余弦定理PPT课件
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余弦定理ppt课件
边.
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
利用余弦定理可以解决：
b2 c2 a 2
cos A
2bc
a 2 c2 b2
cos B
2ac
a 2 b2 c2
3
3．△ABC 的三内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，设
向量 p ＝(a＋c，b)， q ＝(b－a，c－a)，若 p ∥ q ，则 C 的大
小为( A )
π
π
π
2π
A.
B.
C.
D.
6
3
2
3
三 判断三角形的形状
例3：设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.
若 bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC 的形状为（ ）
C．( 8，10)
D．( 10，8)
谢 谢 பைடு நூலகம் 看
B.-1
C.1
D.−
B
）
跟踪训练
1、△ABC 中，若 a:b:c＝3:5:7，则这个三角形的最
大内角为( C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
二
例2
利用余弦定理进行边角互化
在△ 中，，，分别是内角，，的对边，且
= + + ，则角的大小为（ D ）
A.
B.
C.
D.
跟踪训练
1. 在△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc，则角A= ( B )
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
b 2 a 2 c 2 2ac cos B
c 2 a 2 b 2 2ab cos C
利用余弦定理可以解决：
b2 c2 a 2
cos A
2bc
a 2 c2 b2
cos B
2ac
a 2 b2 c2
3
3．△ABC 的三内角 A，B，C 所对边的长分别为 a，b，c，设
向量 p ＝(a＋c，b)， q ＝(b－a，c－a)，若 p ∥ q ，则 C 的大
小为( A )
π
π
π
2π
A.
B.
C.
D.
6
3
2
3
三 判断三角形的形状
例3：设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.
若 bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC 的形状为（ ）
C．( 8，10)
D．( 10，8)
谢 谢 பைடு நூலகம் 看
B.-1
C.1
D.−
B
）
跟踪训练
1、△ABC 中，若 a:b:c＝3:5:7，则这个三角形的最
大内角为( C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
二
例2
利用余弦定理进行边角互化
在△ 中，，，分别是内角，，的对边，且
= + + ，则角的大小为（ D ）
A.
B.
C.
D.
跟踪训练
1. 在△ABC中，已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc，则角A= ( B )
《余弦定理》课件
2 计算三角形内角
如果知道一个三角形的三条边长，我们可以通过余弦定理计算出三个内角中的任意一个 角度。
3 多边形的面积
在许多多边形的计算中，还需要用到余弦定理计算角度或边长。
注意事项
1
适用条件
在使用余弦定理前，我们需要先检查三个已知量是否足够独立，以确定是否能够应用余弦定 理解决特定问题。
2
计算误差的影响
《余弦定理》PPT课件
欢迎来到本次关于余弦定理的PPT课件。余弦定理是一个重要的三角函数定理， 我们会讨论它的定义以及如何应用于三角形的边长和内角的计算。
什么是余弦定理
定义
余弦定理是一个用于计算三角形边长或内角的三 角函数定理，它可以用于解决各种类型的三角形 问题。
应用领域Байду номын сангаас
余弦定理不仅可以应用于三角形，还可以用于光 学、机械、地理等领域的计算。
三角形内角的关系
通过余弦定理，我们可以计算三 角形任意一个内角的大小，只需 要知道另外两条边的长度。
图形的应用
在现实生活中，许多图形的计算 都可以用余弦定理来求解，例如 桥梁、电线杆等。
例子
1 计算三角形边长
如果知道一个三角形的两条边长，以及它们对应的夹角，我们可以通过余弦定理计算出 第三条边长。
由于计算误差的存在，使用余弦定理可能会导致计算结果出现误差，在实际问题中需要格外 注意。
3
实际应用
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的计算方法，不能将余弦定理作为万能的三角形 问题解决方法。
总结
余弦定理的应用
余弦定理作为三角形问题的一 种解决方法，可以应用于多个 领域的计算，具有广泛的实用 价值。
余弦定理的不足
虽然余弦定理具有广泛的适用 范围，但是在某些特定情况下， 可能存在不足或者无法解决的 问题。
如果知道一个三角形的三条边长，我们可以通过余弦定理计算出三个内角中的任意一个 角度。
3 多边形的面积
在许多多边形的计算中，还需要用到余弦定理计算角度或边长。
注意事项
1
适用条件
在使用余弦定理前，我们需要先检查三个已知量是否足够独立，以确定是否能够应用余弦定 理解决特定问题。
2
计算误差的影响
《余弦定理》PPT课件
欢迎来到本次关于余弦定理的PPT课件。余弦定理是一个重要的三角函数定理， 我们会讨论它的定义以及如何应用于三角形的边长和内角的计算。
什么是余弦定理
定义
余弦定理是一个用于计算三角形边长或内角的三 角函数定理，它可以用于解决各种类型的三角形 问题。
应用领域Байду номын сангаас
余弦定理不仅可以应用于三角形，还可以用于光 学、机械、地理等领域的计算。
三角形内角的关系
通过余弦定理，我们可以计算三 角形任意一个内角的大小，只需 要知道另外两条边的长度。
图形的应用
在现实生活中，许多图形的计算 都可以用余弦定理来求解，例如 桥梁、电线杆等。
例子
1 计算三角形边长
如果知道一个三角形的两条边长，以及它们对应的夹角，我们可以通过余弦定理计算出 第三条边长。
由于计算误差的存在，使用余弦定理可能会导致计算结果出现误差，在实际问题中需要格外 注意。
3
实际应用
在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的计算方法，不能将余弦定理作为万能的三角形 问题解决方法。
总结
余弦定理的应用
余弦定理作为三角形问题的一 种解决方法，可以应用于多个 领域的计算，具有广泛的实用 价值。
余弦定理的不足
虽然余弦定理具有广泛的适用 范围，但是在某些特定情况下， 可能存在不足或者无法解决的 问题。
9.1.2-余弦定理课件(共48张PPT)高一下学期数学人教B版(2019)必修第四册第九章解三角形
已知两边和这两边的夹角,或已知三边则这个三角形就确定了,故
(3)(4)正确.
-6-
课前篇自主预习
激趣诱思
知识点拨
微练习1
在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°,则BC=(
A.9
课堂篇探究学习
B.19
C.√7
)
D.√19
答案:C
解析:由余弦定理,可得 BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos
-8-
课前篇自主预习
激趣诱思
课堂篇探究学习
知识点拨
知识点二:用余弦定理解三角形的问题
1.已知两边及夹角解三角形;
2.已知三边解三角形.
-9-
课前篇自主预习
激趣诱思
课堂篇探究学习
知识点拨
名师点析 1.已知三边求三角的基本方法
方法一:直接根据余弦定理的三个变式求出三角.
方法二:首先由余弦定理的变式求出最大边所对的角,再由正弦定
所以利用正弦定理可得
sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sin Bsin Ccos Bcos C,
因为sin Bsin C≠0,所以sin Bsin C=cos Bcos C,
所以cos(B+C)=0,所以cos A=0,因为0<A<π,所以A=
为直角三角形.
π
2
,所以△ABC
-24-
课前篇自主预习
1
A=4+9-2×2×3×2=7,所以 BC=√7.故选 C.
-7-
课前篇自主预习
激趣诱思
课堂篇探究学习
知识点拨
微练习2
(2020安徽定远县民族学校高一月考)在△ABC中,AB=5,
(3)(4)正确.
-6-
课前篇自主预习
激趣诱思
知识点拨
微练习1
在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°,则BC=(
A.9
课堂篇探究学习
B.19
C.√7
)
D.√19
答案:C
解析:由余弦定理,可得 BC2=AB2+AC2-2AB×ACcos
-8-
课前篇自主预习
激趣诱思
课堂篇探究学习
知识点拨
知识点二:用余弦定理解三角形的问题
1.已知两边及夹角解三角形;
2.已知三边解三角形.
