实数与向量相乘
向量与实数之间的计算公式
向量与实数之间的计算公式向量与实数是线性代数中的重要概念，它们之间的计算关系在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨向量与实数之间的计算公式，包括向量的数乘、向量加法、向量减法等基本运算，以及这些运算在实际问题中的应用。
1. 向量的数乘。
向量的数乘是指一个向量与一个实数相乘的运算。
假设有一个向量a和一个实数k，那么向量a乘以实数k的结果是一个新的向量，记作ka。
具体计算公式如下：ka = (ka1, ka2, ..., kan)。
其中，a = (a1, a2, ..., an)是原始向量，k是实数，ka是数乘后的新向量。
数乘的运算规律包括分配律、结合律和交换律，即：k(a + b) = ka + kb。
(k1k2)a = k1(k2a)。
k(a + b) = ka + kb。
数乘的概念在物理学中有着广泛的应用，例如力的大小和方向就可以用向量来表示，而力的大小和方向的变化可以通过数乘来描述。
2. 向量加法。
向量加法是指两个向量相加的运算。
假设有两个向量a和b，它们的加法结果记作a + b，具体计算公式如下：a +b = (a1 + b1, a2 + b2, ..., an + bn)。
其中，a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)分别是两个原始向量，a + b是它们相加后的新向量。
向量加法满足交换律和结合律，即：a +b = b + a。
(a + b) + c = a + (b + c)。
向量加法在几何学中有着重要的应用，例如两个力的合成就可以用向量加法来表示。
3. 向量减法。
向量减法是指一个向量减去另一个向量的运算。
假设有两个向量a和b，它们的减法结果记作a b，具体计算公式如下：a b = (a1 b1, a2 b2, ..., an bn)。
其中，a = (a1, a2, ..., an)和b = (b1, b2, ..., bn)分别是两个原始向量，a b是它们相减后的新向量。
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》(第2课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第2课时）教学设计一. 教材分析《实数与向量相乘》是沪教版数学九年级上册第24.6节的内容，这部分内容是在学生已经掌握了实数和向量的基本概念，以及向量的数乘运算的基础上进行学习的。
实数与向量相乘是向量运算中的一个重要部分，它不仅加深了学生对向量运算的理解，也为后续学习向量的线性组合以及向量空间等高级内容打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于实数和向量的基本概念有一定的了解。
但是，对于实数与向量相乘的理解可能会存在一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师通过生动的例子和实际操作，帮助学生理解和掌握这一概念。
三. 教学目标1.让学生理解实数与向量相乘的概念和运算规则。
2.培养学生运用实数与向量相乘解决实际问题的能力。
3.提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。
四. 教学重难点1.实数与向量相乘的概念。
2.实数与向量相乘的运算规则。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。
通过生动具体的例子，引导学生思考和探索实数与向量相乘的概念和运算规则，通过小组合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实例。
2.准备教学PPT和板书设计。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出实数与向量相乘的概念。
例如，在平面直角坐标系中，给定一个向量和一个实数，如何通过平移的方式得到一个新的向量。
2.呈现（10分钟）通过PPT展示实数与向量相乘的定义和运算规则，同时给出相关的实例，让学生直观地理解和感受实数与向量相乘的概念。
3.操练（10分钟）让学生通过实际的例题，练习实数与向量相乘的运算，教师在这个过程中，及时给予指导和反馈，帮助学生理解和掌握实数与向量相乘的规则。
4.巩固（5分钟）通过一些选择题和填空题，让学生巩固实数与向量相乘的概念和运算规则。
5.拓展（5分钟）让学生思考和探索实数与向量相乘的应用，例如，在物理中，实数与向量相乘可以表示力的大小和方向，引导学生将数学知识应用到实际问题中。
《24.6实数与向量相乘》作业设计方案-初中数学沪教版上海九年级第一学期
《实数与向量相乘》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对实数与向量相乘概念的理解，熟练掌握向量与实数相乘的运算法则，并能解决简单的实际问题。
通过本作业的练习，培养学生运用所学知识解决实际问题的能力，同时提高他们的计算能力和数学逻辑思维能力。
二、作业内容本课时作业内容主要包括实数与向量相乘的基本概念、运算法则及简单应用。
具体包括：1. 理解实数与向量相乘的定义，掌握乘法运算的规则。
2. 掌握实数与向量相乘的几何意义，理解向量长度和方向的变化。
3. 运用实数与向量相乘的法则，解决有关向量模长、方向和坐标的简单计算问题。
4. 通过实际问题，让学生学会用实数与向量相乘的知识解决实际问题，如力的大小与方向等。
三、作业要求1. 要求学生熟练掌握实数与向量相乘的概念和运算法则，能够准确地进行计算。
