平面向量的正交分解及坐标表示教案
平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量的坐标运算(教案)
2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示2.3.3 平面向量的坐标运算【教学目标】1、知识与技能理解平面向量的坐标表示的概念，会写出直角坐标系内给定向量的坐标，会作出已知坐标表示的向量，掌握平面向量的坐标运算，掌握平面向量的和、差及实数与向量的积的坐标表示方法，理解一个向量的坐标等于表示该向量的有向线段的终点坐标减去起点的坐标。
2、过程与方法在平面向量的坐标表示的推导过程中，让学生掌握平面向量基本定理中基底的特殊化。
3、情感、态度与价值观让学生感受向量的坐标运算的简洁美与和谐美。
【教学重点】平面向量的坐标运算。
【教学难点】理解向量坐标化的意义。
【教学过程】〖创设情境 导入新课〗【导语】如图，光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受到 斜面的力1F 的作用，沿斜面下滑；一是木块产生 斜面的压力2F ，也就是说，重力G 的效果等价于1F 和2F 的 力的效果，即：12G F F =+,12G F F =+叫做把重力G 。
类似地，由平面向量的基本定理，对平面上的任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量11e λ和22e λ，使1122a e e λλ=+。
而在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的情形。
把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量正交分解。
在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，会为我们研究向量问题带来很大的方面。
在代数中我们经常把向量放在平面直角坐标系中进行研究，而在平面直角坐标系中我们可以在x 轴和y 轴上分别取两个 向量i 和j ，则i j ⊥，且{},i j 可以作为一个基底。
由平面向量基本定理可知，我们就可以把平面上的任意一个向量a 在基底{},i j 下进行分解，从而对向量作进一步的研究。
既然我们现在是在平面直角坐标系中选取了两个单位向量作为基向量来对向量进行分解和研究，而看到平面直角坐标系我们很自然就想到了坐标，那么要在直角坐标系中研究向量，就应该想到，在平面直角坐标系中，向量又是否有坐标呢？我们知道，在平面直角坐标系中，平面内的每一个点都可用一个有序实数对(),x y 来表示，这个有序实数对就叫做这个点的坐标，并且每一个点都可与其坐标可以建立 对应关系。
高中数学 (2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示)教案 新人教A版必修4
2.3 平面向量的基本定理及其坐标表示2.3.1 平面向量基本定理2.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示整体设计教学分析平面向量基本定理既是本节的重点又是本节的难点.平面向量基本定理告诉我们同一平面内任一向量都可表示为两个不共线向量的线性组合,这样,如果将平面内向量的始点放在一起,那么由平面向量基本定理可知,平面内的任意一点都可以通过两个不共线的向量得到表示,也就是平面内的点可以由平面内的一个点及两个不共线的向量来表示.这是引进平面向量基本定理的一个原因.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的特殊情形,向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解,因为在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会给问题的研究带来方便.联系平面向量基本定理和向量的正交分解,由点在直角坐标系中的表示得到启发,要在平面直角坐标系中表示一个向量,最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底,这时,对于平面直角坐标系内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=x i+y j.于是,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,而有序数对(x,y)正好是向量a的终点的坐标,这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起一一映射,从而实现向量的“量化”表示,使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想.三维目标1.通过探究活动,能推导并理解平面向量基本定理.2.掌握平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,理解这是应用向量解决实际问题的重要思想方法.能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.3.了解向量的夹角与垂直的概念,并能应用于平面向量的正交分解中,会把向量正交分解,会用坐标表示向量.重点难点教学重点:平面向量基本定理、向量的夹角与垂直的定义、平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示.教学难点:平面向量基本定理的运用.课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,会产生什么样的结论呢？又如一个放在斜面上的物体所受的竖直向下的重力G,可分解为使物体沿斜面下滑的力F1和使物体垂直于斜面且压紧斜面的力F2.我们知道飞机在起飞时若沿仰角α的方向起飞的速度为v,可分解为沿水平方向的速度vcosα和沿竖直方向的速度vsinα.从这两个实例可以看出,把一个向量分解到两个不同的方向,特别是作正交分解,即在两个互相垂直的方向上进行分解,是解决问题的一种十分重要的手段.如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,那么a 与e 1、e 2之间有什么关系呢？在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底,是否会给我们带来更方便的研究呢?思路2.前面我们学习了向量的代数运算以及对应的几何意义,如果将平面内向量的始点放在一起,那么平面内的任意一个点或者任意一个向量是否都可以用这两个同起点的不共线向量来表示呢？这样就引进了平面向量基本定理.教师可以通过多对几个向量进行分解或者合成,在黑板上给出图象进行演示和讲解.如果条件允许,用多媒体教学,通过相应的课件来演示平面上任意向量的分解,对两个不共线的向量都乘以不同的系数后再进行合成将会有什么样的结论？推进新课新知探究提出问题图1①给定平面内任意两个不共线的非零向量e 1、e 2,请你作出向量3e 1+2e 2、e 1-2e 2.平面内的任一向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示呢?②如图1,设e 1、e 2是同一平面内两个不共线的向量,a 是这一平面内的任一向量,我们通过作图研究a 与e 1、e 2之间的关系.活动:如图1,在平面内任取一点O,作OA =e 1,OB =e 2,OC =a .过点C 作平行于直线OB 的直线,与直线OA;过点C 作平行于直线OA 的直线,与直线OB 交于点N.由向量的线性运算性质可知,存在实数λ1、λ2,使得OM =λ1e 1,ON =λ2e 2.由于ON OM OC +=,所以a =λ1e 1+λ2e 2.也就是说,任一向量a 都可以表示成λ1e 1+λ2e 2的形式.由上述过程可以发现,平面内任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量e 1、e 2表示出来.当e 1、e 2确定后,任意一个向量都可以由这两个向量量化,这为我们研究问题带来极大的方便.由此可得:平面向量基本定理:如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数λ1、λ2,使a =λ1e 1+λ2e 2.定理说明:(1)我们把不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;(2)基底不唯一,关键是不共线;(3)由定理可将任一向量a 在给出基底e 1、e 2的条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式唯一.讨论结果:①可以.②a =λ1e 1+λ2e 2.提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？ ②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？活动:引导学生结合向量的定义和性质,思考平面中的任意两个向量之间的关系是什么样的,结合图形来总结规律.