-9-
课前篇自主预习
激趣诱思
课堂篇探究学习
知识点拨
名师点析 1.已知三边求三角的基本方法
方法一:直接根据余弦定理的三个变式求出三角.
方法二:首先由余弦定理的变式求出最大边所对的角,再由正弦定
所以利用正弦定理可得
sin2Bsin2C+sin2Csin2B=2sin Bsin Ccos Bcos C,
因为sin Bsin C≠0,所以sin Bsin C=cos Bcos C,
所以cos(B+C)=0,所以cos A=0,因为0<A<π,所以A=
为直角三角形.
π
2
,所以△ABC
-24-
课前篇自主预习
1
A=4+9-2×2×3×2=7,所以 BC=√7.故选 C.
-7-
课前篇自主预习
激趣诱思
课堂篇探究学习
知识点拨
微练习2
(2020安徽定远县民族学校高一月考)在△ABC中,AB=5,
数学：1.1.2《余弦定理》课件(新人教b版必修5)
1 2
AB
1
3 2
3 AB 4. C
AC 2 AB 2 BC 2 2 AB BC COSB
16 1 2 41 1 13 AC 13.
A
2
Ac 2 BC 2 AB 2 13 1 16
13
cosC
B
2 AC BC
2 13 1 13
sinC
1
13 13
2
2 26 13
1.1.2 余弦定理 课件
2024/11/11
1.正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，
即a =
sin A
b sin B
=
c =2R（R为△ABC外接圆半径）
sin C
2.正弦定理的应用: 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；
2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和 角。
c2 a2 b2 2ab cosC
2024/11/11
1．余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
b2 c2 a2
即 a2 b2 c2 2bc cos A cos A 2bc
b2 c2 a2 2ac cosB cos B c2 a2 b2
2ab
2024/11/11
2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为 钝角三角形；若a2=b2+c2，
则△ABC为
直角三；角若形a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，
则△ABC为
锐角。三角形
3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 等腰三角形 。
6.4.3.3余弦定理、正弦定理应用举例(新教材)PPT课件(人教版)
有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型； （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模
型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练 一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在 东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成 边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有 先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥 秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测 量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会 不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用， 第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位 于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营 救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?
型的解； （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题
的解.
a sin .
sin 180 ( ) sin( )
计算出AC和BC后，再在△ABC中，应用余弦定理
计算出AB两点间的距离为
δγ D
α β
C
变式训练 一条河自西向东流淌，某人在河南岸A处看到河北岸两个目标C,D分别在 东偏北45°和东偏北60°方向，此人向东走300米到达B处之后,再看C,D, 则分别在西偏北75°和西偏北30°方向,求目标C,D之间的距离.
sin A a ,sin B b ,sin C c
2R
2R
2R
sin A: sin B : sin C a : b : c
将等式中的角换成 边，注意2R约掉。
1 课程导入
遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？在古代，天文学家没有 先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神秘的方法探索到这个奥 秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测 量方案，比如可以应用全等三角形、类似三角形的方法，或借助解直角三 角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会 不能实施.如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所 以，有些方法会有局限性.于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解 决的.今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用， 第一研究如何测量距离.
4 测量角度问题
例3：位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有 一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位 于甲船南偏西30°,且与甲船相距7 n mile的C处的乙船.那么乙船前往营 救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东 多少度（精确到1°）?需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?
余弦定理PPT优秀课件
∴ cosA＝ AB AC = (8)(2)3(4) 2 ,∴ A≈84°.
AB AC
732 5
365
四、课堂练习：
1.在△ABC中，bCosA=acosB，则三角形为( C )
A.直角三角形 B.
C.
D.等边三角形
解法一：利用余弦定理将角化为边.
∵bcosA＝acosB ,∴b·b2c2a2aa2c2b2
解：∵ coAs b2 c2 a2 ＝0.725， ∴ A≈44° 2bc
∵coCs a2 b2 c2＝0.8071， 2ab
∴ B＝180°－(A＋C)≈100.
