最诡异数学悖论：11=1希尔伯特序列悖论数学球体

分球悖论

史上最诡异的悖论

今天，8岁表妹的老师给她奖励了一块大巧克力，超模君打趣她能不能分给我点，遭到残忍拒绝，超模君很愤怒，暗下决心要神不知鬼不觉地吃上表妹的巧克力。

超模君趁表妹在认真做作业的时候，灵机一闪，拿起刀就是切，偷偷吃了好几块。

假装帮表妹切好了巧克力，把剩下的拼好，成功蒙混过关。

乍一看，巧克力好像没有变少，但是实际上巧克力是不断减少的。这让我想起了那个说一个球可以变为两个球，而且这两个球和原来的球一样大的分球悖论。

在我们的认知里，这是非常荒唐的事情。但是在数学上，分球怪论理论上是成立的，只是以人类目前的认知无法在物理世界去证实它。为了更好地理解分球悖论，先从超级韦氏字典讲起。

超级韦氏字典

超级韦氏字典是一本包含了所有英文单词的字典，你的名字，你的故事，你的everything都可以在这本字典找到。

这本字典的开头是A，然后是AA，接着是AAA……在无限多个A 之后，是AB，然后ABA，接着ABAA……一直到无限多个Z开头的序列。大概是这个样子：

我们都无法想象这本字典有多大，每个字母开头的序列都印一卷的话，一共要印26卷，那出版社要出版这么一本字典肯定得破产。不过，有人发现如果A卷去掉开头的A，剩下的就是B-Z的所有序列内容。

出版社只需印去掉开头的A的A卷就完成了字典，因为人们在使用的时候自觉加上A就行，这就大大减少了成本。下面我们就借助超级韦氏字典来理解分球悖论。

分球悖论

分球悖论：可以将一个三维实心球分成有限（不勒贝格可测的）部分，然后仅仅通过旋转和平移到其他地方重新组合，就可以组成两个半径和原来相同的完整的球。

“分球悖论”最重要的部分，就是如何分割三维的球体，而我们选取的方法，就是让三维球体，变成一部超级韦氏字典。

首先，给球面上的所有点，取一个独一无二的名字。取名的方法如下：

1.选择一个起点O，然后以适当的单位长

度，让O一步步地移动；

2.移动的方向只有四个：上（U）、下

（D）、左（L）、右（R）；

3.O每向一个方向移动一步，就记录一步，

直到O不动为止，所列出来的序列就是O停

下时所在点P的名字；

4.为了避免两个序列结束在同一个点上，

移动不能原路返回。

比如，求点O向上移一步停下，则P1记为U，再向右一步停下，则P2记为RU。在这里大家会注意到，序列的书写顺序是右到左的，因为要配合后面的步骤。

因为不能原路返回，所以像UD、DU、LR、RL...这些数列不存在，因为这样相当于点O根本没动。

现在我们把所有可能的序列都列出来，球面上的点就变成一部超级韦氏字典了：

用序列代表点，还是太抽象了！要从视觉上着手，才能更形象直观。为了形象表达这序列，我们可以对它们做个分类：以最后一步的动作为准，最后一步是向上移动的（即序列以U结束）记为橙色，向下D点记为蓝色，向左L为紫色，向右R为红色。

按照上述方法，将这些序列标注在球面上，每个序列都会对应一个颜色的点：

这样的点有可数无限个，但是并不能占满整个球面，因为球面上有不可数无限个点。（不了解可数和不可数无限的模友可以看康托尔的集合论）那么该怎么用这些序列来表示整个球面上的点呢？

很简单，在没有涂色的点中，选一个新起点，然后将这些序列应用到新起点上，再给可数无限个点命名。重复这一过程，我们就可以将球面上所有点分成五类点：起点O、U点、D点、L点、R点。

按照之前的做法，我们分配颜色给这五类

点：起点O为绿色、U点为橙色、D点为蓝

色、L点为紫色、R点为红色。

这还没有结束，因为每个序列都有两个极点，在这类点里面被重复命名，需要把它们单独抽出来。用黄色给它们来标上颜色。

所谓的极点，就是某个点运动到这个点时，

无论在序列中添加左右或者上下，都不会变成

第二个点的点。对于以左右（L\R）作结尾的

序列而言，它们的极点是南北极点。

当点运动到南北极点时，无论是向左旋转

还是向右旋转（因为球面上点的移动的本质就

是旋转），都不会产生新的点，但是在序列中

却会产生新的序列，所以必须单独拿出来命名。

上下（U\D）结尾的序列的极点则是东西极点。

现在球体上所有的点都被标上颜色了，可分为6部分：起点部分，U点部分，D点部分，L点部分，R点部分，极点部分。因为每个点到球心的点列是独一无二的，只用点来代表就行。

当然，球心也需要单独拿出来，因为它是独一无二的。

拆分后的球体如下图：

现在将L点部分拿出来看，L点部分对应的序列为所有以L结尾的序列，如果将L点部分向右旋转一下，序列会发生怎样的变化呢？

让人惊讶的是：L点部分所对应的序列变成了U点、D点、L点、起点部分所对应的序列。

还记得上面超级韦氏字典里的A卷，把A去掉就是剩下的B到Z 的序列吗？现在正是利用这一点！如图，向右旋转L点部分，相当于在L点部分所对应的序列之后再加上一个R：

前面也说过，RL这样的序列是不允许出现的，现在这么做，所有序列的最后一个L都被抵消，就好像超级韦氏字典第一卷那样，剩下的部分就是构成代表U点、D点、L点部分的序列，而只有一个L的那些点，因为被R抵消，还原回所有起点。

