三等分角

题目：三等分任意角地点：北京师大二附中 主讲人：徐超主持人：我们从上午九点四十到下午三点钟结束，在整个报告过程中，因为我了解到今天参加报告的同学大部分是高一的，在听报告过程中有些地方会觉得稍稍困难些，但是我们学数学的就是这样的，我们会经历些我们感觉会比较困难的过程，我们只要坚持下去，就会在数学中发现许多乐趣，发现数学内在让我们感动的东西，希望大家能够珍惜我们今天讲座的机会，认真的体会，在听的过程中会有些问题留下来，将来通过大家的努力，一定能很好的解决。

下面我们就有请徐超先生。

徐超：三等分任意角教科书上写清楚是不可能的，我们今天给出严格的证明是不可能的，而且这个证明是高一学生所能接受的。

在过去在没有找到这个证明之前所有人都认为是大学二年级学完所谓的抽象代数这门课后才能理解为什么是不可能的，实际这个证明可以很初等的给出来，为什么三等分角这件事情惹了这么多麻烦呢？我举一个例子，我是1956年到的中科院数学研究所，这个时候，不断的有各个地方的人写信来，说我解决了三等分角，这种信每个月都有一沓，作者当初给的证明实际上是错的，实际上他要证明三等分任意角都可以，他以为用平面几何的知识就可以解决，但实际上很难，这个问题偶尔到现在还能收到所谓的人民来信说他解决了三等分角，原因在哪里？就是一直没有一个初等证明使得能说服他，现在讲的证明是从分析三等分角究竟是怎么回事开始的。

那么我从历史讲起。

三等分角是什么意思呢？首先我们先讲尺规作图。

先下定义，尺规作图就是用不带刻度的尺画直线，用不带度量的圆规画圆，用的这两个东西不能量大小，不能够我给你60度的角，量一量画出两条线，这是不允许的，所以说一般的直尺和圆规不带刻度有限次作图，给它画出来。

什么叫作图，举个例子给了一条直线BB ’和线外一点A ，作它的平行线，这就叫作图。

那么怎么作呢？以B 为圆心以r （r 可以为任意长度）为半径画圆，连接BA 并延长至C ，再以A 为圆心r 为半径画圆，用圆规在A 点作'CAA ∠，令'2CAA ∠=∠，使21∠=∠，利用同位角相等可以知道'//'AA BB 。

（注意这两个圆的半径是一样的） 21这就叫圆规直尺作图，现在教科书中关于作图题极少，关于作图题几乎是没有的，我念中学的时候作图是重要的，最后讲的一个作图题和一个轨迹题，平面几何的。

尺规作图就是用不带刻度的尺画直线，用不带度量的圆规画圆，有限次作图，在给出基础点以后画图做出来。

尺规作图有多少年历史呢？有四千年历史，提出三个问题，这三个问题在历史上是可以查出来的。

中国是发明造纸的，希腊是把草压扁了在上面写，就叫做草书。

两千五百年前草书上，记载的三大问题，尺轨作图的三大问题。

刚才我已经把尺规作图的定义讲清楚了。

第一个问题：倍立方问题第二个问题：化圆为方第三个问题：任意角三等分（注意是任意角，不是讲特殊角的）什么叫倍立方问题，在公元前很长时间，那个时候是很迷信的，讲究的是要搞一些仪式造一个台作法事，原来做好一个这样的台，那个台是个立方体，长宽高都一样。

当时的皇帝提出来这个立方体要做成体积加一倍，比如说本来立方长度是１，体积是311=。

我现在要加一倍就是3212⨯=。

我约定原理立方体的边长是１，现在要造一个新的立方体，它的的边长是ｘ，那么就有3321x =⋅，也就是要求这个多项式的实根x 。

用尺规作图求这个实根，工匠做不来，他就去请教数学家，数学家也做不来，这个时候的数学跟现在的很不一样，所以数学家没办法了，说这是神对你们的惩罚，结果倒过来怪这个工匠没本事，这个问题现在是可以解决了，但证明做不到。

倍立方问题就是用尺规作图画出x 。

第二个是化圆为方，什么是化圆为方了，就是给你一个圆，要画一个正方形，要跟它面积相等，那么圆的面积是多少了。

我有一个圆设它的半径是１，那么它的面积是π，现在我要造一个正方形，它的边长是x ，它的面积是2x π=，要求x ，这也是做不出来的,这也是不可能的，注意π是圆周率，是个无穷无尽的数。

第三个问题是任意角可不可以三等分，给了一个圆O ，给了一个任意角BOA θ∠=，求它的三等分角设为ϕ，设''B OA ϕ∠=，即3ϕθ=，现在求ϕ。

约定圆的半径是1过B 作垂线BA x ⊥轴于点A ，过'B 作垂线''B A x ⊥轴于点'A ,则cos OA θ=，sin BA θ=，现在就是要用圆规直尺作图定出点'A ，或者把'B 这点定出来也可以。

那么这个'A 是什么呢？'cos OA ϕ=，''sin B A ϕ=。

换句话说就是已知cos ,sin θθ，用尺规作图求出cos ,sin ϕϕ就达到目的了。

好，我把这个换成数学公式。

我现在用i e θ来表示，cos sin i e i θθθ=+，i =()33cos3sin 3i i e e i θθθθ==+ ()3322233cos3sin 3cos 3cos sin 3cos sin sin i i i i θθθθθθθθ+=+++cos3sin3i θθ=+，i =21i =-原式变为：3223cos 3cos sin 3cos sin sin cos3sin 3i i i θθθθθθθθ+--=+利用实部与虚部分别相等，可得：32cos 3cos (1cos )cos3θθθθ--=233(1sin )sin sin sin 3θθθθ--=这就得到cos3θ与sin3θ的公式，算出来结果就是：34cos 3cos cos3θθθ-= 34sin 3sin sin3θθθ-+= 我这是用复数来写，这就是所谓的德摩根定律。

