(完整)现代控制理论-大作业-倒立摆
现代控制理论-大作业-倒立摆
现代控制理论-大作业-倒立摆-标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII摘要倒立摆系统是一个复杂的、高度非线性的、不稳定的高阶系统，是学习和研究现代控制理论最合适的实验装置。
倒立摆的控制是控制理论应用的一个典型范例，一个稳定的倒立摆系统对于证实状态空间理论的实用性是非常有用的。
本文主要研究的是二级倒立摆的极点配置方法，首先用Lagrange方程建立了二级倒立摆的数学模型，然后对二级倒立摆系统的稳定性进行了分析和研究，并给出了系统能控能观性的判别。
基于现代控制理论中的极点配置理论，根据超调量和调整时间来配置极点，求出反馈矩阵并利用Simulink对其进行仿真，得到二级倒立摆的变化曲线，实现了对闭环系统的稳定控制。
关键词：二级倒立摆；极点配置；Simulink目录1.绪论 (1)2 数学模型的建立和分析 (2)2.1 数学建模的方法 (2)2.2 二级倒立摆的结构和工作原理 (2)2.3 拉格朗日运动方程 (3)2.4推导建立数学模型 (4)3 二级倒立摆系统性能分析 (10)3.1 稳定性分析 (10)3.2 能控性能观性分析 (11)4 状态反馈极点配置 (12)4.1 二级倒立摆的最优极点配置1 (12)4.2 二级倒立摆最优极点配置2 (14)5. 二级倒立摆matlab仿真 (16)5.1 Simulink搭建开环系统 (16)5.2 开环系统Simulink仿真结果 (16)5.3 Simulink搭建极点配置后的闭环系统 (17)5.4极点配置Simulink仿真结果 (18)5.4.1 第一组极点配置仿真结果 (18)5.4.2 第二组极点配置仿真结果 (20)6.结论 (22)7.参考文献 (23)附录一 (24)1.绪论倒立摆最初诞生于麻省理工学院，仅有一级摆杆，另一端铰接于可以在直线导轨上自由滑动的小车上。
后来在此基础上，人们又进行拓展，设计出了直线二级倒立摆、环型倒立摆、平面倒立摆、柔性连接倒立摆、多级倒立摆等实验设备。
现代控制一级倒立摆
现代控制一级倒立摆倒立摆实验电子工程学院自动化学号：目录1实验设备简介 (4)1.1倒立摆介绍 (4)1.2直线一级倒立摆 (5)2 倒立摆建模 (6)2.1 直线一阶倒立摆数学模型的推导 (6)2.1.1受力分析 (6)2.1.2微分方程建模 (8)2.1.3状态空间数学模型 (9)2.2 实际系统模型建立 (10)3系统定性、定量分析 (11)3.1系统稳定性与可控性分析 (11)3.1.1稳定性分析 (11)3.1.2能控性分析 (13)4极点配置的设计步骤 (13)4.1极点配置的计算 (13)4.2用MATLAB进行极点配置的计算 (15)4.3极点配置的综合分析 (16)5小结 (17)1实验设备简介1.1倒立摆介绍倒立摆是处于倒置不稳定状态，人为控制使其处于动态平衡的一种摆。
如杂技演员顶杆的物理机制可简化为一级倒立摆系统，是一个复杂，多变量，存在严重非线性，非自制不稳定系统。
常见的倒立摆一般由小车和摆杆两部分组成，其中摆杆可能是一级，二级或多级，在复杂的倒立摆系统中，摆杆的长度和质量均可变化。
1.2直线一级倒立摆根据自控原理实验书上相关资料，直线一级倒立摆在建模时,一般忽略系统中的一些次要因素.例如空气阻力、伺服电机的静摩擦力、系统连接处的松弛程度等，之后可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质的杆组成的系统。
倒立摆系统是典型的机电一体化系统其机械部分遵循牛顿的力学定律其电气部分遵守电磁学的基本定理.无论哪种类型的倒立摆系统,都具有3个特性,即:不确定性、耦合性、开环不稳定性. 直线型倒立摆系统,是由沿直线导轨运动的小车以及一端固定于小车上的匀质长杆组成的系统.小车可以通过传动装置由交流伺服电机驱动. 小车导轨一般有固定的行程,因而小车的运动范围是受到限制的。
2 倒立摆建模2.1 直线一阶倒立摆数学模型的推导对于忽略各种摩擦参数和空气阻力之后，直线一即倒立摆抽象为小车和均质杆组成的系统。
倒立摆实验报告(现代控制理论)
现代控制理论实验报告——倒立摆小组成员：指导老师：2013.5实验一建立一级倒立摆的数学模型一、实验目的学习建立一级倒立摆系统的数学模型，并进行Matlab仿真。
二、实验内容写出系统传递函数和状态空间方程，用Matlab进行仿真。
三、Matlab源程序及程序运行的结果（1）Matlab源程序见附页（2）给出系统的传递函数和状态方程（a）传递函数gs为摆杆的角度：>> gsTransfer function:2.054 s-----------------------------------s^3 + 0.07391 s^2 - 29.23 s - 2.013（b）传递函数gspo为小车的位移传递函数：>> gspoTransfer function:0.7391 s^2 - 20.13---------------------------------------s^4 + 0.07391 s^3 - 29.23 s^2 - 2.013 s（c）状态矩阵A,B,C,D：>> sysa =x1 x2 x3 x4x1 0 1 0 0x2 0 -0.07391 0.7175 0x3 0 0 0 1x4 0 -0.2054 29.23 0b =u1x1 0x2 0.7391x3 0x4 2.054c =x1 x2 x3 x4y1 1 0 0 0y2 0 0 1 0d =u1y1 0y2 0Continuous-time model.（3）给出传递函数极点和系统状态矩阵A的特征值（a）传递函数gs的极点>> PP =5.4042-5.4093-0.0689（b）传递函数gspo的极点>> PoPo =5.4042-5.4093-0.0689（c）状态矩阵A的特征值>> EE =-0.06895.4042-5.4093（4）给出系统开环脉冲响应和阶跃响应的曲线（a）开环脉冲响应曲线（b）阶跃响应曲线四、思考题（1）由状态空间方程转化为传递函数，是否与直接计算传递函数相等？答：由状态空间方程转化为传递函数：>> gso=tf(sys)Transfer function from input to output...0.7391 s^2 - 6.565e-016 s - 20.13#1: ---------------------------------------s^4 + 0.07391 s^3 - 29.23 s^2 - 2.013 s2.054 s + 4.587e-016#2: -----------------------------------s^3 + 0.07391 s^2 - 29.23 s - 2.013#1为gspo传递函数，#2为gs的传递函数而直接得到的传递函数为：>> gspoTransfer function:0.7391 s^2 - 20.13---------------------------------------s^4 + 0.07391 s^3 - 29.23 s^2 - 2.013 s>> gsTransfer function:2.054 s-----------------------------------s^3 + 0.07391 s^2 - 29.23 s - 2.013通过比较可以看到，gspo由状态空间方程转化的传递函数比直接得到的传递函数多了s的一次项，而6.565e-016非常小几乎可以忽略不计，因此可以认为两种方法得到的传递函数式相同的，同理传递函数gs也可以认为是相同的。
(完整)倒立摆实验报告
专业实验报告摆杆受力和力矩分析θmg VH θX V X H图2 摆杆系统摆杆水平方向受力为：H 摆杆竖直方向受力为：V 由摆杆力矩平衡得方程：cos sin Hl Vl I φφθθπφθφ⎧-=⎪=-⎨⎪=-⎩（1） 代入V 、H ，得到摆杆运动方程。
