基本不等式公式
高中基本不等式公式
高中基本不等式公式
在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。
“一正”就是指两个式子都为正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指当且仅当两个式子相等时，才能取等号。
基本不等式常用公式
（1）√((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)。
（当且仅当a=b时，等号成立）（2）√(ab)≤(a+b)/2。
（当且仅当a=b时，等号成立）（3）a²+b²≥2ab。
（当且仅当a=b时，等号成立）
（4）ab≤(a+b)²/4。
（当且仅当a=b时，等号成立）
（5）||a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|。
（当且仅当a=b时，等号成立）基本不等式两大技巧
“1”的妙用。
题目中假如消失了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子绽开即可计算。
假如题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。
调整系数。
有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是许多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。
1。
基本不等式常用公式四个
基本不等式常用公式四个
嘿，朋友！今天咱来唠唠基本不等式常用的四个公式哈。
第一个公式就是“a+b≥2√(ab)”（a>0，b>0）。
比如说，咱想围一个长方形的篱笆，长是 3 米，宽是 2 米，那这个长方形的周长最小是不是就是2×(3+2)=10 米呀，这就和这个公式有关系呢！
第二个公式是“(a+b)²≥4ab”（a，b 为实数）。
就好像你要盖房子，你得保证材料足够多才能盖得牢固呀，这个公式就像是保证房子牢固的一个条件一样！
第三个公式是“a²+b²≥2ab”。
这就好比两个人比赛跑步，要想跑得快，那自身的实力得过硬呀，这就是一种实力的保障呢！比如说，一个数是5，另一个数是 3，那5²+3² 肯定是大于等于2×5×3 的呀！
第四个公式是“ab≤(a²+b²)/2”。
可以想象成你有一堆糖果要分给小伙伴们，怎么分才能更公平呢，这个公式就能帮助你来衡量！像有两个数字4 和 6，那4×6 肯定是小于等于(4²+6²)/2 嘛！
怎么样，这四个公式是不是挺有意思的呀！好好去琢磨琢磨吧！。
基本不等式公式
基本不等式公式在数学中，不等式是一种比较两个数量大小关系的数学表示式。
简单来说，不等式就是用不等于号、大于号或小于号来表示两个数之间的大小关系。
在解决数学问题时，我们常常会遇到各种不等式，其中最基本的不等式公式包括：加减不等式、乘除不等式和平方不等式。
1. 加减不等式加减不等式是指用加法和减法来表示数的大小关系的不等式。
以下是常见的加减不等式公式：1.1 加法不等式对于任意的实数a、b和c，有以下加法不等式公式：•如果a > b，则a + c > b + c；•如果a < b，则a + c < b + c。
简单地说，加法不等式就是在两边同时加上（或减去）相同的数时，不等号的方向不变。
1.2 减法不等式对于任意的实数a、b和c，有以下减法不等式公式：•如果a > b，则a - c > b - c；•如果a < b，则a - c < b - c。
类似地，减法不等式就是在两边同时加上（或减去）相同的数时，不等号的方向不变。
2. 乘除不等式乘除不等式是指用乘法和除法来表示数的大小关系的不等式。
以下是常见的乘除不等式公式：2.1 乘法不等式对于任意的正实数a、b和c，有以下乘法不等式公式：•如果a > b 且 c > 0，则ac > bc；•如果a < b 且 c > 0，则ac < bc；•如果a < b 且 c < 0，则ac > bc；•如果a > b 且 c < 0，则ac < bc。
2.2 除法不等式对于任意的正实数a、b和c，有以下除法不等式公式：•如果a > b 且 c > 0，则a/c > b/c；•如果a < b 且 c > 0，则a/c < b/c；•如果a < b 且 c < 0，则a/c > b/c；•如果a > b 且 c < 0，则a/c < b/c。
基本不等式的所有公式及常用解法
基本不等式的所有公式及常用解法
基本不等式是数学中一种重要的概念，它可以帮助我们解决许多复杂的问题。
基本不等式的公式有许多，其中最常用的是加法不等式、乘法不等式、减法不等式和比较不等式。
