kx ＋ b\）（＼（k ≠ 0\）），当\（k ＞ 0\）时，函数在\（R\）上是增函数；当\（k ＜ 0\）时，函数在\（R\）上是减函数。
（2）二次函数\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）（＼（a ≠ 0\）），当\（a ＞ 0\）时，函数在\（＼left(＼infty, ＼dfrac{b}｛2a}＼right\）上是减函数，在\（＼left\dfrac{b}｛2a}，＋＼infty\right)＼）上是增函数；当\（a ＜ 0\）时，函数在\（＼left(＼infty, ＼dfrac{b}｛2a}＼right\）上是增函数，在\（＼left\dfrac{b}｛2a}，＋＼infty\right)＼）上是减函数。
四、新课导入在前面的学习中，我们主要通过函数的定义和图象来研究函数的单调性。
但是，这种方法对于一些复杂的函数来说，可能不太直观和方便。
那么，有没有一种更有效的方法来判断函数的单调性呢？这就是我们今天要学习的利用导数来研究函数的单调性。
五、导数的概念1、定义设函数\（y ＝ f(x)＼）在点\（x_0\）处及其附近有定义，如果\（＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＼）与\（＼Delta x\）的比值\（＼dfrac{＼Delta y}｛＼Delta x} ＝＼dfrac{f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)｝｛＼Delta x}＼）当\（＼Delta x ＼to 0\）时的极限存在，那么这个极限值称为函数\（y ＝f(x)＼）在点\（x_0\）处的导数，记作\（f'（x_0)＼）或\（y'｜＿{x ＝ x_0}＼）。
导数的计算导学案
1.2导数的计算导学案(总8页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--导数的计算导学案第一课时：几个常用函数的导数一．学习目标：1．学会应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y = 2．掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数． 二．学习重、难点：五种常见函数y c =、y x =、2y x =、1y x=、y =三．学习过程 （一）创设情景我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度．那么，对于函数()y f x =，如何求它的导数呢？根据导数的定义，求函数()y f x =的导数，就是求出当x ∆趋近于0的时候，yx∆∆所趋于的那个定值。
（二）获取新知1．函数()y f x c ==的导数 根据导数定义，因为()()0y f x x f x c c x x x∆+∆--===∆∆∆ 所以00limlim 00x x yy ∆→∆→∆'===0y '=表示函数y c =图像上每一点处的切线的斜率都为 ．若y c =表示路程关于时间的函数，则0y '=可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态． 2．函数()y f x x ==的导数 因为()()1y f x x f x x x xx x x∆+∆-+∆-===∆∆∆所以00lim lim 11x x yy x ∆→∆→∆'===∆1y '=表示函数y x =图像上每一点处的切线的斜率都为 ．若y x =表示路程关于时间的函数，则1y '=可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动．3．函数2()y f x x ==的导数因为22()()()y f x x f x x x x x x x∆+∆-+∆-==∆∆∆ 2222()2x x x x x x x x+∆+∆-==+∆∆所以00limlim (2)2x x yy x x x x ∆→∆→∆'==+∆=∆2y x '=表示函数2y x =图像（图）上点(,)x y 处的切线的斜率都为 ，说明随着x 的变化，切线的斜率也在变化．另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当0x <时，随着x 的增加，函数2y x =减少得越来越慢；当0x >时，随着x 的增加，函数2y x =增加得越来越快．若2y x =表示路程关于时间的函数，则2y x '=可以解释为某物体做变速运动，它在时刻x 的瞬时速度为2x ．4．函数1()y f x x==的导数 因为11()()y f x x f x x x x x x x-∆+∆-+∆==∆∆∆2()1()x x x x x x x x x x -+∆==-+∆∆+⋅∆所以220011lim lim ()x x y y x x x x x∆→∆→∆'==-=-∆+⋅∆5．函数y=()()y f x x f x xx∆+∆-==∆∆因为==0limlim x x y y x ∆→∆→∆'===∆所以推广：若*()()n y f x x n Q ==∈，则1()n f x nx -'=（三）课堂小结第二课时：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则【学习目标】1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则；3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．。
导数的四则运算法则导学案
导数的四则运算法则导学案导数的四则运算法则(一)【学习要求】1．理解函数的和、差、积、商的求导法则．2．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．【学法指导】应用导数的四则运算法则和已学过的常用函数的导数公式可迅速解决一类简单函数的求导问题．要透彻理解函数求导法则的结构内涵，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，达到巩固知识、提升能力的目的.【知识要点】导数的运算法则设两个可导函数分别为f(x)和g(x)【问题探究】探究点一导数的运算法则问题1我们已经会求f(x)＝5和g(x)＝1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？问题2应用导数的运算法则求导数有哪些注意点？例1求下列函数的导数：（1）y＝3x－lg x；（2）y＝(x2＋1)(x－1)；（3）y＝x5＋x7＋x9x.跟踪训练1求下列函数的导数：（1）f(x)＝x·tan x；（2）f(x)＝2－2sin2x2；（3）f(x)＝x－1x＋1；（4）f(x)＝sin x1＋sin x.探究点二导数的应用例2（1）曲线y＝x e x＋2x＋1在点(0,1)处的切线方程为_______________（2）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________（3）已知某运动着的物体的运动方程为s (t )＝t －1t 2＋2t 2(位移单位：m ，时间单位：s)，求t ＝3 s 时物体的瞬时速度．跟踪训练2 （1）曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M ⎝⎛⎭⎫π4，0处的切线的斜率为 ( ) A ．－12 B.12 C ．－22 D ．22（2）设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1，确定b 、c 的值．【当堂检测】1．设y ＝－2e x sin x ，则y ′等于 ( )A ．－2e x cos xB ．－2e x sin xC ．2e x sin xD ．－2e x (sin x ＋cos x )2．曲线f (x )＝x x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x ＋2 3．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A ．193B ．163C ．133D ．1034．已知f (x )＝13x 3＋3xf ′(0)，则f ′(1)＝_______ 5．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过点(1,1)，且在点(2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求a 、b 、c 的值．【课堂小结】求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数．在求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导数公式．对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式，再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题.【教学反思】导数的四则运算法则(二)【学习要求】1．了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则．2．能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．【学法指导】复合函数的求导将复杂的问题简单化，体现了转化思想；学习中要通过中间变量的引入理解函数的复合过程．【问题探究】探究点一复合函数的定义问题1观察函数y＝2x cos x及y＝ln(x＋2)的结构特点，说明它们分别是由哪些基本函数组成的？问题2对一个复合函数，怎样判断函数的复合关系？问题3在复合函数中，内层函数的值域A与外层函数的定义域B有何关系？例1指出下列函数是怎样复合而成的：（1）y＝(3＋5x)2；（2）y＝log3(x2－2x＋5)；（3）y＝cos 3x.跟踪训练1指出下列函数由哪些函数复合而成：（1）y＝ln x；（2）y＝e sin x；（3）y＝cos (3x ＋1)．探究点二复合函数的导数问题如何求复合函数的导数？例2求下列函数的导数：（1）y＝(2x－1)4；（2）y＝11－2x；（3）y＝sin(－2x＋π3)；（4）y＝102x＋3.跟踪训练2 求下列函数的导数．（1）y ＝ln 1x； （2）y ＝e 3x ； （3）y ＝5log 2(2x ＋1)．探究点三 导数的应用例3 求曲线y ＝e 2x＋1在点(－12，1)处的切线方程．跟踪训练3 曲线y ＝e 2x cos 3x 在(0,1)处的切线与直线l 平行，且与l 的距离为5，求直线l 的方程．【当堂检测】1．函数y ＝(3x －2)2的导数为 ( )A ．2(3x －2)B ．6xC ．6x (3x －2)D ．6(3x －2)2．若函数y ＝sin 2x ，则y ′等于 ( )A ．sin 2xB ．2sin xC ．sin x cos xD ．cos 2x3．若y ＝f (x 2)，则y ′等于 ( )A ．2xf ′(x 2)B ．2xf ′(x )C ．4x 2f (x )D ．f ′(x 2)4．设曲线y ＝e ax 在点(0,1)处的切线与直线x ＋2y ＋1＝0垂直，则a ＝________.【课堂小结】1.求简单复合函数f (ax ＋b )的导数2.求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式，然后再分别对y ＝f (u )与u ＝ax ＋b 分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y ＝f (u )，u ＝ax ＋b 的形式是关键.【拓展提高】1 ．已知函数在区间内任取两个实数,且,不等式恒成立,则实数的取值范围为____________ 【教学反思】2)1ln()(x x a x f -+=)1,0(q p ,q p ≠1)1()1(>-+-+qp q f p f a。
导数导学案
导数复习专题一、导数的概念及几何意义1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121f x f x x x --2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000；．3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率． 二、八个基本求导公式)('C ＝ ；)('n x ＝ ；(n∈Q) )(sin 'x ＝ ， )(cos 'x ＝ ，)('x e ＝ ，)('x a ＝ ，)(ln 'x ＝ ， )(log 'x a ＝ 。
导数的四则运算)('±v u ＝ ， ])(['x Cf ＝ ，)('uv ＝ ，)('u ＝ )0(≠v练习：1.2x y =在1=x 处的导数为（ ）A. x 2 B.2x ∆+ C.2 D.12.下列求导数运算正确的是（ ）A. 2'11)1(x x x +=+B. ='2)(log x 2ln 1xC. e x x 3'log 3)3(=D. x x x x sin 2)cos ('2-= 3.函数xxy sin =的导数为 函数x x x y sin cos -=的导数为函数x x y cos 2=的导数为 函数1y x x=+在x=1处的导数是4.函数23)(23++=x ax x f ，若)1('-f =4，则a 的值等于5.物体运动方程为3414-=t s ，则5=t 时的瞬时速率为 7.已知x f x x f )31('2)(2-+=，求=-)31('f三、导数的应用：一是函数单调性；二是函数的极值与最值（值域）；三是比较大小与证明不等式；四是函数的零点个数（或参数范围）或方程的解问题。
