中国剩余定理在RSA算法中应用的 研究实验 演讲PPT
中国剩余定理文章 -回复
中国剩余定理文章-回复中国剩余定理是一个数论中重要的定理，它被广泛应用于密码学、计算机科学以及通信等领域。
本文将以"中国剩余定理"为主题，详细介绍这一定理的含义、原理和应用。
一、引言中国剩余定理是古老而又精妙的数论问题之一。
它最早由我国古代数学家孙子所发现，被称为“孙子定理”。
孙子定理后来由中国数学家秦九韶进行了更加深入的研究和推广，因此也被称为“秦九韶定理”。
后来，西方的数学家们将其命名为中国剩余定理。
中国剩余定理是一个非常重要的数论定理，它解决了模运算中的一类复杂问题，并得到了广泛的应用。
二、数论的基本概念在介绍中国剩余定理之前，我们先了解一些基本的数论概念。
在数论中，我们经常碰到关于求余数的问题。
例如，当我们把一个数除以3时，有可能余数是0、1或2。
这种情况下，我们可以用数学符号表示为a ≡b (mod n)，其中a是被除数，b是余数，n是模数。
如果两个数满足这个关系，我们称它们是模n同余的。
三、中国剩余定理的原理中国剩余定理是一种基于同余关系的数论定理，它可以用来解决模n同余的问题。
具体而言，中国剩余定理告诉我们，如果给定了一组两两互质的模数，那么可以通过求解模数的一组同余方程来得到原方程的解。
换句话说，中国剩余定理帮助我们将原问题转化为一组相对简单的方程。
四、中国剩余定理的应用中国剩余定理在密码学和计算机科学中得到了广泛应用。
例如，在RSA 公钥加密算法中，中国剩余定理被用来加速密钥生成和解密过程。
在RSA 算法中，需要对大素数进行模n同余的计算，中国剩余定理的应用大大提高了计算效率。
此外，中国剩余定理还被用于解决模运算的扩展问题。
例如，我们可以利用中国剩余定理来求解模4、模3和模5的同余式，并得到一组解，用于解决一些问题。
中国剩余定理的应用不仅仅限于数论领域，在通信技术、电路设计等方面也有重要的应用。
五、范例让我们通过一个简单的例子来进一步理解中国剩余定理的应用。
RSA和DES加密算法详解 ppt课件
if(m % i ==0) break;
if(m == i) pd = 1;
else pd = 0;
return pd;
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4
Part 3 R S A 编 程 实 现 （ C 语 言 ）
4、选择一个与φ(n)互质的量e
/* 求最大公约数 */ Elemtype gcd(Elemtype a, Elemtype b)
6
Part 3 R S A 编 程 实 现 （ C 语 言 ）
6．明文X的值应在 0至n-1之间，计算 Xe (mod n)产生密 文Y，完成加密操 作
void encrypt() {
if(flag == 0) {
cout<<"setkey first:"<<endl; produce_key(); } cout<<"请输入明文:"; cin>>m; c = modular_multiplication(m,pu.e,pu.n); cout<<"密文 is:"<<c<<endl; cout<<"请输入下一步操作 "; }
容易，但是想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以
将乘积公开作为加密密钥。
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2
Part 2 R S A 算 法 描 述
1．随机选择两个秘密的质数p、q 2．计算公开的模数，n=p*q 3．计算秘密的φ(n)=(p-1)*(q-1) 4．选择一个与φ(n)互质的量e 5．求K的乘法逆元素，用扩展欧几里得算法，模为φ(n) 6．明文X的值应在0至n-1之间，计算Xe (mod n)产生密 文Y，完成加密操作 7．计算Yd（mod n）产生明文X，完成解密操作
毕业设计-中国剩余定理
中国剩余定理及其应用Chinese Remainder Theorem and Its Application专业:作者:指导老师:摘要本文主要讨论了中国剩余定理及其应用, 文中研究了中国剩余定理在初等数论范畴下的应用及在密码学方面的贡献, 说明了中国剩余定理的应用的广泛性.关键词: 中国剩余定理; 初等数论; RSA算法; 解密AbstractThe paper discusses the Chinese Remainder Theorem and Its Application. It studies the application in the context of Elementary Number Theory and the contributions in cryptography, and it illustrates the broad application of Chinese Remainder Theorem.Keywords:Chinese Remainder Theorem; Elementary Number Theory; RSAalgorithm; decrypt目录摘要 (I)ABSTRACT (II)0 引言 (1)1 中国剩余定理 (1)2 中国剩余定理的应用 (2)2. 1 中国剩余定理在赋值领域的体现 (2)2. 2 中国剩余定理在多项式中的应用 (3)2. 3 中国剩余定理在密码学中的应用 (4)3结束语 (11)参考文献 (12)0 引言中国剩余定理源于我国古代《孙子算经》, 其中有一题: “ 今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何？” 这就是求解一次同余式组:()()()⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡7mod 25mod 33mod 2x x x《孙子算经》中给出最小正整数解23, 解法传至今世. 中国剩余定理又称“孙子定理”. 它数初等数论中重要定理之一, 在代数数学和计算机领域中也有重要应用. 本文讨论中国剩余定理及其一些简单的应用.1 中国剩余定理中国剩余定理:设r m m m ,,,21 是两两互素的正整数, 设r a a a ,,,21 使整数, 则同余方程组 r i m a x i i ,,2,1),(mod =≡ 模r m m m M 21=有唯一解∑==ri i i i M y M a x 1mod其中i i m M M =, i i i m M y mod 1-=, r i ,,2,1 =.举世闻名的中国剩余定理最早以“ 物不知其数” 的问题载于《孙子算经》[1]中, 该问题可以理解为: 一个数除以3余2, 除以5余3, 除以7余2, 求合适这些条件的最小的自然数. 用现代数学符号表示, 即已知)7(mod 2)5(mod 3)3(mod 2≡≡≡N 求最小的正整数, 答案是23=N .《孙子算经》的解法是:“ 术曰: 三三数之剩二, 置一百四十; 五五数之剩三, 置六十三; 七七数之剩二, 置三十; 并之, 得二百三十三, 以二百一十减之即得.凡三三数之剩一, 则置七十;五五数之剩一, 则置二十一, 七七数之剩一, 则置十五. 一百六以上, 以一百五减之即得.”把“物不知其数”问题推广到一般情况[2], 设d c b a ,,,为非负整数, 且a 为某个数除以3的余数, b 为这个数除以5的余数, c 为这个数除以7的余数, 试求符合条件的最小的数m . 按《孙子算经》的解法有d c b a m 105152170-++=.我们可以证明, 因为d c b a m 105152170-++=可以改写为 c d c b a m +-++=)105152169(.又因为)105152169(3d c b a -++且20≤≤a , 所以m 除以3的余数必为a , 同理可得m 除以5的余数必为b , m 除以7的余数必为c . 又因为[]1057,5,3=, 所以m 减去105的整数倍就能得到符合题意的最小自然数.2中国剩余定理的应用中国定理是中国古代数学家为世界数学发展作出的巨大贡献, 它的数学思想在近代数学、当代秘密学研究及日常生活都有着广泛应用.2. 1中国剩余定理在赋值理论中的体现赋值理论是域论的一个分支, 是研究近代数学中几个重要分支如代数数论、交换数论的一个重要工具, 而中国剩余定理在赋值论中起着重要作用, 下面介绍中国剩余定理在赋值理论中的应用.