只是旋转一下，就得到了球体的四个部分，那剩下的部分只需要用之前分离出来的R点部分和极点部分填上，以及把球心放进去，就是一个完整的球体了。

一个球体组好了，剩下U点部分、D点部分和起点部分。

这三部分如何组成新的球体？

我们把U点部分向下转动，与前面向右旋转L点部分相类似，U 点部分所对应的序列就会变成U、L、R点部分对应的序列，还有起点的序列。

但是起点部分还没有用上呢？怎么办呢？

不要紧，把序列U所代表的点先行移到D点部分，然后再对整个U点部分进行旋转就行。

可是我们会发现，先清除再旋转后的U点部分，序列UU会变成序列U，与D点部分中先行到达的序列U相重复，所以我们必须先将所有的重复排列U的序列全部先行移除，然后再旋转剩余部分，最后再组合，才能够得到一个仅包含U、L、R点部分的序列集。

接下来把剩余的部分全部组合在一起。但是，你会发现这个球没有极点部分和球心。设想这个球可以绕某条轴旋转，某个圆经过球心和极轴上的任意一个点，圆的周长为2πr，利用无限的概念即可补上。

就这样，一个球就变成两个和它一样大的球了，这不是1=1+1吗？这就是诡异的分球悖论，在数学理论上是成立的，只是以人类目前的认知无法在物理世界去证实它。

看完分球悖论确实很烧脑，如果还没有理解，可以结合希伯尔特

旅馆悖论来理解会轻松一些。

希尔伯特旅馆悖论

希尔伯特旅馆有无限可数个房间，但是住满了客人。

这时候来了一客人要住店，希尔伯特让1号房的搬去2号房，2号房搬去3号房...n号房搬去n+1号房，1号房就腾出来给客人住了。

现在旅馆来了无限个客人要住店，希尔伯特让1号房的搬去2号房，2号房搬去4号房......n号房搬去2n号房，把奇数的房间腾出来给这无限个客人住。

这就像一个希尔伯特旅馆变成两个和希尔伯特旅馆一样大的希尔伯特旅馆一和二，都有无线个房间，就像一个球分为两个和原来这个球一样大的两个球。虽然这样理解分球悖论不完全正确，但确实好理解一点。

现在如果有无数辆车，每辆车里面有无数个人来住店怎么安排呢？很简单，安排住在质数的房间即可，已住店的客人搬到2^n号房间，新来的第一辆车住进3^n房间，第二辆车里的人住进5^n房间......

正是这些科学家使人们对数从有限过渡到无限的认识更加深刻，脑洞大开乃至三观尽毁，正因为无限的发现才有后来的极限，微积分，高等数学等，社会才有今天的发展。

表妹还小，说不定过几年就知道我偷吃她的巧克力了！

数学悖论

罗素的“悖论” 英国现代数理学家、哲学家罗素，是数学中逻辑主义学派的代表人物。1903年他提出了著名的“悖论”，导致了“集合论”理论的发展。所谓悖论，是从一些貌似正确的或看来可接受的约定出发，经过简明正确的推理，却得到自相矛盾的结论。例如，对一个命题，如果假定它为真，经过无懈可击的推理，却推出它为假；但假定它为假，又能推出它为真。这样的命题就是一个悖论。下面是罗素提出的一个命题：某理发师规定：他只给那些自己不给自己刮脸的人刮脸。这个理发师该不该给自己刮脸呢？很显然，如果这个理发师给自己刮脸，那么按规定他就不该给自己刮脸；同时，如果他不给自己刮脸，那么按规定他又应该给自己刮脸。多尴尬的理发师！这样自相矛盾的命题就是悖论。聪明的读者，请你分析下面的一句话：安第斯山人迪皮克说：“所有安第斯山人说的话都是谎话。”你能推出这句话中的悖论吗6参考答案：如果这句是真话，由于迪皮克是安第斯山人，他也是说谎者，因此这句话是谎话。如果这句话是谎话，那么安第斯山人不都是说谎者，可是他的话说明是在说谎，因此是句真话。摘要：本文主要通过数学史上的三次危机的产生与消除，针对它们的本质浅谈自己的认识，实际导致这三次危机原因在与人的认识。第一次数学危机是人们对万物皆数的误解，随着无理数的发现，把第一次数学危机度过了。第二次数学危机是人们对无穷小的误解，微积分的出现产生了一种新的方法，即分析方法，分析方法是算和证的结合。是通过无穷趋近而确定某一结果。罗素悖论的发现，给数学界以极大的震动，导致了数学史上的第三次危机。为了探求其根源和解决难题的途径，在数学界逻辑界进行了不懈的探讨，提出了一系列解决方案，并在不知不觉中大大推动了数学和逻辑学的发展。关键词：危机；万物皆数；无穷小；分析方法；集合一、前言数学常常被人们认为是自然科学中发展得最完善的一门学科，但在数学的发展史中，却经历了三次危机，人们为了使数学向前发展，从而引入一些新的东西使问题化解，在第一次危机中导致无理数的产生；第二次危机发生在十七世纪微积分诞生后，无穷小量的刻画问题，最后是柯西解决了这个问题；第三次危机发生在19世纪末，罗素悖论的产生引起数学界的轩然大波，最后是将集合论建立在一组公理之上，以回避悖论来缓解数学危机。本文回顾了数学上三次危机的产与发展，并给出了自己对这三次危机的看法，最后得出确定性丧失的结论。二、数学史上的第一次“危机” 第一次数学危机是发生在公元前580～568年之间的古希腊。那时的数学正值昌盛，忒被是以毕达哥拉斯为代表的毕氏学派对数的认识进行了研究，他们认为“万物皆数”。所谓数就是指整数，他们确定数的目的是企图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理，信条是：宇宙间的一切现象都能归结为整数或整数之比，即世界上只存在整数与分数，除此之外他们不认识也不承认别的数。在那个时期，上述思想是绝对权威、是“真理”。但是不久人们发现即使边长为1的正方形对角线不是可比数。这样毕达哥拉斯“万物皆数”是不成立的，绝对的权威受到了严重的挑战：一方面证明单位正方形对角线的长不是整数分数，按照他们的观点，这种长度不是数！另一方面，他们不承认自己的观点有问题，这就陷入了极大的矛盾之中，这是第一次数学危机。三、第二次数学危机第二次数学危机发生在十七世纪。十七世纪微积分诞生后，由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料，阿基米德的逼近法实际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到很多年后，牛顿和莱布尼兹

数学悖论

悖论是一种认识矛盾，它既包括逻辑矛盾、语义矛盾，也包括思想方法上的矛盾。数学悖论作为悖论的一种，主要发生在数学研究中。按照悖论的广义定义，所谓数学悖论，是指数学领域中既有数学规范中发生的无法解决的认识矛盾，这种认识矛盾可以在新的数学规范中得到解决。目录历史定义数学悖论第一次数学危机起因经过影响第二次数学危机起因经过影响第三次数学危机起因经过影响悖论一览理发师悖论说谎者悖论跟无限相关的悖论预料不到的考试的悖论电梯悖论硬币悖论谷堆悖论宝塔悖论鸡与蛋问题展开历史定义数学悖论第一次数学危机起因经过影响第二次数学危机起因经过影响第三次数学危机起因

经过影响悖论一览理发师悖论说谎者悖论跟无限相关的悖论预料不到的考试的悖论电梯悖论硬币悖论谷堆悖论宝塔悖论鸡与蛋问题展开 “……古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。” ——N·布尔巴基编辑本段历史悖论的历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时代。“悖数学悖论图论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。在古希腊时代，克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯（约公元前6世纪）发现的“撒谎者悖论”可以算作人们最早发现的悖论。公元前4世纪的欧布里德将其修改为“强化了的撒谎者悖论”。在此基础上，人们构造了一个与之等价的“永恒的撒谎者悖论”。埃利亚学派的代表人物芝诺（约490B.C.—430B.C.）提出的有关运动的四个悖论（二分法悖论、阿基里斯追龟悖论、飞矢不动悖论与运动场悖论）尤为著名，至今仍余波未息。在中国古代哲学中也有许多悖论思想，如战国时期逻辑学家惠施（约370B.C.—318B.C.）的“日方中方睨，物方生方死”、“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；《韩非子》中记载的有关矛与盾的悖论思想等，这些悖论式的命题，表面上看起来很荒谬，实际上却潜伏着某些辩证的思想内容。在近代，著名的悖论有伽利略悖论、贝克莱悖论、康德的二律背反、集合论悖论等。在现代，则有光速悖论、双生子佯谬、EPR悖论、整体性悖论等。这些悖论从逻辑上看来都是一些思维矛盾，从认识论上看则是客观矛盾在思维上的反映。尽管悖论的历史如此悠久，但直到本世纪初，人们才真正开始专门研究悖论的本质。在此之前，悖论只能引起人们的惊恐与不安；此后，人们才逐渐认识到悖论也有其积极作用。特别是本世纪60、70年代以来，出现了研究悖论的热潮。

数学悖论

悖论一、悖论的概念悖论的定义可以这样表述：由一个被承认是真的命题为前提，设为B，进行正确的逻辑推理后，得出一个与前提互为矛盾命题的结论非B；反之，以非B为前提，亦可推得B。那么命题B就是一个悖论。当然非B也是一个悖论。我们可以按照某些制定或约定的公理规则去判定或证明某一命题的真假，但是我们按照制定或约定的公理规则去判定或证明有些命题的真假时，有时却出现发生了无法解决的悖论问题，这种情况说明了什么问题？自然在整体上是包含多样性的，而我们却置这些情况于不顾，而专门关注属于我们感兴趣的那一种特殊情况，当特殊情况与其它相反的情况或普遍性存在的一般情况相遇时必然产生某种相悖的结论。不是数学悖论对数学基础产生大的危机影响，而是对逻辑和认识产生重大影响。悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分，这一分支以“趣味数学”知名于世。这就是说它带有强烈的游戏色彩。然而，切莫以为大数学家都看不起“趣味数学”问题。欧拉就是通过对bridge-crossing之谜的分析打下了拓扑学的基础。莱布尼茨也写到过他在独自玩插棍游戏（一种在小方格中插小木条的游戏）时分析问题的乐趣。希尔伯特证明了切割几何图形中的许多重要定理。冯·纽曼奠基了博弈论。最受大众欢迎的计算机游戏—生命是英国著名数学家康威发明的。爱因斯坦也收藏了整整一书架关于数学游戏和数学谜的书。悖论有三种主要形式。 1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。 2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。 3．一系列推理看起来好像无法打破，可是却导致逻辑上自相矛盾。悖论的分类主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。根据悖论形成的原因，粗略地把它归纳为六种类型，分上、中、下三个部份。第一部份：由概念自指引发的悖论和引进无限带来的悖论