导数导学案(共9个)人教课标版(优秀教案)
．函数的单一性与导数课型新讲课：编号时间：姓名等级主备人：高二数学组第一周第课时总第课时备课组长署名；王钦键段长署名：使用说明及方法指导：、课前达成预习教案，掌握基此题型；、仔细限时规范书写，课上小组合作商讨，答疑解惑。
、、层所有掌握，层选做。
学习目标：.认识函数的单一性与导数的关系．．能利用导数研究函数的单一性，会求不超出三次的多项式函数的单一区间和其余函数的单一区间．学习重、难点：.利用导数研究函数的单一性，求函数的单一区间． (重点).利用数形联合思想理解导函数与函数单一性之间的关系． (难点 ).常与方程、不等式等联合命题.．函数＝－的单一递加区间是，单一递减区间是．函数 ()＝的导数′ ()＝；在区间上，()单一递 (填“增”或“减” )，′ () (填“ >或” “ <”)．知新益能用函数的导数判断函数单一性的法例设函数＝ ()在区间 (，)内可导，()假如在 (， )内，′ ()>，则 ()在此区间是函数；()假如在 (， )内，′ ()<，则 ()在此区间是函数．上述结论可用图来直观理解．合作研究. 研究一：判断函数的单一性对于函数单一性的证明问题：()第一考虑函数的定义域，所有函数性质的研究一定保证在定义域内这个前提下进行；()′ ()>( 或 <)，则 () 为单一递加 (或递减 )函数．但要特别注意， () 为单一递加 (或递减 )函数，则′ ()≥ ( 或≤ ).例、证明：函数＝＋在其定义域内为单一递加函数．【思路点拨】证明函数 () 在某区间上是递加的，只需证明′() ≥.【证明】明显函数的定义域为{>} ，又′() ＝ (＋ )′＝＋，当 >时，′ ()>> ，故＝＋在其定义域内为单一递加函数【思想总结】利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单一性，本质上就是判断或证明不等式′()>( ′ ()<) 在给定区间上恒建立．一般步骤为：() 求导数′ () ；() 判断′ () 的符号；() 给出单一性结论．变式训练把本例中改为，其余条件不变，判断函数的单一性．研究二：求函数的单一区间利用导数求函数() 的单一区间的一般步骤为：() 确立函数 () 的定义域；() 求导数′ () ；() 在函数 () 的定义域内解不等式′() ＞和′ () ＜；() 依据 () 的结果确立函数() 的单一区间例求以下函数的单一区间：()()＝－；()()＝－.【思路点拨】解答此题可先确立函数的定义域，再对函数求导，而后求解不等式′ () ＞，′ () ＜，并与定义域求交集，进而获得相应的单一区间．【解】() ′ ()＝－ .令－ >，解得－ <<.所以函数 () 的单一递加区间为(－， )．令－ <，解得 <－或 >.所以函数 () 的单一递减区间为(－∞，－ )和 (，＋∞ )．)函数的定义域为(，＋∞ )，′()＝－＝·.令′ ()>，即·>，解得－ << 或 >.又∵ >，∴ >.令′ ()<，即·<，解得 <－或 <<. 又∵ >，∴ <<.∴()的单一递加区间为 (，＋∞ )，单一递减区间为 (， )．【思想总结】利用导数求出函数的单一区间后，在表示函数的单一区间时，要注意表达正确，注意逗号和并集符号“∪”的差别．比如：当一个函数有两个单一递加区间时，这两个区间之间能够用逗号分开，但不可以用并集符号“∪”连结．变式 .求以下函数的单一区间：()() ＝； ()() ＝＋ .．()＜ () ＜ () ．() ＜ ()＜ ()．设函数 () 在定义域内可导，＝()的图象如下图，则导函数＝′ ()的图象可能为研究三：已知函数单一性求参数范围由函数的单一性求参数的取值范围，这种问题一般已知() 在区间上单一递加(递减)，等价于不等式′() ≥( ′在()区≤)间上恒建立，而后可借助分别参数等方法求出参数的取值范围．例、若函数 ()＝－＋－在上单一递加，求的取值范围．解：由于’()由题意可知（）在上单一递加所以’()》在上是恒建立所以 >且≤解得≥ 1当时，1’ ()有且只有’ ().所以实33数的范围是≥变式训练.（）函数（）的单一性,∈(,π)并求出单一区间() 若函数＝(－)的单一减区间为，求的取值范围当堂检测.函数 () ＝＋－的单一递加区间是．. 函数＝－在上的单一性是．．函数＝－在下边哪个区间内是增函数()． ( π，π)．( π，π)．已知函数 ()＝＋，则有()． ()＜ () ＜()．()＜()＜()().() 求证：函数 ()在（，）内是减函数。
导数导学案
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．大于0或小于0
8.如果质点A按规律 运动，则在 时的瞬时速度为
9.若 ，则 等于
课后作业
1.国家环保局对长期超标排污，污染严重而未进行治理的单位，规定出一定期限，强令在此期限内完成排污治理.下图是国家环保局在规定的排污达标日期前，对甲、乙两家企业连续检测的结果（W表示排污量），哪个企业治理得比较好？为什么？
例2日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯净度为 时所需费用（单位：元）为 .求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
（1）90%；（2）98%.
小结：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.
※动手试试
练1.求下列函数的导数：
新知：
试试：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数 的导数.
※典型例题
例1假设某国家在20年期间的年均通贷膨胀率为5%，物价 (单位：元)与时间 (单位：年)有如下函数关系 ，其中 为 时的物价.假定某种商品的 ，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?
变式：如果上式中某种商品的 ，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？
复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性.
对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有＝，那么函数f(x)就是区间I上的函数.
复习2： ； ； ； ； ； ； ； ；
二、新课导学
※学习探究
探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：
问题：我们知道，曲线 的切线的斜率就是函数 的导数.从函数 的图像来观察其关系：
高二数学导数导学案
高三数学 导学案探究任务一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运发动有不同时刻的速度是 新知：1． 瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究任务二：导数 问题2： 瞬时速度是平均速度ts∆∆当t ∆趋近于0时的 导数的定义：函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是0000()()lim limx x f x x f x fxx ∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='即000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆注意：(1)函数应在点0x 的附近有定义，否则导数不存在(2)在定义导数的极限式中，x ∆趋近于0可正、可负、但不为0，而y ∆可以为0(3)xy∆∆是函数)(x f y =对自变量x 在x ∆范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线)(x f y =上点〔)(,00x f x 〕及点)(,(00x x f x x ∆+∆+〕的割线斜率(4)导数xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化的快慢程度.小结：由导数定义，高度h 关于时间t 的导数就是运发动的瞬时速度，气球半径关于体积V 的导数就是气球的瞬时膨胀率.※ 典型例题例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh 时，原油的温度〔单位：0c 〕为2()715(08)f x x x x =-+≤≤. 计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.例2 已知质点M 按规律s =2t 2+3做直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)，(1)当t =2，Δt =0.01时，求t s ∆∆. (2)当t =2，Δt =0.001时，求ts∆∆.(3)求质点M 在t =2时的瞬时速度小结：利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量00()()y f x x f x ∆=+∆-；第二步：求平均变化率0()f x x y x x+∆∆=∆∆； 第三步：取极限得导数00()limx yf x x∆→∆'=∆.练1. 一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是2()s t t =(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在5t =时的瞬时速度三、总结提升四、※ 当堂检测〔时量：5分钟 总分值：10分〕计分：1. 一直线运动的物体，从时间t 到t t +∆时，物体的位移为s ∆，那么0lim t s t∆→∆∆为〔 〕Ａ．从时间t 到t t +∆时，物体的平均速度； Ｂ．在t 时刻时该物体的瞬时速度； Ｃ．当时间为t ∆时物体的速度； Ｄ．从时间t 到t t +∆时物体的平均速度 2. 2y x =在 x =1处的导数为〔 〕 A ．2x B ．2 C ．2x +∆ D ．13. 在0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆中，x ∆不可能〔 〕A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于0 4.如果质点A 按规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为5. 假设0()2f x '=-，则0001[]()2lim k f x k f x k→--等于课后作业1. 高台跳水运动中，ts 时运发动相对于水面的高度是：2() 4.9 6.510h t t t =-++(单位: m),求运发动在1t s =时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.2. 一质量为3kg 的物体作直线运动,设运动距离s(单位：cm)与时间〔单位：s 〕的关系可用函数2()1s t t =+表示，并且物体的动能212U mv =. 求物体开始运动后第5s 时的动能.§3.1.3 导数的几何意义学习目标通过导数的图形变换理解导数的几何意义就是曲线在该点的切线的斜率，理解导数的概念并会运用概念求导数. 学习过程 一、课前准备复习1：曲线上11111(,),(,)P x y P x x y y +∆+∆的连线称为曲线的割线，斜率yk x∆==∆复习2：设函数()y f x =在0x 附近有定义当自变量在0x x =附近改变x ∆时，函数值也相应地改变y ∆= ，如果当x ∆ 时，平均变化率趋近于一个常数l ，则数l称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率. 记作：当x ∆ 时， →l 二、新课导学探究任务：导数的几何意义问题1：当点(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =，沿着曲线()f x 趋近于点00(,())P x f x 时，割线的变化趋是什么？新知：当割线P n P 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线C 在点P 处的切线割线的斜率是：n k =当点n P 无限趋近于点P 时，n k 无限趋近于切线PT 的斜率. 因此，函数()f x 在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，即0000()()lim ()x f x x f x k f x x∆→+∆-'==∆新知：函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆※ 典型例题例1 如图,它表示跳水运动中高度随时间变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图象.根据图象,请描述、比较曲线()h t 在012,,t t t 附近的变化情况.※ 动手试试 练1. 求双曲线1y x =在点1(,2)2处的切线的斜率,并写出切线方程.练2. 求2y x =在点1x =处的导数.三、总结提升 ※ 学习小结函数()y f x =在0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在00(,())P x f x 处切线的斜率. 即k =000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆其切线方程为 ※ 知识拓展导数的物理意义：如果把函数()y f x =看做是物体的运动方程〔也叫做位移公式，自变量x 表示时间〕，那么导数0()f x '表示运动物体在时刻o x 的速度，，即在o x 的瞬时速度.