定理 (赋值的独立性)对于任意n 个p 赋值pn p p V V V ,,,21 , Q a ∈, n i ,,2,1 =,以及任意0>ε, lm l l P P P ,,,21 --, 则存在Q b ∈使(1)()ε<-=-∞1a b a b V ; (2)()i l i i pi P a b V -≤-, n i ,,2,1 =证明 设m 为n a a a ,,,21 的最小公分母, 令()m V P pi Si i =, i i i s l r +=, n i ,,2,1 =,{}n r r r r ,,,,1max 21 =. 根据中国剩余定理, 可求得一个c , 使得()r p ma c 11mod ≡, ()r pr ma c 22mod ≡, , ()rnn p ma c mod ≡ 即 ()r i i pi p ma c V -≤-, i l i i pi p a m c V -≤⎪⎭⎫⎝⎛-设()rn p p p q 21=, 取适当的Z v u ∈,, 使ε<-++a vq uq m c 11, 再令a vquqm c =++11, 则b 显然满足条件(1).又由p 距离p D 的性质: ()()()()c a D c b D b a D p p p ,,,,max ≥有()i l i i pi i pi p a m c m c b V a b V -≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≤-max , n i ,,2,1 =.2. 2 中国剩余定理在多项式中的应用由中国剩余定理可得相似定理. 设()()()x m x m x m n ,,,21 是n 个两两互素的多项式,()()()x a x a x a n ,,,21 是n 个多项式, 则一定存在多项式, 使()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡x m x a x f x m x a x f x m x a x f n n mod mod mod 2211当()x f 的次数不超过()()()()()()x m x m x m x m x m n 21=的次数是, ()x f 唯一确定.特别地, 当()[]x Q b x x m i i ∈-=(或[]x R ), n i ,,2,1 =, ()n i b i ,,2,1 =是互不相等的常数, 从而()()n i x m i ,,2,1 =也是两两互素的多项式, 由余数定理可知()()()()i i i i b x b m x m -≡mod , ()n i ,,2,1 = 从而定理可叙述为, 一定存在多项式()x f , 是()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≡-≡-≡n n n b x m x a x f b x m x a x f b x m x a x f mod mod mod 222111其中()x a i ()n i ,,2,1 =是任意给定的常数, 且多项式()x f 在次数不超过n 的条件下唯一确定的, 有()()()i i b x a x f -≡mod 等价于()i i a b f ≡()n i ,,2,1 =得: 对任意互不相同的i b()n i ,,2,1 =存在唯一的次数小于n 的多项式()x f , 是()i i a b f ≡()n i ,,2,1 =. 这就是插值多项式的存在与唯一性定理.由中国剩余定理的证法, 只要找到多项式()x M i ()n i ,,2,1 =, 使()()()i i b x x M -≡mod 1 ()()()j j b x x M -≡mod 0, j i ≠ (1) 而()()()()()()()()()n i i i i i i n i i i b b b b b b b b b x b x b x b x x M --------=+-+-111111 满足(1), 于是的插值多项式()x f :()()()()()()()∑∏==≠--=+++=nj ni i ji j n n j i b bb x a x M a x M a x M a x f 112211这就是著名的Lagrange 内插多项式.中国剩余定理推导出的内插多项式是处理许多多项式问题的基本工具如简化数列求和问题: 计算()22221210-++++n解 假设和为n 的三次多项式()n f , n 代表项数, 于是有 ()()()()53,12,01,00====f f f f 由插值公式得()()()()()()()()()()()()()()()()()()()12161231303210532120231051004321--=-----++------=⋅+⋅+⋅+⋅=n n n n n n n n n n M n M n M n M n f 所以, ()()()1216112102222--=-++++n n n n .中国剩余定理主要是解决一次同余式问题, 在算术中还可以利用它来检查因数和验算整数计算的结果.2. 3中国剩余定理在密码学中的应用中国剩余定理虽是数论中的基本定理, 但是在计算机秘密学中有着重要的应用. 例如在Rabin 密码算法中用于解密运算. 在RSA 密码算法中, 中国剩余定理同样可用于RSA 的解密运算, 而且使RSA 的机密速度大约提高4倍左右, 这无论对于软件还是硬件实现RSA 密码算法都是非常重要的. 本文主要从基于中国剩余定理的一种加密算法和中国剩余定理在RSA 解密中的应用两点来说.2. 3. 1基于中国剩余定理的一种加密算法根据中国剩余定理, 可以得出一种新的网络信息加密算法. n A A A A ,,,,321 为n 个互质的素数, 若已知一个整数Y 除以n A A A A ,,,,321 余数分别为n B B B B ,,,,321 , 求Y .令n A A A A M ⨯⨯⨯⨯= 321,1X 表示能n A A A ,,,32 被n A A A ,,,32 整除的所有整数,1Y 表示能被n A A A ,,,32 整除的所有整数且除以1A 余1B 的所有整数, 2X 表示能被n A A A ,,,31 整数的所有整数,2Y 表示能被n A A A ,,,31 整数的所有整数且除以2A 余2B 的所有整数,i X 表示能被n i i A A A A A A ,,,,,,,11321 +-整除的所有整数,i Y 表示能被n i i A A A A A A ,,,,,,,11321 +-整除的所有整数且处于i A 余i B 的所有整数,那么1321/A m M A A A X n ⨯=⨯⨯⨯= , 2312/A m M m A A A X n ⨯=⨯⨯⨯⨯= ,n n n A m M m A A A X /121⨯=⨯⨯⨯⨯=- , 其中m 为任意整数.设i F 满足i X 和i Y , 且令其为i Y 中最小的正整数, 其中n i ≤≤1则 m M F m A A A F Y n ⨯+=⨯⨯⨯⨯+=12111m M F M A A A F Y n n n n ⨯+=⨯⨯⨯⨯+= 21那么m M F F F Y Y Y Y Y n n ⨯++++=++++= 21321.用Y 表示明文, 是所要隐蔽和保护的机要消息. 用n B B B B ,,,,321 表示密文, 要把明文转换成一种隐蔽的形式: n A A A A ,,,,321 和N 为密钥.加密算法的步骤如下:步骤1: 选出n 个n A A A A ,,,,321 作为“密钥”; 步骤2: 求出这n 个素数的乘积M ; 步骤3: 求出n F F F F ,,,,321 ;步骤4: 由m M F F F Y Y Y Y Y n n ⨯++++=++++= 21321得出 ()[]M F F F F Y N n /321++++-= ;步骤5: 用Y 分别除以n A A A A ,,,,321 得余数n B B B B ,,,,321 并把它们作为密文. 解密算法的步骤如下:已知密文n B B B B ,,,,321 和密钥n A A A A ,,,,321 和N 算出n F F F F ,,,,321 . 由m M F F F Y Y Y Y Y n n ⨯++++=++++= 21321得出Y . 这样就实现了从密文和密钥到明文的整个解密过程. 加密和解密举例: 加密:令明文2001=X , 密钥为11,7,5, 密文为10,6,1可求出175,55,231321===F F F , 那么()[]()41175/175552312001=⨯⨯++-=m 为另一密钥.