∴ C≈36°,
(∵sinC＝
c
sin a
A
≈0.5954,∴
C ≈ 36°或144°(舍).)
例2在Δ ABC中，已知a＝2.730，b＝3.696，C＝82°28′，解这个
∵0＜A，B＜π ，∴－π ＜A－B＜π ，∴A－B＝0 即A＝B
故此三角形是等腰三角形.
2.在△ABC中，若a2＞b2+c2，则△ABC为 钝角三角形；若a2=b2+c2，
则△ABC为
直角三；角若形a2＜b2+c2且b2＜a2+c2且c2＜a2+b2，
则△ABC为
锐角Байду номын сангаас三角形
3.在△ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 等腰三角形 。
解法一：
B
8
7
∵ |AB| ＝ [6(2)2 ](58)2 73
6
5
A
|BC| ＝ (24)2(81)2 85
4 3
|AC| ＝ (64)2(51)225
余弦定理(公开课)PPT
习题一：证明余弦定理
总结词
通过已知的三角形边长和角度，证明 余弦定理的正确性。
详细描述
已知三角形ABC的三边长分别为a、b、c，对应 的角度分别为A、B、C。通过已知条件，我们 可以利用三角函数的基本性质，推导出余弦定 理的表达式，并证明其正确性。
习题二：利用余弦定理解三角形问题
总结词
利用余弦定理解三角形中的角度和边长问题。
几何学中的基础定理
余弦定理是几何学中的基础定理之一， 对于理解几何学中的其他定理和概念 有着重要的意义。
学习余弦定理的意义和收获
培养数学思维
学习余弦定理有助于培养数学 思维，提高分析和解决问题的
能力。
加深对三角形的理解
通过学习余弦定理，可以更深入地 理解三角形的性质和特点，更好地 掌握三角形的相关知识和应用。
在解决物理问题中的应用
力的合成与分解
在物理中，力可以视为向量，通过余弦定理，我们可以计算出力的合成或分解 后的结果。
运动学问题
在解决运动学问题时，我们经常需要计算速度、加速度等物理量，这些量可以 通过矢量运算得出，而余弦定理在矢量运算中有着重要的应用。
PART 05
习题和解答
REPORTING
WENKU DESIGN
04
在物理学中，余弦定理可以用于解决与力、运动和振 动相关的问题，如计算力的合成与分解、分析振动的 周期和频率等。
PART 03
余弦定理的证明
REPORTING
WENKU DESIGN
证明方法一：利用三角形的边长和余弦值关系
总结词
通过比较三角形边长和余弦值的平方，利用勾股定理和三角形的性质，推导出余 弦定理。
详细描述
给定三角形ABC的两边长a、b和夹角C，利用余弦定理可以求出第三边c的长度。同时，也可以利用余弦 定理求出三角形中的角度，如已知三边长a、b、c，可以求出角A、B、C的度数。
1.1.2余弦定理(二)课件人教新课标
讲授范例：
例1.在△ABC中，已知下列条件解三角形.
(1) A＝30o，a＝10，b＝20； (2) A＝30o，a＝10，b＝6； (3) A＝30o，a＝10，b＝15；
一解
(4) A＝120o，a＝10，b＝5； (5) A＝120o，a＝10，b＝15.
讲授范例：
例1.在△ABC中，已知下列条件解三角形.
讲授范例：
例2.在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3， 判断△ABC的类型.
练习：
(1)在△ABC中, 已知sinA:sinB:sinC＝1:2:3, 判断此△ABC的类型. (2)已知△ABC满足条件acosA＝bcosB, 判 断△ABC的类型.
讲授范例：
例3.在△ABC中，A＝60o，b＝1，面积 为
余弦定理及基本作用 ②已知三角形的三条边就可以求出其它角.
练习：
在△ABC中，若a2＝b2 ＋c2 ＋bc， 求角A.
