2021届河北省衡水中学高考数学三模试卷(含答案解析)
河北省衡水市2021届新高考数学三模试卷含解析
河北省衡水市2021届新高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，则a 的值为（ ）A ．3B ．－3C ．2D ．－2【答案】A【解析】【分析】求出2()62f x x ax '=-，对a 分类讨论，求出(0,)+∞单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.【详解】2()626()3a f x x ax x x '=-=-， 若0a ≤，(0,),()0x f x '∈+∞>，()f x 在()0,∞+单调递增，且(0)10=>f ，()f x 在()0,∞+不存在零点；若0a >，(0,),()0,(0,),()03a x f x x f x ''∈<∈+∞>， ()3221f x x ax =-+在()0,∞+内有且只有一个零点，31()10,3327a f a a =-+=∴=. 故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.2．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（ ）A ．8B ．16C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据题意画出几何关系，由四边形1122A B A B 的内切圆面积求得半径，结合四边形1122A B A B 面积关系求得c 与ab 等量关系，再根据基本不等式求得c 的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.【详解】根据题意，画出几何关系如下图所示：设四边形1122A B A B 的内切圆半径为r ，双曲线半焦距为c ， 则21,,OA a OB b == 所以2221A B a b c =+=，四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则218r ππ=，解得32OC r == 则112212122111422A B A B S A A B B A B OC =⋅⋅=⨯⋅⋅四边形， 即112243222a b c ⋅⋅=⨯⋅⋅故由基本不等式可得2222323262a b c +=≤=，即62c ≥， 当且仅当a b =时等号成立. 故焦距的最小值为122故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题. 3．设全集()(){}130U x Z x x =∈+-≤，集合{}0,1,2A =，则U C A ＝( )A ．{}1,3-B ．{}1,0-C ．{}0,3D ．{}1,0,3- 【答案】A【解析】先求得全集包含的元素，由此求得集合A 的补集.【详解】由()()130x x +-≤解得13x -≤≤，故{}1,0,1,2,3U =-，所以{}1,3U C A =-，故选A.【点睛】本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.4．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+ 【答案】A【解析】【分析】结合复数的除法运算和模长公式求解即可【详解】∵复数1z i =+，∴|2|z =，()2212z i i =+=，则22||22(1)221211(1)(1)z i z i i i i i z i i i -+=+=+=-+=+++-， 故选：A.【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算，属于基础题5．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．【答案】A详解：由题意知，题干中所给的是榫头，是凸出的几何体，求得是卯眼的俯视图，卯眼是凹进去的，即俯视图中应有一不可见的长方形，且俯视图应为对称图形 故俯视图为故选A.点睛：本题主要考查空间几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题。
河北省衡水中学2021届高三数学下学期三模试题 理(含解析)
河北省衡水中学2021届高三数学下学期三模试题 理（含解析）第Ⅰ卷一、选择题1.设集合{}3A x x =<，{}2,B x x k k ==∈Z ，则A B =（ ）A. {}0,2B. {}2,2-C.2,0,2D.{}2,1,0,1,2--【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A ，利用交集的定义可得出集合A B .【详解】{}{}333A x x x x =<=-<<，{}2,B x x k k ==∈Z ，因此，{}2,0,2A B =-.故选：C.【点睛】本题考查交集的计算，涉及了绝对值不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 2.若复数z 满足1z i i ⋅=-+，则z 的共轭复数z -在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】先根据1z i i ⋅=-+求出z ，再求出z -，即得z -在复平面内对应的点所在的象限.【详解】由1z i i ⋅=-+得21(1)1,1i i iz i z i i i --+-+===+∴=-. 所以z -对应的点为(1,1)-，在第四象限. 故选：D.【点睛】本题主要考查复数的除法运算，考查共轭复数的概念和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.设实数x ，y 满足条件202300x y x y x y +-≤⎧⎪-+>⎨⎪-≤⎩则1x y ++的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】作出不等式组对应的可行域，如图所示，由++1z x y =可得1y x z =-+-， 将直线l ：1y x z =-+-进行平移， 当l 与AB 重合时，目标函数z 达到最大值， 因为AB 过点（0，2）； ∴z max ＝0+2+1＝3． 故选：C ．【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．4.平面向量a 与b 的夹角为60︒，()2,0,1a b ==，则2a b +等于( ) A. 2 B. 3 C. 1210【解析】因为||2,||1a b ==，a 与b 的夹角为60︒，故||||cos 601a b a b ⋅=⋅=，则244423a b +=++=，应选答案B ．5.如图，是函数()f x 的部分图象，则()f x 的解析式可能是（ ）A. ()|sin cos |f x x x =+B. 22()sin cos f x x x =+ C. ()|sin ||cos |f x x x =+ D. ()sin ||cos ||f x x x =+【答案】B 【解析】 【分析】由图像的对称性和单调性逐个判断即可.【详解】解：由图像可知，函数图像关于y 轴对称，所以()f x 应为偶函数，所以排除A ； 由图像可知函数值能取到小于0的值，所以排除C ； 对于当(0,1)x ∈时，()sin cos 2)4f x x x x π=+=+，而当 (0,)4x π∈时， ()(,)442x πππ+∈，而正弦的函数图像可知D 不正确，故选：B【点睛】此题考查函数图像的识别，利用函数的奇偶性，增减性，或取特殊值进行识别，属于中档题.6.已知二项式121(2)n x x+展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ） A. 240 B. 120C. 48D. 36【答案】A【分析】由题意结合二项式系数和的性质可得264n =即6n =，写出二项式展开式的通项公式3362162r rr rT C x--+=⋅⋅，令3302r -=即可得解. 【详解】由题意264n=，解得6n =，则1162211(2)(2)n x x x x+=+，则二项式1621(2)x x +的展开式的通项公式为6133622166122rrr r r r r T C x C x x ---+⎛⎫⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 令3302r -=即2r ，则6426622240rr C C -⋅=⋅=.故选：A.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.7.祖冲之是中国南北朝时期的数学家和天文学家，他在数学方面的突出贡献是将圆周率的精确度计算到小数点后第7位，也就是3.1415926和3.1415927之间，这一成就比欧洲早了1000多年，我校“爱数学”社团的同学，在祖冲之研究圆周率的方法启发下，自制了一套计算圆周率的数学实验模型.该模型三视图如图所示，模型内置一个与其各个面都相切的球，该模型及其内球在同一方向有开口装置.实验的时候，同学们随机往模型中投掷大小相等，形状相同的玻璃球，通过计算落在球内的玻璃球数量，来估算圆周率的近似值.已知某次实验中，某同学一次投掷了1000个玻璃球，请你根据祖冲之的圆周率精确度（取小数点后三位）估算落在球内的玻璃球数量（ ）A. 297B. 302C. 307D. 312【答案】B【分析】先求出正四面体的体积1V 与内切球的体积2V ，设落在球内的玻璃球数量为x ，由几何概型的概率计算公式，得到211000V x V =即可解决. 【详解】由三视图知，该模型是一个棱长为502a =的正四面体及其内切球， 正四面体体积222311332()34312V a a a a =⨯⨯⨯-=⨯，过球心及正四面体顶点作截面，如图所示，易知BOD BEC ∆~∆，所以r BD EC BE =，即3622r a a=612r a = 所以内切球体积243V π=⨯36)， 设落在球内的玻璃球数量为x ，则211000V xV =，即31000x = 近似计算得302x ≈. 故选：B.【点睛】本题考查几何概型的概率模型与三视图的综合应用，涉及到正四面体的体积与内切球的体积问题，是一道中档题.8.设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0>ω，||ϕπ<.若5()28f π=，()08f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则A. 23ω=，12πϕ= B. 23ω=，12ϕ11π=- C. 13ω=，24ϕ11π=- D. 13ω=，724πϕ=【答案】A 【解析】由题意125282118k k ωππϕπωπϕπ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，其中12,k k Z ∈，所以2142(2)33k k ω=--，又22T ππω=>，所以01ω<<，所以23ω=，11212k ϕ=π+π，由ϕπ<得12πϕ=，故选A ． 【考点】求三角函数的解析式【名师点睛】有关sin()y A x ωϕ=+问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般先根据图象的最高点或最低点确定A ，再根据周期或12周期或14周期求出ω，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的ϕ值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求ω或ϕ的值或最值或范围等.9.甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖．在比赛结果揭晓之前，四人的猜测如下表，其中“√”表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“〇”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是（ ）A. 乙丁B. 乙丙C. 丙丁D. 甲丁【答案】A【解析】【分析】根据甲、乙、丙对丁的猜测可得丁获奖，而且丁的猜测是错误的，根据甲、丙对甲、乙的猜测，必有1人错误，可得乙的猜测正确，根据乙的猜测，即可得出结论.【详解】由甲、乙、丙均猜测丁获奖，丁猜测丁没有获奖，故丁的猜测错误，否则有三人猜测错误，所以丁获奖，再由甲、丙对对甲、乙猜测结果，因此甲、丙一人猜测正确，另一人猜测错误，所以乙猜测正确，则甲不获奖，甲猜测错误，故乙、丙猜测正确，即乙、丁获奖.故选：A【点睛】本题考查逻辑思维和推理能力，通过猜测结果找出矛盾关系是解题的关键，属于基础题.10.已知椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>的左、右焦点分别为1F，2F．2F也是抛物线()2:20E y px p=>的焦点，点A为C与E的一个交点，且直线1AF的倾斜角为45︒，则C 的离心率为（）1- C. 3-1【答案】B【解析】【分析】先根据椭圆和抛物线的性质得到2p c=，再由直线与椭圆方程联立求出点A坐标，求出1AF和2AF，根据椭圆定义得到关于a和c的方程，进而求出离心率cea=.【详解】由题意可知，2pc=，则2p c=.所以2:4E y cx=.因为()1,0F c-，直线1AF的倾斜角为45︒，所以直线1AF 的方程为：y x c =+.由24y x c y cx =+⎧⎨=⎩得2x cy c=⎧⎨=⎩，所以(),2A c c .因为()2,0F c ，所以212AF F F ⊥.在21Rt AF F △中，22AF c =，1AF =.由椭圆的定义得：122AF AF a +=，即22c a +=，解得：1ca=. 故选：B .【点睛】本题考查椭圆定义、抛物线定义、直线与抛物线的位置关系和离心率，属于基础题. 11.已知0a <，不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >都成立，则实数a 的最小值为（ ） A. 2e - B. e -C. e 2-D. 1e-【答案】B 【解析】 【分析】首先不等式变形为ln ln ax a xxe x e --≥⋅，()xf x xe=()1x >，不等式等价于()()ln a f x f x -≥，然后利用函数的单调性可得ln x a x ≥-对任意1x >恒成立，再利用参变分离ln x a x ⎛⎫-≤⎪⎝⎭恒成立，转化为求函数的最小值. 【详解】不等式变形为()ln xaxe xa x -≥- ，即ln ln ax a x xe x e --≥⋅，设()xf x xe =()1x >，则不等式1ln 0a x x e a x +⋅+≥对任意的实数1x >恒成立， 等价于()()ln af x f x-≥对任意1x >恒成立，()()10x f x x e '=+>，则()f x 在()1,+∞上单调递增，ln a x x -∴≥ ，即ln x a x ≥-对任意1x >恒成立，ln x a x ⎛⎫∴-≤ ⎪⎝⎭恒成立，即min ln x a x ⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭， 令()ln x g x x= ，则()()2ln 1ln x g x x -'= ()1x >，当1x e <<时，()0g x '<，()g x 在()1,e 上单调递减， 当x e >时，()0g x '> ，()g x 在(),e +∞上单调递增，x e ∴=时，()g x 取得最小值()g e e = ，a e ∴-≤ ，即a e ≥-，a ∴的最小值是e -.故选：B【点睛】本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形ln ln ax a x xe x e --≥⋅，并能构造函数并转化为()()ln a f x f x -≥对任意1x >恒成立,属于难题.12.已知正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为27π，1A DB △与11A DC △的重心分别为E ，F ，球O 与该正方体的各条棱都相切，则球O 被EF 所在直线截的弦长为（ ）A.2B.C.【答案】D 【解析】 【分析】由题意可求得正方体棱长为3，则球O的半径2r =，以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得111,,,(1,0,1)222OE EF →→⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，进而可得点O 到直线EF 的距离d =，根据公式可得弦长【详解】设正方体的边长为a ，则2427ππ⎫=⎪⎪⎝⎭，即正方体棱长为3a =，.球O 的球心为正方体的中心，以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则A （3，0，0），1303A （，，），B （3，3，0），()1033C ，，，D （0，0，0），333(2,1,1),(1,1,2),,,222E F O⎛⎫∴ ⎪⎝⎭ 111,,,,(1,0,1)222OE EF →→⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，∴点O 到直线EF 的距离221||2||OE EF d OE EF →→→→⎛⎫⋅ ⎪=-= ⎪⎝⎭，又球O 的半径为1329922r =+=， 因此正方体外接球被EF 所在直线截的弦长为2222321221722r d ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了正方体的几何性质，正方体和球的关系以及垂径定理，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题.第Ⅱ卷二、填空题13.已知双曲线的一个焦点与抛物线28y x =的焦点F 重合，抛物线的准线与双曲线交于A ，B 两点，且OAB 的面积为6（O 为原点），则双曲线的标准方程为______． 【答案】2213y x -=【解析】 【分析】求出抛物线焦点坐标即得椭圆焦点坐标，可得224a b +=，由OAB 的面积为6可得23b a =，联立两式求得,a b 的值，从而可得结果.【详解】解:28y x =,22p∴=, 即28y x =焦点为(2,0)，即22221x y a b-=的焦点为(2,0)， 224a b ∴+=,①又OAB 的面积为6，x c =-时，222,,,,b b b y A c B c a a a ⎛⎫⎛⎫=±∴--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，212262AOBb Sa=⨯⨯=,得23b a =，② 由①②得，2213a b ⎧=⎨=⎩，双曲线的方程为2213y x -=.故答案为: 2213y x -=【点睛】本题主要考查抛物线的方程与性质以及双曲线的方程与性质，属于中档题.求解双曲线方程的题型一般步骤：（1）判断焦点位置；（2）设方程；（3）列方程组求参数；（4）得结论.14.2021年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______. 【答案】13【解析】 【分析】根据题意，由排列组合公式分析3名志愿者辅导4门学科的情况数目，再分析其中甲辅导数学的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．【详解】解：根据题意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少辅导1门学科， 每门学科由1名志愿者辅导，则必有1人辅导2门学科；则有23436636C A =⨯=种情况，若甲辅导数学，有2212323212C A C A +=种情况， 则数学学科恰好由甲辅导的概率为13， 故答案为：13． 【点睛】本题考查古典概型的概率，涉及排列组合的应用，属于基础题．15.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C ，D ，测得80CD =，135ADB ∠=︒，15BDC DCA ∠∠==︒，120ACB ∠=︒，则A ，B 两点的距离为________．【答案】805 【解析】 【分析】△ACD 中求出AC ，△ABD 中求出BC ，△ABC 中利用余弦定理可得结果. 【详解】解：由已知，△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°，∴∠DAC=15°由正弦定理得80sin1504062sin1562AC ===-，△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°， ∴∠DBC=30°，由正弦定理，CD BCsin CBD sin BDC =∠∠，所以BC ()80sin1516015406212CD sin BDC sin sin CBD⋅∠⨯︒===︒=-∠；△ABC 中，由余弦定理，AB 2＝AC 2+BC 2﹣2AC •BC •cos ∠ACB ＝()()()()0811600843160216006224362-+++⨯+⨯-⨯16001616004160020=⨯+⨯=⨯解得：AB 805=，则两目标A ，B 间的距离为805． 故答案为805．【点睛】本题主要考查了正弦、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了数形结合思想和转化思想，是中档题．16.已知圆22:4O x y +=点()2,2A ，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，点E 在直线l 上且满足2PQ QE →→=.若22248AE AP +=，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为_____________.【答案】1717---+⎝⎭【解析】 【分析】①当直线l 斜率不存在时，易求得0M x =；②当直线l 斜率存在时，设其方程为y kx m =+，利用直线与圆有交点可求得2244m k <+；将直线方程与圆方程联立得到韦达定理的形式；根据2PQ QE →→=和22248AE AP +=可整理得到12x x +，12x x ，12y y +，12y y 满足的方程，代入韦达定理的结论整理可得244m km m =-；当0m =时，知0M x =；当0m ≠时，可将M x 表示为关于k 的函数，利用对号函数的性质可求得值域，即为所求的范围；综合两类情况可得最终结果.【详解】设(),M M M x y ， ①当直线l 斜率不存在时，直线方程:0l x =，此时()0,2P -，()0,2Q ，2PQ QE →→=，()0,4E ∴，2448AE ∴=+=，241620AP =+=，满足22248AE AP +=，此时0M x =；②当直线l 斜率存在时，设其方程为：y kx m =+，l 与圆O有两个不同交点，2<，即2244m k <+()*，由224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得：()2221240k x kmx m +++-=， 设()11,P x y ，()22,Q x y ，()00,E x y则12221km x x k +=-+，212241m x x k-=+， ()1212122221my y kx m kx m k x x m k ∴+=+++=++=+， ()()()222212121212241m k y y kx m kx m k x x km x x m k -=++=+++=+. 2PQ QE →→=，()()21210202,2,x x y y x x y y ∴--=--，解得：2102103232x x x y y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 由22248AE AP +=得：()()2222212111332222224822x x y y x y --⎛⎫⎛⎫-+-+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得：()()()221212121212129924242496x x y y x x y y x x y y +++---+++=，22222242442238832111m m k m kmk k k---∴--=+++，整理得：244m km m =-，当0m =时，1202M x x x +==； 当0m ≠时，44m k =-，代入()*式得：()224444k k -<+，k <<， 212222441442111M x x km k k kx k k k +-+∴==-==-+⨯+++， 471->-，()1442121M x k k∴=-+⨯++-+，当4433k +<<时，()211y k k =+++单调递增， ∴()442121y k k=-+++-+在4433⎛ ⎝⎭上单调递减，M x ∴∈⎝⎭， 综上所述：弦PQ中点M的横坐标的取值范围为⎝⎭.故答案为：⎝⎭. 【点睛】本题考查直线与圆的综合应用问题，涉及到直线与圆位置关系的应用、向量共线的坐标表示、函数值域的求解等知识；求解本题的关键是能够结合韦达定理的形式，将所求的点的横坐标表示为关于直线斜率k 的函数关系式的形式，从而利用对号函数的性质求得函数值域；本题计算量较大，难度较高，对学生的分析和解决问题能力、运算和求解能力有较高要求. 三、解答题17.已知等差数列{}n a 的公差为d ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，等比数列{}n b 的公比为()1q q ≠，n T 是数列{}n b 的前n 项和，330a b +=，11b =，33T =，d q =-．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）是否存在正整数λ，使得关于k 的不等式()3010k S λ+≤有解？若λ存在，求出λ的值；若λ不存在，说明理由． 【答案】（1）()12n n b -=-；（2）存在，1λ=.【解析】 【分析】（1）首先根据题意得到2q =-，再求n b 即可.（2）首先求出210n a n =-，()298192024n S n n n ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭，将不等式()3010k S λ+≤有解转化为max 1030k S λ⎛⎫≤⎪+⎝⎭，即可得到答案.【详解】（1）由11b =，()23113T b q q =++=，得2q =-或1q =（舍去）∴()12n n b -=-（2）∵330a b +=，∴334a b =-=-，2d q =-=， ∴()323210n a a n n =+-=-，18a =-，∴()298192024n S n n n ⎛⎫=-=--≥- ⎪⎝⎭()3010k S λ+≤有解，即1030kS λ≤+有解，又max 10130k S ⎛⎫=⎪+⎝⎭，1λ∴=，（当1λ=时，3010k S +≤解得4k =或5）， 故存在1λ=，使得关于k 的不等式()3010k S λ+≤有解．【点睛】本题主要考查等差，等比数列的通项公式和前n 项和公式，同时考查了不等式有解，属于中档题.18.如图，在多面体ABCDP 中，ABC 是边长为4的等边三角形，PA AC =，BD CD ==PC PB ==E 为BC 的中点，平面BDC ⊥平面ABC ．（1）求证：//DE 平面PAC（2）线段BC 上是否存在一点T ，使得二面角T DA B --为直二面角？若存在，试指出点T 的位置；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，T 为线段BC 上靠近点C 的八等分点. 【解析】 【分析】（1）根据题目条件证明DE ⊥平面ACE ，从而得到DE //PA ，得出DE //平面PAC ; （2）建立空间直角坐标系，假设存在点(),0,0T λ，计算平面TDA 和平面BDA 的法向量，使法向量数量积为零，然后求解λ，根据λ的值确定点T 的位置.【详解】解：（1）因为22BD CD ==ABC 是边长为4的等边三角形， 所以((2222222216BD CD BC +=+==，所以BDC 是等腰直角三角形，90BDC ∠=︒． 又点E 为BC 的中点，所以DE BC ⊥．因为平面BDC ⊥平面ABC ，平面BDC ⋂平面ABC BC =， 所以DE ⊥平面ABC ． 因42PC PB ==，4PA AC AB ===，所以222224432PA AC PC +=+==，222224432PA AB PB +=+==， 所以PAB △与PAC 都是直角三角形， 故PA AC ⊥，PA AB ⊥． 又AC AB A ⋂=，所以PA ⊥平面ABC ， 所以DE PA ∥．因为PA ⊂平面PAC ，DE ⊄平面PAC ， 所以DE 平面PAC ．（2）连接AE ，以E 为原点，EC ，EA ，ED 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()A ，()2,0,0B -，()2,0,0C ，()0,0,2D ，设存在(),0,0T λ，使得二面角T DA B --为直二面角，易知22λ-≤≤，且0λ≠． 设平面BAD 的法向量为()1111,,n x y z =， 则由()2,0,2BD =，()0,2AD =-，得111100x z z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，令11z =，得111x x =-，13y =，故1n ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭．设平面TAD 的法向量为()2222,,n x y z =， 则由(),0,2DT λ=-，(),AT λ=-，得222220,0x z x λλ-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，令21z =，得22x λ=，23y =，故22n λ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．由1221cos ,0n n λ-+⨯+==，得12103λ-+=，故32λ=．所以当T 为线段BC 上靠近点C 的八等分点时，二面角T DA B --为直二面角．【点睛】本题为空间立体几何综合题，考查空间中线面平行的证明及根据二面角大小确定动点的位置问题，难度较大. 解决根据二面角大小求参的问题关键点在于合理设元、计算法向量，使法向量的夹角余弦值符合题目条件即可.19.如图在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为5，短轴长为4．（I ）求椭圆C 的方程；（2）若与原点距离为1的直线1:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线2l 与1l 平行，且与椭圆C 相切于点M （O ，M 位于直线1l 的两侧）．记MAB △，OAB 的面积分别为1S ，2S 若12S S λ=，求实数λ的取值范围．【答案】（1）22154x y +=；（2）)51⎡⎣． 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的几何性质得到,,a b c 关系，求解得到标准方程；（2）设2:l y kx n =+，根据12S S λ=可知，λ=又1l 与原点距离为1，即m =可把λ化简为：1nm -，根据2l 与椭圆相切，联立可得2254n k =+，由此代入化简可得2λ的范围，再进一步求解出λ的范围.【详解】（1）25a =，21c =，2224b a c =-=，所以椭圆C 的方程为22154x y +=．（2）因为原点与直线1:l y kx m =+的距离为11=，即m =，设直线2:l y kx n =+，由22154y kx nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22245105200k x knx n +++-=，因为直线2l 与椭圆C 相切，所以()()()222104455200kn kn∆=--+-=，整理得2254n k =+，因为直线1l 与直线2l之间的距离d =112S AB d =⋅，2112S AB =⋅，所以121m n S n S m m λ-====-，又2222541511n k m k k +⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，因为20k ≥，所以[)24,5n m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，又O ，M 位于直线1l 的两侧，所以m ，n 同号，所以n m⎡∈⎣，所以)11n m ⎡-∈⎣，故实数λ的取值范围为)1⎡⎣． 【点睛】本题考查椭圆几何性质、直线与椭圆的关系中求解参数范围问题，关键是构造出满足题意的函数关系式，然后通过函数求值域的方法，求解出函数的范围，从而可以推导出参数的范围.20.2021年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3千克．第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的年产量为100万件的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工．已知该生产线生产的产品的质量以某项指标值[]()70,100k k ∈为衡量标准，其产品等级划分如下表．为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，并从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图．质量指标值k 90100k ≤≤8590k ≤<8085k ≤<7580k ≤<7075k ≤<产品等级 废品合格良好优秀良好（1）若从质量指标值不小于85的产品中，采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件，求产品的质量指标值[)90,95k ∈的件数X 的分布列及数学期望； （2）将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中至少有1件是合格及以上等级”为事件A ．求事件A 发生的概率；（3）若每件产品的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如下表所示；（14t <<） 质量指标值k90100k ≤≤8590k ≤< 8085k ≤< 7580k ≤< 7075k ≤<利润 t e -t 3t 5t 3t试确定t 的值，使得该生产线的年盈利取得最大值，并求出最大值（参考数值：ln 20.7≈，ln3 1.1≈，ln5 1.6≈）【答案】（1）答案见解析；（2）0.973；（3）1.6，90万元． 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图求出质量指标值k 所处范围内的频率，根据分层抽样的知识求出各层的样本数，进而利用超几何分布求解概率，得分布列，求得数学期望；（2）由频率分布直方图求出对应事件的频率，然后用频率估计概率，最后代入二项分布的公式中求解即可；（3）根据频率分布直方图，确定每个范围内产品利润y 取值的概率，建立利润y 的函数模型，利用导数求函数的最值即可.【详解】解：（1）由频率分布直方图可知，质量指标值不小于85的产品中，[)85,90k ∈的频率为0.0850.4⨯=； [)90,95k ∈的频率为004502..⨯=； []95,100k ∈的频率为0.0250.1⨯=．故利用分层抽样的方法抽取的7件产品中，[)85,90k ∈的有4件，[)90,95k ∈的有2件，[]95,100k ∈的有1件．从这7件产品中任取3件，质量指标值[)90,95k ∈的件数X 的所有可能取值为0，1，2，则()230537207C C P X C ===； ()122537417C C P X C ===；()212537127C C P X C ===．所以X 的分布列为故()24160127777E X =⨯+⨯+⨯=． （2）设“从该产品中抽取一件为合格及以上等级”的概率为p ，则根据频率分布直方图可得()10.040.0250.7p =-+⨯=，则()()33331110.310.0270.973P A C p =--=-=-=．（3）由题意可得该产品的质量指标值k 与对应概率如下表所示（14t <<）：故每件产品的利润()0.30.430.1550.130.050.3 1.5tty e t t t t e t =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=-+， 则()0.3 1.50.35tty e e =-+=--'，令0y '=，则ln5t =， 故当()1,ln5t ∈时，0y '>，当()ln5,4t ∈时，0y '<， 所以当ln5t =时，y 取得最大值，()ln5max 0.3 1.5ln5 1.51ln5 1.50.60.9y e =-⨯+⨯=-+≈⨯=（元）．所以当ln5 1.6t =≈时，每件产品的利润取得最大值为0.9元 电已知，该生产线的年产量为100万件，所以该生产线的年盈利的最大值为0.910090⨯=（万元）．【点睛】本题考查频率分布直方图，分层抽样，超几何分布，数学期望的求解，二项分布，利用导数研究函数的最值等，考查数据分析、数学建模、数学运算等核心素养.21.已知函数()l e n x m f x x xx =+-()m ∈R ．（1）当1em =时，求函数()f x 的最小值； （2）若2e 2m ≥，()22e x m x g x x-=，求证：()()f x g x <．【答案】（1）0；（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）1em =，对函数()f x 求导，利用导数判断其单调性，进而可求出最小值；（2）构造函数()()()()e ln 0xm F x f x g x x x x=-=->，对函数()F x 求导，分别求出01x <≤和1x >时，函数()F x 的单调性，进而证明其最大值小于0，即可证明结论成立.【详解】（1）由题意知()f x 的定义域为0,．当1e m =时，()l e n e x f x x xx =+-，则()()()()22e e 1e 111e e x x x x xf x x x x---'=+-=． 令()()e e 0xu x x x =->，则()e e xu x '=-，令()0u x '>，得1x >，令()0u x '<，得01x <<， 故()u x 在1,上单调递增，在0,1上单调递减，则()()10u x u ≥=，即对任意()0,x ∈+∞，()e e 0xu x x =-≥恒成立． 所以令0fx ，得1x >，令0f x ，得01x <<，故()f x 在1,上单调递增，在0,1上单调递减，所以当1x =时，()f x 取得最小值，即()()min 10f x f ==．（2）令()()()()e ln 0xm F x f x g x x x x=-=->，220e m ≥>，则()()221e1e e xx x x m x m x m F x x x x---'=-=， 当01x <≤时，()10m x --≥，则()0F x '>，()F x 单调递增， 所以当01x <≤时，()()1e 0m x F F =-<≤，故()()f x g x <成立；当1x >时，()()()21e 1x m x x F x x m x ⎡⎤-'=-⋅-⎢⎥-⎣⎦，显然()210m x x --<， 令()()()e 11xxG x x m x =->-，则()()21e 1G x x m x '=+-，因为220em ≥>，所以()0G x '>，即()G x 在1,上单调递增，因为2e 2m ≥，所以()222e 22e 0m G m m-=-=≥，因为222e 11e 1e 1m m m =+--，且2e 11m -≥，所以22e 12e 1m m <≤-， 所以存在t 满足22e 12e 1m t m <<≤-，则()22e 1e t m m -<，整理得()2e 1t m t >-， 则有()()22e e e 01ttG t m t =-<-=-．因为()()20G t G ≤，所以()G x 存在唯一零点(]01,2x ∈，所以()01,x x ∈时，()0G x <，()0F x '>，()F x 单调递增；()0,x x ∈+∞时，()0G x >，()0F x '<，()F x 单调递减，所以当1x >时，()F x 的最大值为()0F x ，且(]01,2x ∈．由()00G x =，可得()000e 1x x m x =-，故()000000e 1ln ln 1x m F x x x x x =-=--．令()n 11l x x x ϕ=--，(]1,2x ∈，则()()21101x x x ϕ'=+>-， 所以()ϕx 在(]1,2上单调递增，所以()()2ln 21x ϕϕ≤=-， 故()0ln 210F x ≤-<，所以1x >时，()()f x g x <成立． 综上所述，()()f x g x <．【点睛】本题考查利用导数求函数的最值，考查利用导数证明不等式，考查学生逻辑推理能力与计算求解能力，属于难题. 选考题选修4-4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中．直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t ϕϕ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，[)0,ϕπ∈）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为8cos 3πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭． （1）化圆C 的极坐标方程为直角坐标标准方程；（2）设点()00,P x y ，圆心()002,2C x y ，若直线l 与圆C 交于M 、N 两点，求PM PNPN PM+的最大值．【答案】（1）()(22216x y -+-=；（2）103． 【解析】 【分析】（1）将圆C的极坐标方程化为2sin 4cos ρθρθ=+，由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可将圆C 的极坐标方程化为直角坐标标准方程；（2）求得直线l的参数方程为1cos sin x t y t ϕϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，[)0,ϕπ∈），设点M 、N 所对应的参数分别为1t 、2t ，将直线l 的参数方程与圆C 的普通方程联立，列出韦达定理，利用直线参数方程的几何意义结合三角恒等变换、正弦型函数的有界性可求得PM PNPN PM+的最大值．【详解】（1）圆C的极坐标方程为8cos 4cos 3πρθθθ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，所以2sin 4cos ρθρθ=+．因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以2240x y x +--=，所以圆C 的直角坐标标准方程为()(22216x y -+-=；（2）由（1）知圆C的圆心的直角坐标为(2,，则00222x y =⎧⎪⎨=⎪⎩001x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以直线l的参数方程为1cos sin x t y t ϕϕ=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数，[)0,ϕπ∈）．将直线l 的参数方程代入()(22216x y -+-=，得()22cos 120t t ϕϕ-+-=． 设点M 、N 对应的参数分别为1t 、2t，则122cos t t ϕϕ+=+，1212t t =-，()2222212121212122PM PN PM PN t t t t t t PNPMPM PNt t t t +++-+====⋅()22112cos 24sin 212126πϕϕϕ⎡⎤⎛⎫++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 因此，当3πϕ=时，PM PN PN PM +取得最大值103． 【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程之间的相互转化，同时也考查了利用直线参数方程的几何意义求最值，涉及三角恒等变换思想以及正弦函数有界性的应用，考查计算能力，属于中等题.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()3f x ax =-，不等式()2f x ≤的解集为{}15x x ≤≤． （1）解不等式()()211f x f x <+-；（2）若3m ≥，3n ≥，()()3f m f n +=，求证：141m n+≥． 【答案】（1）{|0x x <或8}3x >；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先根据已知求出1a =，再利用分类讨论法解不等式2321x x -<--即得解； （2）由()()3f m f n +=得9m n +=，再利用基本不等式证明不等式. 【详解】（1）由()2f x ≤，得232,15ax ax -≤-≤≤≤，()2f x ≤的解集为{}15x x ≤≤，则0a >，1155aa⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得1a =．不等式()()211f x f x <+-可化为2321x x -<--，则()33221x x x ≥⎧⎨-<--⎩或()()233221x x x ≤<⎧⎨--<--⎩或()()23221x x x <⎧⎨--<---⎩，解得3x ≥或833x <<或0x <， 所以原不等式的解集为{|0x x <或8}3x >． （2）因为3m ≥，3n ≥，所以()()–33333f m f n m n m n +=-=-+-=+，即9m n +=．所以()141141411451999n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当4n mm n=，即3m =，6n =时取等号． 所以不等式得证.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查基本不等式证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
2021年河北省衡水中学高考数学三模试卷
2021年河北省衡水中学高考数学三模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 已知z 为复数，z 2+1=0，则|z −1|等于( )A. 0B. 1C. √2D. 22. 已知cosθ−sinθ=34，则θ的终边在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 三象限D. 第四象限3. 已知数列{a n }是等比数列，T n 是其前n 项之积，若a 5⋅a 6=a 7，则T 7的值是( )A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知log a 14<1，(14)a <1，a 14<1，则实数a 的取值范围为( )A. (0,14)B. (0,1)C. (1,+∞)D. (14,1)5. 在棱长为1的正方体ABCD −A 1B 1CD 1中，E 为棱CD 的中点，过B ，E ，D 1的截面与棱A 1B 1交于F ，则截面BED 1F 分别在平面A 1B 1C 1D 1和平面ABB 1A 1上的正投影的面积之和( )A. 有最小值1B. 有最大值2C. 为定值2D. 为定值16. 已知在圆(x −1)2+y 2=r 2上到直线x −y +3=0的距离为√2的点恰有一个，则r =( )A. √2B. √3C. 2D. 2√27. 有三个因素会影响某种产品的产量，分别是温度(单位：℃)、时间(单位：min)、催化剂用量(单位：g)，三个因素对产量的影响彼此独立.其中温度有三个水平：80、85、90，时间有三个水平：90、120、150，催化剂用量有三个水平：5、6、7.按全面实验要求，需进行27种组合的实验，在数学上可以证明：通过特定的9次实验就能找到使产量达到最大的最优组合方案.如表给出了这9次实验的结果：实验号温度(℃)时间(min)催化剂用量(g)产量(kg) 18090531 280120654 380150738 48590653 585120749 685150542 79090757 890120562 990150664根据上表，三因素三水平的最优组合方案为()A. 85℃120min7gB. 90℃120min6gC. 85℃150min6gD. 90℃150min7g8.若函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象过点M(2π3,−3)，直线x=2π3向右平移π4个单位长度后恰好经过f(x)上与点M最近的零点，则f(x)在[−π2,π2]上的单调递增区间是()A. [−π2,π6] B. [−π3,π3] C. [−π3,π6] D. [−π6,π6]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.新高考方案规定，普通高中学业水平考试分为合格性考试(合格考)和选择性考试(选择考)，其中“选择考”成绩将计入高考总成绩，即将学生考试时的原始卷面分数由高到低进行排序，评定为A，B，C，D，E五个等级，再转换为分数计入高考总成绩.某试点高中2020年参加“选择考”总人数是2018年参加“选择考”总人数的2倍，为了更好地分析该校学生“选择考”的水平情况，统计了该校2018年和2020年“选择考”成绩等级结果，得到如图所示的统计图．针对该校“选择考”情况，2020年与2018年比较，下列说法正确的是()A. 获得A等级的人数增加了B. 获得B等级的人数增加了1.5倍C. 获得D等级的人数减少了一半D. 获得E等级的人数相同10.已知集合A={x∈R|x2−3x−18<0}，B={x∈R|x2+ax+a2−27<0}，则下列命题中正确的是()A. 若A=B，则a=−3B. 若A⊆B，则a=−3C. 若B≠⌀，则a≤−6或a≥6D. 若a=3，则A∩B={x|−3<x<6}11.已知函数f(x)=cos2x1+sinx，则()A. f(x+π)=f(−x)B. f(x)的最大值为4−2√2C. f(x)是奇函数D. f(x)的最小值为−1212.我国古代数学家祖暅求几何体的体积时，提出一个原理：幂势即同，则积不容异.这个定理的推广是夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的平面所截，若截得两个截面面积比为k，则两个几何体的体积比也为k.如图所示，已知线段AB长为4，直线l过点A且与AB垂直，以B为圆心，以1为半径的圆绕l旋转一周，得到环体M；以A，B分别为上、下底面的圆心，以1为上、下底面半径的圆柱体N；过AB且与l垂直的平面为β，平面α//β，且距离为h，若平面α截圆柱体N所得截面面积为S1，平面α截环体M所得截面面积为S2，则下列结论正确的是()A. 圆柱体N的体积为4πB. S2=2πS1C. 环体M的体积为8πD. 环体M的体积为8π2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知(1+mx)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a6x2.若a2=5，则m=______ ．14.已知a⃗，b⃗ 为单位向量，|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，若c⃗=2a⃗−3b⃗ ，则cos<a⃗,c⃗>=______ ．15.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M为C左支上一点，N为线段MF2上一点，且|MN|=|MF1|，P为线段NF1的中点.若|F1F2|=4|OP|(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为______ ．16. 用M I 表示函数y =sinx 在闭区间I 上的最大值，若正数a 满足M [0,a]≥2M [a,2a]，则a 的最大值为______ ． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在①√3acosB =bsinA ，②√3bsinA =a(2−cosB)，③cosC =2a−c 2b这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c =2，BC 边上的中线长为√7，____，求△ABC 的面积．18. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1=3，a n =xa n−1+n −2(n ≥2)，其中x ∈R ．(1)若x =1，求a n ；(2)是否存在实数x ，y 使{a n +yn}为等比数列？若存在，求出S n ；若不存在，说明理由．19. 某单位招考工作人员，须参加初试和复试，初试通过后组织考生参加复试，共5000人参加复试，复试共三道题，第一题考生答对得3分，答错得0分，后两题考生每答对一道题得5分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．(1)通过分析可以认为考生初试成绩X 服从正态分布N(μ,δ2)，其中μ=64，δ2=169，试估计初试成绩不低于90分的人数；(2)已知某考生已通过初试，他在复试中第一题答对的概率为34，后两题答对的概率均为23，且每道题回答正确与否互不影响.记该考生的复试成绩为Y ，求Y 的分布列及数学期望．附：若随机变量X服从正态分布N(μ,δ2)，则P(μ−δ<X<μ+δ)=0.6826，P(μ−2δ<X<μ+ 2δ)=0.9544，P(μ−3δ<X<μ+3δ)=0.9974．20.将长(AB)、宽(BC)、高(AA1)分别为4，3，1的长方体点心盒用彩绳做一个捆扎，有如下两种方案：方案一：如图(1)传统的十字捆扎；方案二：如图(2)折线法捆扎，其中A1E=FB=BG=HC1=C1I=JD=DK=LA1=1．(1)哪种方案更省彩绳？说明理由；(2)求平面EFK与平面GIJ所成角的余弦值．21.已知双曲线C：x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)上异于顶点的任一点与其两个顶点的连线的斜率之积为19．(1)求双曲线的渐近线方程；(2)椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率等于2√33，过椭圆上任意一点P作两条与双曲线的渐近线平行的直线，交椭圆E于M，N两点，若PM2+PN2=5，求椭圆E的方程．22.(1)若0<a≤1，判断函数f(x)=asin(1−x)+lnx在区间(0,1)内的单调性；(2)证明：对任意n≥2，n∈N∗，sin215+sin2110+⋅⋅⋅+sin21n2+1<ln2．答案和解析1.【答案】C【解析】解：由z2+1=0，得z2=−1，则z=±i，当z=−i时，|z−1|=|−i−1|=√(−1)2+(−1)2=√2；当z=i时，|z−1|=|i−1|=√12+(−1)2=√2．综上，|z−1|=√2．故选：C．由已知求得z，再由复数模的计算公式求解．本题考查虚数单位i的运算性质，考查复数模的求法，是基础题．2.【答案】D【解析】解：由cosθ−sinθ=34，平方得：sin2θ+cos2θ−2sinθcosθ=169，则1−2sinθ=169，即sin2θ=−79<0，则2kπ+π<2θ<2kπ+2π，k∈Z，即有kπ+π2<θ<kπ+π，k∈Z，当k为偶数时，θ位于第二象限，sinθ>0，cosθ<0，不成立，当k为奇数时，θ位于第四象限，sinθ<0，cosθ>0，成立．∴角θ的终边在第四象限．故选：D．将已知等式平方，利用同角三角函数基本关系式，二倍角公式可得sin2θ=−79<0，可得kπ+π2<θ<kπ+π，k∈Z，分类讨论即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数求值中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵数列{a n}是等比数列，T n是其前n项之积，a5⋅a6=a7，∴a1q4⋅a1q5=a1q6，解得a1q3=1，∴T7=a1⋅a2⋅a3⋅a4⋅a5⋅a6⋅a7=a17q21=(a1q3)7=1．故选：A．由a5⋅a6=a7，解得a1q3=1，由此利用等比数列的通项公式能求出T7．本题考查等比数列的前7项积的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．4.【答案】A【解析】解：①由log a14<1，得a>1或0<a<14，②由(14)a<1，得a>0，③由a14<1，得0<a<1，∴当log a14<1，(14)a<1，a14<1同时成立时，取交集得0<a<14，故选：A．由题意利用幂函数、指数函数、对数函数的性质，分别求得a的范围，再取交集，即得所求．本题主要考查幂函数、指数函数、对数函数的性质，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：BF与D1E分别为截面与两个平行平面的交线，由面面平行的性质定理可得，BF//D1E，同理可得D1F//BE，所以四边形BED1F为平行四边形，所以D1F=BE，又Rt△A1D1F≌Rt△CBE，所以A1F=CE=12，即F为A1B1的中点，截面在A1B1C1D1，ABB1A1上的投影如图所示，则S平行四边形D1EB1F =S A1B1C1D1−S△A1D1F−S△B1C1E=1−12×12×1−12×12×1=12，同理可得，S平行四边形A1EBF =12，故截面BED1F分别在平面A1B1C1D1和平面ABB1A1上的正投影的面积之和为定值1．故选：D．利用面面平行的性质定理得到BF//D1E，D1F//BE，从而可得D1F=BE，推出F为A1B1的中点，然后分别求解两个平行四边形的面积，即可得到答案．本题考查了平行投影及平行投影的应用，面面平行的性质定理的运用，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题，6.【答案】A【解析】解：因为圆(x−1)2+y2=r2的圆心为(1,0)，半径为r，圆心(1,0)到直线x−y+3=0的距离d=√2=2√2，因为在圆(x−1)2+y2=r2上到直线x−y+3=0的距离为√2的点恰有一个，所以r=2√2−√2=√2．故选：A．求出圆心到直线的距离d，结合题意即可求得r的值．本题主要考查点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：利用数表分析可知，从不同的温度来看，温度对其影响比较大，几乎成正比关系；其次催化剂的量对其影响比较大，从9组数据分析可知当催化剂为6克时，在组内产量都比较大；再次，从时间上看，9组数据显示，当时间为120分钟时，相对产量较高，故选：B．利用题中的数据信息，分别对温度，时间，催化剂的量进行分析，即可得出．本题考查了函数模型的实际应用，学生数据处理能力，逻辑推理能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：∵函数f(x)=3sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)的图象过点M(2π3,−3)，直线x=2π3向右平移π4个单位长度后恰好经过f(x)上与点M最近的零点，∴14⋅2πω=π4，∴ω=2．结合五点法作图可得2×2π3+φ=3π2，求得φ=π6，∴f(x)=3sin(2x+π6).令2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，求得kπ−π3≤x≤kπ+π6，可得函数的增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z．则f(x)在[−π2,π2]上的单调递增区间为[−π3,π6]，故选：C．由题意利用正弦函数的图象和性质，先求出f(x)的解析式，进而求出它在[−π2,π2]上的单调递增区间．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．9.【答案】AB【解析】解：设2018参加“选择考”总人数为a，则2020年参加“选择考”总人数为2a，由统计图可得，2018年获得A等级的人数为0.28a，2020年获得A等级的人数为0.48a，故A正确；2018年获得B等级的人数为0.32a，2020年获得B等级的人数为0.80a，获得B等级的人数增加了0.8a−0.32a0.32a=1.5倍，故B正确；2018年获得D等级的人数为0.08a，2020年获得D等级的人数为0.12a，获得D等级的人数增加了一半，故C错误；2018年获得E等级的人数为0.02a，2020年获得E等级的人数为0.04a，获得E等级的人数为原来的2倍，故D错误．故选：AB．