八年级上册数学-第一讲有理数的巧算

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第一讲有理数的巧算1

第一讲有理数的巧算1有理数运确实是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在明白得有理数的有关概念、法则的基础上，能依照法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于依照题目条件，将推理与运算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，进展思维的灵敏性与灵活性．1．括号的使用在代数运算中，能够依照运算法则和运算律，去掉或者添上括号，以此来改变运算的次序，使复杂的问题变得较简单．例1运算：分析中学数学中，由于负数的引入，符号“+”与“-”具有了双重涵义，它既是表示加法与减法的运算符号，也是表示正数与负数的性质符号．因此进行有理数运算时，一定要正确运用有理数的运算法则，专门是要注意去括号时符号的变化．注意在本例中的乘除运算中，常常把小数变成分数，把带分数变成假分数，如此便于运算．例2运算下式的值：211×555+445×789+555×789+211×445．分析直截了当运算专门苦恼，依照运算规则，添加括号改变运算次序，可使运算简单．本题可将第一、第四项和第二、第三项分别结合起来运算．解原式=(211×555+211×445)+(445×789+555×789)=211×(555+445)+(445+555)×789=211×1000+1000×789=1000×(211+789)=1 000 000．说明加括号的一样思想方法是“分组求和”，它是有理数巧算中的常用技巧．例3运算：S=1-2+3-4+…+(-1)n+1·n．分析不难看出那个算式的规律是任何相邻两项之和或为“1”或为“-1”．假如按照将第一、第二项，第三、第四项，…，分别配对的方式运算，就能得到一系列的“-1”，因此一改“去括号”的适应，而取“添括号”之法．解 S=(1-2)+(3-4)+…+(-1)n+1·n．下面需对n的奇偶性进行讨论：当n为偶数时，上式是n／2个(-1)的和，因此有当n为奇数时，上式是(n-1)／2个(-1)的和，再加上最后一项(-1)n+1·n=n，因此有例4在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，因此在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，可不能改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，因此任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，明显n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．因此，所求最小非负数是1．说明本例中，添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使运算大大简化．2．用字母表示数我们先来运算(100+2)×(100-2)的值：(100+2)×(100-2)=100×100-2×100+2×100-4=1002-22．这是一个对具体数的运算，若用字母a代换100，用字母b代换2，上述运算过程变为(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2．因此我们得到了一个重要的运算公式(a+b)(a-b)=a2-b2，①那个公式叫平方差公式，以后应用那个公式运算时，不必重复公式的证明过程，可直截了当利用该公式运算．例5运算 3001×2999的值．解 3001×2999=(3000+1)(3000-1)=30002-12=8 999 999．例6运算 103×97×10 009的值．解原式=(100+3)(100-3)(10000+9)=(1002-9)(1002+9)=1004-92=99 999 919．例7运算：分析与解直截了当运算繁．认真观看，发觉分母中涉及到三个连续整数：12 345，12 346，12 347．可设字母n=12 346，那么12 345=n-1，12 347=n+1，因此分母变为n2-(n-1)(n+1)．应用平方差公式化简得n2-(n2-12)=n2-n2+1=1，即原式分母的值是1，因此原式=24 690．例8运算：(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)．分析式子中2，22，24，…每一个数差不多上前一个数的平方，若在(2+1)前面有一个(2-1)，就能够连续递进地运用(a+b)(a-b)=a2-b2了．解原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)×(216+1)(232+1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)×(232+1)=(24-1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)=……=(232-1)(232+1)=264-1．例9运算：分析在前面的例题中，应用过公式(a+b)(a-b)=a2-b2．那个公式也能够反着使用，即a2-b2=(a+b)(a-b)．本题确实是一个例子．通过以上例题能够看到，用字母表示数给我们的运算带来专门大的益处．下面再看一个例题，从中能够看到用字母表示一个式子，也可使运算简化．例10运算：我们用一个字母表示它以简化运算．3．观看算式找规律例11某班20名学生的数学期末考试成绩如下，请运算他们的总分与平均分．87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88．分析与解若直截了当把20个数加起来，明显运算量较大，粗略地估量一下，这些数均在90上下，因此可取90为基准数，大于90的数取“正”，小于90的数取“负”，考察这20个数与90的差，如此会大大简化运算．因此总分为90×20+(-3)+1+4+(-2)+3+1+(-1)+(-3)+2+(-4)+0+2+(-2)+0+1+(-4)+(-1)+2+5+(-2)=1800-1=1799，平均分为 90+(-1)÷20=89.95．例12 运算1+3+5+7+…+1997+1999的值．分析观看发觉：第一算式中，从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，因此可有如下解法．解用字母S表示所求算式，即S=1+3+5+…+1997+1999．①再将S各项倒过来写为S=1999+1997+1995+…+3+1．②将①，②两式左右分别相加，得2S=(1+1999)+(3+1997)+…+(1997+3)+(1999+1)=2000+2000+…+2000+2000(500个2000)=2000×500．从而有 S=500 000．说明一样地，一列数，假如从第二项开始，后项减前项的差都相等(本题3-1=5-3=7-5=…=1999-1997，都等于2)，那么，这列数的求和问题，都能够用上例中的“倒写相加”的方法解决．例13运算 1+5+52+53+…+599+5100的值．分析观看发觉，上式从第二项起，每一项差不多上它前面一项的5倍．假如将和式各项都乘以5，所得新和式中除个别项外，其余与原和式中的项相同，因此两式相减将使差易于运算．解设S=1+5+52+…+599+5100，①因此5S=5+52+53+…+5100+5101．②②—①得4S=5101-1，说明假如一列数，从第二项起每一项与前一项之比都相等(本例中是都等于5)，那么这列数的求和问题，均可用上述“错位相减”法来解决．例14 运算：分析一样情形下，分数运确实是先通分．本题通分运算将专门繁，因此我们不但不通分，反而利用如下一个关系式来把每一项拆成两项之差，然后再运算，这种方法叫做拆项法．解由于因此说明本例使用拆项法的目的是使总和中显现一些能够相消的相反数的项，这种方法在有理数巧算中专门常用．练习一1．运算下列各式的值：(1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999；(2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；(3)1991×1999-1990×2000；(4)4726342+472 6352-472 633×472 635-472 634×472 636；(6)1+4+7+ (244)2．某小组20名同学的数学测验成绩如下，试运算他们的平均分．81，72，77，83，73，85，92，84，75，63，76，97，80，90，76，91，86，78，74，85．。