思考:
解三角形问题可以分为几种类型？ 分别怎样求解的？
思考:
解三角形问题可以分为几种类型？ 分别怎样求解的？
(1)已知三角形的任意两边与其中一边的 对角，例如a＝12， b＝5， A＝120o；
练习：
(1) 在△ABC中, a＝80, b＝100, ∠A＝45o, 试判断此三角形的解的情况.
(2) 在△ABC中, 若a＝1, c＝ ∠C＝40o, 则符合题意的b的值有_____个.
(3) 在△ABC中, a＝xcm,b＝2cm,∠B＝45o, 如果利用正弦定理解三角形有两解, 求x的 取值范围.
归纳：
1. 如果已知的A是直角或钝角，a＞b， 只有一解；
2. 如果已知的A是锐角，a＞b，或a=b， 只有一解；
正弦定理和余弦定理-PPT课件
22
类型一
正弦定理和余弦定理的应用
解题准备:
1.正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系,根据题 目的实际情况,我们可以选择其中一种使用,也可以综合起 来运用.
2.在求角时,能用余弦定理的尽量用余弦定理,因为用正弦定 理虽然运算量较小,但容易产生增解或漏解.
23
3.综合运用正､余弦定理解三角形问题时,要注意以下关系式
32
∵0<A<π,0<B<π,∴sin2A=sin2B
∴2A=2B或2A=π-2B,即A=B或A+B= .
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.
33
解法二:同解法一可得2a2cosAsinB=2b2cosBsinA,
由正、余弦定理得
a2b•
b2
c2
a
2
=b2a•
a2 c2 b2
2bc
2ac
1 2 3 2 1 3.
2
2
(2)当|BC|=4时,S△=
1 2
|AB|·|BC|·sinB
1 2 3 4 1 2 3.
2
2
∴△ABC的面积为 2 3 或 3.
27
[反思感悟]本题主要考查正弦定理､三角形面积公式及分类 讨论的数学思想,同时也考查了三角函数的运算能力及推 理能力.
28
40
设云高CM x m,则CE x h,
DE x h, AE x h .
tan
又AE x h , x h x h
tan tan tan
解得x tan tan gh hgsin( ) m.
tan tan
sin( )
41
[反思感悟]在测量高度时,要理解仰角､俯角的概念.仰角和俯 角都是在同一铅垂面内,视线与水平线的夹角,当视线在水 平线之上时,称为仰角;当视线在水平线之下时,称为俯角.
第4章第6节正弦定理余弦定理课件共47张PPT
＝
6＋ 4
2 .
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
点评：在△ABC中，若A＝m，则B＋C＝π－m.从而B＝π－m－C 或C＝π－m－B，由此可消去B或C.
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
[跟进训练]
＝4或b＝5.]
1234
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
02
细研考点·突破题型
考点一 考点二 考点三
利用正、余弦定理解三角形 利用正、余弦定理解决三角形面积问题 判断三角形的形状
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
2．三角形常用面积公式
(1)S＝12a·ha(ha 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12absin
1
1
C＝___2_a_c_s_in__B___＝____2_b_c_s_in__A__；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)．
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c＝2 3.
第六节 正弦定理、余弦定理
1
2
3
走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课后限时集训
方案三：选条件③.
由C＝π6和余弦定理得a2＋2ba2b－c2＝
3 2.
数学人教A版必修第二册6.4.3余弦定理课件
解：(1)cosC 1 sin2 C 13 14
余弦定理 c2 a2 b2 2ab cosC 9
c 3
(2)cosB a2 c2 b2 2ac
49 9 64 1
42
7
B 90 三角形ABC是钝角三角形.
【方法归纳】 利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手， 即用转化的思想解决问题，一般有两个思路：(1)化边为角，再进行三 角恒等变换，求出三个角之间的关系；(2)化角为边，再进行代数恒等 变换，求出三条边之间的关系．一般地，若遇到的式子含角的余弦或 边的二次式，则要考虑用余弦定理．
6.4.3 余弦定理
教学目标
1.了解余弦定理的推导过程； 2.掌握余弦定理的几种变形公式及应用 3.能利用余弦定理求解三角形的边、角等问题。
预习教材P42－P43的内容， 思考以下问题： 1.余弦定理的内容是什么？
2.如何证明余弦定理？
3.余弦定理有哪些推论？
探究
在三角形ABC中，三个角A，B，C所对的边分别
2，
2
∴A＝45°.
B
解：由题可知：最大角为B, 最小角为A
余弦定理推论cosC a2 b2 c2 9 25 19 1
2ab
30
2
C 60 , A B 180 60 120
A
解：余弦定理b2 a2 c2 2ac cosB 变形a2 c2 b2 2ac cosB
由题a2 c2 b2 3ac可知2ac cosB 3ac
题型2已知三角形三边或三边的关系解三角形 例2 (1)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a ＝ 2，b＝ 2，c＝2，则角A等于( ) A．90° B．60° C．30° D．45°
6.4.3 第1课时 余弦定理PPT课件(人教版)
课前篇自主预习
一
二
3.做一做
(1)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 a=1,b= 7,c= 3,
则 B=
.
5π
答案: 6
解析:由已知 a=1,b= 7,c= 3,根据余弦定理,得 cos
1+3-7
3
=- .
2
2 3
5π
∵0<B<π,∴B= 6 .
2
2 +2 -
B= 2
=
课前篇自主预习
一
二
(2)判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误
的画“×”.
①在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形.(
)
②在△ABC中,若△ABC是钝角三角形,则必有a2+b2<c2.(
)
③在△ABC中,若△ABC是锐角三角形,则必有a2+b2>c2.(
)
答案:①√ ②× ③√
B,BD=acos B,AD=AB-BD=c-acos B,b2=CD2+AD2=(asin B)2+(cacos B)2=a2+c2-2acos B;
同理可证:c2=a2+b2-2abcos C,a2=b2+c2-2bccos A.
图(2)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
(3)在钝角△ABC中,如图(3),作CD⊥AB,交AB的延长线于点D,则
形.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
思维辨析
随堂演练
反思感悟 1.利用三角形的边角关系判断三角形的形状时,需要从
第五章第六节正弦定理和余弦定理课件共58张PPT
A，bsin
C＝csin
B，
cos
C＝a2＋2ba2b－c2
2.三角形中常用的面积公式
(1)S＝12 ah(h 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12
1
1
bcsin A＝___2__a_c_s_in_B____＝__2__a_b_si_n_C___；
(3)S＝12 r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径).
解析： 在△ABC 中， 由余弦定理及 a＝2 2 ，b＝5，c＝ 13 ，有 cos
C＝a2＋2ba2b－c2
＝
2 2
π .又因为 C∈(0，π)，所以 C＝ 4
.
π 在△ABC 中，由正弦定理及 C＝ 4 ，a＝2 2 ，c＝ 13 ，可得 sin A＝
a sin C c
＝2 1313
.
答案：
π 4
变形
(1)a＝2R sin A，b＝_2_R_s_in_B___，c＝ __2_R_s_in_C___；
cos A＝b2＋2cb2c－a2
；
(2)a∶b∶c＝_si_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_in_C___； cos B＝c2＋2aa2c－b2 ；
(3)asin B＝bsin asin C＝csin A
考点·分类突破
⊲学生用书 P84
利用正弦、余弦定理解三角形
(1)(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C＝23 ，AC＝4，BC＝3，则
tan B＝( )
A． 5
B．2 5
C．4 5
D．8 5
(2)(2020·广东省七校联考)若△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，
b，c，已知 2b sin 2A＝3a sin B，且 c＝2b，则ab 等于( )
人教版高中数学必修2《余弦定理》PPT课件
[微思考] 勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示：余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例． 2．解三角形的定义：
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形 的_元__素__．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做_解__三__角__形__．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
2×( 6＋ 2)×2 3×cos 45°＝8，
所以 b＝2 2. 由 cos A＝b2＋2cb2c－a2，
得 cos A＝2
22＋ 6＋ 2×2 2×
22－2 6＋ 2
32＝12.
因为 0°<A<180°，所以 A＝60°.
(2)由余弦定理，得 a2＝b2＋c2－2bccos A ＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)， 所以 49＝64－2bc1－12，即 bc＝15. 由bbc＋＝c1＝58， 解得bc＝＝53， 或cb＝＝35.，
二、应用性——强调学以致用 2. 在古希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用
三角形的三边长求三角形的面积．若三角形的三边长分别为 a，b，c， 则其面积 S＝ pp－ap－bp－c，这里 p＝a＋2b＋c.已知在△ABC 中， BC＝6，AB＝2AC，求当△ABC 的面积最大时，sin A 的值． [析题建模] 由海伦公式，结合基本不等式，求出△ABC 的面积最大时 边 AB 及 AC 的长．再由余弦定理求出 cos A，进而求出 sin A.
6．4.3 余弦定理、正弦定理
明确目标
发展素养
1.借助向量的运算，探索三角 1.通过对余弦定理、正弦定理的学习及运
形边长与角度的关系，掌握 用，提升直观想象、数学抽象和逻辑推
余弦定理、正弦定理．
高中数学1.1.2余弦定理课件3新人教A必修5.ppt
问5：解决长度和角度问题的手段有什么？
C
baA源自cB余弦定理
问题解决
B
?
C
（精确到0.1米）
96°
B C 2 A B 2 A C 2 2 A B A C c o s A A
3 .6 2 4 .8 2 2 3 .6 4 .8 c o s 9 6
1 2 .9 6 2 3 .0 4 3 4 .5 6 0 .1 0 4 5
二.思想方法： 数形结合的思想，化归与转化的思想， 分类讨论的思想，特殊到一般的思想
• 作业 • 1.复习 • 2.必做题:书P8---P9 • 选做题：已知一钝角三角形的边长是三个
连续自然数，求该三角形的三边长。
• 3.预习
猜字谜游戏：
• 留得琴丝调宫商（打一数学名词）
39.6125
BC6.3
答：B,C两处的距离约为6.3米。
一、余弦定理：
问6：公式应该要如何记忆呢？ 问7：可将公式如何变形？ 问8：公式变形的目标是什么？
观察可能导致发现，观察将揭示 某种规则-------波利亚
定理应用 --------------类比的方法
----------请同学们自己编题---------解三角形问题：SSS SAS
情境引入
C B
A
情境引入
情境引入
C B
96° A
提出问题
B
?
C
96° A
问3：用正弦定理能否直接求出B,C两处的距离？
问4：如何解决这已知三角形两边c和b, 和两边的夹角A，求第三边a的问题？
公式推导 --------------特殊到一般的思想
如何由已知两边和它们的夹角求三角形的另一边？
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巩 固
练习2：在△ABC中，已知b=3, c 3 3
,
知 B=30°，解三角形
识
随 练习3：在△ABC中，已知a=5，b=7，c=8， 堂 则△ABC（ ） 练 A.锐角三角形 B.直角三角形 习 C.钝角三角形 D.以上都有可能
思考
在解三角形的过程中，求某一个角 有时既可以用余弦定理，也可以用正弦定理， 两种方法有什么利弊呢？ 在已知三边和一个角的情况下：求另一个角正余弦弦定定理理
巩
固 知
?
A
B
识
500
300Байду номын сангаас
典 型
120°
C
例
题
例2：在△ABC中，已知a=2, b 2 ，
c 3 1 ,求A。
A
c 3 1
b 2
B
C
a=2
例3：在△ABC中，已知a=2, b 2 ，
c 3 1 ,解三角形。
A
c 3 1
b 2
B
C
a=2
六 、
练习1：在△ABC中，c=3，A=45°， B=75°，求a
小 结
3.余弦定理及勾股定理关系
在ABC中，
2.余弦定理的推论
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ca
cos C a2 b2 c2 。 2ab
4.余弦定理可以解决有关 三角形的问题：
若a2 b2 c2，则C为直角； （1）已知三边，求三个角；
余 弦
2
2
2
AB CB CA 2CB CA cosC
定 理
c2 a2 b2 2ab cosC
1的、对若边已边知长△c。ABC中A两边长a，b和角C，求角C
自
c
b
主
探
B
C
a
究 2、若已知△ABC中两边长b ， c和角A，求角A
的对边边长a。
3、若已知△ABC中两边长a ， c和角B，求角B 的对边边长b 。
1、回顾正弦定理以及正弦定理能解决的解三角形 问题的类型。
一
正弦定理： a b c 2R
sin A sin B sin C
、
复
正弦定理能解决的问题类型：
习
（1）已知两个角和一条边
回
（2）已知两条边和一边的对角
顾
二
、
创
设
·B
情 A·
境
兴 趣 导 入
二 、
A.
创
设
500m
情
境
.B
. 120°
C
300m
兴
趣
A
?
B
导
入
500m
120° 300m
C
二 1、如何用初中的三角方法来求AB的长 、 创 设 情 2、如何边、角为一般的结论是否成立 境
兴 趣 导 入
?
三 如图，由向量的减法，A
B
、
向 AB CB CA
量
C
法 AB AB (CB CA) (CB CA)
证 明 AB AB CB CB CACA 2CB CA
余弦定理：三角形任何一边的平方等于其它两边 平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍。
a2 =b2 +c2-2bccosA
b2 =c2+a2-2cacosB
c2 =a2+b2-2abcosC
应用余弦定理，我们就可以从已知的两 边和夹角计算出三角形的第三条边。
思考 如果已知三角形的三边，如何确定三个角？
(1)用正弦定理，计算相对简单，但解不唯一，要 进行判断取舍。
(2)用余弦定理推论，解唯一,可以免去判断取舍。
思考
我们讨论的解三角形的问题可以分为几种
类型？分别是怎样求解的？
1.余弦定理
a2=b 2+c-22bccosA
2 22
七 、
b =c +a-2accosB
c2=a2
2
+b-2abcosC
a2 b2 c2
cos C 2ab
C为锐角 cosC>0 a2 b2 c2
C为直角 C为钝角
cosC=0 cosC<0
a2 b2 c2
a2 b2 c2
余弦定理可以看作是勾股定理的推广, 勾股定理是余弦定理的特例
情景题
五 例1：在三角形ABC中，C=120°，b=500，
、 a=300，求c及sinA，sinB
四 、
b2 c2 a2 cos A
余
2bc
弦
a2 c2 b2
定 理
cos B 2ac
的
a2 b2 c2
推 论
cos C 2ab
应用余弦定理的推论，我们就可以从三角 形的三边计算出三角形的三个角。
勾股定理指出了直角三角形中三边平方 之间的关系，余弦定理则指出了一般三角 形中三边平方之间的关系，如何看这两个 定理之间的关系？
若a2 b2 c2，则C为锐角；
若a2 b2 c2，则C为钝角；
（2）已知两边和它们的夹角，求 第三边和其它两角；
（3）判断三角形的形状。
读书部分：阅读课本第8、9页探究与发现
八
、
优化设计第4页例题与反思
课
后 作
书面作业：优化设计第5页（必做）
业
谢谢！
从余弦定理，可以得到它的推论
四
、 余
a2 b2 c2 2bccos A
弦
定 理
b2 a2 c2 2accosB
的
推
论 c2 a2 b2 2abcosC
b2 c2 a2 cos A
2bc a2 c2 b2 cos B
2ac
a2 b2 c2
cos C 2ab
余弦定理的推论：