设2018参加“选择考”总人数为a，则2020年参加“选择考”总人数为2a，分别算出获得各个等级的人数，即可得到结论．本题考查统计图和频率分布图的运用，考查运算能力，属于基础题．10.【答案】AB【解析】解：由已知可得A={x|−3<x<6}，若A=B，则a=−3，且a2−27=−18，解得a=−3，故A正确，若A⊆B，则(−3)2+a⋅(−3)+a2−27≤0且62+6a+a2−27≤0，解得a=−3，故B正确，当B≠⌀时，△>0即a2−4(a2−27)>0，解得−6<a<6，故C错误，当a=3时，B={x|x2+3x−18<0}={x|−6<x<3}，∴A∩B={x|−3<x<3}，故D错误，故选：AB．由已知求出集合A，再对应各个选项逐个求出满足选项的集合B的a的范围即可．本题考查了集合间的包含关系的应用，考查了一元二次不等式的解集的问题，属于基础题．11.【答案】AB【解析】解：函数f(x)=cos2x1+sinx，则f(x+π)=cos(2x+2π)1+sin(x+π)=f(−x)=cos2x1−sinx，故A正确；对于B：f(x)=cos2x1+sinx =1−2sin2x1+sinx=4−(2+2sinx+11+sinx)≤4−2√2，当且仅当sinx=√22−1时，等号成立，故B正确；对于C：函数f(−x)≠−f(x)，故C错误；对于D：f(−π3)=cos(−2π3)1+sin(−π3)=−121−√32=−2−√3<−12，故D错误．故选：AB．直接利用三角函数关系式的变换，函数的性质的应用，不等式的性质的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，函数的性质的应用，不等式的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．12.【答案】ABD【解析】解：∵圆柱N的底面半径为1，高为4，则圆柱N的体积为V=π×12×4=4π，故A正确；由图可知，S1=2√1−ℎ2⋅4=8√1−ℎ2，S2=πr外2−πr内2，其中，r外2=(4+√1−ℎ2)2，r内2=(4−√1−ℎ2)2，故S2=16√1−ℎ2⋅π=2πS1，故B正确；环体M的体积为2π⋅V柱=2π⋅4π=8π2，故C错误，D正确．故选：ABD．直接由圆柱体积公式求得N的体积判断A；分别求解S1，S2判断B；由祖暅原理求出环体M的体积判断C 与D．本题考查圆柱体积的求法，考查祖暅原理的应用，考查运算求解能力，是基础题．13.【答案】−1【解析】解：因为(1+mx)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+⋅⋅⋅+a6x6，所以a2=C52+mC51=10+5m=5，解得m=−1，故答案为：−1．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得含x3的项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．14.【答案】2√1313【解析】解：根据题意，a⃗，b⃗ 为单位向量，|a⃗+b⃗ |=|a⃗−b⃗ |，则有(a⃗+b⃗ )2=(a⃗−b⃗ )2，即a⃗2+2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2，变形可得a⃗⋅b⃗ =0，若c⃗=2a⃗−3b⃗ ，则|c⃗|2=(2a⃗−3b⃗ )2=13，即|c⃗|=√13，a⃗⋅c⃗=a⃗⋅(2a⃗−3b⃗ )=2a⃗2−3a⃗⋅b⃗ =2，则cos<a⃗,c⃗>=a⃗ ⋅c⃗|a⃗ ||c⃗ |=2√13=2√1313，故答案为：2√1313．根据题意，由数量积的计算公式可得(a⃗+b⃗ )2=(a⃗−b⃗ )2，变形可得a⃗⋅b⃗ =0，进而求出|c⃗|和a⃗⋅c⃗的值，由向量夹角公式计算可得答案．本题考查向量数量积的计算，涉及向量的夹角，属于基础题．15.【答案】y=±√3x【解析】解：由双曲线的定义，可得|MF2|−|MF1|=|MF2|−|MN|=|NF2|=2a，在△NF1F2中，OP为中位线，可得|OP|=12|NF2|=a，又|F1F2|=4|OP|，可得2c=4a，即c=2a，b=√c2−a2=√4a2−a2=√3a，所以双曲线的渐近线方程为y=±√3x.故答案为：y=±√3x.由双曲线的定义和三角形的中位线定理，推得|OP|=a，再由a，b，c的关系，可得a，b的关系，即可得到渐近线方程．本题考查双曲线的定义和性质，以及三角形的中位线定理，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】13π12【解析】解：①当a∈[0,π2]时，2a∈[0,π]，M[0,a]=sina，M[a,2a]=1，∴sina≥2舍去；②当a∈[π2,π]时，2a∈[π,2π]，M[0,a]=1，M[a,2a]=sina，∴1≥2sina，∴sina≤12，∴a≥5π6，∴5π6≤a≤π；③当a∈[π,3π2]时，2a∈[2π,3π]，M[0,a]=1，M[a,2a]=sin2a或1，∴1≥2sin2a且2a≤2π+π2，∴sin2a≤12，∴2π≤2a≤2π+π6，∴a≤π+π12=13π12；④当a∈[3π2,+∞)时，2a∈[3π,+∞)，M[0,a]=M[a,2a]=1，舍去；综上所述：a max=13π12．故答案为：13π12．分a在不同区间进行讨论，得出符合条件的a值即可．本题考查三角函数的最值的求法，考查分类讨论的数学思想方法，考查计算能力，是中档题．17.【答案】解：①√3acosB=bsinA，由正弦定理得，√3sinAcosB=sinBsinA，因为sinA>0，所以√3cosB=sinB，即tanB=√3，因为B为三角形内角，所以B=π3；②√3bsinA=a(2−cosB)，由正弦定理得，√3sinBsinA=sinA(2−cosB)，因为sinA>0，所以√3sinB=2−cosB，所以即2sin(B+π6)=2，所以sin(B+π6)=1，因为√3sinB+cosB=2，B为三角形内角，所以B=π3；③cosC=2a−c2b，由余弦定理得，cosC=2a−c2b =a2+b2−c22ab，整理得，b2=a2+c2−ac，故cosB=12，因为B为三角形内角，所以B=π3；因为c=2，BC边上的中线长为√7，△ABD中，由余弦定理得，cos60°=4+BD2−74BD，解得BD=3，BC=6，△ABC的面积S=12AB⋅BCsin60°=12×2×6×√32=3√3．【解析】由已知所选条件结合正弦定理，同角基本关系及辅助角公式或余弦定理进行化简可求B，然后结合余弦定理求出BD，再由三角形面积公式可求．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，辅助角公式及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．18.【答案】解：(1)当x=1时，a n=a n−1+n−2(n≥2)，所以a n−a n−1=n−2，a n−1−a n−2=(n−1)−2，a n−2−a n−3=(n−2)−2，.......，a2−a1=2−2，所以a n−a1=(n+...+2)−2(n−1)，整理得a n=n2−3n+82，(首项符合通项)，故a n=n2−3n+82．(2)假设存在实数x，y使{a n+yn}为等比数列故a n+y n=x[a n−1+y n−1]，整理得a n =xa n−1+(xy −y)n −xy ， 故{xy −y =1xy =2，解得{x =2y =1，所以a n +n =2×[a n−1+n −1]， 即a n +nan−1+(n−1)=2，当n =1时，a 1+1=4，所以存在x =2，y =1使数列{a n +y n }是以4为首项，2为公比的等比数列． 整理得a n =2n+1−n ， 故S n =4×(2n −1)2−1−n(n+1)2=2n+2−n(n+1)2−4．【解析】(1)直接利用数列的递推关系式和构造新数列的应用求出数列的通项公式；(2)利用存在性问题的应用和方程组的解法求出x 和y 的值，进一步求出数列的通项公式和前n 项和公式． 本题考查的知识要点：数列的递推关系式，构造新数列，存在性问题的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为学生笔试成绩X 服从正态分布N(μ,ξ2)，其中μ=64，ξ2=169，μ+2ξ=64+2×13=90，所以P(X ≥90)=P(X ≥μ+2ξ)=12(1−0.9544)=0.0228， 所以估计笔试成绩不低于90分的人数为0.0228×5000=114人； (2)Y 的取值分别为0，3，5，8，10，13，则P(Y =0)=(1−34)×(1−23)2=136，P(Y =3)=34×(1−23)2=112，P(Y =5)=(1−34)××C 21×23×(1−23)=19， P(Y =8)=34×C 21×23×(1−23)=13，P(Y =10)=(1−34)×(23)2=19，P(Y =13)=34×(23)2=13， 故Y 的分布列为：所以数学期望为E(Y)=0×136+3×112+5×19+8×13+10×19+13×13=32136=10712．【解析】本题考查了正态分布的应用以及离散型随机变量的期望方差和分布列问题，考查了学生的运算能力，属于中档题．(1)利用正态分布给出的数据即可求解；(2)由已知先求出Y 的取值，然后求出对应的概率即可求解．20.【答案】解：(1)方案②更省彩绳．理由如下：方案①中彩绳的总长度为l =2×(4+3)+4=18，方案②中彩绳的总长度为m =2×√5+6×√2<2×2.5+6×1.5=14， ∴l >m ，故方案②更省彩绳．(2)以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(3,1，1)，F(3,3，0)，K(1,0，0)G(2，4，0)，I(0,3，1)，J(0,1，0)， ∴KE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1，1)，KF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,3，0)，JG ⃗⃗⃗⃗ =(2,3，0)，JI ⃗⃗⃗ =(0,2，1)， 设平面EFK 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y ，z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅KE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅KF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即{2x +y +z =02x +3y =0，令y =1，则x =−32，z =2，∴m⃗⃗⃗ =(−32,1，2)， 同理可得，平面GIJ 的法向量为n ⃗ =(−32,1，−2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗|m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=94+1−4√94+1+4×√94+1+4=−329，由图可知，平面EFK 与平面GIJ 所成角为钝角， 故平面EFK 与平面GIJ 所成角的余弦值为−329．【解析】(1)方案①中彩绳的总长度为l=2×(4+3)+4=18，利用勾股定理，求得方案②中彩绳的总长度为m=2×√5+6×√2<14，比较l和m的大小，即可得解；(2)以D为原点建立空间直角坐标系，求得平面EFK和平面GIJ的法向量m⃗⃗⃗ 与n⃗，由cos<m⃗⃗⃗ ，n⃗>=m⃗⃗⃗ ⋅n⃗⃗|m⃗⃗⃗ |⋅|n⃗⃗ |，即可得解．本题考查长方体的结构特征，二面角的求法，熟练掌握利用空间向量求二面角的方法是解题的关键，考查空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)设A(x1,y1)为双曲线上任意一点，则x12m2−x22n2=1①双曲线的顶点为B(−m,0)，C(m,0)，由题设知k AB⋅k AC=y1x1+m ⋅y1x1−m=19，故x12=9y12+m2，代入①式可得(9m2−1n2)y12=0．又A为双曲线上任意一点，故9m2−1n2=0，所以m=3n，双曲线的渐近线方程为y=±13x．(2)由椭圆E的离心率e=ca =√1−b2a2=2√33，可得a=3b，故椭圆方程为x29b2+y2b2=1，即x2+9y2=9b2(b>0)．设P(x0,y0)，M(x M,y M)，则x02+9y02=9b2.②不妨设直线PM的方程为y=13(x−x0)+y0，与椭圆方程x2+9y2=9b2联立，消去y，利用②式整理得x2+(3y0−x0)x−3x0y0=0，即(x−x0)(x+3y0)=0，故x M=−3y0，从而y M=13(x M−x0)+y0=−13x0.所以M(−3y0,−13x0)．而直线PN的方程为y=−13(x−x0)+y0，同理可求得N(3y0,13x0)．于是PM2+PN2=5可得(−3y0−x0)2+(−13x0−y0)2+(3y0−x0)2+(13x0−y0)2=5，整理得x02+9y02=94．结合②式可得b2=14，所以椭圆E的方程为x2+9y2=94，即49x2+4y2=1．【解析】(1)设A(x1,y1)为双曲线上任意一点，则x12m2−x22n2=1，通过斜率乘积推出x12=9y12+m2，得到m=3n，即可求解双曲线的渐近线方程．(2)利用离心率推出a=3b，椭圆方程为x29b2+y2b2=1，设P(x0,y0)，M(x M,y M)，则x02+9y02=9b2.设直线PM 的方程为y =13(x −x 0)+y 0，与椭圆方程x 2+9y 2=9b 2联立，推出x M =−3y 0，求出M 的坐标，求解N 的坐标，利用PM 2+PN 2=5，求解椭圆E 的方程．本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．22.【答案】解：(1)∵f(x)=asin(1−x)+lnx(0<x <1)，∴f′(x)=−acos(1−x)+1x ，0<x <1⇒0<1−x <1⇒0<cos(1−x)<1，又0<a ≤1， ∴−1<−acos(1−x)<0，且0<x <1时，1x >1，∴f′(x)>0∴f(x)=asin(1−x)+lnx 在区间(0,1)内单调递增；(2)证明：由(1)知，当a =1时，f(x)<f(1)，即sin(1−x)+lnx <0， ∴sin(1−x)<ln 1x，令1−x =1n 2+1，则x =1−1n 2+1，1x=n 2+1n 2，∴当0<sin1n 2+1<ln n 2+1n 2=ln(1+1n 2)<ln2(n ∈N ∗)，令φ(x)=ln(1+lnx)−x ，x >0，φ′(x)=11+x −1=−x1+x <0，所以φ(x)在(0,+∞)单调递减， ∴φ(x)<φ(0)=0， 即ln(1+x)<x(x >0)， ∴0<ln(1+1k 2)<1k 2<1k(k−1)(k >1)，∴当n ∈N ∗，且n ≥2时，0<sin 1n 2+1<1 n(n−1)=1n−1−1n ， ∴sin1n 2+1<ln2n(n−1)=(1n−1−1n)ln2，∴对任意n ≥2，n ∈N ∗， sin 215+sin 2110+⋅⋅⋅+sin 21n 2+1<(ln2)(1−1n)<ln2．【解析】(1)可求得f′(x)=−acos(1−x)+1x ，依题意，可判得f′(x)>0，从而可判断f(x)在(0,1)内的单调性；(2)由(1)知sin(1−x)<ln 1x ，令1−x =1n 2+1，可分析得0<sin 1n 2+1<1 n(n−1)=1n−1−1n ，累加可证得结论成立．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查构造法与推理证明，属于难题．。
河北省衡水中学高三数学下学期三模考试试题 理(扫描版)(2021年整理)
河北省衡水中学2017届高三数学下学期三模考试试题理（扫描版）编辑整理：
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2021届河北衡水中学新高考模拟试卷(三)数学(文)试题
2021届河北衡水中学新高考模拟试卷（三）数学（文科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
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9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的.1..已知集合{}{}22|,|g 14lo A x x B x x ==<≤，则A B = （ ）A. (),2-∞B. ()0,2C. ()2,0-D. (]2,2-【答案】B 【解析】 【分析】先化简集合,A B ,再根据交集运算法则求交集即可. 【详解】{}{}2|422A x x x x =≤=-≤≤,{}{}2|log 102B x x x x =<=<<,所以(0,2)A B ⋂=, 故选:B.【点睛】本题考查了交集运算,考查了解不等式,属于简单题. 2.若复数z 满足()1243z i i +=+，则z =（） A .2i +B. 2i -C. 12i +D. 12i -【答案】A 【解析】 【分析】化简得到2z i =-，再计算共轭复数得到答案. 【详解】()1243z i i +=+，则()()()()43124310521212125i i i iz i i i i +-+-====-++-，故2z i =+. 故选：A .【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.3.2019年9月25日.阿里巴巴在杭州云栖大会上正式对外发布了含光800AI 芯片,在业界标准的ResNet -50测试中,含光800推理性能达到78563lPS ,比目前业界最好的AI 芯片性能高4倍;能效比500 IPS /W ,是第二名的3.3倍.在国内集成电路产业发展中,集成电路设计产业始终是国内集成电路产业中最具发展活力的领域,增长也最为迅速.如图是2014-2018年中国集成电路设计产业的销售额(亿元)及其增速(%)的统计图,则下面结论中正确的是( )A. 2014-2018年,中国集成电路设计产业的销售额逐年增加B. 2014-2017年,中国集成电路设计产业的销售额增速逐年下降C. 2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率比2015年的高D. 2018年与2014年相比,中国集成电路设计产业销售额的增长率约为110% 【答案】A 【解析】【分析】根据条形统计图可以判断选项A,D 的正误,根据折线图可以判断选项B,C 的正误.【详解】对于A,由图可得2014-2018年中国集成电路设计产业的销售额逐年增加,所以A 正确; 对于B,2017年中国集成电路设计产业的销售额增速比2016年高,所以B 错误;对于C,2018年中国集成电路设计产业的销售额的增长率(约21.5%)低于2015年的增长率(约26.5%),所以C 错误;对于D,2018年与2014年相比,中国集成电路设计产业销售额的增长率为2519.31047.4100%140.5%1047.4-⨯≈,所以D 错误. 故选:A.【点睛】本题主要考查统计图的实际应用,考查学生的理解分析能力,难度不大. 4.在等差数列{}n a 中，2436a a +=，则数列{}n a 的前5项之和5S 的值为（ ） A. 108 B. 90C. 72D. 24【答案】B 【解析】由于152436a a a a +=+=，所以1555()5369022a a S +⨯===，应选答案A ． 点睛：解答本题的简捷思路是巧妙运用等差数列的性质152436a a a a +=+=，然后整体代换前5项和中的15=36a a +，从而使得问题的解答过程简捷、巧妙．当然也可以直接依据题设条件建立方程组进行求解，但是解答过程稍微繁琐一点． 5.已知0.12(tan ),5a π=b =log 32，c =log 2(cos 3π7)，则（ ） A. a >b >c B. b >a >cC. c >a >bD. a >c >b【答案】A 【解析】 【分析】根据函数单调性进而确定函数值的范围再进行比较即可. 【详解】对于a ，因为tan x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，2452πππ<<即0.10.12(tan)(tan )54ππ>1a ⇒> 对于b ，因为3log x 在定义域内单调递增，即33log 2log 311b b =<=⇒< 对于c ，因为cos x 在,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，3472πππ<<则33coscoscos 0cos 127472ππππ<<⇒<<< 则223log cos log 1007c π⎛⎫<=⇒<⎪⎝⎭综上，a b c >> 故选：A【点睛】本题较易。
2021届河北衡水中学高三三轮复习数学试题(解析版)
2021届河北衡水中学高三三轮复习数学试题一、单选题1．已知集合321x A xx ⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭，{}221B x a x a =-<<+，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】先解分式不等式，化简集合A ，再由A B ⊆，即可列出不等式求出结果.【详解】因为{}3322220012111x x x x A xx x x x x x x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫---=≤=≤=≤=-<≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬+++⎩⎭⎩⎭⎩⎭， 又{}221B x a x a =-<<+，A B ⊆，所以21212a a -≤-⎧⎨+>⎩，解得112a <≤.故选：B.【点睛】本题主要考查由集合的包含关系求参数，涉及分式不等式的解法，属于基础题型.2．下列命题中，正确命题的个数是①若x ，y ∈C ，则1x yi i +=+的充要条件是1x y ==； ②若a ，b R ∈且a b >，则ai b i ；③若220x y +=，则0x y ==． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】A【详解】对①，由于x ，y ∈C ，所以x ，y 不一定是x ＋yi 的实部和虚部，故①是假命题；对②，由于两个虚数不能比较大小，故②是假命题； ③是假命题，如12＋i 2＝0，但1≠0，i≠0. 【解析】复数的有关概念.3．已知01a b <<<，下列不等式成立的是（ ）A ．1123a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．11log log 32ab <C ．1123log log a b>D ．131log 2ab ⎛⎫< ⎪⎝⎭【答案】C【分析】直接利用函数的性质，即指数函数，对数函数和幂函数的单调性判断A 、B 、C 、D 的结论．【详解】解析：因为12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，b y x =在()0,∞+上单调递增，所以111223abb⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故A 错误；取13a =，12b =，则11log 1log 32a b ==，故B 错误；因为01a b <<<，所以ln ln 0a b <<，即ln ln 0a b ->->，由110ln 2ln 3>>，得ln ln ln 2ln 3a b -->，即1123log log a b >，故C 正确；画出指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与对数函数13log y x =的图象(如图所示)，设其交点坐标为()00,x y ，则001x <<，取001a x b <<<<，由图象可知，0131log 2ay b ⎛⎫>> ⎪⎝⎭，故D 错误.故选：C.4．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标.搜索指数越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高.下图是2017年9月到2018年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的统计图.根据该统计图，下列结论正确的是（ ）A ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化B ．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱C ．从该关键词的搜索指数来看，2017年10月的方差小于11月的方差D ．从该关键词的搜索指数来看，2017年12月的平均值大于2018年1月的平均值 【答案】D【分析】根据统计图表信息，逐项判定，即可求解.【详解】统计图显示，近半年来该关键词的搜索指数的变化没有周期性，排除选项A ； 统计图显示，近半年来该关键词的搜索指数的变化，整体减弱不显著，排除选项B ； 统计图显示，2017年10月该关键词的搜索指数波动较大，11月的波动较小，故10月的方差大于11月的方差，排除选项C ；统计图显示，2017年12月该关键词的搜索指数大多高于1000，该月平均值大于1000，2018年1月关键词的搜索指数大多低于10000，该月平均值小于10000，所以D 正确. 故选：D .5．在如图所示中，二次函数2y ax bx =+与指数函数xa yb ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象只可为A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】指数函数xa yb ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知a ，b 同号且不相等，再根据二次函数常数项为零经过原点即可得出结论．【详解】根据指数函数xa yb ⎛⎫= ⎪⎝⎭可知a ，b 同号且不相等，则二次函数2y ax bx =+的对称轴02bx a=-<在y 轴左侧，又2y ax bx =+过坐标原点， 故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数与指数函数的图象与性质，属于基础题．6．“女排精神”是中国女子排球队顽强战斗､勇敢拼搏精神的总概括，她们在世界杯排球赛中凭着顽强战斗､勇敢拼搏的精神，五次获得世界冠军，为国争光.2019年女排世界杯于9月14日至9月29日在日本举行，中国队以上届冠军的身份出战，最终以11战全胜且只丢3局的成绩成功卫冕世界杯冠军，为中华人民共和国70华诞献上最及时的贺礼.朱婷连续两届当选女排世界杯MVP ，她和颜妮､丁霞､王梦洁共同入选最佳阵容，赛后4人和主教练郎平站一排合影留念，已知郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则朱婷和王梦洁站于郎平同一侧的概率为（ ）A ．12 B ．13C ．14 D ．16【答案】B【分析】利用排列组合与概率的定义，进行计算即可【详解】4人和主教练郎平站一排合影留念，郎平站在最中间，她们4人随机站于两侧，则不同的排法有222422C A A 24=种，若要使朱婷和王梦洁站于郎平同一侧，则不同的排法有22222A A 8=种，所以所求概率81243P == 故选：B7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S，且)1n n S a +=(n *∈N ).记1n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n项和，则使n T > ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【分析】根据,n n S a 之间的关系证明{}n a 为等比数列，然后再证明{}n b 也是等比数列，由此求解出n T .根据不等式结合指数函数单调性求解出n 的取值范围，从而确定出n 的最小整数值. 【详解】解析：由)1n n S a +=，可知)111n n S a +++=∴)()1110n n n n S S a a ++-+-=1n n a +=.1n =时，)111a a +=∴11a =，∴0n a ≠，∴1n n a a += ∴数列{}n a 是以1.∴21122112n n n n n n n n b a a a b a a a +++++====⎝⎭.又112b a a ==， ∴数列{}n b12为公比的等比数列.∴112111212nn nT ⎤⎛⎫-⎥ ⎪⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==-⎥ ⎪⎝⎭⎥⎦-.又n T >∴1631264n ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即61112642n ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴6n >.又n *∈N ，∴n 的最小值为7. 故选：C .8．P 为双曲线22149x y -=右支上一点，12,F F 分别为双曲线的左、右焦点，且120PF PF ⋅=，直线2PF 交y 轴于点A ，则1AF P ∆的内切圆半径为A ．2B ．3C ．32D 【答案】A【详解】分析：根据题意，由双曲线的标准方程可得a 的值，设1APF ∆的内切圆半径为r ，由直角三角形的性质分析可得112PF PA AF r +-=，由双曲线的几何性质分析2124AF AF r -=-，由图形的对称性知2r-4=0，即可得答案. 详解：根据题意，双曲线22149x y -=，其中2a =，设1APF ∆的内切圆半径为r ，12PF PF ⊥，∴2124AF AF r -=-，由图形的对称性知21AF AF =， 即240r -= ∴2r.故选：A.点睛：本题考查了双曲线的几何性质、双曲线的定义，注意直角三角形的内切圆公式. 二、多选题9．函数()()2sin f x x ωϕ=+(0>ω，ϕπ<)的部分图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把函数()f x 的图像向左平移2π个单位，则所得图像对应的函数是奇函数 C ．若把()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的23倍，纵坐标不变，得到图像对应的函数在[],ππ-上是增函数D ．