2. 作业中应包含一定数量的基础练习题和拓展题，难度逐步提升，以适应不同层次的学生。
3. 学生在完成作业时，应注重理解题意，明确解题思路，规范书写过程。
4. 要求学生独立完成作业，不得抄袭他人答案。
5. 作业中应包含适量的实际问题，以培养学生的应用意识和解决问题的能力。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生完成作业的正确率、解题思路的清晰度、书写的规范性以及是否独立完成等方面进行评价。
2. 评价方式：教师批改作业时，应注重对学生的解题过程进行点评，指出学生的优点和不足，并给出改进建议。
同时，可采取互评、自评等方式，让学生参与评价过程，提高他们的自我反思和评价能力。
3. 评价反馈：教师应及时将评价结果反馈给学生，让学生了解自己的学习情况，同时鼓励学生在下次作业中改正错误，提高正确率。
五、作业反馈1. 对于学生在作业中出现的共性问题，教师应在课堂上进行讲解和示范，帮助学生掌握正确的解题方法。
2. 对于个别学生的问题，教师可通过个别辅导或课后辅导的方式，帮助学生解决问题，提高学习效果。
3. 教师应根据学生的作业情况，及时调整教学计划和方法，以满足学生的学习需求，提高教学质量。
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》(第1课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第1课时）教学设计一. 教材分析沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》是本册教材中的一个重要内容，主要让学生了解实数与向量相乘的定义和性质。
本节课的内容对于学生来说是比较抽象的，需要通过具体实例和实际操作来理解和掌握。
教材中通过丰富的例题和练习题，帮助学生逐步掌握实数与向量相乘的方法和应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的实数和向量的基础知识，对于实数与向量的乘法有一定的了解。
但是，对于实数与向量相乘的定义和性质，以及其在实际问题中的应用，还需要进一步的引导和培养。
因此，在教学过程中，需要注重学生的实际操作和思考，通过具体的实例和问题，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和方法。
三. 教学目标1.了解实数与向量相乘的定义和性质。
2.能够运用实数与向量相乘的方法解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.实数与向量相乘的定义和性质。
2.实数与向量相乘的方法和应用。
五. 教学方法1.实例教学法：通过具体的实例，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和方法。
2.问题驱动法：通过提出实际问题，引导学生运用实数与向量相乘的方法解决问题。
3.小组合作法：通过小组合作讨论，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教材和教学参考书。
2.教学PPT或者黑板。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如一个人在平面上向右移动3个单位，向上移动2个单位，引导学生思考如何用数学语言来描述这个人的移动。
2.呈现（15分钟）介绍实数与向量相乘的定义和性质，通过具体的实例来解释和展示实数与向量相乘的方法。
3.操练（15分钟）让学生分组进行实际操作，利用实数与向量相乘的方法解决实际问题。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）让学生独立完成教材中的练习题，检验学生对实数与向量相乘的理解和掌握程度。
24.6实数与向量相乘(1)
24.6实数与向量相乘（1）上海市金沙中学 方正2012年8月一、教学目标设计 1．理解实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法。
2、对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得到的向量。
3、在从数的运算到向量的运算的认识过程中体会类比思想，增强概括能力。
二、教学重点及难点重点：实数与向量相乘的几何意义、相关概念难点：把一个向量用另一个向量和实数相乘的形式表示。
三、教学过程（一）温故知新复习：1、向量的定义（有大小有方向，和数量相对）；表示方法（有向线段，两个大写字母或一个小写字母）； 向量的模（向量的大小，表示方法）； 相反的向量；平行的向量；相等的向量。
什么是零向量？2．向量的加法和减法的运算方法是什么？怎么表示的？遵循什么法则（或公式）？3、已知：向量b a ,求作：（1）b a +（2） b a -a向量的加、减法满足什么法则？有口诀帮助记忆吗？加法：首尾相连，从始至终； 减法：首首相连，指向被减。
（二）探索新知1．思考：已知向量 a如图所示，如何作出（1）→→→++a a a（2）→→→-+-+-)()(a a aba（提示：根据向量的加法法则和相反向量的意义作图求解） 请两位学生分别上黑板作图。
