结构力学结构位移计算04
合集下载
结构力学 结构的位移计算
k
F Ndu
Md
F Q 0ds
F RC
只有荷载作用
无支座移动
k F Ndu Md FQ 0ds
由材料力学知
du
FNP d s EA
d
M Pds EI
d s
k FQP d s GA
10
1.2
9
k--为截面形状系数
A A1 [Al为腹板截面积]
FP
X
待分析平衡的力状态
(c)
直线
几点说明：
X C (1) 对静定结构，这里实际用的是刚体
虚设协调的位移状态
虚位移原理，实质上是实际受力状态 的平衡方程，即
由外力虚功总和为零，即：
X F 0
X
P
C
M 0 B
(2) 虚位移与实际力状态无关，故可设
1 x
X P b 0 (3) 求解时关键一步是找出虚位移状态的
计算结构的位移，就必须明确广义力与广义位移的对应关系。常见的对应有
以下几种情况：
基本原则
求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应的单位力。
A
B
位移方向未知
时无法直接虚
拟单位荷载！
求A点的 水平位移
P=1
m=1 求A截面 的转角
m=1
m=1
求AB两截面 的相对转角
P=1
P=1
求AB两点 的相对位移
位移与约束协调:位移函数在约束处的数值等于约束位移。
§4-2 虚功原理
一、虚功原理的三种形式
1、质点系的虚位移原理
具有理想约束的质点系，其平衡的必要和充分条件是：作用于质点系的主
结构位移计算
1
第七章 结构位移计算
§7—1 概述
§7—2 变形体系的虚功原理
§7—3 位移计算的一般公式
A′
§7—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§7—5 图乘法
§7—6 静定结构温度变化时的位移计算
§7—7 静定结构支座移动时的位移计算
§7—8 线弹性结构的互等定理 2
§7—1 概 述
1. 变形和位移
在荷载作用下，结构将产生变形 和位移。
y1=
y2=
y3=
△Cy=
A
MP图
L
qL2 8
B
L
C
2
qL2
8
1
M图
2
+
qL2 3
8
L
2
y3 y2
y1
1
24
返回
§7—6 静定结构温度变化时的位移计算
当静定结构温度发生变化时，由于材料热胀冷缩，结构将产生
变形和位移。设结构(见图)外侧温度升高 t1，内侧温度升高 t2 ,求K点
的竖向位移△Kt 。此时由式（7—5）可得
式(7—1）称为虚功方程，式中
W ——外力虚功 Wi——内力虚功
（7—1）
返8回
微段dS上内力的变形虚功为
dWi=Ndu+QdS+Md
整个结构内力的变形虚功为
Wi=
（7—2)
虚功方程为
W=
（7—3)
AP
M
RA
q
Q
N
q B
dS
RB
N+dN
力状态
Q+dQ
ds
A
B
dS
（1）功的第互一等状定态理的：外力在第二状态的位移上所作
第七章 结构位移计算
§7—1 概述
§7—2 变形体系的虚功原理
§7—3 位移计算的一般公式
A′
§7—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§7—5 图乘法
§7—6 静定结构温度变化时的位移计算
§7—7 静定结构支座移动时的位移计算
§7—8 线弹性结构的互等定理 2
§7—1 概 述
1. 变形和位移
在荷载作用下，结构将产生变形 和位移。
y1=
y2=
y3=
△Cy=
A
MP图
L
qL2 8
B
L
C
2
qL2
8
1
M图
2
+
qL2 3
8
L
2
y3 y2
y1
1
24
返回
§7—6 静定结构温度变化时的位移计算
当静定结构温度发生变化时，由于材料热胀冷缩，结构将产生
变形和位移。设结构(见图)外侧温度升高 t1，内侧温度升高 t2 ,求K点
的竖向位移△Kt 。此时由式（7—5）可得
式(7—1）称为虚功方程，式中
W ——外力虚功 Wi——内力虚功
（7—1）
返8回
微段dS上内力的变形虚功为
dWi=Ndu+QdS+Md
整个结构内力的变形虚功为
Wi=
（7—2)
虚功方程为
W=
（7—3)
AP
M
RA
q
Q
N
q B
dS
RB
N+dN
力状态
Q+dQ
ds
A
B
dS
（1）功的第互一等状定态理的：外力在第二状态的位移上所作
结构力学 第4章 静定结构的位移计算
YA = − b / a
1 ⋅ ∆ + YA ⋅ c = 0
∆ = b⋅c / a
这是单位荷载法 这是单位荷载法 。
求多跨静定梁在C点的支座反力F 例2. 求多跨静定梁在C点的支座反力 C。
F E F D C B A (a)
a
2a
a
2a
a
F E
F D C FC B A (b)
E δ2
δ1
D
δC=1 C
一、公式的进一步推导
∆ KH N P N KQP Q M P M = ∑ ∫ ( N dλ + Qdη + M dϕ ) = ∑ ∫ EA + GA + EI
dϕ
ds
ds
dλ
dη
dλ σ NP ε= ⇒ dλ = εds = ds = ds ds E EA QP dη = γds = k ds GA MP 1 dϕ = ds = ds ρ EI