当0φ→时，cos 1θ=，sin φθ=-，线性化运动方程：2()I ml mgl mlx θθ+-=1.2 传递函数模型以小车加速度为输入、摆杆角度为输出，令，进行拉普拉斯变换得到传递函数：22()()mlG s ml I s mgl=+- （2） 倒立摆系统参数值：M=1.096 % 小车质量 ，kg m=0.109 % 摆杆质量 ，kg0.1β= % 小车摩擦系数g=9.8 % 重力加速度，l=0.25 % 摆杆转动轴心到杆质心的长度，m I= 0.0034 % 摆杆转动惯量，以小车加速度为输入、摆杆角度为输出时，倒立摆系统的传递函数模型为：20.02725()0.01021250.26705G s s =- （3） 1.3 倒立摆系统状态空间模型以小车加速度为输入，摆杆角度、小车位移为输出，选取状态变量：(,,,)x x x θθ= （4）由2()I ml mgl mlx θθ+-=得出状态空间模型001001000000001330044x x x x x g g lμθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（5） μθθθ'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001000001 xx x y （6） 由倒立摆的参数计算出其状态空间模型表达式：（7）010000001000100029.403x x x x x μθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（8）00x μθθ⎤⎥⎡⎤⎥'+⎢⎥⎥⎣⎦⎥⎥⎦作用）增大，系统响应快，对提高稳态精度有益，但过大易作用）对改善动态性能和抑制超调有利，但过强，即校正装Ax B Cx μ+= 1n x ⎥⎥⎥⎦，1n x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1111n n nn a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ， 1n B b ⎥⎥⎥⎦，]n C c =。
matlab仿真毕设--倒立摆现代控制理论研究
内蒙古科技大学本科生毕业设计说明书（毕业论文）题目：倒立摆现代控制理论研究倒立摆现代控制理论研究摘要倒立摆系统是一个复杂的非线性、强耦合、多变量和自不稳定系统。
在控制工程中，它能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪性等许多控制中的关键问题，是检验各种控制方法的理想工具。
理论是工程的先导，它对倒立摆系统的控制研究具有重要的工程背景，单级倒立摆与火箭的飞行有关，二级倒立摆与双足机器人的行走有相似性，日常生活中的任何重心在上，支点在下的问题都与倒立摆的控制有极大的相似性，所以对倒立摆的稳定控制有重大的现实意义。
迄今，人们已经利用古典控制理论、现代控制理论及多重智能控制理论实现了多种倒立摆系统的稳定控制[5]。
倒立摆的控制方法有很多，如状态反馈控制，经典PID控制，神经网络控制，遗传算法控制，自适应控制，模糊控制等。
其控制方法已经在军工、航天、机器人和一般工业过程等领域得到了应用。
因此对倒立摆系统的控制研究具有重要的理论和现实意义，成为控制领域中经久不衰的研究课题。
本文是应用线性系统理论中的极点配置、线性二次型最优（LQR）和状态观测器等知识，设计了倒立摆系统线性化模型的控制器，通过MA TLAB仿真，研究其正确性和有效性。
通过分析仿真结果，我们知道了，状态反馈控制可以使倒立摆系统很好的控制在稳定状态，并具有良好的鲁棒性。
关键词：倒立摆；现代控制；Matlab仿真；Modern Control Theory Of Inverted PendulumAbstractInverted pendulum system is a complex nonlinear and strongly coupled，multi-variable and unstable system since．In control engineering，it can effectively reflect such stabilization，robustness，with the mobility of control and tracking，and many other key issue，It is the test ideal for a variety of control methods．Theory is the project leader，inverted pendulum control system also has important engineering research background，inverted pendulum with single-stage related torocket for the flight，Inverted pendulum and biped walking robot similar nature in any life in the center of gravity，the fulcrum in the next issue with the inverted pendulum control has a great similarity，so the stability control of inverted pendulum significant practical significance.So far，it has been the use of classical control theory，modern control theory and control theory of multiple intelligence to achieve a variety of inverted pendulum system stability control[5].Inverted pendulum control methods there are many，such as the state feedback control，the classic PID control，neural network control，genetic algorithm control，adaptive control，fuzzy control.The control method has been in military，aerospace，robotics and general industrial processes and other areas have been intended use.Therefore，the control of inverted pendulum system research has important theoretical and practical significance，of becoming enduring research topics in the field.This is the application of the theory of linear systems pole placement，linear quadratic optimal (LQR) and the state observer of such knowledge，the design of the linear inverted pendulum model of the controller，through simulation to study the correctness and effective sex.By analyzing