我现在不用这个，你们不是没有学过复数吗？下面用两角和的三角函数公式来推导： sin()sin cos cos sin θϕθϕθϕ+=+ （1）cos()cos cos sin sin θϕθϕθϕ+=- （2）令2ϕθ=代入，可得：sin(2)sin cos 2cos sin 2θθθθθθ+=+cos(2)cos cos 2sin sin 2θθθθθθ+=-将其中的2θ的三角函数令公式（1）（2）中ϕθ=展开就能得到三倍角公式了。

三倍角公式死算就算出来了。

有了这个以后，们的图画出来结果是什么呢？所谓任意角三等分就是说我给了cos θ，用尺规作图求点'A 。

就转化成求公式34cos 3cos cos3θθθ-=和34sin 3sin sin3θθθ-+=的解。

对应图及已知就变为34c o s 3c o s c o s 33θθθ-=和34sin 3sin sin 33θθθ-+=，也可以写为：343sin X X θ-=-或343cos Y Y θ-=，已知cos ,sin θθ，求方程的实根。

我把这两个方程改一改，将整个式子乘以2，变为：3862sin X X θ-=-或3862cos Y Y θ-=，也可写为：3(2)322sin 0X X θ-⨯+=或3(2)322cos 0Y Y θ-⨯-=。

所以任意角三等分的问题就是用尺规作图求多项式330x x a -+=的实根，其中a 为已知实数。

这样作图问题就变成了代数问题。

其中a 的绝对值范围是在0到2之间。

这样的问题在古代是不可能做到的，是个很难的问题，但这个问题对数学的发展起了推动作用，在公元前五百年，当时首先用文字提出这三个问题是在希腊，是希腊的私人学派，当时按照规定，必须用尺规作图，可是尺规作图做不出来，然后他们就从空间出发，即考虑圆锥，是正圆锥（顶点在底面的投影是底面的圆心的圆锥就是正圆锥）用平行于正圆锥底面的平面截出来是圆，用斜的来切截出来是椭圆，跟中轴线平行的截出来是抛物线。

总之，正圆锥体上截出的图像是圆锥曲线，就是高中要学的椭圆、双曲线，抛物线。

他没有办法用尺规作图做，就用尺规作图在加上可以作出双曲线就解决了三等分角问题。

当然并没有解决原始问题，尽管如此，但对数学的发展起来很大的推动作用，由于这种关系就建立了解析几何，就是大家高中三年要学的，为三等分问题奠定基础，以后就往下发展。

有很多几何问题这个问题长期以来困扰着数学家，他们没法解决。

首先跨出第一步的是谁？是笛卡尔（１５９６－１６９０）笛卡尔本人不是专职的数学家，笛卡尔是著名的哲学家，他写了一本哲学书，这本哲学书的附录叫《问几何学》本来这和哲学没关系，他没地方放，就放在附录里，英文直接翻译过来是《几何论》，《几何论》就三页，数学不在乎你写几百篇论文，在乎你写的论文对数学的发展起了多大的作用，数学史每次都要提笛卡尔，他就做了这么一件事，写了这篇论文，这篇论文就几页，而且在他的哲学书里面，《几何论》的第一卷名称是“仅仅使用直线或圆的作图问题”，即我讲的尺规作图问题，他也是从三等分角开始的，他给出了仅仅使用尺规作图究竟变成了一个什么样的代数问题，他首先明确这一点，第二卷内容叫“曲线的性质”，这一节更重要，曲线的性质建立了坐标系，大家学的坐标系在高等数学里面叫作笛卡尔坐标系，他定出了坐标系，就将坐标系上的点（ａ，ｂ）与实数建立了一一对应，点可以用一对数来表示，因此平面上的直线曲线都可以用方程来表示，这是很大进步，所以第二卷的内容就是建立坐标系。

第三卷就不说了，相对来说比较次要。

前两卷连起来就告诉我们三等分角的问题不要小看它，它推动了数学的发展。

刚才说的发现圆锥曲线为的就是研究三等分角 发现了圆锥曲线，数学因此就继续往前发展。

那么笛卡尔弄清楚了尺规做图究竟是个什么问题，然后他又建立了坐标系，这样就使得数学大大的往前发展了，正因为有了坐标系，才有了微积分，才有函数论，利用坐标系建立了函数论与几何学的关系，函数()y f x =就表示一条曲线，坐标就是(,)x y ，一样以来就推动了数学的大大发展，正因为他把平面与一对实数对应起来，因此就会考虑把ｎ个实数（n 为任意的数）,把这n 个实数看成一点，因此空间的概念就推广了，就扩充了。

扩充以后对物理学有了很大的好处。

举个例子，爱因斯坦的《相对论》大家都知道，这个在物理上是非常了不起的一项工作。

那么，爱因斯坦的《相对论》跟牛顿的力学有什么差别呢？牛顿力学只考虑三维空间，就是普通我们生活空间，比如盖房子要用牛顿力学，清华大学的建筑系开始就学牛顿力学，弄清楚哪儿受力如何。

而相对论考虑的空间呢是四维的，也就是四个坐标(,,,)x y z t ，前三个坐标就是空间普通的坐标，ｔ是时间，他把时间加进去做了一个坐标，因此爱因斯坦的《相对论》讲的是四维空间的几何学，因此物理就有了很大的发展，现在的物理的很多规律依赖很多因素，每个因素看成个自变量，有ｎ个因素就有ｎ个自变量，从而形成ｎ维空间，所以数学对物理起很大的作用。