弧度制 三角函数的简单应用
三角函数的弧度制与三角函数的关系
三角函数的弧度制与三角函数的关系三角函数是数学中的重要概念，可以描述角度与直角三角形之间的关系。
在数学中，角度通常有两种表示方式，一种是度量制，另一种是弧度制。
本文将探讨三角函数的弧度制表示方式以及弧度制与三角函数之间的关系。
一、三角函数的弧度制表示方式在弧度制中，角度的度量单位为弧度（rad）。
一个圆的周长为2π弧度，这是因为圆的周长与半径有关，而不是与圆心角的大小有关。
因此，我们可以定义一个标准弧度，即一个圆周上所对应的角度为2π弧度。
根据弧度制的定义，我们可以将任意角度A转换为弧度制表示。
通过下式可以实现弧度制与度量制之间的转换：弧度制表示：A (rad) = A (度) × π/180度量制表示：A (度) = A (rad) × 180/π二、三角函数的关系三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）以及正切函数（tan），它们是弧度制与三角函数之间的桥梁。
下面将具体介绍它们之间的关系。
1. 正弦函数的关系：正弦函数是一个周期函数，其周期为2π弧度。
正弦函数的定义如下：sin(A) = 对边/斜边其中，A表示角度。
我们可以通过将角度转换为弧度制来计算正弦函数的值。
2. 余弦函数的关系：余弦函数也是一个周期函数，其周期为2π弧度。
余弦函数的定义如下：cos(A) = 邻边/斜边同样地，我们可以通过将角度转换为弧度制来计算余弦函数的值。
3. 正切函数的关系：正切函数也是一个周期函数，其周期为π弧度。
正切函数的定义如下：tan(A) = 对边/邻边与上述两个函数类似，我们也可以通过将角度转换为弧度制来计算正切函数的值。
通过上述三个三角函数的定义，我们可以得知它们之间的关系：sin(A) = cos(A - π/2)cos(A) = sin(A + π/2)tan(A) = sin(A) / cos(A)这些关系式可以帮助我们快速计算三角函数的值，同时也揭示了三角函数之间的密切联系。
《弧度制》三角函数PPT课件
边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为 = +
π
· ,∈Z
2
,在进行区间的合并时,一定要做到准确无误.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
变式训练3以弧度为单位,写出终边落在直线y=-x上的角的集合.
1
1
故扇形的面积 S=2rl=2 ×2×4=4(cm2).
(2)设圆心角弧度数为 α(0<α<2π),弧长为 l,半径为 r,则有
+ 2 = 10,
= 1,
= 4,
解得
或
1
= 4,
= 2.
=8
2
= 1,
当
时,α==8>2π,不符合题意,舍去;
=8
1
= 4,
当
解:在 0 到 2π 范围内,终边落在直线
3π
4
7π
3π
y=-x 上的角有两个,即 4 和 4 .
所有与 终边相同的角构成的集合为
3π
S1= = 4 + 2π,∈Z ,
7π
所有与 终边相同的角构成的集合为
4
7π
S2= = 4 + 2π,∈Z
3π
= = + (2 + 1)π,∈Z ,
三角函数
5.1.2
弧度制
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课标阐释
思维脉络
1.理解 1 弧度角的定义,了解
弧度制的概念.
2.能进行角度与弧度之间的
(原创)北师大版数学第一章三角函数3弧度制
探究点1 弧度概念
在几何的度量中,首先,引入一个单位线段以它为单位来度量其他线段
或曲线的长度.在面积的度量中，引入一个以单位线段为边长的单位正方形
作为面积的度量单位.在体积的度量中，以单位线段为棱长的单位立方体作
思考： 能否用线段的单位长度来建立角的度量单位,从而把几何度量都 建立在一个共同的基础长度的度量上呢？
提示：以角的顶点为圆心画单位圆（半径为单位长度1的圆），用这个 角在此圆上所对应的弧的长度来度量这个角.
在单位圆中,把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位 用符号rad表示.读作弧度（通常“弧度”或“rad”省略不写）.在单位圆中, 每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数，这种以弧度作为单位来度 量角的方法称作是弧度制.角的正负由角的终边的旋转方向决定.
一般地，弧度数与实数一一对应，正角的弧度数是一个正数，负角 的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零.
探究点2 弧度与角度的换算
思考：角可以分别用角度和弧度度量，角度和弧度之间有什么关系呢？ 提示：根据弧度的定义可知
1o = 2π rad π rad 0.01745rad;
360
180
1rad 360o 180o 57o18. 2π π
解析
－23π－23 12 12
×180°＝－345°.
π 3．把 22°30′化为弧度的结果是_____8___．
解析 22°30′＝22.5°＝2128.05π＝π8.
3 4．已知扇形的半径为 12，弧长为 18，则扇形圆心角为__2____．
解析 由弧长公式 l＝αR，得α＝Rl ＝1182＝32.
数学弧度制
数学弧度制弧度是一个重要的角度度量单位，它在数学和物理学中被广泛应用。
弧度制是一种用弧长比来度量角度的方法，相对于传统的角度度量制度，弧度制更加精确和方便。
本文将介绍弧度的定义、性质、应用以及与角度的转换关系。
一、弧度的定义和性质弧度的定义是通过弧长比来度量角度。
当一个圆的半径为r时，一条弧长等于半径长度的弧对应的角度就是1弧度。
换句话说，若弧长为l，半径为r，则弧度数为l/r。
弧度的优点在于它可以精确地度量角度大小，并且不受圆的尺寸的限制。
因为弧度是通过弧长比来度量的，所以它与圆的半径无关，只与弧长有关。
这使得弧度制度量角度更加精确和一致。
弧度的取值范围是连续的实数集，可以表示从0到无穷大的任意角度。
而传统的角度制度量角度的范围是0到360度之间。
所以，在某些数学和物理问题中，弧度制更加方便和自然。
二、弧度与角度的转换关系弧度和角度之间存在着一个简单的转换关系。
由于一个圆的周长等于2πr，其中r是圆的半径，根据弧度的定义，整个圆对应的弧度数是2π。
这意味着1度等于π/180弧度。
通过这个转换关系，我们可以方便地将角度转换为弧度，或者将弧度转换为角度。
例如，如果要将45度转换为弧度，可以使用以下公式：45度× π/180 = π/4弧度。
同样地，如果要将π/3弧度转换为角度，可以使用以下公式：π/3 × 180/π = 60度。
三、弧度的应用弧度制在数学和物理学中有广泛的应用。
它在解析几何、微积分、三角函数以及力学等领域中扮演着重要的角色。
在解析几何中，弧度制可以用来度量两条曲线之间的夹角。
通过计算两条曲线的弧长，可以得到它们之间的弧度数，从而确定夹角的大小。
在微积分中，弧度制可以简化很多计算。
例如，当使用极坐标系描述曲线时，弧度制可以使得极坐标下的导数和积分运算更加简洁和方便。
在三角函数中，弧度制也被广泛使用。
三角函数的定义中涉及到圆的弧长，因此弧度制可以使得三角函数的计算更加直观和准确。
弧度制的定义和公式
弧度制的定义和公式弧度制是一种角度的度量方式，它是通过弧长与半径之比来表示的。
在数学和物理学中，使用弧度制来度量角度可以更加准确和方便。
本文将介绍弧度制的定义和公式，并探讨其在数学和物理学中的应用。
一、弧度制的定义在弧度制中，一个完整的圆周对应的角度为360度，而对应的弧度为2π。
根据这个关系，可以得到弧度制的定义：一个角度的弧度数等于这个角度所对应的弧长与半径之比。
具体来说，假设一个角度θ所对应的弧长为s，半径为r，那么弧度制中这个角度θ所对应的弧度数可以表示为θ = s/r。
这个比值通常用希腊字母π来表示，即θ = πs/r。
二、弧度制的公式在弧度制中，角度和弧度之间的转换可以通过一个简单的公式来实现。
假设一个角度α所对应的弧度数为θ，那么可以用以下公式来计算：θ = α × π/180其中，π/180是将角度转换为弧度的比例因子。
这个公式可以用来将角度转换为弧度，也可以将弧度转换为角度。
三、弧度制的应用弧度制在数学和物理学中有广泛的应用。
首先，在三角学中，弧度制可以用来描述三角函数的周期性。
例如，正弦函数和余弦函数的周期均为2π弧度，而不是360度。
在微积分中，弧度制是计算圆的面积和弧长的重要工具。
通过使用弧度制，可以简化对圆的相关计算，使得结果更加准确和方便。
在物理学中，弧度制被广泛应用于描述角速度和角加速度。
角速度是一个物体单位时间内绕某个轴旋转的角度，通常用弧度制表示。
角加速度则是角速度的变化率，也常用弧度制表示。
总结：弧度制是一种通过弧长与半径之比来度量角度的方式。
它的定义和公式简单明了，可以准确地描述角度和弧度之间的关系。
弧度制在数学和物理学中有广泛的应用，可以用来描述三角函数的周期性、计算圆的面积和弧长，以及描述角速度和角加速度等。
掌握弧度制的概念和应用，可以帮助我们更好地理解和解决与角度相关的问题。
角与弧度制、三角函数的概念知识点讲解+例题讲解(含解析)
角度制与弧度制、三角函数的概念一、知识梳理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.结论：1.若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α.2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用. 3.象限角的集合4.轴线角的集合二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( ) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( ) 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角. (3)顺时针旋转得到的角是负角. (4)终边相同的角不一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.已知角α的终边过点P (8m ，3)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12B.12C.－32D.32解析 由题意得m <0且8m (8m )2＋32＝－45，解得m ＝－12. 答案 A3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.解析所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z).解得k＝－2或k＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.答案{－675°，－315°}4.(2019·衡水模拟)若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，故cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.答案D5.(2019·日照一中质检)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________.解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝α·r，所以α＝3.答案36.(2019·石家庄模拟)已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝________.解析如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tan α＝yx＝－xx＝－1.答案－1考点一 角的概念及其集合表示【例1】 (1)若角α是第二象限角，则α2是( ) A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________. 解析 (1)∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.答案 (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π【训练1】 (1)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )A.M ＝NB.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________.解析 (1)由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N . (2)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，所以，所求角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z .答案 (1)B (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z考点二 弧度制及其应用【例2】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的面积. 解 由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2).【迁移探究1】 若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解 l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)， S 弓形＝S 扇形－S 三角形 ＝12·l ·R －12·R 2·sin π3 ＝12·10π3·10－12·102·32 ＝50π－7533(cm 2).【迁移探究2】 若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm ”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 由已知得，l ＋2R ＝20，即l ＝20－2R (0<R <10). 