立体几何100题

立体几何100题
1.如图，三角形中，
，
是边长为l 的正方形，平面
底面
，
若
分别是
的中点.
（1）求证：底面；
（2）求几何体
的体积.
2．在三棱锥P ABC -中， PAC ∆和PBC ∆ 2AB =， ,O D
分别是,AB PB 的中点.
（1）求证： //OD 平面PAC ； （2）求证: OP ⊥平面ABC ； （3）求三棱锥D ABC -的体积.
3．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中， 090BAC ∠=， 2AB AC ==，点,M N 分别
为111,A C AB 的中点.
（1）证明： //MN 平面11BB C C ；
（2）若CM MN ⊥，求三棱锥M NAC -的体积.. 4．如图，在三棱柱中，
平面，点是与
的交点，点在线段上，平面
.
（1）求证：
；
（2）若,求点到平面的距离.
5．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，
1
,//,2
AB BC AD BC AB BC AD ⊥==
， PAD ∆是正三角形， E 是PD 的中点． （1）求证： AD PC ⊥；
（2）判定CE 是否平行于平面PAB ，请说明理由．
6．如图，在四棱锥S ABCD -中，侧面SAD ⊥底面ABCD ， SA SD =， //AD BC ， 22AD BC CD ==， M ， N 分别为AD ， SD 的中点．
（1）求证： //SB 平面CMN ；（2）求证： BD ⊥平面SCM ．
7．如图，在矩形中，
，
平面
，
分别为
的中点，点
是
上一个动点．
(1) 当是
中点时，求证:平面
平面
；
(2) 当时，求的值．
8．如图，在正三棱柱111A B C ABC -中，点,D E 分别是1,A C AB 的中点． 求证： ED ∥平面11BB C C
若1AB 求证：A 1B ⊥平面B 1CE.
9．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中， 12,1,1AB AD A A ===.
（1）证明直线1BC 平行于平面1D AC ； （2）求直线1BC 到平面1D AC 的距离.
10．如图所示，菱形ABCD 与正三角形BCE 所在平面互相垂直， FD ⊥平面ABCD ，且
2AB =， FD =
（1）求证： //EF 平面ABCD ； （2）若3
CBA π
∠=
，求几何体EFABCD 的体积.
11．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，求证： （Ⅰ）平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1； （Ⅱ）A 1C //平面AB 1E ．
12．如图，在三棱柱中，平面，，，点为的
中点. （1）证明：平面； （2）求三棱锥
的体积.
13．如图，在多面体中，四边形是正方形，在等腰梯形中，，
，，为中点，平面平面.
(1)证明：； (2)求三棱锥的体积.
14．已知三棱锥，，，为的中点，平面，，，
是中点，与所成的角为，且.
（1）求证：；（2）求三棱锥的体积.
15．在四棱锥中，平面平面，，是等边三角形，已知，
，.
（1）设是上一点，求证：平面平面. （2）求四棱锥的体积.
-中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为菱形，16．如图，在四棱锥P ABCD
∠=，1,
ABC
60
==为PC的中点
PA PB E
.
（1）求证： //PA 平面BDE ；（2）求三棱锥P BDE -的体积.
17．如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）111ABC A B C -中，点G 是AC 的中点．
（1）求证： 1//B C 平面1A BG ；（2）若A B B C =， 1AC ，求证： 11AC A B ⊥． 18．如图所示，四棱锥S ABCD -中，平面SAD ⊥平面ABCD ， SA AD ⊥， //AD BC ，
4
3
SA BC AB ==
24AD ==．
（1）证明：在线段SC 上存在一点E ，使得//ED 平面SAB ；
（2）若AB AC =，在（1）的条件下，求三棱锥S AED -的体积． 19．（本小题共12分）
如图，边长为3的正方形ABCD 所在平面与等腰直角三角形ABE 所在平面互相垂直，
AE AB ⊥，且2EM MD =， 3AB AN =.
（Ⅰ）求证： //MN 平面BEC ；（Ⅱ）求三棱锥E BMC -的体积.
20．如图，在四棱锥中，底面
是边长为2的正方形，
分别为
的中点，
平面
底面
.
（1）求证:
平面
；（2）若
，求三棱锥
的体积.
21．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，求证：
（Ⅰ）平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1； （Ⅱ）A 1C //平面AB 1E ．
22．如图1，四边形ABCD 为等腰梯形， 2,1AB AD DC CB ====，将ADC ∆沿AC 折起，使得平面ADC ⊥平面ABC ， E 为AB 的中点，连接,DE DB .