2、观察：作出的向量与原向量 a 存在什么关系？（从向量的两要素：方向和大小都要考虑）因为→→→++a a a 的结果与a 方向相同，长度是a的3倍；而→→→-+-+-)()(a a a 的结果与a 方向相反，长度也是a的3倍，所以我们可以记→→→→→→→→3、归纳：我们规定向量的另一种新的运算，即实数与向量相乘的运算：设k 使一个实数，→a 是向量，那么与→a 相乘所得的积是一个向量，记作→a k （1）→→⋅=a k a k（2）当0>k 时，→a k 与→a 同向；当0<k 时，→a k 与→a 反向；当0=k 或→→=0a 时，→→=0a k注：（1）中的符号“”何时表示向量的模？何时表示数量的绝对值？（1）（2）综合起来看，告诉了我们数量与向量相乘的意义是什么？——→a k 表示一个与→a 方向相同或相反的向量，它的长度是→a 的长度的k 的绝对值倍。
数乘向量的运算律
数乘向量的运算律数乘向量的运算律是线性代数中的一项重要概念，它描述了数和向量之间的关系以及它们在线性空间中的运算规则。
本文将详细介绍数乘向量的运算律及其应用。
一、数乘向量的定义数乘向量的定义是指一个实数与一个向量相乘的运算。
具体来说，如果k是一个实数，向量v是一个n维向量，那么k乘以v的结果是一个与v同维度的向量，它的每个分量都等于k乘以v对应分量的值，即：k × [v, v, …, vn] = [kv, kv, …, kvn]例如，如果k=2，v=[1, 3, -2]，那么2乘以v的结果是[2, 6, -4]。
二、数乘向量的运算律数乘向量的运算律包括以下几个方面：1. 数量乘法结合律对于任意实数k1和k2，以及任意n维向量v，有：(k1k2) × v = k1 × (k2 × v)这个结合律的意义是，无论先乘以k1还是k2，再乘以向量v，最终结果都是相同的。
2. 数量乘法分配律对于任意实数k1和k2，以及任意n维向量v，有：(k1 + k2) × v = k1 × v + k2 × v这个分配律的意义是，一个实数k1+k2乘以向量v的结果，等于实数k1乘以向量v和实数k2乘以向量v的和。
3. 向量乘法分配律对于任意实数k和任意n维向量v1、v2，有：k × (v1 + v2) = k × v1 + k × v2这个分配律的意义是，一个实数k乘以向量v1+v2的结果，等于实数k分别乘以向量v1和向量v2的结果之和。
4. 数量乘法单位元对于任意实数k和任意n维向量v，有：1 × v = v这个单位元的意义是，一个实数1乘以任意向量v的结果，等于向量v本身。
5. 数量乘法逆元对于任意实数k和任意n维向量v，有：(-1) × v = -v这个逆元的意义是，一个实数-1乘以任意向量v的结果，等于向量v的相反数。
实数与向量的乘积
实数与向量的应用
实数与向量的乘积在物理、工程 等领域有着广泛的应用，如力的 合成与分解、速度的计算等。
03
实数与向量的乘积运算
乘积的运算规则
结合律
对于任意实数λ、μ和向量a，有λ(μa) = (λμ)a。
分配律
对于任意实数λ、μ和向量a、b，有(λ + μ)a = λa + μa，λ(a + b) = λa + λb。
来得到。
在工程中的应用
结构力学
在工程学中，实数与向量的乘积被广泛应用 于结构力学。例如，桥梁或建筑物的结构分 析需要考虑各种力的作用，这些力可以用向 量表示，并通过实数与向量的乘积进行计算 和分析。
电气工程
在电气工程中，电流、电压和电场强度等物 理量都是向量。实数与向量的乘积可以用来 计算电路中的功率、能量等参数。
03
代数性质
实数与向量的乘积满足一系列代数性 质，如结合律、分配律等，这些性质 使得向量运算更加灵活和方便。
对未来研究的展望
拓展应用领域
实数与向量的乘积作为一种基础的数学工具，在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛的应用。未来可以进一步探 索其在其他领域的应用，如机器学习、数据分析等。
高维向量空间的研究
目前对实数与向量的乘积的研究主要集中在二维和三维向量空间。未来可以拓展到更高维度的向量空间，研究高维空 间中实数与向量的乘积的性质和应用。
与其他数学概念的结合
实数与向量的乘积可以与其他数学概念相结合，如矩阵、张量等，产生更丰富的数学结构和性质。未来 可以探索这些结合所带来的新的数学理论和应用。
THANKS
数乘向量的运算律
数乘向量的运算律数乘向量的运算律是线性代数中的基本概念之一，它描述了一个数与一个向量相乘的结果。
本文将从定义、性质和应用等方面对数乘向量的运算律进行详细介绍。
一、定义数乘向量的运算律是指一个实数与一个向量相乘的运算法则。
设实数 k 和向量 v，k 与 v 的乘积表示为 kv，即：kv = (k·v1, k·v2, …, k·vn)其中，v1, v2, …, vn 是向量 v 的分量。
二、性质1. 数乘向量的运算满足交换律，即 kv = vk。
2. 数乘向量的运算满足结合律，即 (ab)v = a(bv)。
3. 数乘向量的运算满足分配律，即 (a+b)v = av + bv。
4. 数乘向量的运算满足分配律，即 a(v+w) = av + aw。
5. 数乘向量的运算满足单位元律，即 1v = v。
6. 数乘向量的运算满足零元律，即 0v = 0。
三、应用数乘向量的运算律在线性代数中有广泛的应用，下面介绍其中的几个应用：1. 向量的线性组合向量的线性组合是指将若干个向量按一定比例相加的结果。
例如，设向量 v1、v2、…、vn 和实数 k1、k2、…、kn，则它们的线性组合可以表示为：k1v1 + k2v2 + … + knvn这里的 k1、k2、…、kn 称为系数，它们可以是任意实数。
根据数乘向量的运算律，可以将向量的线性组合写成下面的形式：k1v1 + k2v2 + … + knvn = (k1v1, k2v2, …, knvn) 这种形式更加简洁明了，方便计算和理解。
2. 向量的投影向量的投影是指将一个向量投影到另一个向量上的过程。
假设有两个非零向量 u 和 v，它们的夹角为θ，向量 u 在向量 v 上的投影为 p，则有：p = |u|cosθ·(v/|v|)其中，|u| 和 |v| 分别是向量 u 和向量 v 的模，cosθ是向量 u 和向量 v 的夹角的余弦值，v/|v| 是向量 v 的单位向量。
实数与向量相乘
实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义一般的，设为正整数n ，a 为向量，我们用表示ann 个a 相加；用表示个相a n -n a -加.又当为正整m 数时，a m n 表示与同向a 且长度为的a mn 向量. 要点诠释：设P 为一个正数，P 就是将的a a 长度进行放缩，而方向保持不变；—P 也就是将a a 的长度进行放缩，但方向相反. 2.向量数乘的定义 一般地，实数与向量k a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka，它的长度与方向规定如下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a = ；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a反方向；（2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka = ，ka 的方向任意.实数与向量k a 相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算； （3）ka表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面； （4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律 设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）m （+b ）=m a a mb +（向量的数乘对于向量加法的分配律）4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：任意非零向量与它同方a 向的单位向量0a 的关系：0a a a = ，01a a a=.（2）平行向量定理：如果向量与b 非零向量平a 行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =.要点诠释：（1）定理中，bm a =，m 的符号由与b a 同向还是反向来确定.（2）定理中的“a 0≠ ”不能去掉，因为若a 0= ，必有b 0=，此时可以取m 任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b m a =，则向量与非b 零向量平行a .（4）向量平行的性质定理：若向量与非b 零向量平行a ，则存在一个实数m ，使b ma =.（5）A 、B 、C 三点的共线若存在实⇔AB//BC ⇔数λ，使 AB BC λ=.要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义 向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解平面向量基本定理：如果是同一12,e e 平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+.要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量叫做这12,e e 一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底表示为形12,e e 1122a e e λλ=+ 式，叫做向量的分解，当相互垂直12,e e时，就称为向量的正分解.每家都会装修，我们可以用一根电线将一盏电灯吊在天花板上，为了保险我们也可以用两根绳将这盏电灯吊在同一位置。
实数与向量相乘
实数与向量相乘1.实数与向量相乘的意义一般的，设n 为正整数，a 为向量，我们用a n 表示n 个a 相加；用a n -表示n 个a -相加.又当m 为正整数时，a m n 表示与a 同向且长度为a mn的向量. 要点诠释：设P 为一个正数，P a 就是将a 的长度进行放缩，而方向保持不变；—P a 也就是将a 的长度进行放缩，但方向相反. 2.向量数乘的定义一般地，实数k 与向量a 的相乘所得的积是一个向量，记作ka ，它的长度与方向规定如下：（1）如果k 0,a 0且≠≠时，则：①ka 的长度：||||||ka k a =；②ka 的方向：当0k >时，ka 与a 同方向；当0k <时，ka 与a 反方向； （2）如果k 0,a=0=或时，则：0ka =，ka 的方向任意.实数k 与向量a 相乘，叫做向量的数乘. 要点诠释：（1）向量数乘结果是一个与已知向量平行（或共线）的向量； （2）实数与向量不能进行加减运算；（3）ka 表示向量的数乘运算，书写时应把实数写在向量前面且省略乘号，注意不要将表示向量的箭头写在数字上面；（4）向量的数乘体现几何图形中的位置关系和数量关系. 3.实数与向量相乘的运算律 设m n 、为实数，则：（1）()()m na mn a =（结合律）；（2）()m n a ma na +=+（向量的数乘对于实数加法的分配律）；（3）m （+b）=m a a mb + （向量的数乘对于向量加法的分配律） 4.平行向量定理（1）单位向量：长度为1的向量叫做单位向量. 要点诠释：任意非零向量a 与它同方向的单位向量0a 的关系：0a a a =，01a a a=.（2）平行向量定理：如果向量b 与非零向量a 平行，那么存在唯一的实数m ，使b ma =. 要点诠释： （1）定理中，b m a=，m 的符号由b 与a 同向还是反向来确定.（2）定理中的“a 0≠”不能去掉，因为若a 0=，必有b 0=，此时m 可以取任意实数，使得b ma =成立.（3）向量平行的判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数m ，使b ma =，则向量b 与非零向量a 平行.（4）向量平行的性质定理：若向量b 与非零向量a 平行，则存在一个实数m ，使b ma =. （5）A 、B 、C 三点的共线⇔AB //BC ⇔若存在实数λ，使 AB BC λ=.要点五、向量的线性运算 1.向量的线性运算定义向量的加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 要点诠释：（1）如果没有括号，那么运算的顺序是先将实数与向量相乘，再进行向量的加减. （2）如果有括号，则先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 2.向量的分解平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内两个不共线（或不平行）的向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+. 要点诠释：（1）同一平面内两个不共线（或不平行）向量12,e e 叫做这一平面内所有向量的一组基底.一组基底中，必不含有零向量．(2) 一个平面向量用一组基底12,e e 表示为1122a e e λλ=+形式，叫做向量的分解，当12,e e 相互垂直时，就称为向量的正分解.每家都会装修，我们可以用一根电线将一盏电灯吊在天花板上，为了保险我们也可以用两根绳将这盏电灯吊在同一位置。
实数与向量相乘的运算律
实数与向量相乘的运算律好吧，今天咱们聊聊实数和向量相乘这件事儿。
听起来可能有点儿严肃，实际上呢，挺有意思的，就像是咱们在厨房里调味一样，很多看似简单的东西，背后其实都有深意。
想象一下，向量就像是一支队伍，每个成员都有自己的方向和力量。
想象一下，五个人在一起，向前冲。
现在来了个实数，相当于一个教练，给他们加油。
教练说：“你们每个人都加把劲儿，快点儿！”这时候，队伍的每个人都听到这个指令，立马就提升了自己的速度。
哎呀，结果可想而知，向量的“长度”就变得更长了，方向也没变，大家依旧朝着同一个目标前进。
再举个例子，想想购物时的情景。
你拿着一张购物清单，上面写着一堆东西。
这个购物清单就像一个向量，代表你需要买的东西。
可是一看价格，唉呀，有些东西实在是贵得离谱。
这时候，老板给你一个优惠券，买一送一，或者直接打折。
这样一来，你就可以用更少的钱买到更多的东西。
这就和实数乘向量是一个道理。
实数就像是你的折扣，乘以向量，结果就是你在购物车里的商品数量增加了，但整体方向和需求没有改变。
咱们再谈谈一些有趣的性质。
比如，咱们说实数乘向量是满足交换律的。
也就是说，教练如果先给队伍中的某一个人加油，接着再对其他人加油，和先对大家一起加油再对某一个人加油，结果是一样的。
你想想，这就像是几个人一起吃火锅，谁先点菜不重要，最后大家还是能一起享受这顿美餐，大家高高兴兴地吃完就行。
再说说结合律。
想象一下，周末大家一起去爬山，分成几个小组。
每个小组都有一个目标。
结果在某个地方，大家都集合到了一起。
无论是先把目标给了某个小组，还是后面的组合，最终大家都会到达山顶。
这就像实数和向量之间的结合律，谁在前面带路无所谓，最后大家都能一起到达目的地，真是太酷了。
其实啊，生活中到处都有这种运算的影子。
比如，团队合作，大家分工明确，每个人各自发挥自己的特长，这种状态就是向量，大家一起努力，实现目标就像是实数的乘法。
很多时候，我们的目标并不是孤立的，实际上是在相互影响、相互成就。
24.6实数与向量相乘(1)
得失
例题3已知平行四边形ABCD中，E、F、G、H、分别是各边的中点EG与FH相交于点O.设 请用向量 或 表示向量 ，并写出图中与向量 相等的量.
例题4已知点D、E分别在 的边AB与AC上DE∥BC，3AD=4DB，试
用向量 表示向量 .
（三）巩固练习
1、 表示实数 与向量 相乘的运算，下列表示运算是否正确：
意图说明
[说明]例题1是根据实数与向量相乘的意义画图后与学生共同归纳,体会实数与向量相乘的几何表示，初步感受到实数与向量相乘的积是一个与原向量平行的向量.
本例题将平行四边形的性质与向量加法的平行四边法则结合运用．
[说明]本例题引导学生初步认识两个平行向量的代数表达形式
作业
设计
板书
设计
典型
错例
（问题）
上海市杨泰实验学校教学设计表
课题
24.6实数与向量相乘（1）
课型单元Biblioteka 点教学目标1．通过类比几个相同的数连加的运算，认识整数与向量相乘的规定的合理性；理解实数与向量相乘的意义，掌握实数与向量相乘的表示方法；对于给定的一个非零实数和一个非零向量，能画出它们相乘所得的向量.
2．领悟类比思想，增强概括能力．
教学重点
实数与向量相乘的几何意义
教学难点
实数与向量相乘的几何意义
教学准备
实物投影仪、多媒体设备
教学重要环节的设计
（一）温故知新
复习：1．向量的加法和减法的运算方法是什么？怎么表示的？平行四边形法则是怎么表示的？
2．
已知：向量 求：（1） （2）
（二）探索新知
1．思考：已知 ，那么 ？
几个相同的向量相加，是否能像几个相同的数相加一样呢？
《向量的数乘》 讲义
《向量的数乘》讲义一、向量的数乘的定义向量是既有大小又有方向的量。
在数学中，我们常常会遇到对向量进行数乘的运算。
所谓向量的数乘，就是一个实数与一个向量相乘的运算。
设向量＄＼vec{a}＄，实数＄＼lambda$，则＄＼lambda ＼vec{a}＄就是向量＄＼vec{a}＄的数乘。
例如，有向量＄＼vec{A} ＝（2, 3)＄，若实数＄＼lambda ＝ 2$ ，则数乘后的向量为＄2\vec{A} ＝（4, 6)＄。
二、向量数乘的几何意义从几何角度来看，向量的数乘具有以下重要意义：当＄＼lambda ＞ 0$ 时，＄＼lambda ＼vec{a}＄与＄＼vec{a}＄的方向相同，且＄＼vert ＼lambda ＼vec{a} ＼vert ＝＼lambda ＼vert ＼vec{a} ＼vert$ 。
比如，向量＄＼vec{a} ＝（1, 0)＄，实数＄＼lambda ＝ 3$ ，那么＄3\vec{a} ＝（3, 0)＄，其长度是向量＄＼vec{a}＄的 3 倍。
当＄＼lambda ＝ 0$ 时，＄＼lambda ＼vec{a} ＝＼vec{0}＄，即零向量。
当＄＼lambda ＜ 0$ 时，＄＼lambda ＼vec{a}＄与＄＼vec{a}＄的方向相反，且＄＼vert ＼lambda ＼vec{a} ＼vert ＝＼lambda ＼vert ＼vec{a} ＼vert$ 。
例如，向量＄＼vec{b} ＝（－1, 2)＄，实数＄＼lambda ＝－2$ ，则＄－2\vec{b} ＝（2, －4)＄。
通过向量的数乘，可以实现对向量的缩放和方向的改变。
三、向量数乘的运算律向量数乘满足以下运算律：1、结合律：＄（＼lambda ＼mu) ＼vec{a} ＝＼lambda （＼mu ＼vec{a}）＄。
例如，若有向量＄＼vec{c} ＝（2, 1)＄，实数＄＼lambda ＝ 2$ ，＄＼mu ＝ 3$ ，则＄（2×3) ＼vec{c} ＝ 2 （3\vec{c}）＝ 6\vec{c} ＝（12, 6)＄。
实数与向量相乘-教师版
主课题：实数与向量相乘知识精要1. 实数与向量相乘的运算设k 是一个实数，a 是向量，那么k 与a 相乘所得的积是一个向量，记作k a 。
如果k ≠0，且≠0，那么k 的长度|k |=|k|||；k 的方向：当k ＞0时，k 与同方向；当k ＜0时k 与反方向， 如果k=0或=，那么k =。
2. 实数与向量相乘满足的运算律：设m ，n 为实数，则 （1） 实数与向量相乘的结合律：m(n )=(mn)；（2） 实数与向量相乘对于实数加法的分配律：（m+n ）a =m a +n a ； （3） 实数与向量相乘对于向量加法的分配律：m(a +b )=m a +m b 。
3. 平行向量定理如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m ，使=m 。
4. 单位向量长度为1的向量叫单位向量。
设为单位向量，则||=1。
单位向量有无数个，不同的单位向量，是指它们的方向不同。
对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作0。
由实数与向量的乘积可知：a =|a |a 0 ，a 0a 。
精解名题例1. 如图，已知非零向量，求作：（1）-2+32； (2)3-25−→−a例2. 计算：（1）-23+（-23） （2） 2(31+21)-5(2+41)=-21a -23b =-328a -41b （3）)3(23c b a c b a -+--+）（ （4）)23(223b a c b a----）（解：原式=cb a cb ac b a25-6-23--=+--+ 原式=c b a b a c b a 6323636--=+---例3. 如图，已知△ABC ，AD 、BE 、CF 是中线，G 为重心，且BC =a ， AD =b 。
用a 、b 表示下列向量：(1)AB ；(2)CA ;；(3)BE ；(4)CF 。
解：（1）=-21 （2）=－-21（3）=-21b +43 （4）=-21b -43例4. 下列语句中，错误的是（ A ） A. 单位向量与任何向量都平行B. 已知a 、b 、c 是非零向量，如果a ∥b ，b ∥c ，那么a ∥cC. 已知、、c 是非零向量，如果+=2c ，-=3c ，那么与是平行向量D. 对于非零向量，它的长度为5，与它同方向的单位向量记作0，由实数与向量的乘积，可知0=51例5. 如图，在△ABC 中，=a，AC =b ，延长AB 到点B 1，使AB 1=5AB ，延长AC 到点C 1，使AC 1=5AC ，连接B 1C 1，求和11C B ,并判断BC 与11C B 是否平行。
上海教育版数学九上24.6《实数与向量相乘》(第1课时)ppt课件
⑴若k≠0，且a≠0，则ka的长度 ＝
,
ka
k＞0时， 与 同方向；k＜0时， 与 反方向；
⑵若k＝0
ka a 或 ＝ ，则 ＝ .
此外： //
ka
ka a
a0
ka 0
ka a
作业 练习册：24.6（1）
⑴若k≠0，且a≠0，则ka的长度 ＝
,
ka
k＞0时， 与 同方向；k＜0时， 与 反方向；
⑵若k＝0
ka a 或 ＝ ，则 ＝ .
此外： //
ka
ka a
a0
ka 0
ka a
举 例1
已知非零向量a、b，求作： a
5 a 2b 2
b
举 例2
如图：在□ABCD中，E，F，G，H分别为各边的中点，EG与FH相交于点O，设AD=a， BA=b，试用向量a或b表示向量OE，OF，并写出图中与OE相等的向量．
回顾
1、向量定义：
既有大小又有方向的量叫向量。
2、向量的表示：
几何表示：
有向线段
3、重要概念：
字母表示：
a 、AB
（1）零向量：长度为0的向量，记作0.
（2）平行向量：方向相同或相反的向量.
（3）相等向量：长度相等且方向相同的向量.
（4）相反向量：长度相等且方向相反的向量.