the results of MATLAB simulation，state feedback control can make a goodcontrol of inverted pendulum system in a stable state，and has good robustness，stability control features.Key words: Inverted pendulum；Modern control；Matlab simulation；目录摘要 (I)Abstract (II)第一章绪论 (1)1.1倒立摆系统模型简介 (1)1.2倒立摆研究的背景与意义 (2)1.3国内外研究现状、水平和发展趋势 (3)1.3.1倒立摆和控制理论的发展 (3)1.3.2倒立摆的控制方法 (4)1.3.3倒立摆的发展趋势 (5)1.4本论文的主要工作介绍 (6)第二章一级倒立摆的数学模型建立及其性能分析 (7)2.1 系统的组成 (7)2.2 一级倒立摆数学模型的建立 (8)2.2.1 数学模型的建立 (8)2.2.2 系统的结构参数 (9)2.2.3 用牛顿力学方法来建立系统的数学模型 (9)2.2.4 一级倒立摆的性能分析[7] (13)2.3 本章小结 (15)第三章现代控制理论在倒立摆控制中的应用 (16)3.1 自动控制理论的发展历程 (16)3.2 经典控制理论 (18)3.2.1 PID控制现状 (18)3.2.2 PID控制的基本原理 (18)3.2.3 常用PID数字控制系统 (20)3.3 现代控制理论 (21)3.3.1 极点配置[11] (22)3.3.2 线性二次型最优的控制理论[7,8] (24)3.3.3 加权矩阵的选取 (26)3.3.4 状态观测器[7] (26)3.4 本章小结 (29)第四章MA TLAB仿真技术 (30)4.1 仿真软件——Matlab简介 (30)4.1.1 MA TLAB的优势 (30)4.2 Simulink简介 (32)4.3 S-函数简介 (33)4.3.1 用M文件创建S-函数 (34)4.4 倒立摆仿真模块的建立 (36)4.5 本章小结 (37)第五章一级倒立摆线性模型系统的仿真 (38)5.1 倒立摆控制器结构选择 (38)5.2 一级倒立摆线性模型系统仿真 (38)5.2.1 Simulink仿真 (42)5.3 本章小结 (46)结束语 (48)参考文献 (49)附录A (51)致谢 (53)第一章绪论1.1倒立摆系统模型简介倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性的系统，是进行控制理论教学及开展各种控制实验的理想实验平台，但它并不是我们想象的那样抽象，其实在我们日常生活中就有很多这样的例子。
哈工大控制系统设计大作业——直线一级倒立摆控制器设计(DOC)
H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y课程设计说明书（论文）课程名称：控制系统设计课程设计设计题目：直线一级倒立摆控制器设计院系：航天学院控制科学与工程系班级：设计者：学号：指导教师：罗晶设计时间：2012.8.27——2012.9.9哈尔滨工业大学教务处哈尔滨工业大学课程设计任务书*注：此任务书由课程设计指导教师填写。
一、 直线一级倒立摆数学模型的推导及建立系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。
实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。
这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。
对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。
但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。
1.1、微分方程的推导在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统. 下图是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N 和P 为小车与摆杆水平和垂直方向的分量。
b px图1（a ）小车隔离受力图 （b ）摆杆隔离受力图 本系统相关参数定义如下：M : 小车质量 m ：摆杆质量b ：小车摩擦系数 l ：摆杆转动轴心到杆质心的长度 I ：摆杆惯量 F ：加在小车上的力x ：小车位置 φ：摆杆与垂直向上方向的夹角θ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定,因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。
现代控制理论大作业-倒立摆模型建立与仿真(深圳大学)
深圳大学实验报告课程名称：现代控制理论实验项目名称：倒立摆模型建立与仿真学院：机电与控制工程学院专业：自动化指导教师：***报告学号：班级：实验时间：实验报告提交时间：教务部制一、 实验目的（1）实验一：增强状态空间表达式的理解和应用，通过直线型一级倒立摆系统的具体对象，展现非线性系统线性化的应用和特点，提高仿真计算和应用Matlab 进行系统分析的能力，并为后续章节的有关系统稳定性提供感性认识。
（2）实验二：了解采用状态反馈改善系统性能的方法，应用状态反馈方法配置直线型一级倒立摆系统的极点，设计控制器，并在倒立摆系统实验平台上实现一级倒立摆系统稳定运行。
二、 实验任务与要求（1）实验一建立倒立摆的非线性状态空间表达式； 建立倒立摆的线性状态空间表达式；在两种模型下，在matlab simulink 平台上通过仿真计算给出摆角和直线位移的运动曲线，位移的初始为零，摆角的初始值分别选取如下：20πθ≤， 20πθ≥， πθ=0（2）实验二针对一级倒立摆系统，对于给定的动态性能指标（调节时间小于3秒，阻尼比0.5）确定闭环极点（参考值，32,32,10,10j j --+---），设计系统状态反馈阵的参数； 在倒立摆系统平台上完成极点配置控制实验。
实验要保持倒立状态，当系统受到扰动后仍保持稳定。
记录控制结果曲线，并进行讨论。
重新选择一组(或多组)期望的闭环极点，设计系统状态反馈阵的参数，在倒立摆系统平台上完成极点配置控制实验，记录控制结果曲线，并和第二条的实验结果进行比较分析。
三、 实验原理（1）实验参见固高《倒立摆与自动控制原理实验》（2）若受控系统(A,B)完全能控，则通过状态反馈可以任意配置闭环极点。
实验设计原理参见固高《倒立摆与自动控制原理实验》第82-89页 。
四、 实验步骤及过程（1） 非线性状态方程系统方程：1/（M+m ）=0.82988；1/（I+ml^2）=97.91922；m*g*l=0.26705；m*l=0.02725 将系统模型参数代入，可得以下仿真下载后图片可放大X 和φ输出的响应曲线（红为x ，黄为φ） 当20πθ≤，取40πθ=当20πθ≥，取430πθ=当πθ=0（2）线性状态方程可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的。
(完整版)倒立摆实验报告
机械综合设计与创新实验（实验项目一）二自由度平面机械臂三级倒立摆班级：姓名：学号：指导教师：时间：综述倒立摆装置是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有联合，被公以为自动控制理论中的典型实验设施，也是控制理论讲课和科研中屈指可数的典型物理模型。
倒立摆的典型性在于：作为实验装置，它自己拥有成本低价、构造简单、便于模拟、形象直观的特色；作为被控对象，它是一个高阶次、不坚固、多变量、非线性、强耦合的复杂被控系统，可以有效地反应出控制中的很多问题；作为检测模型，该系统的特色与机器人、旅行器、起重机稳钩装置等的控制有很大的相像性[1]。
