流体力学连续性方程和恒定总流动量方程

输出项
外力项 不包括惯 性力 输入项
恒定总流的动量方程
6
未知力的方向可以假定，若计算为正值，则说明假定正确；
反之，则说明实际力的方向和假定相反。
7
动量方程只能求解一个未知数，如果未知数的数目多于一， 必须联合其他方程（连续方程、或能量程）方可求解。 当流体有分流或汇流时 当总流有分流或者汇流时，仍可用动量方程解题，其不 同于伯努利方程在分流与汇流时的运用。
dx dx , y , z , t u x x , y , z , t dydzdt 2 2
u dx dx ( x, y , z , t ) u x ( x, y, z , t ) x dydzdt x 2 x 2 u dx dx ux x dydzdt x 2 x 2
K1' 2'
dt时段动量变化
K K1'2' K12
恒定总流的动量方程
1' 1 2 2'
1' 1
2
2'
K 1'-2' K 2-2' K 1'-2
dt 时间内水流动量的变化
K 1-2 K 1-1' K 1'-2
式中，Fx ,Fy ,Fz 为作用于控制体 上所有外力在三
qv ( 2v2 x 1v1x ) Fx qv ( 2v2 y 1v1 y ) Fy qv ( 2v2 z 1v1z ) Fz
个坐标方向的投
影（不包括惯性
沿x方向列动量方程为：
p1 A1 FRx qv (0 1V1 )
FRx p1 A1 1 qvV1
沿z方向列动量方程为：
p2 A2 FG FRz qv (2V2 0)
FRz p2 A2 FG 2 qvV2
F F F
2 Rx 2 Rz
2 qv 1 1 1 1 2 gbh12 gbh2 ( ) 2 2 b h2 h1
FP1 FP 2 FR qv ( 2V2 1V1 )
恒定总流的动量方程的应用
3. 射流对平面壁的冲击力 V 1 0 V0 FP 0 1 V0
V FR
x
2
V
2
V
沿x方向列动量方程为： 整理得：
作用于控制体内流体上所有外力的矢量和。外力包
括：控制体上下游断面1、2上的流体总压力P1、P2、重力G 和总流边壁对控制体内流体的作用力R。其中只有重力为质 量力，其余均为表面力。即
F P1 P 2 G R
P1
R
P2
v2
v1
G
恒定总流的动量方程
2
1
A1 u1 2’ A2 dA2
u2
dA1
1’
1 u1dt
2 u2dt
2’
dt 时间内流段1-1′动量
u1dtdA1 u1
恒定总流的动量方程
dt 时间内流段2-2′动量 总流1-1′与2-2′断面 的动量
u2 dtdA2 u2
K 11' u1u1dtdA1 dt u1u1dA1 A1 A1 K 2 2 ' u2 u2 dtdA2 dt u2 u2 dA2
力）。
恒定总流的动量方程
二、应用恒定总流动量方程的注意事项
1 所选断面必须是不可压缩流体定常流动的缓变流断面，
对断面之间流体的流动不作要求。
2 动量方程是矢量方程，式中的作用力和速度均为矢量。 3 取控制体。控制体可任意选择，但一般选取总流的一段
作为控制体来研究，通常由下列部分组成:
底部、侧部： 控制体 表面： 固体边壁，例如，管壁，渠底
物理意义： 在同一时间内通过流场中任一封闭表面的体积流量等于零，也就是说，
在同一时间内流入的体积流量与流出的体积流量相等。
恒定总流的动量方程
在需要确定流体与外界的相互作用力时，连续性方程和 能量方程都无法解决，需引入动量方程。动量方程是自然界 的动量定理在流体力学中的应用。
动量定理： 质点系的动量在某个方向的变化，等于作用于该 质点系上所有外力的冲量在同一方向投影的代数和。 即
A2
按照动量定律原理，则
K＝K 2 2' K 11'＝ qv2 2 v2 dt qv11 v1dt＝ F dt
恒定总流的动量方程
qv ( 2 v2 1 v1 ) F
F
A2 A2
因为断面上的流速分布一般较难确定，所以上述积分不 能完成。如何解决这个积分问题？
恒定总流的动量方程
用断面平均流速v 代替点流速。定 义V的大小为v ， 方向为u的方向 。
上述积分问题
的解决
uudA 2 A A 造成的误差用动 量修正系数 来 修正。


A
uudA
连续性方程
由于流体是作为连续介质来研究的，六面体内流体质量的总变化，唯一的可能是因 为六面体内流体密度的变化而引起的。因此上式中流体质量的总变化和由流体密度变 化而产生的六面体内的流体质量变化相等。
设开始瞬时流体的密度为ρ，经过dt时间后的密度为
( x, y, z, t dt ) dt t
FR qv (0 0V0 )
FR 0 qvV0
K K 1'-2' K 1-2 ＝ K 2-2' K 1'-2 K 1-1' K 1'-2＝ K 2-2' K 1-1'
恒定总流的动量方程
dt 时间内水流的动量变化 1’
K＝ K 2-2' K 1-1'
同理，在dt 时间内沿y轴和z轴方向流体质量的变化分别为：
( u y ) y dxdydzdt
( uz ) dxdydzdt z
因此，dt时间内经过微元六面体的流体质量总变化为
ux u y uz dxdydzdt y z x
连续性方程 连续性方程的微分形式
设在流场中任取一个微元平行六面体，其边长分别为dx、
dy和dz，如下图所示。
y
dx x 2
u u dx x 2
假设微元平行六面体形 uy dy

dx x 2
心的坐标为x、y、z，在 某一瞬时t经过形心的流 体质点沿各坐标轴的速 度分量为ux、 uy、 uz ， 流体的密度为ρ。
恒定总流的动量方程
分流
F qv2 2 v2 qv33 v3 qv11 v1 F qv33 v3 qv2 2 v2 qv11 v1
1 3 2 v2 2 ρQ3 3 ρQ2 ρQ1 1 v1 v3 v2 2 2 ρQ2
同理可得在dt时间内从右边微元面积dydz流出的流体质量为
u x dx dx u x dydzdt x 2 x 2
连续性方程
上述两者之差为在dt时间内沿x轴方向流体质量的变化，即
( ux ) u x dx u x dx dydzdt dxdydzdt x x x
uz dx
ux dz
u
u dx x 2
O z x
连续性方程
先分析x轴方向，由于ux和ρ都是坐标和时间的连续函数，即 ux=uxx (x，y，z，t)和ρ = ρ (x，y，z，t)。根据泰勒级数展开式， 略去高于一阶的无穷小量，得在dt时间内，沿轴方向从左边微
元面积dydz流入的流体质量为
x
K F t
恒定总流的动量方程
1. 恒定总流动量方程的建立
在恒定总流中，取一流段（控制体）研究，如下图所示。 A1 1
A2
2
v1
v2 1 断面1-1至2-2所具有的动量
K1 2
恒定总流的动量方程
1' 1 2 2'
1' 1
2
2'
经过时间dt 后，流体从1-2运动至1′-2′，此时所具有的动量为
FRz arctg FRx
恒定总流的动量方程的应用
管轴水平放置 1 1
重力与水流方 向垂直，可忽 略。
V1 FP1=p1A1
FRy FR FRx V2
2
沿x方向列动量方程：
2
y
x
FP2=p2A· 2
沿y方向列动量方程为：
p1 A1 FRx qv (0 1V1 )
FRy p2 A2 qv ( 2V2 0) FRy p2 A2 2 qvV2
汇流
ρQ1 1 v1
ρQ3 3
v3 3
1
恒定总流的动量方程的应用
三、恒定总流动量方程应用举例
1.弯管内流体对管壁的作用力 管轴竖直放置 1 1 2 2 y FP1=p1A1 z FG
V1
FRz FR FRx
V2
x
FP2=p2A· 2
当管轴竖直放置时，选控制体，在其上画出受力图如右 图所示。
恒定总流的动量方程的应用
2
A
恒定总流的动量方程
引入动量修正系数后：
2 K 1-1' dt u1u1dA1 dt 1 v1 A1 qv11 v1dt A1 K 2-2' dt u2u2 dA2 dt 2 v2 2 A2 qv2 2 v2 dt
2 Ry
FRx p1 A1 1 qvV1
F F F
2 Rx
arctg
FRy FRx
恒定总流的动量方程的应用
2.流体对建筑物的作用力 FP
FR
FP1=ρgbh12/2
x 沿x方向列动量方程为：
FR FP1 FP 2 qv ( 2V2 1V1 ) qv qv 1 1 2 2 gbh1 gbh2 qv ( ) 2 2 A2 A1
在dt时间内，六面体内因密度变化而引起的质量变化为
dt dxdydz dxdydz dxdydzdt t t
代入相等条件，得
u x u y u z 0 t x y z
自由液面等 过流断面
横向边界：
恒定总流的动量方程 4
选择坐标轴，做出受力图。在图上画上所有受力、流量、 流速、压力等矢量。
凡是和坐标轴方向一致的力和流速为正，反之，则为负。
5
动量方程是输出项减去输入项，不可颠倒。
qv ( 2 v2 x 1v1x ) Fx qv ( 2V2 y 1v1 y ) Fy qv ( 2 v2 z 1v1z ) Fz
连续性方程源自文库
上式为可压缩流体非定常三维流动的连续性方程。 若流体是定常流动
ux x
0 t
u y y uz z
上式变为：
0
不可压缩流体
c
可压缩流体定常三维流动 的连续性方程。 不可压缩流体三维流动 的连续性方程。
u x u y u z 0 x y z