实数与向量相乘

1 ＝ (－3a＋6b)＝2b－a. 3 (3)原式＝(m＋n)a－(m＋n)b－(m＋n)a－(m＋n)b ＝－2(m＋n)b.
题型二
用图形中指定向量表示其他向量
→ → 【例2】 如图所示，在△ABC 中，CA＝a，CB＝b， M 为AB的中点，用 a、b 表示： (1)AM；(2)BA；(3)CM. → 1→ 1 → → 解 (1)AM＝ AB＝ (CB－CA) 2 2
实数 倍． 两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的_____ 零向量的方向 3．
任意的，零向量与所有的向量____ 平行． 零向量的方向是______ 向量与实数的乘法运算律 4．
(1)设a是任意向量，x，y是任意两个实数，则(x＋y)a＝xa ＋ya，x(ya)＝(xy)a. (2)设a，b是任意两个向量，λ是任意实数，则λ(a＋b)＝λa ＋λb. 5． 单位向量：长度为_ 1的向量称为单位向量，已知a，则a0＝ 1 a. |a|
B．向量可以平行移动
C．有公共起点的向量叫共线向量 D．零向量与任一向量共线
答案
5 A. 7
C
)．
5 7 7 C. 5 7 5
1． 若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝___b(
B．－ D．－
解析
b与a反向，故a＝λb(λ<0)，|a|＝－λ|b|，即5＝－λ· 7.
答案 B
题型三 共线问题
计算： (1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)； 1． 11 (2) 2（2a＋8b）－（4a－2b）； 3 (3)(m＋n)(a－b)－(m＋n)(a＋b)． 解 (1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c ＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c ＝6a＋4b. 1 (2)原式＝ [(a＋4b)－(4a－2b)] 3
若 a 与 b 共线，则存在不为零的实数 m，使 a＝mb， m＋ 1 a＋b＝ (a－b)，此时 a＋b m－ 1
a＋b＝（m＋1）b， 从而 得 a － b ＝（ m － 1 ） b ，
与 a－b 共线； 若 a＋b 与 a－b 共线， 则存在不为零的实数 p， p＋ 1 使 a＋b＝p(a－b)，即 a＝ b，此时 a 与 b 共线． p－ 1
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→
1 1 1 ＝ (b－a)＝－ a＋ b. 2 2 2 → (2)BA＝CA－CB＝a－b.
→
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(3)∵CM＝CA＋AM，CM＝CB＋BM， ∴2CM＝(CA＋AM)＋(CB＋BM)＝CA＋CB＋(AM＋BM)＝a 1 1 ＋b＋0 ＝a＋b，∴CM＝ a＋ b. 2 2 点评 用图形中指定向量表示其他向量时，一般是利用向
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量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则把被表示的 向量表示出来．
2. 如右图所示，平行四边形 ABCD 两条对角
线相交于点 M， 且AB＝a， AD＝b.试用 a， b 表示MA、MB、MC和MD.
解 在▱ABCD 中， → → ∵AC＝AB＋AD＝a＋b，DB＝AB－AD＝a－b， 又∵平行四边形的两条对角线互相平分，
4.3
向量数乘运算 1．
向量与实数相乘
向量，这种运算叫做向量的____ 数乘， 实数λ与向量a的积是一个____ λa ，其长度与方向规定如下： 记作_____ |λ||a| ． (1)|λa|＝________ λ>0 时，与a方向相同 当______ (2)λa(a≠0)的方向 ; λ<0 时，与a方向相反 当______ 特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝____ 0 或λ0 ＝____ 0 ． 平行向量 2． 相同或相反的____ 非零向量叫做平行向量． (1)平行向量：方向__________ (2)平行向量的条件：
＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2 ＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6AB， ∴向量AD与向量AB共线． 又∵AB和AD有共同的起点 A， ∴A、B、D 三点共线．
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→
题型四
向量在平面几何中的应用
【例4】 已知 D、E、F 分别为△ABC 的三边 BC、AC、AB 的
k＝ ± 1.