教师通过提问来了解学生总结的情况,对回答正确的学生进行表扬,对回答不全面的学生给予提示和鼓励.然后教师给出总结性的结论:不共线向量存在夹角,关于向量的夹角,我们规定:图2已知两个非零向量a和b(如图2),作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.显然,当θ=0°时,a与b同向;当θ=180°时,a与b反向.因此,两非零向量的夹角在区间[0°,180°]内.如果a与b的夹角是90°,我们说a与b垂直,记作a⊥b.由平面向量的基本定理,对平面上的任意向量a,均可以分解为不共线的两个向量λ1a1和λ2a2,使a=λ1a1+λ2a2.在不共线的两个向量中,垂直是一种重要的情形.把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.如上,重力G沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解,正交分解是向量分解中常见的一种情形.在平面上,如果选取互相垂直的向量作为基底时,会为我们研究问题带来方便.讨论结果:①存在夹角且两个非零向量的夹角在区间[0°,180°]内;向量与直线的夹角不一样.②可以.提出问题①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？图3活动:如图3,在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量ｉ、j作为基底.对于平面内的一个向量a,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x、y,使得a=xｉ+y j ①这样,平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=(x,y) ②其中x叫做a在x轴上的坐标,y叫做a在y轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=(1,0),j=(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点:(1)向量a与有序实数对(x,y)一一对应.(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如图所示,11B A 是表示a 的有向线段,A 1、B 1的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则向量a 的坐标为x=x 2-x 1,y=y 2-y 1,即a 的坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1).(3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点,这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了,即点A 的坐标就是向量a 的坐标,流程表示如下:讨论结果:①平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a =(x,y).②是一一对应的.应用示例思路1例1 如图4,ABCD,AB =a ,AD =b ,H 、M 是AD 、DC 之中点,F 使BF=31BC,以a ,b 为基底分解向量HF AM 和.图4活动:教师引导学生利用平面向量基本定理进行分解,让学生自己动手、动脑.教师可以让学生到黑板上板书步骤,并对书写认真且正确的同学提出表扬,对不能写出完整解题过程的同学给予提示和鼓励.解:由H 、M 、F 所在位置,有+=+=AD DM AD AM a b AB AD DC 212121+=+=AB 21=b +21a . AD AD AB AD BC AH BF AB AH AF HF 21312131-+=-+-+=-= =a 61-b . 点评:以a 、b 为基底分解向量AM 与HF ,实为用a 与b 表示向量AM 与HF .变式训练图5已知向量e 1、e 2(如图5),求作向量-2.5e 1+3e 2作法:(1)如图,任取一点O,作OA =-2.5e 1,OB =3e 2.(2)作OACB. 故OC OC 就是求作的向量.图6例2 如图6,分别用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d ,并求出它们的坐标.活动:本例要求用基底i 、j 表示a 、b 、c 、d ,其关键是把a 、b 、c 、d 表示为基底i 、j 的线性组合.一种方法是把a 正交分解,看a 在x 轴、y 轴上的分向量的大小.把向量a 用i 、j 表示出来,进而得到向量a 的坐标.另一种方法是把向量a 移到坐标原点,则向量a 终点的坐标就是向量a 的坐标.同样的方法,可以得到向量b 、c 、d 的坐标.另外,本例还可以通过四个向量之间位置的几何关系:a 与b 关于y 轴对称,a 与c 关于坐标原点中心对称,a 与d 关于x 轴对称等.由一个向量的坐标推导出其他三个向量的坐标.解:由图可知,a =1AA +2AA =x i +y j ,∴a =(2,3).同理,b =-2i +3j =(-2,3);c =-2i -3j =(-2,-3);d =2i -3j =(2,-3).点评:本例还可以得到启示,要充分运用图形之间的几何关系,求向量的坐标.变式训练i ,j 是两个不共线的向量,已知AB =3i +2j ,CB =i +λj ,CD =-2i +j ,若A 、B 、D 三点共线,试求实数λ的值.解:∵BD =CD -CB =(-2i +j )-(i +λj )=-3i +(1-λ)j ,又∵A、B 、D 三点共线, ∴向量AB 与BD 共线.因此存在实数υ,使得AB =υBD ,即3i +2j =υ[-3i +(1-λ)j ]=-3υi +υ(1-λ)j .∵i 与j 是两个不共线的向量,故⎩⎨⎧=-=-,2)1(,33λv v∴⎩⎨⎧=-=.3,1λv ∴当A 、B 、D 三点共线时,λ=3.例3 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③ 活动:这是训练学生对平面向量基本定理的正确理解,教师引导学生认真地分析和理解平面向量基本定理的真正内涵.让学生清楚在平面中对于基底的选取是不唯一的,只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底.解:平面内向量的基底是不唯一的.在同一平面内任何一组不共线的向量都可作为平面内所有向量的一组基底;而零向量可看成与任何向量平行,故零向量不可作为基底中的向量.综上所述,②③正确.答案:B点评:本题主要考查的是学生对平面向量定理的理解.思路2图7例1 如图7,M 是△A BC 内一点,且满足条件=++CM BM AM 320,延长CM 交AB 于N,令CM =a ,试用a 表示CN .活动:平面向量基本定理是平面向量的重要定理,它是解决平面向量计算问题的重要工具.由平面向量基本定理,可得到下面两个推论:推论1:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数λ1、λ2,使得λ1e 1+λ2e 2=0,则λ1=λ2=0.推论2:e 1与e 2是同一平面内的两个不共线向量,若存在实数a 1,a 2,b 1,b 2,使得a =a 1e 1+a 2e 2=b 1e 1+b 2e 2,则⎪⎩⎪⎨⎧==.,2211b a b a 解:∵,,NM BN BM NM AN AM +=+= ∴由CM BM AM 32++=0,得=++++CM NM BN NM AN 3)(2)(0. ∴CM BN NM AN 323+++=0.又∵A、N 、B 三点共线,C 、M 、N 三点共线,由平行向量基本定理,设,,NM CM BN AN μλ== ∴=+++NM BN NM BN μλ3230.∴(λ+2)BN +(3+3μ)NM =0. 由于BN 和NM 不共线,∴⎩⎨⎧=+=+,033,02μλ∴⎩⎨⎧-=-=12μλ ∴.MN NM CM =-=∴CM MN CM CN 2=+==2a .点评:这里选取NM BN ,作为基底,运用化归思想,把问题归结为λ1e 1+λ2e 2=0的形式来解决.变式训练设e 1与e 2是两个不共线向量,a =3e 1+4e 2,b =-2e 1+5e 2,若实数λ、μ满足λa +μb =5e 1-e 2,求λ、μ的值.解:由题设λa +μb =(3λe 1+4λe 2)+(-2μe 1+5μe 2)=(3λ-2μ)e 1+(4λ+5μ)e 2.又λa +μb =5e 1-e 2.由平面向量基本定理,知⎩⎨⎧-=+=-.154,523λλλλ 解之,得λ=1,μ=-1.图8例2 如图8,△A BC 中,AD 为△A BC 边上的中线且AE=2EC,求GEBG GD AG 及的值. 活动:教师让学生先仔细分析题意,以明了本题的真正用意,怎样把平面向量基本定理与三角形中的边相联系？利用化归思想进行转化完后,然后结合向量的相等进行求解比值. 