（1）求证： BC AD ⊥； （2）求E 到平面BCD 的距离. 23．如图，四棱锥
中，底面
为菱形，
平面
，为
的中点．
（Ⅰ）证明：
平面
； （Ⅱ）设，求三棱锥
的体积．
24．如图，在多面体
中，四边形是正方形，在等腰梯形
中，
，
，
，为
中点，平面
平面
.
(1)证明：
；(2)求三棱锥
的体积.
25．如图1，在矩形中，，
，是的中点，将沿
折起，得到如图2
所示的四棱锥
，其中平面
平面
.
（1）证明：
平面
；
（2）设为的中点，在线段上是否存在一点，使得平面，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
26．如图，在四棱锥P ABCD -中， 90ABC ACD ∠=∠=， BAC ∠ 60CAD =∠=，
PA ⊥平面ABCD ， 2,1PA AB ==.设,M N 分别为,PD AD 的中点.
（1）求证：平面CMN ∥平面PAB ；（2）求三棱锥P ABM -的体积.
27．如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形， 12AA =，
P 为棱1BB 上的一个动点.
（1）求三棱锥1C PAA -的体积；
（2）当1A P PC +取得最小值时，求证： 1PD ⊥平面PAC .
28．在三棱柱111ABC A B C -中，已知侧棱1CC ⊥底面,ABC M 为BC 的中点，
13,2,AC AB BC CC ===.
（1）证明: 1B C ⊥平面1AMC ；（2）求点1A 到平面1AMC 的距离.
29．五边形11ANB C C 是由一个梯形1ANB B 与一个矩形11BB C C 组成的，如图甲所示，B 为AC 的中点， 128AC CC AN ===． 先沿着虚线1BB 将五边形11ANB C C 折成直二面角
1A BB C --，如图乙所示．
（Ⅰ）求证：平面BNC ⊥平面11C B N ；（Ⅱ）求图乙中的多面体的体积．
30．如图1， 1AFA ∆中， 11,82FA FA AA CF ===，，点,,B C D 为线段1AA 的四等分点，线段,,BE CF DG 互相平行，现沿,,BE CF DG 折叠得到图2所示的几何体，此几何体的底面ABCD 为正方形.
（1）证明： ,,,A E F G 四点共面；（2）求四棱锥B AEFG -的体积.
31．如图，三棱锥P ABC -中， PC ⊥平面ABC ， ,,F G H 分别是,,PC AC BC 的中点，
I 是线段FG 上的任意一点， 22PC AB BC ===，过点F 作平行于底面ABC 的平面DEF 交AP 于点D ，交BP 于点E . （1）求证： //HI 平面ABD ；
（2）若AC BC ⊥，求点E 到平面FGH 的距离.
32．如图，已知正方体
的棱长为3，
分别是棱
、
上的点，且
.
（1）证明：
四点共面；
（2）求几何体的体积.
33．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知平面11AA C C ⊥平面A B C D ，且
A B B C C A == 1AD CD ==．
（1）求证： 1BD AA ⊥；（2）若E 为棱BC 的中点，求证： //AE 平面11DCC D ． 34．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC ∆是等边三角形，且1AA ⊥平面ABC ,
D 为AB 的中点，
(Ⅰ) 求证：直线1//BC 平面1A CD ；
(Ⅱ) 若12,AB BB E ==是1BB 的中点，求三棱锥1A CDE -的体积；
35．如图，将菱形沿对角线折叠，分别过，作所在平面的垂线
，
，垂足分
别为，，四边形为菱形，且.
（1）求证：
平面
； （2）若
，求该几何体的体积.
36．如图，在四棱锥P ABCD -中， 1
22
PC AD CD AB ===
=， //AB DC ， AD CD ⊥， PC ⊥平面ABCD .
（1）求证： BC ⊥平面PAC ；
（2）若M 为线段PA 的中点，且过,,C D M 三点的平面与线段PB 交于点N ，确定点N 的位置，说明理由；并求三棱锥A CMN -的高.
37．如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱OB ⊥底面
ABCD ，且侧棱OB 的长是2，点,,E F G 分别是,,AB OD BC 的中点.
（Ⅰ）证明： OD ⊥平面EFG ；（Ⅱ）求三棱锥O EFG -的体积.
38．如图，多面体ABCDEF 中， //,AD BC AB AD ⊥, FA ⊥平面,//ABCD FA DE ，且222AB AD AF BC DE =====.
（Ⅰ）M 为线段EF 中点，求证： //CM 平面ABF ； （Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积.