倒立摆系统深刻揭穿了自然界一种基本规律，即一个自然不坚固的被控对象，运用控制手段可使之拥有优秀的坚固性。
经过对倒立摆系统的研究，不单可以解决控制中的理论问题，还可以将控制理论所波及的三个基础学科，即力学、数学和电学（含计算机）有机的联合起来，在倒立摆系统中进行综合应用。
在多种控制理论与方法的研究和应用中，特别是在工程实践中，也存在一种可行性的试验问题，将其理论和方法获得有效的经验，倒立摆为此供给一个从控制理论通往实践的桥梁[2]。
所以对倒立摆的研究拥有重要的工程背景和实质意义。
从驱动方式上看，倒立摆模型大概可分为直线倒立摆模型、旋转倒立摆模型和平面倒立摆模型。
关于每种模型，从摆杆的级数上又可细分为一级倒立摆、二级倒立摆和多级倒立摆[3]。
当前，国内针对倒立摆的研究主要集中在运用倒立摆系统进行控制方法的研究与考证，特别是针对利用倒立摆系统进行针关于非线性系统的控制方法及理论的研究。
而倒立摆系统与工程实践的联合主要表此刻欠驱动机构控制方法的考证之中。
其余，倒立摆作为一个典型的非线性动力系统，也被用于研究各种非线性动力学识题。
在倒立摆系统中成功运用的控制方法主要有线性控制方法，展望控制方法及智能控制方法三大类。
此中，线性控制方法包含PID 控制、状态反应控和LQR 控制等；展望控制方法包含展望控制、分阶段起摆、变构造控制和自适应神经模糊推理系统等，也有文件将这些控制方法归类为非线性控制方法；智能控制方法主要包含神经网络控制、模糊控制、遗传算法、拟人智能控制、云模型控制和泛逻辑控制法等。
倒立摆_精品文档
倒立摆1. 引言倒立摆（Inverted Pendulum）是一种经典的控制理论问题，它是指一个固定在支点上的杆子上方挂着一个质点，而质点受到重力的作用下，能够垂直于杆子方向做摆动的系统。
倒立摆在控制理论和机器人领域中具有重要意义，是研究控制策略和平衡控制的经典案例。
在本文中，我们将介绍倒立摆的基本原理、数学建模方法以及控制策略。
2. 基本原理倒立摆是一个多输入多输出系统，它受到外部输入（控制力）的作用下，通过控制杆子的倾斜角度，使质点能够保持在垂直方向上平衡。
倒立摆系统的基本原理可以用以下方程描述：ml^2θ'' + mgl sin(θ) = u - bθ'其中，m是质点的质量，l是杆子的长度，θ是杆子与垂直方向的夹角，u是施加在杆子上的控制力，b是阻尼系数，g是重力加速度。
3. 数学建模方法为了对倒立摆进行控制，我们需要对其进行数学建模。
首先，我们可以把倒立摆系统分解为两个自由度：质点在杆子上的位置和杆子的角度。
然后，我们可以利用拉格朗日方程进行建模。
对于质点在杆子上的位置，拉格朗日方程可以表示为：mx'' = N - mg - mθ'^2l sin(θ) - mlθ'' cos(θ)对于杆子的角度，拉格朗日方程可以表示为：ml^2θ'' = u - bθ'将以上两个方程联立，我们可以得到完整的倒立摆系统的数学模型。
4. 控制策略为了使倒立摆保持平衡，我们需要设计合适的控制策略。
常见的控制策略包括PID控制器、模糊控制器和神经网络控制器等。
PID控制器是一种广泛应用的控制策略，它通过调节比例、积分和微分三项来实现控制。
在倒立摆系统中，PID控制器可以通过测量杆子的角度和角速度，来调整施加在杆子上的控制力。
模糊控制器是一种基于模糊逻辑的控制策略，它通过模糊化输入和输出以及定义一系列模糊规则来实现控制。
在倒立摆系统中，模糊控制器可以根据当前的角度和角速度来确定施加在杆子上的控制力。
现代控制理论-大作业-倒立摆资料
摘要倒立摆系统是一个复杂的、高度非线性的、不稳定的高阶系统，是学习和研究现代控制理论最合适的实验装置。
倒立摆的控制是控制理论应用的一个典型范例，一个稳定的倒立摆系统对于证实状态空间理论的实用性是非常有用的。
本文主要研究的是二级倒立摆的极点配置方法，首先用Lagrange 方程建立了二级倒立摆的数学模型，然后对二级倒立摆系统的稳定性进行了分析和研究，并给出了系统能控能观性的判别。
基于现代控制理论中的极点配置理论，根据超调量和调整时间来配置极点，求出反馈矩阵并利用Simulink对其进行仿真，得到二级倒立摆的变化曲线，实现了对闭环系统的稳定控制。
关键词：二级倒立摆；极点配置；Simulink目录1.绪论 (1)2 数学模型的建立和分析 (1)2.1 数学建模的方法 (1)2.2 二级倒立摆的结构和工作原理 (2)2.3 拉格朗日运动方程 (3)2.4推导建立数学模型 (4)3 二级倒立摆系统性能分析 (10)3.1 稳定性分析 (10)3.2 能控性能观性分析 (11)4 状态反馈极点配置 (12)4.1 二级倒立摆的最优极点配置1 (12)4.2 二级倒立摆最优极点配置2 (13)5. 二级倒立摆matlab仿真 (15)5.1 Simulink搭建开环系统 (15)5.2 开环系统Simulink仿真结果 (15)5.3 Simulink搭建极点配置后的闭环系统 (16)5.4极点配置Simulink仿真结果 (17)5.4.1 第一组极点配置仿真结果 (17)5.4.2 第二组极点配置仿真结果 (19)6.结论 (20)7.参考文献 (21)附录一 (22)1.绪论倒立摆最初诞生于麻省理工学院，仅有一级摆杆，另一端铰接于可以在直线导轨上自由滑动的小车上。
后来在此基础上，人们又进行拓展，设计出了直线二级倒立摆、环型倒立摆、平面倒立摆、柔性连接倒立摆、多级倒立摆等实验设备。
在控制理论的发展过程中，为验证某一理论在实际应用中的可行性需要按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证。
倒立摆控制
倒立摆控制Johnny Lam 摘要: 倒立摆沿着水平轨道车移动时的平衡问题是控制领域中的经典问题。
本文将介绍两种方法，使系在小车上的倒立摆从初始向下位置摆到直立位置，并保持该状态。
通过非线性启发式控制器和能量控制器，可以使倒立摆摆向直立位置。
倒立摆摆动起来后，通过线性二次型调节器的状态反馈最优控制器维持其平衡状态。
在合适的时间，启发式控制器输出一个重复信号，然后通过微调使摆锤到达最合适的位置。
通过能量控制器增加合适的能量到倒立摆系统，来达到所期望的能量状态。
最优状态反馈控制器是基于各地的直立位置线性模型一个稳定的控制器，它在车摆系统接近平衡状态时能产生效果。
这两种方法都在倒立摆摆在向下位置时记录实验结果。
1.简介倒立摆系统是在控制系统领域中的一个标准问题。
在证明线性控制的思想上它经常常是很有效的，例如使不稳定的系统的稳定化等。
由于该系统本质上是非线性的，它也一直在说明一些结论在非线性控制方面也是有效的。
在这个系统中，倒立摆附着到配备有马达驱动的沿水平轨道行驶的小车上。
用户能够通过电机来控制小车的位置和速度还能通过轨道来控制小车在水平方向上运动。
传感器被连接到小车和小车的中心上来测量小车的位置和钟摆关节的角度。
测量采用连接到MultiQ - 3通用数据采集和控制电路板上的正交编码器。
Matlab / Simulink用于实现控制和分析数据。
倒立摆系统本身有两个平衡点，其中之一是稳定的，而另一个是不稳定的。
稳定平衡对应于一个状态，其中摆锤向下。
在没有任何外力的情况下，该系统会自然返回到这个状态。
稳定平衡不需控制输入来实现，因此，从控制的角度来看是没有意义的。
不稳定的平衡对应于另一个状态，其中摆点完全向上，因此，需要控制输入力的大小，来保持在这个位置。
倒立摆系统的基本控制目标是使倒立摆在不稳定平衡位置上平衡。
该项目的控制目标将侧重于从稳定的平衡位置（摆朝下）起，摆动到它的不稳定的平衡位置（直立摆），并保持在这种状态。
现代控制理论结课大作业
现代控制理论结课大作业一、引言现代控制理论是现代科学技术的重要组成部分，广泛应用于工程控制系统中。
在控制理论课程的学习过程中，结课大作业是一项重要的任务。