加法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a+b≥0。
加法不等式的解法是：若a、b是
任意实数，则可以将a+b≥0转化为a≥-b，从而得出a的取值范围。
乘法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有ab≥0。
乘法不等式的解法是：若a、b是任
意实数，则可以将ab≥0转化为a≥0或b≥0，从而得出a、b的取值范围。
减法不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a-b≥0。
减法不等式的解法是：若a、b是
任意实数，则可以将a-b≥0转化为a≥b，从而得出a的取值范围。
比较不等式的公式是：若a、b是任意实数，则有a>b或a<b。
比较不等式的解法是：若a、b
是任意实数，则可以将a>b或a<b转化为a-b>0或a-b<0，从而得出a的取值范围。
基本不等式的公式和解法可以帮助我们解决许多复杂的问题，它们在生活中也有着重要的作用。
比如，当我们在购物时，可以利用基本不等式的公式和解法来比较价格，从而节省购物费用。
此外，基本不等式的公式和解法还可以帮助我们解决许多其他的问题，比如计算投资回报率、计算贷款利息等。
总之，基本不等式的公式和解法对我们的生活娱乐有着重要的意义，它们可以帮助我们解决许多复杂的问题，节省购物费用，计算投资回报率和贷款利息等。
考研七个基本不等式公式
考研七个基本不等式公式考研数学中，不等式经常出现，而其中7个基本不等式公式更是考研必须要掌握的。
以下是这7个公式及其应用的详细介绍：1. AM-GM不等式：对于任意非负实数a1,a2,...,an，有(a1+a2++an)/n≥(a1a2...an)1/n。
这个公式可以用于证明一些题目的最小值，例如在面积一定的情况下，长方形的长和宽的乘积最大。
2. Cauchy-Schwarz不等式：设有两组实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，则(a1b1+a2b2++anbn)2≤(a12+a22++a2n)(b12+b22++b2n)。
这个公式可以用于证明向量的内积的绝对值不超过向量的模长之积。
3. 乘积和差、和差的平方不等式：(1) (a+b)2≥4ab;(2) (a-b)2≥0;(3) (a+b)(a-b)≤a2+b2;(4) (a+b)2+(a-b)2=2(a2+b2)。
这个公式可以用于证明类似于不等式(a+b)2≥4ab的问题。
4. 三角函数的不等式：(1) sinx≤x≤tanx，其中0<x<π/2；(2) cosx≤(2/π)x，其中0<x<π/2。
这个公式可以用于证明某些三角函数的值的大小关系。
5. Schur不等式：设有非负实数a,b,c和正整数k，则有a^k(a-b)(a-c)+b^k(b-a)(b-c)+c^k(c-a)(c-b)≥0。
这个公式可以用于证明某些不等式，例如对于非负实数a,b,c有a^3+b^3+c^3+3abc≥ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)。
6. 杨辉不等式：对于任意实数a1,a2,...,an、b1,b2,...,bn，有(a1^2+b1^2)(a2^2+b2^2)...(an^2+bn^2)≥(a1a2...an+b1b2...bn)^2。
这个公式可以用于证明某些不等式，例如对于任意实数a,b,c有(a^2+b^2)(b^2+c^2)(c^2+a^2)≥8a^2b^2c^2。
不等式基本公式四个
不等式基本公式四个不等式是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。
在不等式基本公式中，最常见的有四个：加减法、乘除法、平方和平方根、倒数。
首先，加减法公式用于处理不等式中的加减运算。
对于一个不等式形如a>b，我们可以在两边同时加上（或减去）同一个数c，而不改变不等式的顺序。
例如，如果a>b，则a+c>b+c。
这个公式也适用于减法运算。
其次，乘除法公式用于处理不等式中的乘除运算。
对于一个不等式形如 a > b，如果c > 0，则可以在两边同时乘上（或除以）同一个正数c。
例如，如果a > b 且 c > 0，则ac > bc。
反之，如果c < 0，则在两边乘以（或除以）同一个负数c时，不等式的方向会改变。
例如，如果a > b 且 c < 0，则ac < bc。
这个公式也适用于除法运算。
第三，平方和平方根公式用于处理不等式中的平方和平方根运算。
对于一个不等式形如a>b，如果a和b都是非负数，则可以在两边同时进行平方操作。
例如，如果0≤a≤b，则a²≤b²。
反之，如果a和b都是负数，则在两边平方时不等式的方向会改变。
例如，如果a≤b≤0，则a²≥b²。
同样，对于一个不等式形如a>b，如果a和b都是非负数，则可以在两边同时进行平方根操作。
例如，如果0≤a≤b，则√a≤√b。
反之，如果a和b都是负数，则在两边进行平方根操作时不等式的方向会改变。
例如，如果a≤b≤0，则√a≥√b。
最后，倒数公式用于处理不等式中的倒数运算。
对于一个不等式形如a>b，如果a和b都是正数，则可以在两边同时求倒数。
例如，如果0<a<b，则1/a>1/b。
反之，如果a和b都是负数，则在两边求倒数时不等式的方向会改变。
例如，如果a<b<0，则1/a<1/b。
总结来说，不等式基本公式主要包括加减法、乘除法、平方和平方根、倒数四个部分。
基本不等式公式高中
高中数学中常见的基本不等式公式包括以下几个：
1. 算术平均值大于等于几何平均值：设n为正整数，x1, x2, ..., xn为实数，则有：
(x1 + x2 + ... + xn)/n >= √(x1 * x2 * ... * xn)
这就是著名的算术平均值与几何平均值之间的不等式。
2. 调和平均值大于等于几何平均值：设x1, x2, ..., xn为实数，则有：
(nx1/2 + nx2/2 + ... + nxn/2) >= √(x1 * x2 * ... * xn)
这就是著名的调和平均值与几何平均值之间的不等式。
3. 三角不等式：设x和y为非零实数向量，则有：
|x·y| <= |x|·|y|
其中，x·y表示向量x和y的点积，|x|和|y|分别表示向量x和y的模长。
4. 柯西-施瓦茨不等式：设x1, x2, ..., xn和y1, y2, ..., yn为实数向量，则有：
(x1*y1 + x2*y2 + ... + xn*yn) <= sqrt((x1^2 + x2^2 + ... + xn^2) * (y1^2 + y2^2 + ... + yn^2))这就是著名的柯西-施瓦茨不等式，用于衡量向量的相关性。
以上这些基本不等式在高中数学中非常常见，并且在解决许多数学问题时都非常有用。
考研七个基本不等式公式
考研七个基本不等式公式在数学中，不等式是经常用到的基本概念，特别是在解决优化问题和证明问题时。
而不等式的研究和应用也是考研数学中的重点内容之一、下面，我将介绍考研中常用的七个基本不等式公式，包括柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、夹逼定理、柯西不等式、阿贝尔不等式、平均-均方不等式和泰勒不等式。
1.柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是最基本的不等式之一，它描述了向量内积的性质。
对于实数向量 a=(a1,a2,...,an) 和 b=(b1,b2,...,bn)，柯西-施瓦茨不等式可以表示为：(a1b1+a2b2+...+anbn)^2 ≤(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2)这个不等式给出了向量内积和向量模的关系，是解决线性代数和向量空间问题的基础。
2.均值不等式均值不等式是描述平均数的不等式。
对于任意非负实数a1,a2,...,an，均值不等式可以表示为：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1a2...an)其中，等号成立的条件是 a1=a2=...=an。
这个不等式告诉我们，对于一组非负实数的平均数，它的值一定大于等于它们的几何平均数。
3.夹逼定理夹逼定理也称为挤压定理，是解析几何中常用的一种方法。
夹逼定理可以用来证明极限存在和计算极限的方法。
夹逼定理的基本思想是：如果函数f(x)≤g(x)≤h(x)成立，并且当x趋于其中一点时，f(x)和h(x)的极限都为L，则函数g(x)的极限也为L。
这个定理的应用范围很广泛，可以用来证明和计算各种类型的极限。
4.柯西不等式柯西不等式是数学分析中的一种重要不等式，它描述了函数的积分性质。
对于两个连续函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上，柯西不等式可以表示为：(∫[a,b]f(x)g(x)dx)，≤ (∫[a,b]f^2(x)dx)^0.5 *(∫[a,b]g^2(x)dx)^0.5其中，等号成立的条件是f(x)和g(x)成比例，即存在常数C，使得f(x)=Cg(x)。
基础不等式
基础不等式
基础不等式公式为（a>0,b>0）。
基础不等式的定义：
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。