39．在如图所示的几何体中，四边形11BB C C 是矩形， 1BB ⊥平面ABC ，
1111//,2,A B AB AB A B E =是AC 的中点.
（1）求证： 1//A E 平面11BB C C ；
（2）若AC BC =， 12AB BB =，求证平面1BEA ⊥平面11AA C .
40．如图，四边形ABCD 为梯形， AB CD ， PD ⊥平面A B C D ，
90BAD ADC ∠∠==︒， 22DC AB a ==， DA =， E 为BC 中点.
（1）求证：平面PBC ⊥平面PDE ；
（2）线段PC 上是否存在一点F ，使PA 平面BDF ？若有，请找出具体位置，并进行证明：若无，请分析说明理由.
41．已知四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60BAD ∠=︒，
SA SD SB ===E 是棱AD 的中点，点F 在棱SC 上，且
SF
SC
λ=， SA //平面BEF ．
（Ⅰ）求实数λ的值；（Ⅱ）求三棱锥F EBC -的体积．
42．在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=BC=CA=AA 1=2，侧棱AA 1⊥平面ABC ，且D ，E 分别是棱A 1B 1，AA 1的中点，点F 在棱AB 上，且AF=
1
4
AB 。

（1）求证：EF ∥平面BDC 1；（2）求三棱锥D-BEC 1的体积。

43．如图2，四边形为矩形，⊥平面
，
,作如图3折叠，折痕
，其中点
分别在线段上，沿折叠后点叠在线段上的点记为，并且
⊥
.（1）证明：⊥平面
; （2）求三棱锥
的体积.
44．由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD （1）证明： 1A O ∥平面B 1CD 1;
（2）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.
45．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形， ,60,PD AD DAB PD =∠=⊥
底面ABCD .
（1）求证: AC PB ⊥ （2）求PA 与平面PBC 所成角的正弦值.
46．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，各棱长均为2，D ，E ，F 分别为棱AB ，BC ，A 1C 1的中点．
（Ⅰ）证明EF ∥平面A 1CD ；
（Ⅱ）若三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1为直棱柱， 求三棱锥
的体积．
47．如图所示，四棱锥A BCDE -，已知平面BCDE ⊥平面ABC ，
,,26,30BE EC DE BC BC DE AB ABC ⊥===∠=．
（I ）求证： AC BE ⊥；（II ）若45BCE ∠=，求三棱锥A CDE -的体积．
48．在四棱锥P ABCD -中， PAD ∆为正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ， //AB CD ， AB AD ⊥， 224CD AB AD ===.
（Ⅰ）求证：平面PCD ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求三棱锥P ABC -的体积；
（Ⅲ）在棱PC 上是否存在点E ，使得//BE 平面PAD ?若存在，请确定点E 的位置并证明；若不存在，说明理由． 49．如图，已知多面体
的底面是边长为2的正方形，底面，，
且．
（Ⅰ）求多面体的体积；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）记线段的中点为，在平面内过点作一条直线与平面
平行，要求保
留作图痕迹，但不要求证明．
50．如图，三棱柱111ABC A B C -的侧面11ABB A 为正方形，侧面11BB C C 为菱形，
160CBB ∠=， 1AB B C ⊥.
（Ⅰ）求证：平面11ABB A ⊥ 11BB C C ；
（Ⅱ）若2AB =，求三棱柱111ABC A B C -的体积.
51．在三棱柱111ABC A B C -中， 2AC BC ==， 120ACB ∠=︒， D 为11A B 的中点.
（1）证明： 1//AC 平面1BC D ；
（2）若11A A A C =，点1A 在平面ABC 的射影在AC 上，且侧面11A ABB 的面积为求三棱锥11A BC D -的体积.
52．如图： ABCD 是平行四边行， AP ⊥平面ABCD , BE // AP , 2AB AP ==，
1BE BC ==， 60CBA ∠=。

（1）求证： EC //平面PAD ；（2）求证：平面PAC ⊥平面EBC ；
53．如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为梯形，
//AB CD ， 2AB DC ==，且PAD ∆与ABD ∆均为正三角形， E 为AD 的中点， G 为PAD ∆重心.
（1）求证： //GF 平面PDC ；（2）求三棱锥G PCD -的体积.
54．如图，边长为2的正方形ABFC 和高为2的直角梯形ADEF 所在的平面互相垂直，
AF BC O ⋂=， DE =， //ED AF 且90DAF ∠=.
（1）求证： DE ⊥平面BCE ；
（2）过O 作OH ⊥平面BEF ，垂足为H ，求三棱锥A BCH -的体积.
55．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BC=BB 1， 11AB A B E ⋂=，D 为AC 上的点，B 1C ∥平面A 1BD ；
（1）求证：BD ⊥平面11A ACC ；（2）若1,AB =且1AC AD ⋅=，求三棱锥A-BCB 1的体积．
56．如图，四边形ABCD 为菱形， G 为AC 与BD 的交点， BE ⊥平面ABCD ．
（1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；
（2）若0
120,ABC AE EC ∠=⊥，三棱锥E ACD -，求该三棱锥的侧面积（平面ACD 为底面）．
57．已知球内接正四棱锥P ABCD -的高为3,,AC BD 相交于O ，球的表面积为
169π
9
，若E 为PC 中点.
(1)求异面直线BP 和AD 所成角的余弦值；(2)求点E 到平面PAD 的距离. 58．如图，在四棱锥中，
底面
，
，
，
点为棱
的中点.
（1）证明：
面；（2）证明；（3）求三棱锥的体积．
59．在四棱锥P ABCD -中， 90ABC ACD ∠=∠=，
60,BAC CAD PA ∠=∠=⊥平面,ABCD E 为PD 的中
点， 22PA AB ==.
(1)求四棱锥P ABCD -的体积V ；(2)若F 为PC 的中点，求证PC ⊥面AEF . 60．在三棱柱111ABC A B C -中， 12AB BC CA AA ====，侧棱
1AA ⊥平面ABC ，且D ， E 分别是棱11A B ， 1AA 的中点，点F 棱
AB 上，且1
4
AF AB =
． （1）求证： //EF 平面1BDC ；（2）求三棱锥1D BEC -的体积．
61．如图，四棱锥P －ABCD 中，AD ⊥平面PAB ，AP ⊥AB ．
（1）求证：CD ⊥AP ； （2）若CD ⊥PD ，求证：CD ∥平面PAB ；
62．如图，已知三棱锥P ABC -中， PA AC ⊥， PC BC ⊥， E 为PB 的中点， D 为AB 的中点，且ABE 为正三角形.
（Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAC ；
（Ⅱ）请作出点B 在平面DEC 上的射影H ，并说明理由.若3BC =， 12
5
BH =，求三棱锥P ABC -的体积.
63．如图，在三棱锥P ABC -中， 2PA PB AB ===， 3BC =， 90ABC ∠=︒，平面PAB ⊥平面ABC ， D ， E 分别为AB ， AC 中点．
（1）求证： //DE 平面PBC ；（2）求证： AB PE ⊥； （3）求三棱锥P BEC -的体积．
64．如图，在四棱锥E ABCD -中，AE ⊥DE ，CD ⊥平面ADE ，AB ⊥平面ADE ，CD=DA=6，AB=2，DE=3．
（1）求B 到平面CDE 的距离
（2）在线段DE 上是否存在一点F ，使AF BCE 平面？若存在，求出EF
ED
的值；若不存在，说明理由．
65
．
在
如
图
所
示
的
多
面
体
中， DE ⊥平面
,//,//,,60A B C D A F D E A D B C A B C D A B C
=∠=， 244BC AD DE ===． （1）在AC 上求作点P ，使//PE 平面ABF ，请写出作法并说明理由；
（2）求三棱锥A CDE -的高．
66．如图，直角梯形ABCD 中， 1
,2
AB CD AB CD =
, AB BC ⊥,平面ABCD ⊥平面BCE , BCE ∆为等边三角形， ,M F 分别是,BE BC 的中点， 1
4
DN DC =.
(1)证明： EF ⊥ AD ;(2)证明： MN 平面ADE ; (3)若1,2AB BC ==,求几何体ABCDE 的体积.
67．如图，正三棱柱中，为
中点，为上的一点，
.
（1）若平面，求证：
.
（2）平面
将棱柱
分割为两个几何体，记上面一个几何体的体积为，下面一个几何体的体积为，求
.
68．如图，将边长为的正六边形沿对角线
翻折，连接
、，形成如图所示的多
面体，且
.
（I ）证明：平面
平面
；（II ）求三棱锥
的体积.
