矩阵的秩及应用

ｍａｘ（ｒ（Ａ），ｒ（Ｂ））≤ｒ（Ａ：Ｂ）≤ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｂ）。
定理 １：齐次线性方程组 ＡＸ＝Ｏ有非零解的充
６）ｒ（Ａ ）＝ｎ，当 ｒ（Ａ）＝ｎ时 ；ｒ（Ａ。）＝１，ｒ（Ａ）＝ｎ－１ 分必要条件是它的系数矩阵 Ａ的秩小于 ｎ。
时；ｒ（Ａ ）－０，ｒ（Ａ）＜ｎ－１时。其中Ａ’是 Ａ的伴随矩阵。
级子 式全 为零 。 以上给 出了 ｎ×ｎ矩 阵的秩与行列式的关系，
Ｎ＝ｌ Ｌ Ａ Ｃ ｌ，贝４ ｒ（Ｎ）≥ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｂ）。 Ｏ Ｂ－Ｊ
一 般矩阵的秩与行列式的关系。 ３ 矩 阵 的秩在 解方 程组 中的应 用
５）设矩阵 Ａ和 Ｂ分别是 Ｓ×ｎ，ｓ×ｍ矩阵，则 ３．１ 相 关理论知 识
定理 ２（线性方程组有解 判别定理 ）：线性方
７）若 ＡＸ＝Ｏ与 ＢＸ＝Ｏ同解 ，则 ｒ（Ａ）＝ｒ（Ｂ）。
程组 ＡＸ＝Ｂ有解的充分必要条件是它的系数矩 阵 Ａ
８）ｒ（Ａ）＝ｒ（ＡＡ ）＝ｒ（ＡＴＡ）－ｒ（Ａ ），其 中 Ａ为 ｎ×ｎ 与增广矩阵 有相同的秩 。
矩阵，Ａ 为 Ａ的转置。 ９）ｒ（Ａ“）＝ｒ（Ａ ），ｍ≥ｎ，Ａ是 ｎ阶方阵。 １０）ｒ（ＡＢ）≤ｍｉｎ（ｒ（Ａ），ｒ（Ｂ）），ｒ（ＡＢ）≥ｒ（Ａ）＋
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邢 台学院学报
２０１１年第 ２期
示系数矩阵的秩，ｎ－ｒ就是 自由未知量的个数。
例题 ２：已知 ｃｃ】＝ （１，２，１，一１），仅２＝
３．２ 矩阵的秩在解方程组中的应用
（２，３，１，Ｏ）， Ｏ【 ＝ （１，２，２，一３）
利用矩阵的秩判断方程个数等于未知量个数的 求 Ｗ ＝Ｌ（ ， ， Ｏ【 ）的基和维数。
３）设 Ａ为 ｍ×ｎ矩阵，ｒ（Ａ）＝ｒ，则 Ａ的任意 Ｓ
定理 ２：矩阵 Ａ的秩是 ｒ的充分必要条件是矩
行组成 的矩 阵 Ｂ，有 ｒ（Ｂ）≥ｒ＋ｓ－ｎ。
阵 Ａ中有一个 ｒ级子式不为零， 同时所有的 ｒ＋ｌ
４）设 Ｍ＝ｌ Ｌ Ａ Ｏ ｌ，则 ｒ（Ｍ）＝ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｂ）； Ｏ Ｂ＿Ｊ
ｒ（Ｂ）一ｎ，这里 Ａ、Ｂ分别是 ｍ×ｎ和 ｎ×ｓ矩阵
１１）ｒ（ＡＢＣ）≥ｒ（ＡＢ）＋ｒ（ＢＣ）一ｒ（Ｂ）。
ｌ２）若 Ｇ为列满秩矩阵 （ｒ（Ｇ）等于 Ｇ的列数 ）， Ｈ为行满秩矩阵，则 ｒ（ＧＨ）＝ｒ（ＡＨ）＝ｒ（Ａ）。 ２ 矩 阵 的秩 与行 列式
定义 １：齐次线性方程组 ＡＸ＝Ｏ（ ） 的一组解 Ｔ１ ，Βιβλιοθήκη Baidu１ ．．Ｔ１ 称为 （ ）的一个基础解系，如果
定 义 ２：矩 阵列 向量组 的秩称为矩阵的列秩 ， 矩阵 Ａ的秩等于 ｎ的充分必要条件是 Ａ的行列式
矩 阵行 向量组的秩称为矩阵的行秩。
不为零。从而有 以下一些等价条件：
矩 阵的秩的两个等价定义：
１）ｎ×ｎ矩 阵 Ａ的行列式的秩等于 ｎ。
１）矩阵行秩等于矩阵列秩，统称为矩阵的秩。
２）Ａ的行 列 式不为 零 。
１）（ ）的任意一个解都能够表示成 Ｔ１ ，Ｔ１：，… Ｔ１ 的线性 组合 的形 式 。
２）Ｔ１ １，Ｔ１ ２，… Ｔ１ 线性 无关 。 定理 ３：在齐次线性方程组有非零解的情况下，
它有基础解系，并且基础解系所含解的个数等于 ｎ— ｒ，这里 ｎ是齐次线性方程组中未知量的个数，ｒ表
［收稿 日期］２０１卜０卜０３ ［作 者简 介］国 慧 （１９８７一），女 ，河 北 邢 台市人 ，研 究 生，主 要从 事基 础数 学 的研究 ．Ｅ－ｍａｉｌ：ｘｔｙｃｇｉｑ＠１６３．ｃｏｒｎ
２）矩 阵中最大阶非零子式的阶数称为矩阵的秩。
３）矩阵 Ａ是可逆矩阵。
矩 阵的秩记为秩 （Ａ）或 ｒａｎｋ（Ａ）。
４）齐次线性方程组 ＡＸ＝０只有零解。
１．２ 矩 阵秩 的相 关性质
５）矩 阵 Ａ能表示成 一些初等矩阵的乘积 的形
１）设矩阵Ａ和 Ｂ分别是 Ｓ×ｎ和 ｎ×Ｉｌ矩阵，ＡＢ＝ 式，即 Ａ＝ＯｌＱｚ…Ｑ 。
第 ２６卷 第 ２期 ２０１１年 ６月
邢 台学 院学 报
Ｊ０Ｕ ＲＮＡ Ｌ ０Ｆ Ｘ ＩＮ ＧＴＡＩ Ｕ Ｎ ＩＶ ＥＲ ＳＩＴＹ
Ｖｏ１．２６．Ｎ Ｏ．２ Ｊｕｎ．２Ｏｌ１
矩 阵的秩 及 应 用
国 慧
（河北师 范大 学数 信学院，河北石家庄 ５０００１６） 摘 要 ：利用矩阵的秩 的相 关定理及重要结论，阐述矩 阵的秩在数学知 识的学习研究 中所起 的作 用，总结 了一些矩阵的 秩 的重要 性质 ，将代数 内容的学 习融入具体 问题的证 明中，将知识 紧密的联 系在一起 ，为以后相 关知识的学习奠定基础 。 关键词 ：矩 阵的秩 ；基础 解 系；增广矩 阵； 维数 中图分 类号 ：０１５ｌ 文献标识码 ：Ａ 文章编号 ： １６７２．４６５８ｆ２Ｏ１１）０２．０１６１．０３
由此可以看 出，秩 （ ， ， ３）＝３，ｄｉｍＷ ＝秩 （ ，
线性方程组解的情况十分简单易行的，方法是首先
解 ｒ １ ２ １］ 厂１ ２ １］
判断线性方程组的系数矩阵 Ａ的行列式 Ｉ Ａ Ｉ是否 为零，如果 ｌ Ａ ｌ ≠ ０，则利用克拉默法则进行求
：ｌ ２ 。 ３三 三２ Ｊ Ｊｌ ０—。 ０１ ０ Ｊｌ
解；如果 Ｉ Ａ Ｉ＝０，利用定理 １的结论 ，即看 ｒ（Ａ）
１ 矩 阵的秩 的 基础理 论
２．１ ｎ×ｎ矩 阵的 情形
１．１ 矩 阵秩 的相 关定 义
定理 １：１２×ｎ矩阵 Ａ的行列式为零 的充分必要
定义 １：向量组 的极大无关组所含 向量 的个数 条件 Ａ的秩小于 ｎ。
称为这个 向量组的秩。
通过定理 １的陈述可 以得到否命题 ，即 ｎ×ｎ
ｃ，Ｃ为 ｓ×ｍ矩阵，则 ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｂ）一ｎ＜ｒ ａｉｎ（ｒ（Ａ），ｒ（Ｂ）），
６）矩阵 Ａ的所有特征值均不为零 。
特另０的若 Ｉ Ａ Ｉ≠０，贝０ ｒ（ｃ）＝ｒ（Ｂ）；若 ＡＢ＝０，贝０
有 了这些等价条件，在解决一些具体 问题的时
ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｂ）≤ｎ。
候是十分方便 的。
２）ｒ（Ａ＋Ｂ）≤ｒ（Ａ）＋ｒ（Ｓ），ｒ（Ａ－Ｂ）≥ｒ（Ａ）一ｒ（Ｂ）。 ２．２ 一般 矩 阵的 情形