解:设μλ==GEBG GD AG , ∵BD =DC ,即AD -AB =AC -AD , ∴AD =21(AB +AC ). 又∵AG =λGD =λ(AD -AG ), ∴AG =λλ+1AD =)1(2λλ+AB +)1(2λλ+AC . ① 又∵BG =μGE ,即AG -AB =μ(AE -AG ),∴(1+μ)AG =AB +μAG AE ,=AE AB μμμ+++111 又AE =32AC ,∴AG =AB μ+11+)1(32μμ+AC . ② 比较①②,∵AB 、AC 不共线, ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++=+.)1(32)1(2,11)1(2μμλλμλλ解之,得⎪⎩⎪⎨⎧==23,4μλ∴.23,4==GE BG GD AG 点评:本例中,构造向量在同一基底下的两种不同表达形式,利用相同基向量的系数对应相等得到一实数方程组,从而进一步求得结果.变式训练过△O AB 的重心G 的直线与边OA 、OB 分别交于P 、Q,设OP =h OA ,OB k OQ =,试证:311=+kh 解:设OA =a ,OB =b ,OG 交AB 于D,则OD =21(OB OA +)=21(a +b )(图略). ∴OG =32OD =31(a +b ),OQ OG QG -==31(a +b )-k b =31a +331k -b , OQ OP QP -==h a -k b .∵P、G 、Q 三点共线,∴QP QG λ=. ∴31a +331k -b =λh a -λk b .∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=.331,31k k h λλ 两式相除,得.3311hk h k k h k =+⇒-=-, ∴kh 11+=3. 知能训练1.已知G 为△A BC 的重心,设AB =a ,AC =b ,试用a 、b 表示向量AG .2.已知向量a =(x+3,x 2-3x-4)与AB 相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.图9解答:1.如图9,AG =32AD , 而=+=+=BC AB BD AB AD 21a +21(b -a )=21a +21b , ∴3232==AD AG (21a +21b )=31a +31b . 点评:利用向量加法、减法及数乘的几何意义. 2.∵A(1,2),B(3,2),∴AB =(2,0). ∵a=AB ,∴(x+3,x 2-3x-4)=(2,0). ∴⎩⎨⎧=--=+043,232x x x 解得⎩⎨⎧=-=-=.41,1x x x 或 ∴x=-1.点评:先将向量AB 用坐标表示出来,然后利用两向量相等的条件就可使问题得到解决. 课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识:平面向量的基本定理,向量的夹角与垂直的定义,平面向量的正交分解,平面向量的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,如待定系数法,定义法,归纳与类比,数形结合,几何作图.作业课本习题2.3 A 组1.设计感想1.本节课内容是为了研究向量方便而引入的一个新定理——平面向量基本定理.教科书首先通过“思考”:让学生思考对于平面内给定的任意两个向量进行加减的线性运算时所表示的新向量有什么特点,反过来,对平面内的任意向量是否都可以用形如λ1e 1+λ2e 2的向量表示.2.教师应该多提出问题,多让学生自己动手作图来发现规律,通过解题来总结方法,引导学生理解“化归”思想对解题的帮助,也要让学生善于用“数形结合”的思想来解决这部分的题.3.如果条件允许,借助多媒体进行教学会有意想不到的效果.整节课的教学主线应以学生练习为主,教师给与引导和提示.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.。
《平面向量的正交分解及坐标表示》教案、导学案、课后作业
《6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示》教案【教材分析】本节内容是平面向量一种新的表示方：向量的坐标表示，是本章的重点内容之一，也是培养学生自主学习能力的良好题材.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.【教学目标与核心素养】课程目标1、掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2．通过学习平面向量的正交分解及其坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.数学学科素养1.数学抽象：平面向量的坐标表示；2.逻辑推理：根据正交分解和平面向量共线定理推导出平面向量的坐标表示；3.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决.【教学重点和难点】重点：向量的坐标表示；难点：向量的坐标表示的理解.【教学过程】一、情景导入问题：由平面向量基本定理，我们知道，在平面直角坐标系，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，对直角坐标平面内的每一个向量，如何表示？要求：让学生自由发言，教师不做判断。
而是引导学生进一步观察，研探.二、预习课本，引入新课阅读课本27-29页，思考并完成以下问题1、怎样分解一个向量才为正交分解？2、平面向量怎样用坐标表示？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。
三、新知探究1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得 (1)1 我们把叫做向量的（直角）坐标，记作 (2)2 其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．.特别地，，，.如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定. 设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.四、典例分析、举一反三 题型一 向量的减法运算例1 如图，向量a ，b ，c 的坐标分别是________，________，__________.x y i j a x y yj xi a +=),(y x a ),(y x a =x a x y a y a ),(y x )0,1(=i )1,0(=j )0,0(0=a OA =A a yj xi OA +=OA ),(y x A A ),(y x OA【答案】a ＝(－4,0)； b ＝(0,6)；c ＝(－2，－5)．【解析】将各向量分别向基底i ，j 所在直线分解，则a ＝－4i ＋0·j ，∴a ＝(－4,0)；b ＝0·i ＋6j ，∴b ＝(0,6)；c ＝－2i －5j ，∴c ＝(－2，－5)．例2 如图所示，在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角．求点B 和点D 的坐标和AB →与AD →的坐标．【答案】B ⎝⎛⎭⎪⎫32，12. D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 【解析】由题知B ，D 分别是30°，120°角的终边与单位圆的交点．设B (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由三角函数的定义，得x 1＝cos30°＝32，y 1＝sin30°＝12，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12. x 2＝cos120°＝－12，y 2＝sin120°＝32，∴D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. ∴AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.解题技巧（求点和向量坐标的方法）(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标． (2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．跟踪训练一1．已知e 1＝(1,2)，e 2＝(－2,3)，a ＝(－1,2)，试以e 1，e 2为基底，将a 分解成λ1e 1＋λ2e 2的形式为____________．【答案】a ＝17e 1＋47e 2.【解析】设a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2∈R )，则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧－1＝λ1－2λ2，2＝2λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝17，λ2＝47.∴a ＝17e 1＋47e 2.2. 已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，|OA →|＝43，∠xOA ＝60°，(1)求向量OA →的坐标；(2)若B (3，－1)，求BA →的坐标．【答案】（1）OA →＝(23，6)．(2)BA →＝ (3，7)．【解析】(1)设点A (x ，y )，则x ＝43cos60°＝23，y ＝43sin60°＝6，即A (23，6)，OA →＝(23，6)．(2)BA →＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计七、作业课本37页习题6.3的15题. 【教学反思】本节内容是平面向量定理的一种延伸，比较简单，学生掌握起来较容易.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.《6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示》导学案【学习目标】 知识目标1.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；2．通过学习平面向量的正交分解及其坐标表示，使学生认识事物之间的相互联系，培养学生辨证思维能力.核心素养1.数学抽象：平面向量的坐标表示；2.逻辑推理：根据正交分解和平面向量共线定理推导出平面向量的坐标表示；3.数学建模：数形结合，将几何问题转化为代数问题解决. 【学习重点】：向量的坐标表示； 【学习难点】：向量的坐标表示的理解. 【学习过程】 一、预习导入阅读课本27-29页，填写。
232平面向量的正交分解及坐标表示教案
平面向量的正交分解及坐标表示教案教学目的：掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减 及数乘运算。
教学重点：向量的坐标表示及坐标运算。
教学难点：坐标表示及运算意义的理解。
教学过程：一、复习提问：1．复习向量相等的概念 相等向量=，方向相同，大小相等。
2．平面向量的基本定理（基底）a =λ11e +λ22e ,其实质：同一平面内任一向 量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。
二、新课：1．正交分解的物理背景及其概念图2.3－6（P105），光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的F 1力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F 2，G ＝F 1＋F 2，叫做把重力G 分解。
由平面向量的基本定理，对平面上任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量a =λ11e +λ22e 。
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
2．平面向量的坐标表示取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ， 记作：a =(x, y) 称作向量a 的坐标，这就叫做向量的坐标表示。
i ＝（1,0），j ＝（0,1），0＝（0,0）例2 如图，分别用基底i , j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标。
解：由图可知： O B CA x y12AA AA =+a ＝2i ＋3j,所以，a ＝（2,3）,同理，有：b ＝－2i ＋3j ＝（－2,3）,c ＝－2i －3j ＝（－2,－3）,d ＝2i －3j ＝（2,－3）。
3．平面向量的坐标运算（1）已知a (x 1, y 1)，b (x 2, y 2)，求a + b ，a b 的坐标；（2）已知a (x, y)和实数λ,求λa 的坐标。
解：a + b =(x 1 i +y 1 j )+( x 2 i +y 2 j )=(x 1+ x 2) i + (y 1+y 2) j 即：a + b =(x 1+ x 2, y 1+y 2),同理：a b =(x 1 x 2, y 1y 2)。
平面向量的正交分解及坐标表示教学方案
环节二 平面向量的正交分解及坐标表示【引入新课】情境：回顾平面向量基本定理，为学习向量的坐标表示作铺垫．问题1：回顾所学习过的平面向量基本定理，回答下列问题：（1）什么是平面向量基本定理？（2）已知向量1e ，2e （如下图所示），分别作出向量a 在1e ，2e 方向上的分解．【课堂探究】情境：动画演示，重力G 分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力，垂直于斜面的压力，帮助学生理解正交分解的概念．1．正交分解问题2：阅读教科书6.3.2节第一、第二段，回答问题：（1）什么是正交分解？（2）举一个正交分解的例子．答案：（1）正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量．（2）如图6.3-8，重力G 可以分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力1F ，垂直于斜面的压力2F ．（重力G 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解．）2．坐标表示情境：类比在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示，思考直角坐标平面内的一个向量的表示方法．问题3：在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示．那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？答案：如图6.3-9，在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个单位向量分别为i，j，取{i，j}作为基底．对于平面内的任意一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a=x i+y j．3．提炼概念：向量a的坐标表示平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y）．①其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，①叫做向量a的坐标表示．追问1：你能写出向量i，j，0的坐标表示吗？答案： i =(1，0)，j =(0，1)，0=(0，0)．情境：课堂展示讲解，理解向量的坐标与点的坐标之间的联系．问题4：向量的坐标与点的坐标之间有何区别与联系？答案：（1）设=+OA xi yj ，则向量OA 的坐标(,)x y 就是终点A 的坐标；（2）反过来，终点A 的坐标(,)x y 也就是向量OA 的坐标；（3）因为=OA a ，所以终点A 的坐标(,)x y 就是向量a 的坐标．（4）若向量的起点不是原点，则终点A 的坐标（x ，y ）就不是向量a 的坐标． 注意：实数对“（2，3）”如果不作说明，可以表示区间，点，也可以表示向量．【知识应用】情境：结合实例，加深对向量的坐标表示的理解．例3：如图6.3-11，分别用基底{i ，j }表示向量a ，b ，c ，d ，你能求出它们的坐标吗？解：由图6.3-11可知，a ＝12AA AA +＝2i ＋3j ，所以a ＝（2，3）．同理，b ＝－2i ＋3j ＝（－2，3），c ＝－2i －3j ＝（－2，－3），d ＝2i －3j ＝（2，－3）．【归纳小结】问题5：通过本节课的学习，你有哪些收获？试从知识、方法、数学思想、经验等方面谈谈．总结要点如下：（1）内容：正交分解，平面向量的坐标表示．➢类比重力在斜坡的分解，理解向量的正交分解．➢对给定的向量，写出其坐标表示．➢向量的坐标表示与点的坐标的区别与联系．（2）思想方法：以数的运算处理形的思想方法．。
6.3.2平面向量的正交分解及坐标表示教学设计高一下学期数学人教A版
第 周 本章节计划 课时 共 课时的第 课时 备课时间 年 月 日 上课时间 月 日星期 第 节 教学目标 1． 借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示2． 会用坐标表示平面向量重 点 借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示难 点 借助平面直角坐标系掌握平面向量的正交分解及坐标表示课 型 新授课 主要教法 合作探究 教学用具 班班通教 学 过 程环节一 创设情境，引出问题给定平面内两个不共线的向量1e ，2e ，由平面向量基本定理可知，平面上的任意向量a ，均可分解为两个向量11e λ，22e λ，即a +=11e λ22e λ，其中向量11e λ与1e 共线，向量22e λ与2e 共线．不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形．环节二 抽象概括，形成概念1．平面向量正交分解的定义把一个平面向量分解为两个互相垂直的向量．2．平面向量的坐标表示（1）基底在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为向量i ，j ，取{i ，j }作为基底．（2）坐标对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数x ，y ，使得j y i x a +=，则有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标．（3）坐标表示：a =(x ，y )．（4）特殊向量的坐标：i =1(，)0，j =0(，)1，0=0(，)0环节三 例题练习，巩固概念【例1】如图，分别用基底{i ，j }表示意向量a ，b ，c ，d ，并求出它们的坐标．【解析】由图可知，j i AA AA a 3221+=+=，所以2(=a ，)3因为j i b 32+-=，所以2(-=b ，)3，因为j i c 32--=，所以2(-=c ，)3-，因为j i d 32-=，所以2(=d ，)3-．【例2】在平面直角坐标系xOy 中，向量a ，b ，c 的方向如图所示，且2||=a ，3||=b ，4||=c ，分别计算出它们的坐标．【解析】设1(a a =，)2a ，1(b b =，)2b ，1(c c =，)2c ，则222245cos ||1=⨯=︒=a a ， 222245sin ||2=⨯=︒=a a ， 23)21(3120cos ||1-=-⨯=︒=b b ，233233120sin ||2=⨯=︒=b b ， 32234)30cos(||1=⨯=︒-=c c ，2)21(4)30sin(||2-=-⨯=︒-=c c ， 所以2(=a ，)2，23(-=b ，)233，32(=c ，)2-环节四 小结提升，形成结构求点和向量坐标的常用方法（1）求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．（2）求一个向量的坐标时，可以先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．环节五 目标检测，检验效果【练1】如图，已知在边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成︒30角．求点B 和点D 的坐标以及AB 与AD 的坐标．【解析】由题意知B ，D 分别是︒30，︒120角的终边与以点O 为圆心的单位圆的交点．设1(x B ，)1y ，2(x D ，)2y ．由三角函数的定义，得2330cos 11=︒⨯=x ，2130sin 11=︒⨯=y ， 所以23(B ，)21． 21120cos 12-=︒⨯=x ，23120sin 12=︒⨯=y ， 所以21(-D ，)23． 所以23(=AB ，)21，21(-=AD ，)23．环节六 分层作业，应用迁移《课时作业》第195页；预习教材第29~30页；完成《学法大视野》第22~23页题型二、三．课后记：。
平面向量基本定理正交分解和坐标表示教案
平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算教案东宁县绥阳中学教学目的：（1）了解平面向量基本定理；理解平面向量的坐标的概念；（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理.教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性. 教学过程：一、复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =02．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb 3. 向量共线定理向量b 与非零向量a 共线则：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .二、讲解新课：1．思考：（1）给定平面内两个向量1e ，2e ，请你作出向量31e +22e ，1e -22e ，（2）同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ11e +λ22e 的向量表示？平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e .2．探究：(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2) 基底不惟一，关键是不共线；(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量3．讲解范例：例1 已知向量1e ，2e 求作向量 2.51e +32e 例2 本题实质是4．练习1：1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( D )A.e 1、e 2一定平行B.e 1、e 2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有 a ＝λe 1+μe 2(λ、μ∈R) D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有 a =λe 1+ue 2(λ、u ∈R)2.已知向量 a ＝e 1-2e 2，b ＝2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a+b 与c ＝6e 1-2e 2的关系（Ｂ）A.不共线B.共线C.相等D.无法确定３.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a ＝λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1不共线，a 与e 2不共线．.),R (,OP OB OA t AB t AP OB OA 表示，用且不共线、如图，OA B P.1,n m OB n OA m OPAB P B A O 且上，则在直线若点三点不共线，、、已知。
高中数学第二章平面向量正交分解及坐标表示教案新人教版
2.3.2平面向量正交分解及坐标表示教学目标：（1）理解平面向量的坐标的概念；（2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.教学过程：一、复习引入： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e +λ22e(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a += (1)1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a = (2)2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2○2式叫做向量的坐标表示.与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a =，则点A 的位置由a 唯一确定.设yj xi +=，则向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.2．平面向量的坐标运算（1） 若),(11y x a =，),(22y x b =，则b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，则b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即b a +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --=（2） 若),(11y x A ，),(22y x B ，则()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.=OB -OA =( x 2， y 2) - (x 1，y 1)= (x 2- x 1， y 2- y 1)（3）若),(y x a =和实数λ，则),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，则a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ=三、讲解范例：例1 已知A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，求AB 的坐标.例2 已知a =(2，1)， b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b的坐标.例3 已知平面上三点的坐标分别为A(-2， 1)， B(-1， 3)， C(3， 4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD 时，由DC AB =得D 1=(2， 2)当平行四边形为ACDB 时，得D 2=(4， 6)，当平行四边形为DACB 时，得D 3=(-6， 0) 例4已知三个力1F (3， 4)， 2F (2， -5)， 3F (x ， y)的合力1F +2F +3F =0，求3F的坐标. 解：由题设1F +2F +3F =0 得：(3， 4)+ (2， -5)+(x ， y)=(0， 0)即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F (-5，1) 四、课堂练习：1．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 21=， 求P 点的坐标 2．若A(0， 1)， B(1， 2)， C(3， 4) ， 则AB -2= .3．已知：四点A(5， 1)， B(3， 4)， C(1， 3)， D(5， -3) ， 求证：四边形ABCD 是梯形.五、小结（略）六、课后作业（略）七、板书设计（略）八、课后记：。