3.虚功原理的应用 3.虚功原理的应用 1）虚设位移求未知力（虚位移原理） 虚设位移求未知力（虚位移原理） 虚设单位位移法:已知一个力状态， 虚设单位位移法:已知一个力状态，虚设一个单位位移 状态，利用虚功方程求力状态中的未知力。这时， 状态，利用虚功方程求力状态中的未知力。这时，虚功原 理也称为虚位移原理。 理也称为虚位移原理。 2）虚设力系求位移（虚力原理） 虚设力系求位移（虚力原理） 虚设单位荷载法:已知一个位移状态， 虚设单位荷载法:已知一个位移状态，虚设一个单位力 状态，利用虚功方程求位移状态中的未知位移。这时， 状态，利用虚功方程求位移状态中的未知位移。这时，虚 功原理也称为虚力原理。 功原理也称为虚力原理。
钢筋混凝土结构G≈0.4E 钢筋混凝土结构 矩形截面, 矩形截面,k=1.2，I/A=h2/12
结构力学位移法
M=1 C
M=1
若求结构两个截面的相对角位移 在两个截面上加两个方向相反单 位力偶
1 d
1 d
A
求结构两个截面的相对角位移 B
d
C 求AB杆的角位移 杆的角位移
若求桁架中AB杆的角位移，应 加一单位力偶，构成这一力偶 的两个集中力取 1/d，垂直作 用于杆端
1 d1
1 d1
A
B 求AB、AC杆的角位移 、 杆的角位移
式中k—考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数， 考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数， 式中k 考虑剪应力沿截面分布不均匀的修正系数 与截面形状有关
∆ = ∑∫
FQ FQP FN FNP MMP ds + ∑ ∫ ds + ∑ ∫ k ds EI EA GA
式中 F N FQ M ——虚设单位荷载引起的内力 虚设单位荷载引起的内力
l
q
A B
L
∆Q ∆M
∆Q ∆M
EI = 4.8 GAl 2
= 4.8
E 8 = 2(1 + µ ) = G 3
I h2 = A 12
EI h = 1.067( ) 2 GAl 2 l
∆Q ∆M h = 1.067( ) 2 = 1.067% l
当 h= 1 时 l 10 h 1 当 = 时 l 2
FN FQ FQ
ds ds
M
M
ds dθ=κds
γ0 dη= γ0 ds dλ=εds
ds微段 微段 整根杆 变形体系
dwi12=FN εds+FQ γ0ds +M κds w’i12= ∫ (FN εds+FQ γ0ds +M κds) wi12= ∑∫(FN εds+FQ γ0ds +M κds)
结构力学-第四章-结构位移计算-2
M ( x) x (0 x a )
位移状态 (实际状态)
MP A ql 2
（2）写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA
M ( x) a (0 x a )
ΔBV
o a
a B C
力状态 (虚设状态)
MMP dx EI 5 qa 4 1 1 4 1 3 x a x () 4 2 2 8 EI o
F N FNP Δ dx EA
桁架各杆均为等截面直杆则
F N FNP l Δ EA
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（3）组合结构
F N FNP l MMP Δ ds EI EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力 的影响不计，位移计算公式为
ql / 4
§4-5 图乘法
例9.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘 ,结果 l 1 1 2 MP ( 为零 l Pl . l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
C
§4-5 图乘法
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B
A y c C l/2 l/2 c EI l/2 1 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( M C EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 q 2 2 2 1 l ql 1 l ql / 2 ql / 8 ) 2 2 8 3 2 4 2 17 ql ql / 32 () 2 ql / 2 384 EI ql2 / 8
位移状态 (实际状态)
MP A ql 2
（2）写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图 横梁BC 竖柱CA
M ( x) a (0 x a )
ΔBV
o a
a B C
力状态 (虚设状态)
MMP dx EI 5 qa 4 1 1 4 1 3 x a x () 4 2 2 8 EI o
F N FNP Δ dx EA
桁架各杆均为等截面直杆则
F N FNP l Δ EA
§4-4 静定结构在荷载作用下的位移计算
（3）组合结构
F N FNP l MMP Δ ds EI EA
(4) 跨度较大的薄拱，其轴力和弯矩的影响相当，剪力 的影响不计，位移计算公式为
ql / 4