,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，若()332f x a f π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭成立，则a 【答案】AB【分析】由五点法求解析式可判断A ；利用三角函数的平移变换原则即可判断B ；利用三角函数的平移伸缩变换可判断C ；利用三角函数的单调性以及最值即可判断D.【详解】解析：由题图，知1732422T πππ=-=，∴6T π=，∴2163πωπ==.∵()222sin 23f ππϕ⎛⎫=+=⎪⎝⎭，即2sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴2232k ππϕπ+=+(k ∈Z )，即26k πϕπ=-+(k ∈Z )， ∵ϕπ<，∴6πϕ=-，∴()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确；把()f x 的图像向左平移2π个单位，所得图像对应的函数解析式为12sin 2sin 3263xy x ππ⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，是奇函数，故B 正确：把()f x 的图像上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，得到图像对应的函数解析式为12sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵[],x ππ∈-，∴12sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[],ππ-上不是增函数，故C 错误；,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，令()()332x f f x g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭2sin 2sin 2sin 2666x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()12g x ≤，所以a 2，故D 错误. 故选：AB.10．已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，其准线与x 轴相交于点M ，经过M 点且斜率为k 的直线l 与抛物线相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则下列结论中正确的是（ ） A ．k 的取值范围是()1,1- B ．12128y y x x =C ．存在k ，使得以AB 为直径的圆经过点FD ．若三角形ABF 的面积为AB 的倾斜角为6π或56π 【答案】CD【分析】依题意直线l 的方程为()2y k x =+，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，根据根的判别式判断A ，利用韦达定理判断B ；由0FA FB ⋅=判断C ；121||2MF FBA MFA B S S S MF y y =-=⋅⋅-△△△，求出k ，即可判断D ；【详解】解：依题意得，()2,0F ，()2,0M -，直线l 的方程为()2y k x =+，联立得()282y x y k x ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消去y 得()22224840k x k x k +-+=，因为直线l 与抛物线相交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，所以()22240,48160,k k k ⎧≠⎪⎨-->⎪⎩解得11k -<<且0k ≠，故A 选项错误；因为212244k x x k==，所以22121288644256y y x x =⋅=⨯=，易知1y ，2y 同号，所以1216y y =，于是12124y y x x =，故B 选项错误； 由于()112,FA x y =-，()222,FB x y =-，所以()2121212228416244241632k x x x x y y k FA k FB -=-+++=-⋅++=-⋅，显然当212k =时，0FA FB ⋅=，此时AFB ∠为直角，即以AB 为直径的圆经过点F ，故C 选项正确； AFB 的面积121||2FB MF M A S S S MF y y =-=⋅⋅-=△△()()()1212128224y y k x k x k x x k +=+++=++=，1216y y=，所以S=，令S =k =，所以直线AB 的倾斜角为6π或56π，故选项D 正确.故选：CD.11．如图，一张矩形白纸ABCD ，10AB=，AD =E ，F 分别为AD ，BC 的中点，BE 交AC 于点G ，DF 交AC 于点H .现分别将ABE △，CDF 沿BE ，DF 折起，且点A ，C 在平面BFDE 同侧，则下列命题为真命题的是（ ） A ．当平面//ABE 平面CDF 时，//AC 平面BFDE B ．当平面//ABE 平面CDF 时，//AE CD C ．当A ，C 重合于点P 时，PG PD ⊥D ．当A ，C 重合于点P 时，三棱锥P DEF -的外接球的表面积为150π 【答案】AD【分析】由题意分两类画出图形，利用线面平行的判定和性质判断A ；利用反证法说明B 错误；求出线段长度，根据不满足勾股定理说明C 错误；求出三棱锥中的直角三角形，利用补形法求得外接球的表面积判断D ． 【详解】当平面//ABE 平面CDF 时，如图，由已知矩形ABCD 中，10AB =，AD =E ，F 分别为AD ，BC 的中点， 可得AC BE ⊥，AC DF⊥，且求得AG GH CH == 则BE ⊥平面AGH ，DF ⊥平面CHG ，由//BE DF ，可得平面AGH 与平面CHG 重合，即四边形AGHC 为平面四边形， 平面平面//ABE 平面CDF ，//AG CH ∴，又AG CH =，可得四边形AGHC 为平行四边形，则//AC GH ，可得//AC 平面BFDE ，故A 正确；假设//AE CD ，则四边形AEDC 为平面图形，而//GH AC ，可得//GH ED ， 即四边形GHDE 为平行四边形，可得GH ED =，与GH DE ≠矛盾，∴假设错误，故B 错误；当A 、C 重合于点P 时，如图，PG =10PD GD ==，不满足222PG PD GD +=， PG ∴与PD 不垂直，故C 错误；在三棱锥P DEF -中，PE PF ==10EF =， EPF ∴△为直角三角形，PE ED ==10PD =，PED ∴为直角三角形，而FPD 为直角三角形，∴由补形法可知，三棱锥P DEF -则三棱锥P DEF -的外接球的表面积为24150ππ⨯=，故D 正确． ∴命题正确的是AD ．故选：AD.12．已知函数()3e e x x x af x x -=-+-，则下列结论中正确的是（ ）A ．若()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值分别为M ，m ，则0M m +=B ．曲线()y f x =与直线y ax =-相切C ．若()f x 为增函数，则a 的取值范围为(],2-∞D ．()f x 在R 上最多有3个零点 【答案】ACD【分析】由定义法确定函数的奇偶性，再求导数判断函数的单调性与切线斜率，以及零点情况.【详解】因为对于任意x ∈R ，都有()()()()3e e x x x x a xf x f -=-+---=--， 所以()f x 为奇函数，其图象关于原点对称，故A 正确.又()2e e 3x xf x x a -+'=+-，令()f x a '=-，得2e e 30x x x -++=()，因为e 0x >，e 0x ->，所以方程()无实数解，即曲线()y f x =的所有切线的斜率都不可能为a -，故B 错误. 若()f x 为增函数，则fx 大于等于0，即2e e 3x x a x -≤++，2e e 32x x x -++≥，当且仅当0x =时等号成立，所以2a ≤，故C 正确.令0f x ，得0x =或2e e x x x a x--+=(0x ≠).设()2e e x x g x x x --=+， 则()()()21e 1e 2x x x x x xg x -'=-+++，令()()()1e 1e x xx x t x -=-++， 则()()e e x xx x t -='-.当0x >时，()0t x '>，当0x =时，()0t x '=，当0x <时，()0t x '>，所以函数()t x 为增函数，且()00t =，所以当0x >时，()0t x >， 从而0g x，()g x 单调递增.又因为对于任意0x ≠，都有()()g x g x -=，所以()g x 为偶函数，其图象关于y 轴对称. 综上，()g x 在,0上单调递减，在0,上单调递增，则直线y a =与y g x 最多有2个交点，所以()f x 在R 上最多有3个零点，故D 正确.故选ACD . 三、填空题13．已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-，则a 8＝____．【答案】180【分析】将1x +写成()21x --， 利用二项展开式的通项公式求出通项，令1x -的指数为8，求出a 8．【详解】解：∵()()1010121x x +=--⎡⎤⎣⎦∴其展开式的通项为()()10110121rrr r r T C x -+=--令r ＝8得a 8＝4C 108＝180 故答案为：18014．在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为_____. 【答案】12【详解】设AB 的长为x ，因为AC =AB BC +，BE =BC CE +，所以·AC BE = ()AB BC +⋅()BC CE +=2AB BC AB CE BC BC CE ⋅+⋅++⋅=1cos18022xx x +⋅+1+1cos1202x⋅=1， 解得12x =，所以AB 的长为12. 【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积等基础知识，熟练平面向量的基础知识是解答好本类题目的关键.15．椭圆22221(0)x y a b a b +=>>短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形.若该三角形内切圆的半径为5b，则该椭圆的离心率为________.【答案】14【分析】根据题意，利用面积关系建立等式，即可求出离心率.【详解】由椭圆22221(0)x y a b a b+=>>短轴的一个端点和两个焦点所构成的三角形面积S bc =，周长为22a c +.由题意可得1(22)25bS bc a c ==+⋅，得5a c c +=，所以14c e a ==，因此该椭圆的离心率为14.故答案为：14.【点睛】本题考查椭圆离心率的求法，解题的关键是建立与,a c 相关的方程，属于基础题. 四、双空题16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n S an bn =+(a ，b 为常数)，且92a π=，则117a a +=___________；设函数()22sin 22sin 2xx f x =+-，()n n y f a =，则数列{}n y 的前17项和为___________. 【答案】π 17【分析】化简函数解析式得()sin 2cos 1f x x x =++，由2n S an bn =+可得{}n a 是首项为a b +，公差为2a 的等差数列，又92a π=，所以1792n n a a a π-+==，即17n n y y -+=2，再首尾相加求和即可得解.【详解】当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn a n b n na a b -⎡⎤=-=+--+-=-+⎣⎦. 又当1n =时，11a S a b ==+，满足2n a na a b =-+，所以2n a na a b =-+，所以数列{}n a 为等差数列，故11792a a a π+==. 由题意得()sin 2cos 1f x x x =++，所以()()1111sin 2cos 1sin 22cos 12a a a a ππ=+++-+-+=，同理，2162y y +=，…，8102y y +=.又易得()991y f a ==， 所以数列{}n y 的前17项和为28117⨯+=. 故答案为：①π；②17【点睛】关键点睛：利用2n S an bn =+可得{}n a 为等差数列，且可求得通项，化简函数解析式得()sin 2cos 1f x x x =++，再首尾相加求和即可得解，属于中档题 五、解答题17．如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M 、N （异于村庄A),要求PM ＝PN ＝MN ＝2（单位:千米)．如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远)．【答案】当AMN ∠为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小． 【详解】设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，．因为MN ＝2,所以AM ＝sin(120°－θ) ．在△APM 中,cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ).AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM·MP·cos ∠AMP ＝sin 2(120°－θ)＋4－2×2×sin(120°θ)cos(60°＋θ)＝sin 2(θ＋60°)－sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4＝[1－cos (2θ＋120°)]－sin(2θ＋120°)＋4＝[sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋＝－sin(2θ＋150°),θ∈(0,120°)．当且仅当2θ＋150°＝270°,即θ＝60°时,AP 2取得最大值12,即AP 取得最大值.答:设计∠AMN 为60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小．18．已知正项等差数列{}n a 中，1533a a =，2225a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n a ∈N ，243n n n b a -=+，求{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）当2d =时， 21n a n =+；当43d =时，4733n a n =+；（2）124136312n n n n T -=++-．【分析】（1）正项等差数列{}n a 的公差为d ，依题意列方程组求解首项与公差即可得通项公式；（2）依题意确定通项公式，再用分组求和法求{}n b 的前n 项和n T ． 【详解】（1）设正项等差数列{}n a 的公差为d ，因为2225a =，所以25a =，所以15a d +=，又1533a a =，所以()11433a a d +=，得2d =或43d =， 当2d =时，13a =，此时()32121n a n n =+-=+； 当43d =时，1113a =，此时()1144713333n a n n =+-=+；（2）因为n a ∈N ，所以21n a n =+因为243n n n b a -=+，所以()24321n n b n -=++，所以()10124334354374321n n T n --=+⨯++⨯++⨯++++()()11432143142nn n -++=+⨯-124136312n n n -=++-． 【点睛】数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．19．在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//CD AE ，AC AE ⊥，AB BC ⊥，1CD =，2AE AC ==，F 为DE 的中点，且点E 满足4EB EG =.（1）证明：//GF 平面ABC .（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A BE D --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）【分析】（1）先证明四边形CDNM 是平行四边形，于是//GF DN ，//GF CM ，即可得到线面平行；（2）要使多面体ABCDE 体积最大，即BH最大，此时AB BC ={},,HB HC HP 为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系H xyz -，于是可以得到(0,1,0)A -，(1,0,0)B ，(0,1,2)E -,(0,1,1)D ，(1,1,0),(1,1,2),(0,2,1)AB BE DE ==--=-，设两个法向量求解，最后算余弦值时要判断二面角是钝角还是锐角． 【详解】（1）分别取,AB EB 中点,M N ，连结,,CM MN ND . 在梯形ACDE 中，//DC EA 且12DC EA =，且,M N 分别为,BA BE 中点 ∴//MN EA ，12MN EA =∴//MN CD ，MN CD = ∴四边形CDNM 是平行四边形 ∴//CM DN 又14EG EB =，N 为EB 中点，∴G 为EN 中点， 又F 为ED 中点 ∴//GF DN ∴//GF CM又CM ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ∴//GF 平面ABC （2）在平面ABC 内，过B 作BH AC ⊥交AC 于H .平面ACDE ⊥平面ABC ，平面ACDE 平面ABC AC =，BH ⊂平面ABC ，BH AC ⊥， ∴BH ⊥平面ACDE ∴BH 即为四棱锥B ACDE -的高，又底面ACDE 面积确定，所以要使多面体ABCDE 体积最大，即BH最大，此时AB BC ==过点H 作//HP AE ，易知HB ，HC ，HP 两两垂直，以{},,HB HC HP 为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系H xyz - 则(0,1,0)A -，(1,0,0)B ，(0,1,2)E -,(0,1,1)D 设1111(,,)n x y z =为平面ABE 的一个法向量，则 110n AB n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以11111020x y x y z +=⎧⎨--+=⎩，取1(1,1,0)n =- 设2222(,,)n x y z =为平面DBE 的一个法向量，则 110n DE n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以222222020y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩，取2(3,1,2)n = 所以1212127cos ,7n n n n n n ⋅==⋅， 由图，二面角A BE D --为钝二面角，所以二面角A BE D --的余弦值为【点睛】本题考查利用建系法求二面角的余弦值，易错点在于判断二面角是钝角．20．为提高玉米产量，某种植基地对单位面积播种数为x 与每棵作物的产量y 之间的关系进行了研究，收集了11块试验田的数据，得到下表：技术人员选择模型21y a bx =+作为y 与x 的回归方程类型，令2i iu x =，i i v y=，相关统计量的值如下表：由表中数据得到回归方程后进行残差分析，残差图如图所示：（1）根据残差图发现一个可疑数据，请写出可疑数据的编号（给出判断即可，不必说明理由）；（2）剔除可疑数据后，由最小二乘法得到关于的线性回归方程ˆˆv u βα=+中的ˆ0.03β=，求y 关于x 的回归方程； （3）利用（2）得出的结果，计算当单位面积播种数x 为何值时，单位面积的总产量w xy =的预报值最大？（计算结果精确到0.01）．附：对于一组数据11(,)u v ，22(,)u v ，⋅⋅⋅，(,)n n u v ，其回归直线ˆˆv u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为121()()ˆ()niii nii u u v v u u β==--=-∑∑，ˆˆv u αβ=- 5.48≈． 【答案】（1）10（2）212.503ˆ0.yx =+（3）9.13【分析】（1）根据残差图发现10号与其它编号的数据差异明显，故可疑数据的编号为10；（2）先去掉10号的数据，然后分别求出u 与v ，即可得到v 关于u 的线性回归方程，进而得到y 关于x 的回归方程；（3）先求出w 的表达式，然后利用基本不等式可以求出最大值．【详解】（1）可疑数据为第10组（2）剔除数据()10,0.25后，在剩余的9组数据中，11101600100501010i i u u u =--===∑，1110144441010i i v v v =--===∑所以0.03ˆv u α=-⋅=4500.03 2.5-⨯=， 所以v 关于u 的线性回归方程为0.03.5ˆ2vu =+ 则y 关于x 的回归方程为212.503ˆ0.yx =+（3）根据（2）的结果并结合条件，单位面积的总产量的预报值w 当且仅当2.50.03x x =时，等号成立，此时9.13x ===， 即当9.13x =时，单位面积的总产量w 的预报值最大，最大值是1.83.【点睛】本题考查了线性回归方程的知识，考查了基本不等式求最值，属于中档题． 21．已知函数()2ln()f x ax b =+，其中a ，b R ∈．（I ）若直线y x =是曲线()y f x =的切线，求ab 的最大值；（Ⅱ）设1b =，若关于x 的方程()222()21f x a x a a x a =++++有两个不相等的实根，求a 的最大整数值．（参考数据：5ln 0.2234≈） 【答案】（Ⅰ）4e （Ⅱ）–1【分析】（I ）设出直线y x =与()y f x =相切的切点坐标为()()00,2ln P x ax b +，然后对函数进行求导，这样可以得到()0021af x ax b'==+，切点又在直线y x =上，这样可以得到0222ln 2b a ax a a a =-=-，则有2222ln 2(0)ab a a a a =->，设函数22()22ln 2(0)g a a a a a =->，求导，判断函数()g a 的单调性，最后求出函数()g a 的最大值，也就求出ab 的最大值；（Ⅱ）方法1：原方程化为22ln(1)(1)(1)ax ax a ax +=+++，令1ax t +=进行换元，方程等价于22ln (0)t t at t =+>，构造函数2()2ln (0)p t t t at t =-->，原问题等价于函数()p t 需有两个不同的零点．对函数()p t 进行求导，根据函数()p t 的导函数的单调性，可以知道()0p t '=在()0+∞，上存在唯一实根0t ，这样可以判断出函数()p t 的单调性，然后根据a 的正负性进行分类讨论，根据函数的单调性最后求出a 的最大整数值．方法2：原方程即为22ln(1)(1)(1)ax ax a ax +=+++，设1ax t +=， 则原方程等价于关于t 的方程22ln 0(0)t t at t --=>有两个不同的解，即关于t 的方程22ln (0)t t a t t -=>）有两个不同的解．构造函数22ln ()t t h t t-=，求导得，得到函数的单调性，最后求出a 的最大整数值．，【详解】解：（I ）设直线y x =与()y f x =相切于点()()00,2ln P x ax b +．因为2()a f x ax b '=+，所以()0021a f x ax b '==+ 所以02(0)ax b a a +=>．又因为P 在切线y x =上，所以()002ln ax b x +=所以()002ln 2ln2x ax b a =+=，0222ln 2b a ax a a a =-=-， 因此2222ln 2(0)ab a a a a =->. 设22()22ln 2(0)g a a a a a =->，则由()24ln22(12ln2)0g a a a a a a '=-=->解得0a <<. 所以()g a在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭上单调递减， 可知()g a的最大值为e4g =⎝⎭， 所以ab 的最大值为4e.（Ⅱ）方法1：原方程即为22ln(1)(1)(1)ax ax a ax +=+++， 设1ax t +=，则上述方程等价于22ln (0)t t at t =+>．设2()2ln (0)p t t t at t =-->，则函数()p t 需有两个不同的零点． 因为2()2p t t a t'=--在()0+∞，上单调递减， 且()0p t '=在()0+∞，上存在唯一实根0t ， 即0()0p t '=，即20022at t =-．所以当()00,t t ∈时，()0p t '>，当()0,t t ∈+∞时，()0p t '<． 因此()p t 在()00,t 上单调递增，在()0,t +∞上单调递减． 若0a >，则0(0,1)t ∈．()()2222000000000()2ln 2ln 222ln 20p t p t t t at t t t t t ≤=--=---=+-<，不合题意，舍去． 若0a <，则0(1,)t ∈+∞．当(0,1)t ∈时，则2()2ln 2ln ||p t t t at t a =--<+， 取||21et α-=，则()10p t <；当(1,)t ∈+∞时，则222()2ln 2(1)(2)p t t t at t t at t a t =--<---<-+-， 取22||t a =+，则()20p t <．由此102t t t <<，且()10p t <，()20p t <.要使函数2()2ln (0)p t t t at t =-->有两个不同的零点，则只需()200002ln 0p t t t at =-->，所以只需()()2220000002ln 222ln 20p t t t t t t =---=+->.因为()20002ln 2p t t t =+-是关于0t 的增函数．且(1)10p =-<，5572ln 04416p ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭所以存在51,4m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()0p m =，所以当0t m >时，()00p t >． 因为0022a t t =-是关于0t 的减函数， 所以002222a t m t m=-<- 又因为292,010m m ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以a 的最大整数值为1-．方法2：原方程即为22ln(1)(1)(1)ax ax a ax +=+++，设1ax t +=， 则原方程等价于关于t 的方程22ln 0(0)t t at t --=>有两个不同的解， 即关于t 的方程22ln (0)t t a t t -=>）有两个不同的解． 设22ln ()t t h t t -=，则2222ln ()t t h t t '--=. 设2()22ln m t t t =--，由0t >知2()20m t t t'=--<，所以2()22ln m t t t =-- 在区间(0,)+∞上单调递减，又575(1)10,2ln 04164m m ⎛⎫=>=-< ⎪⎝⎭，所以存在051,4t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00m t =.当()00,t t ∈时，()0m t >，()0h t '>；当()0,t t ∈+∞时，()0m t <，()0h t '<．所以()h t 在()0,t 上单调递增，在()0t +∞，上单调递减， 所照()22000000002ln 22292,010t t t h t t t t t --⎛⎫===-∈- ⎪⎝⎭． 要使得关于t 的方程22ln (0)t t a t t-=>有两个不同的解，则()0a h t <. 当1a =-时，设2()2ln p t t t t =-+，则2()21p t t t '=-+，可知()p t在⎛ ⎝⎭上单调递增，在⎫+∞⎪⎝⎭单调递减． 又(1)0p =，0p >⎝⎭，2(e)2e e 0p =-+<，()p t 有两个不同的零点，符合题意．所以a 的最大整数值为–1．【点睛】本题考查了导数的几何意义、考查了利用用导数，根据方程根的情况求参数取值范围问题，转化思想、构造新函数，利用新函数的单调性是解题的关键.22．已知1F 、2F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，P 是椭圆C 上异于左、右顶点A 、B 的任一点，当12PF F △12PF F △为正三角形． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）设PB 交直线4x =于M ，AM 交椭圆C 于Q ． （i ）证明：AP AQ k k ⋅为定值； （ii ）求APQ 面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=；（2）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）92.【分析】（1）根据题意可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆C 的标准方程；（2）（i ）设点()11,P x y 、()22,Q x y ，求出点M 的坐标，可得出AQ AM k k =，再由()2211344y x =-可求得AP AQ k k ⋅的值； （ii ）设直线PQ 的方程为x my t =+，将直线PQ 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由14AP AQ k k ⋅=-求出1t =，可得出APQ 的面积关于m 的关系式，利用换元法结合函数单调性可求得APQ 面积的最大值． 【详解】（1）由题意可得：()12maxPF FS bc =△由12PF F △为正三角形可得：2a c =，则b =，解得：2a =，b =1c =，所以，椭圆C 的标准方程为22143x y +=；（2）（ⅰ）证明：由题意设()11,P x y 、()22,Q x y ， 又()2,0A -、()2,0B ，112AP k y x +=，112BP y k x =-，直线BP 的方程为()1122y y x x =--， 在直线BP 的方程中，令4x =，可得1122y y x =-，则点1124,2y Q x ⎛⎫⎪-⎝⎭， 所以，()1111224232AQAMy x y kk x -===+-， 因为点P 在椭圆C 上，则2211143x y +=，可得()2121344x y -=，所以()()()()221111221111341423243434AP AQx y y y k kx x x x -⋅=⋅===-+---； （ⅱ）设直线PQ 的方程为x my t =+，联立223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩，整理可得()2223463120m y mty t +++-= 由韦达定理122212263431234mt y y m t y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 由()()12121212122224AP AQ y y y y k k x x my t my t ⋅=⋅==-++++++，整理得()()()()2212124220m y y m t y y t ++++++=，即()()()()222224312622034m t m t t t m +--+++=+，易知直线PQ 不过点A ，则2t ≠-，整理可得10t -=，解得1t =.此时直线PQ 为的方程为1x my =+，()()22236363414410m m m ∆=++=+>，21211322APQS AF y y =⋅-=⨯=△， 今1λ，则221m λ=-，则218181313APQ S λλλλ==++△，设()13f λλλ=+，其中1λ≥，任取1λ、[)21,λ∈+∞，且12λλ>，()()()()()1212211212121212123111333f f λλλλλλλλλλλλλλλλλλ--⎛⎫⎛⎫--=+-+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，121λλ>≥，则120λλ->，121λλ>，()()12f f λλ∴>，所以，函数()f λ在[)1,+∞上单调递增，所以，当1λ=时，APQ 的面积取最大值92.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．。