培优专题3 有理数的巧算(含答案)-

培优专题3 有理数的巧算有理数的巧算，实际上是结合算式的特点，灵活运用有理数的运算律，使之避繁就简，从而提高解题的速度和准确率．由于有理数的巧算常常体现出方法和思维的灵活性，因此是初中数学竞赛试题中，作为考察代数运算能力的一个重要内容．在有理数的运算中，除了一些常见的巧算方法外，还可以用平均数的估算法、连续整数的求和法、求分数和的裂项相消法等．例1计算：（-1136+13107÷24107-1718）÷（-78）×1711．分析在运算中合理运用运算律，可以达到简化运算的目的．要做到合理，关键是仔细观察题中数之间的联系．解：原式＝371317818 ()()362418711 -+-⨯-⨯=37398 (17)()2477 -+-⨯-=14878136206 77777777-+=．练习11．-292324×12=_________．2．1995减去它的12，再减去余下的13，再减去余下的14，…依次类推，一直减到余下的11995，•试求最后剩下的数．3．计算：472 6342＋472 6352－472 633×472 635－472 634×472 636．例2 计算：3-6+9-12+…+1995-1998+2001-2004．分析此题解法较多，如何根据其特点使运算简而巧是关键．这个题的特点是每一个数均是3的倍数，当提取公因数3后，很容易发现这个和实际上是由668•个数组成，且可相邻的两个数为一组，组成334组就可解决．解法1：原式=3×（1-2+3-4+…+665-666+667-668）=3×[（1-2）+（3-4）+…+（665-666）+（667-668）]=3×（-334）=-1002．解法2：原式=（3-6）+（9-12）+…+（1995-1998）+（2001-2004）=-3×334=-1002．练习21．计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+1998-1999-2000+2001+2002-2003-2004．2．计算：999×998 998 999-998×999 999 998．3．计算：9999n 个×9999n 个+91999n 个．例3 计算：S n =222121+-+223131+-+…+2211n n +-+22(1)1(1)1n n +++-．分析将每一项拆成两项之差，使得总和中构成相反数的项相消．拆项中常常用到： ①1(1)n n +=1n -11n +； ②1(1)(1)n n -+=12（11n --11n +）； ③1(1)(2)n n n ++=12[1(1)n n +-1(1)(2)n n ++]．解：先将假分数化成带分数，并适当拆项．由2211n n +-＝1+221n -＝1+（11n --11n +），知：222121+-＝1+（1-13） 223131+-=1+（12-14） …因此S n =n+（1-13）+（12-14）+…+（11n --11n +）+（1n -12n +） =n+1+12-11n +-12n + =322992(1)(2)n n n n n ++++．练习31．1-22+32-42+…+992-1002+1012．2．112⨯+123⨯+134⨯+…+1(1)n n+=________．3．已知：P=（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）．那么P的个位数是________．例4 计算：（12+13+…+12005）（1+12+13+…+12004）-（1+12+13+…+12005）（12+13+…+12004）．分析四个括号中均包含12+13+…+12004，我们可以用一个字母表示它，简化计算．解：设12+13+…+12004＝A，则：原式＝（A+12005）（1+A）-（1+A+12005）·A＝A+A2+12005+12005A-A-A2-12005A=12005．练习41．求S=1+3+32+33+ (32005)2．求1+12+212+312+…+200412．3．比较：S n=12+23448162nn++++（n是正整数）与2的大小．例5从A、B两地随机抽取10株麦苗，测得它们的株高分别如下：（单位：cm）A：76，90，84，86，81，87，86，82，85，83；B：82，84，85，89，79，80，91，89，79，74．问：哪个麦地的麦苗长得高．分析这里问哪个麦地的麦苗长得高，实质上是比较其平均数的大小．在求平均数时，若直接将各数相加求和，计算较麻烦．一般是当一组数据x1，x2，x3•…x n的各个数值较大且要求它们的和时，我们可将各数据同时减去一个适当的常数a，•得到y1=x1-a，y2=x2-a，y3=x3-a…，y n=x n-a，那么x1+x2+x3+…+x n=na+（y1+y2+y3+…y n）．这里应注意的是，常数a的确定要使得新数据的求和运算尽可能简单．解：将上述两组数据分别减去85，得到两组新数据：A′：-9，5，-1，1，-4，2，1，-3，0，-2；B′：-3，-1，0，4，-6，-5，6，4，-6，-11．则A组数据的平均数为：110[85×10+（-9+5-1+1-4+2+1-3+0-2）]=110（850-10）=84．B组数据的平均数为：110[85×10+（-3-1+0+4-6-5+6+4-6-11）]=110（850-18）=83.2．∴A地麦苗长得高．练习51．已知如下数表：12 3 43 4 5 6 74 5 6 7 8 9 10…那么第200行所有数的和为__________．2．对20名儿童的身高测量如下：（单位：cm）97，101，104，98，103，101，99，97，102，96，100，102，88，100，101，96，99，102，105，98．则它们的平均身高是________．3．计算下列各数的和．49.7，50.3，49，49.3，50.5，49.4，49.8，50.2，50，50.4，49.6，49.7，50.2．答案:练习11．-35912．原式=（-30+124）×12=360+12=35912． 2．1．原式=1995×（1-12）×（1-13）×…×（1-11995） =1995×12×23…×19941995 =1．3．2原式=472 635×（472 635-472 633）+472 634×（472 634-472 636）=472 635×2-472 634×2=（472 635-472 634）×2=2．练习21．-2004．原式=（1+2-3-4）+（5+6-7-8）+…+（1997+1998-1999-2000）+（2001+•2002-•2003-2004） =-4×501=-2004．2．1997．原式=（998+1）×998 998 999-998×（998 998 999+1 001 000-1） =998×998 998 999+998 998 999-998×998 998 999-998 998 000+998=999+998=1997．3．21000n 个0原式=9999n 个×9999n 个+1000n 个0+9999n 个=9999n 个×(9999n 个+1)+ 1000n 个0=9999n 个×1000n 个0+1000n 个0=（9999n 个+1）×1000n 个0=1000n 个0×1000n 个0=21000n 个0．练习31．5151．原式=（1012-1002）+（992-982）+…+（32-22）+1=（101+100）×（101-100）+（99+98）×（99-98）+…+（3+2）×（3-2）+1 =201+197+…+1 =(2011)512+⨯ =5151．2．1n n + 原式=（1-12）+（12-13）+…+（1n -11n +） =1-11n +=1n n +． 3．5．原式=（2-1）（2+1）（22+1）…（232+1）=（22-1）（22+1）…（232+1）=（232-1）（232+1）=264-1．∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，故264的末尾数字为6，∴原数的末尾数字为5．练习41．2006312-．3S=3+32+33+…+32006， ∴2S=32006-1，∴S=2006312-． 2．2-200412．设1+12+212+…+200412=A ．则2A=2+1+12+212+…+200312，∴A=2-200412． 3．S n <2． 2S n =1+22+34+48+…+12n n -．∴2S n -S n =1+（22-12）+（34-24）+（48-38）+…+（12n n --112n n --）-2n n =1+12+14+18+…+112n --2n n 由练2知1+12+14+18+…+112n -=2-112n -． ∴S=2-112n --2n n <2．练习51．159201．第200行的数为：200，201，202…598．方法1：200+201+…+598=(598200)3992+⨯=159201．方法2：每个数都减去399，则得到一组新数据：-199，-198，-197…，197，198，199，其和为0，故200+201+…+598=399×399+0=159201．2．198.9．将每个数据都减去100得到一组新数据，其和为-11，故原数据和为：100×20-11=1989，故平均身高为99.45．3．648.1．将原数据的每个数据减去50，得到一组新数据，其和为-1.9，• 故原数据和为：50×13-1.9=648.1．。