悖论对数学的影响

悖论对数学的影响悖论和希尔伯特问题说起悖论，人们会想到著名的“说谎者悖论”，何为说谎者悖论呢，公元前六世纪，克里特岛的哲学家埃庇米尼得斯说到：“所有克里特人都说谎。”这就是这个著名悖论的来源。大家有时间可以好好琢磨一下这个悖论，我在这里就不再赘述了。在漫长的数学发展史中，曾有过三次危机：无理数的发现；微积分的创立，集合论的悖论。这三次危机，使数学与逻辑学、哲学的联系不断加深，也使人类对各种事物的认识不断得到深化。 1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题统称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未得到解决。这其中第二个问题和第十个问题对数学的影响最大，这两个问题总结起来可以分为三个部分 1、数学是不是完备的？是不是所有数学问题都可以用一组有限的的公理证明？ 2、数学是不是一致的，无矛盾的？也就是说是不是所有可以证明的命题都是真命题？ 3、就是后来著名的图灵判定问题，是否有一种明确程序可以判定任何命题是否为真？哥德尔不完备定理 20世纪20年代，在集合论不断发展的基础上，大数学家希尔伯特向全世界的数学家抛出了个宏伟计划，其大意是建立一组公理体系，使一切数学命题原则上都可由此经有限步推定真伪，这叫做公理体系的“完备性”，希尔伯特的目的是试图对某一形式语言系统的无矛盾性给出绝对的证明，以便克服悖论引起的危机。希尔伯特的计划也确实有一定的进展，几乎全世界的数学家都乐观地看着数学大厦即将竣工。正当一切都越来越明朗之际，突然一声晴天霹雳。1931年，在希尔伯特提出计划不到3年，年轻的哥德尔就使希尔伯特的梦想变成了令人沮丧的噩梦。哥德尔证明：任何无矛盾的公理体系，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个不可判定命题，用这组公理不能判定其真假。也就是说，“无矛盾”和“完备”是不能同时满足的！这便是闻名于世的哥德尔不完备定理。哥德尔先假设了一个命题，命题叫“这个命题不可证”，然后去求证这个命题，如果这个命题可证，那就说明这个命题是个假命题，也就和上面所说的第二个问题所有可证的都是真命题相悖，如果说这个命题不可证，那就和上面所说的第一个问题数学的完备性相悖，由此推论出，数学的一致性和完备性只能二选一，从而推翻了希尔伯特的公理体系，这让我想起了另外一个很著名的悖论，说以前一个传教士在布道，向人们宣扬上帝是万能的，这时一个路人路过问了他一个问题，他问教士，如果上帝是万能的，那么上帝是否可以造出一块他自己举不动的石头？顿时传教士陷入了沉默，而哥德尔定理其实和这个悖论有很多相似之处，也就是所谓的逻辑本身不能自证。图灵和图灵机说起图灵，一般人的第一印象就是那颗被咬了一口的苹果，图灵在1954年因为同性恋的原因，吃了含有氯化物的苹果自杀，而那颗苹果也被称为影响人类的第三颗苹果。在这插个题外话，网传说乔布斯的苹果标志是为了纪念图灵，其实这是个误传，大家可以网上搜索一下苹果第一代的标志，是个牛顿在苹果树下的钢笔画，所以说，乔布斯的苹果标志其实是为了纪念影响人类的第二颗苹果，牛顿的苹果，而不是图灵的苹果，当然，第一个苹果就是夏娃的苹果了！

数学史上十个有趣的悖论

数学史上十个有趣的悖论 1. 赫拉克利特悖论：你永远无法踏入同一条河流。因为河流的水流不断更替，所以你每次接触到的都是不同的水。 2. 亚里士多德悖论：有一只鸟，如果它每天吃一只虫子就会活下去，那么它连续吃两只虫子会发生什么？它会死亡，因为它每天只需要一只虫子来维持生命。 3. 形而上学悖论：如果一个人把一艘船的每一块木头一块一块地替换掉，那么到最后是否还是同一艘船呢？ 4. 希尔伯特问题的悖论：是否存在一个包含所有数学真理的最终公式列表？如果是，那么这个列表将包含说真话的几句话和谎言。但如果它不能说出哪句话是真话，哪句话是谎言，那么这个列表就不完整。 5. 斯特芬兹悖论：如果你有一个无穷的房间，房间里有一个无穷大的桶，里面装满了无穷多的球，但只有两种颜色：红和白。你是否能用有限的步骤将球分成两堆，一堆红的，一堆白的？ 6. 孪生数悖论：对于任何一个素数，若将它加一或减一，它们之间的差值必定是二。因此，两个素数之间一定有一个偶数。 7. 吉尔伯特-陶逊悖论：如果一个村庄中只有男人和小孩，那么这个村庄中一定存在一个人至少有红色头发吗？实际上是可以的，因为这个悖论只是一个错综复杂的抽象预测。

8. 无穷大悖论：如果你将自然数的所有数字分成偶数和奇数，你会发现奇数会比偶数多一些。但是，当你将这些数字除以二，结果是每个数字都是整数，因此奇数和偶数应该在数量上相同。 9. 托勒密悖论：在托勒密的地球中心宇宙模型中，一颗星星的轨道被假定为匀速圆周运动。这导致了一个悖论，因为我们观察到的星星的视差应该与其轨道的半径有关，但实际上并非如此。 10. 蒙提霍尔悖论：你在面前有三个门，其中一个门后面是奖品，另两个门后面没有奖品。你选择了一个门，然后主持人打开了另一个没有奖品的门。你是否应该更改你的选择以提高你获得奖品的机会？是的，你应该更改你的选择，因为这将让你获得奖品的机会增加到2/3。

悖论与证明的数学思维方法

悖论与证明的数学思维方法数学是一门让人们被它的美妙迷住的学科。其中包括许多充满挑战的问题和悖论。这些问题需要我们用统一的思维方法来证明或解决它们。在本文中，我们将探讨这类思维方法，以及它们如何帮助我们解决悖论和证明数学中的问题。一、悖论和证明的基本概念在数学和逻辑中，我们将不正确或矛盾的结论称为悖论。例如，著名的罗素悖论声称“集合的集合不是集合”，而这个命题本身就是一个集合。这种情况的代表通常是通过语言的双关，利用一定的文字游戏或符号的使用来构造，同时挑战人们的常识和逻辑思维。而证明就是针对某个命题或陈述，在严谨的数学或逻辑推理中得到的正确结论。是通过成立的蕴含关系来让一个结论得到证明。证明需要对命题中的所有条件进行推理，得出与原命题一致的结论。悖论和证明的存在是数学发展的源泉之一。它们需要我们运用一些独特的思维方式和技巧。这些思维方式和技巧不仅仅适用于数学本身，也能在生活和工作中帮助我们解决问题。

二、悖论及其解决方法 1、希尔伯特酒店悖论希尔伯特酒店悖论是一个关于无限房间数量的问题：在这座具有无穷多间房间的酒店里，如果没有空房间，怎么能给新来的客人安排住宿呢？这个问题看似无解，但可以通过一种聪明的安排来解决：将原来住在房间1、2、3… n的客人的房间号全部加1，然后将第一个房间腾出来留给新的客人。这样已经住在房间号大于等于n的客人可以住进第n个房间。由此，任意多的客人均可以顺利入住。这就是利用推动的思维方式，在无限的空间和难以置信的数学技巧之间找到了解决问题的方法。 2、悖论的矛盾性当我们采用严谨的逻辑推理证明一个命题时，必须注意悖论或矛盾情况的产生（主张概率与集合论的一大发展者卡尔.哥德尔就

数学四大悖论

数学四大悖论数学是一门充满了美感和逻辑性的学科，但在这个领域中也存在着一些看似矛盾、荒诞的悖论。以下是数学四大悖论： 1.罗素悖论罗素悖论是由英国数学家伯特兰·罗素（Bertrand Russell）于1901年提出的。他构思了一个集合，这个集合包含所有不包含自身的集合。根据传统的集合论，这个集合应该是存在的。但当我们试图将这个集合是否包含自身这一要素套入其中时，会陷入一个矛盾的局面：如果这个集合不包含自身，那么它应该包含在这个集合中；但如果它包含自身，那么它又不可能包含在这个集合中，因为它包含了一个包含自身的集合。这就是罗素悖论。 2.贝尔悖论贝尔悖论是由美国逻辑学家诺尔曼·L·贝尔（Norman L. Geisler）提出的。这个悖论涉及了一个涉及到无限序列的问题。假设有一个无限序列A1,A2,A3…，这个序列中所有的数字都是0或1。接下来，我们可以构建一个新的序列B，它的第n位是A(n+1)的相反数。比如，如果A序列是0,1,0,1…那么B序列就是1,0,1,0…接下来，我们来讨论一个问题：在这个新序列B中，有没有一个长度为n的子序列与A相同？如果存在，那么根据B的定义，这个子序列中的每一位都与A的相应位不同，所以这个子序列在B中不可能出现。但是，如果不存在这样的子序列，那么B序列就不可能与A序列相反，因为每个长度为n的子序列都会在B序列中出现。 3.高斯悖论高斯悖论是由德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）在1796年提出的。这个问题涉及到一个三元数列：1,-1,1,-1…。我们可以将这个数列进行逐项相乘得到一个新的数列：1,-1,-1,1,1,-1,-1,1…。如果我们将每个数取绝对值并相加，就可以得到一个数列：1,1,1,1,1,1,1,1…但这与原来的数列被称为奇异级数，因为它相加得到的和是无限大，但我们的答案确是一个有限的数。这个问题一直到20世纪才被完全解决。 4.哥德尔不完全性定理哥德尔不完全性定理是奥地利数学家库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）于1931年提出的。这个定理证明了如果一种数学系统是符合一些特定要求的形式化系统，那么这个系统不可能既完全又一致。这个定理极大地影响了数学和逻辑哲学，因为它证明了某些问题是没有答案的限制，或者说某些问题永远都无法被完全解决。

著名的十大悖论

1.鳄鱼困境一个鳄鱼偷了一个父亲的儿子，它保证如果这个父亲能猜出它要做什么，它就会将儿子还给父亲。那么如果这个父亲猜“鳄鱼不会将儿子还给他”，那会怎样？回答：这是一个无解得问题。如果鳄鱼不还儿子，那么父亲就猜对了，鳄鱼就违背了诺言。如果鳄鱼将儿子还给他，那么父亲就猜错了，鳄鱼又违背了诺言。 2.祖父悖论一个人回到了过去，在他祖母能遇到祖父之前就杀了他的祖父。这就意味着这个人的父母之中有一个不会出生；依次这个人自己也不会出生；这就意味着他没有机会进行时光旅游挥刀过去；这就意味着他的祖父依然还活着；这就意味着这个人能构思回到过去，并杀了自己的祖父。回答：当时间旅行者改变了过去的某事的瞬间，那么平行宇宙就会被切开，这个可以由量子力学来解释。 3、希尔伯特旅馆悖论这是德国大数学家大卫·希尔伯特提出的著名悖论。希尔伯特旅馆有无限个房间，并且每个房间都住了客人。一天来了一个新客人，旅馆老板说：“虽然我们已经客满，但你还是能住进来的。我让1 号房间的客人搬到2 号房间，2 号房间搬到3 号房间??n 号房间搬到n

1 号房间，你就可以住进1 号房间了。”又一天，来了无限个客人，老板又说：“不用担心，大家仍然都能住进来。我让1 号房间的客人搬到 2 号房间，2 号搬到4 号， 3 号搬到6 号??n 号搬到2n 号，然后你们排好队，依次住进奇数号的房间吧。” 4、理发师悖论理发师悖论是由英国哲学家罗素提出来的，这个通俗的故事表述了集合论中的一个著名的悖论。罗素悖论萨维尔村唯一的理发师为自己立下一个规定:只帮那些自己不理发的人理发。于是有人问他：您自己的胡子由谁来刮呢？"理发师顿时哑口无言。这显然是两难:按照规则，因为其自己不给自己理发，所以他需要帮自己理发；但一旦理发同时又破坏了自己“不给自己理发的人理发的规则”。 5、说谎者悖论又叫谎言者悖论。西元前6世纪，克里特哲学家埃庇米尼得斯说了一句很有名的话：“我的这句话是假的。”句话之所以有名在于它没有答案。因为如果埃庇米尼得斯的这句话是真的，那就不符合这句话“我的这句话是假的”，则这句话是假的；如果这句话是假的，