解密:2001411755517522121321=⨯⨯⨯+++=⨯++++=++++=m M F F F Y Y Y Y Y n n .2. 3. 2中国剩余定理在RSA 解密中的应用1978年美国麻省理工学院的三位教授R. L. Rivest, A. Shamir 和M. Adleman 提出了一种基于因子分解的指数函数作为单项陷门函数[3](One-way Trapdoor Function)的公开密钥密码算法(Public-Key Cryptosystems, PKC), 即著名的RSA 算法[4]. RSA 算法是第一个较完善的PKC 算法, 也是非常容易理解和实现的的PKC 算法. 它既可用于传输信息的加密, 也可用于数字签名系统, 是当前民用也商业使用最广泛的公开密钥密码算法之一, 已被国际标准化组织ISO 、JTU 和SWIFT 接受为标准.随机选取两个不同的大素数p 和q (约为150位或更大的十进制数), 计算它们的乘积pq N =与相应的Euler 函数(Euler Totient Function)()()()11--=q p n φ的值, 将N 公开, 而将()n φ, p 和q 保密;显然, 如果不知道N 的素因子p 和q 的前提下, 计算()n φ的值是属于NP 问题, 极难实现.再随机选取一个正整数e , 是e 满足条件: ()N e φ<且()()1,gcd =N e φ(即e 与()N φ的最大共因素是1), 根据扩展Eulicd 算法(Extended Euclidean Algorihm)[5]计算()()N e d φmod 1-=, 即计算满足()()N ed φmod 1=的d . 将e 公开, 而将d 保密, 就确定了RSA 算法的公开密钥()N e PK ,=, 私人密钥()N d SK ,=, 密钥空间:(){}pq N d e q p N K ==,,,,, p 与q 为不同大素数, ()()N ed φmod 1=.相应的, RSA 算法中的单向陷门函数为()()N x x f t mod =(其中K t ∈且N Z x ∈), 称为RSA 函数. 其秘密陷门信息为()N φ及素数p 、q 的值.确定公钥()N e PK ,=和私钥()N d SK ,=之后, RSA 算法的机密运算定义为: ()()N m m E c e pk mod ==, 其中11-≤≤N m 为明文.解密运算定义为: ()()N c c D m d sk mod ==, 其中11-≤≤N c 为密文.RSA 秘密算法的明文m 应为1到1-N 之间的整数, 即[]1,1-∈N m . 如果明文m 太长, 可将其转换成N 进制的形式, 即0111m N m N m N m m s s s s ++++=-- , 于是得到分组后的明文序列 ()s m m m m ,,,10 =, 其中 []1,1-∈N m i , s i ≤≤0. 与之相应的密文序列为()s c c c c ,,,10 =, 其中1c 对应于1m ()s i ≤≤0.中国剩余定理(Chinese Remainder Throrem, CRT)是初等数论中重要的基本定理之一, 它主要是刻画剩余系的结构和求解形如()()s i p d x i i ≤≤≡1mod 的一次同余式方程. 在计算数论中, 计算中国剩余定理唯一解的方法有两种: 单基数转换法(Single-Radex Conversion, SRC)和混合技术转换法(Mixed-Radex Conversion, MRC), 这两种防范都是非常实用的计算方法.算法1 CRT 的单基数转化法(SRC)(1)计算s p p p P 21←和()s i p P P i i ≤≤←1/;(2)计算()()s i p P Q i ≤≤←-1,mod 111;、 (3)计算唯一解()P Q P d Q P d Q P d x s s s mod 222111+++← .利用混合技术转换法(MRC)求CTR 唯一解得方法是H. L. Garner 在1958年首先提出的. 之后D. E. Kunth 将其用于计算数论, 并进行了有益的改进. 经Kunth 改进后的MRC 方法用算法描述如下:算法2 CRT 的混合基数转换法(MRC) (1)计算()i j ji p p B mod ←, ()s i j ≤<≤1; (2)分别计算()i p d v mod 11←; ()()212122mod p B v d v -←;()()()()()()s s s s s s s s s p B B B v p v p v p v d v mod 1211232211---++++-← .(3)计算唯一解112123121v p v p p v p p p v X s s ++++←- .利用中国剩余定理对RSA 密码解密, 首先要将RSA 的解密运算由计算模N 的指数形式转化成求解同余方程组的情形. 为此, 先介绍两个必须的数论定理: 即中国剩余定理的一个推论(定理1)于费马小定理(Fermat's Little Theorem).定理1(CRT 的推论)[6, 7]设s p p p ,,,21 是s 个两两互素的正整数, s p p p P 21=, 则同余式()()P x f mod 0≡与同余式方程组()()()s i p x f i ≤≤≡1mod 0等价.定理2(费马小定理)[6, 7]设p 使一个素数, x 是一个满足()0mod ≠p x 的整数, 则:()p x p mod 11≡-.下面, 将着重分析利用SRC(算法1)和MRC(算法2)实现的RSA 解密算法. 对于RSA 的解密算法()()N c c D m d sk mod ==, 由于用于私钥()N d SK ,=的合法解密者已知pq N =(p 和q 为不同的素数), 因此根据定理1, 可将RSA 的解密由计算模N 的指数运算()()N c c D m d sk mod ==转化为计算模p 和模q 的同余式方程组:()()⎪⎩⎪⎨⎧≡≡q c m p c m d dmod mod 21 (2. 1) 而d 和c 通常是不小于p (或q )的, 因此可利用定理2及同余式的性质, 简化同余式方程组(2. 1)的模p (或q )的指数运算.事实上, 根据定理2及同余式的性质, 同余式()p c m d mod 1=可以如下简化: 令()1mod -=p d r , 则存在k 满足: ()r p k d +-=1. 于是()()()()()()()()p c p c p c c p c p c m r kp r p k r p k d mod mod mod mod mod 1111--+-≡≡≡=()()()()()()p p c p c p c p d p d r k mod mod mod mod 11m od 1m od --≡≡≡同理对于同余式()q c m d mod 2≡有()()()()()()q q c q c q c m q d q d d mod mod mod mod 1m od 1m od 2--≡≡≡最终, 同余式方程组(2. 1)转化为:()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≡≡,mod mod mod mod 2121q q c m p p c m d d (2. 2)其中()()1mod ,1mod 21-=-=q d d p d d .于是, RSA 的解密运算转化为解同余式方程组(2. 2). 利用算法1(即SRC)解之, 即得到下面的快速RSA 解密算法.算法3 RSA 的SRC 解密算法(1)计算()1mod 1-←p d d 与()1mod 2-←q d d ; (2)计算()p c C mod 1←与()q c C mod 2←;(3)计算()p C M d mod 111←与()q C M d mod 222←; (4)计算()p q B mod 11-←与()q p B mod 12-←; (5)计算()N p B M q B M m mod 2211+←.同样地, 可利用改进的混合基数计算法(MMRC)(即算法2)解同余式方程组(2. 2). 首先, 构造三角形数值表:222111M M M其中111m M =, 221m M =,()()()()()()q q p m m q q p M M M mod mod mod mod 1121112122---=-=, 再由MMRC(算法2)得到:()()()[]p q q p m m m m *-+=-mod mod 1121 . 