（5）向量的模：向量的长度，模可以比较大小但向量
A
E
F O
B
G
D H C
举 例3
如图：已知点D、E在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC，AD=4DB，试用向量BC表示向量DE．
A
D
E
B
C
练习
如图：已知点D、E在△ABC的边AB，AC上，DE∥BC, ，试用向量CB表示向量DE．
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》(第2课时)教学设计
沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》（第2课时）教学设计一. 教材分析沪教版数学九年级上册24.6《实数与向量相乘》这一节主要介绍了实数与向量相乘的概念和性质。
学生需要掌握实数与向量相乘的定义，理解实数与向量相乘的几何意义，并能熟练运用实数与向量相乘解决相关问题。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了实数和向量的相关知识，具备一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但是，对于实数与向量相乘的概念和性质的理解还需要进一步引导和深化。
三. 教学目标1.理解实数与向量相乘的定义和性质。
2.掌握实数与向量相乘的几何意义。
3.能够运用实数与向量相乘解决相关问题。
四. 教学重难点1.实数与向量相乘的定义和性质。
2.实数与向量相乘的几何意义。
五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生思考和探索实数与向量相乘的概念和性质，激发学生的兴趣和积极性。
同时，运用案例分析和问题解决的方法，帮助学生理解和掌握实数与向量相乘的几何意义。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和问题。
2.准备多媒体教学材料，如PPT等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过向学生提问：“实数与向量有什么关系？”引导学生回顾已学的实数和向量的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）向学生介绍实数与向量相乘的定义和性质，通过示例和讲解，让学生理解实数与向量相乘的几何意义。
3.操练（15分钟）让学生通过解决一些实际问题，运用实数与向量相乘的知识，巩固所学的内容。
4.巩固（5分钟）通过一些练习题，让学生进一步巩固实数与向量相乘的概念和性质。
5.拓展（5分钟）引导学生思考实数与向量相乘的应用，如在几何图形中的运用等。
6.小结（5分钟）让学生总结实数与向量相乘的概念和性质，以及解题方法。
7.家庭作业（5分钟）布置一些相关的作业题，让学生巩固所学的内容。
8.板书（5分钟）板书实数与向量相乘的定义和性质，以及解题方法。
本节课通过问题驱动法和案例分析法，引导学生理解和掌握实数与向量相乘的概念和性质。
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向量数乘运算 1．
向量与实数相乘
向量，这种运算叫做向量的____ 数乘， 实数λ与向量a的积是一个____ λa ，其长度与方向规定如下： 记作_____ |λ||a| ． (1)|λa|＝________ λ>0 时，与a方向相同 当______ (2)λa(a≠0)的方向 ; λ<0 时，与a方向相反 当______ 特别地，当λ＝0或a＝0时，0a＝____ 0 或λ0 ＝____ 0 ． 平行向量 2． 相同或相反的____ 非零向量叫做平行向量． (1)平行向量：方向__________ (2)平行向量的条件：
1→ 1→ 则MN＝MB＋BN＝ AB＋ BD 2 3 1→ 1 → → 1→ 1→ ＝ AB＋ (AD－AB)＝ AB＋ AD 2 3 6 3
1 1 11 ＝ a＋ b＝ 2a＋b， 6 3 3
→
→
→
→ → 1→ → 1 MC＝MB＋BC＝ AB＋AD＝ a＋b. 2 2 1→ → → ∴MN＝ MC，∴向量MN与MC共线，且有公共 3 点 M，故 M、N、C 三点共线．
中点，求证：AD＋BE＋CF＝0. 证明 如图， ∵D 是 BC 的中点，由向量加法的平行四 → → → → 1 边形法则，得AB＋AC＝2AD，即AD＝ 2
(AB＋AC)． → 1 → → → 1 → → 同理BE＝ (BA＋BC)，CF＝ (CA＋CB)， 2 2 → → → 1 → → → → ∴ AD ＋ BE ＋ CF ＝ ( AB ＋ AC ＋BA ＋ BC 2 ＋CA＋CB)＝0. ∴原式得证．
k＝ ± 1.
点评
本题以正反两方面考查了向量共线，即若b与非零
向量a共线，则必存在唯一实数λ，使b＝λa；若b＝
λa(λ∈R)，则b与a共线．
3. 已知两个非零向量 e1 和 e2 不共线， 如果AB＝2e1＋3e2， BC＝ → 6e1＋23e2，CD＝4e1－8e2.求证：A、B、D 三点共线． → → → → 证明 ∵AD＝AB＋BC＋CD
→
→
→
→
1 1 1 ＝ (b－a)＝－ a＋ b. 2 2 2 → (2)BA＝CA－CB＝a－b.
→
→
(3)∵CM＝CA＋AM，CM＝CB＋BM， ∴2CM＝(CA＋AM)＋(CB＋BM)＝CA＋CB＋(AM＋BM)＝a 1 1 ＋b＋0 ＝a＋b，∴CM＝ a＋ b. 2 2 点评 用图形中指定向量表示其他向量时，一般是利用向
B．向量可以平行移动
C．有公共起点的向量叫共线向量 D．零向量与任一向量共线
答案
5 A. 7
C
)．
5 7 7 C. 5 7 5
1． 若|a|＝5，b与a的方向相反，且|b|＝7，则a＝___b(
B．－ D．－
解析
b与a反向，故a＝λb(λ<0)，|a|＝－λ|b|，即5＝－λ· 7.
答案 B
题型三 共线问题
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则把被表示的 向量表示出来．
2. 如右图所示，平行四边形 ABCD 两条对角
线相交于点 M， 且AB＝a， AD＝b.试用 a， b 表示MA、MB、MC和MD.
解 在▱ABCD 中， → → ∵AC＝AB＋AD＝a＋b，DB＝AB－AD＝a－b， 又∵平行四边形的两条对角线互相平分，
→
→
→
→
→ －3e2＝5(e1＋e2)＝5AB， ∴AB、BD共线，它们有公共点 B. ∴A、B、D 三点共线．
→
→
(2)解
∵ke1＋e2 与 e1＋ke2 共线，
∴存在 λ 使 ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)， 则(k－λ)e1＝(λk－1)e2， 由于 e1 与
k－λ＝0， e2 不共线，只能有 则 λk－1＝0，
实数 倍． 两个向量平行⇔其中一个向量是另一个向量的_____ 零向量的方向 3．
任意的，零向量与所有的向量____ 平行． 零向量的方向是______ 向量与实数的乘法运算律 4．
(1)设a是任意向量，x，y是任意两个实数，则(x＋y)a＝xa ＋ya，x(ya)＝(xy)a. (2)设a，b是任意两个向量，λ是任意实数，则λ(a＋b)＝λa ＋λb. 5． 单位向量：长度为_ 1的向量称为单位向量，已知a，则a0＝ 1 a. |a|
→
→
误区警示 错解
不严密推理而出错 a与b共线时，a＋b与a－b一定共线，这在作图求向
【示例】a与b共线与a＋b与a－b共线有关系吗？ 量的加法与减法时就看得出来．反之，a＋b与a－b共线时，
不能保证a与b共线．
错因分析 两个向量是否共线，应经过严格的推理才能得 出结论，而不能凭感觉看出来．
正解
因此若a与b共线，则a＋b与a－b共线，反之，若a＋b与a
－b共线，则a与b共线．
1 ＝ (－3a＋6b)＝2b－a. 3 (3)原式＝(m＋n)a－(m＋n)b－(m＋n)a－(m＋n)b ＝－2(m＋n)b.
题型二
用图形中指定向量表示其他向量
→ → 【例2】 如图所示，在△ABC 中，CA＝a，CB＝b， M 为AB的中点，用 a、b 表示： (1)AM；(2)BA；(3)CM. → 1→ 1 → → 解 (1)AM＝ AB＝ (CB－CA) 2 2
→
→
→
→
→
→
→
点评
1 → → 本例的结论以及中线向量AD＝ (AB＋AC)都要求记 2
→
2 → 忆． 此外， 设△ABC 的重心为 G， 则GA＋GB＋GC＝－ (AD 3 ＋BE＋CF)＝0.
→
→
→
→
→
如右图，在平行四边形ABCD中，M是 4．
AB的中点，点N在对角线BD上，且BN 1 ＝BD. 3 求证：M、N、C三点共线． → → 证明 设AB＝a，AD＝b，
→
→ →
向量共线 2． 向量b与非零向量a共线，则有且只有一个实数λ，使得b＝ λa；若b＝λa(λ∈R)则a与b共线．
注意：(1)要证明向量a、b共线，只需证明存在实数λ，使
得b＝λa即可． (2)如果a＝b＝0，数λ仍然存在，此时λ并不唯一，是任意
实数．
下列说法不正确的是
测评
(
)．
A．方向相同或相反的非零向量是平行向量
若 a 与 b 共线，则存在不为零的实数 m，使 a＝mb， m＋ 1 a＋b＝ (a－b)，此时 a＋b m－ 1
a＋b＝（m＋1）b， 从而 得 a － b ＝（ m － 1 ） b ，
与 a－b 共线； 若 a＋b 与 a－b 共线， 则存在不为零的实数 p， p＋ 1 使 a＋b＝p(a－b)，即 a＝ b，此时 a 与 b 共线． p－ 1
计算： (1)8(2a－b＋c)－6(a－2b＋c)－2(2a＋c)； 1． 11 (2) 2（2a＋8b）－（4a－2b）； 3 (3)(m＋n)(a－b)－(m＋n)(a＋b)． 解 (1)原式＝16a－8b＋8c－6a＋12b－6c－4a－2c ＝(16－6－4)a＋(－8＋12)b＋(8－6－2)c ＝6a＋4b. 1 (2)原式＝ [(a＋4b)－(4a－2b)] 3
【例3】 已知非零向量e1和e2不共线． → → → (1)如果AB＝e1＋e2，BC＝2e1＋8e2，CD＝3(e1－e2)，求证：
A、B、D 三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．
(1)证明 ∵ AB＝ e1 ＋ e2， BD ＝ BC＋ CD ＝ 2e1＋ 8e2 ＋ 3e1
→
→
→
→
→
→
→
→
→
→
1→ 1 1 1 ∴MA＝－ AC＝－ (a＋b)＝－ a－ b， 2 2 2 2 1→ 1 1 1 MB＝ DB＝ (a－b)＝ a－ b， 2 2 2 2 1→ 1 1 MC＝ AC＝ a＋ b， 2 2 2 → → 1→ 1 1 MD＝－MB＝－ DB＝－ a＋ b. 2 2 2
＝2e1＋3e2＋6e1＋23e2＋4e1－8e2 ＝12e1＋18e2＝6(2e1＋3e2)＝6AB， ∴向量AD与向量AB共线． 又∵AB和AD有共同的起点 A， ∴A、B、D 三点共线．
→
→
→
→
→
→→ຫໍສະໝຸດ 题型四向量在平面几何中的应用
【例4】 已知 D、E、F 分别为△ABC 的三边 BC、AC、AB 的