平面向量的正交分解及坐标表示 教学设计-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
16.3.2平面向量的正交分解及坐标表示(人教A 版普通高中教科书数学必修第二册第六章)一、教学目标1. 借助平面直角坐标系，理解平面向量的正交分解.2.掌握平面向量的坐标表示.二、教学重难点1.教学重点：对平面向量正交分解及坐标表示的理解.2.教学难点：平面向量的坐标表示.三、教学过程1.复习引入问题1：什么是平面向量基本定理？【答案预设】如果21e e ，是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量a ，有且只有一对实数21λλ，，使2211e λe λa +=。
我们把不共线向量21e e ，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.【设计意图】引导学生从本质上认识平面向量基本定理的实质就是把向量分解为两个不共线的向量之和.特殊地，21e e ，互相垂直时一种特殊分解，会为我们带来方便.例如，在物理中，重力G 能分解成12F F ，两个方向的力，12F F ，互相垂直，这就是力的正交分解.引出正交分解的概念，把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做正交分解．2.问题探究，形成概念问题2：我们知道，在平面直角坐标系中，每一点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示.那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢?【预设答案】（1）建立直角坐标系，选x,y轴方向上的单位向量i j，作为基底；（2）作平面内的任意一个向量a，以{}i j，为基底，根据平面向量基本定理，分解向量=+；a xi y j（3）这样，平面内的任一向量a都可由x，y唯一确定，我们把有序数对 (x，y) 叫做向量a的坐标，记作()y=，.a x其中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，()y=，叫做向量a的坐标a x表示.【设计意图】借助平面直角坐标系，引导学生理解平面向量的正交分解及坐标表示.3.概念深化思考1：在平面直角坐标系中，向量a的坐标是什么含义？？思考2：你能写出向量,0，的坐标表示吗？i j思考3：实数对“（0，1）”表示什么意思？【活动预设】（1）以x、y轴方向上的单位向量为基底，a分解后的系数所对应的实数对(x,y )23（2）(10)(01)0(00)i j ===，，，，，. （3）点A （0，1），区间（0，1），向量a ＝（0，1），如果不作说明则指向不明.【设计意图】引导学生对向量坐标表示概念进行深入理解.4. 平面向量坐标与点得坐标的联系问题3： 如图，以O 为起点作向量OA a = ，则a 的坐标与点A 的坐标有何联系？【活动预设】设OA xi y j =+，则向量OA 的坐标 (x ，y ) 就是终点A 的坐标；反过来，终点A 的坐标 (x ，y ) 也就是向量OA 的坐标.因为OA a =，所以终点A 的坐标 (x ，y ) 就是向量a 的坐标.所以，如果向量的起点在原点，则终点的坐标就是向量的坐标.这就建立了点的坐标与向量坐标之间的联系.【设计意图】理解平面直角坐标系中，向量的坐标与点的坐标之间的联系.5.初步应用，理解概念例：如图，分别用基底{}i j ，表示向量a b c d ，，，，并求出它们的坐标. 【预设的答案】方法1：由图可知，1223a AA AA i j =+=+，所以(23)a =，. 同理，323(2)b i j =-+=-，，323(2)c i j -=--=-，， 323(2)d i j -=-=，.4方法2：作= = = =OM a ON b OP c OQ d ，，， ，易得点M 的坐标为(2,3),则 ==(2,3)a OM因为点M 与N 关于y 轴对称，与点P 关于原点对称，与Q 点关于x 轴对称 则N (-2,3),P (-2,-3),Q (2,-3),同理，3(2)b =-，，3(2)c -=-，，3(2)d -=，. 【设计意图】（1）加深对向量坐标表示的理解；（2）向量坐标与点坐标联系的应用.5.归纳小结思考：1.你对平面向量的坐标表示如何理解？2.平面向量的坐标与点的坐标有什么联系？【设计意图】总结本节课学习的重点内容.四、课外作业1.设i j ，是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，O 为坐标原点， 若OA →＝4+2i j ，OB →＝3+4i j ，则2OA →＋OB →的坐标是( )A ．(1,2)-B ．(7,6)C ．(5,0)D ．(11,8)2.设i j ，是平面直角坐标系内分别与x 轴，y 轴正方向相同的两个单位向量，且A(2,3)，B(4,2)，则AB 可以表示为( )A ．2+3i jB ．4+2i jC ．2i j -D ．2+i j -【预设答案】1.D 2.C【设计意图】巩固本节课学习的重点内容.5。
平面向量正交分解及坐标表示教学设计
《平面向量的正交分解及坐标表示》教课方案武山一中【教材内容地位】本课时的内容包含“向量的正交分解及坐标表示” ，向量基本定理其实是成立向量坐标的一个逻辑基础，由于只有确立了随意一个向量在两个不共线的基底上能进行独一分解，成立坐标系才有了依照 ,同时，只有正确地建立向量的坐标才能有向量的坐标运算。
节平面向量的基本定理及坐标表示主要四部分内容 1.平面向量的基本定理，2.平面向量的正交分解及坐标表示，3.平行向量的坐标运算，4.平面向量共线的坐标表示。
本节教课的内容是本单元的第 2 节。
【目标与目标分析】知识与技术：1.掌握向量的正交分解，理解向量坐标表示的定义，详细要求：（1）能写出给定向量的坐标；（2）给出坐标能画出表示向量的有向线段；2.掌握向量的坐标与表示该有向线段起、终点坐标的关系，详细要求：（1）知道起点在座标原点时，向量的坐标就是终点的坐标；（ 2） i(1,0) ，j(0,1) ，0(0,0)3.理解向量与坐标之间是一一对应关系。
过程与方法：学生经历向量的几何表示——线性表示——坐标表示的实现过程，从中领会由特别到一般的研究问题的方法，领会由“形”到“数”的数形联合思想及与点与坐标关系的类比思想。
感情态度与价值观：在实现平面向量坐标表示的过程中，学生独立研究、参加议论沟通，从中加深对知识的理解，体验学习数学的乐趣。
要点：平面向量坐标表示的定义打破方法：浸透从特别到一般的概括，由“形”到“数”的数形联合的思想.难点：对平面向量坐标表示生成过程的理解打破方法：设置情况问题，注意过程剖析与指引，力争自然、合理【教课过程】一、知识再现、学习准备平面向量基本定理：假如 e 1、e 2 是同一平面内的两个不共线非零向量，那么对于平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 、 2 ， 使 λ1 e 1 +λ2 e 2 。
a 1 a(1)我们把不共线向量e 1、e 2 叫做表示这一平面内全部向量的一组基底； (2)基底不独一，要点是不共线；(3)由定理可将任一直量 a 在给出基底e 1、e 2 的条件下进行分解； (4)基底给准时，分解形式独一 . λ1,λ2 是由 a, 独一确立的数目。
《平面向量的的正交分解及坐标表示》教学设计、导学案、同步练习
《6.3.2 平面向量的的正交分解及坐标表示》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第六章《平面向量及其应用》，本节课主要讲解平面向量的正交分解、平面向量的坐标表示。
在不共线的两个向量中，垂直是一种重要的特殊情形，向量的正交分解是向量分解中常用且重要的一种分解。