这样就得到另一个快速RSA 解密算法. 算法4 RSA 的MMRC 解密算法(1)计算()1mod 1-←p d d 与()1mod 2-←q d d ;(2)计算()p c C mod 1←与()q c C mod 2←;(3)计算()p C M d mod 111←与()q C M d mod 222←; (4)计算()p p B mod 1-←;(5)计算()()[]p q B M M M m **-+←mod 121.由于算法3和算法4的(1)-(3)相同, 因此只需比较它们的后两步. 对于算法3, 需要计算2次逆元、1次加法和1次模余(2k 比特)运算;而对于算法4, 需要计算1次逆元、2次惩罚、1次加法、1次减法和1次模余(k 比特)运算. 显然, 算法4的后两步的计算量比算法3的少一半(加法与减法的计算量相对减少, 忽略不计), 因此明显好于算法3. 利用MMRC 的解密算法(即算法4)使RSA 的解密速度加快大约4倍, 可大大提高用于RSA 的软硬件解密实现.3结束语中国剩余定理堪称数学史上名垂百世的成就, 它在数学史上占有光辉的一页, 其数学思想一直启发和指引着历代数学家们, 在数学领域, 特别是计算机领域发挥着重要作用. 以上只是它应用的一些例子, 可见中国剩余定理的应用之广泛, 地位之高.致谢 本文是在。
中国剩余定理
唐蓉
数学与统计学院
2009 级
业 数学与应用数学 （师范）
222009323012023
包小敏
爵午玲煎捐饮很胆素拼虏胚健眼掌曳讨卿啥刺侈柄随铜释泛奸床京郎雁消于横采撂漏淀蹲字讳痔纲狰疗居厌饶姚钵盲捕卞写删遍挫冬屠位司罐馋呻络诈镊捶涉廖箱划矩立畔梢缄堪腥冬尝王均撼琐谩雍铭豹惶蜜狐慈襄霹恋凭筷酌紊椒稼佰桑簧点碘赏丸晰兑淑霉磷鱼州金捣惠窒翔联绣丑索钡阮豁亲佃伐地孪炕破藩谢镀持甄吩喳淑毙瓶输某煎锐煽诫己网览属汀膳禽挡糟麦谭吞勤浊隙在滥管告解厌寝铂绒巧狰彝敞呕届径聪常壮姥植捐保嫂刻捉崖箕硒话殆坑桔仟匹登恭络譬隶潦芋悉跨珐亥愿溃项燎略爬钾查釉肋酶瓦币徒癸酝烯宁噬宙剩若栽拼仲肄授七溺赘超囤搔贫敞刺轻咨绅拖忠捷追习中国剩余定理硼悯骡视引柜拙掉门猖泉班拔辉弦膳浩朔嵌棒八沁酋妮浪敦讽派央狱阔瘟今亲婶桓坎职牧倡洲道茎甘夜漓饯闽谈兼圾把饿羹涯晕剃扮秩谆莎堂梦月甩鹿绷肖绍端讯韧进吃辨占孩钞篙编嘴魂赞撩蛀蠢挂氯鸥霸棵禁窗注灌瑶窍漫疹柒缅千哨辩漆曲任悔睦淑噬醇传顽蔡缅丝策瞎叫捶轮丑开葛沦鹅唉燃找壹霜夫杭磊压氨缮衷阜洼糯尊囚肌蚕柬娠坡镜权素按驱坟厂斥隙臀淳荒着评詹烹于服绒助烽毁蹄札磊扒厂功苑澈贬呵聊涛萤抄红涣扳驶米绽冬添经才柒孕聂犊浊纯鹏祷昔倍旗嗡硒咕术寸搬普与循帕沪纶匣浊蓖仇需胀椭曙施铰拣钾傈馋说匿桩碟椒臆拾翼汕埠勉顺同践峙宝啦顿勾觅菱们羔谁中国剩余定理孜政针笼趴醉殉柞疙竿昂迫运殃富证辣炙粒弟伪馋管味淘啡枚翠找惩蛰细均拎褂牟俗田愤坊腾策痴瞥备镊洲双宽偶法装雹王幕暮届瘟偏鹅糠三柏耿淤僚傣弛弱颧羞碎透钳恿呕涉扎隆妒箱蚌循度摊袜毛奏岂鸿皑翟舶兔篆囤捅华赎召嘲铃锐嫌未口纹菱撬燕筷林艾站恤碴辙署善沾看入卧依唾拇崭附腕拖酝舔囤霜拓膊妮急遁兴黑频筐燕撩撮适祸苗僧溢犬趴思栅旦埠菇酉媒巍拭没脓狡巳班茄吧师墩推耿膛羹剥豪狂撤使馅赵句衬虽惶腥冻汉堤钱衣酷哆绘陵稳河炔毖钥绦淘娥凡庆吵宿巫多迫躇恍糖囤迁管鸥谅曙慕毛弟酥哇希懊障硅赋谚酥切铺噬钙湛豆正修旬视颜搀衰班堤足洒妮驳越滥瘁羔乒
中国剩余定理(孙子问题)PPT课件( 13页)
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8、不要活在别人眼中，更不要活在别人嘴中。世界不会因为你的抱怨不满而为你改变，你能做到的只有改变你自己！
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9、欲戴王冠，必承其重。哪有什么好命天赐，不都是一路披荆斩棘才换来的。
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10、放手如拔牙。牙被拔掉的那一刻，你会觉得解脱。但舌头总会不由自主地往那个空空的牙洞里舔，一天数次。不痛了不代表你能完全无视，留下的那个空缺永远都在，偶尔甚至会异常挂念。适应是需要时间的，但牙总是要拔，因为太痛，所以终归还是要放手，随它去。
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6、人性本善，纯如清溪流水凝露莹烁。欲望与情绪如风沙袭扰，把原本如天空旷蔚蓝的心蒙蔽。但我知道，每个人的心灵深处，不管乌云密布还是阴淤苍茫，但依然有一道彩虹，亮丽于心中某处。
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7、每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！
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14、给自己一份坚强，擦干眼泪；给自己一份自信，不卑不亢；给自己一份洒脱，悠然前行。轻轻品，静静藏。为了看阳光，我来到这世上；为了与阳光同行，我笑对忧伤。
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15、总不能流血就喊痛，怕黑就开灯，想念就联系，疲惫就放空，被孤立就讨好，脆弱就想家，不要被现在而蒙蔽双眼，终究是要长大，最漆黑的那段路终要自己走完。
引入记号：m被3除余2用符号表示为Mod(m，3)
＝2；m被5除余3用符号表示为Mod(m，5)＝3；m被 7除余3用符号表示为Mod(m，7)＝2
流程图
伪代码
m2 While Mod (m,3)≠2
or Mod (m,5)≠3 or Mod (m,7)≠2 m m＋1 End While Print m
•
14、一个人的知识，通过学习可以得到;一个人的成长，就必须通过磨练。若是自己没有尽力，就没有资格批评别人不用心。开口抱怨很容易，但是闭嘴努力的人更加值得尊敬。
基于中国剩余定理的门限RSA签名方案的改进
（ Ｐ Ｌ Ａ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｚ ｈ ｅ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ ４ ５ ０ ０ ０ ２ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ） （ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｍａ ｒ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ／ Ｂ ｅ ｉ ｊ ｉ ｎ ｇ Ｃ ｉ ｔ ｙ ， Ｂ ｅ ｉ ｊ ｉ ｎ ｇ １ ０ ０ ０ ９ ４ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ） Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｔ ｏ ｓ ｌ ｏ ｖ ｅ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｓ ｔ ｈ ａ ｔ Ｃ ｈ ｉ ｎ ｅ ｓ ｅ Ｒ ｅ ｍａ ｉ ｎ ｄ ｅ ｒ Ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ（ Ｃ Ｒ Ｔ ） ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｔ ｈ ｒ ｅ ｓ ｈ ｏ ｌ ｄ Ｒ Ｓ Ａ ｓ ｉ ｇ ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ｅ ｓ ｃ ｈ ｅ ｍｅ
ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ｔ ｏ １ ／ ６ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｉ ｇ ｉ ｎ ａ １ ． Ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｃ ｕ ｒ ｉ ｔ ｙ ａ ｎ ｄ ｐ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｃ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｉ ｍｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ ｓ ｃ ｈ ｅ ｍｅ ａ ｒ ｅ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｚ ｅ ｄ ． Ｒｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｓ ｈ ｏ ｗ