所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.【训练2】(2019·青岛质检)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A.6平方米B.9平方米C.12平方米D.15平方米解析 法一 如图，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝4，在Rt △AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×4＝2，于是矢＝4－2＝2.由AD ＝AO ·sin π3＝4×32＝23，得弦AB ＝2AD ＝4 3.所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2≈9(平方米).法二 由已知，可得扇形的面积S 1＝12r 2θ＝12×42×2π3＝16π3，△AOB 的面积S 2＝12×OA ×OB ×sin ∠AOB ＝12×4×4×sin 2π3＝4 3.故弧田的面积S ＝S 1－S 2＝16π3－43≈9(平方米). 答案 B考点三 三角函数的概念【例3】 (1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3，cos π3，则sin(π＋α)＝( ) A.－32B.－12C.12D.32(2)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角解析 (1)易知sin π3＝32，cos π3＝12，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.由三角函数的定义可得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，则sin(π＋α)＝－sin α＝－12.(2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角. 答案 (1)B (2)C【训练3】 (1)(2019·西安一中月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45和⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则cos(α＋β)的值为( )A.－2425B.－725C.0D.2425(2)满足cos α≤－12的角α的集合为________.解析 (1)由三角函数的定义可得cos α＝35，sin α＝45，cos β＝－45，sin β＝35.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsinβ＝－2425.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围， 故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .答案 (1)A(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z三、课后练习1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个解析 －3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确. 答案 C2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A.2k π＋45°(k ∈Z ) B.k ·360°＋94π(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，排除A ，B ，易知D 错误，C 正确. 答案 C3.(2019·北京朝阳区模拟)已知角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则m 的值为( ) A.27B.127C.9D.19解析 ∵tan 7π3＝3m m ＝m －16＝3，∴m －1＝33＝27， ∴m ＝127，故选B.4.已知点M 在角θ终边的反向延长线上，且|OM |＝2，则点M 的坐标为( ) A.(2cos θ，2sin θ) B.(－2cos θ，2sin θ) C.(－2cos θ，－2sin θ)D.(2cos θ，－2sin θ)解析 由题意知，M 的坐标为(2cos(π＋θ)，2sin(π＋θ))，即(－2cos θ，－2sin θ). 答案 C5.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角解析 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上知θ2为第二象限角. 答案 B6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A.－45B.－35C.35D.45解析 由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ. 将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1中可得cos 2θ＝15， 故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35. 答案 B7.(2019·潍坊一模)若角α的终边过点A (2，1)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝( )A.－255B.－55C.55D.255解析 由三角函数定义，cos α＝25＝255， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α＝－255. 答案 A8.已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6解析 由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6. 答案 D9.(2019·上海徐汇区调研)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于________.解析 由题意知m >0且sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3.答案 310.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________. 解析 设扇形半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.答案 π311.(2019·许昌调研)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________. 解析 因为α是第二象限角， 所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16， 解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 答案 －43 12.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案 (－2，3]。
弧度制与三角函数的计算
弧度制与三角函数的计算在数学中，弧度制和三角函数是两个非常重要的概念。
它们在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
本文将探讨弧度制和三角函数的计算方法，并讨论它们的实际用途。
一、弧度制的定义与计算弧度制是一种用弧长来度量角度的方法。
在弧度制中，角度的度量单位是弧度（rad）。
一个圆的周长是2πr，其中r是半径。
如果一个角所对应的弧长等于半径的长度，那么这个角的度数就是1弧度。
要将角度转换为弧度，可以使用以下公式：弧度 = 角度× π / 180例如，将30度转换为弧度：弧度 = 30 × π / 180 = π / 6。
同样地，要将弧度转换为角度，可以使用以下公式：角度 = 弧度× 180 / π例如，将π / 4弧度转换为角度：角度= π / 4 × 180 / π = 45度。
弧度制的优势在于它能够更方便地进行角度的计算和推导。
在三角函数的计算中，弧度制也更为常用。
二、三角函数的计算三角函数是用来描述角度与三角形边长之间的关系的函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数（sin）表示一个角的对边与斜边之比。
在弧度制中，正弦函数的计算公式为：s in(θ) = 对边 / 斜边余弦函数（cos）表示一个角的邻边与斜边之比。
在弧度制中，余弦函数的计算公式为：cos(θ) = 邻边 / 斜边正切函数（tan）表示一个角的对边与邻边之比。
在弧度制中，正切函数的计算公式为：tan(θ) = 对边 / 邻边三角函数的计算可以通过查表、使用计算器或计算机软件来进行。
在实际应用中，三角函数常用于解决各种几何问题，例如计算三角形的边长、角度和面积等。
三、弧度制与三角函数的实际应用弧度制和三角函数在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
在物理学中，弧度制和三角函数常用于描述物体的运动和力学性质。
例如，角速度的单位是弧度每秒（rad/s），它描述了物体每秒钟绕某个轴旋转的角度。
弧度制知识点
弧度制知识点弧度制是数学中一种角度计算的单位制，也是一种非常重要的数学工具。
在解决圆的相关问题时，使用弧度制可以使计算更加简单明了。
弧度制的原理其实很简单，就是把弧长和半径之间的比值作为角度的度量单位。
在本文中，我们将介绍弧度制的基本定义、应用、转换以及相关数学问题。
基本定义弧度，是用来衡量圆周的长度和弧之间的关系的单位。
弧度制的基本定义是，一弧度是圆周长度和圆的半径之比。
简单地说，一弧度等于圆周的长度为半径的倍数，因此，圆周总共有360度，也就是2π弧度的长度。
应用及优势弧度制是一种非常重要的数学工具，它的应用涵盖了很多领域。
在三角函数的学习中，弧度制的应用可以帮助我们更加便捷地计算正弦、余弦等函数的值。
此外，弧度制在计算圆的周长、面积、相对位置等方面也发挥了重要的作用。
与角度制相比，弧度制更加优越的原因在于，它的定义更加简单明了，而且计算过程中更为直接简单。
在圆上每增加一个角度，对应的弧长和半径的比值就要增加一个弧度单位。
相比之下，角度制需要考虑360度转化、计算过程繁琐等问题，因此在实际运用中弧度制更为实用。
弧度制转角度制在实际运用中，有可能需要将弧度制转化为角度制。
这时我们可以使用弧度转角度公式：角度=弧度×180/π。
例如：1弧度=180/π度，而1度=π/180弧度。
如果给定一个角的弧度值，我们可以将其乘以180，然后除以π，即可得到对应的角度值。
同理，如果给定一个角的角度值，我们也可以将其乘以π，然后除以180，即可得到对应的弧度值。
数学问题弧度制与三角函数的应用密切相关，因此，其中涉及的数学问题也比较典型。
在本文中，我们将介绍弧度制下的基本三角函数及其相关性质。
正弦函数正弦函数（Sine Function）是一种基本的三角函数。
在数学上，正弦函数f(x)=sin x被定义为一个函数，它的输出值（y值）等于对应的输入值（x值）的弧度值的正弦值。
也就是说，对于任意实数x，f(x)=sin x= y/r,其中，y是一个以x为圆心角的圆的弧度。
三角函数弧度制
三角函数弧度制三角函数是数学中的一种基本函数，它们在三角形的计算中非常有用。
在数学中，三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的定义和性质可以用角度或弧度来表示。
在这里，我们将重点介绍三角函数的弧度制。
弧度制是一种角度的度量方式，它是以圆的半径为单位来度量角度的大小。
具体来说，一个角度的弧度数等于它所对应的圆弧长度与圆的半径之比。
例如，一个角度为60度的圆心角所对应的弧长是圆的周长的1/6，如果圆的半径为1，那么这个角度的弧度数就是1/6π，即约为0.523。
在三角函数中，弧度制的应用非常广泛。
例如，正弦函数的定义是一个角度的正弦值等于它所对应的三角形的对边长度与斜边长度之比。
在弧度制下，正弦函数的定义可以改写为一个角度的正弦值等于它所对应的圆上一点的纵坐标与圆的半径之比。
这个定义可以用下面的公式来表示：sinθ=y/r其中，θ是一个角度，y是它所对应的圆上一点的纵坐标，r是圆的半径。
这个公式可以用来计算任意一个角度的正弦值，只要知道它所对应的圆上一点的坐标即可。
同样地，余弦函数和正切函数的定义也可以用弧度制来表示。
余弦函数的定义是一个角度的余弦值等于它所对应的三角形的邻边长度与斜边长度之比。
在弧度制下，余弦函数的定义可以改写为一个角度的余弦值等于它所对应的圆上一点的横坐标与圆的半径之比。
正切函数的定义是一个角度的正切值等于它所对应的三角形的对边长度与邻边长度之比。
在弧度制下，正切函数的定义可以改写为一个角度的正切值等于它所对应的圆上一点的纵坐标与横坐标之比。
总之，弧度制是一种非常重要的角度度量方式，它在三角函数的计算中起着至关重要的作用。
掌握弧度制的概念和计算方法，可以帮助我们更好地理解三角函数的定义和性质，从而更加熟练地运用它们进行数学计算。
弧度制和角度制的转换及应用
弧度制和角度制的转换及应用一、弧度制和角度制的定义1.角度制：角度制是一种度量角度大小的制度，以一个圆的周长作为基准，将圆周分为360等分，每一等分称为1度，符号为°。
2.弧度制：弧度制是以圆的半径作为基准，将圆周分为2π等分，每一等分称为1弧度，符号为rad。
二、弧度制和角度制的转换公式1.从角度制转换为弧度制：公式：弧度 = 角度× π / 1802.从弧度制转换为角度制：公式：角度 = 弧度× 180 / π三、弧度制和角度制的应用1.在三角函数中：–三角函数的定义和计算通常使用弧度制。
–在解三角形问题时，可以利用弧度制和角度制的转换，将角度制的角度转换为弧度制，以便于运用三角函数进行计算。
2.在圆周运动中：–描述物体在圆周运动时的角度变化时，通常使用角度制。
–计算物体在圆周运动中的速度、加速度等物理量时，需要将角度制转换为弧度制，以便于使用相应的物理公式。
3.在数学分析和高等数学中：–许多公式和定理涉及角度和弧度的转换。
–在研究周期性函数和角动量等问题时，需要熟练掌握弧度制和角度制的转换。
4.在计算机科学中：–计算机图形学中，坐标系统的转换、旋转等操作涉及弧度制和角度制的转换。
–计算机算法中的循环、迭代等操作，有时也需要用到弧度制和角度制的转换。
弧度制和角度制是数学和物理中常用的两种度量角度大小的制度。
掌握弧度制和角度制的转换公式，以及它们在各个领域的应用，对于中学生来说，是学习数学和物理的基础知识。
在日常学习中，要注意理解和运用这两种制度，提高自己的数学和物理素养。
习题及方法：1.习题：将30°转换为弧度制。
方法：使用转换公式，弧度 = 角度× π / 180答案：30° × π / 180 = π / 62.习题：将π弧度转换为角度制。
方法：使用转换公式，角度 = 弧度× 180 / π答案：π × 180 / π = 180°3.习题：已知一个圆的半径为5cm，求该圆的周长（以弧度制表示）。
高一数学知识点弧度制
高一数学知识点弧度制在高一的数学学习中，我们要接触到许多重要的概念和知识点，其中之一就是弧度制。
弧度制是一种角度度量方式，它来源于数学的三角函数理论，用来描述角的大小。
1. 弧度的基本概念在了解弧度制之前，我们先来回顾一下角的概念。
在几何学中，角是由两条射线共享一个起点所形成的图形。
我们通常用度来度量角的大小，比如我们熟悉的直角是90度。
而在弧度制中，我们通过单位圆的弧长来度量角的大小。
单位圆是以圆心为原点，半径长为1的圆。
当一条角所对应的弧长等于半径时，这个角的大小就是1弧度。
2. 弧度与度之间的转换理解了弧度的概念，我们就需要学习如何将弧度与度之间相互转换。
这在高中数学中是一个重要的技巧。
首先，我们来看如何将度转换成弧度。
假设一个角度为θ度，那么它对应的弧度就是θ/180 * π。
这里的π是一个无理数，约等于3.14。
同理，如果我们要将弧度转换成度，只需将弧度乘以180/π即可。
这两种转换关系是非常有用的，在解决三角函数相关问题时，常常需要在度与弧度之间进行转换。
3. 弧度的应用弧度在数学中有着广泛的应用，其中最为重要的一项就是三角函数。
三角函数是一组函数，它们与角度或弧度之间有着密切的联系。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数的定义就是单位圆上对应弧长与半径的比值，我们可以用sin(θ)表示。
而余弦函数和正切函数的定义方式类似，分别用cos(θ)和tan(θ)表示。
弧度制在三角函数中的应用非常广泛。
例如，我们可以通过三角函数来解决三角方程、求解三角恒等式、解决复合角的问题等等。
弧度制的运用简化了计算，使得我们能更好地理解和应用三角函数。
除了三角函数，弧度制还广泛应用于微积分和物理学中。
在微积分中，我们常常需要对曲线的弧长进行计算，而弧度制正好提供了一个便捷的工具。
在物理学中，弧度制则用于描述和计算诸如角速度、角加速度等物理量。
4. 弧度制的优势与不足与度相比，弧度制具有一些独特的优势。
弧度制与角度制
弧度制与角度制角度是我们常用的度量角的方式，但在数学和物理领域，还有一种更精确且方便的度量角的方式，即弧度制。
本文将介绍弧度制和角度制的概念、转换公式以及它们在数学和物理中的应用。
一、弧度制和角度制的概念角度制是我们常用的一种度量角的方式。
它将一个圆周等分为360份，每一份称为1度。
而弧度制是一种更具准确性的度量角的方式。
它以单位圆的半径为长度，将圆周等分为2π份，每一份称为1弧度。
在角度制中，一个直角等于90度，而在弧度制中，则等于π/2弧度。
为了更好地理解弧度制和角度制之间的关系，下面将介绍两者之间的转换公式。
二、角度制与弧度制的转换在角度制和弧度制之间进行转换时，可以使用以下公式：1弧度= 180/π度1度= π/180弧度这两个公式可以使我们在需要将角度转换为弧度或将弧度转换为角度时找到一个准确的换算比例。
三、弧度制在数学中的应用1. 弧度制在三角函数中的应用三角函数中的正弦、余弦和正切等函数在数学中起到重要的作用。
在弧度制下，这些函数的定义更加简洁和准确。
例如，单位圆上一点与x轴正方向之间的弧长就等于该点的角度，即sinθ = θ，其中θ是该点与x轴正方向之间的角度。
2. 弧度制在导数中的应用在微积分中，导数的概念是至关重要的。
弧度制在导数的计算中非常方便，因为许多三角函数的导数可以直接得到简单的形式。
弧度制使得相关的数学结论更加简洁和优美。
四、弧度制在物理中的应用1. 弧度制在力学中的应用物理学中涉及到许多角度的概念，比如力矩、角加速度等。
在力学中使用弧度制可以使得计算更加准确和简便。
另外，许多物理公式在弧度制下具有更加简洁的形式。
2. 弧度制在波动学中的应用波动学是物理学的一个重要分支，涉及到许多波的性质和现象。
在波动学中，弧度制被广泛应用于频率、相位差等角度相关的计算中。
综上所述，弧度制和角度制是两种常用的度量角的方式。
弧度制以单位圆半径为长度，将圆周等分为2π份，精确且方便；而角度制则将圆周等分为360份，常用且直观。
任意角和弧度制及任意角的三角函数
任意角和弧度制及任意角的三角函数1．任意角的概念(1)我们把角的概念推广到任意角，任意角包括正角、负角、零角．①正角：按逆时针方向旋转形成的角；②负角：按顺时针方向旋转形成的角；③零角：如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．(2)终边相同角：与α终边相同的角可表示为：{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．2．弧度与角度的互化(1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角．(2)角α的弧度数公式：|α|＝l r．(3)角度与弧度的换算：360°＝2π rad，1°＝π180rad，1 rad＝(180π)°≈57°18′．(4)扇形的弧长及面积公式：弧长公式：l＝α·r．面积公式：S＝12l·r＝12α·r2．3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝yx(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．4．终边相同的角的三角函数sin(α＋k·2π)＝sin__α，cos(α＋k·2π)＝cos__α，tan(α＋k·2π)＝tan__α(其中k∈Z)，即终边相同的角的同一三角函数的值相等．1．一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．两个关注点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用．3．三角函数定义的推广设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sin α＝yr，cosα＝xr，tan α＝yx．4．四种角的终边关系(1)β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ，k∈Z．(2)β，α终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z．(3)β，α终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z．(4)β，α终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z．[四基自测]1．(教材改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为() A．10πB．9πC．9π10D．10π9答案：D2．(教材改编)若角θ满足tan θ＞0，sin θ＜0，则角θ所在的象限是() A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：C3．(教材改编)下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A．2kπ－45°(k∈Z)B．k·360°＋94π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)答案：C4．(教材精编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度．答案：π35．已知角α的终边过点(－4，3)，则cos α＋sin α＝________．答案：－1 5考点一终边相同的角及象限角◄考基础——练透[例1](1)已知sin α＞0，cos α＜0，则12α所在的象限是()A．第一象限B．第三象限C．第一或第三象限D．第二或第四象限解析：因为sin α＞0，cos α＜0，所以α为第二象限角，即π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，则π4＋kπ＜12α＜π2＋kπ，k∈Z．当k为偶数时，12α为第一象限角；当k为奇数时，12α为第三象限角，故选C．答案：C(2)(2019·福州模拟)与－2 010°终边相同的最小正角是________．解析：因为－2 010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°与－2 010°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2 010°终边相同，故与－2 010°终边相同的最小正角是150°．答案：150°1．表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间．(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．2．象限角的两种判断方法(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．(2)转化法：先将已知角化为k ·360°＋α(0°≤α＜360°，k ∈Z )的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．[拓展]求θn 或nθ(n ∈N *)所在象限的方法 (1)将θ的范围用不等式(含有k )表示． (2)两边同除以n 或乘以n ．(3)对k 进行讨论，得到θn 或nθ(n ∈N *)所在的象限．提醒：注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k ·180°(k ∈Z )表示终边落在角α的终边所在直线上的角．1．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：因为θ是第三象限角，所以π＋2k π＜θ＜3π2＋2k π(k ∈Z )，故π2＋k π＜θ2＜3π4＋k π(k ∈Z )，当k ＝2n (n ∈Z )时，π2＋2n π＜θ2＜3π4＋2n π(n ∈Z )，θ2是第二象限角，当k ＝2n ＋1时，3π2＋2n π＜θ2＜7π4＋2n π(n ∈Z )，θ2是第四象限角，又⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，即cos θ2＜0，因此θ2是第二象限角．答案：B2．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，n ∈Z ，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样，当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4＜α＜π＋π2的终边一样． 答案：C考点二 扇形弧长、面积公式的应用◄考基础——练透[例2] (1)(2019·合肥模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，卷一《方田》[三三]：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”译成现代汉语其意思为：有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为( )A ．120平方步B ．240平方步C ．360平方步D ．480平方步解析：由题意可得：S ＝12×8×30＝120(平方步)． 答案：A(2)(2019·太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( ) A ．2 B ．sin 2 C ．2sin 1D ．2 sin 1解析：如图：∠AOB ＝2弧度，过O 点作OC ⊥AB 于C ，并延长OC交弧AB于D．则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝12AB＝1，在Rt△AOC中，AO＝ACsin∠AOC＝1sin 1，即r＝1sin 1，从而弧AB的长为l＝α·r＝2sin 1．答案：C应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．1．(2019·成都模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．解析：设圆的半径为R，则圆内接正方形的边长为2R，因此该圆心角的弧度数是α＝lR＝2RR＝2．答案： 22．已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l．(1)若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．解析：(1)因为α＝100°＝100×π180＝5π9， 所以S 扇形＝12l ·r ＝12αr 2＝12×5π9×4＝109π． (2)由题意知，l ＋2r ＝20，即l ＝20－2r ， 故S 扇＝12l ·r ＝12(20－2r )·r ＝－(r －5)2＋25， 当r ＝5时，S 的最大值为25， 此时α＝lr ＝2．考点三 三角函数的定义◄考能力——知法角度1 用三角函数的定义求值[例3] (1)(2019·大同模拟)已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则x 的值为________． 解析：∵cos α＝－x（－x ）2＋（－6）2＝－x x 2＋36＝－513，∴⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x 2x 2＋36＝25169，解得x ＝52．答案：52(2)已知角α的终边在直线y ＝－3x 上，则10sin α＋3cos α的值为________． 解析：设α终边上任一点为P (k ，－3k )， 则r ＝k 2＋（－3k ）2＝10|k |．当k ＞0时，r ＝10k ， ∴sin α＝－3k 10k ＝－310，1 cos α＝10kk＝10，∴10sin α＋3cos α＝－310＋310＝0；当k＜0时，r＝－10k，∴sin α＝－3k－10k ＝310，1 cos α＝－10kk＝－10，∴10sin α＋3cos α＝310－310＝0．答案：0已知角α的终边求三角函数值，其关键点为：(1)已知角α终边上点P的坐标①求P到原点的距离．②利用三角函数定义求解．(2)已知角α终边所在的直线方程①根据象限位置，设出α的终边上点P的坐标．②利用三角函数定义求解．角度2三角函数值符号的判断[例4](1)(2019·怀化模拟)sin 2·cos 3·tan 4的值() A．小于0B．大于0C．等于0 D．不存在解析：∵π2<2<3<π<4<32π． ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0． ∴sin 2·cos 3·tan 4<0． 答案：A(2)已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，tan α<0，则⎩⎪⎨⎪⎧sin α>0，cos α<0，所以角α的终边在第二象限，故选B ．答案：B判断三角函数值符号的关键点(1)确定α的终边所在的象限位置．(2)根据α终边上P 的坐标符号：正弦值与纵坐标同号，余弦值与横坐标同号；横纵坐标同号，正切值为正；异号正切值为负．角度3 利用三角函数线比较大小，解不等式[例5] (1)(2019·石家庄模拟)若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α解析：如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，观察可得，AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α．答案：C(2)(2018·高考北京卷)在平面直角坐标系中AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan α＜cos α＜sin α，则P 所在的圆弧是( ) A ．AB ︵ B ．CD ︵ C ．EF ︵D ．GH ︵解析：由题知四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧， 在AB ︵上，tan α＞sin α，不满足； 在CD ︵上，tan α＞sin α，不满足；在EF ︵上，sin α＞0，cos α＜0，tan α＜0，且cos α＞tan α，满足； 在GH ︵上，tan α＞0，sin α＜0，cos α＜0，不满足． 答案：C利用函数线解决三角不等式，比较三角函数值，其关键是正确作出三角函数线：(1)找出角α的终边与单位圆的交点P．(2)作x轴的垂线，过单位圆与x轴的上半轴的交点作圆的切线．(3)找出所用的三角函数线．(注意方向)1．角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则tan 2θ＝()A．2 B．－4C．－34D．－43解析：设P(a，2a)是角θ终边上任意一点(a≠0)，由任意角三角函数定义知tanθ＝yx＝2aa＝2，故tan 2θ＝2tan θ1－tan2θ＝－43．答案：D2．若cos α>0且tan α<0，则α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析：由cos α>0，得α的终边在第一或第四象限或x轴非负半轴上，又由tan α<0，得α的终边在第二或第四象限，所以α是第四象限角．答案：D3．y＝sin x－32的定义域为________．解析：∵sin x≥32，作直线y＝32交单位圆于A、B两点，连接OA、OB，则OA与OB围成的区域(图中阴影部分)即为角x的终边的范围，故满足条件的角x 的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z ．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z数学建模、数学运算——扇形问题中的核心素养[例] 在一块顶角为120°、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB 中用电焊切割成扇形，现有如图所示两种方案，既要充分利用废料，又要切割时间最短，问哪一种方案最优？解析：因为△AOB 是顶角为120°、腰长为2的等腰三角形， 所以A ＝B ＝30°＝π6，AM ＝BN ＝1，AD ＝2，所以方案一中扇形的弧长＝2×π6＝π3；方案二中扇形的弧长＝1×2π3＝2π3； 方案一中扇形的面积＝12×2×2×π6＝π3，方案二中扇形的面积＝12×1×1×2π3＝π3．由此可见：两种方案中利用废料面积相等，方案一中切割时间短．因此方案一最优．课时规范练A 组 基础对点练1．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ＜0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：第二象限角不一定大于第一象限角，如361°是第一象限角，100°是第二象限角，而361°＞100°，故①错误；三角形内角可以是直角，直角既不是第一象限角也不是第二象限角，故②错误；角的大小只与旋转量与旋转方向有关，而与扇形半径大小无关，故③正确；若sin α＝sin β，则α与β的终边有可能相同，也有可能关于y 轴对称，故④错误；若cos θ＜0，则θ不一定是第二或第三象限角，θ的终边有可能落在x 轴的非正半轴上，故⑤错误． 答案：A2．某人从家步行到学校，一般需要10分钟，则10分钟时间钟表的分针走过的角度是( ) A ．30° B ．－30° C ．60°D ．－60°解析：因为分针是按顺时针方向旋转的，故分针走过的角是负角，又分针旋转了10分钟，故分针走过的角是－60°． 答案：D3．(2019·福州模拟)已知α的终边与单位圆的交点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，32，则tan α＝( )A ． 3B ．±3C ．33D ．±33解析：由题意得|OP |＝1，即x 2＋34＝1，故x ＝±12，因此tan α＝32±12＝±3．答案：B4．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12r 2α＝12r 2×4，求得r ＝1，l ＝αr ＝4， 所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6． 答案：C5．已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0，2π)，则θ的值为( )A ．π4B ．3π4C ．5π4D ．7π4解析：sin 3π4＝22，cos 3π4＝－22，P 在第四象限角平分线上． 答案：D6．已知一圆弧的弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长，则这段圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A ．π3 B ．2π3 C ． 3D ．2解析：设等边三角形边长为a ，圆的半径为R ，由正弦定理得2R ＝asin π3，a ＝3R ，故α＝l R ＝aR ＝3．故选C ． 答案：C7．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为__________．解析：设此扇形的半径为r ， 由题意得π3r ＝2π，所以r ＝6，所以此扇形的面积为12×2π×6＝6π． 答案：6π8．(2019·无锡调研)已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．解析：根据三角函数定义可知tan α＝－35＝－6x ，解得x ＝10． 答案：109．满足cos α≤－12的角α的集合为________．解析：作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z ．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z 10．(2019·鄂州模拟)已知tan θ＜0，且角θ终边上一点为(－1，y )，且cos θ＝－12，则y ＝________．解析：因为cos θ＝－12＜0，tan θ＜0，所以θ为第二象限角，则y ＞0．所以由－11＋y 2＝－12，得y ＝3．答案： 3B 组 能力提升练11．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：因为α＝2k π－π5(k ∈Z )是第四象限角，所以θ也是第四象限角，故sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0，因此y ＝sin θ－sin θ＋cos θcos θ＋tan θ－tan θ＝－1． 答案：B12．已知锐角α的终边过点P (1＋sin 50°，cos 50°)，则锐角α＝( ) A ．80° B ．70° C ．10°D ．20°解析：由三角函数的定义得tan α＝y x ＝cos 50°1＋sin 50°＝sin 40°1＋cos 40°＝2sin 20°cos 20°2cos 220°＝sin 20°cos 20°＝tan 20°，所以锐角α＝20°，故选D ． 答案：D13．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4×180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅解析：由于M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k2×180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k4×180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N ． 答案：B14．在直角坐标系中，P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，Q 是第三象限内一点，|OQ |＝1且∠POQ ＝3π4，则Q 点的横坐标为( )A ．－7210B ．－325C ．－7212D ．－8213解析：设∠xOP ＝α，则cos α＝35，sin α＝45， 则x Q ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π4＝35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－45×22＝－7210．答案：A15．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为__________．解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r <R )，则12αr212αR 2＝14，所以r ∶R ＝1∶2，两个扇形的周长之比为2r ＋αr2R ＋αR ＝1∶2．答案：1∶216．若角α是第三象限角，则α2在第__________象限． 解析：因为2k π＋π<α<2k π＋3π2(k ∈Z )， 所以k π＋π2<α2<k π＋34π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π2<α2<2n π＋34π，α2是第二象限角， 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋3π2<α2<2n π＋74π，α2是第四象限角， 综上知，当α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角． 答案：二或第四第二节 同角三角函数的基本关系及诱导公式[基础梳理]1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2x ＋cos 2x ＝1． (2)商数关系：sin xcos x ＝tan__x ． 2．三角函数的诱导公式1．“一个口诀”诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．“奇”与“偶”指的是k ·π2＋α中的整数k 是奇数还是偶数．“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变．“符号看象限”指的是在k ·π2＋α中，将α看成锐角时k ·π2＋α所在的象限． 2．两个注意(1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论．(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k 是奇数或偶数进行讨论． 3．两个推广tan(π2－α)＝cos αsin α，tan(π2＋α)＝－cos αsin α．[四基自测]1．(教材改编)已知sin α＝55，π2≤α≤π，则tan α＝( ) A ．－2 B ．2 C ．12 D ．－12答案：D2．(教材改编)sin 2 10°cos 120°的值为( ) A ．14B ．－34C ．－32D ．34 答案：A3．sin 2 490°＝________． 答案：－124．(教材改编)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4的值是________．答案： 25．化简1－cos 22θcos 2θtan 2θ＝________． 答案：sin 2θ考点一 同角三角函数关系的应用◄考基础——练透[例1] (1)已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为( ) A ．23 B ．－23C ．13D ．－13解析：因为(sin θ＋cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ＋2sin θ·cos θ＝1＋2sin θcos θ＝169，所以2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝sin 2θ＋cos 2θ－2sin θ·cos θ＝1－2sin θcos θ＝29．又因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin θ<cos θ，即sin θ－cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝－23． 答案：B(2)sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝________．解析：因为sin 1°＝cos 89°，所以sin 21°＋sin 289°＝cos 289°＋sin 289°＝1，同理sin 22°＋sin 288°＝1，…，sin 244°＋sin 246°＝1，而sin 245°＝12，故原式＝44＋12＝4412． 答案：4412(3)已知tan α＝－43，求2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α的值． 解析：∵sin 2α＋cos 2α＝1，cos α≠0，∴原式＝2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan 2α＋tan α－3tan 2α＋1 ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－43－31＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝－725．同角三角函数基本关系式的应用技巧1．已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin α＝( )A ．－1－k 2B ．1－k 2C ．±1－k 2D ．1＋k 2解析：由cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，可知k ＜0，设角α终边上一点P (k ，y )(y＞0)，OP ＝1，所以k 2＋y 2＝1，得y ＝1－k 2，由三角函数定义可知sin α＝1－k 2．答案：B2．已知tan α＝2，求sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值．解析：原式＝tan α－45tan α＋2＝2－45×2＋2＝－16．考点二 诱导公式的应用◄考基础——练透[例2] (1)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝23，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝________．解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－2π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α ＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23．答案：－23(2)设f (α)＝2sin （π＋α）cos （π－α）－cos （π＋α）1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)．①化简f (α)；②若α＝－23π6，求f (α)的值． 解析：①f (α)＝（－2sin α）·（－cos α）－（－cos α）1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2 α＋sin α＝cos α（2sin α＋1）sin α（2sin α＋1）＝cos αsin α＝1tan α．②当α＝－23π6时，f (α)＝f (－23π6)＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tan π6＝133＝3．1.应用诱导公式时，注意： （1）明确函数名是变，还是不变； （2）明确函数值符号是正还是负； （3）明确是否直接用公式；（4）明确各公式的应用顺序，合理转化角度： 一般的：任意角的三角函数――――→负化正正角的三角函数――――→大化小0°～360°角的三角函数――――→小化锐锐角的三角函数2．含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α．若本例(1)中条件不变，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋α的值．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫43π＋α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤32π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－23．考点三 同角关系的诱导公式的综合应用◄考能力——知法角度1 以化为“同名”函数为主线[例3] (1)已知tan α＝2，则cos(π＋α)·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值为________．解析：依题意得cos(π＋α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝cos αsin α＝cos αsin αcos 2α＋sin 2α＝tan α1＋tan 2α＝25． 答案：25(2)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4值．解析：由题意得⎩⎨⎧sin αcos α＝2sin 2α＋cos 2α＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2．∴sin α＝25，cos α＝15． ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4 ＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫25＋15＝31010．此类题，主要是沟通已知与所求函数名之间的联系，进行转化，正弦↔余弦，切↔弦．角度2 以化为“同角”函数为主线[例4] (1)已知f (α)＝sin （π－α）cos （2π－α）cos （－π－α）tan α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3的值为( )A ．12 B ．－13 C ．－12D ．13解析：∵f (α)＝sin α·cos α－cos αtan α＝－cos α，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3 ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫10π＋π3＝－cos π3＝－12． 答案：C(2)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝__________． 解析：因为θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，所以θ＋π4为第一象限角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43． 答案：－43此类题主要沟通已知角与所求角间的联系：用已知角表示所求角．如⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝π，⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2，用⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α搭“桥”，沟通了⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α与⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α之间的关系．为此可以从已知向所求靠拢或从所求向已知靠拢．1．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋cos α＝－33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝( ) A ．－223 B ．223C ．－13D ．13解析：由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋cos α＝－33，展开化简可得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－13，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－13．故选C ． 答案：C2．已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是__________． 解析：由sin α＋2cos α＝0得tan α＝－2． ∴2sin αcos α－cos 2α ＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝2×（－2）－1（－2）2＋1＝－55＝－1． 答案：－1数学运算、引角换元——同角关系式运用中的学科素养 平方关系：sin 2 α＋cos 2α＝1可以作为三角换元的依据： 如x 2＋y 2＝1，可设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos αy ＝sin α，x 2＋y 2＝r 2，可设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos αy ＝r sin α，(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，可设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos αy ＝b ＋r sin α，故当涉及问题有x 2＋y 2时，可考虑引角换元的方法，体现了数学转化思想的应用和数学运算的学科素养．[例1] 实数x ，y 满足4x 2－5xy ＋4y 2＝5，S ＝x 2＋y 2．求1S max＋1Smin的值．解析：设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝S cos αy ＝S sin α，∴4S －5S sin αcos α＝5，∴S ＝108－5 sin 2α． ∵－1≤sin 2α≤1，∴1013≤S ≤103， ∴1Smax＋1Smin＝310＋1310＝1610＝85．点评： 由S ＝x 2＋y 2联想到cos 2 α＋sin 2 α＝1，进行三角换元．进一步将条件转化为与S 的关系．[例2] 椭圆x 216＋y 24＝1上有两点P 、Q ，O 为原点．连结OP 、OQ ，k OP ·k OQ＝－14，(1)求证：|OP |2＋|OQ |2为定值； (2)求线段PQ 中点M 的轨迹方程．解析：(1)证明： 由x 216＋y 24＝1，设⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝2sin θ，P (4cos θ1，2sin θ1)，Q (4cos θ2，2sin θ2)，则k OP ·k OQ ＝2sin θ14cos θ1·2sin θ24cos θ2＝－14，整理得：cos θ1cos θ2＋sin θ1 sin θ2＝0， 即cos(θ1－θ2)＝0．∴|OP |2＋|OQ |2＝16cos 2 θ1＋4sin 2 θ1＋16cos 2θ2＋4sin 2θ2＝8＋12(cos 2θ1＋cos 2θ2)＝20＋6(cos 2θ1＋cos 2θ2)＝20＋12cos(θ1＋θ2)cos(θ1－θ2)＝20， 即|OP |2＋|OQ |2等于定值20．(2)由中点坐标公式得到线段PQ 的中点M 的坐标为⎩⎪⎨⎪⎧x M ＝2（cos θ1＋cos θ2），y M ＝sin θ1＋sin θ2，所以有(x2)2＋y 2＝2＋2(cos θ1cos θ2＋sin θ1 sin θ2)＝2，即所求线段PQ 的中点M的轨迹方程为x 28＋y 22＝1．点评：由椭圆方程联想到cos 2 α＋sin 2α＝1，进行三角换元．引入角度θ1、θ2，得出P 、Q 两点坐标，从而将问题转化为三角函数计算，同时结合“平方关系”，得出中点轨迹方程．课时规范练A 组 基础对点练1．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．1D ．－1解析：因为α是第三象限角，故sin α＜0，cos α＜0，所以原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝－1－2＝－3． 答案：B2．α是第四象限角，tan α＝－512，则sin α＝( ) A ．15 B ．－15 C ．513D ．－513解析：因为tan α＝－512， 所以sin αcos α＝－512， 所以cos α＝－125 sin α，代入sin 2α＋cos 2α＝1得sin α＝±513， 又α是第四象限角，所以sin α＝－513． 答案：D3．已知cos 29°＝a ，则sin 241°·tan 151°的值是( ) A ．1＋a 2 B ．1－a 2 C ．－1＋a 2 D ．－1－a 2解析：sin 241°·tan 151° ＝sin(270°－29°)·tan(180°－29°) ＝(－cos 29°)·(－tan 29°) ＝sin 29°＝1－a 2．答案：B4．若sin θcos θ＝12，则tan θ＋cos θsin θ的值是( ) A ．－2 B ．2 C ．±2D ．12解析：tan θ＋cos θsin θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1cos θsin θ＝2． 答案：B5．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝( )A ．－45B ．45C ．35D ．－35解析：因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，sin α＝－35，所以cos α＝45，则cos(－α)＝cos α＝45．答案：B6．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( ) A ．－π6B ．－π3C ．π6D ．π3解析：∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3．∵|θ|<π2，∴θ＝π3． 答案：D7．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，则tan α＝__________．解析：∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝45，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43．答案：－438．化简：cos （α－π）sin （π－α）·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝__________．解析：cos （α－π）sin （π－α）·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－cos αsin α·(－cos α)·(－sin α)＝－cos 2α． 答案：－cos 2α9．若角θ满足2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos θ2sin （π＋θ）－3cos （π－θ）＝3，则tan θ的值为__________．解析：由2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＋cos θ2sin （π＋θ）－3cos （π－θ）＝3，得2sin θ＋cos θ－2sin θ＋3cos θ＝3，等式左边分子分母同时除以cos θ，得2tan θ＋1－2tan θ＋3＝3，解得tan θ＝1．答案：110．设α是第三象限角，tan α＝512，则cos(π－α)＝________． 解析：因为α为第三象限角，tan α＝512， 所以cos α＝－1213，所以cos(π－α)＝－cos α＝1213． 答案：1213B 组 能力提升练11．已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( ) A ．－1 B ．－22 C ．22D ．1解析：∵sin α－cos α＝2，∴(sin α－cos α)2＝1 －2sin αcos α＝2，∴2sin α·cos α＝－1，∴sin 2α＝－1．故选A ． 答案：A12．已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 019)的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．3D ．－3解析：因为f (4)＝3，所以a sin α＋b cos β＝3，故f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－(a sin α＋b cos β)＝－3． 答案：D13．已知锐角θ满足sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π6＝23，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋5π6的值为( )A ．－19B ．459C ．－459D ．19解析：因为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π6＝23，由θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，可得θ2＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π12，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ2＋π6＝53，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝459，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋5π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ＋π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝－459．故选C ．答案：C14．(2019·江西赣中南五校联考)已知倾斜角为α的直线l 与直线x ＋2y －3＝0垂直，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 015π2－2α的值为( )A ．45B ．－45C ．2D ．－12 解析：由题意可得tan α＝2， 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 015π2－2α＝－sin 2α＝－2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝－2tan αtan 2α＋1＝－45．故选B ． 答案：B15．已知角A 为△ABC 的内角，且sin A ＋cos A ＝15，则tan A 的值为__________． 解析：∵sin A ＋cos A ＝15，① ①式两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，∴sin A cos A ＝－1225，则(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，∵角A 为△ABC 的内角，∴sin A >0，又sin A cos A ＝－1225<0，∴cos A <0，∴sin A －cos A >0，则sin A －cos A ＝75．②由①②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，∴tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43．答案：－43第三节三角函数的图象与性质[基础梳理]1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)， ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象上，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，()π，－1，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)． 2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 3．周期函数(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．1．一个易混点正切函数y ＝tan x 的单调性只能说：在(k π－π2，k π＋π2)上k ∈Z 为增函数，不能说为：在定义域上为增函数． 2．一个易错点求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx ＋φ看作一个整体，代入y ＝sin t 的相应单调区间求解，否则将出现错误．3．三角函数的对称与周期的关系(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期． 4．关于周期的两个结论函数y ＝|sin x |，y ＝|cos x |，y ＝|tan x |的周期为π，函数y ＝sin|x |，不是周期函数，y ＝tan |x |不是周期函数．[四基自测]1．(教材改编)函数y ＝12sin x ，x ∈[－π，π]的单调性是( ) A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上都是减函数C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π和⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是减函数 答案：B2．(教材改编)函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈ZB ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∈ZC ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈ZD ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z答案：D3．(2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A ．4πB ．2πC ．πD ．π2答案：C4．(2018·高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )＝2sin x ＋sin 2x 的最小值为________． 答案：－15．cos 23°，sin 68°，cos 97°从小到大的顺序是________． 答案：cos 97°＜cos 23°＜sin 68°考点一 有关三角函数的定义域、值域、最值问题◄考能力——知法角度1 单调性法求有关三角函数的定义域、值域(最值)[例1] (1)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3 解析：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，故3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3．答案：B(2)函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为________．解析：要使函数有意义，则有⎩⎨⎧sin x ＞0，cos x －12≥0， 即⎩⎨⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎨⎧2k π＜x ＜π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z )， 所以2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z ． 所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z ．答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z (3)(2018·高考北京卷)已知函数f (x )＝sin 2 x ＋3sin x cos x ． ①f (x )的最小正周期；②若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32，求m 的最小值．解析：①f (x )＝sin 2 x ＋3sin x cos x ＝12－12cos 2x ＋32sin 2x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π． ②由①知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12．由题意知－π3≤x ≤m ，所以－5π6≤2x －π6≤2m －π6．要使得f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为32．即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，m 上的最大值为1．所以2m －π6≥π2，即m ≥π3． 所以m 的最小值为π3．单调性法求三角函数最值主要是利用三角函数在相应区间上的单调性求解最值．破解此类题的关键点为：(1)化简，即利用三角恒等变换将三角函数转化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的形式．形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c ，可通过引入辅助角φ⎝⎛⎭⎪⎫cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝ba 2＋b 2，将其转化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)＋c ．(2)定单调性，即判断三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 在指定区间上的单调性． (3)求解，即根据三角函数在指定区间上的单调性求出最值．角度2 换元法求三角函数的最值(值域)[例2] (2017·高考全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．解析：f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以cos x ∈ [0，1]，所以当cos x ＝32时，函数取得最大值1．答案：1换元法求三角函数的最值常把三角函数中的某一部分看作一个整体并用新元去替代，从而将三角函数的最值问题转化为简单多项式函数的最值问题．破解此类题的关键点：(1)化简，利用同角三角函数的基本关系、诱导公式及三角恒等变换将三角函数转化成关于sin x 或cos x 的多项式的形式．(2)换元，根据多项式的特点，令t ＝sin x 或t ＝cos x ，进而将三角函数转化为关于t 的函数．形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c ，可设t ＝sin x ，将其转化为二次函数y ＝at 2＋bt ＋c (t ∈[－1，1])；形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c ，可设t ＝sin x ±cos x ，则t 2＝1±2sin x cos x ，即sin x cos x ＝±12(t 2－1)，将其转化为二次函数y ＝±12a (t 2－1)＋bt ＋c (t ∈[－2，2])．换元时一定要注意新元的取值范围．(3)求解，根据关于t 的函数的特点，利用适当的方法求出函数的最值．1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数ƒ(x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．ƒ(x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．ƒ(x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．ƒ(x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．ƒ(x )的最小正周期为2π，最大值为4解析：∵ƒ(x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝1＋cos 2x －1－cos 2x 2＋2＝32cos 2x ＋52，∴ƒ(x )的最小正周期为π，最大值为4． 故选B ． 答案：B2．(2017·高考全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A ．65B ．1C ．35D ．15解析：∵f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＋32cos x ＋12sin x＝35sin x ＋335cos x ＝35×2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3， ∴f (x )的最大值为65．故选A ． 答案：A考点二 三角函数的性质及应用◄考素养——懂理角度1 三角函数的单调性[例3] (1)(2019·佛山模拟)已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的一个单调递减区间是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π解析：因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，所以2×π3＋φ＝2k π＋π2，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z ，不妨取φ ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π＋π2<2x －π6<2k π＋3π2，k ∈Z ，可得k π＋π3<x <k π＋5π6，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π3，k π＋5π6，k ∈Z ，结合选项可知当k ＝0时，函数的一个单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6． 答案：B(2)(2018·高考全国卷Ⅱ)若ƒ(x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是( ) A ．π4 B ．π2 C ．3π4D ．π解析：ƒ(x )＝cos x －sin x＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·22－cos x ·22＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，34π，即x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2时，y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增，y ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递减．∵函数ƒ(x )在[－a ，a ]是减函数， ∴[－a ，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，34π，∴0＜a ≤π4，∴a 的最大值为π4． 故选A ． 答案：A(3)已知ω＞0，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递增，则ω的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，74C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，94D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74解析：函数y ＝cos x 的单调递增区间为[－π＋2k π，2k π]，k ∈Z ，则⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥－π＋2k π，k ∈Z ，ωπ＋π4≤2k π，k ∈Z ，解得4k －52≤ω≤2k －14，k ∈Z ，又由4k －52－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k －14≤0，k ∈Z 且2k －14＞0，k ∈Z ，得k ＝1， 所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，74．答案：D1．求三角函数单调区间的方法2．已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法角度2 三角函数的奇偶性、对称性、周期性[例4] (1)(2018·高考全国卷Ⅲ)函数ƒ(x )＝tan x1＋tan 2x的最小正周期为( )A ．π4B ．π2C ．πD ．2π解析：由已知得ƒ(x )＝tan x 1＋tan 2x ＝sin x cos x 1＋（sin x cos x）2＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2xcos 2x ＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，所以ƒ(x )的最小正周期为T ＝2π2＝π． 故选C ． 答案：C(2)(2019·银川模拟)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)，满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A ．π6 B ．π3 C ．5π6D ．2π3解析：因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋φ是偶函数，所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6． 答案：C三角函数的奇偶性、对称性和周期性问题的解题思路(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．故形如y ＝A sin(ωx ＋φ)成为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )；成为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )．y ＝A cos(ωx ＋φ)成为奇函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )；成为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z )． (2)周期的计算方法：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期为πω求解．(3)解决对称性问题的关键：熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心． 提醒：对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0，0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin 2x ＋cos 2xD ．y ＝sin x ＋cos x解析：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝cos 2x 是偶函数，不符合题意．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x是T ＝π的奇函数，符合题意，同理C ，D 均不是奇函数． 答案：B。
弧度制应用
弧度制应用什么是弧度制弧度制是一种角度度量单位，用来测量圆周上的角度。
在弧度制中，一个完整的圆周被定义为2π弧度，而一半的圆周被定义为π弧度。
弧度制的优点是可以通过简单的比例关系直接将角度转换为弧长和半径，从而简化了复杂的计算过程。
为什么使用弧度制弧度制在科学和工程领域广泛应用，原因如下：1.简化计算：弧度制可以简化各种复杂的数学和物理计算。
通过将角度转换为弧度，可以使用简单的乘法和除法来计算弧长、圆周长、扇形面积等问题，而不需要复杂的角度转换公式。
2.与圆相关的公式：弧度制在与圆相关的公式中非常方便。
例如，弧长公式中的角度被转换为弧度，使得计算更加简单和直观。
3.物理学中的应用：在物理学中，弧度制广泛应用于描述角度和角速度。
弧度制可以使得许多物理量的计算更加方便和准确。
4.求导和积分：使用弧度制可以简化求导和积分的过程。
由于弧度制的定义是圆周的一部分，使得角度与弧长之间的转换更加简单和直接。
弧度制与角度制的转换公式在弧度制和角度制之间进行转换，需要使用以下公式：•角度制到弧度制：弧度 = (角度× π) / 180•弧度制到角度制：角度 = (弧度×180) / π弧度制的实际应用1. 物理学中的使用在物理学中，弧度制广泛应用于描述角度和角速度。
例如，在描述物体运动时，常常使用角度和角速度来表示物体的旋转情况。
弧度制可以基于圆周的长度来准确地描述旋转的角度和转动的速度，从而使得物理计算更加精确和准确。
2. 数学中的计算在数学中，弧度制被广泛用于各种计算。
例如，在三角函数的计算中，弧度制可以使得各种函数的计算更加简单和直观。
弧度制还在微积分中起着重要的作用，在求导和积分的过程中，使用弧度制可以简化计算，使得结果更加准确和方便。
3. 工程中的应用在工程领域，弧度制也有广泛的应用。
例如，在测量角度和旋转的情况下，弧度制可以提供更加准确和精确的测量结果。
此外，在机械工程、建筑工程和电气工程等领域中，使用弧度制可以简化各种计算和设计过程，提高工程的可靠性和效率。
弧度制任意角三角函数及诱导公式
弧度制任意角三角函数及诱导公式一、弧度制弧度制是一种测量角度大小的方式，与我们常用的度数制不同。
在弧度制中，角度的大小由弧长来表示。
弧度制的优势在于能够更精确地描述角度的大小和计算三角函数的值。
弧长是指在圆的周长上所对应角度的长度，单位可以是任意长度单位，如米、厘米等。
弧度则是弧长在半径长度下的比例，它是一个无单位的数值。
具体来说，当角度为360度时，弧度为2π。
根据这个关系，可以设立一个比例：一个圆的弧度与其所对应的角度之比等于2π与360度之比。
推而广之，可以得到以下的换算关系：180°=π弧度1°≈π/180弧度。
二、任意角三角函数我们通常所说的三角函数（如正弦函数 sin(x)、余弦函数 cos(x)、正切函数 tan(x)等）都是基于直角三角形的定义而来的。
但是，在数学中，我们也可以将这些三角函数推广到任意角上。
对于任意角θ，其三角函数的定义如下：sin(θ) = y / rcos(θ) = x / rtan(θ) = y / x其中，x、y分别表示点P在单位圆上的坐标，r表示点P到圆心的距离。
任意角三角函数的计算可以利用单位圆上的点P的坐标来进行。
通常，我们可以利用三角恒等式来将任意角转化为在360度以内的角，然后再应用单位圆上的计算方法。
三、诱导公式在任意角三角函数的计算中，诱导公式起到了重要的作用。