§4-5 图乘法
例9.图示结构 EI 为常数，求AB两点(1)相对竖向位 移,(2)相对水平位移,(3)相对转角 。 Pl P yc P ABY 对称结构的对称弯矩图与 EI A B 其反对称弯矩图图乘 ,结果 l 1 1 2 MP ( 为零 l Pl . l 4 l Pl l 2) EI 2 3 反对称弯矩图 l l 10 Pl3 1 1 () l 3 EI yc y c Mi 0 AB 0 ABX EI EI
C
§4-5 图乘法
ql2 / 2
MP
q ql2 / 8
A
B
A y c C l/2 l/2 c EI l/2 1 1 2 l ql 2 1 l 1 l ql 2 2 l ( M C EI 3 2 32 2 2 2 2 2 3 2 q 2 2 2 1 l ql 1 l ql / 2 ql / 8 ) 2 2 8 3 2 4 2 17 ql ql / 32 () 2 ql / 2 384 EI ql2 / 8
结构力学4静定结构的位移计算习题解答
第4章 静定结构的位移计算习题解答习题 是非判定题(1) 变形体虚功原理仅适用于弹性体系，不适用于非弹性体系。
（ ） (2) 虚功原理中的力状态和位移状态都是虚设的。
（ ）(3) 功的互等定理仅适用于线弹性体系，不适用于非线弹性体系。
（ ） (4) 反力互等定理仅适用于超静定结构，不适用于静定结构。
（ ） (5) 关于静定结构，有变形就必然有内力。
（ ） (6) 关于静定结构，有位移就必然有变形。
（ ）(7) 习题(7)图所示体系中各杆EA 相同，那么两图中C 点的水平位移相等。
（ ） (8) M P 图，M 图如习题(8)图所示，EI =常数。
以下图乘结果是正确的：4)832(12ll ql EI ⨯⨯⨯ （ ）(9) M P 图、M 图如习题(9)图所示，以下图乘结果是正确的：033202201111)(1y A EI y A y A EI ++ （ ）(10) 习题(10)图所示结构的两个平稳状态中，有一个为温度转变，现在功的互等定理不成立。
（ ）(a)(b)习题 (7)图图(b)M图(a)M P 81qM 图(b)P M 图(a)习题 (8)图 习题 (9)图(a)P习题 (10)图【解】（1）错误。
变形体虚功原理适用于弹性和非弹性的所有体系。
（2）错误。
只有一个状态是虚设的。
（3）正确。
（4）错误。
反力互等定理适用于线弹性的静定和超静定结构。
（5）错误。
譬如静定结构在温度转变作用下，有变形但没有内力。
（6）错误。
譬如静定结构在支座移动作用下，有位移但没有变形。
（7）正确。
由桁架的位移计算公式可知。
（8）错误。
由于取0y 的M 图为折线图，应分段图乘。
（9）正确。
（10）正确。
习题 填空题(1) 习题(1)图所示刚架，由于支座B 下沉∆所引发D 点的水平位移∆D H =______。
(2) 虚功原理有两种不同的应用形式，即_______原理和_______原理。
其中，用于求位移的是_______原理。
结构位移计算(第四章)
为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结 果为正?
例. 试求图示结构B点竖向位移.
Pl
EI
l
P B
l
Mi
1
EI
MP
l
解: By
MM P EI ds yc EI
1 1 2 ( Pl l l Pl l l ) EI 2 3 4 Pl 3 () 3 EI
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
2 A1 lh 3
1 A2 lh 3
二次抛物线
2 A lh 3
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
q
A
1 2 ql 8 1 2
B
1
MP 图
M
图
解:
1 2 1 2 1 B [( l ql ) ] EI 3 8 2 3 1 ql （ ） 24 EI
)
用单位荷载法计算支座移动引起的位移计算 步骤如下：
（1）沿拟求△方向虚设相应的单位荷载； （2）求RK,根据静力平衡条件求单位荷载作用下 相应于支座移动cK的支座反力RK； （3）求△
ic Ri Ci
注意：当R与c方向一致时，乘积为正；反之为负。
§4-7 线弹性结构的互等定理
1. 功的互等定理: 方法一
刚架与梁的位移计算公式为：
iP MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
一、图乘法
MM P ds EI 1 M M P ds EI
1 EI
(对于等 截面杆)
MM
P
dx (对于直杆)
( M x tan ) 图乘法的 1 适用条件是 x tan M P dx EI 什么? tan 图乘法求位移公式为: xM P dx
第4章 结构位移计算
1
第四章 静定结构位移的计算
§4—1 计算结构位移的目的
§4—2 功 广义力和广义位移 A′ §4—3 计算结构位移的一般公式 §4—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§4—5 图乘法
§4—6 静定结构由于支座位移和温度变化时 的位移计算 §4—7 互等定理
2