河北省衡水中学2021届高三数学下学期三模试题 文(含解析)
河北省衡水中学2021届高三数学下学期三模试题 文（含解析）一、选择题1.设集合01x M xx ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭，1,02xN y y x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则M N =（ ）A. []0,1B. {}0C. ()0,1D. (]0,1【答案】C 【解析】 【分析】先解分式不等式得{}01M x x =≤<，再求函数1,02xy x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭的值域得{}01N y y =<≤，再求集合交集运算即可.【详解】解：解分式不等式01xx ≥-得01x ≤<，故{}0011x M xx x x ⎧⎫=≥=≤<⎨⎬-⎩⎭， 再求函数1,02x y x ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭的值域得01y <≤，故{}1,0012x N y y x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫==≥=<≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.所以M N =()0,1.故选：C【点睛】本题考查分式不等式的解法，指数函数的值域求解，集合的交集运算，是基础题. 2.若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最小值是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】A 【解析】 【分析】设z x yi =+，得到()()22221x y ++-=，化简得到12z i --=据其几何意义计算得到答案.【详解】设z x yi =+，则()()22221z i x y i +-=++-==，即()()22221x y ++-=，表示圆心为()2,2-，半径为1r =的圆.()()()()22121212z i x y i x y --=-+-=-+-，表示点(),x y 和()1,2之间的距离，故()()min 12122z i r --=---=.故选：A.【点睛】本题考查了复数的模，与圆相关距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.3.已知直线m 、n 和平面α，在下列给定的四个结论中，m //n 的一个必要但不充分条件是（ ） A. m //α，n //α B. m ⊥α，n ⊥αC. m //α，n ⊂αD. m 、n 与α所成的角相等【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行与面面平行的性质定理逐个进行验证即可得到答案. 【详解】解：A ：m 、n 可以都和平面α垂直，不必要 ； B ：m 、n 可以都和平面α平行，不必要 ； C ：n 没理由一定要在平面α内，不必要 ；D ：由m ∥n ⇒m ，n 与α所成的角相等，反之，m ，n 与α所成的角相等不一定推出m ∥n . 故选：D.【点睛】解决此类问题的关键是熟练掌握判断空间中直线与平面位置关系（平行关系、垂直关系）判断定理与性质定理，并且能够灵活的应用.4.从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图数据如图.根据茎叶图，下列描述正确的是（ ）A. 甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的中位数大于甲种树苗的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐 【答案】B 【解析】 【分析】由茎叶图将甲、乙两组数据从小到大排列，分别求出它们的中位数，再根据每组数据的分散情况判断，即可得出答案．【详解】解：由茎叶图知，甲组数据从小到大排列为： 10，10，12，24，25，30，43，45，45，46；其中位数是1(2530)27.52⨯+=，且数据分布比较分散；乙组数据从小到大排列为：17，20，21，23，24，26，31，31，32，35； 其中位数是1(2426)252⨯+=，且数据分布比较集中；所以甲种树苗的中位数大于乙种树苗的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐． 故选：B.【点睛】本题考查利用茎叶图中的数据判断中位数和数据分散情况，是基础题．5.已知,a b 是两个非零向量，其夹角为θ，若()()a b a b +⊥-，且2a b a b +=-，则cos θ=（ ）A.12B.35C. 12-D. 【答案】B 【解析】 【分析】由()()a b a b +⊥-可得a b =，再由2a b a b +=-两边平方可得235a b a ⋅=，代入公式cos a ba bθ⋅=⋅可得答案.【详解】由()()a b a b +⊥-，得()()0a b a b +⋅-=，可得220a b -=，即a b =. 由2a b a b +=-，可得224a b a b +=-，即()2222+242a a b b a a b b ⋅+=-⋅+整理得235a b a ⋅=22335cos 5aa b a ab θ⋅===⋅故选：B【点睛】本题考查向量数量积的运算性质，求向量的夹角的余弦值，将向量模长平方转化为数量积运算是解决本题的关键，属于中档题.6.已知()f x 的图像关于原点对称，且当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '->（其中()f x '是()f x 的导函数），0.53(0.5),(log )(log 3)2a f b f ππ-==，9131(log )(log 9)3c f =，则下列关系式正确的是（ ） A. c a b >> B. b a c >> C. a c b >> D. a b c >>【答案】A 【解析】试题分析：由()()0f x xf x '->得()()()'2()0f x xf x f x xx -'=<，即当(,0)x ∈-∞时，()f xx 单调递减；又函数()f x 的图像关于原点对称，所以()f x x是偶函数，且当()0,+∞时，()f x x单调递增；0.5130.5log 31,log 92π-=<<=-，∴0.513log 90.5log 3π->>，因此c a b >>．考点：1、函数的单调性；2、导函数；3、函数的奇偶性．【技巧点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、比大小的综合应用，属于难题；本题应先根据已知条件得到函数()f x x的单调性和奇偶性，碰到比较三个数大小的问题，常见的解决方法有：作差、作商、借助中间量、单调性等，本题是利用函数的单调性和奇偶性，从而比较出几个数的大小，判断单调性是本题的关键． 7.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，且2tan 3α=．若角α的终边上有一点P ，其纵坐标为4-，有下列三个结论：①点P 的横坐标是6；②cos α=③sin20α>．则上述结论中，正确的个数为( ) A. 0 B. 1C. 2D. 3【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数定义逐一分析四个答案结论的真假，可得答案．【详解】解：已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合， 若角α的终边上有一点P ，其纵坐标为4-，即设为(,4)P x -，且2tan 03α=>．所以角α是第三象限的角， 下列三个结论：①角α的终边上有一点P ，其纵坐标为4-，即(,4)P x -，24tan 3y x xα-===．解得6x =-，所以点P 的横坐标是6-，①错误； ②(,4)P x -，且2tan 03α=>．所以角α是第三象限的角，由2211tan cos αα+=，cos α=③sin 22sin cos ααα=，由②可知道；cos α=2tan 03α=>．所以角α是第三象限的角，sin 0α<．所以sin 22sin cos 0ααα=>，所以③正确； 则上述结论中，正确的个数为1个， 故选B ．【点睛】本题考查三角函数的定义，属于基础题．8.2019年10月1日上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门广场隆重举行，这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异，去年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵，他们是由军事科学院，国防大学，国防科技大学联合组建，若已知甲，乙，丙三人来自上述三所学校，学位分别有学士、硕士、博士学位，现知道：①甲不是军事科学院的，②来自军事科学院的均不是博士，③乙不是军事科学院的，④乙不是博士学位，⑤来自国防科技大学的是硕士，则甲是来自哪个院校的，学位是什么（ ） A. 国防大学，博士 B. 国防科技大学，硕士 C. 国防大学，学士 D. 军事科学院，学士【答案】A 【解析】 【分析】根据题目所给5个知道的条件，判断出甲的院校和学位. 【详解】由①③可知，丙是军事科学院的. 进而由②④可知，乙丙不是博士，故甲是博士.进而由⑤可知甲不是来自国防科技大学，所以甲来自国防大学. 所以甲来自国防大学，学位是博士. 故选：A【点睛】本小题主要考查合情推理，属于基础题. 9.已知方程22log 0xx --=的两根分别为1x ，2x ，则（ ）A. 1212x x <<B. 122x x >C. 121=x xD.1201x x <<【答案】D 【解析】 【分析】根据2xy -=与2log y x =的图象，初步判断12,x x 的范围，再根据对数运算即可得出答案. 【详解】不妨设12x x <，作出2xy -=与2log y x =的图象，如图.由图可知1201x x <<<，则12121log l 2og x x x -==-，22222log o 2l g x x x -==，那么()212122212log log log 220x x x x x x --+==-<，则1201x x <<. 故选：D.【点睛】本题考查指数函数和对数函数的图像，涉及指数函数单调性，对数函数单调性，属于中档题.10.如图所示，四边形ABCD 是正方形，其内部8个圆的半径相等，且圆心都在正方形的对角线上，在正方形ABCD 内任取一点，则该点取自阴影部分的概率为（ ）A. (32)π-B. (21)πC.8π D.4π 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形的边长为1，圆的半径为r ，根据圆心都在正方形的对角线上，建立边长与半径的关系，求得半径，进而求得8个圆的面积，再代入几何概型的概率公式求解. 【详解】设正方形的边长为1，圆的半径为r ， 因为圆心都在正方形的对角线上， 如图所示：11223344BD DO OO O O O O O B =++++，即)222222r r r ++=， 解得224r -=， 所以阴影部分的面积为：(22228832S r πππ-===-⎝⎭，所以该点取自阴影部分的概率为((3223221p ππ-==-.故选：A【点睛】本题主要考查几何概型的概率求法，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题. 11.三棱锥S-ABC 的底面各棱长均为3，其外接球半径为2，则三棱锥S-ABC 的体积最大时，点S 到平面ABC 的距离为（ ） A. 23 B. 23C. 3D. 2【答案】C 【解析】 【分析】采用数形结合，依据题意，点S 在底面的投影为ABC 的中心时，三棱锥S-ABC 的体积最大，简单计算，可得结果.【详解】设点S 到底面的距离为h ，则13△=-S ABC ABC V S h 当三棱锥S-ABC 的体积最大时，即h 最大 由题可知：ABC 为边长为3的等边三角形，则点S 在底面的投影为ABC 的中心M ，且OS ⊥底面ABC如图所示又3AB =，所以2sin 6033=⋅⋅=AM AB 又2==OA OS ，所以221OM OA AM =-= 所以3=+=SM OM OS 故选：C【点睛】本题考查立体几何的应用，本题关键在于知道点S 在底面的投影为ABC 的中心时，三棱锥S-ABC 的体积最大，考验分析问题的能力，审清题意，细心计算，属中档题. 12.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若60A ∠=︒，1b >，12c a =+，当ABC 的周长最短时，b 的值为（ ） A.222 C. 212+D. 12【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得21241-+=-b b a b ，计算周长可得()()3931212-++-b b ，然后使用基本不等式并得到周长取最小值条件，可得结果.【详解】由题可知：60A ∠=︒，12c a =+则2222cos a b c bc A =+-，所以2221122⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝+⎭+a a b a b ， 又1b >，所以21241-+=-b b a b ，记ABC 的周长为l 则21242112-+=++=⋅+-+b b l a b c b b 则()()39993121222=-++≥=+-l b b 当且仅当()()331121-=⇒=+-b b b 12-（舍）取等号所以当ABC 的周长最短时，b 的值为1 故选：C【点睛】本题考查余弦定理解三角形，关键在于找到21241-+=-b b a b ，同时基本不等式知识的渗透使用，熟练掌握三角形中边角转化以及三角函数、不等式的交叉使用，属中档题. 二、填空题13.设,x y 满足约束条件22022x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值是____________.【答案】-6 【解析】 【分析】由约束条件画出可行域,再变形2z x y =-为2y x z =-,即在可行域内找到使该直线截距最大的点,进而求解.【详解】由题,可行域如图所示,设2y x z =-,平移直线,当直线与点()2,2A -相交时,直线的截距最大, 所以z 的最小值为()2226⨯--=-, 故答案为:6-【点睛】本题考查利用目标函数的几何意义求最值,考查简单的线性规划问题,考查数形结合思想.14.()()1tan191tan 26+︒⋅+︒=______. 【答案】2 【解析】 【分析】利用两角和的正切公式进行化简求值. 【详解】由于()tan19tan 26tan 45tan 192611tan19tan 26︒+︒︒=︒+︒==-︒⋅︒，所以tan19tan 261tan19tan 26︒+︒=-︒⋅︒， 即tan19tan 26tan19tan 261︒+︒+︒⋅︒=， 所以()()1tan191tan 26+︒⋅+︒=1tan19tan 26tan19tan 262=+︒+︒+︒⋅︒=故答案为：2【点睛】本小题主要考查两角和正切公式，属于中档题.15. 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，及根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b （b ＞a ）以及常数x （0＜x ＜1）确定实际销售价格c=a+x （b ﹣a ），这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得（c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项，据此可得，最佳乐观系数x 的值等于 ． 【答案】【解析】试题分析：根据题设条件，由（c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项，知[x （b ﹣a ）]2=（b ﹣a ）2﹣x （b ﹣a ）2，由此能求出最佳乐观系数x 的值． 解：∵c﹣a=x （b ﹣a ），b ﹣c=（b ﹣a ）﹣x （b ﹣a ）， （c ﹣a ）是（b ﹣c ）和（b ﹣a ）的等比中项， ∴[x（b ﹣a ）]2=（b ﹣a ）2﹣x （b ﹣a ）2， ∴x 2+x ﹣1=0， 解得，∵0＜x ＜1， ∴．故答案为． 点评：本题考查等比数列的性质和应用，解题时要注意等比中项的计算．16.已知函数()1xf x e ax =--，()ln 1g x x ax =--，其中01a <<，e 为自然对数的底数，若0(0,)x ∃∈+∞，使()()000f x g x >，则实数a 的取值范围是___________． 【答案】21(0,)e 【解析】 【分析】根据常用不等式1x e x >+，可转化为()00g x >，然后使用分离参数ln 1<-x a x x，并构造函数()ln 1=-x h x x x，利用导数研究该函数的最值，简单计算可得结果. 【详解】令()1=--xM x e x ，()0,x ∈+∞ 则()1'=-xM x e ，当()0,x ∈+∞时，()0'>M x所以()M x 在()0,∞+单调递增，所以()()00M x M >=所以1x e x >+由01a <<，所以当()0,x ∈+∞时，()10=-->xf x e ax故若0(0,)x ∃∈+∞，使()()000f x g x > 转化为0(0,)x ∃∈+∞，()00g x > 则()000ln 10=-->g x x ax ，即000ln 1<-x a x x 令()ln 1=-x h x x x ，()22ln -'=xh x x若()20,x e∈时，()0h x '>，若()2,x e ∈+∞时，()0h x '<所以函数()h x 在()20,e递增，在()2,e +∞递减所以()()22222ln 11≤=-=e h x h e e e e所以210a e <<，即210,a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭故答案为：210,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查导数的应用，本题难点在于对()10=-->xf x e ax 的理解，同时等价转化，化繁为简，同时掌握常用的不等式，比如1x e x >+，属中档题. 三、解答题 （一）必考题17.已知数列{}n a 中，11a =，当2n ≥时，11---=⋅n n n n a a a a（Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；（Ⅱ）设2121n n n b a a -+=⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：12n T <. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）两边同时除以1n n a a -⋅得：1111n n a a --=，即可得证; （Ⅱ）由（Ⅰ）知1n a n =，112121n b n n =⋅-+，再利用裂项相消法求和即可得证；【详解】解:（Ⅰ）证明：当2n ≥时，由11---=⋅n n n n a a a a ， 两边同时除以1n n a a -⋅得：1111n n a a --=， 由11a =，得111a ，故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知1n a n=， 所以11(21)(21)11121212(21)(21)22121n n n b n n n n n n +--⎛⎫=⋅==- ⎪-+-+-+⎝⎭， 所以111111123352121n T n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭. 因为1021n >+，故12n T <.【点睛】本题考查构造法求数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于基础题.18.已知四边形ABCD 是梯形(如图1)，//AB CD ，AD DC ⊥，2CD =，1AB AD ==，E 为CD 的中点，以AE 为折痕把ADE 折起，使点D 到达点P 的位置(如图2)，且3PC =.（1）求证：平面PAE ⊥平面ABCE ；（2）求点C 到平面PBE 的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）6. 【解析】 【分析】（1）取AE 的中点M ，连接PM ，BM ，CM ，根据1AP PE ==，易得PM AE ⊥，再利用平面几何知识，由222PM MC PC +=，得到PM MC ⊥，利用线面垂直的判定定理得到PM ⊥平面ABCE ，进而由面面垂直的判定定理得证.（2）由（1）知，PM ⊥平面ABCE ，PBE △为正三角形且边长为1， 设点C 到平面PBE 的距离为d ，由等体积法1133P BEC BEC PBE V S PM S d -=⨯⨯=⨯⨯△△求解. 【详解】（1）证明：连接BE ，因为//AB CD ，AD DC ⊥，2CD =，E 为CD 的中点，1AB AD ==， 所以四边形ABED 是边长为1的正方形，且BE EC =. 如图，取AE 的中点M ，连接PM ，BM ，CM ，因为1AP PE ==， 所以PM AE ⊥，且2AE =22PM AM ==. 因为45MBE EBC ∠=∠=︒， 所以BM BC ⊥. 所以2222222101122MC BM BE EC ⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪⎝⎭因为3PC =，2PM =，10MC =，所以222PM MC PC +=， 所以PM MC ⊥. 因为AE MC M ⋂=， 所以PM ⊥平面ABCE . 因为PM ⊂平面PAE ， 所以平面PAE ⊥平面ABCE .（2）由（1）知，PM ⊥平面ABCE ，BE EC ⊥，且1BE EC ==.因为1PB ==，所以PBE △为正三角形且边长为1. 设点C 到平面PBE 的距离为d ， 则1133P BEC BEC PBE V S PM S d -=⨯⨯=⨯⨯△△，所以2111323BE EC PM BE d ⨯⨯⨯⨯=⨯，即2111111323d ⨯⨯⨯=⨯，解得d =.所以点C 到平面PBE 的距离为3. 【点睛】本题主要考查线面垂直，面面垂直，线线垂直的转化以及等体积法求点到平面的距离问题，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.19.2021年1月底因新型冠状病毒感染的肺炎疫情形势严峻，避免外出是减少相互交叉感染最有效的方式．在家中适当锻炼，合理休息，能够提高自身免疫力，抵抗该种病毒．某小区为了调查“宅”家居民的运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：（1）求a 的值，并估计这100位居民锻炼时间的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）小张是该小区的一位居民，他记录了自己“宅”家7天的锻炼时长：序号n1 2 3 4 5 6 7 锻炼时长m （单位：分钟） 10151220302535（Ⅰ）根据数据求m 关于n 的线性回归方程；（Ⅱ）若4m x -≥（x 是（1）中的平均值），则当天被称为“有效运动日”．估计小张“宅”家第8天是否是“有效运动日”？附；在线性回归方程y bx a =+中，()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-．【答案】（1）0.03a =，30.2；（2）（Ⅰ）11334287m n =+，（Ⅱ）估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的特征，各小矩形面积之和为1，即可求出a 的值，再根据平均值等于各小矩形的面积乘以其底边中点的横坐标之和，即可求出；（2）（Ⅰ）根据最小二乘法，分别计算出ˆb和ˆa ，即可求出m 关于n 的线性回归方程； （Ⅱ）根据线性回归方程，令8n =，求出预测值m ，再验证是否满足4m x -≥，即可判断． 【详解】（1）()0.0050.0120.0350.0150.003101a +++++⨯=，0.03a ∴=．50.00510150.01210250.0310350.03510450.0151055x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯0.0031030.2⨯=（分钟）． （2）（Ⅰ）123456747n ++++++==，10151220302535217m ++++++==，()()()()()()()()()7114102124152134122144iii n n m m =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-+-⨯∑()()()()()()()2021543021642521743521113-+-⨯-+-⨯-+-⨯-=，11328b =∴，11334214287a =-⨯=，m ∴关于n 的线性回归方程为11334287m n =+．（Ⅱ）当8n =时，1133426082877m =⨯+=． 26030.247->， ∴估计小张“宅”家第8天是“有效运动日”． 【点睛】本题主要考查利用频率分布直方图估计总体的数字特征，利用最小二乘法求线性回归方程，以及利用线性回归方程进行预测，意在考查学生的数学运算能力和数据分析能力，属于基础题．20.已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>和圆()2222:0C x y r r +=>，1F 、2F 为椭圆1C 的左、右焦点，点(B 在椭圆1C 上，当直线1BF 与圆2C 相切时，2r = （I ）求1C 的方程；（Ⅱ）直线():0,0l y kx m k m =+>>与椭圆1C 和圆2C 都相切，切点分别为M 、N ，求OMN 面积的最大值．【答案】（Ⅰ）22143x y +=；（Ⅱ）14. 【解析】【分析】（I ）根据已知条件求得b 和a 的值，由此可得出椭圆1C 的方程；（Ⅱ）将直线l 的方程与椭圆1C 的方程联立，由0∆=可得出2243m k =+，并求出点M 的坐标，根据圆的切线的性质可得出直线ON 的方程为1=-y x k，与直线l 的方程联立可求得点N 的坐标，求得直线l 与x 轴的交点Q 的坐标，利用三角形的面积公式以及基本不等式可求得OMN 面积的最大值．【详解】（Ⅰ）由题可知b =设()1,0F c -，则由1BF与圆相切时2r =，得2bc a =，即2a c =．② 将①②代入222a b c =+，解得2a =，所以椭圆1C 的方程为22143x y +=；（Ⅱ）设点()11,M x y 、()22,N x y ，将y kx m =+代入22143x y +=得()2224384120k x kmx m +++-=．由直线l 与椭圆1C 相切得()()2222644434120k m k m ∆=-+-=，即2243m k =+，且1212443343km x k m y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 由直线l 与圆2C 相切，设1:ON y x k =-，与y kx m =+联立得222211km x k m y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，设直线():0,0l y kx m k m =+>>与x 轴交于点Q ，则,0m Q k ⎛⎫-⎪⎝⎭．所以OMN 的面积为21221322143OMN m m m S OQ y y k k k =⋅-=⋅-++△()()()222211124143211222m k m k k k k k k k k k===≤=⎛⎫++++⨯⋅ ⎪⎝⎭， 当且仅当1k =时等号成立， 所以OMN 的面积的最大值为14． 