点评
本题以正反两方面考查了向量共线，即若b与非零
向量a共线，则必存在唯一实数λ，使b＝λa；若b＝
λa(λ∈R)，则b与a共线．
3. 已知两个非零向量 e1 和 e2 不共线， 如果AB＝2e1＋3e2， BC＝ → 6e1＋23e2，CD＝4e1－8e2.求证：A、B、D 三点共线． → → → → 证明 ∵AD＝AB＋BC＋CD
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1→ 1 1 1 ∴MA＝－ AC＝－ (a＋b)＝－ a－ b， 2 2 2 2 1→ 1 1 1 MB＝ DB＝ (a－b)＝ a－ b， 2 2 2 2 1→ 1 1 MC＝ AC＝ a＋ b， 2 2 2 → → 1→ 1 1 MD＝－MB＝－ DB＝－ a＋ b. 2 2 2
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点评
1 → → 本例的结论以及中线向量AD＝ (AB＋AC)都要求记 2
→
2 → 忆． 此外， 设△ABC 的重心为 G， 则GA＋GB＋GC＝－ (AD 3 ＋BE＋CF)＝0.
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如右图，在平行四边形ABCD中，M是 4．
AB的中点，点N在对角线BD上，且BN 1 ＝BD. 3 求证：M、N、C三点共线． → → 证明 设AB＝a，AD＝b，
→
→
误区警示 错解
不严密推理而出错 a与b共线时，a＋b与a－b一定共线，这在作图求向
【示例】a与b共线与a＋b与a－b共线有关系吗？ 量的加法与减法时就看得出来．反之，a＋b与a－b共线时，
不能保证a与b共线．
错因分析 两个向量是否共线，应经过严格的推理才能得 出结论，而不能凭感觉看出来．
正解
1→ 1→ 则MN＝MB＋BN＝ AB＋ BD 2 3 1→ 1 → → 1→ 1→ ＝ AB＋ (AD－AB)＝ AB＋ AD 2 3 6 3
1 1 11 ＝ a＋ b＝ 2a＋b， 6 3 3
→
→
→
→ → 1→ → 1 MC＝MB＋BC＝ AB＋AD＝ a＋b. 2 2 1→ → → ∴MN＝ MC，∴向量MN与MC共线，且有公共 3 点 M，故 M、N、C 三点共线．
中点，求证：AD＋BE＋CF＝0. 证明 如图， ∵D 是 BC 的中点，由向量加法的平行四 → → → → 1 边形法则，得AB＋AC＝2AD，即AD＝ 2
(AB＋AC)． → 1 → → → 1 → → 同理BE＝ (BA＋BC)，CF＝ (CA＋CB)， 2 2 → → → 1 → → → → ∴ AD ＋ BE ＋ CF ＝ ( AB ＋ AC ＋BA ＋ BC 2 ＋CA＋CB)＝0. ∴原式得证．
因此若a与b共线，则a＋b与a－b共线，反之，若a＋b与a
－b共线，则a与b共线．
→
→
→
→
→ －3e2＝5(e1＋e2)＝5AB， ∴AB、BD共线，它们有公共点 B. ∴A、B、D 三点共线．
→
→
(2)解
∵ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线，
∴存在 λ 使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2， 由于 e1 与
k－λ＝0， e2 不共线，只能有 则 λk－1＝0，
【例3】 已知非零向量e1和e2不共线． → → → (1)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)，求证：
A、B、D 三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
(1)证明 ∵ AB＝ e1 ＋ e2， BD ＝ BC＋ CD ＝ 2e1＋ 8e2 ＋ 3e1
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→
→ →
向量共线 2． 向量b与非零向量a共线，则有且只有一个实数λ，使得b＝ λa；若b＝λa(λ∈R)则a与b共线．
注意：(1)要证明向量a、b共线，只需证明存在实数λ，使
得b＝λa即可． (2)如果a＝b＝0，数λ仍然存在，此时λ并不唯一，是任意
实数．
下列说法不正确的是
测评
(
)．
A．方向相同或相反的非零向量是平行向量