本文将介绍现代控制理论结课大作业的相关要求和设计思路。
二、研究背景现代控制理论是控制理论的一个重要分支，它主要研究控制系统的建模、分析和设计方法。
通过运用数学和工程技术知识，利用现代控制理论可以对各种系统进行精确的描述和控制。
因此，现代控制理论在自动控制领域具有广泛的应用。
三、大作业要求现代控制理论结课大作业要求学生能够独立选择一个控制系统并进行详细的研究和设计。
具体要求如下： 1. 选择一个真实的控制系统作为研究对象；2. 系统建模：根据实际情况，选择合适的建模方法，将系统转化为数学模型；3. 系统分析：通过分析系统模型，对系统的稳定性、鲁棒性等进行评估； 4. 系统设计：基于现代控制理论的设计思想，设计适合该系统的控制器； 5. 系统仿真：利用仿真软件对设计的控制系统进行验证和优化； 6. 结果分析和总结：对仿真结果进行分析，总结设计过程和经验教训。
四、设计思路在完成现代控制理论结课大作业时，需要有清晰的设计思路和步骤。
以下是一个可能的设计思路供参考： 1. 选择合适的控制系统：可以选择一个典型的工业控制系统，或者选择一个与个人兴趣相关的系统； 2. 进行系统建模：根据系统的实际情况，选择适合的建模方法，如状态空间法、传递函数法等；3. 系统分析：利用控制理论的知识和工具，分析系统的稳定性、鲁棒性，确定系统的可控性和可观性等性能指标；4. 系统设计：基于现代控制理论，设计一个合适的控制器结构，并选择适当的控制参数；5. 系统仿真：利用仿真软件，对设计的控制系统进行仿真验证，观察系统的响应特性和控制性能； 6.结果分析和总结：根据仿真结果，分析系统的优点和不足之处，并总结设计过程中的经验教训。
五、实例分析下面以一个简单的倒立摆系统为例，介绍如何完成现代控制理论结课大作业。
倒立摆
倒立摆基础知识1.背景在控制理论发展的过程中，一种理论的正确性及在实际应用中的可行性，往往需要一个典型对象来验证，并比较各种控制理论之间的优劣，倒立摆系统就是这样的一个可以将理论应用于实际的理想实验平台。
倒立摆的典型性在于：作为实验装置，它本身具有成本低廉、结构简单、便于模拟、形象直观的特点；作为被控对象，它是一个高阶次、不稳定的（控制上的含义？）、非线性系统（MIMO间的非线性？）多变量、强耦合的复杂被控系统，可以有效地反映出控制中的许多问题；作为检测模型，该系统的特点与机器人、飞行器、起重机稳钩装置等的控制有很大的相似性。
因而对倒立摆的研究具有重要的工程背景和实际意义，通过对倒立摆的控制，用来检验新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力。
其控制方法在军工、航天、机器人和一般工业过程领域中都有着广泛的用途，如机器人行走过程中的平衡控制、火箭发射中的垂直度控制和卫星飞行中的姿态控制等。
图 1小车倒立摆的实验装置图2.特性（特性对建模的影响？处理方法？）虽然倒立摆的形式和结构各异,但所有的倒立摆都具有以下的特性:1)非线性倒立摆是一个典型的非线性复杂系统, 实际中可以通过线性化得到系统的近似模型,线性化处理后再进行控制.也可以利用非线性控制理论对其进行控制. 倒立摆的非线性控制正成为一个研究的热点。
（线性化？）2)不确定性主要是模型误差以及机械传动间隙,各种阻力等,实际控制中一般通过减少各种误差来降低不确定性,如通过施加预紧力减少皮带或齿轮的传动误差,利用滚珠轴承减少摩擦阻力等不确定因素。
3)耦合性倒立摆的各级摆杆之间,以及和运动模块之间都有很强的耦合关系,在倒立摆的控制中一般都在平衡点附近进行解耦计算,忽略一些次要的耦合量。
（解耦？）4)开环不稳定性倒立摆的平衡状态只有两个,即在垂直向上的状态和垂直向下的状态,其中垂直向上为绝对不稳定的平衡点,垂直向下为稳定的平衡点。
（闭环？反馈？）5) 约束限制3. 分类依据不同的功能与作用，倒立摆的种类有很多：1）按摆杆数量的不同，可分为一级，二级，三级倒立摆等，多级摆的摆杆之间属于自由连接（即无电动机或其他驱动设备）一级倒立摆常用于控制理论的基础实验,多级倒立摆常用于控制算法的研究,倒立摆的级数越高,其控制难度更大,目前,可以实现的倒立摆控制最高为四级倒立摆。
倒立摆
目录1 绪论 (2)1.1概述 (3)1.2倒立摆简介 (3)1.3系统的设计任务及要求 (3)2 单级倒立摆的控制方案 (4)2.1 经典控制理论的方法及其特点 (4)3 软件介绍 (6)3.1 MATLAB软件简介 (6)3.2 MATLAB的指令介绍 (9)3.3 SIMULINK简介 (10)3.4 SIMULINK各模块介绍 (11)3.5 创建SIMULINK模型 (12)4 倒立摆系统的建模 (14)4.1 模型特征 (14)4.2 线性化方法 (16)4.3系统的可控性、可观测性分析 (19)5 控制器的设计及仿真 (24)5.1 控制目标 (24)5.2 PD控制器及其性能分析 (24)5.3 PID控制器及其性能分析 (28)5.4 LQR控制器及其性能分析 (35)5.5 3种控制器的比较 (36)6 小结 (38)7 致谢 (40)8 参考文献 (41)第1章绪论第1.1节概述在控制理论发展的过程中，某一理论的正确性及实际应用中的可行性需要一个按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证，倒立摆就是这样一个被控制对象倒立摆系统是一个多变量快速，非线性和自然不稳定系统，在控制过程中能有效地反映控制中的许多关键问题，如非线性问题，系统的鲁棒性问题，随动问题，镇定问题及跟踪问题等。
倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观，结构简单，构件组成参数和形状易于改变，成本低廉。
倒立摆系统的控制效果可以通过其稳定性直观地体现，也可以通过摆杆角度，小车位移和稳定时间直接度量，其实验效果直观，显著。
当新的控制理论与方法出现后可以用倒立摆对其正确性和实用性加以物理验证，并对各种方法进行快捷，有效，生动的比较。
早在60 年代人们就开始了对倒立摆系统的研究1966 年Schaefer 和Cannon 应用Bang Bang控制理论，将一个曲轴稳定于倒置位置。
在60 年代后期，作为一个典型的不稳定，严重非线性证例提出了倒立摆的概念，并用其检验控制方法对不稳定，非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国许多科学家的重视。
现代控制理论-Matlab设计作业
Matlab程序设计
上交作业要求：
1）纸质文档：设计分析报告一份（包括系统建模、系统分析、系统设计思路、程序及其执行结果）。
2）Matlab程序：按班级统一上交后备查。
题目一：
考虑如图所示的倒立摆系统。
图中，倒立摆安装在一个小车上。
这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。
图倒立摆系统
假定倒立摆系统的参数如下。
摆杆的质量：m=0.1g
摆杆的长度：2l=1m
小车的质量：M=1kg
重力加速度：g=10/s2
摆杆惯量：I=0.003kgm2
摆杆的质量在摆杆的中心。
设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量 %≤10%，调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0)。
要求：1、建立倒立摆系统的数学模型
2、分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性
3、设计状态反馈阵，使闭环极点能够达到期望的极点，这里所说的期望的极点确定
是把系统设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的
分析方法进行参数的确定