【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中三角形面积最值的求解，考查计算能力，属于难题.21.已知函数()ln 1f x ax x bx =++，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为x 轴． （Ⅰ）求a ，b 的值，并讨论()f x 的单调区间； （Ⅱ）求证1000101001101()e ()1000100<<，其中e 为自然对数的底数． 【答案】（Ⅰ）11a b =⎧⎨=-⎩；()f x 在()0,1上单调递减；()f x 在(1,)+∞上单调递增；（Ⅱ）证明见解析.【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意，得到(1)0(1)0f f =⎧⎨='⎩，解方程组，求得11a b =⎧⎨=-⎩，从而求得()ln f x x '=，从而求得函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）得()()01x f f ≥=，即ln 10x x x -+≥对任意()0,x ∈+∞成立．之后应用分析法证明即可.【详解】（Ⅰ）()ln f x a x a b =++，由题意知(1)01(1)01f a f b ⎧==⎧⇒=-'⎨⎨=⎩⎩；()ln f x x '=， 令()0f x '=，解得1x =，当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在()0,1上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上单调递增； （Ⅱ）由（Ⅰ）知()()01x f f ≥=， 即ln 10x x x -+≥对任意()0,x ∈+∞成立． 要证101101e ()100<，只需证1011101ln()100<． 在不等式ln 10x x x -+≥中， 令101100x =，则有101101101ln()10100100100-+>， 即101011ln()100100100>，即101110ln()100<成立； 要证10001001()e 1000<，只需证10011000ln()11000<， 即证10011ln()10001000<，只需证10001ln 10011000>-，即证10001000ln101001+>． 在不等式ln 10x x x -+≥中，令10001001x =， 则有100010001000ln 10100110011001-+>，即10001000ln 101001+>成立 综上，不等式10001011001101()e ()1000100<<成立． 【点睛】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有根据切线方程求参数，研究函数的单调性，应用导数证明不等式，属于较难题目. （二）选考题22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求C 与l 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，点(2,2)P -，求11||||PM PN +的值.【答案】（1）22(2)9x y +-=，40x y -+=；（2. 【解析】 【分析】（1）直接利用参数方程和极坐标方程转化公式，可得出C 与l 的直角坐标方程；（2）将直线l 的直角坐标方程化为参数方程，点(2,2)P -在直线上l ，利用参数t 的几何意义，可得11||||PM PN +的值. 【详解】解：（1）因为曲线C 的参数方程为3cos 23sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），所以其直角坐标方程为22(2)9x y +-=，∵直线l的极坐标方程为sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴sin cos 4ρθρθ-=，∴其直角坐标方程为40x y -+=；（2）直线l 过点(2,2)P -且参数方程可表示为2222x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C的方程，得250t --=，则12t t +=125t t =-，∴121211||||5t t PM PN t t -+==.【点睛】本题考查了利用公式把参数方程、极坐标方程转化为直角坐标方程，直线参数方程参数t 的几何意义，考查运算求解的能力和转化与化归思想，是基础题. 23.已知函数()11f x x a x =+--． （1）当2a =-时，解不等式()5f x >； （2）若()3f x a x ≤+，求a 的最小值． 【答案】(1) 4(,)(2,)3-∞-⋃+∞. (2)12. 【解析】分析：（1）利用分段讨论法去掉绝对值，解a=﹣2时对应的不等式即可； （2）由f （x ）≤a|x+3|得a ≥131x x x +++-，利用绝对值三角不等式处理即可.详解：（1）当2a =-时，()13,13,1131,1x x f x x x x x -≤-⎧⎪=-+-<≤⎨⎪->⎩()5f x >的解集为：()4,2,3⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭（2）由()3f x a x ≤+得：113x a x x +≥-++由1321x x x -++≥+，得：11132x x x +≤-++ 得12a ≥（当且仅当1x ≥或3x ≤-时等号成立）， 故a 的最小值为12.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2021年5月河北省衡水中学2021届高三下学期三调考试(三模)数学试卷及解析
2021年5月河北省衡水中学2021届高三下学期三调考试（三模）数学试卷★祝考试顺利★(含答案)一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.1．已知全集U，M，N是U的非空子集，且∁U M⊇N，则必有（）A．M⊆∁U N B．M⊇∁U N C．∁U M＝∁U N D．M⊆N解：全集U，M，N是U的非空子集，且∁U M⊇N，所以M∩N＝∅，所以M⊆∁U N．故选：A．2．哥隆尺是一种特殊的尺子，图1的哥隆尺可以一次性度量的长度为1，2，3，4，5，6．图2的哥隆尺不能一次性度量的长度为（）A．11 B．13 C．15 D．17解：根据题意，如图：假设在图2的哥隆尺中，从左到右，依次有点A、B、C、D、E、F，BE之间的距离为11，可以一次性度量11，CF之间的距离为13，可以一次性度量13，AF之间的距离为17，可以一次性度量17，任意两点间的距离不会等于15，不能一次性度量15，故选：C．3．今天是星期日，经过7天后还是星期日，那么经过82021天后是（）A．星期六B．星期日C．星期一D．星期二解：因为82021＝（7+1）2021＝,故它除以7的余数为1，所以经过7天后还是星期日，那么经过82021天后是星期一．故选：C．4．复数z∈C，在复平面内z对应的点Z，满足1≤|z﹣|≤2，则点Z所在区域的面积（）A．πB．2πC．3πD．4π解：＝＝＝﹣i，|z﹣|＝1，2分别表示以（，﹣）为圆心，1，2为半径的圆，因此有1≤|z﹣|≤2，点Z所在区域的面积＝π×22﹣π×12＝3π，故选：C．5．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则•的取值范围是（）A．[6，12] B．[6，16] C．[8，12] D．[8，16]解：由正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为2，故正六边形ABCDEF的内切圆半径为r＝，外接圆半径R＝4．而＝＝．易知，即||．所以的取值范围是[8，12]．故选：C．。
河北省衡水中学2021届高三数学下学期第三次模拟试题（A卷）理
绝密*启用前 试卷类型：A河北省衡水中学2021届高三数学下学期第三次模拟试题（A 卷）理第Ⅰ卷（选择题 共60分）选择题（每题5分，共60分。
以下每题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．复数i34i a z +=∈+R ，那么实数a 的值是（ ）．A ．43-B ．43C ．34D ．34-2．在等差数列{}n a 中，()()3456814164336a a a a a a a ++++++=，那么该数列的前14项和为（ ）．A ．20B ．21C ．42D ．843．为调查衡水市高中三年级男生的身高情形，选取了5000人作为样本，右图是这次调查中的某一项流程图，假设其输出的结果是3800，那么身高在cm 170以下的频率为( )A ．24.0B ．38.0C ．62.0D ．76.0 4．给出以下命题①假设直线l 与平面α内的一条直线平行，那么l ∥α； ②假设平面α⊥平面β，且l αβ=，那么过α内一点P 与l 垂直的直线垂直于平面β；③00(3,),(2,)x x ∃∈+∞∉+∞；④已知a R ∈，那么“2a <”是“22a a <”的必要不充分条件．其中正确命题的个数是( ) A.4B.3C.2D.15. 在9)1(x x -的展开式中，常数项为（ ） A. －36B. 36C. －84D. 846.以下图为一个几何体的三视图，尺寸如下图,那么该几何体的体积为（ ）A.23π+6 B.23+4π C. 33π+6 D.334π+3 7．设m ，n 别离是前后抛掷一枚骰子取得的点数，那么在前后两次显现的点数中有5的条件下，方程20x mx n ++=有实根的概率为（ ）A ．1136B ．736C ．711D ．7108．假设双曲线222(0)x y a a -=>的左、右极点别离为A 、B ，点P 是第一象限内双曲线上的点。
假设直线PA 、PB 的倾斜角别离为α，β，且(1)m m βα=>，那么α的值是（ ）A ．21m π- B ．2m π C ．21m π+ D ．22m π+9.概念：()00>>=y ,x y )y ,x (F x，已知数列{}n a 知足：()()n ,F ,n F a n 22=()n *∈N ，假设对任意正整数n ，都有k n a a ≥()k *∈N 成立，那么k a 的值为（ ）A ．12B ．2C ．89D ．9810.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以极点A 为球心，2为半径作一个球，那么图中球面与正方体的表面相交所取得的两段弧长之和等于（ ）A. 65πB. 32πC. πD. 67π11. 已知12)(-=xx f ，21)(x x g -=，规定：当)(|)(|x g x f ≥时,|)(|)(x f x h =；当)(|)(|x g x f <时, )()(x g x h -=，那么)(x h （ ）A. 有最小值1-,最大值1B. 有最大值1,无最小值C. 有最小值1-,无最大值D. 有最大值1-,无最小值 12.已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离别离是25,2-，那么知足条件的直线L 共有 （ ）条A.1B.2C.3D.4 Ⅱ卷（主观题 共90分）二、填空题（每题5分，共20分，注意将答案写在答题纸上）13. 由直线x=,3,3==-y x ππ与曲线y=cosx 所围成的封锁图形的面积为14. 设变量x ，y 知足约束条件1121x y x y x y -≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，那么目标函数2x yz x y -=+的最大值为 .15．已知O 是△ABC 的外心，AB=2，AC=3，x+2y=1,假设,AC y AB x AO +=)0(≠xy 则=∠BAC cos16.已知函数()f x 的概念域为[-1,5], 部份对应值如下表，()f x 的导函数/()y f x =的图像如下图。
2021年衡水中学首发高考押题试卷数学(理)新编附答案第三套
2021年衡水中学首发 高考押题试卷新编附答案第三套数学（理）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}13A x x =-<<，{}1,0,1,2B =-，则A B ⋂=（ ）A ．{}1,0,1,2-B ．{}13x x -<< C ．{}0,1,2 D ．{}1,0,1-2.已知复数312z i=+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ） A ．1255i - B ．1255i + C ．3655i - D ．3655i +3.函数()()sin 0,2f x A x A πω⎛⎫=+Φ>Φ< ⎪⎝⎭的图象如图所示，为了得到()cos2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移12π个单位长度C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移12π个单位长度4. 已知圆锥的高为55面积为（ ）A ．4πB ．36π C. 48π D ．24π5.抛物线()2:20E y px p =>的焦点为F ，点()0,2A ，若线段AF 的中点B 在抛物线上，则BF =（ ） A ．54 B ．52C.22 D ．3246.直线3y kx =+与圆()()22234x y -+-=相交于M ，N 两点，若23MN ≥，则k 的取值范围是 （ ）A ．3,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．33,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. 3,3⎡⎤-⎣⎦ D ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 7.某几何体由圆柱挖掉半个球和一个圆锥所得，三视图中的正视图和侧视图如图所示，求该几何体的表面积 （ ）A ．60πB ．75π C. 90π D ．93π8.中央电视台第一套节目午间新闻的播出时间是每天中午12:00到12:30，在某星期天中午的午间新闻中将随机安排播出时长5分钟的有关电信诈骗的新闻报道.若小张于当天12:20打开电视，则他能收看到这条新闻的完整报道的概率是（ ） A ．25 B ．13 C.15 D ．169.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例.若输入n ，x 的值分别为3，3.则输出v 的值为 （ ）A ．15B ．16 C. 47 D ．4810.若函数()xe f x （ 2.71828e =…是自然对数的底数）在()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是（ ）A ．()2x f x -= B ．()2f x x = C.()3x f x -= D ．()cos f x x =11.函数35cos 24sin 0,2222y x x x ππ⎛⎫⎡⎤=--+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的最小值为 （ ） A ．13- B ．0 C.13D ．1 12.已知函数()2sin 1f x x π=+，若函数1x y x+=与()y f x =图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1mi i i x y =+=∑（ ）A ．0B ．m C.2m D ．4m第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设向量a ，b 是两个不共线的向量，若3a b -与a b λ+共线，则实数λ= ．14.设x ，y 满足约束条件2311x x y y x ≤-⎧⎪+≤-⎨⎪≥-+⎩，则目标函数2z x y =-+的最小值是 ．15.已知ABC △满足22BC AC =34C π=，()sin 1sin 2cos AB A B =+，则AB = ． 16.2017年吴京执导的动作、军事电影《战狼2》上映三个月，以56.8亿震撼世界的票房成绩圆满收官，该片也是首部跻身全球票房TOP100的中国电影.小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《战狼2》，并把标识分别为A 、B 、C 、D 的四张电影票放在编号分别为1，2，3，4的四个不同盒子里，让四位好朋友进行猜测：甲说：第1个盒子里面放的是B ，第3个盒子里面放的是C ； 乙说：第2个盒子里面放的是B ，第3个盒子里面放的是D ； 丙说：第4个盒子里面放的是D ，第2个盒子里面放的是C ； 丁说：第4个盒子里面放的是A ，第3个盒子里面放的是C. 小明说：“四位朋友，你们都只说对了一半.” 可以推测，第4个盒子里面放的电影票为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，728S = 记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]0.90=，[]lg991=. （Ⅰ）求1b ，11b ，101b ； （Ⅱ）求数列{}n b 的前1000项和.18.已知国家某5A 级大型景区对每日游客数量拥挤等级规定如下表： 游客数量（百人）[)0,100[)100,200[)200,300300≥拥挤等级优良拥挤严重拥挤该景区对6月份的游客量作出如图的统计数据：（Ⅰ）下面是根据统计数据得到的频率分布表，求a ，b 的值； 游客数量（百人）[)0,100[)100,200[)200,300[]300,400天数 a1041频率b13 215 130（Ⅱ）估计该景区6月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：（Ⅲ）某人选择在6月1日至6月5日这5天中任选2天到该景区游玩，求他这2天遇到的游客拥挤等级均为优的概率.19. 如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60DAB ∠=，点E ，F 分别是边CD ，CB 的中点，AC EF O =，沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆，连接PA ，PB ，PD ，得到如图的五棱锥P ABFED -，且10PB =（1）求证：BD PA ⊥； （2）求四棱锥P BFED -的体积.20. 已知函数()()ln 1f x x a x =--，a R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 在点()()1,1f 点处的切线方程； （Ⅱ）当1x ≥时，()ln 1xf x x ≤+恒成立，求a 的取值范围. 21.已知右焦点为(),0F c 的椭圆222:13x y E a +=关于直线x c =对称的图形过坐标原点. A 是椭圆E 的左顶点，斜率为()0k k >的直线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥.（Ⅰ）当AM AN =时，求AMN △的面积； （Ⅱ）当2AM AN =32k <<.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 是参数）（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且14AB =α的值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()11f x x x =-++，P 为不等式()4f x >的解集； （Ⅰ）求P ；（Ⅱ）证明：当,m n P ∈时，42mn m n +>+.衡水中学2021年高考押题试卷数学（文）参考答案一、选择题1-5:CDDBD 6-10: BBDDA 11、12：AB二、填空题13.13- 14.8或D三、解答题17.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，据已知有72139d +=，解得1d =. 所以{}n a 的通项公式为n a n =[]1lg10b ==,[]11lg111b ==,[]1lg1012n b ==0.110.1.10100.2.1001000.3.1000.n n n b n n ≤<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪=⎩（Ⅱ）因为所以数列{}n b 的前1000项和为190290031=1893⨯+⨯+⨯. 18.解（Ⅰ）15a =，151302b ==（Ⅱ）310解析：（Ⅰ）游客人数在[)0,1000范围内的天数有15天，故 15a =，151302b == （Ⅱ）由题可得游客人数的平均数为50151501025043501=12030⨯+⨯+⨯+⨯（百人）（Ⅲ）从5天中任选两天的选择方案方法有：()()()()()()()()()()1,21,31,41,52,32,42,53,43,54,5 共10种，其中游客拥挤等级均为优的有()()()1,41,54,5，共3种，故所求的概率为310. 19.解析：（Ⅰ）证明：∵点E ，F 分别是边CD ，CE 的中点. ∴//BD EF ，∵菱形ABCD 的对角线互相垂直，∴BD AC ⊥，∴EF AC ⊥， ∴EF AO ⊥,EF PO ⊥，∵AO ⊂平面POA ，PO ⊂平面POA ，AOPO O =，∴EF ⊥平面POA ，∴BD ⊥平面POA ，∴BD PA ⊥ （2）解：设AOBD H =，连接BO ，∵60DAB ∠=，∴ABD ∆为等边三角形，∴4BD =，2BH =，HA =HO PO ==，在RT BHO ∆中，BO ==在PBO ∆中，22210BO PO PB +==，∴PO BO ⊥. ∵PO EF ⊥，EFBO O =，EF ⊂平面BFED ，BO ⊂平面BFED ，∴PO ⊥平面BFED ，梯形BFED 的面积()12S EF BD HO =+⋅=∴四棱锥P BFED -的体积11333V S PO =⋅=⨯=. 20.【解答】解：（Ⅰ）∵()()ln 1f x x a x =--，∴()1f x a x'=-，∴()10f =，()11f a '=-，∴函数()f x 在点()()1,1f 点处的切线方程为()()11y a x =--.（Ⅱ）()()2ln 1ln 11x x a x x f x x x ---=++，令()()()2ln 11g x x x a x x =--≥， 则()ln 12g x x ax '=+-，()1122axg x a x x-''=-=， ①若0a ≤，则()0g x ''>，∴()g x '在()1+∞上单调递增， ∴()()1=120g x g a ''≥->， ∴()g x 在()1+∞，上单调递增， ∴()()10g x g ≥=，∴()2ln 101x x a x x --≥+，即()ln 01xf x x -≥+，不符合题意. ②若102a <<，则当11,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x ''>， ∴()g x '在11,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， ∴()()1120g x g a ''≥=->，∴()g x 在()1,+∞上单调递增， ∴()()10g x g ≥=，∴()2ln 101x x a x x --≥+，即()ln 01xf x x -≥+，不符合题意. ③若12a ≥，则当()1,x ∈+∞上时，()0g x ''≤， ∴()g x '在()1,+∞上单调递减， ∴()()1120g x g a ''≤=-≤， ∴()g x 在()1,+∞上单调递减， ∴()()10g x g ≤=，∴()2ln 101x x a x x --≤+，即()ln 1xf x x ≤+，符合题意. 综上所述，a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.21.【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）)试题分析：（Ⅰ）试题解析：（Ⅰ）由题意得椭圆M 的焦点在x 轴上，∵椭圆M 关于直线x c =对称的图形过坐标原点，∴2a c =，∵223a c =+，∴2334a =，解得24a =.∴椭圆M 的方程为22143x y +=.设()11,M x y ，则由题意知10y >.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π， 又()2,0A -，因此直线AM 的方程为2y x =+.将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=， 解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749AMN S ∆=⨯⨯⨯=.（2）将直线AM 的方程()()20y k x k =+>代入22143x y +=得 ()2222341616120k xk x k +++-=.由()2121612234k x k -⋅-=+得()21223434k x k-=+，故12AM =+=. 由题设，直线AN 的方程为()12y x k=-+，故同理可得21243AN k =+.由2AM AN =得2223443k k k=++，即3246380k k k -+-=. 设()324638f t t t t =-+-，则k 是()f t 的零点，()()22121233210f t t t t '=-+=-≥，所以()f t 在()0,+∞单调递增，又260f=<，()260f =>，因此()f t 在()0,+∞有唯一的零点，且零点k在)22k <<.22.【解答】解：（1）∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ=+， ∴曲线C 的极坐标方程是+4cos ρθ可化为：2=4cos ρρθ，∴224x y x +=，∴()2224x y -+=.（2）将1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入圆的方程()2224x y -+=得：()()22cos 1sin 4t t αα-+=，化简得22cos 30t t α--=.设A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t ，则12122cos 3t t t t α+=⎧⎨=-⎩，∴12AB t t =-==∵AB=.∴cos 2α=±. ∵[)0,απ∈， ∴4πα=或34πα=. ∴直线的倾斜角4πα=或34πα=. 23.【解答】（Ⅰ）解：()2,1112,112,1x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩，由()f x 的单调性及()4f x >得，241x x >⎧⎨≥⎩或241x x ->⎧⎨≤-⎩，解得2x >或2x <-.所以不等式()4f x >的解集为{}22x P x x =><-或. （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知2m >，2n >，所以24m >，24n >，()()()()222244440mn m n m n +-+=-->，所以()()2244mn m n +>+，从而有42mn m n +>+.。
河北省衡水市2021届新高考数学三月模拟试卷含解析
河北省衡水市2021届新高考数学三月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +>C ．()()22112a b -+-< D ．228a b +>【答案】C 【解析】 【分析】根据236a b ==即可得出21l 3og a =+，31l 2og b =+，根据23log log 132⋅=，33log log 222+>，即可判断出结果． 【详解】 ∵236a b ==；∴226log 1og 3l a ==+，336log 1og 2l b ==+；∴2332log 2log 4a b +=++>，2332log og 42l ab =++>，故,A B 正确；()()()()2322223211log log 2log 323log 22a b =>⋅-+-+=，故C 错误；∵()()()22232223log log 2log 2323log 2a b =+++++23232324log log l 23og log 82>+⋅+=⋅，故D 正确故C ． 【点睛】本题主要考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：2a b ab +≥和不等式222a b ab +≥的应用，属于中档题2．函数sin()(0y A x ωϕω=+>，||2ϕπ<，)x R ∈的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）A ．4sin()84y x ππ=-+ B ．4sin()84y x ππ=-C ．4sin()84y x ππ=--D ．4sin()84y x ππ=+ 【答案】A【解析】 【分析】根据图像的最值求出A ，由周期求出ω，可得4sin()8y x πϕ=+，再代入特殊点求出ϕ，化简即得所求.【详解】 由图像知4A =，6(2)82T =--=，216T πω==，解得8πω=， 因为函数4sin()8y x πϕ=+过点(2,4)-，所以4sin(2)48πϕ⨯+=-， sin(2)18πϕ⨯+=-，即22()82k k Z ππϕ=-π⨯++∈，解得32()4k k Z πϕπ=-+∈，因为||2ϕπ<，所以54πϕ=，54sin()4sin()8484y x x ππππ=+=-+.故选：A 【点睛】本题考查根据图像求正弦型函数的解析式，三角函数诱导公式，属于基础题. 3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．53π B ．43π C ．223π+D ．243π+【答案】A 【解析】 【分析】观察可知，这个几何体由两部分构成,：一个半圆柱体，底面圆的半径为1，高为2；一个半球体，半径为1，按公式计算可得体积。
河北省衡水市2021届新高考数学三模考试卷含解析