§4—1 计算结构位移的目的
4.1.1 结构的位移
在实际计算时，根据结构的具体情况
讨
论
1. 梁和刚架:轴向变形和剪切变形影响较小，可 以忽略 △KP= 2.桁架：只有轴力的作用 △KP= 3. 组合结构：
△KP=
28
(4)拱结构：一般的实体拱中，其位移计算只考虑弯曲变 形一项的影响；但在扁平拱中有时尚须考虑轴向变形对 位移的影响，故位移公式：
MMP D= 邋 蝌 EI dx + F N FNP dx EA
（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响
5qL4 k qL2 弯曲变形：DM = 剪切变形： D Q = 384EI 8GA 2 骣 D EI h Q = 11.52 = 2.56 琪 两者的比值： 琪 2 DM GAL L 桫
t
6
4.1.2 计算结构位移的目的
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度；
高层建筑的最大位移< 1/1000 高度； 最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
(2) 超静定、动力和稳定计算
Fp=1 A
求C点转角位移
B
Fp=1
B Fp=1 求A、B两点 相对竖向位移
求A、B两点 相对水平位移
第四章 静定结构位移的计算
§4—1 计算结构位移的目的
§4—2 功 广义力和广义位移 A′ §4—3 计算结构位移的一般公式 §4—4 静定结构在荷载作用下的位移计算
§4—5 图乘法
§4—6 静定结构由于支座位移和温度变化时 的位移计算 §4—7 互等定理
2
§4—1 计算结构位移的目的
4.1.1 结构的位移
在实际计算时，根据结构的具体情况
讨
论
1. 梁和刚架:轴向变形和剪切变形影响较小，可 以忽略 △KP= 2.桁架：只有轴力的作用 △KP= 3. 组合结构：
△KP=
28
(4)拱结构：一般的实体拱中，其位移计算只考虑弯曲变 形一项的影响；但在扁平拱中有时尚须考虑轴向变形对 位移的影响，故位移公式：
MMP D= 邋 蝌 EI dx + F N FNP dx EA
（4）比较弯曲变形与剪切变形的影响
5qL4 k qL2 弯曲变形：DM = 剪切变形： D Q = 384EI 8GA 2 骣 D EI h Q = 11.52 = 2.56 琪 两者的比值： 琪 2 DM GAL L 桫
t
6
4.1.2 计算结构位移的目的
(1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度；
高层建筑的最大位移< 1/1000 高度； 最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
(2) 超静定、动力和稳定计算
Fp=1 A
求C点转角位移
B
Fp=1
B Fp=1 求A、B两点 相对竖向位移
求A、B两点 相对水平位移
建筑力学结构位移计算
退出 返回
中南大学
14:46
§6-1 概述
C'
CV CDV DV
结构力学
C D
D'
截面C、D 的相对竖向 线位移为 :
A
B
CDV CV DV
截面C、D 的相对角位移为:
C' D'
C
D
C
D
Δ CD C D
A B
中南大学
退出
返回
14:46
§6-1 概述
退出 返回
中南大学
14:46
§6-2 变形体系的虚功原理
2.杆系结构虚功方程
Wi FN d FSd Md
s s s
结构力学
We Wi
以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因 此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性结构，也 适用于一切非线性结构。 希望能很好理解，尽可能达到掌握！
中南大学
退出
返回
14:46
§6-1 概述
三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
结构力学
叠加原理适用（principle of superposition)
静定结构在荷载作用下的位移计算 图乘法 静定结构温度变化时的位移计算 静定结构支座移动时的位移计算 线弹性结构的互等定理
退出 返回
中南大学
14:46
§6-1 概述
结构力学
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
1. 结构的位移是指结构上的某一截面在荷载或其它 因素作用下由某一位置移动到另一位置，这个移动 的量就称为该截面的位移（线位移和角位移）。
中南大学
14:46
§6-1 概述
C'
CV CDV DV
结构力学
C D
D'
截面C、D 的相对竖向 线位移为 :
A
B
CDV CV DV
截面C、D 的相对角位移为:
C' D'
C
D
C
D
Δ CD C D
A B
中南大学
退出
返回
14:46
§6-1 概述
退出 返回
中南大学
14:46
§6-2 变形体系的虚功原理
2.杆系结构虚功方程
Wi FN d FSd Md
s s s
结构力学
We Wi