其表述为：两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
在使用基本不等式时，要牢记“一正”“二定”“三相等”的七字真言。
“一正”就是指两个式子都为正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指当且仅当两个式子相等时，才能取等号。
基础不等式的概念：
两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
基础不等式的技巧：
“1”的妙用。
题目中如果出现了两个式子之和为常数，要求这两个式子的倒数之和的最小值，通常用所求这个式子乘以1，然后把1用前面的常数表示出来，并将两个式子展开即可计算。
如果题目已知两个式子倒数之和为常数，求两个式子之和的最小值，方法同上。
调整系数。
有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。
基本不等式公式讲解
基本不等式公式讲解基本不等式是数学中的一个重要概念，它描述了在特定条件下两个或多个正数之间的关系。
这些关系通常以公式形式给出，并用于解决各种实际问题。
以下是基本不等式的公式及其讲解：1. 平方平均数≥算术平均数≥几何平均数≥调和平均数：这是四个重要不等式的总称，它们反映了不同平均数之间的关系。
具体来说，平方平均数是指一组数的平方和的平均值，算术平均数是所有数的和除以数的个数，几何平均数是所有数的乘积的平方根，调和平均数是所有倒数之和的倒数。
2. √((a²+b²)/2)≥(a+b)/2≥√ab≥2/(1/a+1/b)：这也是一组重要的基本不等式。
它们反映了在不同条件下，两个正数a和b之间的关系。
这些不等式在解决最优化问题、不等式证明等方面有广泛应用。
3. 调整系数：在某些情况下，为了满足特定条件（如使两个式子的和为常数），需要对某些系数进行调整。
这种调整通常是为了满足某些数学规则或定理，以便更好地解决问题。
4. 有时候求解两个式子之积的最大值时，需要这两个式子之和为常数，但是很多时候并不是常数，这时候需要对其中某些系数进行调整，以便使其和为常数。
5. 有一些常用公式：如√(ab)≤(a+b)/2、a²+b²≥2ab、ab≤(a+b)²/4等。
这些公式也是基于不等式的性质推导出来的，它们在解决各种数学问题中起到重要作用。
总的来说，基本不等式是数学中的重要概念，它们提供了在特定条件下正数之间关系的公式表示。
这些公式不仅有助于解决数学问题，还广泛应用于其他领域。
学习和理解这些基本不等式的性质和推导方法，有助于提高数学素养和解决问题的能力。
不等式公式
证明方法可利用向量，把a、b看作向量，利用三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边。
柯西不等式：
设a1,a2,…an,b1,b2…bn均是实数，则有(a1b1+a2b2+…+anbn)^2≤(a1^2+a2^2+…an^2)*(b1^2+b2^2+…bn^2)当且仅当ai=λbi(λ为常数，i=1,2.3,…n)时取等号。
那么可以变为a2-2ab+b2≥ 0
a2+b2≥ 2ab
ab≤a与b的平均数的平方
扩展：若有y=x1×x2×x3.....Xn且x1+x2+x3+...+Xn=常数P,则Y的最大值为((x1+x2+x3+...+Xn)/n)n
绝对值不等式公式：
| |a|-|b| |≤|a-b|≤|a|+|b|
| |a|-|b| |≤|a+b|≤|a|+|b|
不等式公式，是两头不对等的公式，是一种数学用语。
常用的不等式的基本性质：
a>b,b>c→a>c;
a>b →a+c>b+c;
a>b,c>0 → ac>bc;
不等式基础必备
不等式基础必备1、均值定理： n n n n Q A G H ≥≥≥（当且仅当...12n a a a ===时取等号） 注解：n Q 平方平均值：n Q =n A 算术平均值：...12nn a a a An +++=；n G 几何平均值：n G = n H 调和平均值：...n 12nnH 111a a a =+++，即：...n 12nn 111H a a a =+++ 其中，,,...12n a a a 0>例如：1a 1=，2a 2=，求n Q 、n A、n G 、n H，并比较它们的大小.解：.n Q 16==≈； .n 12A 152+==；.n G 14==≈； .n 224H 1311213122===≈++ 可见：有n n n n Q A G H ≥≥≥2、指数不等式：x e 1x ≥+ （当且仅当x 0=时取等号） 注解：由于要求不等式右边1x 0+≥，故：x 1≥-记忆方法见函数图.