69．如图，在三棱柱111ABC A B C -中， 1AA ⊥底面ABC ， 90ACB ∠=︒， 1AC BC ==，
12AA =， D 是棱1AA 的中点．
（Ⅰ）求证： 11
B C 平面BCD ；（Ⅱ）求三棱锥1B C CD -的体积；
（Ⅲ）在线段BD 上是否存在点Q ，使得1CQ BC ⊥？请说明理由．
70．如图，棱柱
中，底面
是平行四边形，侧棱
底面
，
．
（Ⅰ）求证：平面
；（Ⅱ）求点到平面的距离． 71．如图，四棱锥
中，
底面，底面
是直角梯形，
，
，点在
上，且
. （1）已知点在
，且，求证：平面
平面
；
（2）若的面积是梯形面积为，求点E到平面的距离.
72．如图，在直角梯形中，，，．直角梯形
通过直角梯形以直线为轴旋转得到，且使得平面平面．为线段的中点，为线段上的动点．
（Ⅰ）当点是线段中点时，求二面角的余弦值；
（Ⅱ）是否存在点，使得直线//平面？请说明理由．
73．在斜三棱柱中，，平面底面，点、D分别是线段、BC的中点．
（1）求证：；（2）求证：AD//平面．
74．如图，为边长为2的正三角形，，且平面，.
（1）求证：平面平面；（2）求三棱锥的高.
75．如图七面体ABCDEFG 中,面ABCD ,ADEF ,ABGF 都是正方形.M ,N 分别是棱FG ,DE 的中点.
(1)求证:直线MN ∥平面CEG ; (2)若AB =a ,求三棱锥M −CEG 的体积.
76．如图,在四棱椎P ABCD -中,底面A B C D 为矩形,平面PCD ⊥面ABCD ,
1,2,BC AB PC ===
PD =, E 为PA 中点.
（1）求证： //PC 平面BED ；（2）求三棱锥E PBD -的体积.
77．已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且2,1,AD AB PA ==⊥平面
ABCD ， ,E F 分别是线段,AB BC 的中点.
（1）证明： PF FD ⊥；
（2）若1PA =，求点E 到平面PFD 的距离.
78．如图在四棱锥P ABCD -中， PD ⊥平面ABCD ， AD CD ⊥，且DB 平分
,ADC AC
∠与BD 交于O 点， E 为PC 的中点， 1,2,AD CD PD DB ====.
（Ⅰ）证明//PA 平面BDE ；（Ⅱ）证明AC ⊥平面PBD ； （Ⅲ）求三棱锥B AEC -的体积. 79．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形， //AD BC ， 90ADC ∠=︒，平面PAD ⊥底面ABCD ， Q 为AD 的中点， M 是棱PC 上的点， PA PD =，
1
2
BC AD =
．
（Ⅰ）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；
（Ⅱ）若三棱锥A BMQ -的体积是四棱锥P ABCD -体积的
1
6
，设P M t M C =，试确定t 的值．
80．如图，点C 在以AB 为直径的圆O 上， PA 垂直与圆O 所在平面， G 为AOC ∆的垂心.
（1）求证：平面OPG ⊥平面PAC ；
（2）若22PA AB AC ===，点Q 在线段PA 上，且2PQ QA =，求三棱锥P QGC -的体积.
81．如图，在三棱锥
A BCD -中，平面ABD ⊥平面
,,60,24B C D A B A D C B D B D B C =∠==
=，点E 在
CD 上， 2.DE EC =
（Ⅰ）求证： AC BE ⊥；
（Ⅱ）若二面角E BA D --A BCD -的体积. 82．如图， ABCD 是正方形， DE ⊥平面ABCD ， //AF DE ， 22DE DA AF ===.
（1）求证： AC ⊥平面BDE ；（2）求证： //AC 平面BEF ； （3）求四面体BDEF 的体积.
83．如图,在四棱柱1111ABCD A B C D -中,已知11,2AB AA ==, S 是11A C 的中点
（1）求证: AC SD ⊥；（2）求三棱锥11A BC D -的体积.
84．已知四棱锥P ABCD -中，底面为矩形， PA ⊥底面ABCD ， 1PA BC ==，
2
AB=，M为PC上一点，M为PC的中点.
（1）在图中作出平面ADM与PB的交点N，并指出点N所在位置（不要求给出理由）；
-分成上下两部分的体积比.
（2）求平面ADM将四棱锥P ABCD
85．如图，在多面体中，四边形为等腰梯形，，，
，与相交于，且，矩形底面，为线段
上一动点，满足.
（Ⅰ）若平面，求实数的值；
（Ⅱ）当时，锐二面角的余弦值为，求多面体的体积. 86．已知四棱台的下底面是边长为4的正方形，，且面
，点为的中点，点在上，，与面所成角的正切值为2.