4、用MATLAB 进行程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状
态变量的时间响应图。
题目二：
根据自身的课题情况，任意选择一个被控对象，按照上题所示步骤进行分析和设计，并给出仿真程序及其执行结果。
南京理工大学现代控制实验报告(倒立摆实验)
倒立摆控制系统实验报告姓名：___________________学号：_____________同组人：指导老师：_________2014年4月实验一建立一级倒立摆的模型1. 实验目的建立一级倒立摆系统的数学模型，并进行Matlab仿真。
2 .实验内容写出系统的传递函数与状态空间方程，并用Matlab进行仿真3 .实验步骤实际系统参数如表1.1所示变■&变量名变量参数M小车盛量L32 Kg Hi摆杆质量0.132 Kg b小车摩擦系数(LI X/m/sec I摆杆转动轴心到杆质心的长度0.27 mI F摆杆惯量加在小车上的力0.1XJ32 kgm2X小年位置0摆杆与垂直向下方向的夹角T采样时间0.02 ser表1.1：系统参数表实验步骤如下：(1)将数据代入公式，求出系统的传递函数；2) 将数据代入公式，求出系统的状态空间方程；( 3)将实际系统的状态空间方程转化为传递函数，与 1 进行比较( 4)求出传递函数的极点和状态方程A 的特征值，进行比较；( 5)进行系统开环脉冲响应和阶跃响应的Matlab 仿真。
4．实验代码系统传递函数gs(输出为摆杆角度)和gspo(输出为小车位置)构建：M=1.32;m=0.132;b=0.1;l=0.27;I=0.0032;g=9.8;T=0.02;q=(M+m)*(l+m*L2)-(m*IF2num=[m*l/q 0];den=[1 b*(I+m*I A2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q];gs=tf(num,den)numpo=[(I+m*lA2)/q 0 -m*g*l/q];dempo=[1 b*(I+m*lA2)/q -(M+m)*m*g*l/q -b*m*g*l/q 0]; gspo=tf(numpo,dempo)相应的状态方程为：p=I*(M+m)+M*m*lA2;A=[0 1 0 0;0 -(I+m*lA2)*b/p mA2*g*lA2/p 0;0 0 0 1;0 -m*b*l/p m*g*l*(M+m)/p 0]; B=[0;(I+m*lA2)/p;0;m*l/p];C=[1 0 0 0;0 0 1 0];D=0;sys=ss(A,B,C,D)实际系统仿真：1)由系统传递函数仿真系统开环脉冲响应：t=0:T:5;y1=impulse(gs,t);y2=impulse(gspo,t);figure(1);plot(t,y2,'b',t,y1,'r');xlabel('t/s');ylabel('Position/m or Angle/rad'); axis([0 2 0 80]); legend ('Car Position','Pendulum Angle');2)由状态方程求系统开环脉冲响应：t=0:T:5;y=impulse(sys,t);figure(2);plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'r');xlabel('t/s');ylabel('Position/m or Angle/rad');axis([0 2 0 80]);legend('Car Position','Pendulum Angle');将状态方程转换为传递函数gs0: gs0=tf(sys);3) 由传递函数求系统的开环阶跃响应：t=0:T:5;y1=step(gs,t);y2=step(gspo,t);figure(3);plot(t,y2,'b',t,y1,'r');axis([0 2.5 0 80]);xlabel('t/s');ylabel('Position/m or Angle/rad'); legend('Car Position','Pendulum Angle');4) 由状态空间方程求系统的开环阶跃响应：t=0:T:5;y=step(sys,t);figure(4);plot(t,y(:,1),t,y(:,2),'r');xlabel('t/s');gs gspogs 二ylabel('Positi on/m or An gle/rad'); axis([0 2.5 0 80]);lege nd('Car Positi on ','Pe ndulum An gle');5 .系统的传递函数和状态方程5.1给出系统的传递函数和状态方程在Matlab 的Comma nd Win dow 内运行上面的源程序，会得出系统的传递函_2.054s =s 3 + 0.07391s 2- 29 23s - 2.013_ _______ 0.7391s 2- 20.13 =s 4 + 0.07391s 3- 29.23s 2- 2.013s以及状态方程sys(A,B,C,D):0 1 0 0 A = 0 -0.073910.7175 0 0 0 0 1 0 -0.205429.23B ： = 0.7391n0 2.054C = 1 0 0 00 0 1 05.2将实际系统的状态空间方程转化为传递函数:____________ 2.054ss 3+ 0.07391s 2 - 29.23s - 2.013gspo '-16=0.7391s2+ 6.565 X10 s- 20.13=s4+ 0.07391s 3 - 29.23s2- 2.013s0.7391s2- 20.13s4 + 0.07391s 3 - 29.23s2- 2.013s可见，由实际系统的状态空间方程转化为的传递函数与仿真的传递函数相一致5.3传递函数极点和系统状态矩阵A的特征值：传递函数gspo的极点：Po = 05.4042-5.4093-0.0689系统状态矩阵A的特征值：E = 0-0.0689-5.40935.4042可见A的特征值与传递函数gspo的极点一致6 .系统开环响应曲线6.1由系统传递函数所得系统开环脉冲响应和阶跃响应由系统传递函数求得开环脉冲响应曲线如下图 1.1所示，开环阶跃响应曲线如下图1.2所示ao图1.1开环脉冲响应曲线PeB UIAJ2-SQIX图1.2开环阶跃响应曲线e c gn6.2由系统状态方程所得系统开环脉冲响应和阶跃响应由系统状态方程所得开环脉冲响应曲线如下图1.3所示，开环阶跃响应曲线如下图1.4所示。
控制理论大作业
一级倒立摆研究（160232 蒋琴）1. 背景介绍倒立摆装置被公认为自动理论中的典型实验设备， 也是控制理论教学和科研中不可多得 的典型物理模型。
通过倒立摆的研究，可以将控制理论所涉及的三个基础学科：力学、 数学 和电学有机结合起来，在倒立摆中进行综合应用。
在稳定控制问题上， 倒立摆既具有普遍性又具有典型性。
其结构简单， 价格低廉， 便于 模拟和数字实现多种不同的控制方法，倒立摆的控制方法有很多种，如 PID 、自适应、状态 反馈、智能控制、模糊控制及神经元网络等多种理论和方法。
用现代控制理论中的状态反馈方法来实现倒立摆系统的控制，就是设法调整闭环系统 的极点分布，以构成闭环稳定的倒立摆系统，实际上，用线性化模型进行极点配置求得的 状态反馈阵，不一定能使倒立摆稳定竖起来，能使倒立摆竖立起来的状态反馈阵是实际调 试出来的，这个调试出来的状态反馈阵肯定满足极点配置。
2. 倒立摆简介倒立摆可以分为直线倒立摆、平面倒立摆和环形倒立摆等。
3. 模型构建3.1 倒立摆系统运动示意图M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数2-3 环形倒立摆3-1 倒立摆系统运动示意l 摆杆转动轴心到杆质心的长度I 摆杆惯量F 加在小车上的力x 小车位置Φ摆杆与垂直向上方向的夹角（逆时针为正）θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下，顺时针为正）3.2受力分析3-2 倒立摆受力分析图3.3模型构建1）理论分析应用 Newton 方法来建立系统的动力学方程过程如下。