数学中无解的悖论

数学中无解的悖论在数学中，无解的悖论是指一些看似合理的问题或命题，但却无法找到满足条件的解或证明。这些悖论挑战了我们对数学系统的直觉和逻辑推理，引发了对数学基础和逻辑严谨性的思考。下面将介绍几个常见的数学中无解的悖论。一、罗素悖论罗素悖论是由哲学家和数学家罗素提出的一个著名悖论。它涉及集合论中的自包含集合。考虑一个集合S，包含所有不属于自己的集合的集合。问题在于，如果假设S不属于自己，则根据定义，S应该属于S；而如果假设S属于自己，则根据定义，S不应该属于S。因此，无论如何假设，都会导致矛盾。二、哥德尔不完备定理哥德尔不完备定理是由奥地利数学家哥德尔在20世纪上半叶提出的。该定理证明了任何一种包含自然数运算的形式化数学体系，都存在无法被该体系内部证明或证伪的命题。这意味着数学体系无法完全自洽和完备，总会存在无法确定真假的命题。三、希尔伯特问题希尔伯特问题是由德国数学家希尔伯特在1900年提出的23个重要的数学问题。其中第10个问题涉及到Diophantine方程是否总有解。Diophantine方程是指多项式方程中所有变量都为整数的方程。至今，尽管已经解决了一些特殊情况下的Diophantine方程，但对于一般情况下是否总有解仍然没有统一的回答。四、连续统假设

连续统假设是由哥德尔和科恩在20世纪上半叶提出的。它涉及到集合论中集合的基数问题。连续统假设表明不存在介于可数集和实数集之间的集合。也就是说，不存在一个集合的基数既大于可数集又小于实数集。连续统假设的真假至今尚未被证明。这些无解的悖论揭示了数学系统的某些困境和限制。它们挑战了我们对数学的直觉和逻辑推理，并促使我们进一步思考数学基础的严谨性和可行性。这些悖论的存在也推动了数学领域的发展，促使数学家们不断探索和研究新的理论和方法，以更好地理解和解决这些问题。

数学悖论

数学悖论 “……古往今来，为数众多的悖论为逻辑思想的发展提供了食粮。” ——N·布尔巴基什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。悖论在很多情况下表现为能得出不符合排中律的矛盾命题：由它的真，可以推出它为假；由它的假，则可以推出它为真。由于严格性被公认为是数学的一个主要特点，因此如果数学中出现悖论会造成对数学可靠性的怀疑。如果这一悖论涉及面十分广泛的话，这种冲击波会更为强烈，由此导致的怀疑还会引发人们认识上的普遍危机感。在这种情况下，悖论往往会直接导致“数学危机”的产生。按照西方习惯的说法，在数学发展史上迄今为止出现了三次这样的数学危机。希帕索斯悖论与第一次数学危机它的提出与勾股定理的发现密切相关。因此，我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用，同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国，最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。不过，在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。在国外，最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂，而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号：“百牛定理”。毕达哥拉斯他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而，具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数表示，而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。小小√2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰，使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上，这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上：任何量，在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰，就是在今天，测量技术已经高度发展时，这个断言也毫无例外是正确的！可是为我们的经验所确信的，完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了！这应该是多么违反常识，多么荒谬的事！它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是，面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机，从而导致了西方数学史上一场大的风波，史称“第一次数学危机”。欧多克索斯二百年后，大约在公元前370年，才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论。他本人的著作已失传，他的成果被保存在欧几里德《几何原本》一书第五篇中。欧多克索斯

世界十大数学悖论

世界十大数学悖论： 1.说谎者悖论：一个克里特人说：“我说这句话时正在说慌。”然后这个克里特人问听众他上面说的是真话还是假话。 2.柏拉图与苏格拉底悖论：柏拉图调侃他的老师：“苏格拉底老师下面的话是假话。”苏格拉底回答说：“柏拉图上面的话是对的。” 不论假设苏格拉底的话是真是假，都会引起矛盾。 3.鸡蛋的悖论：先有鸡还是先有蛋？ 4.书名的悖论：美国数学家缪灵写了一部标题为《这本书的书名是什么》的书，问：缪灵的这本书的书名是什么？ 5.印度父女悖论：女儿在卡片上写道：“今日下午三时之前，您将写一个‘不’字在此卡片上。”随即女儿要求父亲判断她在卡片上写的事是否会发生；若判断会发生，则在卡片上写“是”，否则写“不”。问：父亲是写“是”还是写“不”？ 6.蠕虫悖论：一只蠕虫从一米长的橡皮绳的一端以每秒1厘米的速度爬向另一端，橡皮绳同时均匀地以每秒1米的速度向同方向延伸，蠕虫会爬到另一端吗？ 7.龟兔赛跑悖论：龟对兔说：“你不要想追上我，我现在在你的前方1米，虽然你的速度是我的百倍，但等你追到我现在的地点时，我又向前爬了1厘米到C1点，等你追到C1点时，我已爬到距你1/100厘米的C2点，如此下去，你总在Cn点，我却在你的前方Cn+1点。”兔子当然不服，可又说不过乌龟。实际上比赛起来，用不了1秒钟，兔子已跑在乌龟的前面了。

