第1节 用消元法解线性方程组
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§1 用消元法解线性方程组
重点 1、解线性方程组的Gauss消元法的过程 2、线性方程组初等变换与矩阵初等行变换关系 3、行阶梯矩阵的概念 一、线性方程组的有关概念 m个方程n个未知量的线性方程组的一般形式为
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 （I） a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2
第三个方程减去第一个方程的3倍，
x1 x2 x3 2 x2 x3 3 5 x2 2 x3 6
第三个方程减去第二个方程的5倍得
x1 x2 x3 2 x2 x3 3 3 x3 9 1 第三个方程乘以 得 3 x1 x2 x3 2 x2 x3 3 x3 3
0 1 1 1 1 2 2 5 r1 r3 A 2 1 1 3 2 1 1 3 1 2 2 5 0 1 1 1
5 1 2 2 1 2 2 5 r2 2 r1 r2 3 r3 0 0 0 10 0 3 3 13 0 1 1 0 1 1 1 1
．
方程组（I）的系数矩阵A和增广矩阵 A 分别为
a11 a21 A am 1 a11 a21 A am 1 a12 a22 am 2 a12 a22 a1n a2 n M m ,n ( K ) amn b1 b2 M m , n 1 ( K ) bm
利用线性方程组增广矩阵求解的过程就是利用矩阵 初等行变换把矩阵化成行阶梯的过程。 例如 行阶梯矩阵也可利用初等行变换继续化简，
1 1 1 2 1 1 0 5 r2 r1 0 1 1 3 0 1 0 0 r r 3 0 0 1 3 0 0 1 3
a1n a2 n
am 2 amn
显然，线性方程组是由其增广矩阵唯一决定的。
如果未知量 x1 , x2 , , xn分别用n 个数 c1 , c2 ,, cn 代入方程组（I）中后每一个式子都变成恒等式, 则称有序数组 c1 , c2 ,, cn 是方程组（I）的解。
n K 显然，这个解可看成向量空间 的一个向量，
该矩阵主元都是1且每个主元所在列其它元素都是0.
为了保证上述方法（消元法）对所有方程组可进行， 必须解决下面两个问题：
（1）方程组的初等变换不会影响方程组的解；
（2）任一个矩阵都可用初等行变换化成行阶梯矩阵。
三、同解方程组 定义1.3 如果两个线性方程组的解集合相同，则称 这两个线性方程组是同解的。 同解作为线性方程组解之间的关系式一个等价关系， 即它具有下面三条性质 （1）自反性： 任何线性方程组都与它自身是同解的。 （2）对称性： 如果（I）与（II）同解， 则（II）与 （I）同解。 如果（I）与（II）同解， 且（II）与 （3）传递性： （III）同解, 则（I）与（III）同解。
命题1.1 线性方程组的初等变换总是把线性方程组 变成同解的方程组。 命题1.2 任意矩阵都可经过一系列初等行变换化成 行阶梯矩阵。 命题1.3 任意矩阵都可经过一系列初等行变换化成 简化行阶梯矩阵。
例1.2 用矩阵的初等变换将A化为（简化）行阶梯矩阵
0 1 1 1 A 2 1 1 3 1 2 2 5
1 1 1 2 1 1 1 2 r1 r2 r2 2 r1 2 1 3 1 0 1 1 3 r3 3 r 3 2 5 0 0 5 2 6
1 1 1 1 2 1 1 1 2 r3 r3 5 r2 3 0 1 1 3 0 1 1 3 0 0 1 3 0 0 3 9
③ 用一个非零的数乘某一个方程；
对应矩阵的初 等行变换
称上述三种变换为线性方程组的初等变换。
注意到上面用线性方程组初等变换解方程组时， 未知量没参与运算且参与运算的仅仅是系数和 常数项；并且线性方程组的初等变换正好对应 矩阵的初等行变换。 因此，上面解线性方程组
的过程可在增广矩阵上进行。如上例：
பைடு நூலகம்
2 1 3 1 A 1 1 1 2 3 2 5 0 1 1 1 2 r1 r2 2 1 3 1 3 2 5 0
称其为方程组（I）的解向量。 （I）的解的全体构成的集合称为它的解集合， 记为Z((I)).