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：Mx'' F bx' N由摆杆水平方向所受的合力，可以得到如下方程：d22 N md2（x lsin ）mx'' mlcos '' mlsin （ '）2dt2合并得：(M m)x'' bx' ml[ '' cos ( ')2 sin ] F摆杆垂直方向：P mg m d2(l cos ) ml[ '' sin ( ')2 cos ] dt2I '' Pl sin Nl cos合并得到力矩平衡方程：Pl sin Nl cos I '' （3）当夹角很小时（小于 1rad ） ,可以做如下近似处理：cos cos 1 ，sin sin ，'' 0用 u 代替 F，可得：(M m)x'' bx' ml '' u(I ml2 ) '' mgl(4)mlx''设状态空间表达式为：1）X' AX Bu y CX Du在（ 4）式中对 x''和 ' '进行线性求解，可得：x' x'(I ml 2)b m 2gl 2 I ml 2x'' x' u pp '' '' mlb x' mgl(M m) ml u其中： p I(M m) Mml 2 )2）实际问题实际系统参数如下：M 小车质量 1.096kgm 摆杆质量 0.109kgb 小车摩擦系数 0.1N/m/sl 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25mI 摆杆惯量 0.0034 kg m 2T 采样时间 0.005s 所以，状态空间表达式为： x' 0 1 0 0x0 x'' 0 0.0883 0.6300 0 x' 0.8832' 0 0 0 1u0 '' 0 0.2357 27.8570 0 ' 2.3566 整理后，得到状态空间表达式为： 0x' x'' ''' y 10 0 其中： 1 (I ml 2)b p 0 mlb p 00 1 0 22 m 2gl 2 p 0 mgl(M m) p x 0x' 0 ' 00up I(M m) Mml 2ml 2pmlp6）5）x1 0 0001 3.4 系统的能观性和能控性 能观性矩阵：M [B AB A 2B A 3B]0 0.8832 0.0780 1.49150.8832 0.0780 1.4915 0.26290 2.3566 0.2082 65.66622.3566 0.2082 65.6662 6.1506 rank (M ) 4能控性矩阵：N C CA CA 2 CA 3 T1.0000 0 00 0 0 1.00000 0 1.0000 00 0 0 1.00000 - 0.0883 0.6300 00 - 0.2357 27.8570 00 0.0078 0.0556 0.63000 0.0208 0.1485 27.8570 rank ( N ) 4所以，系统是能控能观的，本身即为最小系统。
倒立摆控制点击观看
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x 2
(7-16)
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J x xx* x
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可见一阶变分的意义为泛函增量的线性主部。
(7-17) (7-18)
变量的变分：
x x
J
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(7-15)
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导弹稳定控制
在变分法中这类问题称为拉格朗日问题。它要求状态向 量及控制向量在整个动态过程中都应满足一定要求。
⑵ 终值型性能指标:
J x t f ，t f
卫星的指向控制
在变分法中称为迈耶尔问题。它只要求状态在过程终端 时满足一定要求，但在整个动态过程中对状态及控制的演变 不作要求。
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⑷、⑸两类性能指标统称为二次型性能指标，这是工程实践
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摘要倒立摆系统是一个复杂的、高度非线性的、不稳定的高阶系统,是学习和研究现代控制理论最合适的实验装置。
倒立摆的控制是控制理论应用的一个典型范例，一个稳定的倒立摆系统对于证实状态空间理论的实用性是非常有用的.本文主要研究的是二级倒立摆的极点配置方法，首先用Lagrange方程建立了二级倒立摆的数学模型，然后对二级倒立摆系统的稳定性进行了分析和研究，并给出了系统能控能观性的判别。
基于现代控制理论中的极点配置理论，根据超调量和调整时间来配置极点，求出反馈矩阵并利用Simulink对其进行仿真，得到二级倒立摆的变化曲线，实现了对闭环系统的稳定控制。
关键词：二级倒立摆；极点配置；Simulink目录1.绪论 (1)2 数学模型的建立和分析 (1)2。
1 数学建模的方法 (1)2。
2 二级倒立摆的结构和工作原理 (2)2。
3 拉格朗日运动方程 (3)2。
4推导建立数学模型 (3)3 二级倒立摆系统性能分析 (9)3.1 稳定性分析 (9)3。
2 能控性能观性分析 (10)4 状态反馈极点配置 (11)4。
1 二级倒立摆的最优极点配置1 (11)4.2 二级倒立摆最优极点配置2 (12)5。
二级倒立摆matlab仿真 (14)5。
1 Simulink搭建开环系统 (14)5.2 开环系统Simulink仿真结果 (14)5.3 Simulink搭建极点配置后的闭环系统 (15)5.4极点配置Simulink仿真结果 (16)5.4。
2 第二组极点配置仿真结果 (18)6。
结论 (19)7.参考文献 (20)附录一 (21)1.绪论倒立摆最初诞生于麻省理工学院,仅有一级摆杆，另一端铰接于可以在直线导轨上自由滑动的小车上.后来在此基础上，人们又进行拓展，设计出了直线二级倒立摆、环型倒立摆、平面倒立摆、柔性连接倒立摆、多级倒立摆等实验设备。
在控制理论的发展过程中,为验证某一理论在实际应用中的可行性需要按其理论设计的控制器去控制一个典型对象来验证。
倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观,结构简单,成本低廉；作为一个控制对象，他又相当复杂，同时就其本身而言,是一个高阶次、不稳定、多变量、非线性、强耦合系统，只有采取行之有效的控制方法才能使之稳定，因此倒立摆装置被公认为是自动控制理论中的典型实验设备.综合文献资料，倒立摆控制的方法主要有：PID控制，状态反馈，利用云模型，神经网络控制，遗传算法,自适应控制，模糊控制,变论域自适应模糊控制理论,智能控制等多种算法来实现倒立摆的控制。
本文主要构建二级倒立摆的数学模型的建立与分析,对倒立摆系统进行控制方法的研究。
本文就以下几个问题进行了论述。
1.二级倒立摆的数学模型的建立与分析。
在建模部分，首先采用拉格朗日方程推导数学模型,并对系统的可控性可观性进行分析，并分析倒立摆系统控制的难易程度。
2.二级倒立摆的控制原理及方法的研究。
本文主要采用状态反馈极点配置的方法对二级倒立摆进行研究。
3。
采用Matlab语言进行数字仿真，分析仿真结果。
2 数学模型的建立和分析2.1 数学建模的方法所谓系统的数学模型就是利用数学结构来反映系统内部之间、内部与外部某些因素之间的精确的定量的表示。
它是分析、设计、预报和控制一个系统的基础，所以要对一个系统进行研究,首先要建立它的数学模型。