有理数巧算

【同步教育信息】一. 本周教学内容：有理数的混合运算——简便运算技巧（2）二. 重点、难点：有理数运算是中学数学中一切运算的基础，准确地理解有理数相关的概念，以及它的运算法则、公式，并且善于根据所给题目要求，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择简捷的算法，可以很好地提高思维的敏捷性。

将现实中的问题与学习中的知识相结合，并合理的解决它，你会发现数学的很多乐趣。

三. 我们的目标：当我们认识了零、负整数和负分数后，就引出了有理数的概念。

整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数，任何一个有理数都可以表示为一个既约分数均为整数且互素）。

并且，有理数可以比较大小，有理数的和、差、积、商（分母不为零）仍为有理数，任意两个有理数之间都有无穷个有理数，有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则，公式等正确、迅速地进行运算，同时还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。

【典型例题】一. 巧用错位相减例1. ；解：∴原式或者用下面的“错位相减法”求和。

令，则将这两式错位相减得即再将这两式错位后式减去前式得二. 巧用分析法例2.解：考察第n项n（n+1）如何分析，仔细观察后会发现：∴原式说明：分析和错位相减是有理数运算中常用的技巧，在解题中应注意总结归纳规律，力求灵活应用。

三. 巧换元例3. 计算：解：设，则原式例4. ；解：直接计算较繁，仔细观察分母中涉及到三个连续整数：12345，12346，12347，可设字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母变为，即原式分母的值是1。

∴原式=24690。

四. 巧相约例5. 计算：解：原式五. 巧用倒序配对例6. 计算：解：设原式，对括号内各项倒序排列后，再设，则：所以所以原式六. 巧用倒数法例7. 计算分析：因为与互为倒数，而比较容易计算，故此题只需先计算出后部分的结果即可。

常见有理数巧算的技巧

初中部年级 (学科)导学案学案编号：班级：姓名：执笔：审核：审批：印数：教师评价：课题：常见有理数巧算的技巧〖学习目标〗能巧妙运用有关数学定律和数学方法，解决复杂的有理数计算题。

1.〖重点难点预见〗利用运算律巧算2.凑整法计算3.恰当分组计算4.裂相想消巧算5.分解相约计算6.错位相减计算〖学习流程〗1.利用运算律巧算例1.()()[]5413431618387÷-⨯-+-小结：在计算中应该合理的使用各种运算规律，才能使计算变得简单有序2.凑整法计算例1. 89+899+8999+89999+899999小结：找到一定规律，使数凑成整数3.恰当分组计算例2. (1+3+......+2011) —（2+4+ (2010)小结：如何将一个算式分成若干个才能使计算变得简单4.裂相想消巧算例4.211⨯+321⨯+431⨯+ (200019991)小结：根据特点，将其中一些分数适当拆开，使得拆开后有一些分数可以互相抵消，达到简化运算的目的，这种方法叫做拆项法。

常用的拆项方法：①()11111++⨯-=n n n n ②d n n d n n d ++⨯-=11)(③()()211+⨯+⨯n n n =()()()[]2111121+⨯++⨯-⨯n n n n5.分解相约计算例5.2006⨯20082008—2008⨯20062006小结：分解的目的是为了找到相同项6.错位相减计算例6. S=1+2+22+32+........+20112小结：n 2=122-⨯n ，常见与错位相减得计算中。

有理数及其运算的技巧

学科: 奥数教学内容：有理数及其运算技巧经验谈：有理数运算是中学数学中一切运算的基础，准确的理解有理数相关的概念，以及它的运算法则、公式，并且善于根据所给题目要求，将推理与计算相结合，灵活巧妙的选择简捷的算法，可以很好的提高思维的敏捷性。

将现实中的问题与学习中的知识相结合，并合理的解决它，你会发现数学的很多乐趣。

内容综述：当我们认识了零、负整数和负分数后，就引出了有理数的概念。

整数（正整数、零、负整数）和分数（正分数、负分数）统称有理数，任何一个有理数都可以表示为一个既约分数。

要点讲解：§1、数轴与大小：两个有理数的大小由它们在数轴上对应点的位置关系来确定：对应点在右边的数总比对应点在左边的数大。

★★例1观察图1中的数轴用字母a,b,c依次表示点A，B，C 对应的数，试确定这三个数的大小关系。

思路：由B点在A点右边，知b-a>0，而A，B都在原点左边，故ab>0，又c>0，这说明要比较的大小，只需比较分母ab,b-a,c的大小。

解：因为C点在1的右边，所以c>1，因为A点在-1与之间，B 点在与0之间，所以AB 的距离大于而小于1，即由同样的理由有，。

所以又ab>0,故从而有 0<ab<b-a<c。

所以★★例2：设a,b是两个有理数，且a<b,求证：.证明1：∵ a<b, ∴ b>a, ∴ b-a>0.而∴∴证明2 ∵∴即∴又∴即故说明：由本例可知，任意两个不相等的有理数a,b 之间存在一个有理数，由此可推知，任意两个有理数之间存在无限多个有理数。