河北省衡水市2021届新高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，3C π=，若()m c a b =-u r ，(,n a b c =-r，且//m n u r r，则ABC ∆的面积为（ ）A ．3B ．C D ．【答案】C 【解析】 【分析】由//m n u r r ，可得2()(a b c c -=+，化简利用余弦定理可得2221cos 322a b c abπ+-==，解得ab ．即可得出三角形面积． 【详解】解：Q ()m c a b =-u r ，(,n a b c =-+r ，且//m n u r r，2()(a b c c ∴-=，化为：22226a b c ab +-=-．222261cos 3222a b c ab ab ab π+--∴===，解得6ab =．11sin 62222ABC S ab C ∆∴==⨯⨯=． 故选：C ． 【点睛】本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 2．以()3,1A -，()2,2B-为直径的圆的方程是A ．2280x y x y +---= B ．2290x y x y +---= C ．2280x y x y +++-= D ．2290x y x y +++-=【答案】A 【解析】 【分析】设圆的标准方程，利用待定系数法一一求出,,a b r ，从而求出圆的方程. 【详解】设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=，由题意得圆心(,)O a b 为A ，B 的中点， 根据中点坐标公式可得32122a -==，12122b -+==， 又22(32)(12)||342AB r ++--===，所以圆的标准方程为： 221117()()222x y -+-=，化简整理得2280x y x y +---=，所以本题答案为A. 【点睛】本题考查待定系数法求圆的方程，解题的关键是假设圆的标准方程，建立方程组，属于基础题.3．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F ，，过2F 作一条直线与双曲线右支交于A B ，两点，坐标原点为O ，若22215OA a b BF a =+=，，则该双曲线的离心率为（ ） A ．15 B ．10 C ．15 D ．10 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知1212OA c F F ==，1290F AF ∠=︒，再结合双曲线第一定义，可得122AF AF a =+，对1Rt AF B V 有22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF aAF aa +++=，解得2AF a =，再对12Rt AF F △，由勾股定理可得()()22232a a c +=，化简即可求解【详解】如图，因为15BF a =，所以2523BF a a a =-=.因为1212OA c F F ==所以1290F AF ∠=︒. 在1Rt AF B V 中，22211AF AB BF +=，即()()()22222235AF aAF aa +++=，得2AF a =，则123AF a a a =+=.在12Rt AF F △中，由()()22232a a c +=得10c e a ==.故选：B【点睛】本题考查双曲线的离心率求法，几何性质的应用，属于中档题4．设i 为虚数单位，复数()()1z a i i R =+-∈，则实数a 的值是（ ） A ．1 B ．-1C ．0D ．2【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得a 的值. 【详解】复数()()1z a i i R =+-∈， 由复数乘法运算化简可得()11a a i z =++-，所以由复数定义可知10a -=， 解得1a =， 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.5．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，平面α与此正方体相交.对于实数(0d d <<，如果正方体1111ABCD A B C D -的八个顶点中恰好有m 个点到平面α的距离等于d ，那么下列结论中，一定正确的是 A ．6m ≠ B ．5m ≠ C ．4m ≠ D ．3m ≠【答案】B 【解析】 【分析】此题画出正方体模型即可快速判断m 的取值. 【详解】如图（1）恰好有3个点到平面α的距离为d ；如图（2）恰好有4个点到平面α的距离为d ；如图（3）恰好有6个点到平面α的距离为d . 所以本题答案为B.【点睛】本题以空间几何体为载体考查点，面的位置关系，考查空间想象能力，考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力和知识方法的迁移能力，属于难题.6．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线l 与双曲线C的左支交于A 、B 两点.若22,120=∠=oAB AF BAF ，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．3y =±B ．6y x =C ．32=±y x D ．)31=±y x【答案】D 【解析】 【分析】设2AF m =，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可. 【详解】设222222,2cos1203AB AF m BF AB AF AB AF m o ==∴=+-⋅⋅=，由双曲线的定义可知：12,AF m a =-因此12,BF a =再由双曲线的定义可知：12432BF BF a m -=⇒=，在三角形12AF F 中，由余弦定理可知：222212222222112cos120(523)(523)F F AF AF AF AF c a a b a ︒=+-⋅⋅⇒=-⇒+=-2222(423)(423)31b bb a a a⇒=-⇒=-⇒=，因此双曲线的渐近线方程为：)31=±y x .故选：D 【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐近线方程，考查了数学运算能力.7．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ） A ．73斤 B ．72斤 C ．52斤 D ．3斤【答案】B 【解析】 【分析】依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，14a =则52a =，由此利用等差数列性质求出结果． 【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为{}n a ，设首项14a =，则52a =，∴公差5124151512a a d --===---，2172a a d ∴=+=. 故选B 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．设复数z 满足|3|2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)M a b ，则M 不可能为（ ）A ．B ．(3,2)C ．(5,0)D ．(4,1)【答案】D 【解析】 【分析】依题意，设z a bi =+，由|3|2z -=，得22(3)4a b -+=，再一一验证.【详解】 设z a bi =+， 因为|3|2z -=， 所以22(3)4a b -+=， 经验证(4,1)M 不满足， 故选：D. 【点睛】本题主要考查了复数的概念、复数的几何意义，还考查了推理论证能力，属于基础题.9．已知数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是公比为13的等比数列，且10a >，若数列{}n a 是递增数列，则1a 的取值范围为（ ） A ．(1,2) B ．(0,3) C ．(0,2) D ．(0,1)【答案】D 【解析】 【分析】先根据已知条件求解出{}n a 的通项公式，然后根据{}n a 的单调性以及10a >得到1a 满足的不等关系，由此求解出1a 的取值范围. 【详解】由已知得11111113n n a a -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11111113n n a a -=⎛⎫⎛⎫-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.因为10a >，数列{}n a 是单调递增数列，所以10n n a a +>>，则111111111111133n n a a ->⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 化简得111110113a a ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭，所以101a <<. 故选：D. 【点睛】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围，难度一般.已知数列单调性，可根据1,n n a a +之间的大小关系分析问题. 10．要得到函数1cos 2y x =的图象，只需将函数1sin 223y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向左平移3π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移6π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移6π个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位长度 【答案】C 【解析】【分析】根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得. 【详解】为得到11sin222y cosx xπ⎛⎫==+⎪⎝⎭，将1sin223y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），故可得1sin23y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭；再将1sin23y xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭向左平移6π个单位长度，故可得111sin sin236222y x x cosxπππ⎛⎫⎛⎫=++=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.【点睛】本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题.11．某高中高三（1）班为了冲刺高考，营造良好的学习氛围，向班内同学征集书法作品贴在班内墙壁上，小王，小董，小李各写了一幅书法作品，分别是：“入班即静”，“天道酬勤”，“细节决定成败”，为了弄清“天道酬勤”这一作品是谁写的，班主任对三人进行了问话，得到回复如下：小王说：“入班即静”是我写的；小董说：“天道酬勤”不是小王写的，就是我写的；小李说：“细节决定成败”不是我写的.若三人的说法有且仅有一人是正确的，则“入班即静”的书写者是（）A．小王或小李B．小王C．小董D．小李【答案】D【解析】【分析】根据题意，分别假设一个正确，推理出与假设不矛盾，即可得出结论.【详解】解：由题意知，若只有小王的说法正确，则小王对应“入班即静”，而否定小董说法后得出：小王对应“天道酬勤”，则矛盾；若只有小董的说法正确，则小董对应“天道酬勤”，否定小李的说法后得出：小李对应“细节决定成败”，所以剩下小王对应“入班即静”，但与小王的错误的说法矛盾； 若小李的说法正确，则“细节决定成败”不是小李的， 则否定小董的说法得出：小王对应“天道酬勤”，所以得出“细节决定成败”是小董的，剩下“入班即静”是小李的，符合题意. 所以“入班即静”的书写者是：小李. 故选：D. 【点睛】本题考查推理证明的实际应用.12．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B U =( )A ．}{1x x < B ．}{11x x -≤< C ．{}2x x ≤ D ．{}21x x -≤<【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A,B ，结合并集计算方法，求解，即可． 【详解】解得集合()(){}{}21012A x x x x x =-+≤=-≤≤，{}1B x x =< 所以{}2A B x x ⋃=≤，故选C ． 【点睛】本道题考查了集合的运算，考查了一元二次不等式解法，关键化简集合A,B ，难度较小． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
河北省衡水中学高三下学期第三次摸底考试理数试题
河北衡水中学2021-2021学年度 高三下学期数学第三次摸底考试〔理科〕必考局部一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.集合()13lg 21|,|1x M x f x N x x -⎧⎫-⎧⎫===>⎨⎨⎬⎩⎩⎭，那么集合MN 等于〔 〕A ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭ B ．()1,+∞ C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭2. z C ∈假设12z z i -=+，那么1zi+等于〔 〕 A ．7144i + B ．7144i - C ．1144i -- D ．1144i -+3.数列{}n a 为正项等比数列，假设33a =，且()1123,2n n n a a a n N n +-=+∈≥，那么此数列的前5项和5S 等于 〔 〕 A ．1213 B ．41 C ．1193 D ．24194. 1F 、2F 分别是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，以线段12F F 为边作正三角形12F MF ，假如线段1MF 的中点在双曲线的渐近线上，那么该双曲线的离心率e 等于〔 〕A ．．．25.在ABC ∆中，“sin sin cos cos A B B A -=- 〞是“A B =〞的〔 〕A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件 6.二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，那么()3f 的取值范围是〔 〕A ．()12,20B ．()12,18 C. ()18,20 D ．()8,187.如，一个简单几何体的正视和侧视都是边长为2，那么其底面周长为〔 〕A ．()231+ B ．()251+ C. ()222+ D ．53+8.20世纪30年代，德国数学家洛萨---科拉茨提出猜测：任给一个正整数x 假如x 是偶数，就将它减半；假如x 是奇数，那么将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1，这就是著名的“31x +〞“31x +〞猜测的一个程序框，假设输出n 的值为8，那么输入正整数m 的所有可能值的个数为〔 〕A ．3B ． 4 C. 6 D ．无法确定9.632243ax x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为16，那么展开式中3x 项的系数为〔 〕A ．1172 B ． 632C. 57 D ．33 10. 数列{}n a 为非常数列，满足：39511,48a a a +==，且1223111n n n a a a a a a na a +++++=对任何的正整数n 都成立，那么1250111a a a ++的值为〔 〕 A ．1475 B ．1425 C. 1325 D ．127511.向量,,αβγ 满足()()()1,2,αααβαγβγ=⊥--⊥-，假设172β=，γ的最大值和最小值分别为,m n ，那么m n +等于〔 〕A ．32 B ．2 C. 52 D 12.偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-，且当(]0,4x ∈时，()()ln 2x f x x=，关于x 的不等式()()20f x af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解，那么实数a 的取值范围是〔 〕A ．1ln 6,ln 23⎛⎤- ⎥⎝⎦B ．1ln 2,ln 63⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C. 1ln 2,ln 63⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D ．1ln 6,ln 23⎛⎫- ⎪⎝⎭二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分，将答案填在答题纸上13.为稳定当前物价，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进展调查，5家商场商品的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点可知，销售量y 与价格x 之间有较好的线性相关关系，其线性回归方程是ˆˆ3.2y x a =-+，那么ˆa= ．14.将函数()2cos2f x x x =-的象向右平移m 个单位〔0m >〕，假设所得象对应的函数为偶函数，那么m 的最小值是 ．15.两平行平面αβ、间的间隔 为A B α∈、，点C D β∈、，且4,3AB CD ==，假设异面直线AB 与CD 所成角为60°，那么四面体ABCD 的体积为 ．16.A B 、是过抛物线()220y px p =>焦点F 的直线与抛物线的交点，O 是坐标原点，且满足3,3OAB AB FB S AB ∆==，那么AB 的值为 ． 三、解答题 ：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 如，ABC ∆关于AC 边的对称形为ADC ∆，延长BC 边交AD 于点E ，且5,2AE DE ==，1tan 2BAC ∠=.〔1〕求BC 边的长； 〔2〕求cos ACB ∠的值.18.如，圆锥1OO 和圆柱12O O 的组合体〔它们的底面重合〕，圆锥的底面圆1O 半径为5r =，OA 为圆锥的母线，AB 为圆柱12O O 的母线，D E 、为下底面圆2O 上的两点，且6, 6.4DE AB ==，52AO =，AO AD ⊥.〔1〕求证：平面ABD ⊥平面ODE ； 〔2〕求二面角B AD O --的正弦值．19.如，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳〔剪刀、石头、布〕比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开场，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，假如一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏完毕，记此时两个小伙伴划拳的次数为X ．〔1〕求游戏完毕时小华在第2个台阶的概率； 〔2〕求X 的分布列和数学期望．20.如，62P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>上的点，且225a b +=，过点P 的动直线与圆222:1F x y a +=+相交于A B 、两点，过点P 作直线AB 的垂线与椭圆E 相交于点Q ．〔1〕求椭圆E 的离心率； 〔2〕假设23AB =PQ ．21. 函数()()()()11,2x x xax b e f x a R g x b R e e x e --=∈=+∈+，其中e 为自然对数的底数．〔参考数据：112427.39 1.28, 1.65e e e ≈≈≈， 〕〔1〕讨论函数()f x 的单调性；〔2〕假设1a =时，函数()()2y f x g x =+有三个零点，分别记为()123123x x x x x x <<、、，证明：()12243x x -<+<．选考局部请考生在22、23两题中任选一题作答，假如多做，那么按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -，以坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系Ox ，曲线E 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线1l 与曲线E 相交于A B 、两点，过点P 的直线2l 与曲线E 相交于C D 、两点，且12l l ⊥． 〔1〕平面直角坐标系中，求直线1l 的一般方程和曲线E 的标准方程； 〔2〕求证：22AB CD +为定值． 23.选修4-5：不等式选讲 实数a b 、满足223a b ab +-=． 〔1〕求a b -的取值范围； 〔2〕假设0ab >，求证：2211344a b ab++≥．试卷答案一、选择题1-5:DAADB 6-10: ACBAB 11、12：CC二、填空题13. 14.6π 15. 6 16. 92三、解答题17.解：〔1〕因为1tan 2BAC ∠=，所以22tan 4tan 1tan 3BAC BAE BAC ∠∠==-∠，所以3cos 5BAE ∠=． 因为527AB AD AE DE ==+=+=，所以2222cos 49254232BE AB AE AB AE BAE =+-∠=+-=，所以BE =75BC AB CE AE ==，所以3BC =〔2〕由〔1〕知BE =所以222cos22AB BE AE B AB BE +-===，所以sin B =，因为1tan 2BAC ∠=，所以sin BAC BAC ∠=∠=所以()cos cos ACB BAC B ∠=-∠+sin sin cos cos B BAC B BAC =∠-∠==18.解：〔1〕依题易知，圆锥的高为5h ==，又圆柱的高为 6.4,AB AO AD =⊥，所以222OD OA AD =+，因为AB BD ⊥，所以222AD AB BD =+，连接1122OO O O DO 、、，易知12O O O 、、三点共线，22OO DO ⊥，所以22222OD OO O D =+，所以()(22222222222 6.455 6.464BD OO O D AO AB =+--=++--=，解得8BD =，又因为6DE =，圆2O 的直径为10，圆心2O 在BDE ∠内，所以易知090BDE ∠=，所以DE BD ⊥．因为AB ⊥平面BDE ，所以DE AB ⊥，因为AB BD B =，所以DE ⊥平面ABD ．又因为DE ⊂平面ODE ，所以平面ABD ⊥平面ODE ．〔2〕如，以D 为原点，DB 、DE 所在的直线为x y 、轴，建立空间直角坐标系．那么()()()()0,0,0,8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4D A B O ． 所以()()()8,0,6.4,8,0,0,4,3,11.4DA DB DO ===， 设平面DAO 的法向理为(),,u x y z =，所以8 6.40,4311.40DA u x z DO u x y z =+==++=，令12x =，那么()12,41,15u =-． 可取平面BDA 的一个法向量为()0,1,0v =， 所以4182cos ,582u v u v u v=== 所以二面角B AD O --的正弦值为3210． 19.解：〔1〕易知对于每次划拳比赛根本领件共有339⨯=个，其中小华赢〔或输〕包含三个根本领件上，他们平局也为三个根本领件，不妨设事件“第()*i i N ∈次划拳小华赢〞为i A ；事件“第i 次划拳小华平〞为i B ；事件“第i 次划拳小华输〞为i C ，所以()()()3193i i i P A P B P C ====． 因为游戏完毕时小华在第2个台阶，所以这包含两种可能的情况：第一种：小华在第1个台阶，并且小明在第2个台阶，最后一次划拳小华平； 其概率为()()()()()()212122124781p A P B P C P B P C P A P B =+=， 第二种：小华在第2个台阶，并且小明也在第2个台阶，最后一次划拳小华输， 其概率为()()()()()()()()()()()()3221233123421234529243p P B P B P C A P A P B P C P C A P A P C P A P C P C =++=所以游戏完毕时小华在第2个台阶的概率为127295081243243p p p =+=+=． 〔2〕依题可知X 的可能取值为2、3、4、5，()()()()()4123412522381P X P A P C P A P C ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()2121222239P X P A P A ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭，()()()()()()()()()()123123123322P X P A P B P A P B P A P A P B P B P B ==++ ()()()()()()()()()()()()12312312312322213227P A P B P B P B P A P B P B P B P A P C P A P A ++++=()()()()224152381P X P X P X P X ==-=-=-==， 所以X 的分布列为：所以X 的数学期望为：()2132222512345927818181E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．20.解：〔1〕依题知2222611,5,04ab a b a b+=+=>>，解得223,2a b ==，所以椭圆E的离心率e ===； 〔2〕依题知圆F 的圆心为原点，半径为2,r AB ==，所以原点到直线AB 的间隔为1d ===， 因为点P 坐标为⎫⎪⎪⎝⎭，所以直线AB 的斜率存在，设为k ． 所以直线AB 的方程为12y k x ⎛-=-⎝⎭，即102kx y k --+=，所以1d ==，解得0k =或k =①当0k =时，此时直线PQ的方程为2x =， 所以PQ 的值为点P 纵坐标的两倍，即212PQ =⨯=；②当k =PQ的方程为12y x ⎛-=-⎭， 将它代入椭圆E 的方程2132x y 2+=，消去y并整理，得234210x --=， 设Q 点坐标为()11,x y1x +=1x =，所以13017PQ =-=．21.解：〔1〕因为()1x x ax x f x ae e e -⎛⎫== ⎪⎝⎭的定义域为实数R ， 所以()1x x f x ae e -⎛⎫'=⎪⎝⎭． ①当0a =时，()0f x =是常数函数，没有单调性．②当0a <时，由()0f x '<，得1x <；由()0f x '>，得1x >． 所以函数()f x 在(),1-∞上单调递减，在()1,+∞上单调递增． ③当0a >时，由()0f x '<得，1x >； 由()0f x '>，得1x <， 所以函数()f x 在()1,+∞上单调递减，在(),1-∞上单调递增． 〔2〕因为()()1,20a f x g x =+=，所以121202x x xx b e e e x e --++=+，即1111221022x x x x x x x e x b b x e e x e e e ----++=++=++．令12x x t e e -=+，那么有10t e b t -++=，即()210t b e t +-+=． 设方程()210t b e t +-+=的根为12t t 、，那么121t t =，所以123x x x 、、是方程()()121122*,**x x x x t e t e e e --=+=+的根． 由〔1〕知12x x t e e-=+在(),1-∞单调递增，在()1,+∞上单调递减． 且当x →-∞时，t →-∞，当x →+∞时，()max ,12t e t t e →==+，如，根据题意，不妨取22e t e <<+，所以121112t e t e<=<+， 因为315122244111110,112422t e e e e t e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+<-=-+=-+> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 易知201x <<，要证()12243x x -<+<，即证11124x -<<-． 所以()1111024t t x t e ⎛⎫⎛⎫-<<<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又函数()y t x =在(),1-∞上单调递增， 所以11124x -<<-，所以()12243x x -<+<． 22.解：〔1〕因为直线1l 的倾斜角为α，且经过点()1,1P -，当090α=时，直线1l 垂直于x 轴，所以其一般方程为10x -=，当090α≠时，直线1l 的斜率为tan α，所以其方程为()1tan 1y x α+=-， 即一般方程为()tan tan 10x y αα---=．因为E 的极坐标方程为4cos ρθ=，所以24cos ρρθ=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以224x y x +=．所以曲线E 的标准方程为()2224x y -+=．〔2〕设直线1l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=-+⎩〔t 为参数〕，代入曲线E 的标准方程为()2224x y -+=，可得()()221cos 21sin 4t t αα+-+-+=，即()22cos sin 20t t αα-+-=， 那么()12122cos sin ,2t t t t αα+=+=-，所以()()()222212121244cos sin 8124sin AB t t t t t t ααα=-=+-=++=+2， 同理2124sin 2124sin 22CD παα⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭， 所以22124sin 2124sin 224AB CD αα+=++-=为定值．23.解：〔1〕因为223a b ab +-=，所以2232a b ab ab +=+≥． ①当0ab ≥时，32ab ab +≥，解得3ab ≤，即03ab ≤≤；②当0ab <时，32ab ab +≥-，解得 1ab ≥-即10ab -≤<，所以13ab -≤≤，那么034ab ≤-≤，而()2222323a b a b ab ab ab ab -=+-=+-=-， 所以()204a b ≤-≤，即22a b -≤-≤；〔2〕由〔1〕知03ab <≤， 因为2222224113444344a b a b ab a b ab +++-=-+ 2222222343333111113304442ab a b ab a b ab a b ab ab +⎛⎫⎛⎫=-+=-+=-+=-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2ab =时取等号，所以 2211344a b ab++≥ ．。