即000()lim x t yv f x x∆→∆'==∆而运动物体的速度()v t 对时间t 的导数，即0()lim t vv t t∆→∆'=∆称为物体运动时的瞬时加速度.※ 当堂检测〔时量：5分钟 总分值：10分〕计分：1. 已知曲线22y x =上一点,则点(2,8)A 处的切线斜率为〔 〕 A. 4 B. 16 C. 8 D. 22. 曲线221y x =+在点(1,3)P -处的切线方程为〔 〕A ．41y x =--B ．47y x =--C ．41y x =-D ．47y x =+3. ()f x 在0x x =可导，则000()()lim h f x h f x h→+-〔 〕A ．与0x 、h 都有关B ．仅与0x 有关而与h 无关C ．仅与h 有关而与0x 无关D ．与0x 、h 都无关4. 假设函数()f x 在0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点00(,())x f x 的切线方程为5. 已知函数()y f x =在0x x =处的导数为11，则000()()limx f x x f x x ∆→-∆-∆= 课后作业三、如图,试描述函数()f x 在x =5,4,2,0,1---附近的变化情况.2．已知函数()f x 的图象,试画出其导函数()f x '图象的大致形状.§3.2.1几个常用函数导数学习目标2.学会利用公式，求一些函数的导数；3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. 学习过程 一、课前准备复习1：导数的几何意义是：曲线)(x f y =上点〔)(,00x f x 〕处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点〔)(,00x f x 〕处的切线方程为 复习2：求函数)(x f y =的导数的一般方法：（1）求函数的改变量y ∆= 〔2〕求平均变化率yx∆=∆ （2）〔3〕取极限，得导数/y ＝()f x '=xyx ∆∆→∆0lim=（3）二、新课导学※学习探究探究任务一：函数()y f x c==的导数.问题：如何求函数()y f x c==的导数新知：0y'=表示函数y c=图象上每一点处的切线斜率为 .假设y c=表示路程关于时间的函数，则y'=，可以解释为即一直处于静止状态.试试：求函数()y f x x==的导数反思：1y'=表示函数y x=图象上每一点处的切线斜率为 .假设y x=表示路程关于时间的函数，则y'=，可以解释为探究任务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数2,3,4y x y x y x===的图象，并根据导数定义，求它们的导数.〔1〕从图象上看，它们的导数分别表示什么？〔2〕这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？〔3〕函数(0)y kx k=≠增〔减〕的快慢与什么有关？※典型例题例1 求函数1()y f xx==的导数变式：求函数2()y f x x==的导数小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限.例2 画出函数1yx=的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.变式1：求出曲线在点(1,2)处的切线方程.变式2：求过曲线上点(1,1)且与过这点的切线垂直的直线方程.小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的.※动手试试练1. 求曲线221y x=-的斜率等于4的切线方程.三、总结提升※学习小结1. 利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：，， .2. 利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同的.※当堂检测〔时量：5分钟总分值：10分〕计分：1.()0f x=的导数是〔〕 A．0 B．1 C．不存在 D．不确定2.已知2()f x x =,则(3)f '=〔 〕 A ．0 B ．2x C ．6 D ．93. 在曲线2y x =上的切线的倾斜角为4π的点为〔 〕A ．(0,0)B ．(2,4)C ．11(,)416D ．11(,)244. 过曲线1y x=上点(1,1)且与过这点的切线平行的直线方程是5. 物体的运动方程为3s t =，则物体在1t =时的速度为 ，在4t =时的速度为 .课后作业1. 已知圆面积2S r π=，根据导数定义求()S r '.§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则复习1：常见函数的导数公式：0'=C ；1)'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=； ()ln (0)x x a a a a '=>；()x x e e '=；1()(0,ln log a x a x a '=>且1)a ≠；1(ln )x x'=.复习2：根据常见函数的导数公式计算以下导数〔1〕6y x = 〔2〕y 〔3〕21y x= 〔4〕y =二、新课导学 ※ 学习探究探究任务：两个函数的和(或差)积商的导数 新知：[()()]()()f x g x f x g x '''±=±[()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''=+2()()()()()[]()[()]f x f x g x f x g x g x g x ''-'= 试试：根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求函数323y x x =-+的导数.小结：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢. ※ 动手试试练1. 求以下函数的导数： 〔1〕2log y x =；〔2〕2x y e =；〔3〕522354y x x x =-+-； 〔4〕3cos 4sin y x x =-.练2. 求以下函数的导数：〔1〕32log y x x =+；〔2〕n xy x e =；〔3〕31sin x y x-=三、总结提升 ※ 学习小结1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数.2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则.求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用.在实施化简时，首先要注意化简的等价性，防止不必要的运算失误.※ 当堂检测〔时量：5分钟 总分值：10分〕计分：1. 函数1y x x =+的导数是〔 〕A ．211x - B ．11x - C ．211x+ D ．11x +2. 函数sin (cos 1)y x x =+的导数是〔 〕A ．cos 2cos x x -B ．cos 2sin x x +C ．cos 2cos x x +D ．2cos cos x x +3. cos xy x =的导数是〔 〕A ．2sin x x -B ．sin x -C ．2sin cos x x x x +- D ．