第1讲绝对值有理数的巧算专题

第一讲绝对值、有理数的巧算专题一、知识梳理1.非负数一个数的绝对值是非负数，一个数的平方（四次方，六次方等偶次方）都是非负数. 即，0≥a ，02≥a ，为正整数）（其中n a n 02≥2.裂项常用到的关系式（1）ba ab b a 11+=+；（2）111)1(1+-=+a a a a ；（3）b a a b a a b +-=+11)(；（4）2)1(321n n n ⨯+=++++ .3.绝对值表示距离的应用n n a x a x a x a x a x a x -+-++-+-+-+--14321 ：表示求数x 分别到数 n n a a a a a a 、、、、、、14321- 的距离和（其中n n a a a a a a 、、、、、、14321- 是数轴上依次排列的点表示的有理数）.（1）当n 为偶数时，若122+≤≤n n a x a ，则原式有最小值；（2）当n 为奇数时，若21+=n a x ，则原式有最小值.4.乘方中的计算公式（1）n n n b a b a ⨯=⨯)(；（2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-为偶数时当，为奇数时当，n a n a a n n n)( 二、典例剖析专题一：一个数的绝对值与其本身的关系的应用——aa 例题1 用a 、b 、c 表示任意三个非零的有理数，求cc b b a a ++的值.【活学活用】1.设0<a ,且x ≤a a,则=--+21x x .2.若0≠ab ，则bb a a+的取值不可能是（） A.0 B.1 C.2 D.-23.用a 、b 表示任意两个有理数，若0≠ab ，则abab b b a a ++的取值可能是（） A. 0 B.1 C.3或1 D.3或-1★4．三个有理a 、b 、c 满足0,0>++<c b a abc ,当x=c cb ba a++时，代数式29219+-x x 的值为 .5.已知1-=++c c b b a a ，试求abc abc ca ca bc bc ab ab +++的值.6.已知：a 、b 、c 都不为0，且abcabc c c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 2004)(n m += .7.已知0≠abc ，且M=abc abcc cb ba a+++，当a 、b 、c 取不同的值时，M 有（）A ．惟一确定的值B ．3种不同的取值C ．4种不同的取值D ．8种不同的取值专题二：绝对值的非负性——0≥a引例若2)1(-a 与2+b 互为相反数，则2010)(b a += .例题2 若,,a b c 为整数，且19191a bc a -+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值.【活学活用】1.已知：1,,____a b a b a b +=-=且为整数，则.2.如果02)31(2=-++y x ，则y x = .3.若1+=m m ，则=+2010)14(m .★4.如果,2-<x 那么x +-11等于（）A.x --2B.x +2C.xD.x -★5.若x ＜2,则|x －2|+ |2+x|=_____________★6.已知a 、b 、c 都是负数，且0=-+-+-c z b y a x ，则xyz 是（）A.负数B.非负数C.正数D.非正数★7.如果2-x ＋x －2＝0，那么x 的取值范围是（）A.x ＞2B.x ＜2C.x ≥ 2D.x ≤28.已知0)3(254=++-y x ，求2010)2(y x +的值.9.计算：若2)2(-a 与88|b - 1|2003 互为相反数，则a-b a+b的值为？★10..已知55)(2+=+++b b b a ，且012=--b a ，求ab 的值.专题三：绝对值表示距离的应用解决数轴上两点之间的距离问题（数形结合的解题思想）若数轴上点A 对应的数是a ，点B 对应的数是b ，则A 、B 两点之间的距离为数a 、b 的差的绝对值，即b a AB -=.例题3 如图，点A 、B 在数轴上对应的有理数分别为n m 、，则A 、B 间的距离是 .（用含n m 、的式子表示）【活学活用】有理数c b a 、、在数轴上的位置如图所示.m 0 nB A试化简：a b a c b c c +--++-.例题4 绝对值表距离的应用（1）51-+-x x 的最小值是 . （2）32-++x x 的最小值是 .（3）421-+-++x x x 的最小值是 .（4）试求7654321-+-+-+-+-+-+-x x x x x x x 的最小值.（5）试求2010321-++-+-+-x x x x 的最小值.（6）试求2011321-++-+-+-x x x x 的最小值.【活学活用】(★)若x 为有理数，则173++++-x x x 的最小值为_____________.专题四：乘方中的计算公式——nn n b a b a ⨯=⨯)(c b 0 a例题5 已知14400151432133333=+++++ ，求333333028642+++++ 的值.专题五：整数的分解例题6 若d c b a 、、、是互不相等的整数（d c b a <<<），且121=⨯⨯⨯d c b a ，求 d c b a +的值.【活学活用】若d c b a 、、、是互不相等的正整数，且441=⨯⨯⨯d c b a ，求d c b a +++的值.专题六：有理数运算的技巧——裂项、凑整、换元例题7 已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的值.【活学活用】1.已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的值.2.201220091141111181851521⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ 计算.3.计算1111131517192153042567290110-+-+-+例题8 计算：1＋211+＋3211++＋…＋100993211+++++例题9 计算8989889988999889999833333++++【活学活用】1.计算2005×0.5-2006×2.5-2007÷12.5．2.计算89-899+8999-89999+…+89999999得（）A.-818181810B.-81818189C.81818189D.818181810三、家庭作业★1.已知ab 2c 3d 4e 5<0,下列判断正确的是（）A ．abcde<0 B.ab 2cd 4e<0 C.ab 2cde<0 D.abcd 4e<02.（-2）2004+3×（-2）2003的值为（）A.-22003B.22003C.-22004D.22004 3．已知，则当1=a 时，=2A __________，当1-=a 时， A=_______.4.若一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，这两个数的乘积为负数，则这两个数中，大数除以小数的商是 .5.（2008佛山）若20072008a =，20082009b =，则a ，b 的大小关系是a b .6.计算：2010120071200712008120081200912009120101---+-+-.7.11(23++…11)(120102+⨯++…11)(120092+-++…111)(201023+⨯++…1).2009+8.求)2009120101()2008120091()4151()3141()2131()121(-+-++-+-+-+- 的值.9.已知a 与b 互为相反数，x 与y 互为倒数，c 的绝对值等于2，求c xy b a 312-++的值.10.已知a 、b 、m 、n 、x 是有理数，且a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，x 的绝对值等于3.求201020092)()()(mn b a mn b a x -+++++-的值.11.有理数综合运算 020********)1()2(}375.0)161(]212)75.0(81[2)2(3{)21(2）（-+-⨯----÷+--⨯--⨯-----π。

有理数的巧算1

解： (1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(2005-2006-2007+2008)-2009+2010=1．所以，所求最小非负数是1．
添括号是为了造出一系列的“零”，这种方法可使计算大大简化（1）（-2011
5 2 3 1 ) (2010 ) 4000 21 6 3 4 2
59 5 9 1 59 59 5 9 1 3 5 9 1 2 135 2 137
发现规律了吗？
4 8 5 9 6 10 7 11 8 12
(6 2) (10 2) (6 1) (10 1) 6 10 (6 1) (10 1) (6 2) (10 2) 6 10 6 2 2 10 2 2 6 10 6 10 1 6 10 6 10 6 2 2 10 2 2 6 10 6 10 1
1 1 1 1 (2) ....... 1 2 2 3 3 4 2010 2011
=
直接计算很麻烦如何巧算能计算简化呢？
5 2 3 1 （1）（-2011 ) ( 2010 ) 4000 21 6 3 4 2
（1）分析：这是我们现在六年级同学在有理数加减运算中的常见题型，如果我们把每个带分数拆成整数和分数之和，然后再把整数和分数部分分别相加，可使计算简化，这中方法叫拆项法
【练习】
计算下列各式的值： (1)-1+3-5+7-9+11-…-1997+1999； (2)11+12-13-14+15+16-17-18+…+99+100；

初中数学拔尖材料02有理数的巧算 (1)