建立倒立摆系统的模型时,一般采用牛顿运动规律，结果要解算大量的微分方程组，而且考虑到质点组受到的约束条件，建模问题将更加复杂，为此本文采用分析力学方法中的Lagrange方程推导倒立摆的系统模型。
Lagrange方程有如下特点：1。
它是以广义坐标表达的任意完整系统的运动方程式,方程式的数目和系统的自由度是一致的.2。
理想约束反力不出现在方程组中，因此在建立运动方程式时，只需分析已知的主动力,而不必分析未知的约束反力.grange方程是以能量观点建立起来的运动方程，为了列出系统的运动方程,只需要从两个方面去分析，一个是表征系统运动的动力学量－系统的动能，另一个是表征主动力作用的动力学量－广义力。
因此用Lagrange方程来求解系统的动力学方程可以大大简化建模过程。
2。
2 二级倒立摆的结构和工作原理如图2.1,系统包括计算机、运动控制卡、伺服机构、倒立摆本体（小车,上摆，下摆，皮带轮等）和光电码盘几大部分,组成了一个闭环系统。
光电码盘1将小车的位移、速度信号反馈给伺服驱动器和运动控制卡，下面一节摆杆（和小车相连)的角度、角速度信号由光电码盘2反馈回控制卡和伺服驱动器，上面一节摆杆的角度和角速度信号则由光电码盘3反馈。
计算机从运动控制卡中读取实时数据，确定控制决策(小车向哪个方向移动、移动速度、加速度等），并由运动控制卡来实现该控制决策，产生相应的控制量，使电机转动,带动小车运动,保持两节摆杆的平衡.图2.1 系统结构和工作原理图2.3 拉格朗日运动方程拉格朗日提出了用能量的方法推导物理系统的数学模型，首先我们引入广义坐标，拉格朗日方程。
广义坐标：系统的广义坐标是描述系统运动必需的一组独立坐标，广义坐标数等同于系统自由度数。
如果系统的运动用n 维广义坐标q 1，q 2,…q n 来表示，我们可以把这n 维广义坐标看成是n 维空间的n 位坐标系中的坐标。
对于任一系统可由n 维空间中的一点来表征。
系统在n 维空间中运动形成的若干系统点连成一条曲线，此曲线表示系统点的轨迹.拉格朗日方程：(2。
1）式中，L —— 拉格朗日算子，q —- 系统的广义坐标，T —— 系统的动能,V —— 系统的势能.拉格朗日方程由广义坐标i q 和L 表示为:（2。
2)式中，n i 3,2,1=，i f ——系统沿该广义坐标方向上的外力，在本系统中,设系统的三个广义坐标分别是21,,θθx 。
2.4推导建立数学模型在推导数学模型之前,我们需要几点必要的假设： 1。
上摆、下摆及小车均是刚体;2.皮带轮与传动带之间无相对滑动；传动皮带无伸长现象;3.小车运动时所受的摩擦力正比于小车的速度；4.小车的驱动力与直流放大器的输入成正比,且无滞后，忽略电机电枢绕组中的电感；5.下摆转动时所受到的摩擦力矩正比于下摆的转动速度；6。
上摆运动时所受到的摩擦力矩正比于上摆对下摆的相对角速度; 二级倒立摆的运动分析示意图如图2。
2图2.2 二级倒立摆运动分析示意图倒立摆系统参数如下： 小车系统的等效质量M =1.32Kg 摆杆1 质量1m =0。
04Kg 摆杆1 转动中心到杆质心距离1l =0。
09m 摆杆2 质量m 2=0.132Kg 摆杆2 转动中心到杆质心距离l 2=0.27m质量块质量3m =0。
208Kg作用在系统上的外力F摆杆1 与垂直向上方向的夹角1θ 摆杆2 与垂直向上方向的夹角2θ首先，计算系统的动能:321m m m M T T T T T +++=(2.3）M T 小车动能：（2.4）1m T 摆杆1动能：111m m m T T T ''+'=(2.5）式中，-—摆杆1质心平东动能 —-摆杆1绕质心转动动能22'111111(sin )(cos )12m d x l d l T m dt dt θθ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2221111111111cos 22m x m l x m l θθθ-+ (2。
6）212112121121''161312121θθω l m l m J T p m =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==(2。
7） 则21211111121''1'1132cos 21θθθ l m x l m x m T T T m m m +-=+= (2.8)1θyxxF m 1m 3M2m T 摆杆2动能：222m mm T T T ''+'= （2。
9)式中，——摆杆1质心平东动能 -—摆杆1绕质心转动动能22'11221122222(2sin sin (2cos cos )1122m d x l l d l l T m m dt dt θθθθ--+⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22211122*********12cos cos 2sin sin 22m x l l m l l θθθθθθθθ=--++ （2。
10）2222222222222''261312121θωω l m l m J T m =⎪⎭⎫ ⎝⎛==（2.11）()()'''22222111222122cos cos 2m m m T T T m x x l l θθθθ=+=-+ ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++122121222221212cos 434421θθθθθθ l l l l m(2.12)3m T 质量块动能:22111133(2sin )(2cos )12m d x l d l T m dt dt θθ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2223311131112cos 22m x m l x m l θθθ=-+ （2.13)因此，可以得到系统总动能：123M m m m T T T T T =+++222211*********cos 223Mx m x m l x m l θθθ=+-+ ()()22211122cos cos 2221θθθθ l l x x m +-+()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++122121222221212cos 434421θθθθθθ l l l l m212131113232cos 221θθθ l m x l m x m +-+ （2.14） 系统的势能为:123m m m V V V V =++()11131121122cos 2cos 2cos cos m gl m gl m g l l θθθθ=+++(2。
15)至此得到拉格朗日算子L ：L T V =-222211*********cos 223Mx m x m l x m l θθθ=+-+ ()()22211122cos cos 2221θθθθ l l x x m +-+()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++122121222221212cos 434421θθθθθθ l l l l m11121213111323cos 2cos 221θθθθgl m l m x l m x m -+-+()22112113cos cos 2cos 2θθθl l g m gl m +-- （2。
16)由于因为在广义坐标21,θθ上均无外力作用，有以下等式成立：011=∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂θθL L dt d (2。
17)022=∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂θθL L dt d （2。