北师大版高中数学必修二第二章圆与方程小结与复习教案

第二章圆与方程小结与复习

一、教材分析：本章在第二章“直线与方程”的基础上，在直角坐标系中建立圆的方程，并通过圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位置关系。在直角坐标系中建立几何对象的方程，并通过方程研究几何对象，这是研究几何问题的重要方法，通过坐标系把点与坐标、曲线与方程联系起来，实现空间形式与数量关系的结合。坐标法是贯穿本章的灵魂，在教学中要让学生充分的感受体验。

二、教学目标：1．了解解析几何的基本思想，了解用坐标法研究几何问题；掌握圆的标准方程和一般方程，加深对圆的方程的认识。2．能根据给定的直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系，能用直线与圆的方程解决一些简单问题。3．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，会用空间两点间的距离公式。4．通过本节的复习，使学生形成系统的知识结构，掌握几种重要的数学思想方法，形成一定的分析问题和解决问题的能力。 三、教学重点：解析几何解题的基本思路和解题方法的形成。

教学难点：整理形成本章的知识系统和网络。 四、教学过程：

（一）．知识要点：学生阅读教材142P 的小结部分． （二）．典例解析：

1．例1。(1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程; (2)求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB 外接圆的方程

解：(1)设圆心P(x 0,y 0),则有⎩⎨⎧-+-=-+-=--2

020202000)

2()3()2()5(032y x y x y x , 解得 x 0=4, y 0=5, ∴半径r=10, ∴所求圆的方程为(x─4)2

+(y─5)2

=10

(2)采用一般式,设圆的方程为x 2+y 2

+Dx+Ey+F=0,将三个已知点的坐标代入列方程组解得：D=─2, E=─4, F=0

点评：第(1),(2)两小题根据情况选择了不同形式

2．例2。设A （－c ，0）、B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹

分析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题

解：设动点P 的坐标为（x ，y ），由|||

|PB PA =a （a >0）得2222)()(y

c x y c x +-++=a ，

化简，得（1－a 2

）x 2

+2c （1+a 2

）x +c 2

（1－a 2

）+（1－a 2

）y 2

=0

当a =1时，方程化为x =0当a ≠1时，方程化为22221()1a x c y a +-+- =222()1

ac

a -

所以当a =1时，点P 的轨迹为y 轴；当a ≠1时，点P 的轨迹是以点（1

1

22-+a a c ，0）为圆心，

|

1

22-a ac

|为半径的圆 点评：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求同时也考查了分类讨论这一数学思想 3．例3。已知⊙O 的半径为3，直线l 与⊙O 相切，一动圆与l 相切，并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程

分析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？

解：取过O 点且与l 平行的直线为x 轴，过O 点且垂直于l 的直线为y 轴，建立直角坐标系 设动圆圆心为M （x ，y ），⊙O 与⊙M 的公共弦为AB ，⊙M 与l 切于点C ，则|MA |=|MC | ∵AB 为⊙O 的直径，∴MO 垂直平分AB 于O

由勾股定理得|MA |2

=|MO |2

+|AO |2

=x 2

+y 2

+9，而|MC |=|y +3|，∴922++y x =|y +3| 化简得x 2

=6y ，这就是动圆圆心的轨迹方程

点评：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”

4．例4。已知圆C 的圆心在直线x─y─4=0上,并且通过两圆C 1:x 2

+y 2

─4x─3=0和C 2:x 2

+y 2

─4y─3=0的交点,(1)求圆C 的方程; (2)求两圆C 1和C 2相交弦的方程

解：(1)因为所求的圆过两已知圆的交点,故设此圆的方程为：x 2

+y 2

─4x─3+λ(x 2

+y 2

─4y─3)=0,

即 (1+λ)(x 2

+y 2

)─4x─4λy─3λ─3=0,即 3141422-+-+-

+λ

λλy

x y x =0, 圆心为 (λ+12,λλ+12),由于圆心在直线x─y─4=0上,∴λ+12─λ

λ

+12─4=0, 解得 λ

=─1/3

所求圆的方程为：x 2

+y 2

─6x+2y─3=0(2)将圆C 1和圆C 2的方程相减得：x+y=0,此即相交弦的方程

点评：学会利用圆系的方程解题

5．例5。求圆22

412390x y x y ++-+=关于直线3450x y -+=的对称圆方程 解：圆方程可化为()()22

261x y ++-=, 圆心O(-2,6),半径为1 设对称圆圆心为'

(,)O a b ，则O ‘

与O 关于直线3450x y --=对称，

因此有2

6345022

63124a b b a -+⎧⋅-⋅-=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪+⎩解得325265a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩

∴所求圆的方程为2

2

3226155x y ⎛

⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

点评：圆的对称问题可以转化为点(圆心)的对称问题，由对称性质知对称圆半径相等 （三）．课堂小结：本章的知识点主要是实现由形到数的一种转变，所以在今后的学习中要把握关键，寻求规律，掌握方法，要时刻把握好直线于圆的综合问题、相交及交点等问题的应用以及直线于圆的实际应用。 （四）．作业：教材144P 复习参考题 五、教后反思: