相干的基本理论

假定光场是平稳的，其统计性质不随时间改变，互相关函 数只与时间差 t2 t1 r2 r1 c有关。
若光场还是各态历经的，则时间互相干函数等于统计互相干 函数。因此得出 * * u ( p1 , t t1 ) u ( p2 , t t2 ) u ( p1 , t ) u ( p2 , t ) （4） 12 式中
再由公式（13）式可得
0 12 1

（16）
当 12 取最大值1时，Q点的光强与频率为 的单色光波 在该点叠加所产生的干涉结果相同，P 和 P 点的光振动是 1 2 相干的。当 12 取最小值零时，Q点的光强为两光束光波 在Q点产生的光强的简单相加，因此 P1 和 P 点的光振 2 动是不相干的。当 0 12 1 时， P1 和 P2 点的光振 动是部分相干的。
（21）
（22） ，
（23）
由（22）和（23）式： （24）
（25）
R1
s1

bc

R
R2
s 0 dc s2
图3.光源的相干尺度，相干距离的定义
光源的相干尺度为
R R R bc y r r r d d
dc R bc bc R
（26）
相干距离为
（27）
3.空间相干性
波在空间不同区域可能具有不固定的相位差，只有在一定空 间范围内的光波才有相对固定的位相差，使得只有一定空间 内的光波才是相干的。这种特性叫做波的空间相干性。因此 在做干涉实验时，必须考虑光源中的不同位置处光波的干涉， 也就是光源的几何尺寸对干涉条纹的影响，即空间相干性。
图2.用杨氏干涉仪测量空间相干性
bc
（31）
该式表明，相干范围的孔径角与扩散光源尺寸成反比，该式 也叫做空间相干性公式。
4.时间相干性
与波传播时间差有关的，不确定的位相差导致的，只有传播 时间差在一定范围内的波才具有相对固定的位相差从而相干 的特性叫波的时间相干性。
M2
h

M1
B
S
C
P
M3
D
图4.迈克尔逊干涉仪示意图
为 S0 对扩展光源
bc 的张角。如果扩散光源是正方形，则
2 c 2
被它照明的平面上的相干面积为
Ac d
（28）
对于圆形光源，其照明平面上的横向相干宽度为
dcΒιβλιοθήκη Baidu 1.22
其相干面积为
（29）
2 2
1.22 0.61 Ac 2
在迈克尔逊干涉仪中，光源S发出波场， 我们研究空间P点 的时间相干性。为此，用一屏 挡住光场只露出P点。从P 点发出的光波分别经干涉仪的两臂而达到D点相互干涉，用 探测器读出光强。设两臂之差为 h ，则两光路光程差为 2h 。 这就相当于把 t 时刻P点的场与 (t 2h c) 时刻P点的场二者 进行了叠加，即同一点不同时刻的场发生干涉。移动 M 1 就 相当于改变 2 h c ，于是可对任何 进行测量。 2 h c 是时间延迟。
和 P2 点的光强。单孔 P1
（10） （11）
I1 (Q) K1211 0 K12 I1
2 2 I2 (Q) K2 22 0 K2 I2
于是，公式（3）可化简为
I (Q) I1 (Q) I 2 (Q) K1K 2 12 *12
11
（6）
u ( p2 , t ) u * ( p2 , t ) 22
（7）
或
22
称为光场的自相干函数。
当 0 时有 * * u ( p1 , t t1 ) u ( p1 , t t1 ) u ( p1 , t ) u ( p1 , t ) 11 0
把（1）代入（2），得到
2 2 * I (Q) K1 u ( p1 , t t1 ) u ( p1 , t t1 ) K2 u ( p2 , t t2 ) u * ( p2 , t t2 ) * * K1K2 u ( p1 , t t1 ) u ( p2 , t t2 ) K1K2 u ( p1 , t t1 ) u ( p2 , t t2 ) （3）
（13）
我们称这个归一化互相干函数 最终表示为
12

为复相干度。公式（12）
（14）
I Q I1 (Q) I 2 (Q) 2 I1 (Q) I 2 (Q) Re 12
上式正是平稳光场的普遍干涉定律。利用许瓦兹不等式易 证明 12 12 ( ) 11 0 22 0 （15）
I1 (Q) I2 (Q) 2K1K2 Re12
（12）
在许多情况下，用归一化互相干函数处理问题，比用互相 干函数本身更为方便，于是有
12
12 11 0 22 0
12