曲线x y e =在x R ∈区间都处在直线y 1x =+的上方，仅在x 0=处相切. 即：x e 1x ≥+，当且仅当x 0=时取等号.例如：x 1=时，左边.x e 2718≈，右边1x 2+=故：x e 1x ≥+3、对数不等式：ln x x 1≤- （当且仅当x 1=时取等号） 注解：由于0和负数没有对数，所以：x 0>记忆方法见函数图.曲线ln y x =在x 0>区间都处在直线y x 1=-的下方，仅在x 1=处相切. 即：ln x x 1≤-， 当且仅当x 1=时取等号也可以由x e 1x ≥+得：y 1e y -≥两边取对数：ln y 1y -≥，即：ln x x 1≤-例如：x e =时，左边ln ln x e 1==，右边.x 1e 117181-=-≈>，故：ln x x 1≤- 4、柯西不等式：(...)(...)(...)222222212n 12n 1122n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++ （当且仅当...n 1212na a ab b b ===时取等号） 注解：设向量(,,...,)12n A a a a =，向量(,,...,)12n B b b b =，则 (2)22212n A a a a =+++， (2)22212n B b b b =+++，...1122n n A B a b a b a b ⋅=+++由向量公式：cos ,A B A B A B ⋅=<>得：A B A B ⋅≤ 两边自乘得：()222AB A B ≥⋅将上面的结果代入得：(...)(...)(...)222222212n 12n 1122n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++例如：1a 1=，2a 2=，1b 3=，2b 4=则：21a 1=，22a 4=，()2212a a 5+=；21b 9=，22b 16=，()2212b b 25+=； ()()22221212a a b b 525125++=⨯=；11a b 3=，22a b 8=，()221122a b a b 11121+==.()()22221212a a b b 125121++=> 故：()()()2222212121122a a b b a b a b ++≥+5、琴生不等式： 注解：⑴ 设在[,]x a b ∈区间()f x 为上凸函数，如图即()f x 的二次导数''()f x 0≤，则：()()()f a f b a b f 22++≤ ①图中，A 点为均值的函数值，B 点为函数的均值. 即：对于上凸函数，函数的均值不大于均值的函数值. ⑵ 设在[,]x a b ∈区间()f x 为下凸函数，如图即()f x 的二次导数''()f x 0≥，则：()()()f a f b a bf 22++≥ ② 图中，A 点为均值的函数值，B 点为函数的均值. 即：对于下凸函数，函数的均值不小于均值的函数值. 上面的①②式，称为琴生不等式.例如：对于函数()sin f x x =，在[,]x 0π∈区间为上凸函数，因为'()cos f x x =，''()sin f x x 0=-≤（[,]x 0π∈） 故：()sin f x x =在[,]x 0π∈区间为上凸函数. 此时，a 0=，b π=，则a b 22π+= ()()f a f 00==，()()f b f 0π==，即：()()f a f b 00022++==； 而()()a b f f 122π+==. 故：()()()f a f b a bf 22++≤例如：二次函数()2f x x 2x 1=-+因为'()f x 2x 2=-，''()f x 20=> 所以()f x 下凸函数.在[,]x 02∈区间有：()f 01=，()f 21=，()f 10= 即：()()f 0f 212+=，()()02f f 102+==故：()()()f 0f 202f 22++> 其实，在x R ∈区间，都满足()()()f a f b a bf 22++≥ ⑶ 推广为一般形式对于(,)x a b ∈的上凸函数，即:''()f x 0≤，有：()()...()...()12n 12nf x f x f x x x x f n n++++++≤ （,,...,(,)12n x x x a b ∈）对于(,)x a b ∈的下凸函数，即:''()f x 0≥，有：()()...()...()12n 12nf x f x f x x x x f n n++++++≥ （,,...,(,)12n x x x a b ∈）这就是琴生不等式.注意不等号的方向与二次导数的方向一致. 