8.语言悖论：N是用不超过25个自然字不能定义的最小正整数。数一数上述N定义中的自然字只有23个，没有超过25个，即用不超过25个自然字定义了N，与N是用不超过25个自然字不能定义相矛盾。 9.选举悖论：A、B、C竞选，民意测验表明：有2/3的选民愿选A 而不愿选B，有2/3的选民愿选B而不愿选C。于是A说：“根据2/3的选民保我而反B，2/3的选民保B而反C，说明我优于B，B优于C，所以我优于C，从而我最优，应该选我。”C不服说道：“那2/3保A反B之外的1/3选民反A而保C，那2/3保B而反C的选民之外1/3的选民反A而保C，则形成2/3的选民保C 而反A，按你的逻辑，我亦优于你，你优于B，我C最优，应选我。”B接着说：“按你们的说法，B优于C，C优于A，则B 优于A，即我亦最优，应该选我。” 10.一位已经谢顶的老教授与他的学生争论他是否为秃头问题。教授：我是秃头吗？学生：您的头顶上已经没有多少头发，确实应该说是。教授：你秀发稠密，绝对不算秃头，问你，如果你头上脱落了一根头发之后，能说变成了秃头了吗？学生：我减少一根头发之后，当然不会变成秃头。

最早发现最大序数悖论

最早发现最大序数悖论引言数学常被视为严格、和谐、精确的学科.但纵观数学发展史的，数学的发展从来不是完全直线式的，它的体系不是永远和谐的，常常出现悖论.“悖论”一词来自希腊语“para+dokein”，意思是 “多想一想”.这个词的意义比较丰富，是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则推出了两个互相矛盾的结论.数学悖论在数学发展史中占据了重要的地位，可以这样说：数学也正是在不断消除悖论，解决矛盾中向前发展的，这体现了矛盾是事物发展的基本动力这一原理.这里，首先对数学悖论进行一个概述，然后介绍数学史中三个著名的悖论产生、消除及其对数学发展的历史意义. 1数学悖论的概述值得注意的是，我们所说的悖论与通常的诡辩或谬论的含义是不同的，诡辩或谬论不仅从公认的理论明显看出它的错误，而且一般地还可以运用已有的理论、逻辑论述其错误的原因；而悖论就与此不同了，悖论虽然感到它是不妥的，但是从它所在的理论体系中，却不能自圆其说. 1.1悖论的产生背景及定义悖论问题是一个古老而又常新的话题.“悖论”由来已久，它的起源可以追溯到古希腊和中国的先秦时代.但严格意义下的悖论是在19世纪末、20世纪初的数学家在研究数学基础过程中发现的.当集合论成为数学的基础之后，随着人类对无穷集合认识的不断深入，

就产生了许多悖论.1897年意大利数学家不拉里——弗蒂在超穷序数理论中发现了第一悖论，接着，集合论的创始人康托尔于1899年在基数理论中又发现了另一个悖论，1902年罗素在集合论概括原则的基础上又引出著名的“罗素悖论”.1918年，罗素在此基础上又提出一种通俗形式的悖论，即“理发师悖论”.由于一连串悖论的出现，使得许多科学家、数学家忧心忡忡. 那么，究竟什么是悖论呢？对此，当前流行的说法是：“悖论是一种导致逻辑矛盾的命题.这种命题，如果承认它是真的，那么它又是假的，如果承认它是假的，那么它又是真的.”又如“一个命题构成一个悖论，如果由它的真可以推出它的假，而由它的假又可以推出它的真.”诸如此类的定义法，有它合理的一面，又有不够全面的一面.这里认为，在研究悖论的准确定义时，以下几点必须加以明确： (1）任何悖论总是相对于一定的理论系统而言的.例如，罗素悖论和说谎者悖论，就是分别相对朴素集合论和真理性理论而言的； (2）悖论的最终表现总是体现为一定逻辑矛盾的揭示.这里所说的“逻辑矛盾”包括两种情况：一种是借助于语义学上的概念（真、假）而构成的，称为“语义学悖论”；另一种是借助于数学和逻辑符号得到的，称之为“逻辑-数学悖论”.例如：古代的说谎者悖论，现代集合论中的理查德悖论、格里林悖论等就属于第一类悖论；而康托尔悖论、罗素悖论就属于第二类悖论；

数学悖论与三次数学危机

数学发展从来不是完全直线式的，而是常常出现悖论。历史上一连串的数学悖论动摇了人们对数学可靠性的信仰，数学史上曾经发生了三次数学危机。数学悖论的产生和危机的出现，不单给数学带来麻烦和失望，更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望，促进了数学的繁荣。危机产生、解决、又产生的无穷反复过程，不断推动着数学的发展，这个过程也是数学思想获得重要发展的过程。数学历来被视为严格、和谐、精确的学科，纵观数学发展史，数学发展从来不是完全直线式的，他的体系不是永远和谐的，而常常出现悖论。悖论是指在某一一定的理论体系的基础上，根据合理的推理原则，推出了两个互相矛盾的命题，或者是证明了这样一个复合命题，它表现为两个互相矛盾的命题的等价式[1] 。数学悖论在数学理论中的发展是一件严重的事，因为它直接导致了人们对于相应理论的怀疑，而如果一个悖论所涉及的面十分广泛的话，甚至涉及到整个学科的基础时，这种怀疑情绪又可能发展成为普遍的危机感，特别是一些重要悖论的产生自然引起人们对数学基础的怀疑以及对数学可靠性信仰的动摇。数学史上曾经发生过三次数学危机，每次都是由一两个典型的数学悖论引起的。本文回顾了历史上发生的三次数学危机，重点介绍了三次数学危机对数学发展的重要作用。公元前六世纪，在古希腊学术界占统治地位的毕达哥拉斯学派，其思想在当时被认为是绝对权威的真理，毕达哥拉斯学派倡导的是一种称为“唯数论”的哲学观点，他们认为宇宙的本质就是数的和谐[2] 。他们认为万物皆数，而数只有两种，就是正整数和可通约的数(即分数，两个整数的比)，除此之外不再有别的数，即是说世界上只有整数或分数。

毕达哥拉斯学派在数学上的一项重大贡献是证明了毕达哥拉斯定理[3] ，也就是我们所说的勾股定理。勾股定理指出直角三角形三边应有如下关系，即 a2 =b2 +c 2，a 和 b 分别代表直角三角形的两条直角边， c 表示斜边。然而不久毕达哥拉斯学派的一个学生希伯斯很快便发现了这个论断的问题。他发现边长相等的正方形其对角线长并不能用整数或整数之比来表示。假设正方形边长为 1 ，并设其对角线长为 d ，依勾股定理应有 d2 =12 +12 =2，即 d2 =2 ，那么 d 是多少呢？显然 d 不是整数，那它必是两整数之比。希伯斯花了很多时间来寻找这两个整数之比，结果没找着，反而找到了两数不可通约性的证明[4]，用反证法证明如下：设 Rt△ABC，两直角边为 a=b，则由勾股定理有 c2 =2a2 ，设已将 a 和 c 中的公约数约去，即 a、c 已经互素，于是 c 为偶数， a 为奇数，不妨令 c=2m，则有(2m) 2 =2a2，a2 =2m2，于是 a 为偶数，这与前面已证a 为奇数矛盾。这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论。毕达哥拉斯悖论的出现，对毕达哥拉斯学派产生了沉重的打击，数“即万物”的世界观被极大的动摇了,有理数的尊崇地位也受到了挑战，因此也影响到了整个数学的基础，使数学界产生了极度的思想混乱，历史上称之为第一次数学危机。第一次数学危机的影响是巨大的，它极大的推动了数学及其相关学科的发展。首先，第一次数学危机让人们第一次认识到了无理数的存在，无理数从此诞生了，之后，许多数学家正式研究了无理数，给出了无理数的严格定义，提出了一个含有有理数和无理数的新的数类——实数，并建立了完整的实数理论[5] ，为数学分析的发展奠定了基础。再者，第一次数学危机表明，直觉和经验不一定靠得住，推理证明才是可靠的，从此希腊人开始重视演绎推理，并由此建立了几何公理体系。欧氏几何就是人们为了消除矛盾，解除危机，在这时候应运而生的[6]。第一次数学危机极大地促进了几何学的发展 ,使几何学在此后两千年间成为几乎是全部严密数学的基础，这不能不说是数学思想史上的一次巨大革命。

数学传奇人物故事-希尔伯特

数学传奇人物故事-希尔伯特希尔伯特是德国著名的数学家，他对数学界的贡献是无法估计的。下面就跟着小编一起去了解这位数学人物吧! 简介戴维·希尔伯特，又译大卫·希尔伯特，D.(David Hilbert，1862～1943)，德国著名数学家。他于1900年8月8日在巴黎第二届国际数学家大会上，提出了新世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的至高点，对这些问题的研究有力推动了20世纪数学的发展，在世界上产生了深远的影响。希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”，他是天才中的天才。生平经历希尔伯特出生于东普鲁士哥尼斯堡(前苏联加里宁格勒)附近的韦劳，中学时代他就是一名勤奋好学的学生，对于科学特别是数学表现出浓厚的兴趣，善于灵活和深刻地掌握以至能应用老师讲课的内容。他与17岁便拿下数学大奖的著名数学家闵可夫斯基(爱因斯坦的老师)结为好友，同进于哥尼斯堡大学，最终超越了他。希尔伯特出生地东普鲁士哥尼斯堡 1880年，他不顾父亲让他学法律的意愿，进入哥尼斯堡大学攻读数学，并于1884年获得博士学位，后留校取得讲师资格和升任副教授。 1892年，结婚。 1893年，他被任命为正教授。 1895年，转入哥廷根大学任教授，此后一直在数学之乡哥廷根生活和工作。 1930年，退休。在此期间，他成为柏林科学院通讯院士，并曾获得施泰讷奖、罗巴契夫斯基奖和波约伊奖。 1943年，希尔伯特在孤独中逝世。但由于大量数学家的到来，美国成为了当时的世界数学中心。

主要成就希尔伯特是对二十世纪数学有深刻影响的数学家之一，他领导了著名的哥廷根学派，使哥廷根大学成为当时世界数学研究的重要中心，并培养了一批对现代数学发展做出重大贡献的杰出数学家。希尔伯特的数学工作可以划分为几个不同的时期，每个时期他几乎都集中精力研究一类问题。按时间顺序，他的主要研究内容有：不变量理论、代数数域理论、几何基础、积分方程、物理学、一般数学基础，其间穿插的研究课题有：狄利克雷原理和变分法、华林问题、特征值问题、“希尔伯特空间”等。在这些领域中，他都做出了重大的或开创性的贡献。希尔伯特认为，科学在每个时代都有它自己的问题，而这些问题的解决对于科学发展具有深远意义。他指出：“只要一门科学分支能提出大量的问题，它就充满着生命力，而问题缺乏则预示着独立发展的衰亡和终止。” 在1900年巴黎国际数学家代表大会上，希尔伯特发表了题为《数学问题》的著名讲演。他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。这23个问题统称希尔伯特问题，后来成为许多数学家力图攻克的难关，对现代数学的研究和发展产生了深刻的影响，并起了积极的推动作用，希尔伯特问题中有些现已得到圆满解决，有些至今仍未得到解决。他在讲演中所阐发的相信每个数学问题都可以得到解决的信念，对数学工作者是一种巨大的鼓舞。他说：“在我们中间，常常听到这样的呼声：这里有一个数学问题，去找出它的答案!你能通过纯思维找到它，因为在数学中没有不可知。”三十年后，1930年，在接受哥尼斯堡荣誉市民称号的讲演中，针对一些人信奉的不可知论观点，他再次满怀信心地宣称：“我们必须知道，我们必将知道。”希尔伯特去世后，这句话就刻在了他的墓碑上。希尔伯特的《几何基础》(1899)是公理化思想的代表作，书中把欧几里得几何学加以整理，成为建立在一组简单公理基础上的纯粹演绎系统，并开始探讨公理之间的相互关系与研究整个演绎系统的逻辑结构。