12 I1 I 2
（43）
自相关系数函数也满足 （44）
A 对于单色平面光， (t ) 是常数振幅，并且对于任意的 自相关 函数值都是1.这样的光称为相干光。对于大部分多色光，仅 仅在 0 时才会有 1 ，并且当 增大时， 趋近于 0.这样的光称为部分相干光。如果 是关于 的递减函数， ，这样我们就称 为这束光的相 0 并且当 时 c c 干时间。因此在两束光的干涉实验中，如果光程差不超过
图6.两束光形成干涉条纹的强度分布
假设两束光为 （40） （41） 式中 是时延。从中可以看出。这两列波是由同一源产生 的。两束光的互相关是波（式（39））的自相关的一种度 量。因此自相关系数定义为
（42）
假设所有量都是不变的，时间平均就与开始时间无关。那 么自相关系数函数 变为
1
r1
P1
S
Q
r2
O
P2
z
图1.扩展光源的杨氏干涉实验
由于探测器的响应时间比相干时间长得多，在Q点探测到的 光强是一个时间平均值 * I Q u Q, t u Q, t （2） 式中，角括号表示时间平均，即
1 f (t ) lim T 2T

T
T
f t dt
Imax I1 I 2 2 K1K2 12
Imin 条纹可见度V定义为 I1 I 2 2 K1K2 12
（17） （18）
（19）
对于偏振态相同的光束（例如 相平行时），上式可表示 K1 K 2 为
（20）
条纹可见度总是小于1大于0的。在特殊情况下，当
时
也就是说，条纹可见度和相干度是等效的。在完全相干的情 况下，条纹可见度达到最大值1；在非相干情况下，条纹可 见度为0，也就是没有相干条纹。
12 1, 完全相干 12 0, 不相干 0 12 1，部分相干
2.条纹可见度
光场的相干性质，可通过实验测定干涉条纹的清晰度或可见度 来确定。在干涉图样中，光强在 I max 和 I min 两个极值之间变化。 从上面的分析，我们可以得出这两个极值是由以下式子决定的
u ( p2 , t t2 ) u * ( p2 , t t2 ) u ( p2 , t ) u * ( p2 , t ) 22 0
（8） （9）
显然，11 0 I1 和 0 I 分别是 和 P2 分别在Q点产生的光强为
22 2
P1
相干的基本理论
1.互相干函数 2.条纹可见度 3.空间相干性 4.时间相干性 5.空间-时间相干 6.相干时间与相干长度
1.互相干函数
如图所示，假定有一个有限带宽的扩展光源S，由它发出 的光照明不透明屏上的两个针孔P1和 P2，在远离它的观察 屏上的Q点附近观察两光波叠加的结果。设t时刻 P1 和 P2 u P , t 和 u P , t 表示，t时刻Q点 点的光振动分别用解析信号 1 2 的光振动是两个光波叠加的结果，即 （1） u Q, t K u P , t t1 K2u P2 , t t2 1
（45）
就会产生干涉条纹。 是式（39）中两束光的相干长度。
对于很多实际应用情形，式（42）或式（43）的时间间隔可 以取为无穷。因此，自相关函数可以认为是电磁场的归一化 自相关函数。根据维纳-肯欣定理可知，场的功率谱和自相关
lc
函数是一对傅里叶变换对。因此式（43）给出的 是归一 化的电磁场功率谱的傅里叶变换。那么根据傅里叶变换理论， 我们有
（46） 该式表示单色光辐射的相干时间和它的光谱线宽是倒数关系。
12 称为光场的互相干函数，显然
* * u ( p1 , t t1 ) u ( p2 , t t2 ) u ( p1 , t ) u ( p2 , t )
*
* 12
（5）
当 P1 与 P 点重合时，该点光振动的自相干函数为 2 * u ( p1 , t ) u ( p1 , t ) 11 或 这里把
5.空间-时间相干
5
（32）
图5.在P点的空间-时间相干
（33）
（34）
（35）
（36）
（37） （38）
6.相干时间与相干长度
除了两束光的相干性外，还可以定义电磁场辐射自身的相 干性。现在考虑具有以下形式的准单色光 （39）
A t 是随着时间变化的复振幅。在前面讨论的两束光干涉
的问题中，电场 E1 ， E2 可能是来自于式（39）给出的 同一源。这种情况在许多干涉仪中都会出现，包括迈克尔 逊干涉仪，马赫-曾德干涉仪和杨氏干涉仪。在这些干涉仪 中，两束光仅仅是光路不一样。参考图6
（30）
显然，在相干面积中的任意两点都是相干的，而其以外的点 则是互不相干。
为了更直观地表征相干范围，有时采用另一种表示方法，即 用角度 dc R ，它是距离为 dc 的两个次波源 S1 和 S2 对 扩展光源 bc 之中心的张角，称为相干范围的孔径角。凡在 此孔径角内的两点，都有一定程度的相干性；凡在它之外的 两点都是不相干的。不难求得