以上结论与材料物理性质及具体结构无关，因 此，虚功原理虚功方程既适用于一切线性结构，也 适用于一切非线性结构。 希望能很好理解，尽可能达到掌握！
中南大学
退出
返回
14:46
§6-1 概述
三、 本章位移计算的假定 (1) 线弹性 (Linear Elastic), (2) 小变形 (Small Deformation), （3）理想联结 (Ideal Constraint)。
结构力学
叠加原理适用（principle of superposition)
静定结构在荷载作用下的位移计算 图乘法 静定结构温度变化时的位移计算 静定结构支座移动时的位移计算 线弹性结构的互等定理
退出 返回
中南大学
14:46
§6-1 概述
结构力学
一、结构的位移 (Displacement of Structures)
1. 结构的位移是指结构上的某一截面在荷载或其它 因素作用下由某一位置移动到另一位置，这个移动 的量就称为该截面的位移（线位移和角位移）。
《结构力学》静定结构的位移计算
A
x
C
x
C
∆AV
l 2 l 2
(a) 实际状态 1）列出两种状态的内力方程： ）列出两种状态的内力方程：
AC段 0 ≤ x ≤ 段 l 2
B
l 2
l 2
(b) 虚设状态
N =0 M = −x Q = −1
NP = 0 MP = 0 Q =0 P
2
2
∆Q ∆Q h 1 h 1 当 = 时, = 1.83%;当 = 时, = 7.32% l 10 ∆M l 5 ∆M
计算屋架顶点的竖向位移。 例2 计算屋架顶点的竖向位移。
q(N/m )
1 1 1
4.5
3.0
1.5
P 2
P
D
C
ql P= 4 P
F G 0.25l
NP
1
1.5
P 2
B 0 1.5 0.5 0
二、利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式： 利用虚功原理，用单位荷载法求结构位移一般公式：
K
K′
实际状态 （位移状态） 外虚功： 外虚功：W
e
∆
t1 t2
c2 c1
1
R 1
虚拟状态 （力状态） 内虚功： 内虚功：W
i
R2
= 1 ⋅ ∆ + ∑ Rk ⋅ ck
1 ⋅ ∆ + ∑ R k ck = ∑ ∫ (Mκ + N ε + Q γ )d s
第4章 静定结构的位移计算
Calculation of Statically Displacement Structures
目
录
§4-1 结构位移和虚功的概念 §4-2 变形体系的虚功原理和单位荷载法 §4-3 静定结构由荷载所引起的位移 §4-4 图乘法 §4-5 互等定理
结构位移的计算
AB A B
A
A
p A
A
B
p B
AB
AB A B
4、上述各种位移统称为“广义位移”。与广义 位移相对应的力称为“广义力”。 二、计算结构位移的目的
1、刚度验算：电动吊车梁跨中挠度 fmax≤l/600. 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。
相邻微段k、j、i连续，变形协调，位移相等，而力为作用力 与反作用力， 虚功相互抵消，即W内=0，故：
全结构：W W外 (a)
18
A
B
力状态：静力平衡 位移状态：其它原因引起
ds
ds
(2) 按刚体虚功与变形虚功计算: 将ds虚位移分解为： 刚体虚位移: 变形虚位移: ABCD A'B'C'D' A'B'C'D' A''B''C''D''
——虚设力系求刚体体系位移
C B 已知 c1 求
?
A
设虚力状态
a
b
P=1
R1 a P b 0
虚功方程
R1
b a
A
C B a b
1 R1 c1 0
b c1 a
R1
小结： （1）形式是虚功方程，实质是几何方程； （2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相 应的支座反力。构造一个平衡力系；
1 cA 2l
1 3
A
2 3
B
C D
1
1 2l
2 l
3 2l
A
A
p A
A
B
p B
AB
AB A B
4、上述各种位移统称为“广义位移”。与广义 位移相对应的力称为“广义力”。 二、计算结构位移的目的
1、刚度验算：电动吊车梁跨中挠度 fmax≤l/600. 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。
相邻微段k、j、i连续，变形协调，位移相等，而力为作用力 与反作用力， 虚功相互抵消，即W内=0，故：
全结构：W W外 (a)
18
A
B
力状态：静力平衡 位移状态：其它原因引起
ds
ds
(2) 按刚体虚功与变形虚功计算: 将ds虚位移分解为： 刚体虚位移: 变形虚位移: ABCD A'B'C'D' A'B'C'D' A''B''C''D''
——虚设力系求刚体体系位移
C B 已知 c1 求
?
A
设虚力状态
a
b
P=1
R1 a P b 0
虚功方程
R1
b a
A
C B a b
1 R1 c1 0
b c1 a
R1
小结： （1）形式是虚功方程，实质是几何方程； （2）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相 应的支座反力。构造一个平衡力系；
1 cA 2l
1 3
A
2 3
B
C D
1
1 2l
2 l
3 2l
结构力学(虚功基本知识和结构位移计算)
解：在载荷作用下，
刚架的 M P 图如图所示，
状态I
BC梁
MP
1 qx2 2
AB柱
MP
1 qa2 2
<1>求C点的水平位移，可在C点加一单位力
得状态II，M K 图 状态II
BC梁 M K 0
AB柱 M K x
代入位移公式，得：
c
MPMK EI
ds
0
a
0
x( 1 qa2 ) 2 EI
三、几种类型的虚拟状态 求线位移： 沿拟求位移方向上施加相应的单位力。
求转角、相对转角： 沿拟求位移方向上施加相应的单位力矩。
1) 若求结构上C点的竖向位移，可在该点沿所求位移方 向加一单位力，如图示
2) 若求结构上截面A的角位移，可在截面处加一单位力偶。
若求桁架中AB杆的角位移，应加 一单位力偶，构成这一力偶的两个 集中力的值取 1/d。作用于杆端 且垂直于杆(d 为杆长)。
二、变形体位移计算的步骤： 1、沿拟求位移Δ方向虚设相应的单位荷载 2、确定单位荷载下的结构内力 M、 N、 Q 和支反力R 3、利用公式计算拟求位移Δ
注：1、Δ是广义位移
2、应用单位荷载法每次只能求得一个位移 3、虚拟单位力的指向可任意假定，求出结果为正表明
实际位移方向与虚拟单位力的方向一致，否则相反
3、位移产生的原因
（1）、结构 荷载作用 内力
应变
变形
结构上各点位置发生变化
（2）、结构
非荷载作用
温度改变、支座移动、 材料涨缩、制造误差
位移
虽不一定产生应力和应变，但却使结构产生位移。
4、结构位移
变形(deformation) －－结构在外部因素作用下，产生尺寸形状的改变； 由于变形将导致结构各结点位置的移动，于是产生位移。
结构力学第四章虚功原理和结构的位移计算
N N Pl EA
杆件 NP
A 1.50 1/2
E
N
－1.58
l 0.263l
N N P l EA
1.97Pl/AbEb 1.84Pl/AbEb 0 0 0.63Pl/AgEg 0.5Pl/AgEg
AD
－4.74P
Ab Ab 0.75Ab
Ag 3Ag 2Ag
钢筋 混凝土
CD DE CE
－4.42P
－1.58
2
§4· 位移计算概述 1
a）验算结构的刚度； 1、计算位移目的： b）为超静定结构的内力分析 打基础； a）荷载作用； 2、产生位移的主要原因： b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差
↓↓↓↓↓↓↓↓↓ -t +t
d w dx
2 2
l β Δ
/l
M ,Q, N
, ,
A
Δ
B
6
4、刚体虚功原理 刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是， 对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。 W=0 二、虚功原理的应用 1）虚设位移求未知力（虚位移原理） 2）虚设力系求位移（虚力原理） P 1、需设位移求静定结构的未知力（虚位移原理）
X X P P 0
19
l/2
(a+l)/3 (b+l)/3
一、变形体虚功原理 状态 1 是满足平衡条件的力状 ≠ T12 ＝ 0 态，状态2是满足变形连续条件 的位移状态，状态1的外力在状 态2的位移上作的外虚功等于状 态1的各微段的内力在状态2 各 微段的变形上作的内虚功之和 即：T12= V 12
变
10
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ds
4.4温度变化时的位移计算 结构力学
学习情境四 静定结构位移
学习单元 四 温度变化时的位移计算
学习情境四 静定结构位移
4.4.1 解题思路
本
单
元
4.4.2 温度引起的位移公式
内
容
4.4.3 例题讲解
一、解题思路
位移计算一般公式的回顾: (不考虑支座移动)
l
l
l
1 [ M d F Qd F N d]
0
0
0
说明：
(弯曲)
(剪切)
(轴向)
荷载
此ห้องสมุดไป่ตู้式适用于
诸因素引起的位移。
温度变化
d
原因不同，变形 d 的表达式也不同。 d
现在要讨论温度变化时, d 、d 、d 的表达式。
一、解题思路
假定 t2 t1
α——线胀系数
1）微段发生的轴向变形
d
t0ds
t1
t2 2
ds
h1 h
将
d
t0ds
t1
2
t2
ds
和
d t2ds t1ds tds
h
h
代入一般公式
1 [
l
M d
l
F Qd
l
F Nd]
0
0
0
得到：
F
N
t0ds
M
t
h
ds
若t0 、Δt和h沿每一杆长为常数，则上式可写成：
N、M图 面积
t1 300 C
A
解：（1）虚设单位力，绘制单位弯矩图和轴力图。
学习单元 四 温度变化时的位移计算
学习情境四 静定结构位移
4.4.1 解题思路
本
单
元
4.4.2 温度引起的位移公式
内
容
4.4.3 例题讲解
一、解题思路
位移计算一般公式的回顾: (不考虑支座移动)
l
l
l
1 [ M d F Qd F N d]
0
0
0
说明：
(弯曲)
(剪切)
(轴向)
荷载
此ห้องสมุดไป่ตู้式适用于
诸因素引起的位移。
温度变化
d
原因不同，变形 d 的表达式也不同。 d