2cos cos x x x x +-4. 函数2()138f x x =-，且0()4f x '=，则0x =5.曲线sin xy x=在点(,0)M π处的切线方程为课后作业1. 求描述气球膨胀状态的函数()r V =.2. 已知函数ln y x x =. 〔1〕求这个函数的导数； 〔2〕求这个函数在点1x =处的切线方程.§3.3.1函数的单调性与导数一、课前准备复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性.对于任意的两个数x 1，x 2∈I ，且当x 1＜x 2时，都有＝ ，那么函数f (x )就是区间I 上的 函数.复习2： 'C = ；()'n x = ；(sin )'x = ；(cos )'x = ；(ln )'x = ；(log )'a x = ； ()'x e = ； ()'x a = ；二、新课导学 ※ 学习探究探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：问题：我们知道，曲线()y f x =的切线的斜率就是函数()y f x =的导数.从函数342+-=x x y 的图像来观察其关系：在区间〔2，∞+〕内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即0y '>时，函数〕内为 函数；在区间〔∞-，2〕内，切线的斜率为 ，函数()y f x =的值随着x 的增大而 ，即/y <0时，函数()y f x =在区间〔∞-，2〕内为 函数.新知：一般地，设函数()y f x =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数()y f x =在这个区间内的增函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数()y f x =在这个区间内的减函数.试试：判断以下函数的的单调性，并求出单调区间：〔1〕3()3f x x x =+；〔2〕2()23f x x x =--；〔3〕()sin ,(0,)f x x x x π=-∈； 〔4〕32()23241f x x x x =+-+.反思：用导数求函数单调区间的三个步骤：①求函数f (x )的导数()f x '.②令()0f x '>解不等式，得x 的范围就是递增区间. ③令()0f x '<解不等式，得x 的范围就是递减区间.探究任务二：如果在某个区间内恒有()0f x '=，那么函数()f x 有什么特性？ ※ 典型例题例1 已知导函数的以下信息： 当14x <<时，()0f x '>；当4x >，或1x <时，()0f x '<；当4x =，或1x =时，()0f x '=. 试画出函数()f x 图象的大致形状.变式：函数()y f x =的图象如下列图，试画出导函数()f x '图象的大致形状.例2 如图，水以常速〔即单位时间内注入水的体积相同〕注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象.※ 动手试试练1. 判断以下函数的的单调性，并求出单调区间：〔1〕2()24f x x x =-+； 〔2〕()x f x e x =-； 〔3〕3()3f x x x =-； 〔4〕32()f x x x x =--.练2. 求证：函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数.三、总结提升 ※ 学习小结用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的定义域；②求函数f (x )的导数()f x '.③令()0f x '=，求出全部驻点； ④驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内()f x '的符号，由此确定()f x 的单调区间注意：列表时，要注意将定义域的“断点”要单独作为一列考虑.※ 知识拓展一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”〔向上或向下〕；反之，函数的图象就“平缓”一些. 如图，函数()y f x =在(0,)b 或(,0)a 内的图象“陡峭”，在(,)b +∞或(,)a -∞内的图象“平缓”.※ 当堂检测〔时量：5分钟 总分值：10分〕计分：1. 假设32()(0)f x ax bx cx d a =+++>为增函数，则一定有〔 〕A ．240b ac -<B ．230b ac -<C ．240b ac ->D ．230b ac ->2. 〔2004全国〕函数cos sin y x x x =-在下面哪个区间内是增函数〔 〕A ．3(,)22ππB ．(,2)ππC ．35(,)22ππ D ．(2,3)ππ 3. 假设在区间(,)a b 内有()0f x '>，且()0f a ≥，则在(,)a b 内有〔 〕A ．()0f x >B ．()0f x <C ．()0f x =D ．不能确定4.函数3()f x x x =-的增区间是 ，减区间是5.已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '等于课后作业1. 判断以下函数的的单调性，并求出单调区间：〔1〕32()f x x x x =+-；〔2〕3()3f x x x =+；〔3〕()cos ,(0,)2f x x x x π=+∈.§3.3.2函数的极值与导数学习目标1.理解极大值、极小值的概念2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；3.掌握求可导函数的极值的步骤.学习过程一、课前准备y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y '>，那么函数y=f(x) 在这个区间内为 函数；如果在这个区间内0y '<，那么函数y=f(x) 在为这个区间内的 函数.复习2：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x )的导数()f x '. ②令 解不等式，得x 的范围就是递增区间.③令 解不等式，得x 的范围，就是递减区间 .二、新课导学※ 学习探究探究任务一：问题1：如以下列图，函数()y f x =在,,,,,,,a b c d e f g h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？()y f x =在这些点的导数值是多少？在这些点附近，()y f x =的导数的符号有什么规律？看出，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其它点的函数值都 ，()f a '= ；且在点x a =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0. 类似地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其它点的函数值都 ，()f b '= ；而且在点x b =附近的左侧()f x ' 0，右侧()f x ' 0.新知：我们把点a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值；点b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值.极值反映了函数在某一点附近的 ，刻画的是函数的 .