6、伯努利不等式：()n 1x 1nx +≥+ （x 1>-） 注解：由二项式定理得：()...()n 0122n nn n n n 1x C C x C x C x 1nx g x +=++++=++在x 1>-时，()g x 0≥，即：()n 1x 1nx +≥+ （仅当n 1=时取等号） 例如：当x 1=，n 2=时，左边()()n 21x 114+=+=，右边1nx 1213+=+⨯=故：()n 1x 1nx +≥+ 7、向量不等式：⑴ 向量三角形：a b a b +≤+和 ⑵ a b a b -≤-⑶ 向量点乘：a b a b ⋅≤ 注解：⑴ 由a ，b ，a b +构成的三角形，由三角形两边之和大于第三边得. ⑵ 由a ，b ，a b -构成的三角形，由三角形两边之差小于第三边得； ⑶ 由向量积的公式得：cos ,a b a b a b a b ⋅=<>≤，即：a b a b ⋅≤； ⑷ 若(,,)123a a a a =，(,,)123b b b b =，则：112233a b a b a b a b ⋅=++ 上面这几种基本不等式的简单记忆方法： 均值定理四兄弟，对数指数俩伴侣； 柯西琴生伯努利，向量三角点乘积.上述不等式的解法统称“公式法”.凡解证不等式，首先考虑用上述的不等式，能使用的尽量使用. 不能直接使用的，但经过变形后能使用的，也要尽量使用，即尽一切可能使用上述不等式.1、作差法：将比较的两对象相减后，其差与0比较大小的方法.注解：最常用的是构建函数法. 例如，证明()()f x g x ≥，则构建()()()h x f x g x =- 2、作商法：将比较的两正数对象相比后，其商与1比较大小的方法. 注解：例如，()f x 0≥，()g x 0≥，证明()()f x g x ≥. 将其变形为()()f xg x 与1比大小. 3、公式法：用前面不等式的公式得到结果的方法. 注解：即均值定理、柯西不等式等.4、单调性法：利用函数在某区间的单调性得出大小的方法.注解：例如，函数()f x 在区间[,]x a b ∈单调递增，则有：()()f x f a ≥，()()f x f b ≤. 5、放缩法：由等式的一边经过放大或缩小将等式变为不等式；或者大者变得更大，小者变得更小；从而使问题得到解决的方法.注解：例如，n 0>，原本22n n =，将右边减小变为()2n n n 1>- ①①式就是放缩法的结果.6、判别式法：如果一个二次函数过零点，即在零点存在二次方程的解，那么二次方程有解的条件是：判别式0∆≥. 这里就自然出现了不等式.注解：本方法用于处理二次函数时，包括二次函数的分式.7、换元法：将一个整式、分式或根式整体看做一个量进行处理的方法，主要是简化. 注解：特别是三角换元法. 因为三角函数本身有界，所以自然就有不等式. 此法要求常用的三角恒等式必须熟悉.8、裂项相消法：将一项式子分裂成两项或多项，在求和过程中有部分项相互抵消，从而得到简明结果的方法.注解：例如，在放缩法中的①式，进一步得：()21111n n n 1n 1n<=--- 这样，如果是求和n2k 11k =∑，则可得结果： ()()nn n22k 1k 2k 211111111112k k k 1k n n ====+<+-=+-=--∑∑∑ 其中的()111n n 1n 1n=---是裂项.在求和过程中，好多项相互抵消()()()...()nk 21111111111k 1k 1223n 1n n =-=-+-++-=---∑9、倒序相加法：将一个多项求和的式子的一个正序列和一个倒序列按序相加的方法. 注解：例如，求...n S 123n =++++. 其倒序后为：()...n S n n 121=+-+++.这两个式子按序相加后得：()()...()n 2S 1n 2n 1n 1=+++-+++其中，每个圆括号内的值都是()n 1+，共有n 项. 故结果是：()n 2S n n 1=+，即：()n n n 1S 2+=10、极值法（最值法）：求出函数()f x 在某个区间的极值，加上边界值找出最值，那么函数的最值就是出现不等式的方法.注解：函数()f x 在x R ∈区间的最大值是8，则有()f x 8≤11、积分法：积分实际上是求和，是简化求和运算的一种方法. 如果函数是单调的，函数的每一小区间内就会出现不等号，求和后依然存在不等号.注解：积分法最好要画出简明图，可以看出单调性和不等的量. 上面这几种求不等式的基本方法简单记忆： 作差与0比大小，作商与1比高下； 套用公式得结果，单调放缩有小大； 二次函数过零点，判别式与换元法； 倒序相加来求和，裂项相消去简化； 极值最值亦可得，单调积分号方法.[例题] 已知：,a b 0>，*n N ∈，n 2≥，求证：()n n na b a b 22++≥ 证明：⑴ 用均值定理：n n A G ≥()()...