（Ⅰ）证明：面；
（Ⅱ）求证：面，并求三棱锥的体积.
87．如图在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧面PAD ⊥底面ABCD ， PA PC ⊥； （1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；
（2）若过点B 的直线l 垂直平面PCD ，求证： l //平面PAD.
88．在直三棱柱111ABC A B C -中， 13,2,AB AC AA BC D ====是BC 的中点， F 是
1CC 上一点.
（1）当2CF =时，证明： 1B F ⊥平面ADF ； （2）若1FD B D ⊥，求三棱锥1B ADF -的体积.
89．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，平面PAD ⊥ 平面ABCD ，且PAD ∆
是边长为2的等边三角形， PC =M 是PC 的中点.
（1）求证： PA 平面MBD ；（2）求四面体P BDM -的体积. 90．已知球内接四棱锥P ABCD -的高为3,,AC BC 相交于O ，球的表面积为1699
π
，若E 为PC 中点.
（1）求异面直线BP 和AD 所成角的余弦值； （2）求点E 到平面PAD 的距离.
91．如图所示的几何体P ABCD -中，四边形ABCD 为菱形， 120ABC ∠=︒， AB a =，
PB =， PB AB ⊥，平面ABCD ⊥平面PAB ， AC BD O ⋂=， E 为PD 的中点，
G 为平面PAB 内任一点.
（1）在平面PAB 内，过G 点是否存在直线l 使OE l ？如果不存在，请说明理由，如果
存在，请说明作法；
（2）过A ， C ， E 三点的平面将几何体P ABCD -截去三棱锥D AEC -，求剩余几何体AECBP 的体积.
92．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，点E 在棱PC 上(异于点P ， C )，平面ABE 与棱PD 交于点F ． （1）求证： AB EF ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求证： AF EF ⊥．
93．如图，在四棱锥P ABCD -中，已知PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是梯形，
090ABC ∠=， //BC AD ，且1
12
PA AB BC AD ===
=．
（1）求直线PB 与CD 所成的角；（2）求点A 到平面PCD 的距离．
94．如图，三棱柱111ABC A B C -中， 1AA ⊥平面ABC ， BC AC ⊥， M 是AB 上的动点， 12CB CA CC ===.
（Ⅰ）若点M 是AB 中点，证明：平面1MCC ⊥平面11ABB A ；
（Ⅱ）判断点M 到平面11A B C 的距离是否为定值？若是，求定值；若不是，请说明理由.
95．如图（1），五边形ABCDE 中， 0
,//,2,150ED EA AB CD CD AB EDC ==∠=.如图（2），将EAD ∆沿AD 折到PAD ∆的位置，得到四棱锥P ABCD -.点M 为线段PC 的中点，且BM ⊥平面PCD ．
（1）求证：平面PAD ⊥平面PCD ； （2）若直线PC 与AB 所成角的正切值为
1
2
，设1AB =，求四棱锥P ABCD -的体积. 96．如图，已知多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形， 60ABC ∠=， AE ⊥平面ABCD ， //AE CF ， 1AB AE ==， AF BE ⊥．
（Ⅰ）求证： AF ⊥平面BDE ；（Ⅱ）求多面体ABCDEF 的体积．
97．如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面PAD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，AD ∥
BC ，PA ＝AB ＝BC ＝CD ＝2，PD ＝2，PA ⊥PD ，Q 为PD 的中点.
（Ⅰ）证明：CQ ∥平面PAB ；（Ⅱ）求三棱锥Q-ACD 的体积。

98．如图， 11,AA BB 为圆柱1OO 的母线， BC 是底面圆O 的直径, ,D E 分别是11,AA CB
的中点, 1
3,BA AC BC ===
(1)证明： DE ∥平面ABC ；(2)求圆柱1OO 的体积和表面积. 99．已知等腰梯形ABCE (图1)中, //AB EC , 1
42
AB BC EC ==
=,0120ABC ∠=, D 是EC 中点,将ADE ∆沿AD 折起,构成四棱锥P ABCD - (图2), ,M N 分别是
,BC PC 的中点.
（1）求证: AD ⊥平面DMN ;
（2）当平面PAD ⊥平面ABCD 时,求点C 到平面PAB 的距离.
100．如图所示，边长为2的正三角形ABC 所在平面与梯形BCDE 所在平面垂直， //BE CD ， 24BE CD ==， BE BC ⊥， F 为棱AE 的中点．
（1）求证：直线AB ⊥平面CDF ； （2）求三棱锥F ADC -的体积．．。