2022届衡水中学高三第三次测评数学试卷含解析
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y +-=C ．210x y -+=D ．210x y ---=2．函数()cos2xf x π=与()g x kx k =-在[]6,8-上最多有n 个交点，交点分别为(),x y （1i =，……，n ），则()1nii i xy =+=∑（ ）A ．7B ．8C ．9D ．103．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1236AB AA ==，112A P PB =，点T 在棱1AA 上，若TP ⊥平面PBC .则1TP B B ⋅=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-4．设(),1,a b ∈+∞，则“a b > ”是“log 1a b <”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合1244x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A ．{}2x x >-B ．{}22x x -<<C ．{}22x x -≤<D ．{}2x x <6．已知函数()cos ||sin f x x x =+，则下列结论中正确的是 ①函数()f x 的最小正周期为π；②函数()f x 的图象是轴对称图形； ③函数()f x； ④函数()f x 的最小值为1-． A ．①③ B ．②④ C ．②③D ．②③④7．()6321x x ⎫-+⎪⎭的展开式中的常数项为( ) A ．－60B ．240C ．－80D ．1808．已知直线1l ：x my =（0m ≠）与抛物线C ：24y x =交于O （坐标原点），A 两点，直线2l ：x my m =+与抛物线C 交于B ，D 两点.若||3||BD OA =，则实数m 的值为（ ） A ．14B ．15C ．13D ．189．若复数()()2a i 1i (i ++为虚数单位)在复平面内所对应的点在虚轴上，则实数a 为（ ） A ．2- B ．2C ．12-D ．1210． “1sin 2x =”是“2()6x k k Z ππ=+∈”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{2，4}，B ＝{3，4}，则()()UU A B ＝（ ）A ．{3，5，6}B ．{1，5，6}C ．{2，3，4}D ．{1，2，3，5，6}12．数列{}n a 的通项公式为()n a n c n N *=-∈．则“2c <”是“{}na 为递增数列”的（ ）条件．A ．必要而不充分B ．充要C ．充分而不必要D ．即不充分也不必要二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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2021届河北省衡水中学高考数学三模试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.复数z=1+√3i，则|z|+z=()A. 3+√3iB. 3−√3iC. −3+√3iD. −3−√3i2.函数y=2cos2(x−π4)−1是()A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为2π的奇函数C. 最小正周期为π的偶函数D. 最小正周期为2π的偶函数3.已知整数如下规律排一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是()A. (5,7)B. (6,6)C. (4,8)D. (7,5)4.设不等式组表示的平面区域为D.若指数函数y=a x的图象上存在区域D上的点，则a的取值范围是()．A. (1,3]B. [2,3]C. (1,2]D. [3,+∞)5.已知二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，则点A在平面BCD上的射影是△BCD的()A. 内心B. 外心C. 垂心D. 重心6.已知圆x2+y2+mx−14=0与抛物线y=14x2的准线相切，则m的值等于()A. ±√2B. √3C. √2D. ±√37.某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：°C)满足函数关系y=e kx+b(e为自然对数的底数，k，b为常数)若该食品在0°C的保鲜时间是384小时，在22°C的保鲜时间是24小时，则该食品在33°C的保鲜时间是()小时A. 6B. 12C. 18D. 248.如图为一半径为3m的水轮，水轮中心O距水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y=Asin(ωx+φ)+2则()A. ω=2π15，A=5 B. ω=152π，A=5C. ω=152π，A=3 D. ω=2π15，A=3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.百年大计，教育为本.十四五发展纲要中，教育作为一个专章被提出.近日，教育部发布2020年全国教育事业统计主要结果.其中关于高中阶段教育(含普通高中、中等职业学校及其他适龄教育机构)近六年的在校规模与毛入学率情况图表及2020年高中阶段教育在校生结构饼图如下：(名词解释：高中阶段毛入学率=在校生规模÷适龄青少年总人数×100%)根据图中信息，下列论断正确的有()A. 近六年，高中阶段在校生规模与毛入学率均持续增长B. 近六年，高中阶段在校生规模的平均值超过4000万人C. 2019年，未接受高中阶段教育的适龄青少年不足420万D. 2020年，普通高中的在校生超过2470万人10.已知集合U=(−∞,+∞)，A={x|2x2−x≤0}，B={y|y=x2}，则()A. A∩B=[0,12] B. ∁U A⊆∁U BC. A∪B=BD. ∁B A=(12,+∞)11.已知函数f(x)=sinxcos2xcosx，则()A. f(x)的图象关于点(π2,0)对称 B. f(x)的最小正周期为πC. f(x)的值域为RD. f(x)在(0,π4)上单调递增12.如图，棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P在线段BC1(含端点)上运动，则下列判断正确的是()A. A1P⊥B1DB. 三棱锥D1−APC的体积不变，为83C. A1P//平面ACD1D. A 1P 与D 1C 所成角的范围是(0,π3)三、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. (1−1x 2)(1+x)4展开式中x 2的系数为______．14. 设O 是△ABC 的三边中垂线的交点，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 对应的边，若b =4，c =2，则BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值是______ ． 15. 已知是双曲线上一点，是双曲线的两个焦点，若，则的值为 ．16. 已知函数f(x)=3sinx +4cosx ，则函数f(x)的最大值为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA =35，2cosC =sinB ． (1)求tan C 的值；(2)若a =√10，求△ABC 的面积．18. 已知函数f(x)=x 2+(a −1)x +b +1，当x ∈[b,a]时，函数f(x)的图象关于y 轴对称，数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =f(n +1)−1 (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =an2n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．19. 全国人大常委会会议于2015年12月27日通过了关于修改人口与计划生育法的决定，“全面二孩”从2016年元旦起开始实施，A 市妇联为了解该市市民对“全面二孩”政策的态度，随机抽取了男性市民30人，女市民70人进行调查，得到以下的2×2列联表：支持 反对 合计 男性 16 14 30 女性 44 26 70 合计6040100(1)根据以上数据，能否有90%的把握认为A 市市民“支持全面二孩”与“性别”有关；(2)现从持“支持”态度的市民中再按分层抽样的方法选出15名发放礼品，分别求所抽取的15人中男性市民和女性市民的人数；(3)将上述调查所得到的频率视为概率，现在从A市所有市民中，采用随机抽样的方法抽取3位市民进行长期跟踪调查，记被抽取的3位市民中持“支持”态度人数为X(i)求X的分布列；(ii)求X的数学期望E(X)和方差D(X)．，其中n=a+b+c+d．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)参考数据：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63520.如图，在直角梯形AA1B1B中，∠A1AB=90°，A1B1//AB，AB=AA1=2A1B1=2，直角梯形AA1C1C通过直角梯形AA1B1B以直线AA1为轴旋转得到，且使得平面AA1C1C⊥平面AA1B1B.点M 为线段BC的中点，点P是线段BB1中点．(Ⅰ)求证：A1C1⊥AP；(Ⅱ)求二面角P−AM−B的余弦值．21.已知椭圆C：．(1)如果椭圆的离心率，经过点．①求椭圆的方程；②经过点P的两直线与椭圆分别相交于A，B，它们的斜率分别为.如果，试问：直线AB的斜率是否为定值？并证明．(2)如果椭圆的，点分别为椭圆的上、下顶点，过点的直线分别与椭圆交于两点.若△的面积是△的面积的倍，求的最大值．22. 已知x=1时，函数f(x)=ax3+bx有极值−2．(1)求实数a，b的值；(2)若方程f(x)=k恰有1个实数根，求实数k的取值范围．【答案与解析】1.答案：B解析：解：∵z=1+√3i，∴|z|=√1+3=2，z=1−√3i，则|z|+z=2+1−√3i=3−√3i．故选：B．由已知求得|z|及z，作和得答案．本题考查复数模的求法，考查复数的基本概念，是基础题．2.答案：A解析：解：y=2cos2(x−π4)−1=cos(2x−π2)=sin2x，∴此函数的最小正周期为π，为奇函数；故选：A．运用二倍角公式化简为cos(2x−π2)，再利用诱导公式化简．本题考查了余弦的二倍角公式以及诱导公式的运用．3.答案：A解析：解：在平面直角坐标系中，将各点按顺序连线，如图所示：可得：(1,1)为第1项，(1,2)为第(1+1)=2项，(1,3)为第(1+1+2)=4项，(1,4)为第(1+1+2+3)=7项，(1,5)为第(1+1+2+3+4)=11项，…，依此类推得到：(1,11)为第(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)=56项，∴第57项为(2,10)，第58项为(3,9)，第59项为(4,8)，则第60项为(5,7)．故选A我们可以在平面直角坐标系中，将：(1,1)、(1,2)、(2,1)、(1,3)、(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，按顺序连线，然后分析这些点的分布规律，然后归纳推断出，点的排列规律，再求出第60个数对．本题考查的知识点是归纳推理，归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．4.答案：A解析：画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界)．当a>1时才能够使函数y=a x的图象上存在区域D上的点，由图可知当函数y=a x的图象经过点A时a取得最大值，由方程组解得x=2，y=9，即点A(2,9)，代入函数解析式得9=a2，即a=3，故1<a≤3．5.答案：A解析：本题考查二面角的平面角，考查三角形内心的概念，属于基础题．二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，可得点A在平面BCD上的射影到△BCD的三边的距离都相等，即可得出结论．解：∵二面角A−BC−D，A−CD−B，A−BD−C的平面角都相等，∴点A在平面BCD上的射影到△BCD的三边的距离都相等，∴点A在平面BCD上的射影是△BCD的内心，故选：A．6.答案：D解析：试题分析：由抛物线的方程找出p，写出抛物线的准线方程，因为准线方程与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．由抛物线的方程得到p =2，所以抛物线的准线为y =−p2=−1， 将圆化为标准方程得：(x +m2)2+y 2=1+m 24，圆心坐标为(−m2,0)，圆的半径r =√1+m 24，圆心到直线的距离d =√1=1=r =√1+m 24，化简得：m 2=3，解得m =±√3． 故选 D7.答案：A解析：解：∵某食品保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y =e kx+b (e =2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，所以{e b=384e 22k+b=24，解得e 22k =116，即有e 11k =14，e b =384， 则当x =33时，y =(e 11k )3⋅384=6， 故选：A ．由该食品在0℃的保鲜时间是384小时，在22℃的保鲜时间是24小时，列出方程组，求出，由此能求出该食品的保鲜时间．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．8.答案：D解析：本题主要通过一个实际背景来考查三角函数的周期及振幅． 根据题意，水轮旋转一周所用的时间为一个周期，由周期公式，T =2πω求解；A 为最大振幅，由图象知到最高点时即为A 值． 解：已知水轮每分钟旋转4圈∴ω=4×2π60=2π15又∵半径为3m ，水轮中心O 距水面2m ， ∴距水面最高点为5，即A =3， 故选D ．9.答案：BD解析：解：对于A ，由条形图可知，2018年高中在校生人数比2017年降低了，故选项A 错误；对于B ，近六年高中阶段在校生规模的平均值为4000+16×(38−30−29−65−5+128)=4000+376>4000万人，故选项B 正确；对于C ，2019年未接受高中教育的人数为399589.5%−3995≈469万人，超过420万人，故选项C 错误； 对于D ，2020年普通高中的在校生人数为4128×60.1%=2480.928>2470万人，故选项D 正确． 故选：BD ．根据题中给出的折线图和条形图，对四个选项逐一分析判断即可．本题考查了条形图和折线图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．10.答案：ACD解析：求出集合A ，B ，进而求出A ∩B ，∁U A ，∁U B ，A ∪B ，∁B A ，由此能求出结果．本题考查交集、并集、补集的求法，考查交集、并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．解：∵集合U =(−∞,+∞)，A ={x|2x 2−x ≤0}={x|0≤x ≤12}， B ={y|y =x 2}={y|y ≥0}， ∴A ∩B =[0,12]，故A 正确；∁U A ={x|x <0或x >12}，∁U B ={x|x <0}， ∴∁U A ⊇∁U B ，故B 错误； A ∪B =[0,+∞)=B ，故C 正确； ∁B A ={x|x >12}=(12,+∞).故D 正确．故选：ACD ．11.答案：ABC解析：解：对于A ：函数f(π−x)+f(x)=0，所以函数f(x)的图象关于(π2,0)对称，故A 正确； 对于B ：函数f(x +π)=f(x)，故B 正确；对于C ：由于函数的最小正周期为π，且x →±π2时，f(x)→±∞，故函数的值域为R ，故C 正确； 对于D ：由于函数f(x)=sinxcos2x cosx，故f′(x)=cos2x−sin 22xcos 2x=cos 22x+cos2x−1cos 2x，当x ∈(0,π4)时，cos2x ∈(0,1)，而cos2x ∈(0,12)时，cos 22x +cos2x −1<0，所以函数f(x)在(0,π4)上不单调递增，故D 错误； 故选：ABC ．直接利用函数的性质单调性，周期性和函数的额值域的应用和函数的求导判断A 、B 、C 、D 的结论． 本题考查的知识要点：函数的性质，单调性，周期性和函数的额值域的应用，函数的导数和单调性的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．12.答案：AC解析：解：棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BC 1(含端点)上运动，对于A ，B 1C ⊥BC 1，CD ⊥BC 1，B 1C ∩CD =C ，B 1C 、CD ⊂平面CDB 1，∴BC 1⊥平面CDB 1，∵B 1D ⊂平面CDB 1，∴B 1D ⊥BC 1， 同理，B 1D ⊥A 1C 1，∵A 1C 1∩BC 1=C 1，A 1C 1、BC 1⊂平面A 1C 1B ，∴B 1D ⊥平面A 1C 1B ，∵A 1P ⊂平面A 1C 1B ，∴A 1P ⊥B 1D ，故A 正确； 对于B ，∵P 在线段BC 1(含端点)上运动，BC 1//AD 1，BC 1⊄平面ACD 1，AD 1⊂平面ACD 1，∴BC 1//平面ACD 1，∴P 到ACD 1的距离是定值，以D 1为原点，D 1A 1为x 轴，D 1C 1为y 轴，D 1D 为z 轴，建立空间直角坐标系， D 1(0,0，0)，A(2,0，2)，C(0,2，2)，B(2,2，2)， D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0，2)，D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2，2)， 设平面D 1AC 的法向量m⃗⃗⃗ =(x,y ，z)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅D 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2z =0m ⃗⃗⃗ ⋅D 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2y +2z =0，取x =1，得m⃗⃗⃗ =(1,1，−1)， ∴P 到平面D 1AC 的距离d =|D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |=2√3=2√33， ∴三棱锥D 1−APC 的体积为：V D 1−APC =V P−ACD 1=13×S △ACD 1×d =13×12×√22+22×√22+22×sin60°×2√33=43，故B 错误；对于C ，∵AD 1//BC 1，CD 1//A 1B ，AD 1∩CD 1=D 1，BC 1∩A 1B =B ，∴平面AD 1C//平面BC 1A 1，∵A 1P ⊂平面BC 1A 1，∴A 1P//平面ACD 1，故C 正确； 对于D ，∵P 在线段BC 1(含端点)上运动， ∴当P 与B 重合时，A 1P 与D 1C 所成角为0，当P 与C 1重合时，A 1P 与D 1C 所成角为π3，故D 错误． 故选：AC ．对于A ，推导出B 1D ⊥BC 1，B 1D ⊥A 1C 1，从而B 1D ⊥平面A 1C 1B ，进而A 1P ⊥B 1D ，；对于B ，推导出BC 1//平面ACD 1，从而P 到ACD 1的距离是定值，以D 1为原点，D 1A 1为x 轴，D 1C 1为y 轴，D 1D 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出三棱锥D 1−APC 的体积为43；对于C ，由AD 1//BC 1，CD 1//A 1B ，得平面AD 1C//平面BC 1A 1，从而A 1P//平面ACD 1；对于D ，当P 与B 重合时，A 1P 与D 1C 所成角为0，当P 与C 1重合时，A 1P 与D 1C 所成角为π3．本题考命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力等数学核心素养，是中档题．13.答案：5解析：解：因为(1+x)4展开式的通项为T r+1=C 4r x r， 所以(1−1x 2)(1+x)4展开式中x 2的系数为C 42−C 44=5，故答案为：5．由二项式定理及其展开式的通项公式得：因为(1+x)4展开式的通项为T r+1=C 4r x r，所以(1−1x 2)(1+x)4展开式中x 2的系数为C 42−C 44=5，得解．本题考查了二项式定理及其展开式的通项公式，属中档题．14.答案：6解析：解：如图所示，过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥AC ． 则AE =12AB ，AF =12AC ． ∴BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 =12(42−22)=6． 故答案为：6．如图所示，过点O 分别作OE ⊥AB ，OF ⊥AC.利用三角形外心的性质可得AE =12AB ，AF =12AC.再利用数量积的定义即可得出．本题考查了三角形外心的性质、数量积的定义，属于中档题．15.答案：33解析：由双曲线方程可知，，则，因为是双曲线上一点，所以，又，所以或.又，所以．考点：双曲线定义、标准方程及简单的几何性质．16.答案：5解析：解：函数f(x)=3sinx +4cosx5(35sinx +45cosx)， 令cosθ=35，sinθ=45，θ∈[0,2π)．则由辅助角公式可得f(x)=5sin(x +θ)，根据正弦函数的值域可得f(x)的最大值为5， 故答案为：5．由辅助角公式可得f(x)=5sin(x +θ)，再根据正弦函数的值域可得f(x)的最大值． 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的值域，属于中档题．17.答案：解：(Ⅰ)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cosA =35，所以：sinA =45，由于：2cosC =sinB =sin(A +C)， 2cosC =sinAcosC +cosAsinC ， 解得：tanC =2； (Ⅱ)由(Ⅰ)得：tanC =2， 所以：sinC =2√55，cosC =√55， 由正弦定理得：asinA =csinC ，解得：c =5√22， 由于：2cosC =sinB ， sinB =2√55， S △ABC =12acsinB =12×5√22×√10×2√55=5解析：(Ⅰ)首先利用同角三角函数的值求出正弦和余弦的值，进一步求出正切值． (Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论结合正弦定理求出三角形的面积．本题考查的知识要点：同角三角函数的恒等关系式，利用正弦定理求三角形的面积．18.答案：解：(1)∵函数f(x)的图象关于y 轴对称，∴a −1=0且a +b =0， 解得a =1，b =−1， ∴f(x)=x 2，∴S n =f(n +1)−1=(n +1)2−1=n 2+2n即有a n =S n −S n−1=2n +1(n ≥2)，a 1=S 1=1也满足， ∴a n =2n +1； (2)由(1)得b n =2n+12n，T n =32+522+723+⋯+2n−12n−1+2n+12n，①∴12T n =322+523+724+⋯+2n−12n+2n+12n+1，②①−②得12T n =32+222+223+224+⋯+22n −2n+12n+1=32+2×12[1−12n−1]1−12−2n+12n+1=32+2−12n−1−2n+12n+1=72−2n+52n+1．∴T n =7−2n+52n．解析：(1)依题意，可求得a =1，b =−1，从而得S n =n 2，于是可求得a 1及a n =S n −S n−1=2n +1(n ≥2)，观察即可求得数列{a n }的通项公式； (2)由(1)得b n =2n−12n，利用错位相减法可求得T n =5−2n+52n．本题考查数列通项公式与数列的求和，着重考查数列的错位相减法，属于中档题．19.答案：解：(1)由列联表可得K 2=100×(16×26−14×44)230×70×60×40≈0.7937<2.706．所以没有90%的把握认为“支持全面二孩”与“性别”有关．(2)依题意可知，所抽取的15位市民中，男性市民有15×1660=4(人)，女性市民有15×4460=11(人)． (3)(i)由2×2列联表可知，抽到持“支持”态度的市民的频率为60100=35，将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取到一名持“支持”态度的市民的概率为35． 由于总体容量很大，故X 可视作服从二项分布，即X ～B(3,35)，所以P(X =k)=C 3k⋅(35)k (25)3−k (k =0,1，2，3)． 从而X 的分布列为： X 0123P8125361255412527125(ii)E(X)=np =3×35=95；D(X)=np(1−p)=3×35×25=1825．解析：(1)计算K 2，与2.706比较大小； (2)根据各层的人数比例计算；(3)求出X 的分布列，代入公式计算数学期望和方差．本题考查了独立性检验，分层抽样，随机变量分布，属于中档题．20.答案：证明：(Ⅰ)∵在直角梯形AA 1B 1B 中，∠A 1AB =90°，A 1B 1//AB ，AB =AA 1=2A 1B 1=2，直角梯形AA 1C 1C 通过直角梯形AA 1B 1B 以直线AA 1为轴旋转得到， ∴∠A 1AB =∠A 1AC =90°，且平面AA 1C 1C ⊥平面AA 1B 1B ， ∴∠BAC =90°，即AC ⊥AB ， 又∵AC ⊥AA 1，且AB ∩AA 1=A ， ∴AC ⊥平面AA 1B 1B ，由已知A 1C 1//AC ，∴A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ， ∵AP ⊂平面AA 1B 1B ，∴A 1C 1⊥AP ． 解：(Ⅱ)由(Ⅰ)知AC ，AB ，AA 1两两垂直，分别以AC ，AB ，AA 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角系， 由已知得AB =AC =AA 1=2A 1B 1=2A 1C 1=2，∴A(0,0，0)，B(0,2，0)，C(2,0，0)，B 1(0,1，2)，A 1(0,0，2)， ∵M 为线段BC 的中点，P 为线段BB 1的中点， ∴M(1,1，0)，P(0,32,1)，平面ABM 的一个法向量m⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 设平面APM 的一个法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x +y =0n ⃗ ⋅AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =32y +z =0，取x =2，得n⃗ =(2,−2,3)， 由图知二面角P −AM −B 的大小为锐角， 设二面角P −AM −B 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=3√17=3√1717， ∴二面角P −AM −B 的余弦值为3√1717． 解析：(Ⅰ)推导出AC ⊥AB ，AC ⊥AA 1，从而AC ⊥平面AA 1B 1B ，由A 1C 1//AC ，知A 1C 1⊥平面AA 1B 1B ，由此能证明A 1C 1⊥AP ．(Ⅱ)以AC ，AB ，AA 1为x ，y ，z 轴，建立空间直角系，利用向量法能求出二面角P −AM −B 的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21.答案：解：(1)①由已知得 ， ， ，联立解得 ．椭圆M 的方程为 ．②直线AB 的斜率为定值 .理由如下：由已知直线 代入椭圆 的方程消去 并整理得所以，从而同理，因为所以为定值；(2)直线方程为，联立，得，直线方程为：，联立，得，，令，则，当且仅当，即时，取“”，所以 的最大值为 ．解析：(1)①由椭圆的离心率公式和准线方程，结合椭圆的a ，b ，c 的关系，计算即可得到；②设出直线PA 的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合斜率公式，由化简可得结论；(2)分别求出直线TB ，TC 的方程，代入椭圆方程，求得交点E ，F 的横坐标，再由三角形的面积公式，结合二次函数，计算即可得到最大值．22.答案：解：(1)因为f(x)=ax 3+bx ，所以f′(x)=3ax 2+b ．又因为当x =1时，f(x)的极值为−2，所以{a +b =−23a +b =0，解得a =1，b =−3．(2)由(1)可得f(x)=x 3−3x ，则f′(x)=3x 2−3=3(x +1)(x −1)，令f′(x)=0，得x =±1，当x <−1或x >1时f′(x)>0，f(x)单调递增， 当−1<x <1时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 所以当x =−1时f(x)取得极大值，f(−1)=2， 当x =1时f(x)取得极小值，f(1)=−2， 大致图象如图所示：要使方程f(x)=k 恰有1个解，只需k >2或k <−2． 故实数k 的取值范围为(−∞,−2)∪(2,+∞)．解析：(1)求出f′(x)=3ax 2+b.通过x =1时，f(x)的极值为−2，得到{a +b =−23a +b =0，求解即可．(2)化简f(x)=x 3−3x ，求出f′(x)，得到极值点x =±1，判断函数的单调性以及极值，画出图形，然后求解方程f(x)=k 恰有1个实数根，实数k 的取值范围．本题考查函数的导数的应用，函数的极值以及函数的单调性的应用，考查数形结合以及计算能力．。