因为在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时会给问题的研究带来方便，联系平面向量基本定理和向量的正交分解，由点在直角坐标系中的表示得到启发，要在平面直角坐标系中表示一个向量最方便的是分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，这时，对于平面直角坐标系内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a=x i+y j.于是，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，而有序数对(x，y)正好是向量a的终点的坐标这样的“巧合”使平面直角坐标系内的向量与坐标建立起――映射，从而实现向量的“坐标化”表示，使我们在使用向量工具时得以实现“有效能算”的思想。
【教学目标与核心素养】A.会把向量正交分解；B.会用坐标表示向量；【教学重点】：平面向量的正交分解，平面向量的坐标表示；【教学难点】：平面向量的坐标表示。
【教学过程】二、探索新知1.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解。
思考1：我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数对（即它的坐标）表示，那么，如何表示坐标平面内的一个向量呢？【解析】在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个不共线向量i 、j 作为基底，对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i +y j ，则把有序数对（x ，y ），叫做向量a 的坐标．记作a ＝（x ，y ），此式叫做向量的坐标表示．作向量，设，所以。
【结论】向量的起点为原点时，向量的坐标与向量终点的坐标一致。
高中数学必修四《平面向量的正交分解及坐标表示》优秀教学设计
平面向量的正交分解及坐标表示教案教学目的：掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减 及数乘运算。
教学重点：向量的坐标表示及坐标运算。
教学难点：坐标表示及运算意义的理解。
教学过程：一、复习提问：1．复习向量相等的概念 相等向量=，方向相同，大小相等。
2．平面向量的基本定理（基底）a =λ11e +λ22e ,其实质：同一平面内任一向 量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。
二、新课：1．正交分解的物理背景及其概念图2.3－6（P105），光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的F 1力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F 2，G ＝F 1＋F 2，叫做把重力G 分解。
由平面向量的基本定理，对平面上任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量a =λ11e +λ22e 。
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
2．平面向量的坐标表示取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ， 记作：a =(x, y) 称作向量a 的坐标，这就叫做向量的坐标表示。
i ＝（1,0），j ＝（0,1），0＝（0,0）例2 如图，分别用基底i , j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标。
解：由图可知： O B CA x y12AA AA =+a ＝2i ＋3j,所以，a ＝（2,3）,同理，有：b ＝－2i ＋3j ＝（－2,3）,c ＝－2i －3j ＝（－2,－3）,d ＝2i －3j ＝（2,－3）。
3．平面向量的坐标运算（1）已知a (x 1, y 1)，b (x 2, y 2)，求a + b ，a - b 的坐标；（2）已知a (x, y)和实数λ,求λa 的坐标。
解：a + b =(x 1 i +y 1 j )+( x 2 i +y 2 j )=(x 1+ x 2) i + (y 1+y 2) j 即：a + b =(x 1+ x 2, y 1+y 2),同理：a - b =(x 1- x 2, y 1-y 2)。
人教版高一数学教案-平面向量的正交分解及坐标表示
教案问题1.平面向量基底的唯一要求就是不共线，因此平面向量有无数个基底.那么选什么样的基底能够更好的解决问题？问题2.物理上，我们在做力的分解时，将力进行了正交分解，即，我们选择了两个互相垂直的力作为基底.这对我们研究平面向量基底的选择问题有什么启示? 解新、旧知识的联系新课三、新课讲解1.定义：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.平面向量的坐标表示.①在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a＝x i＋y j.平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y).②在平面直角坐标平面中，i＝(1，0)，j＝(0，1)，0＝(0，0).③坐标形式下向量相等的条件：相等向量的对应坐标相等,对应坐标相等的向量是相等向量.④点的坐标与向量坐标的区别和联系(表格略)循序渐进，使学生真正理解学习向量坐标的意义，会准确使用表达向量的三种方法.掌握知识发生发展的过程例题例1如图所示O为坐标原点，A(2,3)则OA的坐标为多少？解：如图所示因为OA=2i+3j所以OA=(2,3)引出猜想：当向量的起点在坐标原点时，向量例2如图A(2,2),B(3,4),求AB的坐标.解：由图可知AB=(3-2)i+(4-2)j=i+2j所以，AB的坐标(1,2).例3如图:用基底i，j分别表示向量a,b,c,d,并求出它们的坐标. 方法：用基底的形式表示向量，然后得出坐标.解：a=(2,3)b=(-2,3)c=(-2,-2)d=(2,-3) 的坐标就是向量终点的坐标有向线段所表示的向量位置与向量坐标的关系四、课堂练习1. 判断下列命题是否正确(正确的写T，错误的写F) .(1)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同. ( F )(2)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标. ( T )(3)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标. ( T )2. 已知AB=(1,2)，则下列说法正确的是( D )A. A点的坐标是(1,2)B. B点的坐标是(1,2)C. 当B是坐标原点时，A点的坐标是(1,2)D. 当A是坐标原点时，B点的坐标是(1,2)3. 设i=(1,0),j=(0,1),a=3i+4j,b=-i+j，则a与b的坐标为.4. 如图，向量a,b,c的坐标为___,___,___.5．如图，已知边长为1的正方形ABCD 中，AB 与x 轴正半轴成30°角，求点B ，D 的坐标和AB ，AD 的坐标．解：由题知B ，D 分别是以Ox 为始边30︒，120︒角的终边与单位圆的交点． 设()11,B x y ，()22,D x y ．由三角函数的定义，得13cos302x ︒==，11sin 302y ︒==，∴31,22B ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 21cos1202x ︒==-，23sin1202y ︒==，∴13,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． ()0,0A∴31,22AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13,22AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．6. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b . 四边形OABC 为平行四边形.求向量a ，b 的坐标. 解 作AM ⊥x 轴于点M ， 则OM ＝OA ·cos45° ＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin45° ＝4×22＝2 2. ∴A (22，22)，故a ＝(22，22). ∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°. 又∵OC ＝AB ＝3，∴C ⎝⎛⎭⎫－32，332，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，332，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332.小结：向量的正交分解是把一个向量分解为两个互相垂直的向量.向量的坐标表示，沟通了向量“数”与“形”的特征，使向量运算完全代数化.量，平移，使它的起点与坐标原点重合，达到化繁为简的目的总结 1. 为什么要研究平面向量的正交分解及坐标表示？ 2. 怎样研究平面向量的正交分解及坐标表示？ 3. 体现了用代数的方法解决几何问题的策略.回顾知识发生发展的过程，提高学生的数学认知水平如图，用单位正交向量i ,j作为基底{i，j}，表示向量a,b,c,d ,并求出它们的坐标.。