二、消元法解一般线性方程组的过程 例1.1 解线性方程组
2 x1 x2 3 x3 1 x1 x2 x3 2 3 x1 2 x2 5 x3 0
解 第二个方程与第一个方程对换次序得 x1 x2 x3 2 2 x1 x2 3 x3 1 3 x1 2 x2 5 x3 0 第二个方程减去第一个方程的2倍，
1 ( ) r3 10
行阶梯矩阵
1 2 2 0 r2 r3 0 1 1 0 r1 5 r3 0 0 0 1 1 0 0 0 r1 2 r2 0 1 1 0 0 0 0 1
简化行阶梯矩阵
作业：P141 Ex 1（1），2（1）（行阶梯矩阵）
x1 5 1 1 0 5 1 0 0 5 r1 r2 0 1 0 0 0 1 0 0 x2 0 0 0 1 3 0 0 1 3 x3 3
r2 r1 r3 r
定义1.2 一个行阶梯矩阵称为简化行阶梯矩阵，若
它对应方程组为 最后这个矩阵称为行阶梯矩阵，
x1 x2 x3 2 x2 x3 3 x3 3
解这个方程组就得到原方程组的解。
下面给出行阶梯矩阵的重要概念
定义1.1 如果矩阵A的每行左边第一个元素至该行
的第一个非零元素（若存在）所在的下方全为零； 并且当某行元素都是0时它下面的各行也全是零， 则称A为行阶梯矩阵，其中A的非0行中最左边这 个非0元素称为主元。
x x x 2 1 2 3 x2 x3 3 x3 3
回代
x1 5 x2 0 x3 3
上面求解线性方程组都
用了哪些变换？
求解上述线性方程组用到下面三种变换 ① 将一个方程的倍数加到另一个方程上；
② 交换两个方程的位置.
例如
1 1 2 3 0 2 1 4 0 0 3 6
1 1 2 3 0 0 1 4 0 0 0 6
0 1 2 3 0 0 1 4 0 0 0 6 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0
解
1 2 2 5 1 2 2 5 r2 3 r3 r2 r3 0 0 0 10 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 10 1 2 2 5 0 1 1 1 0 0 0 1
重点 1、解线性方程组的Gauss消元法的过程 2、线性方程组初等变换与矩阵初等行变换关系 3、行阶梯矩阵的概念 一、线性方程组的有关概念 m个方程n个未知量的线性方程组的一般形式为
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 （I） a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2
第三个方程减去第一个方程的3倍，
x1 x2 x3 2 x2 x3 3 5 x2 2 x3 6
第三个方程减去第二个方程的5倍得
x1 x2 x3 2 x2 x3 3 3 x3 9 1 第三个方程乘以 得 3 x1 x2 x3 2 x2 x3 3 x3 3
0 1 1 1 1 2 2 5 r1 r3 A 2 1 1 3 2 1 1 3 1 2 2 5 0 1 1 1
5 1 2 2 1 2 2 5 r2 2 r1 r2 3 r3 0 0 0 10 0 3 3 13 0 1 1 0 1 1 1 1
．
方程组（I）的系数矩阵A和增广矩阵 A 分别为
a11 a21 A am 1 a11 a21 A am 1 a12 a22 am 2 a12 a22 a1n a2 n M m ,n ( K ) amn b1 b2 M m , n 1 ( K ) bm
利用线性方程组增广矩阵求解的过程就是利用矩阵 初等行变换把矩阵化成行阶梯的过程。 例如 行阶梯矩阵也可利用初等行变换继续化简，
1 1 1 2 1 1 0 5 r2 r1 0 1 1 3 0 1 0 0 r r 3 0 0 1 3 0 0 1 3
a1n a2 n
am 2 amn
显然，线性方程组是由其增广矩阵唯一决定的。
如果未知量 x1 , x2 , , xn分别用n 个数 c1 , c2 ,, cn 代入方程组（I）中后每一个式子都变成恒等式, 则称有序数组 c1 , c2 ,, cn 是方程组（I）的解。
n K 显然，这个解可看成向量空间 的一个向量，
该矩阵主元都是1且每个主元所在列其它元素都是0.