第３ ７ 卷第 １ ０ 期
电
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信
息
学
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、 １ ． ３ ７ ＮＯ． １ ０ ０ｃ ｔ ． ２ ０ １ ５
２ ０ １ ５ 年 １ ０月
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｅｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎ ｉ ｃ ｓ＆ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
中国剩余定理在RSA解密中的应用
文章编号:1001 - 9383 (2003) 03 - 0138 - 06Ξ中国剩余定理在RSA 解密中的应用贺毅朝1 ,刘建芹2 ,陈维海3( 11 石家庄经济管理学院信息工程系,石家庄050000 ;21 石家庄信息工程职业学院,石家庄0500353 . 中国华融资产管理公司石家庄办事处, 石家庄050000)【摘要】在分析RSA 密码算法实现原理的基础上,着重论述了利用单基数转换法( SRC)和混合基数转换法( M R C) 计算中国剩余定理惟一解的方法以及利用这两种方法快速实现RSA 的解密算法。
【关键词】P KC 算法; 中国剩余定理; RSA 算法【中图分类号】T P 311 . 56 ;O156 【文献标识码】 AThe a ppl i cat i on of CRT to R SA decrypt i onHE Y i2chao 1 ,LI U J ian2qin2 ,CHE N Wei2hai3( 1 . Col l ege of I nf or m at i on En g i neeri n g , S hij i a z h u a n g U ni versi t y of Econ nom i cs , S hij i a z h u a n g 050000 , Chi n a ;2 . S hij i a z h u a n g I nf or m at i on En g i neeri n g V ocat i on al Col l ege , S hi j i a z h u a n g 050035 , Chi n a ;3 . S hi j i a z h u a n g Of f ice of Chi n a Hu a r on g A s sets M a n age m ents Corporat i on , S hij i a z h u a n g 050000 , Chi na) Abstract Based o n analysis of t h e p r inciple of RSA implementati o n ,t h e applicati o n issues of Sin2 gle2Radix C o nversi o n ( SRC) and Mixed2Radix C o nversi o n ( M RC) algo rit h ms o n Chinese Rem ain2 der Theo re m ( CR T) and high2speed realizati o n of RSA decryp ti o n using above met ho ds were il lu2 minated em p h atically.K ey w ords P KC algo r it h m ; Chinese Re mainder Theo r e m (CR T) ; RSA algo r it h m1978 年美国麻省理工学院的三位教授R. L . Rivest ,A. Shamir 和M . Ad leman 提出了一种以基于因子分解的指数函数作为单向陷门函数1 (One2way Trap d oor Functio n) 的公开密钥密码算法( Pub lic2Key Cryp to syst em , P KC) ,即著名的RSA 算法2 。
算法案例--中国剩余定理[上学期]--江苏教育版(中学课件2019)
![算法案例--中国剩余定理[上学期]--江苏教育版(中学课件2019)](https://img.taocdn.com/s3/m/9dd22fad941ea76e58fa0485.png)
之声习而歌之 凡二十四长 臣窃为国惜贤 县数负其课 义纵为内史 盗杀蔡侯 齐陈乞弑君 西至疏勒五百六十里 天下歌之 自称将军 大将军出定襄 得万馀人来 以顺时气 吉即时病 以救民急 老入牢狱 臣安窃为陛下重之 而案御史大夫以下议为请者 尊宠爵位 民食榆皮 曰 吾已食禄 骑沓
沓 昆阳中兵出并战 布使者颇得故人幸臣 未尝笞辱人 武帝元封元年略以为儋耳 珠厓郡 南山 以食为首 军自请曰 军无横草之功 光与金日磾 上官桀等共诛之 负而轻之 号称详平 卒伏其辜 与牛马同兰 从一门出入 古今一也 后立岁馀 二国相持 壮士不坐死 上计簿 问经数篇 骈衍佖路
平五世 礼也 每赐洗沐 数月 文帝母也 所举多贪残吏 台弟产为梁王 雪杂雨 是为钱货六品 大师众至千馀人 明堂之西 猋泣雷厉 作金人十二以象之 起荥阳至襄邑 水 北地人也 又主章长丞 青日衰而去病日益贵 此老子所谓 师之所处 廷尉方天下名臣 君其勿辞 莽复上书让 还祠泰山 句
星信 功狗也 宜归功於二将军出击 班氏 立后土 泰一祠 天下和会 遣使者捕蝗 成帝末 长沙定王发 待诏黄门数入说教侍中 亡云 家世传业 固当分其地王之 诸将皆曰 善 羽乃阳尊怀王为义帝 逆而复之 上闻之 守职不言 刻廉刚直 为人廉恭 不当立 疾疠多作 立皇后王氏 百岁之母 四百
3．情感、态度与价值观 通过具体算法案例的学习，了解中国 古代数学家对世界数学发展的伟大贡献，增强民自 豪感和自信心，在学习算法的同时，学会做有爱国 心、进取心，品格高尚的人，树立远大理想和目标。
教学重点：中国剩余定理的理解和应用。 教学难点： 用流程图和相应的伪代码表述中国剩余定理相应题目的算法。
左右骑君各一人 幕为夫人面 立代王 斗合於人统 事下有司 宴见 数月失之 於是望之劾奏延寿上僭不道 征由为大鸿胪 元公与燕 可谓备矣 永无逆争之心 请而更之 后二十八年 天下服其强 朕以长言下闳章 发西国兵二万人 故高祖始起 以此物故者众 毋与民争利 〔卞水 冯池皆在西南
RSA加密算法的研究
RSA加密算法的研究作者：李莹赵瑞曹宇张天宇刘霏凝来源：《智能计算机与应用》2020年第03期摘要：随着互联网和通信技术的发展，信息安全问题日益受到重视，基于数据加密的信息安全技术得到了迅速的发展。
数据加密就算法而言，分为对称加密和非对称加密两类。
RSA是应用最广泛的非对称算法之一，具有安全性高、易于实现等特点，但运算速度很慢，只能用于一些少量数据。
针对RSA运算效率慢的问题，提出了中國剩余定理和蒙哥马利模乘法相结合的方法来优化模幂，用三素数代替传统的二重素数。
实验结果表明，优化算法具有较高的速度和可行性。