现在要讨论温度变化时, d 、d 、d 的表达式。
一、解题思路
假定 t2 t1
α——线胀系数
1）微段发生的轴向变形
d
t0ds
t1
t2 2
ds
h1 h
将
d
t0ds
t1
2
t2
ds
和
d t2ds t1ds tds
h
h
代入一般公式
1 [
l
M d
l
F Qd
l
F Nd]
0
0
0
得到：
F
N
t0ds
M
t
h
ds
若t0 、Δt和h沿每一杆长为常数，则上式可写成：
N、M图 面积
t1 300 C
A
解：（1）虚设单位力，绘制单位弯矩图和轴力图。
结构力学静定结构位移计算
R iCi
Ri的正向与Ci的正向一致
它是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出， 故也称为Maxwell-Mohr Method
截面转角
相对线位移
相对转角
Δ
P=1
1/2
1/2
（三）计算步骤:
➢ 根据拟求位移作单位力状态 ➢ 求单位力作用下的支反力 ➢ 利用公式求位移
R iCi
2)作虚功的力系为一个集中力偶
M
T M
4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶
M
M
A
B
T M A M B M ( A B ) M AB
（二）实功(Real Work)和虚功 (Virtual Work)
图（a）中P1所作的功为：T11
1 2
P111
实功
△11
图（b）中P2所作的功为：T22
变形体系在外力作用下处于平衡状态的充要条件是： 对于任意给定的虚位移，外力虚功等于内力虚功
即 T12＝W12
说明：
（1）受力状态和变形状态是相互独立的，二者彼此无关。 （2）第一状态要求平衡（内力并不一定是真实的）
第二状态要求虚位移条件 （3）变形体虚功原理是变形体力学的普遍原理。 （4）刚体虚功原理是特殊情况，即内力虚功为零的情况。
1 2
P2 22
图（c）中先作用P1，此时P1所作的功为： 第一个下标表示位移的地点和方向
1 T11 2 P111 再作用P2，此时P2所作的功为：T22
1 2
第二个下标表示产生位移的原因
△22
P2 22
P1 在加P2过程中也做功，此时P1继续作功为：
P2
T12 P112
虚功
《结构力学》静定结构的位移计算
03
在实际应用中，可以根据结构特点、计算精度和计算资源等因素综合考虑选择 合适的数值方法。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
桥梁横向位移限制
对于大跨度桥梁，需要限制其在风荷载、地震等横向力作用下的横 向位移，以保证桥梁的稳定性和行车安全。
支座位移控制
桥梁支座的位移也需要进行控制，以避免支座过度磨损或脱空等现 象，确保桥梁的正常使用。
建筑工程中变形缝设置要求
伸缩缝设置
为避免建筑物因温度变化、地基沉降等因素而产生裂缝或 破坏，需要在建筑物的适当位置设置伸缩缝，使建筑物能 够自由伸缩。
计算方法
采用分段叠加法，将组合结构分成若 干段，分别计算各段的位移再求和； 或采用有限元法直接求解整体位移。
需考虑不同材料或截面的变形协调问 题。
03 图乘法计算静定结构位移
图乘法基本原理及适用条件
基本原理
图乘法是基于结构力学的虚功原理，通过图形面积与形心位置的乘积来简化计 算结构位移的一种方法。
均布荷载作用
荷载沿梁长均匀分布，引 起梁产生均匀弯曲变形。
位移计算
采用图乘法或积分法求解， 考虑荷载、跨度、截面惯 性矩等因素。
悬臂梁在集中力作用下位移
悬臂梁基本概念
一端固定，另一端自由的 梁，承受集中力、均布荷 载等。
集中力作用
在悬臂梁自由端施加集中 力，引起梁产生弯曲和剪 切变形。
位移计算
采用叠加原理，分别计算 弯曲和剪切变形引起的位 移，再求和。
制造误差对结构位移的影响不同。
影响系数
02
利用影响系数可以计算制造误差引起的结构位移，影响系数与
结构形式和荷载情况有关。
敏感性分析
结构力学04位移计算(新)
功：力×力方向位移之总和 广义力：功的表达式中，与广义位移对应的项 广义力：功的表达式中， 功：广义力×广义位移之总和 广义力× 实功：广义力在自身所产生的位移上所作的功 实功： 虚功： 虚功：广义力与广义位移无关时所作的功 变力功 W=FP1×∆∆12 W=FP1× 11 /2 or W=FP×∆/2 W=FP2×∆∆21 W=FP2× 22 /2
二、各类结构的位移计算公式 （1）梁与刚架
MM P ∆ = ∑∫ ds EI
（2）桁架
∆ kP
（3）拱
F N FN P F N FN P F N FN P l = ∑∫ ds = ∑ ∫ ds = ∑ EA EA EA
F N FN P MM P ∆ = ∑∫ ds + ∑ ∫ ds EI EA
试计算悬臂梁A点的竖向位移 例1. 试计算悬臂梁 点的竖向位移 ∆AV , EI = C 。 P=1 q x A x C C B A
ϕA = ?
P=1 B A
(a)
P=1
∆ AB = ?
(b)
试确定指定广义位移对应的单位广义力。 试确定指定广义位移对应的单位广义力。
1 P= d
C d A B
(c)
ϕ BC = ?
1 d1 1 d1
C
1 P= d
d1
(d)
B 1 d2
A
d2
ϕ AB − AC = ?