为了保证上述方法（消元法）对所有方程组可进行， 必须解决下面两个问题：
（1）方程组的初等变换不会影响方程组的解；
（2）任一个矩阵都可用初等行变换化成行阶梯矩阵。
三、同解方程组 定义1.3 如果两个线性方程组的解集合相同，则称 这两个线性方程组是同解的。 同解作为线性方程组解之间的关系式一个等价关系， 即它具有下面三条性质 （1）自反性： 任何线性方程组都与它自身是同解的。 （2）对称性： 如果（I）与（II）同解， 则（II）与 （I）同解。 如果（I）与（II）同解， 且（II）与 （3）传递性： （III）同解, 则（I）与（III）同解。
命题1.1 线性方程组的初等变换总是把线性方程组 变成同解的方程组。 命题1.2 任意矩阵都可经过一系列初等行变换化成 行阶梯矩阵。 命题1.3 任意矩阵都可经过一系列初等行变换化成 简化行阶梯矩阵。
例1.2 用矩阵的初等变换将A化为（简化）行阶梯矩阵
0 1 1 1 A 2 1 1 3 1 2 2 5
1 1 1 2 1 1 1 2 r1 r2 r2 2 r1 2 1 3 1 0 1 1 3 r3 3 r 3 2 5 0 0 5 2 6
1 1 1 1 2 1 1 1 2 r3 r3 5 r2 3 0 1 1 3 0 1 1 3 0 0 1 3 0 0 3 9
③ 用一个非零的数乘某一个方程；
对应矩阵的初 等行变换
称上述三种变换为线性方程组的初等变换。
注意到上面用线性方程组初等变换解方程组时， 未知量没参与运算且参与运算的仅仅是系数和 常数项；并且线性方程组的初等变换正好对应 矩阵的初等行变换。 因此，上面解线性方程组
的过程可在增广矩阵上进行。如上例：
பைடு நூலகம்
2 1 3 1 A 1 1 1 2 3 2 5 0 1 1 1 2 r1 r2 2 1 3 1 3 2 5 0
称其为方程组（I）的解向量。 （I）的解的全体构成的集合称为它的解集合， 记为Z((I)).
二、消元法解一般线性方程组的过程 例1.1 解线性方程组
2 x1 x2 3 x3 1 x1 x2 x3 2 3 x1 2 x2 5 x3 0
解 第二个方程与第一个方程对换次序得 x1 x2 x3 2 2 x1 x2 3 x3 1 3 x1 2 x2 5 x3 0 第二个方程减去第一个方程的2倍，
1 ( ) r3 10
行阶梯矩阵
1 2 2 0 r2 r3 0 1 1 0 r1 5 r3 0 0 0 1 1 0 0 0 r1 2 r2 0 1 1 0 0 0 0 1
简化行阶梯矩阵
作业：P141 Ex 1（1），2（1）（行阶梯矩阵）
x1 5 1 1 0 5 1 0 0 5 r1 r2 0 1 0 0 0 1 0 0 x2 0 0 0 1 3 0 0 1 3 x3 3
r2 r1 r3 r
定义1.2 一个行阶梯矩阵称为简化行阶梯矩阵，若
它对应方程组为 最后这个矩阵称为行阶梯矩阵，
x1 x2 x3 2 x2 x3 3 x3 3
解这个方程组就得到原方程组的解。
下面给出行阶梯矩阵的重要概念
定义1.1 如果矩阵A的每行左边第一个元素至该行
的第一个非零元素（若存在）所在的下方全为零； 并且当某行元素都是0时它下面的各行也全是零， 则称A为行阶梯矩阵，其中A的非0行中最左边这 个非0元素称为主元。
x x x 2 1 2 3 x2 x3 3 x3 3
回代
x1 5 x2 0 x3 3
上面求解线性方程组都
用了哪些变换？
求解上述线性方程组用到下面三种变换 ① 将一个方程的倍数加到另一个方程上；
② 交换两个方程的位置.
例如
1 1 2 3 0 2 1 4 0 0 3 6
1 1 2 3 0 0 1 4 0 0 0 6
0 1 2 3 0 0 1 4 0 0 0 6 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0
解
1 2 2 5 1 2 2 5 r2 3 r3 r2 r3 0 0 0 10 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 10 1 2 2 5 0 1 1 1 0 0 0 1