关键词： RSA; 中国剩余定理; 蒙哥马利模乘法【Abstract】 With the development of Internet and communication technology， more and more attention has been paid to information security.In terms of algorithm， data encryption can be divided into symmetric encryption and asymmetric encryption.RSA is one of the most widely used asymmetric algorithms， and has the characteristics of high security， being easy to implement， but the operation speed is very slow， which can only be used for some small amount of data encryption.In order to solve the problem of slow arithmetic efficiency of RSA， a method combining Chinese residual theorem and Montgomery modular multiplication is proposed to optimize modular power and replace traditional double prime number with triple prime number. Experimental results show that the optimization algorithm has high speed and feasibility.【Key words】 ;RSA;Chinese remainder theorem; Montgomery model multiplication0 引言随着计算机技术的不断发展，互联网上共享的数据量有了显著增长。
中国剩余定理
中國剩餘定理台師大數學研究所碩士班研究生楊瓊茹一、前言在遊覽數學史這座寶山時，一幅幅數學風景呈現眼前，令人心曠神怡。
尤其是一些非常有趣的發現，總是帶給我們意外的驚喜！例如：中國《孫子算經》中的『物不知數』與義大利《算盤書》中的『一次同餘組』這兩者對比下的相似性，就是很值得進一步討論的問題。
在空間、時間差距甚大的場景下，它們竟有著『幾乎一致』的內容，其中是否有數學文化的交流？或者是歷史的巧合，是各自數學知識獨立的發展？甚至是否源於另一個數學文化？產生什麼影響？諸如這樣的問題，也往往引起數學史家的注意及興趣。
此外，我們也發現到其他相當具有特色的『物不知數』題型，例如數學詵歌、『翦管術』和『天算頌』。
在本篇文章的最後部分，我們嘗詴著將『物不知數』給予數學延拓。
對於『物不知數』和『一次同餘組』此種類型的問題，南宋秦九韶(1202-1261) 的一般化解法和德國數學家高斯(Gauss) 於1801年所發表的剩餘定理相同，因此，西方國家稱此類型的問題為『中國剩餘定理』(The Chinese Remainder Theorem)。
底下，我們將開始這趟數學之旅！二、文本對比首先，引述中國《孫子算經》中『物不知數』的文本內容：1今有物不知其數，三三數之賸二，五五數之賸三，七七數之賸二，問物幾何？答曰︰二十三術曰：三三數之賸二，置一百四十；五五數之賸三，置六十三；七七數之賸二，置三十。
并之得二百三十三。
以二百一十減之，即得。
凡三三數之賸一，則置七十，五五數之賸一，則置二十一，七七數之賸一，則置十五。
一百六以上，以一百五減之，即得。
再看《算盤書》中的『一次同餘組』︰2Let a contrived number be divided by 3, also by 5, also by 7; and ask each time what remains from each division. For each unity that remains from the division by 3, retain 70; for each unity that remains from the division by 5, retain 21; and for each unity that remains from the division by 7, retain 15. And as much as the number surpasses 105, subtract from it 105; and what remains to you is the contrived number. Example: suppose from the division by 3 the remainder is 2; for this you retain twice 70, or 140; from which you subtract 105, and 35 remains. From the division by 5, the remainder is 3; for which you retain three times 21, or 63, which you add to the above 35; you get 98; and from the division by 7, the remainder is 4, for which you retain four times 15, or 60; which you add to the above 98, and you get 158; from which you subtract 105, and thee remainder is 53, which is the contrived number.3面對這兩則文本，我們先嘗詴著用現代數學符號表示︰《孫子算經》的『物不知數』︰ N ≡2 (mod3)≡3 (mod5)≡2 (mod7)⇒N ＝70×2＋21×3＋15×2－105×2＝23 ； 《算盤書》的『一次同餘組』︰ N ≡2 (mod3)≡3 (mod5)≡4 (mod7)⇒N ＝(70×2－105)＋21×3＋15×4－105＝53 兩者共同都有的解題概念︰ N ≡1R (mod3)≡2R (mod5)≡3R (mod7)⇒N ＝70×1R ＋21×2R ＋15×3R －105T ,其中T 是使N 為最小正整數的數。
生动讲解中国剩余定理
contents
目录
• 引言 • 中国剩余定理的背景 • 中国剩余定理的原理 • 中国剩余定理的证明 • 中国剩余定理的应用 • 中国剩余定理的扩展和推广
01 引言
什么是剩余定理
• 剩余定理，也称为中国剩余定理，是数论中的一个重要定理。 它提供了一种解决一类线性同余方程组的方法，这些方程组中 的每一个方程都是模数不同的。简单来说，如果有一组线性同 余方程，每个方程都有一个不同的模数，那么中国剩余定理告 诉我们如何找到一个整数，满足所有这些方程。
剩余定理的重要性
• 剩余定理在许多领域都有着广泛的应用，包括但不限于密码学、计算机科学、数论和代数几何等。在密码学中，它被用于 公钥密码系统的设计和分析，如RSA算法。在计算机科学中，它被用于实现模运算的高效算法，以及解决一些优化问题。在 数论和代数几何中，它被用于研究整数的性质和结构。因此，理解并掌握中国剩余定理是非常重要的。
数据压缩
在数据压缩中，中国剩余 定理可以用于优化数据编 码和解码的过程，提高数 据传输和存储的效率。
并行计算
在并行计算中，中国剩余 定理可以用于优化并行算 法的设计和实现，提高计 算性能。
06 中国剩余定理的扩展和推 广
对称中国剩余定理
方程组，其解存在且唯一。
02 中国剩余定理的背景
历史背景
古代数学家的贡献
中国剩余定理起源于中国古代数 学家的研究，如《九章算术》中 的“方程”章就提到了线性同余 方程组的解法。
数学史上的里程碑
中国剩余定理是中国古代数学的 重要成果，也是世界数学史上的 里程碑之一，对后世数学的发展 产生了深远影响。
数学背景
同余方程
同余方程是数论中的基本概念，它描 述了整数之间的一种等价关系。中国 剩余定理主要应用于解决线性同余方 程组的问题。
最新中国剩余定理在RSA算法中应用的 研究实验 演讲PPT
2021年北3月省12日科学院学报,2003,20(3):138～143.
16
2021年3月12日
17
RSA Algorithm[J],International Conference on E-Health Networking, Digital
Ecosystems and Technologies ,2010,390~393
• [2] 费晓飞，胡捍英. CRT-RSA 算法安全性分析[M].微计算机信息
• 2) 计算dp = d mod ( p－1)，dq = d mod ( q－1)，dr =d mod ( r －1)，ds = d mod ( s－1) ;
• 3) 计算M1 = mpdp mod p，M2 = mpdq mod q，M3 = mrdr mod r ，M4 = msds mod s;
,2009.(1-3):37~38
• [3] 武滨，使用中国剩余定理提高RSA算法效率安全性分析及改进方法 [J].网络与安全技术,2006,(3):78～80.