初中数学拔尖材料02 有理数的巧算初中代数的第一个任务是：引进负数，建立有理数．有理数是代数的基础，必须要学好它．本讲内容主要介绍有理数的巧算的各种方法．1．凑整法：一般凑成整一、整十、整百、整千等数．例1．计算：89899899989999899999++++．例2．计算：13312155132642586538++++++．例3．正整数1，2，3，…，9998，9999所有数码之和是多少？例4．计算：100100100999999+1999⨯个个个．2．应用运算定律：为了简化运算，通常改变运算顺序，交换律、结合律与分配律并举．例5．两个十位数1111111111和9999999999的乘积有几个数字是奇数？例6．计算：1311132148()48868-+-⨯-．例7．计算：11111111111111 (1)()(1)()23423452345234+++⨯+++-++++⨯++．3．应用添（去）括号：为了揭示规律，适当添或去括号．例8．计算：12345678979899100+--++--+++--．例9．计算：1111111 ()()() 22448819216384-------．例10．计算：162500012560425÷-⨯．4．拆项法：为了运算简捷，常常需要将一个数学拆成两个数或几个数．例11．计算：5527 57275628⨯+⨯．例12．计算：179111315131220304256-+-+-．例13．求1111 12233420132014++++⨯⨯⨯⨯的值．例14．计算：11113771111155559++++⨯⨯⨯⨯．例15．计算：10123410248162+++++．5．应用幂的性质：对幂的指数较大的，根据数的特点及其关系，运用幂的性质可以简化运算．例16．计算：12713923(0.125)(1)(8)()35-⨯-⨯-⨯-．例17．计算：76777241(1001)(0.125)()()()71311-⨯-⨯-⨯-⨯-．6．倒序相加法：将式子倒过来，对应相加后，和相同．例18．求和：1234100+++++．例19．求一列数的各项之和：1，3，5，7， (2013)例20．求10099989796959493929110987654321++--+++--++++--+++--之和．例21．计算：11111212312341232013++++++++++++++．7．错位相减法：为了简化运算，乘一个数，将式子错位，相减相消．例22．求23201312222S =+++++．例23．计算：233572112222n n S +=+++++．8．观察找规律：为了简化运算，观察式子，寻找规律．例24．试写出34⨯，3334⨯，333334⨯，…的一般规律，并进行证明．例25．现有数组：（1，1，1）；（2，4，8）；（3，9，27）；…；求第100组的三个数之和．例26．有一串数：11，12-，22，12-，13，23-，33，23-，13，14-，24，34-，…；（1）711是第几个数？（2）第400个数是多少？综合练习1．298720002000200029872987⨯-⨯=_____________________2．1001(((1))------=重括号_____________________3．194144336+630.125+63+63=2323223238⨯⨯⨯_____________ 4．1111++++=144771097100⨯⨯⨯⨯_____________ 5．2235353599=999999n n ⨯个个_____________ 6．已知：1231055++++=1231005050++++=1231000500500++++= …………猜想：12310m ++++=_____________7．设200400a ≤≤，6001200b ≤≤，则b a 的最大值是_____________ 8．若33331231514400++++=，则333324630++++=_____________ 9．把分子为1、分母大于1的自然数的分数称为单位分数；若把单位分数16表示成分母不同的两个单位分数之和，试求出所有可能的表示．10．一串数：11，11，12，12，22，22，13，13，23，23，33，33，……；（1）115是第几个数？（2）第2014个分数是多少？。

第一讲有理数的巧算

第一讲有理数的巧算【讲义解析】1、有理数的运算时初中代数中最基本的运算，在运算过程中，根据题目的结构特点灵活采用算法和技巧，不仅可以简化运算，提高解题速度，而且可以养成勤于动脑，善于观察到良好习惯.2、有理数的相关概念和性质法则：⑴有理数的运算法则 ⑵有理数的运算律及其性质3、常用运算技巧⑴巧用运算律； ⑵凑整法； ⑶拆项法（裂项相消）； ⑷分组相约法； ⑸倒序相加法； ⑹错位相减法； ⑺换元法； ⑻观察探究、归纳法.【专题精讲】【例1】计算：32333333251233()0.750.5()1()4()44372544-⨯+⨯-+⨯⨯+÷-.【练习】计算：（1）999998998999998999999998⨯-⨯；（2）121121(111315)()()(111315)111315111315⨯⨯⨯-++-+÷⨯⨯；（3）2123246...23()15721014...57n n n n n n⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅.【例2】计算：（1）123456789101112...2013201420152016.--++--++--+++--+（2）12713923(0.125)(1)(8)()35-⨯-⨯-⨯-.【练习】计算：（1）12345678910...2017+--++--++-+；（2）201510012016100015(0.75)( 1.2)(1)()36-⨯-⨯-⨯-.【例3】计算：（1）11111++++...+2612209900；（2）11111 (4287013010300)+++++.【练习】计算：（1）4812164000...1335577919992001-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯；（2）1111+++...+135357579301303305⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯；（3）111320152+...+1111111(1)(1+(1)(1+(1+223232015++++））...）.【反思】一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可用裂项相消法求值.【常见裂项公式】① 111(1)1n n n n =-++； ②1111()(1)(1)211n n n n =--+-+； ③ 1111()()n n d d n n d =-++； ④ 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++. 【例4】计算：20151111+++...+2482 .【练习】2320151+2+2+2+ (2)+【例5】计算： 1121231232015+()()...(...)2334442016201620162016++++++++++.【练习】159...7997++++.【反思】一般地，等差数列求和，可用倒序相加法.【例6】计算：2320151111+++ (3333)【练习】2320151111+++...+5555.【反思】一般地，等比数列求和，可用错位相减法.【例7】计算：11111111111111(1...)(...)(1...)(...)23201523420162320162342015++++++++-++++++++【练习】（1）1111111111(...)(1...)(1...)( (2320002199922000231999)+++++-++++++；（2）11191008551(152627)(315355)1733201517332015+-÷+-= .【例8】请你归纳出3333123...n ++++的公式，并计算3333123...200++++的值.【练习】计算：（1）1111(1)(1)(1)...(1)2016201520141000---⋅⋅-；（2）1111(1)(1)(1)...(1)13243520152017+++⋅⋅+⨯⨯⨯⨯；（3）1111...1+21+2+31+2+3+ (100)+++.。