1 d2
试确定指定广义位移对应的单位广义力。 试确定指定广义位移对应的单位广义力。
MP dϕ P = ds EI
k--为截面形状系数 为截面形状系数
FN P duP = ds EA
1.2
QP γ P ds = k ds GA
10 9
二、各类结构的位移计算公式 （1）梁与刚架
MM P ∆ = ∑∫ ds EI
（2）桁架
∆ kP
（3）拱
F N FN P F N FN P F N FN P l = ∑∫ ds = ∑ ∫ ds = ∑ EA EA EA
F N FN P MM P ∆ = ∑∫ ds + ∑ ∫ ds EI EA
试计算悬臂梁A点的竖向位移 例1. 试计算悬臂梁 点的竖向位移 ∆AV , EI = C 。 P=1 q x A x C C B A
ϕA = ?
P=1 B A
(a)
P=1
∆ AB = ?
(b)
试确定指定广义位移对应的单位广义力。 试确定指定广义位移对应的单位广义力。
1 P= d
C d A B
(c)
ϕ BC = ?
1 d1 1 d1
C
1 P= d
d1
(d)
B 1 d2
A
d2
ϕ AB − AC = ?
1 d2
试确定指定广义位移对应的单位广义力。 试确定指定广义位移对应的单位广义力。
MP dϕ P = ds EI
k--为截面形状系数 为截面形状系数
FN P duP = ds EA
1.2
QP γ P ds = k ds GA
10 9
结构力学-位移计算方法
2. Purpose
(1) Meet the demands of stiffness； (2) Prepare for the analysis of statically indeterminate structures； (3) Evaluate the possible displacement.
适用
Chapter 4 Calculation of Displacement of Structures
4.2 Principle of Virtual Work for Elastic Body
变形体系的虚功原理
1. Some concepts
（1）Work: Work is defined as the product of a force times a displacement in the direction of the force.
B. Principle of virtual force
例：求 A 端支座发生竖向位移 c 时C点的竖向位移 .
A
c
BC
A
A
a
b C
YA
1 B
C
解：首先构造出相应的虚设力状态。即在拟求位移点（C点） 沿拟求位移方向（竖向）施加单位荷载。
YA b / a
1 YA c 0 b c / a
W（外力虚功） V（内力虚功）
原理的说明
1. 虚功原理存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调
条件。因此原理仅是必要性命题。
2. 原理的证明（参考相关教材）表明: 虚功原理适用于任何 (线性和非线性)的变形体，适用于
任何结构。刚体体系虚功原理是变形为零时的特例。
3. 原理可有两种应用： 虚位移原理：实际待分析的力状态，虚设的位移状态，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
其难易程度不同。 MP 当两FP个l/4图形均为直
1 l 1 1 FPl ) FPl 2 2 2 2 3 4 16 EI
线A 图形时，取那个B 图形的面积均可。
M
1
B
1 EI
(1 l 2
FPl 4
1) 2
FPl 2 16 EI
1M
哈工大 土木工程学院
6 / 70
M1 M
直段考虑成简支梁多荷载情况
直段考虑成悬臂梁多荷载情况
4 / 70
第三章 结构位移计算
当图形的面积或形心位置不便确定时，可把它们 分解为几个简单图形的叠加（分段 + 分块）
竖标叠加计算。
b
c
y1
2 3
d
1 3
c
y2
1 3
d
2 3
c
2
l
y2
1 a
b
1
1 2
al
2
1 2
bl
d
y1
c
2
l
y2
i，yi是代数量
1 a
d
y1
y1
2 3
d
1 3
c
y2
1 3
d
2 3
c
哈工大 土木工程学院
5 / 70
第三章 结构位移计算
例. 已知 EI 为常数，求B点的转角位移
取A yc的图形F必P 须是B 直或线折l/，线2 不。EI能是l/2曲线
不同的图乘方式，
B
1 EI
(
1 2
l 1 22
2 3
FPl 4
l l 1 FPl 2 22 4
第三章 结构位移计算
注意事项
方法使用条件
1、等刚直杆 2、至少有一直线图
3、yc 应取自直线图中
yc 为代数量，居轴同侧取正，居轴异
侧取负；
应用图乘法首先熟练掌握常用标准图形面 积及形心位置。这也是图乘法的亮点
哈工大 土木工程学院
1 / 70
第三章 结构位移计算
常见图形面积和形心
矩形 a 三角形 a
a
抛物形 a a
al
l
1 2
al
l
1 3
al
l
2 3
al
l
2 3
al
l
哈工大 土木工程学院
xc
1 2
l
xc
1 3
l
xc
1 4
l
xc
3 8
l
xc
1 2
l
通式
2 / 70
第三章 结构位移计算
当图形的面积或形心位置不便确定时，可把它们 分解为几个简单图形的叠加（分段 + 分块）
对折线段要分成直线段做。
AB
CD
MP
Δ
1 EI
(1 y1
2 y2
3 y3 )
M1
对刚度不同区段要分段做。
AB
CD
MP Δ 1 y1 2 y2
EI1 EI2
M1
3 / 70
第三章 结构位移计算
当图形的面积或形心位置不便确定时，可把它们 分解为几个简单图形的叠加（分段 + 分块）
对非标准图形分块做。
AB
CD M MP