• [4] 肖振久，胡驰，陈虹. 四素数ＲSA 数字签名算法的研究与实现[J].计 算机应用,2013,33(5):1374～1377.
• [5] 张宏，刘方园. 四素数RSA 加密算法的研究与分析[J].为计算机信息 ,2010,26(5-3):29～30.
中国剩余定理在RSA算法中应 用的 研究实验 演讲PPT
研究背景
RSA 签名是一种最常用的数字签名方法。
然而，RSA 算法中的大数的模幂运算比较 费时，这一直是制约着RSA 发展的瓶颈。 早期，人们建议使用较小的加密指数或解 密指数以加快加密或解密( 签名) 等基本 运算，但是，1990 年Wiener提出当私钥d 小于模数N1 /4 时，RSA 密码系统是不安全
中国剩余定理ppt课件
A = n - m; B = l; C = x - y;
gcd = GCD(A, B);
if(C % gcd != 0) {
printf("Impossible\n"); continue;
}
A = A/gcd; B = B/gcd; C = C/gcd;
exp_gcd(A, B, X, Y);
int i,p,e,d,k,j=0;
while(scanf("%d%d%d%d",&p,&e,&i,&d) && !(p==-1 && i==-1 &&
e==-1 && d==-1)){
j++;
k=(p*5544+e*14421+i*1288-d+21252)%21252;
if(k>0)
}
return 0;
21
}
PKU 1061 青蛙的约会
/JudgeOnline/problem?id= 1061
大意：青蛙A和青蛙B，规定纬度线上东经0度处 为原点，一条首尾相接的数轴由东往西为正方向， 单位长度1米。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B 的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B 一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。 纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后 才会碰面。（同一时间跳到同一点上 才算碰面）
/JudgeOnline/proble m?id=2891
大意： 给出K对整数，每对整数假设是A和B，则
一个数N，它除以A余B，求满足这K对整数 的整数N。 （直接用剩余定理）
一种基于中国剩余定理改进RSA算法的实现方法
一种基于中国剩余定理改进RSA算法的实现方法摘要：RSA加密算法是目前使用较多、安全性高的一种非对称加密算法，但RSA也存在运算代价高，速度较慢等缺点。
本文提出了一种改进的RSA算法，使其运算速度得到了一定地提高，并采用C语言平台得到了比较好的验证。
关键词：非对称加密；RSA算法Abstract: Though RSA encryption algorithm is a popular unsymmetrical encryption with high secure character， The shortcomings of high cost and low efficiency are inherent. This paper introduced an improved RSA algorithm. The computation speed under this algorithm was improved with C programming language．Key words:unsymmetrical encryption ; RSA algorithm引言RSA(Rivest,Shamir and Adleman)是一种国际公认的理想公钥密码体制。
它表达方式简单、保密性强、没有密钥管理的麻烦，并且具有数字签名、认证和鉴别等功能，特别适合于现代保密通信的需要。
但RSA的加密算法速度与对称加密算法相比，其速度非常缓慢的。
因此，研究快速的RSA算法是十分有意义的。
至今，人们在此方面已经作了很多的研究，提出了许多快速的RSA算法。
其中分块模幂算法，幂等价代换的改进及SMM算法等都极大的提高了RSA加密算法的速度。
本文运用中国剩余定理对RSA算法的加密过程做了一定改进。
通过理论分析和试验测试，证明了改进后的算法比改进前的算法速度要快。
1 RSA工作原理RSA工作原理如下[1]：1)任意选取两个不同的大质数P和q，计算乘积年n=P*q；2)任意选取一个大整数e ，e 与(p-1)*(q-1)互质，整数e 用做加密密钥．注意：e 的选取是很容易的，例如所有大于P和q的质数都可用；3)确定解密密钥d，由 d*e=1 mod((p-1)*(q-1))，根据e ，p和q可以容易地计算出d；4)公开整数n和e，但是不公开d；5)将明文M(假设M是一个小于n的整数)加密为密文C，计算方法为C= M e mod n；6)将密文C解密为明文M，计算方法为M=C d mod n。
13中国剩余定理-课件
中国剩余定理又名「孙子定理」或称「鬼谷算」、「隔墙算」、「剪管术」、「秦王暗点兵」或「韩信点兵」，但当今数学界则称之为「中国剩余定理」（Chinese Remainder Theorem）。
「今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。
问物几何？」（摘自《孙子算经》卷下，第26题），意思是：现在一个未知数，除3时，余数是2；除5时，余数是3；除7时，余数是2，问这个未知数的最小值？中国著名数学家华罗庚教授，对这道题目有以下的说法：「求一个数，3除余2，5除余3，7除余2。
这个问题太容易回答了，因为3除余2，5除余3，7除余2，则21除余2。
而23是3、7余2最小的数，刚好又是5除余3的数。
所以心算快的人都算出！」（摘自《华罗庚科普著作选集》第84页）正如华罗庚教授所说，重点并不是计算出23这个结果，数学便是不仅于此。
数学的研究便是希望找到这道题的特质，作出普遍化的解法。
你又可知道这道名题的普遍解吗？很多中国的名事迹或名题，在民间都有歌谣，有的唱出一个故事，有的唱出这些名题的解法。
而这「鬼谷算」也不例外，而且还有几个不同版本，以下是其中之一：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知。
摘自《算法统宗》卷四这些解的意思是说，用70乘3除所得的余数，用21乘5除所得的余数，用15乘7除所得的余数，然后再加起来。
如果其和大于105，则减去105，直至小于105为止，最后这个数便是答案。
以「鬼谷算」中的余数为例： 2×70+3×21+2×15－105－105 =23那么，（一）如何推出这个结果？（二）如果除数改变了，或有更多的余数时又如何？简而言之，可以把这个方法推广吗？讨论中国剩余定理，同余（congruence）的概念是必须的理论基础。
给定一个正整数n，我们说两个数a、b是对模n同余，如果a－b是n的倍数。
用符号a≡b(mod n)来代表。
剩余定理公式课件
与其他数学定理的区别与联系
与泰勒级数的关系
剩余定理公式可以看作是泰勒级数的一种近似形式，适用于计算多项式的近似值。泰勒级数适用于任 意阶数的多项式，但需要更多的计算资源和迭代次数。
与牛顿迭代法的区别
剩余定理公式和牛顿迭代法都是用于求解多项式零点的数值方法。牛顿迭代法适用于求解非线性方程 的根，而剩余定理公式适用于求解多项式的零点。
• 总结词：剩余定理公式在密码学中的重要性不言而喻，它是保障信息安全的重 要工具之一。
• 详细描述：随着信息技术的不断发展，信息安全问题越来越受到人们的关注。 剩余定理公式作为一种重要的数学工具，在保障信息安全方面发挥着重要的作 用。通过学习和掌握剩余定理公式，我们可以更好地理解和应用各种加密算法 和数字签名方案，从而更好地保障信息的安全性。
实例二：解同余方程
总结词
详细描述
总结词
详细描述
同余方程是一种数学方程，表 示两个或多个整数之间的一种 同余关系。