诱导公式可以将其中一函数的一些特定角度的值转化为其他角度的值。
以下是一些重要的诱导公式：1.正弦函数的诱导公式：sin(π/2 - θ) = cos(θ)sin(π/2 + θ) = cos(θ)sin(π - θ) = sin(θ)sin(2π - θ) = -sin(θ)。
2.余弦函数的诱导公式：cos(π/2 - θ) = sin(θ)cos(π/2 + θ) = -sin(θ)cos(π - θ) = -cos(θ)cos(2π - θ) = cos(θ)。
三角函数的自变量为何要使用弧度制
三角函数的自变量为何要使用弧度制三角函数是数学中一类重要的函数，它们描述了角的性质和关系，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
在使用三角函数时，我们常常需要用到它们的自变量，即角度。
在数学教育中，我们往往会学习两种制度来度量角度，即度制和弧度制。
在这两种制度中，弧度制被广泛应用和推荐，因为它有很多优势和方便之处。
那么，为何要使用弧度制作为三角函数的自变量呢？下面我将通过讨论弧度制的定义、与度制的对比和应用效果等方面来解释。
首先，我们来看一下弧度制的定义。
弧度制是一种无量纲的角度度量方式，以与半径相等的弧长作为单位。
弧度的定义是：弧度制下，单位圆上的圆心角对应的弧长等于该圆的半径。
也就是说，如果角度为$\theta$弧度时，对应的弧长就是$\theta$。
与此相对比的是度制。
度制是一种以度为单位的角度度量方式，将整圆分为360等分，每等分称为1度。
根据度制，一整圆对应角度为360度。
度与弧度之间的换算关系是：$1圆周=360度=2π弧度$。
那么，为什么我们需要使用弧度制呢？主要有以下几个方面的原因：其次，弧度制下的三角函数具有良好的导数和积分性质。
当自变量用弧度度量时，三角函数的导数和积分公式具有简洁的形式和易于计算的特点。
例如，我们知道，正弦函数的导数是余弦函数，而余弦函数的导数是负的正弦函数。
这些性质在弧度制下推导和证明更为简单，而在度制下则较为复杂。
另外，弧度制可以更好地应用于物理学和工程学等实际领域。
在物理学和工程学中，很多问题涉及到角度的度量和转换，例如机械运动、电路震荡等。
弧度制可以更好地适应这些实际问题的求解和分析，因为它更符合实际运动轨迹和物理实验的相关度量。
最后，由于弧度制是一种无量纲的角度度量方式，它消除了单位的变化和选择对结果的影响。
在度制下，不同单位的选择可能导致计算结果的混乱和不一致。
而在弧度制下，这个问题得到了有效地解决，它更加便于计算和交流。
综上所述，弧度制作为三角函数的自变量具有很多优势和方便之处。
弧度制求三角函数值
弧度制求三角函数值在数学中，三角函数是一组描述角和直角三角形边长之间关系的函数。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数，它们在不同的角度下有不同的取值。
在本文中，我们将讨论如何使用弧度制来求解三角函数值。
什么是弧度制在几何学中，角度通常用度数来表示，1个完整的圆周被划分为360度。
而在数学中，弧度制是更常见的一种角度单位，它是一种基于半径为1的圆的单位，定义为弧长等于半径的角。
具体来说，一周的圆弧长度等于圆周率（π）乘以半径，这个长度被定义为弧度角度的1弧度。
弧度制有时被认为是更自然和方便的角度单位。
三角函数在弧度制下的定义在弧度制下，三角函数的定义并没有改变，但是我们使用弧度作为角度单位。
正弦函数、余弦函数和正切函数在弧度制下的定义如下：•正弦函数（sin）：对于任意角θ，正弦函数等于对应角的正弦比值，即sin(θ) = 对边 / 斜边。
•余弦函数（cos）：对于任意角θ，余弦函数等于对应角的余弦比值，即cos(θ) = 邻边 / 斜边。
•正切函数（tan）：对于任意角θ，正切函数等于对应角的正切比值，即tan(θ) = 对边 / 邻边。
弧度制下的三角函数值计算在弧度制下，我们可以通过基本三角函数值计算公式来求解各种角度下的三角函数值。
以下是一些常见角度的三角函数值计算：•对于30度角（π/6弧度）：–正弦函数sin(π/6) = 1/2–余弦函数cos(π/6) = √3/2–正切函数tan(π/6) = 1/√3•对于45度角（π/4弧度）：–正弦函数sin(π/4) = √2/2–余弦函数cos(π/4) = √2/2–正切函数tan(π/4) = 1•对于60度角（π/3弧度）：–正弦函数sin(π/3) = √3/2–余弦函数cos(π/3) = 1/2–正切函数tan(π/3) = √3通过以上计算可以得到不同角度下的三角函数值，计算使用弧度制表示更加自然和方便。
在实际计算中，我们可以通过将角度转换为弧度制来求解各种三角函数值，从而更好地理解和应用三角函数。
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弧度制三角函数的简单应用
金台高级中学编写人：徐春妮
§9 三角函数的简单应用
学习目标
1.掌握三角函数模型应用基本步骤
2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.
学法指导
三角形应用的步骤是：
1．分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图： 2．建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与未知量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的
数学模型。
3．求解：利用三角形，求得数学模型的解。
4．检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
即解三角应用题的基本思路要点导读
课后测评
一、选择题
1.。
已知A ,B ,C是△ABC的三个内角, 且sinAsinBsinC,则 ( )
(A) ABC (B) ABC (C) A+B (D) B+C
2．.在平面直角坐标系中，已知两点
A(cos800,sin800),B(cos200,sin200)，则|AB|的值是( )
(A) (B) (C) (D)。
02年北京国际数学家大会会标
是由四个相同的直角三角形与中间的小
正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的
锐角为θ,大正方形的
面积为1,小正方形的面积是 ,则sin2θ-cos2θ的
值是 ( )
(A) 1 (B) (C) (D) -
4．.D、C、B三点在地面同一直线上,DC=a,从C、D
两点测得A点的仰角
分别是α、β（αβ）,则A点离地面的高度等于 ( ) (A) (B) (C) (D)
5．.甲、乙两人从直径为2r的圆形水池的一条直径
的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙
速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转
角的弧度数, l表示甲、乙两人的直线距离，则l=f(θ)
的图象大致是。
电流强度I (安培)随时间t(秒)变化的函
数I=Asin(ωt+φ)的图象如图
所示，则当t= 秒时的电流强度 ( )
(A)0 (B)10 (C)-10 (D)5
二.填空题
7．.三角形的内角x满足2cos2x+1=0则角x= ; 8．. 一个扇形的弧长和面积的数值都是5，则这个扇形中心角的度数是 ;
9．设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间
t(小时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t0369121518212215.1122.1
经长期观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.则一个能近似表示表中数据间对应关系的函数是0 。
直径为10cm的轮子有一长为6cm的弦，P是该弦的中点，轮子以5弧度/秒的角速度旋转，则经过5秒钟后点P经过的弧长是 .
三.解答题
11． .以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的,已知3月份出厂价格最高为8 元,7月份出厂价格最低为4元;而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份也是随正弦曲线波动的.并已知5月份销售价最高为10元.9月份销售价最低为6元.假设某商店每月购进这种商品m件，且当月能售
完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由2．.一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离
h(米)与时间
t(分钟)之间的函数关系式.
13．.一铁棒欲通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：
（1）证明棒长L (θ)= ；
（2）当θ∈(0, )时,作出上述函数的图象（可用计算器或计算机）；
（3）由(2)中的图象求L (θ)的最小值；
（4）解释(3)中所求得的L是能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值.
学生反思：
§3 弧度制．
课前指导
学习目标
理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．“角度制”与“弧度制”的区别与联系
能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决
一些实际问题
学法指导
角度与弧度之间的转换：
①将角度化为弧度：
；；；．
②将弧度化为角度：
；；；．
要点导读
1.规定把周角的作为1度的角,用叫做角度制．2．叫做1弧度的角；叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．
3.弧度制的性质：
①半圆所对的圆心角为②整圆所对的圆心角为
③正角的弧度数是．④负角的弧度数是．
⑤零角的弧度数是．⑥角α的弧度数的绝对值
4．特殊角的弧度
角度
0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360° 弧度
5．弧长公式
_____________.
课堂导学
例1．将下列各角化成2kπ + α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．
；．
课后测评
一．选择题（每小题5分）
1、下列各角中与240°角终边相同的角为（）
A．２π３B．－５π６C．－２π３D．７π６
2、若角α终边在第二象限，则π－α所在的象限是（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、把－1125°化成α＋2kπ （0≤α＜2π,k∈Z ＝）的形式是（）
A．－π4 －6π Ｂ．7π4 －6π Ｃ．－π4 －
8π Ｄ．7π4 －8π
4、已知集合M =｛x∣x = , ∈Z｝，N =｛x∣x = , k∈Z｝，则（）
A．集合M是集合N的真子集 B．集合N是集合M的真子集
C．M = N D．集合M与集合N之间没有包含关系
5、若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm,则这个圆心
角所夹的扇形的面积是（）
Ａ．4 cm2 Ｂ．2 cm2 Ｃ．4πcm2 Ｄ．2πcm2
6、集合｛α∣α = －,k∈Z｝∩｛α∣－παπ｝为（）
A．｛－π5 ,3π10 ｝B．｛－7π10 ,4π5 ｝C．｛－π5 , 3π10 ,－7π10 ,4π5 ｝D．｛3π10 ,7π10 ｝二．填空题（每小题5分）
1、若角α，关于y轴对称，则α，的关系是；
2、若角α，满足，则的范围；
3、将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是．
4、已知是第二象限角，且则的集合是．
三．解答题（每小题10分）
已知 =1690o，
(1)把表示成的形式，其中k∈Z，∈ ．
（2）求，使与的终边相同，且．
课后测评B
一、选择题（每题5分共60分）
(1）在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角（） A.所对的弧长相等 B.所对的弦长相等
C.所对的弧长等于各自的半径
D.以上都不对
(2).把化为的形式是（）
A. B. C. D.
(3).把表示成的形式，使最小的的值是（）
A. B. C. D.
(4).若是第二象限角，那么和都不是（）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
(5).将分针拨慢十分钟，则分针所转过的弧度数是（）
A、 B、 C、 D、
(6)圆弧长度等于其内接正三角形的边长，其圆心角的弧度数是（）
A、 B、 C、 D、2
(7)已知集合，
则等于（）
A、 B、{ } C、
D、或 }
(8).设且17 的终边与的终边相同,则等于 ( )
A. B. C. D.1
(9).集合
则A、B的关系为 ( )
A. B. C.A=B D,A
(10)已知扇形的半径为12cm,弧长为18cm,则扇形圆心角的弧度数为( )
A. B. C. D.
(11).终边在第一、四象限的角的集合可表示为 ( )
A. BD.
（12）若是第四象限的角，则在（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
二、填空题（每题5分共10分）
(13)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧的弧长是
(14)用弧度制表示x轴上方的角的集合
(15)扇形的半径是5cm，弧长是 cm那么扇形的面积是(16)
三、解答题（每题10分共20分）已知扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面
积最大？最大面积是多少？如图,一条弦AB的长等于它
所在的圆的半径R,求弦AB和劣弧AB所组成的弓形的面积.
A B
R
R
学生反思：。