试试：〔1〕函数的极值 〔填是，不是〕唯一的.(2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值.(3)函数的极值点一定出现在区间的 (内，外)部，区间的端点 〔能，不能〕成为极值点.反思：极值点与导数为0的点的关系：导数为0的点是否一定是极值点. 比方：函数3()f x x =在x=0处的导数为 ，但它 〔是或不是〕极值点.即：导数为0是点为极值点的 条件.※ 典型例题例1 求函数31443y x x =-+的极值.变式1：已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点(1,0)，(2,0)，如下列图，求 (1) 0x 的值(2)a ，b ，c 的值.小结：求可导函数f (x )的极值的步骤:(1)确定函数的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)求方程f ′(x )=0的根〔4〕用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成假设干小开区间，并列成表格.检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值.变式2：已知函数32()3911f x x x x =--+.〔1〕写出函数的递减区间；〔2〕讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；〔3〕画出它的大致图象.※ 动手试试练1. 求以下函数的极值：〔1〕2()62f x x x =--；〔2〕3()27f x x x =-；〔3〕3()612f x x x =+-；〔4〕3()3f x x x =-.练2. 以下列图是导函数()y f x '=的图象，试找出函数()y f x =的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.三、总结提升※ 学习小结1. 求可导函数f (x )的极值的步骤；2. 由导函数图象画出原函数图象；由原函数图象画导函数图象.※ 知识拓展函数在某点处不可导,但有可能是该函数的极值点.由些可见：“有极值但不一定可导” ※ 当堂检测〔时量：5分钟 总分值：10分〕计分：1. 函数232y x x =--的极值情况是〔 〕A ．有极大值，没有极小值B ．有极小值，没有极大C ．既有极大值又有极小值D ．既无极大值也极小值2. 三次函数当1x =时，有极大值4；当3x =时，有极小值0，且函数过原点，则此函数是〔 〕A ．3269y x x x =++B ．3269y x x x =-+C ．3269y x x x =--D ．3269y x x x =+-3. 函数322()f x x ax bx a =--+在1x =时有极值10，则a 、b 的值为〔 〕A ．3,3a b ==-或4,11a b =-=B ．4,1a b =-=或4,11a b =-=C ．1,5a b =-=D ．以上都不正确4. 函数32()39f x x ax x =++-在3x =-时有极值10，则a 的值为5. 函数32()3(0)f x x ax a a =-+>的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围为 课后作业1. 如图是导函数()y f x '=的图象,在标记的点中，在哪一点处〔1〕导函数()y f x '=有极大值？〔2〕导函数()y f x '=有极小值？〔3〕函数()y f x =有极大值？〔4〕导函数()y f x =有极小值？ 2. 求以下函数的极值：（1）2()62f x x x =++；〔2〕3()48f x x x =-.§3.3.3函数的最大〔小〕值与导数一、课前准备复习1：假设0满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的 点，)(0x f 是极 值复习2：已知函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠在1x =±时取得极值，且(1)1f =-，〔1〕试求常数a 、b 、c 的值；〔2〕试判断1x =±时函数有极大值还是极小值，并说明理由.二、新课导学※学习探究探究任务一：函数的最大〔小〕值问题：观察在闭区间[]ba,上的函数)(xf的图象，你能找出它的极大〔小〕值吗？最大值，最小值呢？在图1中，在闭区间[]ba,上的最大值是，最小值是；在图2中，在闭区间[]ba,上的极大值是，极小值是；最大值是，最小值是 .新知：一般地，在闭区间[]ba,上连续的函数)(xf在[]ba,上必有最大值与最小值.试试：上图的极大值点，为极小值点为；最大值为，最小值为 .反思：1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．2.函数)(xf在闭区间[]ba,上连续，是)(xf在闭区间[]ba,上有最大值与最小值的条件3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可能一个没有.※典型例题例1 求函数31()443f x x x=-+在[0,3]上的最大值与最小值.小结：求最值的步骤〔1〕求()f x的极值；〔2〕比较极值与区间端点值，其中最大的值为最大值，最小的值为最小值.例2 已知23()logx ax bf xx++=,x∈(0,+∞).是否存在实数a b、,使)(xf同时满足以下两个条件：〔1〕)(xf在(0,1)上是减函数，在[1,)+∞上是增函数；〔2〕)(xf的最小值是1；假设存在，求出a b、，假设不存在，说明理由.图1 图2变式：设213a <<，函数323()2f x x ax b =-+在区间[1,1]-上的最大值为1，最小值为，求函数的解析式.小结：此题属于逆向探究题型.解这类问题的基本方法是待定系数法，从逆向思维出发，实现由已知向未知的转化，转化过程中通过列表，直观形象，最终落脚在比较极值点与端点值大小上，从而解决问题．※ 动手试试练1. 求函数3()3,[1,2]f x x x x =-∈的最值．练2. 已知函数32()26f x x x a =-+在[2,2]-上有最小值37-.〔1〕求实数a 的值；〔2〕求()f x 在[2,2]-上的最大值．三、总结提升※ 学习小结设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值.※ 知识拓展利用导数法求最值，实质是在比较某些函数值来得到最值，因些我们可以在导数法求极值的思路的基础上进行变通.令()0f x '=得到方程的根1x ，2x ，，直接求得函数值，然后去与端点的函数值比较就可以了，省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合，〕.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测〔时量：5分钟 总分值：10分〕计分：1. 假设函数3()3f x x x a =--在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M 、N ，则M N -的值为〔 〕A ．2B ．4C ．18D ．202. 函数32()3(1)f x x x x =-< 〔 〕A ．有最大值但无最小值B ．有最大值也有最小值C ．无最大值也无最小值D ．无最大值但有最小值3. 已知函数223y x x =--+在区间[,2]a 上的最大值为154，则a 等于〔 〕 A ．32- B ．12 C ．12- D ．12或32-4. 函数y x =-[0,4]上的最大值为5. 已知32()26f x x x m =-+〔m 为常数〕在[2,2]-上有最大值，那么此函数在[2,2]-上的最小值是1. a 为常数，求函数3()3(01)f x x ax x =-+≤≤的最大值.2. 已知函数32()39f x x x x a =-+++，〔1〕求()f x 的单调区间；〔2〕假设()f x 在区间[2,2]-上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.教师评定：学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 学生本次上课情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 教务主任签字：。
