2-2-2 双曲线的简单几何性质
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能力拓展提升
一、选择题
11.已知方程ax 2-ay 2=b ,且a 、b 异号,则方程表示( ) A .焦点在x 轴上的椭圆 B .焦点在y 轴上的椭圆 C .焦点在x 轴上的双曲线 D .焦点在y 轴上的双曲线 [答案] D
[解析] 方程变形为x 2b a -y 2b a =1,由a 、b 异号知b
a <0,故方程表示
焦点在y 轴上的双曲线,故答案为D.
12.(2013·新课标Ⅰ文,4)已知双曲线C :x 2a 2-y 2
b 2=1(a >0,b >0)的离心率为5
2,则C 的渐近线方程为( )
A .y =±1
4x B .y =±1
3x C .y =±12x D .y =±x
[答案] C
[解析] 本题考查双曲线渐近线方程.由题意得c a =52,即c =52a ,而c 2
=a 2
+b 2
,所以a 2
+b 2
=54a 2,b 2=14a 2,b 2a 2=14,所以b a =12,渐
近线的方程为y =±1
2x ,选C.在解答此类问题时,要充分利用a 、b 、c 的关系.
13.(2012~2013学年度浙江金华十校高二期末测试)已知椭圆x 2
a 2
+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,则双曲线x 2a 2-y 2
b 2=1的渐近线方程为( )
A .y =±3
2x B .y =±1
2x C .y =±2x D .y =±233x
[答案] A
[解析] 由题意得a 2-b 2a =12, ∴3a 2
=4b 2
,∴b a =3
2.
∴双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的渐近线方程为y =±3
2x .
14.中心在坐标原点,离心率为5
3的双曲线的焦点在y 轴上,则它的渐近线方程为( )
A .y =±5
4x B .y =±4
5x C .y =±43x D .y =±34x
[答案] D
[解析] ∵c a =53,∴c 2a 2=a 2+b 2
a 2=259,∴
b 2a 2=16
9,
∴b a =4
3,又∵双曲线的焦点在y 轴上, ∴双曲线的渐近线方程为x =±b a y ,即x =±4
3y , ∴所求双曲线的渐近线方程为y =±34x . 二、填空题
15.若双曲线x 24-y 2b 2=1(b >0)的渐近线方程为y =±1
2x ,则b 等于________.
[答案] 1
[解析] 双曲线x 24-y 2b 2=1(b >0)的渐近线方程为y =±b 2x ,∴b 2=12,即b =1.
16.已知双曲线与椭圆x 2+4y 2=64共焦点,它的一条渐近线方程为x -3y =0,则双曲线的方程为________.
[答案] x 236-y 2
12=1
[解析] 解法一:由于双曲线的一条渐近线方程为x -3y =0,则另一条为x +3y =0,可设双曲线方程为
x 2
-3y 2
=λ(λ>0),即x 2λ-y 2
λ3
=1
由椭圆方程x 264+y 2
16=1可知 c 2=a 2-b 2=64-16=48
双曲线与椭圆共焦点,则λ+λ
3=48 ∴λ=36.
故所求双曲线方程为x 236-y 2
12=1.
解法二:双曲线与椭圆共焦点,可设双曲线方程为 x 264-λ-y 2
λ-16
=1 由渐近线方程x -3y =0可得λ-1664-λ=1
3
∴λ=28
故所求双曲线方程为x 236-y 2
12=1.
解法三:椭圆x 264+y 2
16=1中,c 2=64-16=48.
设双曲线的实半轴长,虚半轴长分别为a 、b ,则由条件知
⎩⎨⎧
a 2+
b 2=48b a =13
,∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2=36
b 2=12,
∴双曲线方程为x 236-y 2
12=1. 三、解答题
17.设双曲线x 2a 2-y 2