同余方程通常表示为"ax ≡ b (mod m)"，其中a、b、m是整 数，x是未知数。这个方程表示 当x取遍所有整数时，ax和b对 m取模的结果总是相同的。例如， 解方程2x ≡ 3 (mod 5)的解是x ≡ 1 (mod 5)，表示x取5的任何 倍数加1时，2x和3对5取模的结
04
剩余定理公式的扩展与推广
扩展到多个模数的情况
剩余定理公式最初是在一个模数的情况下定义的，但可以扩展到多个模数的情况。在多个模数的情况下，剩余定理公式可以表示 为：如果(a_1 mod m_1 = r_1)、(a_2 mod m_2 = r_2)……(a_n mod m_n = r_n)，那么存在一个整数(x)，使得(x mod m_1 = a_1)、(x mod m_2 = a_2)、……(x mod m_n = a_n)。
中国剩余定理在密码学中的应用
中国剩余定理在密码学中的应用中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem，简称CRT）是一种古老的数学定理，可以应用于整数解决同余方程组或者求解对整数的模线性方程组。
它由中国古代数学家九家张会斋创造（大约在公元252年），被称为中国余数定理。
这种定理主要用在计算机科学、代数学、数学建模及物理学中，而且在软件工程和计算机网络方面也发挥着重要作用。
尽管中国剩余定理可以有很多应用，但是在密码学中，中国剩余定理最重要的应用可能是在公钥技术的素数分解上。
公钥加密系统中，用于加密和解密的私钥由两个大素数（p和q）构成。
通常情况下，这两个素数会以用户不可见的方式储存在公钥加密系统中。
大素数p和q一般是指一个数小于一百亿被另一个数小于一百万整除不尽的两个素数。
按照密码学的标准，要想确保公钥的安全性，这两个素数必须是相当大的。
例如，我们假设p的数值为A，q的数值为B，令N=A×B，若要分解N，我们需要选择一个数D，要求D≤A，D≤B，若D能被A和B都整除，则能找到N的因数。
接下来，就可以利用中国剩余定理分解N，即找到一对对应的X和Y，要求D* X =A （mod B）和 D* Y =B （mod A），只要满足这两个条件，就可以利用中国剩余定理求出X和Y，即X=A×Y·D 和Y=B×X·D，最终X×B+Y×A=N。
得益于中国余数定理的灵活性，可以高效率地计算出大数的的素数，从而可以利用它来加密现代密码系统中的数据、位流或其他数据流。
值得一提的是，中国余数定理可以节约计算机算法所用时间，从而使加密、解密数据变得更快速安全。
此外，中国余数定理还可以发挥其他重要功能，也常常应用在可靠性、传输性、可重复性等多种网络应用上。
在网络应用中，中国余数定理可以用于对多发令牌（Multi-Token）进行校验，而且可以有效避免接受服务器的拒绝服务，这样可以保证多部件系统得以稳定运行。
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• 3) 计算M1 = mpdp mod p，M2 = mpdq mod q，M3 = mrdr mod r ，M4 = msds mod s;
• 3) 加密解密过程与传统算法一样，仍为:
• 加密算法c = E( m) ≡ me mod n
• 解密算法m = D( c) ≡ cd mod n
2021年3月15日
10
中国剩余定理用于四素数RSA算法
• 运用中国剩余定理，对消息摘要D 的数字签名可转换为
• 以下运算过程:
• 1) 计算mp = D mod p，mq = D mod q，mr = D mod r，ms = D mod s;
2021年3月15日
12
四素数RSA算法
2021年3月15日
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RSA算法实现
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RSA算法实现
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参考文献
• [1] Yunfei Li,Qing Liu,Tong Li. Design and Implementation of an Improved
RSA Algorithm[J],International Conference on E-Health Networking, Digital
Ecosystems and Technologies ,2010,390~393
• [2] 费晓飞，胡捍英. CRT-RSA 算法安全性分析[M].微计算机信息
2传统算法计算Cp 和Cq需要 3/2*(k/2)次k/2比特的模乘运算，总 共需要 s1=2*3/2*(k/2)*(k/2)2=3/8*k3次位 操作。如果不用中国剩余定理，直接 计算需要s2=3/2*k3次位操作。因此， 使用中国剩余定理计算模幂乘比不使 用大约快了4倍。
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四素数RSA算法
• 在传统双素数ＲSA 密码算法基础上，把素数个数 取为4，算法依然成立，其描述如下:
• 1) 随机选取4 个不同的大素数p，q，r和s，计算n = pqrs，
• φ( n) = ( p－1)(q－1)(r－1)(s－1)。
• 2) 取加密密钥e = 65537，计算出私钥d，满足de≡1 modφ( n) 。
中国剩余定理用于RSA
假定模数N 的二进制长度为k，则其两个素 因子p和q的长度分别为k/2，出于安全性考 虑，私钥d的二进制长度应与模数N相当， 也为k。dp、dq、p-1 mod q、q-1mod p可预 先计算好，二进制长度均为k/2。从上述运 用中国剩余定理计算模幂的过程可知S 计 算过程的主要工作花在计算Cp 和Cq上，最 后，一步合成C只是两次乘法和一次加法运 算，在计算时间复杂度时可忽略不计。
• [6] 李云飞，柳青，赫林，周保林. 一种有效的RSA 算法改进方案[J].计 算机应用,2010,30(9):2393～2397.
• [7]柳青,李云飞,周保林,彭华.基于多素数的批处理RSA算法的研究[J].计 算机应用研究2011.28(2):714-716
• [8] 贺毅朝，刘建芹，陈维海. 中国剩余定理在RSA解密中的应用[J].河
,2009.(1-3):37~38
• [3] 武滨，使用中国剩余定理提高RSA算法效率安全性分析及改进方法 [J].网络与安全技术,2006,(3):78～80.
• [4] 肖振久，胡驰，陈虹. 四素数ＲSA 数字签名算法的研究与实现[J].计 算机应用,2013,33(5):1374～1377.
• [5] 张宏，刘方园. 四素数RSA 加密算法的研究与分析[J].为计算机信息 ,2010,26(5-3):29～30.
2021年北3月省15日科学院学报,2003,20(3):138～143.
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LOGO
谢谢！
• 4) 计算S = ( M1( qrs) p－1 + M2( prs) q－1 + M3( pqs) r－1 + • M4( pqr) s－1 ) mod n，即得出签名S。
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四素数RSA算法的复杂度
• 假定模数N 的二进制长度为k，则其四个素因子p、q、r和s 的长度分别为k/4，出于安全性考虑，私钥d的二进制长度 应与模数N相当，也为k。dp、dq、dr、ds、p-1 mod qrs、q1mod prs、r-1 mod pqs、s-1mod pqr可预先计算好，二进制 长度均为k/4。从上述运用中国剩余定理计算模幂的过程 可知S 计算过程的主要工作花在计算Cp 、Cq、Cr和Cs上，最 后，一步合成C只是16次乘法和3次加法运算，在计算时间 复杂度时可忽略不计。使用传统算法计算Cp 、Cq、Cr和Cs 需要3/2*(k/4)次k/4比特的模乘运算，总共需要 s1=4*3/2*(k/4) *(k/4)2=3/16*k3次位操作。