高中数学 课 题3.1.2 导数的概念 第4课时 导学案
课 题： 3.1.2 导数的概念 第 4 课时一、学习目标：1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的广阔背景，体会导数的思想及内涵。
2.掌握导数的概念二、课前预习1．函数()y f x =在点 经x 0处的导数0'()f x 的几何意义就是曲线()y f x =在点P(x 0,,0'()f x )处的 。
2．导数的物理意义是指如果物体运动的规律是s=s(t)，那么物体在时刻t 的瞬时速度即为v (t )= 。
3．设函数()f x 可导，则△x 无限趋近于0时，(1)(1)3f x f x+-无限趋近于 三、课堂探究例1. 已知 ()f x =2x +2.（1）求()f x 在x=1处的导数。
（2）求()f x 在x=a 处的导数。
例2.过曲线3y x =上一点P 作切线，使该切线与直线153y x =--垂直，求此切线的方程。
例3．一动点沿Ox 轴运动，运动规律由2105x t t =+给出，式中t 表示时间（单位:s ），x 表示距离（单位:m ），求在20≤t ≤20+△t 的时间段内动点的平均速度，其中①△t=1，②△t=0.1，③△t=0.01。
当t=20时，这时的瞬时速度是多少？四、巩固训练1．设()4,f x ax =+若'(1)f =2，则a= .2．函数223y x x =+的导数为 3. 若函数()y f x =在点(1,1)x ∈-内的导函数为'()f x ，则正确的是（1）．在x=x 0处的导数为0'()f x （2）．在x=1处的导数为'(1)f（3）．在x=—1处的导数为'(1)f -（4）．在x=0处的导数为'(0)f4．若()()f x f x -=对任意实数x 都成立，且00'()(0),'()f x k k f x -=-≠则等于5．已知成本 C 与产量q 的函数关系式为2()34C q q q =+，则当产量q=6时，边际成本 '(6)C 为6．过点P （—1，2），且与曲线2342y x x =-+在点M （1，1）处的切线平行的直线方程是 。
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反思： 若y 探究任
务二：在同一平面直角坐标系中，画出函数 定义，求它们的导数.
(1) 从图象上看，它们的导数分别表示什么？
(2) 这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢?
(3) 函数y kx(k 0)增(减)的快慢与什么有关？§121常数函数与幕函数的导数
上玄—学习目标一_ 1. 掌握四个公式，理解公式的证明过程；
2. 学会利用公式，求一些函数的导数；
3. 理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题
心学习过程
一、课前准备
(预习教材P 14~ P 16，找出疑惑之处) 1:导数的几何意义是：曲线y f (x)上点(x o , f(x 0))处的切线的斜率.因此，如果 f (x)在点x o 可导，则曲线y f(x)在点(x o , f(X 0))处的切线方程为 __________________________ 复习 复习 (1)
2：求函数y f(x)的导数的一般方法： 求函数的改变量 求平均变化率 取极限，得导数y/ = f(x)讥一^
二、新课导学 探学习探究 探究任务一：函数y 问题：
如何求函数y f(x) c 的导数. f(x) c 的导数 y c 图象上每一点处的切线斜率为 — ，可以解释为 y 0表示函数 c 表示路程关于时间的函数，则 y
新知： 若y 即一直处于静止状态. 试试： 求函数y f(X)X 的导数 y 1表示函数y x 图象上每一点处的切线斜率为 ___________ .
x 表示路程关于时间的函数，则
y ______ ，可以解释为 __________________________ y 2x,y 3x, y 4x 的图象，并根据导数
例1求函数y
1 f(x) 1的导数
x
小结：利用定义求导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步骤：作差，求商，取极限
1
例2画出函数y -的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线x
方程.
变式1求出曲线在点(1,2)处的切线方程.
变式2:求过曲线上点(1,1)且与过这点的切线垂直的直线方程
变式：求函数y f(x) x2的导数
小结：利用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，它们的求法是不同的
探动手试试
练1.求曲线y 2x 2 1的斜率等于4的切线方程.
（理科用）练2.求函数
y f (x) V X 的导数 三、总结提升 探学习
小结
1. 利用定义求
骤： __________ , _ 导法是最基本的方法，必须熟记求导的三个步
2. 禾U 用导数求切线方程时，一定要判断所给点是否为切点，一定要记住它们的求法是不同 的.
探知识拓展
微积分的诞生具有划时代的意义，是数学史上的分水岭和转折点
.关于微积分的地
位，
恩格斯是这样评价的：“在一切理论成就中， 未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那 样被看作人类精神的纯粹的和惟一的功绩，那正是在这里 .” .一_-^!!^^一 ____ ^学-习^评
探自我评价你完成本节导学案的情况为（ B.较好 探当堂检测（时量：
1. f （x ） 0的导数是
A . 0 B. 1
2 2. 已知f （x ） X ，则
A . 0 B. 2x
C. 一般
5分钟满分： ） C.不存在 ⑶ （ ） C. 6 D. ）. D.较差 10分）计分： D .不确定 3.在曲线y
X 2上的切线的倾斜角为 -的点为（ 4 A . (0,0)
1 1 1 1 B. (2,4) C .(216) D . (2,4) -上点（1,1）且与过这点的切线平行的直线方程
是
X
5.物体的运动方程为
s t 3，则物体在t 1时的速度为_ 4.过曲线y ，在t 4时的速度
心.课后作业「
2
1.已知圆面积S r，根据导数定义求 S(r).
2.氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有500克氡气，那么t天后, 氡气的剩余量为 A(t) 500 0.834t，问氡气的散发速度是多少？。