平面向量的正交分解及坐标表示导学案
4-35 平面向量的正交分解及坐标表示班级： 姓名：教学目的:平面向量的坐标表示教学过程:1回顾平面向量基本定理；2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.学案提出问题①平面中的任意两个向量之间存在夹角吗？若存在,向量的夹角与直线的夹角一样吗？②对平面中的任意一个向量能否用两个互相垂直的向量来表示？在不共线的两个向量中，90θ= ，即两向量垂直是一种重要的情形，把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.例如把图中木块所受的重力分解为向下的力1F 和对斜面的压力2F .思考：平面直角坐标系中的每一个点都可以用一对有序实数（即它的坐标）表示. 对于直角坐标平面内的每一个向量，如何表示呢？探索问题①我们知道,在平面直角坐标系中,每一个点都可用一对有序实数(即它的坐标)表示.对直角坐标平面内的每一个向量,如何表示呢?②在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的？图3活动:如图3,在平面直角坐标系中,分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量ｉ、j 作为基底.对于平面内的一个向量a ,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数x 、y,使得 a =x ｉ+y j ①这样,平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a =(x,y) ②其中x 叫做a 在x 轴上的坐标,y 叫做a 在y 轴上的坐标,②式叫做向量的坐标表示.显然,ｉ=(1,0),j =(0,1),0=(0,0).教师应引导学生特别注意以下几点:(1)向量a 与有序实数对(x,y)一一对应.(2)向量a 的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置没有关系,只与其相对位置有关系.如图所示,11B A 是表示a 的有向线段,A 1、B 1的坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2),则向量a 的坐标为x=x 2-x 1,y=y 2-y 1,即a 的坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1).(3)为简化处理问题的过程,把坐标原点作为表示向量a 的有向线段的起点,这时向量a 的坐标就由表示向量a 的有向线段的终点唯一确定了,即点A 的坐标就是向量a 的坐标,流程表示如下:讨论结果:①平面内的任一向量a 都可由x 、y 唯一确定,我们把有序数对(x,y)叫做向量a 的坐标,记作a =(x,y).②是一一对应的.应用示例例1如图课本(p96),分别用基底ｉ、j 表示向量a 、b 、c 、d ,并求出它们的坐标.例2设i,j是两个不共线的向量,已知AB=3i+2j,CB=i+λj,CD=-2i+j,若A、B、D三点共线,试求实数λ的值.例 3 下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面的基底;②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底;③零向量不可以作为基底中的向量,其中正确的说法是( )A.①②B.②③C.①③D.①②③练习案1.已知G为△ABC的重心,设=a,=b,试用a、b表示向量.2.已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与AB相等,其中A(1,2),B(3,2),求x.3 .已知O 是坐标原点，点A 在第一象限，OA = 60xOA ∠= ，求向量OA 的坐标.4．课本p101习题2.3第1题5．课本p101习题2.3第2题6．课本p101习题2.3第3题课外作业：非常学案p75学习评价※自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ） A.很好 B.较好 C.一般 D.较差。
《平面向量的正交分解与坐标表示》 导学案
《平面向量的正交分解与坐标表示》导学案一、学习目标1、理解平面向量的正交分解的概念。
2、掌握平面向量的坐标表示。
3、能通过平面向量的坐标进行向量的加、减、数乘运算。
二、学习重难点1、重点（1）平面向量的正交分解。
（2）平面向量的坐标表示。
（3）平面向量的坐标运算。
2、难点（1）对平面向量正交分解的理解。
（2）向量坐标与点坐标的关系。
三、知识回顾1、向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量。
2、向量的表示方法：（1）几何表示：用有向线段表示。
（2）字母表示：用小写字母 a，b，c 等表示，或用有向线段的起点和终点字母表示，如\（＼overrightarrow{AB}＼）。
四、新课导入在物理学中，我们经常会遇到力的分解问题。
比如，一个斜面上的物体受到的重力可以分解为沿斜面方向和垂直斜面方向的两个分力。
类似地，在数学中，平面向量也可以进行分解。
那么，如何对平面向量进行分解呢？这就引出了我们今天要学习的内容——平面向量的正交分解与坐标表示。
五、知识讲解1、平面向量的正交分解（1）定义：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解。
（2）正交分解的意义：正交分解是向量分解中一种特殊且重要的分解方式，它使得向量的表示和运算更加简洁和方便。
例如，对于向量\（＼overrightarrow{a}＼），我们可以将其正交分解为\（＼overrightarrow{a} ＝ x\overrightarrow{i} ＋ y\overrightarrow{j}＼），其中\（＼overrightarrow{i}＼），＼（＼overrightarrow{j}＼）分别是 x 轴和 y 轴正方向上的单位向量，x，y 分别是向量\（＼overrightarrow{a}＼）在 x 轴和 y 轴上的投影。
2、平面向量的坐标表示（1）在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量\（＼overrightarrow{i}＼），＼（＼overrightarrow{j}＼）作为基底。
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平面向量的正交分解及坐标表示教案
教学目的：
掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；会用坐标表示平面向量的加、减 及数乘运算。
教学重点：
向量的坐标表示及坐标运算。
教学难点：
坐标表示及运算意义的理解。
教学过程：
一、复习提问：
1．复习向量相等的概念 相等向量=，方向相同，大小相等。
2．平面向量的基本定理（基底）a =λ11e +λ22e ,其实质：同一平面内任一向 量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。
二、新课：
1．正交分解的物理背景及其概念
图2.3－6（P105），光滑斜面上一个木块受到重力G 的作用，产生两个效果，一是木块受平行于斜面的F 1力的作用，沿斜面下滑；一是木块产生垂直于斜面的压力F 2，G ＝F 1＋F 2，叫做把重力G 分解。
由平面向量的基本定理，对平面上任意向量a ，均可以分解为不共线的两个向量a =λ11e +λ22e 。
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
2．平面向量的坐标表示
取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ， 记作：a =(x, y) 称作向量a 的坐标，这就叫做向量的坐标表示。
i ＝（1,0），j ＝（0,1），0＝（0,0）
例2 如图，分别用基底i , j 表示向量a 、b 、c 、d ，并求出它们的坐标。
解：由图可知： O B C
A x y
12AA AA =+a ＝2i ＋3j,
所以，a ＝（2,3）,
同理，有：
b ＝－2i ＋3j ＝（－2,3）,
c ＝－2i －3j ＝（－2,－3）,
d ＝2i －3j ＝（2,－3）。
3．平面向量的坐标运算
（1）已知a (x 1, y 1)，b (x 2, y 2)，求a + b ，a - b 的坐标；
（2）已知a (x, y)和实数λ,求λa 的坐标。
解：a + b =(x 1 i +y 1 j )+( x 2 i +y 2 j )=(x 1+ x 2) i + (y 1+y 2) j 即：a + b =(x 1+ x 2, y 1+y 2),
同理：a - b =(x 1- x 2, y 1-y 2)。