()()...()n n n n n n nn n 1n 1a b a b a b a n a 22222--+++++++≥即：()()()n 1n n n n nn a b a b a n 1na 22-+++-≥= ①同理：()()()n 1n n n n nna b a b b n 1nb 22-+++-≥ ② 由①②两式相加得：()()()()()n 1n n nnnnna b a b n 1a b n a b 2-+++-+≥+即：()()()n 1n n n n na b a b a b 2n 2n 222-+++≥ 即：()()()n 1n n n n n a b a b a b 222-+++≥，即：()()()n n n n n n n 1a b a b a b 222-+++≥ 即：()n n na b a b 22++≥ ⑵ 用琴生不等式构建函数：()n f x x =（x 0>）则：'()n 1f x nx -=，''()()n 2f x n n 1x 0-=->代入琴生不等式()()()f a f b a bf 22++≥得：()n n n a b a b 22++≥。
基本不等式公式四个
基本不等式公式四个
等式是数学中解决问题的有力工具，它们具有若干基本特征，其中最重要的就是基本不等式。
基本不等式有四个，即大于（>）、小于（<）、大于或等于（>=）、小于或等于（<=），它们可以综合运用起来，用来解决实际问题。
比如，当我们需要确定一个数字是否在某个数值范围之内时，可以使用基本不等式。
令值x表示数字，该数字在数值a和b之间，则应满足如下条件：a <= x <= b。
另外，在比较两数字大小时，也会用到基本不等式。
令值x、y表示两个数字，其中一个大于另外一个，则应满足如下条件：x > y或x < y。
还可以应用基本不等式来区分有理数和无理数，令值x表示一个数字，如果x是有理数，则必须满足条件x < 0 或 x > 0。
总之，基本不等式是数学中一种非常重要的概念，它可以用来解决各种实际问题，因此学生在学习和运用数学时，要掌握基本不等式的基本概念及其使用规则，这样才能更好地解决实际问题。
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基本步骤：
(1)设某线段长为x (求出其它线段长)
(1)设某两线段长为x,y (求出f(x,y)=0)
(2)建立目标函数w=f(x)
(2)建立函数w=g(x,y)
(用基本不等式求出最值) (用基本不等式求出最值)
(3)当x=?时，w最大(小)=？ (3)当x=?,y=?时.w最大=？
变式：如果：围成一个直角三角形 求：面积的最大值
例2.已知一条直线过点M(3,2),它于x轴，y轴 的正方向分别交于A,B,O为原点.
求：△ OAB面积的最小值.
y B •M (3,2)
如何设未知数？
设1个？还是设2个？为什么？
O Ax 变式:(1)求 OA OB 的最小值;
(2)求MA• MB 的最小值.
By
例3.
A
O
P
x
已知点A(0,4),B(0,6),P在x轴正方向上 求：使∠APB最大的点P的坐标.
【中午限时】课本P91:(6)(8)(9)(11)
【课外作业】金榜第12课时： (1)(3)(5)(10)(12)
（当且仅当a b 时取"="）
例. x 0, y 0
25 (1)如果x y 10,那么xy ___________
(2)如果xy 10,那么x y ____2___1_0___
一正；二定； 三相等.
最值定理： (1)和定 - -积最大. (2)积定 - -和最小.
例1.有一根长4的铁丝,如果围成一个矩形;
求:围成图形面积最大值： 解:(1)设矩形的长为x,那么宽为2-x
(2)面积S=x(2-x)
x
2 2
x
2
12
(3)当x=a时，矩形面积S最大=1
方法(二):(1)设矩形的长为x.宽为y,
那么：x+y=2a
(2)矩形面积S=xy
x
2
y
2
a2
(3)当x=y=a时，矩形面积最大值为a2.
均值不等式
若a,b R,则a 2 b2 2ab
若a, b R，则ab a 2 b 2 2
（当且仅当a b 时取" ="）
均值不等式
若a,b R ,则 a b ab 2
若a,b R，则a b 2 ab （当且仅当a b时取"="）
若a,b R，则ab a b 2 2
解:(1)设两条直角边长为x,y 那么：x y x2 y2 4a
(2)所以面积 S 1 xy 2
4a x y x2 y2 2 xy 2 • xy
xy 2 2 2 a
S 4(3 2 2)a2
(3)当x=y=_2(_2___2_)a_时，面积最大= 4(3 2 2)a2