第1讲-绝对值、有理数的巧算专题

第一讲绝对值、有理数的巧算专题一、知识梳理1.非负数一个数的绝对值是非负数，一个数的平方（四次方，六次方等偶次方）都是非负数. 即，0≥a ，02≥a ，为正整数）（其中n a n 02≥2.裂项常用到的关系式（1）ba ab b a 11+=+；（2）111)1(1+-=+a a a a ；（3）b a a b a a b +-=+11)(；（4）2)1(321n n n ⨯+=++++Λ.3.绝对值表示距离的应用n n a x a x a x a x a x a x -+-++-+-+-+--14321Λ：表示求数x 分别到数 n n a a a a a a 、、、、、、14321-Λ的距离和（其中n n a a a a a a 、、、、、、14321-Λ是数轴上依次排列的点表示的有理数）.（1）当n 为偶数时，若122+≤≤n n a x a ，则原式有最小值；（2）当n 为奇数时，若21+=n a x ，则原式有最小值.4.乘方中的计算公式（1）n n n b a b a ⨯=⨯)(；（2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-为偶数时当，为奇数时当，n a n a a n n n)( 二、典例剖析专题一：一个数的绝对值与其本身的关系的应用——aa 例题1 用a 、b 、c 表示任意三个非零的有理数，求cc b b a a ++的值.【活学活用】1.设0<a ,且x ≤a a,则=--+21x x .2.若0≠ab ，则bb a a+的取值不可能是（） A.0 B.1 C.2 D.-23.用a 、b 表示任意两个有理数，若0≠ab ，则abab b b a a ++的取值可能是（） A. 0 B.1 C.3或1 D.3或-1★4．三个有理a 、b 、c 满足0,0>++<c b a abc ,当x=c cb ba a++时，代数式29219+-x x 的值为 .5.已知1-=++c c b b a a ，试求abc abc ca ca bc bc ab ab +++的值.6.已知：a 、b 、c 都不为0，且abcabc c c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 2004)(n m += .7.已知0≠abc ，且M=abc abcc cb ba a+++，当a 、b 、c 取不同的值时，M 有（）A ．惟一确定的值B ．3种不同的取值C ．4种不同的取值D ．8种不同的取值专题二：绝对值的非负性——0≥a引例若2)1(-a 与2+b 互为相反数，则2010)(b a += .例题2 若,,a b c 为整数，且19191a bc a -+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值.【活学活用】1.已知：1,,____a b a b a b +=-=且为整数，则.2.如果02)31(2=-++y x ，则y x = .3.若1+=m m ，则=+2010)14(m .★4.如果,2-<x 那么x +-11等于（）A.x --2B.x +2C.xD.x -★5.若x ＜2,则|x －2|+ |2+x|=_____________★6.已知a 、b 、c 都是负数，且0=-+-+-c z b y a x ，则xyz 是（）A.负数B.非负数C.正数D.非正数★7.如果2-x ＋x －2＝0，那么x 的取值范围是（）A.x ＞2B.x ＜2C.x ≥ 2D.x ≤28.已知0)3(254=++-y x ，求2010)2(y x +的值.9.计算：若2)2(-a 与88|b - 1|2003 互为相反数，则a-b a+b的值为？★10..已知55)(2+=+++b b b a ，且012=--b a ，求ab 的值.专题三：绝对值表示距离的应用解决数轴上两点之间的距离问题（数形结合的解题思想）若数轴上点A 对应的数是a ，点B 对应的数是b ，则A 、B 两点之间的距离为数a 、b 的差的绝对值，即b a AB -=.例题3 如图，点A 、B 在数轴上对应的有理数分别为n m 、，则A 、B 间的距离是 .（用含n m 、的式子表示）【活学活用】有理数c b a 、、在数轴上的位置如图所示.m 0 nB A试化简：a b a c b c c +--++-.例题4 绝对值表距离的应用（1）51-+-x x 的最小值是 . （2）32-++x x 的最小值是 .（3）421-+-++x x x 的最小值是 .（4）试求7654321-+-+-+-+-+-+-x x x x x x x 的最小值.（5）试求2010321-++-+-+-x x x x Λ的最小值.（6）试求2011321-++-+-+-x x x x Λ的最小值.【活学活用】(★)若x 为有理数，则173++++-x x x 的最小值为_____________.专题四：乘方中的计算公式——nn n b a b a ⨯=⨯)(c b 0 a例题5 已知14400151432133333=+++++Λ，求333333028642+++++Λ的值.专题五：整数的分解例题6 若d c b a 、、、是互不相等的整数（d c b a <<<），且121=⨯⨯⨯d c b a ，求 d c b a +的值.【活学活用】若d c b a 、、、是互不相等的正整数，且441=⨯⨯⨯d c b a ，求d c b a +++的值.专题六：有理数运算的技巧——裂项、凑整、换元例题7 已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的值.【活学活用】1.已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的值.2.201220091141111181851521⨯++⨯+⨯+⨯+⨯Λ计算.3.计算1111131517192153042567290110-+-+-+例题8 计算：1＋211+＋3211++＋…＋100993211+++++Λ例题9 计算8989889988999889999833333++++【活学活用】1.计算2005×0.5-2006×2.5-2007÷12.5．2.计算89-899+8999-89999+…+89999999得（）A.-818181810B.-81818189C.81818189D.818181810三、家庭作业★1.已知ab 2c 3d 4e 5<0,下列判断正确的是（）A ．abcde<0 B.ab 2cd 4e<0 C.ab 2cde<0 D.abcd 4e<02.（-2）2004+3×（-2）2003的值为（）A.-22003B.22003C.-22004D.22004 3．已知，则当1=a 时，=2A __________，当1-=a 时， A=_______.4.若一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，这两个数的乘积为负数，则这两个数中，大数除以小数的商是 .5.（2008佛山）若20072008a =，20082009b =，则a ，b 的大小关系是a b .6.计算：2010120071200712008120081200912009120101---+-+-.7.11(23++…11)(120102+⨯++…11)(120092+-++…111)(201023+⨯++…1).2009+8.求)2009120101()2008120091()4151()3141()2131()121(-+-++-+-+-+-Λ的值.9.已知a 与b 互为相反数，x 与y 互为倒数，c 的绝对值等于2，求c xy b a 312-++的值.10.已知a 、b 、m 、n 、x 是有理数，且a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，x 的绝对值等于3.求201020092)()()(mn b a mn b a x -+++++-的值.11.有理数综合运算 020********)1()2(}375.0)161(]212)75.0(81[2)2(3{)21(2）（-+-⨯----÷+--⨯--⨯-----π。

有理数计算的常用方法

有理数计算的常用方法有理数运算是中学数学中一切运算的基础，它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算，不仅如此，解题时，需要细心观察，深入探究，缜密分析，全面审视，除了发现题中的特征，还应挖掘题中隐含的规律，正确灵活地使用运算法则、性质和定律，实施“化繁为简，化难为易”的手段，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性。

为此老师给大家总结出解有理数计算题的十三种常用方法，以供参考．一、倒序相加法例1 计算1＋3＋5＋7＋……＋1997＋1999的值。

分析：观察发现：算式中从第二项开始，后项减前项的差都等于2；其次算式中首末两项之和与距首末两项等距离的两项之和都等于2000，于是可用如下解法。

解：用字母S 表示所求算式，即S ＝1＋3＋5＋……＋1997＋1999。

①再将S 各项倒过来写为S ＝1999＋1997＋1995＋……＋3＋1。

②将①，②两式左右分别相加，得10002000)20001000(2000200020002000)11999()31997()19973()19991(S 2⨯=++++=++++++++=个从而有.1000000210002000S =⨯= 说明：该题之所以想到倒序相加，是因为这一组数字前面的数字与后面对应位置的数字之和相等，倒过来相加正好凑成一组相同的数字。

另该式后一项减去前一项的差都相等，这样的一列数称为等差数列，第一项叫首项，通常用1a 表示；最后一项叫末项，通常用n a 表示，相等的差叫公差，通常用d 表示，项数用n 表示（1d a a n 1n +-=），则该题也可以用等差数列的求和（n S ）公式：2n)a a (S n 1n +=来计算。

二、凑整法例2 计算：2002＋98＋997＋9996＋99995．分析题中几个数都与整十、整百、整千……很接近，因此可以凑成整十、整百、整千……来求解．解1 原式＝ (2002－2－3－4－5)＋(98＋2)＋(997＋3)＋(9996＋4)＋(99995＋5) ＝ 1988＋100＋1000＋10000＋100000＝113088．例3若S＝11＋292＋3993＋49994＋599995＋6999996＋79999997＋899999998，则和数S的末四位数字之和是____．分析将题中的每个数凑成“整十”、“整百”、“整千”……来计算，很容易解出，解原式＝(11＋9)＋(292＋8)＋(3993＋7)＋(49994＋6)＋(599995＋5)＋(6999996＋4)＋(79999997＋3)＋(899999998＋2)－9＋8＋7＋ (2)＝(20＋300＋4000＋50000＋600000＋7000000＋80000000＋900000000)－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2)＝987654320－44＝987654276．∴S的末四位数字之和是4＋2＋7＋6＝19．三、分组结合法例4计算：1－3＋5－7＋9－11＋…＋2009－2011．分析题中从1到201 1，相邻两个数相加是－2，加号和减号交替出现，因此可以运用分组的方法，即依次两个数两个数为一组，每组的得数都是－2，从而很快计算出结果．解原式＝(1－3)＋(5－7)＋…＋( 2009－2011)＝（－2）×503＝－1006．例5计算：1＋2－3－4＋5＋6－7－8＋9＋10－11－12＋…＋2005＋2006－2007－2008＋2009＋2010－2011．分析观察发现，依次四个数四个数为一组，每组中四个数的和为－4，由1至2008共有502组，式中还余3个数，于是得出解法．解1 原式＝(－4)×502＋2009＋2010－2011＝－2008＋2008＝0．本题若再仔细观察又可发现，2－3－4＋5＝0，6－7－8＋9＝0，…，即从2开始，每连续4项的和为0，式中的一列数，除去开头1以外，中间能分成502组，后面还余下两个数为2010，－2011，于是又得另一种解法．解2 原式＝1＋0×502＋2010－2011＝0．四、分解相约法例6 计算：(10.5×11.7×57×85)÷(1.7×1.9×3×5×7×9×11×13×15)．分析被整式与除式的小数位数相等，可化为整数相除，又被除式与除式部分因数能分解，可采用分解相约．解原式＝＝111．五、巧用运算律法例7 计算：237970.716.6 2.20.7 3.31173118⨯-⨯-÷+⨯+÷．分析本题为有理数的混合运算，其中有公因子，可把公因子先提出，然后进行计算．解原式六、妙用性质法例8 计算：1÷(2÷3)÷(3÷4)÷…÷(2010÷2011)．分析本题属于一道连除的计算题，可以利用连除性质：a ÷(b ÷c)＝a ÷b ×c ＝a ×c ÷b ．先将原式进行分解，再利用交换律使问题得到解决．解原式＝1÷2×3÷3×4÷…÷2010×2011＝ (1×3×4×...×2011)÷(2×3×4× (2010)＝2011÷2＝1005.5．七、添项相加法例9 计算：512＋256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋2＋1．分析经过观察，发现上式的特点是后一项是前一项的一半，因此，如果我们把后一项加上它本身，就可以得到前一项的值，于是添加一个辅助数l （末项），使问题得以顺利解决．解原式＝512＋256＋128＋64＋32＋16＋8＋4＋(2＋2)－1＝512＋256＋…＋4＋(2＋2)－1＝…＝512＋(256＋256)－1＝512＋512－1＝1023．八、错位相减法例10 计算1009932555551++++++ 的值。

八年级上数学有理数知识点

八年级上数学有理数知识点有理数是数学中重要的一个概念，数学中常用的数都包含在有理数中。

在八年级上学期中，有理数是数学中的一个重要知识点，我们需要详细了解其内容。

下面就让我们来一起学习有理数的相关知识点吧！一、有理数的定义有理数是可以表示为两个整数之比的数，其中分母不为0，例如-3，-2/3，1/4，都是有理数。

而不能表示为两个整数之比的数，例如π、e、√2等数称为无理数。

二、有理数的性质1、有理数有加法、减法、乘法、除法四种基本运算。

2、有理数的四则运算也满足交换律、结合律、分配律等基本性质。

3、加法和乘法都有逆元，即对于任意的有理数a，存在相反数-b，使得a+b=0；对于任意的非零有理数a，存在倒数1/a，使得a×(1/a)=1。

三、有理数的分类按照有理数的值域分类，可以将有理数分为正数、负数、零三种类型。

1、正数：大于0的有理数，例如1/2，3，1.25等数。

2、负数：小于0的有理数，例如-2/5，-7，-0.75等数。

3、零：等于0的有理数。

四、有理数的大小比较对于两个有理数a、b，可以利用它们的差a-b，来判断它们的大小关系。

1、如果a-b>0，则a>b。

2、如果a-b<0，则a<b。

3、如果a-b=0，则a=b。

五、绝对值绝对值是一个数与0的距离，用符号|a|表示。

对于任意有理数a，1、如果a≥0，则|a|=a。

2、如果a<0，则|a|=-a。

绝对值有着很重要的应用，例如求一元二次方程的根。

六、数轴数轴是用来表示有理数的一条直线，通常将0点作为原点，正数向右，负数向左。

数轴可以用来快速地比较两个有理数的大小，也可以用来表示有理数的加减运算。

七、有理数的实际应用有理数的数值大小与实际生活息息相关。

例如：1、涉及到药品的量的计算都涉及到有理数。

2、日常的温度、距离等计量也都是有理数。

3、电子设备中得分辨率等也要用到有理数的概念。

总之，有理数在数学中和生活中都有着广泛而重要的应用。

第一讲数系扩张--有理数一

第一讲数系扩张--有理数（一）一、【问题引入与归纳】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成m n （0,,n m n ≠互质）。

4、性质：① 顺序性（可比较大小）；② 四则运算的封闭性（0不作除数）；③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5、绝对值的意义与性质：① (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。

ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。

二、【典型例题解析】：1、若||||||0,a b ab ab a b ab+-f 则的值等于多少？ 2．如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。

4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（A.2aB.2a -C.0D.2b5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（）A.2B.3C.9D.66、有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b------中有几个负数？ 7、设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a，b 的形式，求20062007a b +。

8、三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。

有理数简便运算与技巧

有理数简便运算与技巧之马矢奏春创作有理数是代数的入门,又是难点,是中学数学中一切运算的根本.进行有理数的运算时,若能按照标题标特点,留心采取运算技巧,不单能化繁为简,并且会妙趣横生,新颖新颖.现举例介绍有理数运算中的几个经常运用技巧.一、归类将同类数（如正数或正数）归类计算.例1 计算：()()()-+++-++-.231324解：原式()()()()=+++-+-+-312234⎡⎤⎣⎦=-.3二、凑整将和为整数的数结合计算.例2 计算：36.54228263.46+-+.解：原式()=++-36.5463.462282=.40三、对消将相加得零的数结合计算.例3 计算：()()()5464332+-++++-+-.解：原式()()()=-+++-+-++4453263⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=.9四、组合将分母相同或易于通分的数结合.例4 计算：55115521012249186---+. 解：原式55511125210624918⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 13524=-. 五、分化将一个数分化成两个或几个数之和的形式,或分化为它的因数相乘的形式.例5 计算：111125434236-+-+.解：原式()111125434236⎛⎫=-+-++-+-+ ⎪⎝⎭ 11221212=+=. 例6 计算：20082009200920092009200820082008⨯-⨯.解：原式2008200910001000120092008100010001=⨯⨯-⨯⨯0=.六、转化将小数与分数或乘法与除法互相转化.例7 计算：()23420.2534⎛⎫⎛⎫⨯-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解：原式312844⎛⎫⎛⎫=-+-÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭25=-.七、变序运用运算律修改运算次序.例8 计算：()()()412.5310.15⎛⎫-⨯+⨯-⨯- ⎪⎝⎭解：原式412.50.1315⎛⎫=-⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭13131=-⨯=-. 例9 计算：38871159158⎛⎫⎛⎫--⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解：原式8881559158⎛⎫=---⨯ ⎪⎝⎭ 13=-. 八、约简将互为倒数的数或有倍数关系的数约简.例10 计算：()()61112.50.125 1.250.6215284⎛⎫-⨯⨯-⨯÷⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭. 解：原式()()62.50.125 1.25521110.621284-⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯. 九、逆用正难则反,逆用运算律修改次序.例11 计算：2283210.2555214⎛⎫⎛⎫÷--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解：原式258715122144⎛⎫⎛⎫=⨯--⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 14=. 十、不雅察按照0、1、1-在运算中的特点,不雅察算式特点查找运算成果为0、1或1-的部分优先计算.例12 计算：()()20091312009 3.753164⎛⎫⎛⎫-÷-⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 解：33.75304-=,()200911-=-. ∴原式()011=+-=-.妙用字母解题在我们进修的过程中,常会碰着一些数据大、关系复杂的计算题,令人望而却步,无从着手．这时,假如我们仔细不雅察数据特点,商量数据规律,奥妙运用字母代替数字,将会收到化繁为简,化难为易的效果．例1 计算11111111111111232004232003232004232003⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++-+++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 阐发：本题显然不克不及用常规方法直接计算,不雅察式子的4个小部分,我们创造各部分的相同项很多,假如把相同部分用一个字母来代替,则可使运算大大简化．解：设1111232003a ++++=,111232003b +++=．则原式1120042004b a a b ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12004200420042004a b a b -=-==．评注：本题是分数计算题,若直接计算是很繁很难的,本题巧用整体思虑,妙用字母代替数就简单多了,这充辩白清晰清晰明了用字母暗示数的传染感动．例2 计算17.4837174.8 1.98.7488⨯+⨯+⨯．阐发：本题若直接进行计算也未尝不成,但经由过程不雅察创造：17.48,174.8,8.74之间有着特殊的关系,若设17.48a =,则174.810a =,8.742a =,这样,原式可化为含字母a 的代数式,我们只需合并同类项,然后将a 的取值代入进行求值即可,计算量明显减小．解：设17.48a =,则174.810a =,8.742a =,则原式可化为()371944371944100a a a a a ++=++=,将17.48a =代入,得原式1748=．评注：经由过程不雅察数字特点,运用字母代替数,使计算过程简化,收到了事半功倍的效果．。

初二数学上册知识点：有理数加法【DOC范文整理】

初二数学上册知识点：有理数加法有理数的加法：把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。

有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数。

有理数加法的运算律：加法的交换律：a+b=b+a；加法的结合律：+c=a+。

几个有理数相加常用方法：①.运用加法运算律把同号的加数相加，再把异号的加数相加；②.应用运算律把可以凑整的加数相加；③.运用运算律把互为相反数的加数相加。

用加法的运算律进行简便运算的基本思路：①先把互为相反数的数相加；②把同分母的分数先相加；③把符号相同的数先相加；④把相加得整数的数先相加。

注意事项：有理数的加法与小学的加法有理数的加法与小学的加法大有不同，小学的加法不涉及到符号的问题，而有理数的加法运算总是涉及到两个问题：一是确定结果的符号；二是求结果的绝对值。

在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0，从而确定用那一条法则。

在应用过程中，一定要牢记“先符号，后绝对值”，熟练以后就不会出错了。

多个有理数的加法，可以从左向右计算，也可以用加法的运算定律计算，但是在下笔前一定要思考好，哪一个要用定律哪一个要从左往右计算。

记忆要点：同号相加不变，异号相加变减。

欲问符号怎么定，绝对值大号选。

同号两数来相加，绝对值加不变号。

异号相加大减小，大数决定和符号。

互为相反数求和，结果是零须记好。

【注】“大”减“小”是指绝对值的大小。

有理数的减法运算减正等于加负，减负等于加正。

有理数的乘法运算符号法则同号得正异号负，一项为零积是零。

合并同类项说起合并同类项，法则千万不能忘。

只求系数代数和，字母指数留原样。

去、添括号法则去括号或添括号，关键要看连接号。

扩号前面是正号，去添括号不变号。

括号前面是负号，去添括号都变号。

解方程已知未知闹分离，分离要靠移完成。

初二数学上册知识点：有理数加法

初二数学上册知识点：有理数加法有理数的加法：把两个有理数合成一个有理数的运算叫做有理数的加法。

有理数的加法法那么：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反的两个数相加得0；（4）一个数同0相加，仍得那个数。

有理数加法的运算律：（1）加法的互换律：a+b=b+a；（2）加法的结合律：+=a+。

几个有理数相加经常使用方式：①运用加法运算律把同号的加数相加，再把异号的加数相加；②应用运算律把能够凑整的加数相加；③运用运算律把互为相反数的加数相加。

用加法的运算律进行简便运算的大体思路：①先把互为相反数的数相加；②把同分母的分数先相加；③把符号相同的数先相加；④把相加得整数的数先相加。

注意事项：有理数的加法与小学的加法有理数的加法与小学的加法大有不同，小学的加法不涉及到符号的问题，而有理数的加法运算老是涉及到两个问题：一是确信结果的符号；二是求结果的绝对值。

在进行有理数加法运算时，第一判定两个加数的符号：是同号仍是异号，是不是有0，从而确信誉那一条法那么。

在应用进程中，必然要牢记“先符号，后绝对值”，熟练以后就可不能犯错了。

多个有理数的加法，能够从左向右计算，也能够用加法的运算定律计算，可是在下笔前必然要试探好，哪个要用定律哪个要从左往右计算。

经历要点：同号相加不变，异号相加变减。